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Grado de aceleración 6°/7° - Matemática III bimestre

Unidad 1: Divisibilidad

Material para el alumno, pág.

Múltiplos y divisores

1. Problemas de múltiplos y divisores

Problema 1: El reparto de la torta Si se organizó una reunión y no se sabe aún si vendrán 4 ó 6 personas, ¿en cuántas porciones habría que cortar la torta para que pueda darse la misma cantidad a cada uno de los presentes ya sean 4 ó 6 y no haya que estar cortándola en el momento de la reunión?

Es importante que, al enfrentar este problema, los niños tengan claro que se trata de dar a cada uno de los invitados la misma cantidad de porciones. No se espera que de entrada hagan cuentas para resolverlo (por ejemplo, buscando un número que, al ser dividido por 4 y por 6, tenga resto 0) sino que formulen una exploración en torno a los primeros múltiplos de 4 y de 6. Sin duda, los alumnos advertirán desde el comienzo que cortar en 6 o en 4 no soluciona el problema y comenzarán a probar con otros números. Esta exploración no tendrá para todos el mismo nivel de anticipación: algunos probarán más o menos azarosamente de a uno (con 8, luego con 9, después con 10, etc.) y puede ser que otros se den cuenta de que deben buscar entre los múltiplos de 4 y los de 6. Es importante destacar que el problema ofrece la posibilidad de que unos y otros puedan comenzar a abordarlo. Frente a la necesidad de ir analizando si los números que encuentran sirven o no, los niños podrán establecer que los números que buscan deben poder dividirse exactamente entre 4 y 6 o, en otros términos, esto significa que debe ser un número que debe estar en la tabla del 4 y la del 6. En el espacio colectivo, luego de la resolución de los alumnos en sus carpetas, el maestro comparará los diferentes procedimientos y deberá identificar que el número de porciones debe ser tal que debe poder dividirse exactamente por 4 y por 6. . Se podrá discutir cuántos números de estos hay1. El docente anotará en el pizarrón (y los niños en sus carpetas) modos de realizar la búsqueda de números que estén en las dos tablas. Por ejemplo: 2 x 4 = 8; 3 x 4 = 12; 4 x 4 = 16; 5 x 4 = 20; 6 x 4 = 24 2 x 6 = 12; 3 x 6 = 18; 4 x 6 = 24 12 : 4 = 3 12: 6 = 2 24 : 4 = 6 porque 6 x 4 = 24 24 : 6 = 4 Será importante identificar el significado de cada número en el contexto del problema. Por ejemplo, concluir que es posible cortar la torta en 12 porciones porque, si vienen 4 invitados, corresponden 3 porciones a cada uno y, si vienen 6, dos a cada uno. Es necesario, en esta discusión, comenzar a observar que no existe una única posibilidad. Si bien la cantidad de cortes posibles en este caso está limitada por el contexto, si la torta fuese grande, podría repartirse en 24; 36; 48 porciones, etc. Es decir, que uno puede continuar buscando números que se puedan dividir en una cantidad exacta de veces por los números propuestos. El docente aprovechará esta oportunidad para introducir la definición de múltiplo y divisor. Como es sabido, hay varias maneras de definir la relación “ser múltiplo de”. Comenzaremos por una de ellas y a medida que avance el trabajo se irán presentando otras para que los alumnos lleguen a establecer relaciones entre las diferentes definiciones.

1 La cantidad de porciones a obtener está limitada por el contexto. Es decir, en una situación real no es posible

cortar una torta en, por ejemplo 120 porciones. Sin embargo 120 es una solución “teórica” de este problema. Deberá comentarse con los niños esta diferencia y centrar el análisis en establecer si los números que se obtienen cumplen los requisitos que la situación plantea más allá de las posibilidades prácticas.

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Primera definición de múltiplo:

Si un número es el resultado de una multiplicación de dos factores es múltiplo de cada uno de los factores.

Nota a edición: colocar la definición recuadrada. Por ejemplo, 12 = 4 x 3 con lo cual 12 es múltiplo de 4 y también 12 es múltiplo de 3.

De la misma manera se puede establecer que 12 es múltiplo de 6 y que 12 es múltiplo de 2.

Cuestión: ¿Será cierto teniendo en cuenta la definición anterior que si un número es el resultado de una multiplicación de tres factores es múltiplo de cada uno de los factores?

Nota a edición: colocar la “cuestión” recuadrada. Recordar que es texto independiente. En el primer bimestre ya escribimos “cuestiones”, deberían aparecer como en ese cuadernillo La idea sería que los alumnos tomen esta pregunta a su cargo durante un tiempo y que luego se discuta colectivamente. En dicha discusión debería establecerse que si un número es el producto de tres factores siempre se pueden asociar dos de ellos para “transformarlo” en un producto de dos. Por ejemplo, 120 = 6 x 5 x 4. Podemos establecer entonces que 120 = 6 x 20 120 = 5 x 24 120 = 4 x 30 con lo cual 120 es múltiplo de cada uno de los tres factores iniciales. A partir del mismo ejemplo, se puede poner en evidencia que 120 es múltiplo de otros números, además de los ya considerados: 120 = 6 x 20 = 6 x 10 x 2 = 60 x 2 . Esta nueva descomposición pone en evidencia que 120 es múltiplo de 60, como así también de 10 y de 2. O también 120 = 4 x 30 = 2 x 2 x 2 x 15 = 8 x 15. Resulta entonces que 120 es múltiplo de 8 y de 15. Será interesante recalcar con los alumnos que se puede establecer que todas las descomposiciones y asociaciones desplegadas “conservan” el 120 sin necesidad de efectuar la cuenta cada vez. Esta es una manera de ir comunicando en la clase el poder anticipatorio de las relaciones frente a la realización efectiva de los cálculos. Material para el alumno, pág.

Segunda definición de múltiplo

Un número natural a es múltiplo de un número natural b cuando a puede expresarse como el producto de b por otro número c.

Por ejemplo: 12 es múltiplo de 4 porque puede expresarse como 4 por un número, en este caso 3. Los números 16; 24; 32; 36 etc. también son múltiplos de 4.

Cuestión:

a) En un texto de hace varios años puede leerse la siguiente definición de “ser múltiplo de”: Un número es múltiplo de otro cuando lo contiene un número exacto de veces.

¿Cómo podrías explicar que esta definición es otra manera de decir lo mismo que con la segunda definición que te presentamos?

La tarea de comparar dos definiciones, ofrece la oportunidad de que los alumnos puedan establecer conexiones entre distintos aspectos de una misma relación, profundizando de esta manera la comprensión de dicha relación. En el caso de las dos definiciones de “ser múltiplo”

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presentadas, los alumnos deberán darse cuenta de que si un número puede expresarse como el producto de otros dos, contiene exactamente a cada uno de ellos: decir que 60 es 5 veces 12, es también decir que el 12 “entra” 5 veces en el 60. Notemos que la palabra ‘veces” puede ser interpretada tanto en términos de multiplicación como de división. Este trabajo permite entonces revisar el significado de la multiplicación y su relación con la división. Material para el alumno, pág.

Cuestión

b) ¿Será cierto que si continuamos la tabla del 6 indefinidamente encontramos los múltiplos de 6?

El planteo de la cuestión b) tiene varios objetivos. Por un lado apunta a que los niños no se queden con la idea –elaborada a partir de los ejemplos que suelen manejarse en las clases o del trabajo con las tablas de multiplicar, que usualmente no superan el 10- de que no es posible encontrar múltiplos de un número más allá de multiplicar por 10 a ese número. A partir de analizar esta idea, será interesante establecer con los alumnos que siempre es posible encontrar un nuevo múltiplo de cualquier número y discutir entonces que todos los números2 tienen infinitos múltiplos, o que no es posible encontrar todos los múltiplos de un número. Posiblemente al responder sobre estas cuestiones los niños apelen a ejemplos, a casos específicos utilizando números. El docente permitirá que los alumnos se apoyen en estos casos particulares, pero guiará la discusión para que las formulaciones se aproximen al terreno de lo general y puedan responder apelando a las definiciones presentadas. Es decir que los niños propongan argumentos del tipo: Si multiplico 6 por cualquier número me va a dar un múltiplo de 6; siempre que multiplicás un número por otro, el resultado es múltiplo de cada uno de esos dos números, etc. También podrá analizarse que, si se continúa indefinidamente la tabla del 6, la diferencia entre un múltiplo que pertenece a esa tabla y el siguiente, siempre es de 6. Y que si se tratara, por ejemplo, de múltiplos de 8 esa diferencia sería de 8, etc. Será interesante reflexionar con los niños por qué ocurre esto, es decir por qué cada vez que aumenta uno el número que multiplica a 6, el múltiplo anterior aumenta 6 y no 1. A propósito del problema trabajado en a), el docente podrá mostrar que 12; 24; 36; 48 son a la vez múltiplos de 4 y de 6, es decir múltiplos comunes de estos números. Material para el alumno, pág.

[Recuadro] Definición de divisor:

Un número es divisor de otro, si este otro es múltiplo del primero.

Problema 2 Analizar si:

5 es divisor de 35 8 es divisor de 64 21 es divisor de 42 8 es divisor de 20 4 es divisor de 20

Cuestiones a)¿Será cierto que si un número natural c se expresa como el producto de otros dos a y b entonces a es divisor de c y b es divisor de c?

b) ¿Será cierto que si un número es divisor de otro al dividir este último por el primero se obtiene resto cero?

A partir del análisis de esta cuestión se revisará la parte a) apuntando a incorporar nuevos argumentos para establecer si un número es o no divisor de otro. Así, por ejemplo, 5 es

2 Excepto el cero.

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divisor de 35 porque al dividir 35 por 5, se obtiene resto cero. O bien 5 es divisor de 35 porque puede pensarse como 5 x 7, entonces 5 y 7 serán divisores de 35. Material para el alumno, pág.

[Recuadro] Sabemos que cualquier número multiplicado por cero da cero. Esto inhabilita la posibilidad de dividir por 0. ¿Podrías decir por qué?

El docente deberá establecer con los alumnos que se excluye la división por cero porque si se dividiera por cero cualquier número D distinto de cero, sería imposible encontrar un número que multiplicado por cero diera como resultado el número D. Si se intentara definir la división cero dividido cero, el resultado podría ser cualquier número, con lo cual la operación perdería sentido. Material para el alumno, pág.

Cuestión: a) ¿Todo número entero es divisor de sí mismo? Justificá tu respuesta b) .¿Es cierto que 1 es divisor de cualquier número?

A partir de las cuestiones anteriores se analizará que todos los números, salvo el 1, tienen por lo menos dos divisores.

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Problema 3: volvemos a las porciones de la torta Si se organizara una reunión en la que se va a repartir una torta y no se sabe si van a asistir 2, 4 o 6 personas. ¿En cuántas porciones habría que cortar la torta para que pudiera darse la misma cantidad a cada uno de los presentes y no haya que estar cortando la torta en el momento de la reunión?

Es posible que los niños busquen nuevamente múltiplos comunes sin advertir que pueden utilizar lo que averiguaron para el problema anterior. La discusión, además de retomar las cuestiones del problema anterior (que el número a obtener debe ser tal que pueda dividirse por 2, por 4 y por 6 exactamente; que no existe un único número que cumpla con estas condiciones; que el o los números obtenidos deben ser múltiplos de 2; 4 y 6 simultáneamente, etc.), se centrará en identificar que, una vez que se encontraron números de porciones posibles para 4 y 6, esas mismas cantidades pueden repartirse un número exacto de veces también entre 2. Es posible que los niños sólo adviertan parcialmente esta relación para 2 y 4. Esta instancia colectiva será una oportunidad de extenderla a la relación entre 2 y 6. Para ello, el maestro podrá apelar a la tabla pitagórica mostrando que cada dos lugares de la tabla del 2, coincide con un número de la tabla del 4 y cada tres de la tabla del 2, coincide con uno de la del 6. El docente deberá analizar con sus alumnos por qué razón ocurre este hecho. Habrá que insistir en que el 4 contiene exactamente al 2, por eso un número que se puede repartir entre 4 una cantidad exacta de veces también se puede repartir entre 2; lo mismo puede decirse del 6. El docente evaluará si es posible plantear la siguiente escritura para sus alumnos, en la cual se pone de relieve que si un número es divisible por 4 también lo es por 2: 6 x 4 = 6 x 2 x 2 = 2 x 3 x 4 = 2 x 3 x 2 x 2 Las transformaciones de la escritura anterior se basan en la propiedad asociativa de la multiplicación abordada anteriormente. En la carpeta de los alumnos deberán anotarse conclusiones similares a las siguientes: - El número hallado “está al mismo tiempo en la tabla del 4 y en la del 6” como ya se

planteó. - Cada número de la tabla del 4 es el doble de alguno de la tabla del 2 y - cada número de la tabla del 6 es el triple de alguno de la tabla del 2. - Entonces puedo estar seguro que un número que se puede repartir exactamente entre 4

y 6 –y que ya encontré- va a estar en la tabla del 2

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Estas relaciones serán retomadas en la actividad 2, “Problemas con la calculadora” (págs...). Material para el alumno, pág.

Problema 4 ¿Qué sucedería ahora si fueran 3, 7 ó 6 los invitados posibles a la reunión y se quiere tener la torta ya cortada?

Este problema ofrece la posibilidad de reinvertir, para los números 3 y 6, la relación identificada en el problema 3. Se explicitará esta relación después de que los niños hayan intentado llegar a algún tipo de resolución. Es decir, se espera llegar a conclusiones como las siguientes: como todos los números de la tabla del 6, es decir todos los múltiplos de 6, son el doble de los de la tabla del 3, entonces si es múltiplo de 6 va a ser múltiplo de 3. Por lo tanto alcanza sólo con fijarse en cuántas porciones debo cortar la torta si vinieran 6 ó 7 personas. Ese número también va a ser múltiplo de 3, porque ya es múltiplo de 6. También sería necesario analizar que, saber la relación entre 3 y 6, no ayuda a establecer de entrada una relación entre 6 y 7, que deberá ser buscada planteando los múltiplos de ambos hasta encontrar uno que sea común a los dos números. Material para el alumno, pág.

Problema 5 ¿En cuántas porciones como mínimo habría que tener cortada la torta para que se pudiera repartir en el caso en que los invitados fueran: - 2, 4, 5 ó 10? - 2, 6 u 8? - 3 ó 9?

2. Problemas con calculadora La siguiente actividad se organiza en torno al uso de la calculadora. Los alumnos ya han abordado diferentes situaciones en las que debieron usarla, de modo que no resultará novedoso para ellos ni su empleo ni el tipo de trabajo que se les propone.

Es importante tener en cuenta que el maestro deberá insistir en que los niños escriban los cálculos que van a hacer y respondan cuáles multiplicaciones podrían hacerse y cuáles no antes de comprobar con la calculadora. Es decir, que tomen decisiones, que anticipen resultados y recién después utilicen la calculadora para comprobar lo que han anticipado. Esto implica un tipo particular de gestión de la clase. En efecto, para que los niños puedan prever el resultado de los cálculos, debe existir un momento de trabajo en el que la tarea no consista en la realización de los mismos, sino en buscar, entre las relaciones que tienen disponibles, aquéllas que les permiten hallar la respuesta solicitada. En esa fase del trabajo, el maestro deberá sostener el nivel de incertidumbre que plantea la actividad y, en ese sentido, será interesante que evite momentáneamente sus juicios sobre lo acertado o no de los procedimientos de los niños, de modo que los alumnos puedan verificar sus anticipaciones con la calculadora y eventualmente corregirlas. El trabajo con la calculadora entonces está organizado alrededor de dos ideas que orientan las actividades. La primera está relacionada con las posibilidades de anticipar, de prever el resultado de una acción que todavía no fue realizada (en este caso, un cálculo) o que va a ser realizada en otro tiempo o en otro lugar. Este es, justamente, uno de los aspectos que hacen potente al conocimiento matemático: saber matemática permite independizarse de la realización empírica de cierta acción (en este caso, hacer la cuenta). La segunda idea tiene que ver con el poder de la calculadora de devolver a los alumnos -de modo inmediato e independientemente del docente- los resultados de sus anticipaciones. Material para el alumno, pág.

Problema 1

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Si en la calculadora, después de anotar un número, sólo pudiera multiplicarse por 3 y por 5, ¿cuáles de las siguientes multiplicaciones podrían hacerse y cuáles no? Recuerden que sólo se puede usar la tecla de x. Para las que sí se puede, anoten con qué cálculos. Para las que no se puede, expliquen por qué.

24 x 15 = 26 x 34 = 73 x 60 = 195 x 25 = 59 x 45 = 21 x 22 =

En esta actividad, se espera que los niños puedan descomponer el segundo factor en una multiplicación que sólo contenga a 3 ó 5 como factores. En algunos de los cálculos propuestos esto es posible y en otros, no. Si esta relación no apareciera entre los procedimientos de los niños, el docente podrá, para el primer caso, por ejemplo: - Preguntar si pensar el 15 como un producto de 3 y 5 no puede ayudar en el cálculo. - Retomar la segunda definición de múltiplo donde se expresó que “Un número natural a es

múltiplo de un número natural b cuando a puede expresarse como el producto de b por otro número c.

- Retomar también la definición de divisor y analizar si el 3 y/o el 5 son divisores de cada uno de los segundos factores que se proponen. Con respecto a esta relación, será necesario hacer notar que el segundo factor debe poder descomponerse en multiplicaciones que sólo contengan a 3 y 5 como factores. Para 60, por ejemplo, 3 y 5 son divisores pero no puede descomponerse en una multiplicación que sólo contenga estos números como factores.

Es fundamental que las descomposiciones que los niños realicen, queden escritas en sus carpetas. El docente podrá plantear otras actividades similares si encontrara que para sus alumnos es necesario estabilizar estas relaciones. Para ello, podrá variar cuáles son las teclas de la calculadora que está permitido usar. Material para el alumno, pág.

Problema 2 En una calculadora, una vez que se usa el signo x, sólo se pueden utilizar las teclas del 5 y del 4. Proponé 5 multiplicaciones diferentes que podrían realizarse si se utilizara esa máquina.

Problema 3

a) Decidir si es cierto que, utilizando una calculadora en la que sólo se puede multiplicar por 3 y por 5, nunca se va a poder multiplicar por 14, ni por 22, ni por 29. b) Encontrar números por los que no podría multiplicar con esa calculadora.

Problema 4 ¿Cuáles de las multiplicaciones de la columna de la derecha van a dar el mismo resultado que las de la columna de la izquierda?

a) 24 x 12 = b) 26 x 34 = c) 73 x 48 = d) 59 x 18 =

1) 59 x 6 x 3 2) 6 x 2 x 4 x 73 3) 24 x 6 x 2 4) 6 x 8 x 2 x 73 5) 24 x 2 x 2 x 3 6) 59 x 6 x 4 7) 59 x 2 x 9

En este problema los niños también deberán anticipar y luego comprobar con la calculadora lo acertado o no de sus anticipaciones. En este sentido requiere de un tipo de gestión similar al desplegado en los problemas previos de este mismo apartado. Otro aspecto común a todos estos problemas, es que los momentos de puesta en común no deberán reducirse ni centrarse exclusivamente en decidir si las respuestas son correctas o no, sino en analizar cómo pueden descomponerse los factores para realizar la multiplicación buscada.

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Como resultado de este conjunto de problemas, se podrá analizar que las descomposiciones halladas sirven para otras multiplicaciones. Por ejemplo, multiplicar por 12 un número, es lo mismo que multiplicarlo por 2, luego otra vez por 2 y finalmente por 3. Material para el alumno, pág.

REVISAR Problema 5

Si hubiera que hacer cada uno de los siguientes cálculos, multiplicando sólo por números de una cifra, con qué multiplicaciones se podrían resolver. Si hay más de una posibilidad, anotalas y luego comprobá con la calculadora.

16 X 24 75 x 72 72 x 144 63 x 120 42 x 64 35 x 147

La idea aquí es extender la descomposición a los dos factores, además de retomar las descomposiciones que se vienen realizando. Será importante identificar cómo, a partir de una descomposición hallada, es posible extraer otras equivalentes. En otros términos, cómo los factores se pueden continuar descomponiendo. Por ejemplo, para el caso de 16 x 24, el factor 24 puede descomponerse en 6 x 4, pero a su vez el 6 puede pensarse como 3 x 2 y el 4 como 2 x 2. Por lo tanto: 16 x 24 = 8 x 2 x 6 x 4 = 4 x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x 2 El docente podrá mostrar que, si bien puede haber más de una descomposición, si se continúan producen, para cada número, una descomposición única en factores que ya no pueden seguir descomponiéndose. En términos para los docentes, podemos decir que todo número admite una única descomposición en factores primos. Material para el alumno, pág.

Problema 6

Ahora en la calculadora sólo pueden usarse números de una cifra para anotar cada factor ¿Cómo podrían resolverse las siguientes multiplicaciones? ¿Es posible encontrar más de una multiplicación diferente para cada una de las propuestas? 24 x 12 72 x 48 144 x 24 27 x 15

En el momento de discusión colectiva el docente, además de analizar que la descomposición puede realizarse sobre cualquiera de los factores o sobre ambos simultáneamente, mostrará en el pizarrón que, a partir de las descomposiciones realizadas, pueden “armarse” otras cuentas y que estas nuevas cuentas necesariamente van a dar los mismos resultados ya que están “hechas” a partir de los mismos números. Es fundamental controlar siempre que les quede claro que, al descomponerlo en factores, seguimos teniendo el mismo número y, al asociar estos factores de diferentes maneras, estamos multiplicando por la misma cantidad de veces, sólo que se “ordenaron” de manera diferente. Por ejemplo: 24 x 12 = 3 x 8 x 3 x 4 = 3 x 3 x 8 x 4 = 9 x 32. Por lo tanto aún cuando no se sepa cuánto es el producto de 24 x 12, puede afirmarse que va a ser el mismo que el de 9 x 32. Material para el alumno, pág.

3. Problemas de cálculo mental

Aprovechamos las propiedades analizadas para hacer cálculos mentales.

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Problema 1

Sabiendo que 24 x 18 = 432, resolvé los siguientes cálculos: 12 x 18 = 48 x 18 = 24 x 36 = 48 x 36 = 6 x 72 = 240 x 18 = etc.

Para este problema como para los que siguen, como hemos señalado en otras oportunidades, el docente podrá optar por proponer números más pequeños si lo considerase necesario. Por ejemplo: A partir del resultado de 12 x 6 = 72, resolver sin hacer la cuenta: 24 x 6 = 12 x 12 = 12 x 3 = 120 x 6 = 12 x 60 = 12 x 18 = ... Material para el alumno, pág.

Problema 2 A partir de la multiplicación que aparece debajo, ¿es posible saber si las siguientes divisiones van a ser exactas o no? ¿Por qué? 12 x 15 = 180 180 : 12 = 180 : 15= 180 : 5 = 180 : 3 = 180 : 2 = 180: 6 = 180: 9 = 180 : 7= 180: 4 =

Problema 3 Sabiendo que 12 x 24 = 288, proponé la mayor cantidad posible de números que al dividir a 288 den resto cero.

Problema 4

Sin realizar ninguna de las multiplicaciones que se proponen decidí cuáles de las cuentas de la columna de la derecha van a dar el mismo resultado que las de la columna de la izquierda.

a) 24 x 36 1) 20 x 9

b) 18 x 25 2) 10 x 45

c) 12 x 15 3) 27 x 32

d) 18 x 24 4) 40 x 12

e) 30 x 16 5) 27 x 16

Sabemos que este problema es complejo y plantea una nueva dificultad a los alumnos. Se trata de “descomponer” todos los factores de estas multiplicaciones y ver de qué manera es posible “rearmarlos” –incluyendo la posibilidad de combinar entre sí factores de los diferentes números que participan de la misma multiplicación- formando otras multiplicaciones equivalentes. Por ejemplo: 12 x 15 = 4 x 3 x 3 x 5 = 4 x 5 x 3 x 3 = 20 x 9 Si hubiera alumnos que no pudieran hacer nada para iniciar el trabajo, el docente podrá indicarles que piensen en que se podrían descomponer los dos factores de la multiplicación...

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Todos estos problemas de cálculo mental -y otros similares que podrá plantear el docente- apuntan a la reutilización por parte de los niños de las propiedades analizadas en situaciones de cálculo mental. Por ejemplo: conocer el resultado de 12 x 18 a partir del resultado de 24 x 18, implica pensar esta última multiplicación como 2 x 12 x 18, Esta relación pone en juego la propiedad asociativa de la multiplicación estudiada en el primer bimestre. O, también, para el problema 4, pensar que: 24 x 36 = 6 x 4 x 4 x 9 = 2 x 3 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3 = 16 x 27 apela a las propiedades asociativa y conmutativa de la multiplicación. Cada uno de los problemas que aquí se proponen tiene un objetivo específico. Así, por ejemplo, la primera situación vuelve sobre la idea de que un número puede pensarse como “compuesto” por una multiplicación de otros. Por ejemplo, para el caso del 12 x 18, se espera que los niños puedan plantear que como 12 es la mitad de 24 y el otro factor es el mismo que antes, entonces el producto también va a ser la mitad. En el segundo problema, el maestro deberá instalar la idea de que la división da justo si todos los factores del divisor son también factores del dividendo. El tercer problema apunta a identificar que si una división tiene resto cero, también lo tendrá cualquier división por un número que sea factor del mismo dividendo. También tendrá resto cero al dividirlo por cualquier otro número “armado” componiendo factores de los números de la multiplicación de partida. El cuarto problema apunta precisamente a la equivalencia entre diferentes composiciones de los factores de números involucrados en una multiplicación. Es importante aclarar que no se espera que necesariamente los chicos encuentren ellos mismos las estrategias para resolver ni que expresen las relaciones en los términos descriptos por nosotros. El maestro puede enseñar una estrategia posible para poner en juego y dar luego la oportunidad de que los alumnos las pongan en juego para otros factores. En las justificaciones, es importante apelar a las descomposiciones de los factores de la multiplicación inicial para que puedan inferirse de allí las respuestas a los nuevos problemas. Por ejemplo, para establecer que 180 : 5 da resto 0, conviene realizar la siguiente serie de transformaciones: 12 x 15 = 180 entonces 12 x 3 x 5 = 180, entonces 36 x 5 = 180, de donde se infiere que 180 dividido 5 es 36. Es decir, se trata de identificar todos los factores que componen un número y aprovechar esa descomposición para hacer divisiones, sabiendo que la división del número dado por esos factores o por asociaciones de los mismos, va a dar resto 0. Material para el alumno, pág.

Cuestión: ¿Por qué puede decirse que con los mismos números que aparecen en una multiplicación podemos saber dos divisores? Pensá por ejemplo en 12 x 15 = 180 ¿Por qué puede decirse lo mismo de una división? Pensá por ejemplo en 156 : 6 = 26

4. Problemas de recapitulación

Problema 1 A partir de las siguientes cuentas, sin resolverlas, escribí para cada una de ellas, otra que dé el mismo resultado: 24 x 18 = 18 x 25 = 12 x 12 = 18 x 14 = 20 x 30 =

Problema 2

Establecer el resultado de los siguientes cálculos, sabiendo que 24 x 36 = 864 48 x 36 =

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6 x 36 = 24 x 18 = 240 x 36= 864 : 36= 864 : 12= 864: 144= ¿Qué otros cálculos se pueden proponer a partir de los anteriores?

Problema 3

Sabiendo que 56 x 32 = 1792 decidir, sin hacer la cuenta, si los siguientes cocientes tienen resto cero o no: 1792 : 32 = 1792 : 28 = 1792 : 16 = 1792 : 8 = Problema 4

Decidir si son verdaderas las siguientes afirmaciones 7 es divisor de 84 9 es divisor de 101 6 es divisor de 84 4 es divisor de 116 Problema 5 Martín colecciona estampillas y tiene una cantidad tal que si las agrupa de a 8 o de a 6 no le sobra ninguna. ¿Qué cantidad de estampillas puede tener Martín? ¿Hay una única respuesta? Problema 6 Si en la calculadora, después de anotar un número, sólo pudiera multiplicarse por 4 y por 3, ¿cuáles de las siguientes multiplicaciones podrían hacerse y cuáles no? 64 x 12 = 55 x 27 = 93 x 36 = 105 x 25 = 89 x 48 = 11 x 33 = Problema 7 Sabiendo que 12 x 18 = 216 proponé por lo menos 4 números que dividan al 216 y den resto cero.

5. División entera

En el siguiente apartado se propone un trabajo que apunta a que los alumnos profundicen su comprensión sobre la división entera. Los problemas que se plantean fuerzan a poner de relieve las relaciones entre dividendo, divisor, cociente y resto que a veces quedan ocultas cuando los alumnos están muy centrados en encontrar el cociente y el resto de una división. Pensar la división en términos de las relaciones entre sus elementos exige apelar al significado de la operación y poner en juego un nivel mayor de generalidad que el realizar cuentas de dividir para resolver problemas de reparto. Se trata entonces de retomar un concepto ya estudiado y analizarlo ahora desde una perspectiva diferente.

Material para el alumno, p...

Problema 1

Proponé una cuenta de dividir en la que el divisor sea 34, el cociente sea 18 y el resto 12. ¿Cuántas cuentas que cumplen esas condiciones podrías proponer?

La actividad de proponer una cuenta en la que ya están determinados el cociente y el resto es nueva para los alumnos y es probable que a muchos de ellos les resulte “extraña”. El docente deberá asegurarse de que los alumnos comprenden qué se está pidiendo y

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probablemente deba recordar los nombres de los elementos de la división. Podría apelar a un esquema como el siguiente

Dividendo divisor Resto cociente Tal vez muchos alumnos se den cuenta de que haciendo 34 x 18 + 12 se obtiene el dividendo. Si esto no ocurriera y pusieran un dividendo al azar, la intervención del docente podría centrarse en que los alumnos analizaran si el cociente que obtuvieron está lejos o cerca del que tienen que obtener y que ese análisis funcionara como “alimento” para ajustar el ensayo y obtener un dividendo más “cercano” al solicitado. Pedir que los alumnos se expidan respecto de la cantidad de soluciones en este problema tiene dos propósitos: por un lado que comiencen a movilizar algunas relaciones entre los elementos de la división entera, como por ejemplo, “si se suma 1 al dividendo, se suma 1 al resto” y, por otro lado, que se vean obligados a decidir cómo argumentar que la solución es única. Luego de haber establecido que el dividendo es 624 (resultado de 34 x 18 + 12), el docente puede pedir que los alumnos anticipen el cociente y el resto de cuentas “cercanas” sin que los alumnos apelen a la realización efectiva de la cuenta: ¿Cuál será el cociente y el resto de dividir 625 dividido 34? ¿Cuánto habrá que sumarle a 624 para que al ser dividido por 34 se obtenga 19 como cociente y 0 como resto? ¿Cuánto habrá que sumarle a 624 para que al ser dividido por 34 se obtenga 19 como cociente y 12 como resto? A partir del análisis colectivo de las respuestas a estas preguntas, se pueden esbozar algunas conclusiones que se pondrán a prueba en otros ejemplos: Hallar cociente y resto de dividir 567 por 25. A partir de la cuenta anterior establecer cuál será el dividendo para que el cociente sea 22 y el resto 0. ¿Cuánto habrá que sumarle a 567 para que el cociente sea 22 y el resto 20? ¿Y para que el cociente sea 23 y el resto 0? Los ejercicios anteriores podrán llevar a la producción de algunas conclusiones que los alumnos anotarán en sus carpetas: Si en una cuenta de dividir se suma uno al dividendo, el cociente no cambia y el resto aumenta 1, siempre que el resto original no sea uno menos que el divisor. Si en una cuenta de dividir el resto es uno menos que el divisor, al sumar uno al dividendo, el cociente aumenta 1 y el resto es 0. Si se suma al dividendo el divisor, el cociente aumenta 1 y el resto queda igual. El análisis de estas relaciones da lugar a que se estudie la variación de unos elementos en función de la variación de otros, lo cual exige a los alumnos apelar al significado de la división entera para anticipar resultados. Como el docente ya sabe, ése es un aspecto central de esta propuesta. Material para el alumno, p.... Problema 2

Supongamos que tenés que hacer la siguiente cuenta 587 dividido 41 y podés usar la calculadora. Si la hacés verás que da con coma. Sin embargo, imaginate que estás interesado en el cociente y el resto de la división entera de 587 dividido 41. ¿Cómo usarías la calculadora en ese caso?

Los alumnos deberán darse cuenta de que la parte entera del resultado que muestra el visor, es el cociente entero. Luego tendrán que usar la relación: Dividendo = divisor x cociente +

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resto, para calcular el resto. Para ello, o bien multiplican el cociente por el divisor y calculan cuánto falta para llegar al dividendo o bien restan al dividendo el producto del cociente por el divisor. Podría ocurrir también que algunos alumnos multipliquen la parte decimal por el divisor, pero, en la medida en que no han realizado aún un tratamiento exhaustivo con los números decimales, no es muy probable que propongan esta estrategia. Material para el alumno, p....

Problema 3

Sin hacer la cuenta, averiguá cuál será el resto al dividir por 5 el resultado de los siguientes cálculos 3: 34 x 5 = 34 x 5 + 1 = 34 x 5 + 5 = 34 x 5 + 10 = 34 x 5 + 11 = 34 x 5 + 15 = 34 x 5 + 17 =

Retomando lo tratado en los apartados anteriores, se establecerá que ya estamos en condiciones de afirmar que 34 x 5 es múltiplo de 5, por lo tanto 5 es divisor del resultado de 34 x 5. Desde este punto de partida, se analizará que, si a un múltiplo de 5 se le suma 1, el resultado no puede ser nunca múltiplo de 5 y que ese 1 “sobra” en la división por 5. Para el tercer caso, se discutirá que, al sumar 5 a un múltiplo de 5, se obtiene otro múltiplo de 5. Para el cálculo 34 x 5 + 11, es probable que muchos alumnos propongan que el resto de la división por 5 de ese cálculo es 11. Si esto ocurriera, se podría proponer a los alumnos que realicen la división, que obtengan el resto y que comparen su anticipación con lo obtenido y traten de explicar por qué. Es decir, la realización de la cuenta en este caso funcionaría como punto de apoyo para analizar cómo se determina el resto sin hacer la cuenta. Este análisis será reinvertido en los cálculos posteriores. En términos más formales, se podría escribir, por ejemplo para 34 x 5 + 11 = 34 x 5 + 2 x 5 + 1 , donde los dos primeros términos son múltiplos de 5, por lo tanto 1 indica el resto. Será importante discutir que, en una división entera, el resto no puede ser mayor que el cociente: en este caso, no puede ser mayor que 5. 6. Relación “ser divisible por”

Material para el alumno, pág.

Se dice que un número es divisible por otro número cuando es múltiplo de ese número. Por ejemplo: 72 es divisible por 2; por 3; por 4; por 6, por 12; por 36. Por supuesto, también es divisible por 1 y por 72. Problema 1 a) Buscá más ejemplos de números divisibles por otros. b) En la frase anterior dice “Por supuesto, también es ......”. ¿Por qué dirá “Por supuesto”? ¿Cualquier número es divisible por 1? ¿Y por sí mismo? c) ¿Qué relación podés señalar entre “ser divisible por” y “ser divisor de”? (En ..., página ...., encontrarás las definiciones de múltiplo y divisor analizadas. También podés buscar dónde las habías anotado en tu carpeta)

3 A partir de un trabajo elaborado por Daniela Di Marco y Mabel Maccario en el marco del Postítulo sobre

“Especialización superior en la enseñanza de la matemática para el Nivel Primario (I y II Ciclo)”, Escuela de Capacitación Docente Cepa, Secretaría de Educación del Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, marzo de 2004.

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En un momento colectivo, después de presentar la definición y de una instancia de trabajo individual a cargo de los alumnos, el docente deberá conducir al grupo a establecer que: - un número es divisible por sus divisores; esto es, decir que un número es divisible por

otro es lo mismo que decir que este otro es divisor del primero; o también - que un número es divisible por otro equivale a decir que es múltiplo de éste. Buscamos entonces llegar a analizar cómo la relación “ser divisible por” puede definirse apelando a la división o a la multiplicación. Nuevamente, nos encontramos con diferentes maneras de referirnos a un mismo objeto que, en este caso, nos permite ahondar en las relaciones entre multiplicación y división. Material para el alumno, p. Problema 2

a) Sabemos que 12 es divisible por 4. ¿Se puede saber sin hacer la cuenta si el triple de 12 será divisible por 4? b) ¿Será cierto que multiplicando a 12 por cualquier número se obtiene un número divisible por 4?

Este problema incluye en su enunciado una referencia a un número genérico “...multiplicando a 12 por cualquier número”. Por ello, si bien los alumnos explorarán la relación por la cual se pregunta a través de ejemplos, la conclusión no puede extraerse de manera directa a partir de ellos. Aunque en la resolución del primer ítem los alumnos hayan apelado a hacer efectivamente las cuentas, el segundo intenta generalizar la relación refiriendo a todos los múltiplos de 12. En matemática, la verificación de una propiedad en algunos ejemplos no autoriza a afirmar que esa propiedad se cumple para todo los casos (infinitos para este problema). Se promoverá la producción de argumentos en los que se habla de los números de manera genérica. Por ejemplo, 12 es divisible por 4, si a 12 lo multiplicamos por un número cualquiera, es lo mismo que hacer 4 por 3 por ese número cualquiera y entonces el resultado es múltiplo de 4. Para aclarar la posición que se sostiene desde esta propuesta: es posible – y deseable- que los alumnos exploren la relación a través de ejemplos, pero es importante tener claro que al promover la producción de argumentos generales, se pone a los alumnos en la ruta de analizar los ejemplos en busca de aquello que tienen en común y que se puede formular de manera general. Es importante que el maestro tenga presente esto para evitar que la puesta en común se reduzca o se centre en mostrar que en los ejemplos con los cuales probaron la relación se cumple sino en llevar a los alumnos a ahondar en la búsqueda de las razones por las cuales esto sucede y por las cuales se puede saber seguro –anticipar sin hacer las cuentas- que siempre va a ser así. A través de esta discusión, se hará notar al conjunto de la clase que, a partir de la descomposición multiplicativa de 12, es posible saber que siempre un número multiplicado por 12 será múltiplo de 4. Esto es, 12 x .... = 4 x 3 x .... Desde el análisis de esta escritura, es posible establecer que cualquier número que tenga esa forma será divisible por 4. Aquí, el maestro podrá remitir a la actividad en la cual descomponían un número o asociaban factores para poder multiplicar (ver Problema 1, pág...., ó Problema 2, páginas....) así como también a la definiciones de múltiplo y divisor (páginas ....). El objetivo es recorrer de diversas maneras que, si un número puede escribirse como una multiplicación, es múltiplo de cada uno de esos factores y de sus diferentes asociaciones posibles. O, lo que es lo mismo, si un número puede expresarse como un producto de varios factores, entonces éstos son divisores de dicho número. En el problema que sigue se persigue extender estas relaciones a números mayores. Material para el alumno, p....

Problema 3 Sabemos que 148 es divisible por 37. ¿Es posible saber sin hacer la cuenta si el triple de 148 va a ser divisible por 37?

Esperamos que los alumnos puedan apelar a la descomposición multiplicativa analizada para el problema anterior o establecer relaciones del siguiente tipo: si un número está contenido en 148 una cantidad de veces, también lo está en el triple de 148 porque puedo pensarlo como 148 + 148 + 148. También se podría pensar que, con cada 148 se puede formar exactamente una cantidad de paquetes de 37 de algo...

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El problema 4 generaliza esta relación a cualquier múltiplo de 148. Material para el alumno, p....

Problema 4

Sabemos que un número es divisor de 148, ¿ese número será divisor de 148 x 72?

Este problema añade la complejidad de estar formulado en términos de divisores y no de “ser divisible por” como el anterior. Requiere entonces poner en juego las relaciones entre ambas definiciones ya trabajadas. Tras su resolución, la puesta en común se dedicará a retomar las reflexiones precedentes para llegar a concluir y anotar en las carpetas que: - si se suman múltiplos de un número, se obtiene un múltiplo de ese número; y - si se multiplica un múltiplo de un número a por otro número cualquiera, se obtiene un

múltiplo de a. El problema que sigue extiende la relación de divisibilidad a las diferentes combinaciones de factores de un número. Material para el alumno, p.... Problema 5

Sabemos que 12 x 35 = 420 ¿Podemos decir, sin hacer la cuenta si 420, será múltiplo de cada uno de los números indicados a continuación? Para cada caso, decidí cómo es posible estar seguro. 12 35 3 4 8 5 7 2 6 10 20 30 50 100 42 21 b) De a dos, piensen y anoten cuáles son las condiciones para que un número sea divisor de 420. c) Fíjense si la conclusión a la que llegaron les sirve para darse cuenta si 420 es divisible por los siguientes números. Si no les sirve, traten de modificar lo que escribieron para que sí funcione. 9 14 28 70 80 140 60 40 210 d) A partir de lo analizado en este problema 5, ahora trabajando en forma individual, anotá la mayor cantidad de divisores de 540 que encuentres, sabiendo que 36 x 15 = 540

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Después de la resolución de los ítems a) y b) a cargo de los alumnos, se analizará con toda la clase que los divisores hallados son factores de 420. En otros términos, es posible realizar una descomposición multiplicativa de 420 que contenga a ese número como factor. Es muy probable que los alumnos identifiquen, a partir de la definición de múltiplo –y divisor- presentada inicialmente (p....), que los factores de 12 y 35 serán divisores de 420. Aquí, avanzaremos sobre la posibilidad de considerar que las asociaciones de factores de 12 y de 35 entre sí, también permiten hallar divisores de 420. Por ejemplo, a partir de saber que 3 es divisor de 12 y 7 es divisor de 35, es posible saber que 21 será divisor de 420 porque podríamos descomponer a 420 en una multiplicación que contenga a 21 como factor. Una escritura posible para esta relación (que también vale para probar que 20 es divisor) sería: 12 x 35 = 420 3 x 4 x 7 x 5 = 420 3 x 7 x 4 x 5 = 420 21 x 20 = 420 A propósito del análisis de estas relaciones y escrituras, será interesante recordar lo trabajado sobre las propiedades asociativa y conmutativa para la multiplicación (I Bimestre, p....) Luego, se propondrá a los alumnos reutilizar lo analizado trabajando sobre el ítem c). Si aquí no apareciera ninguna dificultad, se avanzará sobre el ítem d) que apunta a generalizar estas relaciones a otros números. Después de la resolución de a dos, colectivamente podrá controlarse cuáles son los divisores hallados pidiendo siempre que muestren cómo es posible saber seguro, sin hacer la cuenta, que cada uno de los números propuestos será divisor de 540. También se controlará si pudo utilizarse la regla construida sobre la actividad precedente. Si el docente considerase necesario trabajar estas relaciones sobre nuevos números, podrá proponerles la misma tarea sobre otros ejemplos. Algunos posibles son: 18 x 20 = 360 16 x 45 = 720 15 x 72 = 1080 25 x 48 = 1200

Problema 6

Presentamos una serie de actividades y juegos que apuntan a la búsqueda de divisores. Entre estas sugerencias, el docente deberá seleccionar cuáles abordar en función de su grupo y del tiempo disponible. a) Lotería de divisores

Materiales: Un equipo de tarjetas (un equipo por alumno). Estas tarjetas se reproducirán en el material del alumno para que las tengan disponibles. Fichas con los siguientes números como divisores y un sobre para guardarlas (un juego para toda la clase). Fichas: [nota a edición: son fichas pequeñas y cuadradas, a modo de “bolillas” de la lotería] 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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12 14 15 16 18 20 21 24 25 27 32 36 40 42 45 48 50 60 63 64 75 80 96 108 120 126 135 150 160 180 189 225 240 Material para el alumno, p....

Problema 6

Lotería de divisores

[Nota a edición. Tarjetas con espacio para anotar 5 números y para hacer anotaciones para explorar los divisores, reproducir todas en el material para el alumno] Tu maestro o maestra te señalará una de estas tarjetas con la que vas a jugar. El o ella van a ir sacando y “cantando” números que sacan de una bolsa y vos tenés que anotar los números “cantados” que sean divisores del producto que te tocó en tu tarjeta. Gana el primero de la clase en completar 5 divisores.

12 x 45 = 540

8 x 30 = 240 32 x 15 =480

16 x 20 = 320

15 x 30 = 450 21 x 18 = 378

El maestro señala a cada alumno la tarjeta con la cual trabajará. Extrae una ficha del sobre, lee el número a toda la clase y lo anota en el pizarrón. Los alumnos que tengan un número múltiplo del número “cantado” por el maestro podrán anotarlo en sus tarjetas. Se extrae otra

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ficha y se continúa de este modo. Gana el primero que haya completado 5 divisores ( en realidad será decisión del docente la cantidad de números que hacen que el cartón quede completo) para el número que le corresponda. Las fichas deberán ser extraídas y leídas con cierta velocidad para que los alumnos deban anticipar rápidamente si un número es o no divisor del que tienen. No se puede hacer la división pero se pueden realizar anotaciones que les permitan saber si el número es uno de los divisores buscados. Después de haber jugado un par de veces, se organizará una discusión colectiva destinada a “aprender a jugar mejor” y analizar cómo es posible darse cuenta rápido si un número es divisor de otro. Aquí se espera que puedan ponerse de relieve y anotar diferentes relaciones entre múltiplos y divisores, diferentes descomposiciones y asociaciones entre sus factores y cómo es posible “ir de unas a otras” para determinar divisores. Por ejemplo, para 21 x 18 = 378, establecer que: 14 es divisor porque 2 es divisor y 7 también, entonces puedo descomponer el 378 de forma que me quede una multiplicación por 14: 378 = 21 x 18 = 3 x 7 x 2 x 9 = 3 x 9 x 7 x 2 = 27 x 14 En esa escritura también se puede ver que 378 será divisible, entre otros divisores, por 27. También podemos saber que 378 será divisible por 42, porque en el 18 se puede encontrar un factor 2 que, multiplicado por 21, forma el factor 42. 378 = 21 x 18 = 21 x 2 x 9 = 42 x 9 En otros términos, el 42 entra una cantidad exacta de veces (9) en el 378. También se podría llegar por otra vía a la conclusión de que 42 es divisor de 378: ya se demostró que 14 es divisor; se puede hallar en el 18 un factor 3 que permita convertir el 14 en 42... Con esto queremos decir –y mostrar a los alumnos- que es posible apelar a diferentes descomposiciones y asociaciones para establecer si un número es o no divisor de otro dado, del cual se conoce alguna descomposición multiplicativa. Se podría también preguntar qué sucedería si saliera el 1, para recuperar una discusión ya dada en el momento en que se estudió la relación “ser divisible por”: todos los números son divisibles por 1 y por sí mismos. b) Búsqueda de un número y sus divisores

Para este segundo juego, los alumnos se organizan en equipos de a cuatro, jugando de a dos pares de alumnos asociados entre sí. En un primer momento, cada par de alumnos busca y anota en un papel una multiplicación con su resultado. Luego, los dos pares de alumnos de cada grupo se intercambian las multiplicaciones anotadas. En un segundo momento, buscan divisores para el producto que propusieron sus compañeros “socios”. Gana el equipo que haya encontrado la mayor cantidad de divisores para cada uno de los dos números con los que trabajaron. Este juego, a diferencia del anterior, agrega la complejidad de buscar el número cuyos factores se determinarán. De esta manera, se exige tratar de anticipar un número con la mayor cantidad de factores posibles. Una primera ronda de análisis colectivo, después de haber jugado una vez, podría recaer en el control de los divisores hallados, guiando una reflexión similar a la propuesta para el juego anterior. Después de jugar una segunda ronda, se les puede proponer que piensen “claves” para buscar buenas multiplicaciones para este juego, confrontando luego entre todos los equipos las reglas enunciadas. Éstas podrán ser puestas a prueba en una nueva ronda de juego. Material para el alumno, p....

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Para revisar lo que hicimos

Cuestión Revisá en el cuadernillo y en tu carpeta lo que trabajamos sobre divisibilidad hasta ahora y hacé una lista de las cosas que aprendiste.

Los alumnos podrán organizar esa lista trabajando de a dos o de a cuatro. Luego, se organizará una lista colectiva. Allí se podrán completar los temas incluidos en las primeras listas con temas que unos grupos identificaron y otros no; o acordar acerca de un mismo tema que ha sido referido de manera diferente por distintos grupos. Además, el docente podrá ayudar a identificar temas que no fueron relevados por los alumnos. Una vez elaborada la lista colectiva, y copiada en las carpetas, los alumnos podrán indicar cuáles son los temas que ya tienen “bien” aprendidos y les resultan más fáciles y cuáles les resultan más difíciles y sobre los cuales deberían seguir trabajando. A propósito de ellos, el docente podrá indicar a cada uno, según las necesidades particulares, problemas relacionados que se encuentren en el apartado de Problemas de Recapitulación (páginas ....) A partir del trabajo sobre descomposición en factores, se podrá introducir y comentar la definición de números primos. Material para el alumno, p....

[ A edición: Recuadrito de información] Te presentamos dos definiciones de número primo: Un número natural es primo si tiene exactamente dos divisores Un número natural es primo si es divisible sólo por sí mismo y por 1. Un número natural distinto de cero es compuesto si tiene más de dos divisores. Los números 0 y 1 no son ni primos ni compuestos: 1 sólo es divisible por 1. 0 es divisible por todos los números.

Cuestión ¿Por qué te parece que la primera definición no aclara cuáles son esos dos divisores?

Material para el alumno, p....

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor

Problema 1 Para ayudar en su casa Federico va a la verdulería cada 4 días a las 9 hs. y su amiga Teresa va cada 6 días a la misma hora. Si hoy se encontraron, ¿dentro de cuántos días será el próximo encuentro? Problema 2 Dos letreros luminosos se encienden intermitentemente uno cada 24 segundos y otro cada 15 segundos. Si fueron puestos en funcionamiento los dos al mismo tiempo, ¿después de cuánto tiempo volverán a encenderse juntos?

En la puesta en común, se identificará que los momentos en que coinciden Federico y Teresa en la verdulería o el encendido de los carteles luminosos son múltiplos de 4 y 6 para un problema y de 24 y 15 para el segundo. Es decir, son múltiplos comunes a esas cantidades. Esta situación se podrá relacionar con el problema 1 de la unidad, con la partición de las tortas donde se buscaba un número de porciones múltiplo de los números posibles de invitados, es decir un número que contuviera una cantidad exacta de veces a las diferentes cantidades posibles de invitados. A su vez, se identificará que, a diferencia de aquel primer problema, aquí no se pide sólo un múltiplo común, sino el menor posible, introduciendo la definición de mínimo común múltiplo. Material para el alumno, p....

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[Recuadro de información] El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes.

El docente podrá proponer algunos números para que los alumnos intenten hallar el menor de los múltiplos comunes como, por ejemplo: 4 y 7; 14 y 8; etcétera. A su vez, mostrará aquí el procedimiento basado en la descomposición de factores primos. Para ello remitirá a los problemas en los cuales los alumnos descomponían los números que intervenían en una multiplicación hasta llegar a divisores de esos números que no se pudieran seguir descomponiendo. Así, por ejemplo, para 14 y 18, tenemos las siguientes descomposiciones 14= 2 x 7 18= 3 x 3 x 2 mcm (14,18) = 3 x 3 x 7 x 2 =126 (Se lee mínimo común múltiplo de 14 y 18) Se mostrará este procedimiento a los alumnos tratando de desentrañar su funcionamiento: al incluir en la composición multiplicativa para hallar el mcm a los factores comunes y no comunes, y con la mayor cantidad de veces que aparezcan en un mismo número, queda asegurado que, el mcm podrá descomponerse en multiplicaciones que involucren a cada uno de esos números por otro número. Para nuestro ejemplo anterior: 126 = 14 x ..... (porque en el cálculo para hallar el mcm se incluyeron 2 y 7, los factores primos de 14) 126 = 18 x .... (porque en el cálculo para hallar el mcm se incluyeron 3 x 3 x 2, los factores primos de 18) Por otra parte, también queda asegurado que es el múltiplo común menor porque sólo incluye a los factores –y la menor cantidad de veces posible- necesarios para “armar” esos dos números. Se anotará el procedimiento en las carpetas Los alumnos podrán probar con algunos ejemplos, tales como hallar el mcm de: a) 24; 36 y 48 b) 30, 45 c) 40; 50 y 60 d) 10; 100; 1000 Material para el alumno, p.... Problema 3

Para adornar las mesas de un salón de fiestas se compraron:

36 rosas 48 jazmines 60 claveles

Se quieren armar ramos iguales para las mesas y que cada ramo tenga rosas, jazmines y claveles. ¿Cuál es la mayor cantidad de ramos que se podrían armar? ¿Cómo estará compuesto cada ramo?

Seguramente los niños buscarán de manera artesanal cómo componer los ramos pero, una vez establecido cómo armarlos, se identificará la función que cumple para esta tarea hallar un divisor común y, en particular, el máximo común divisor. Efectivamente, si se busca un divisor común de 36, 48 y 60, se pueden armar tantos ramos como la cantidad indicada en ese divisor común. Así, por ejemplo, como 6 es divisor común de 36, de 48 y de 60, se pueden armar 6 ramos con 6 rosas (36 = 6 x 6) , 8 jazmines (48 = 6 x 8) y 10 claveles (60 = 6 x 10). Como 12 es el máximo común divisor, se pueden armar 12 ramos con 3 rosas (36 = 12 x 3), 4 jazmines (48 = 12 x 4) y 5 claveles (60 = 12 x 5). A partir de este problema se puede introducir el concepto de máximo común divisor. Material para el alumno, p....

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[recuadro de información] El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes.

Del mismo modo que para el mínimo común múltiplo, el docente podrá proponer algunos números para que los alumnos intenten hallar divisores comunes y el máximo de ellos como, por ejemplo: 24 y 64; 35 y 75; etcétera y explicar el procedimiento basado en la descomposición de factores primos. Por ejemplo, para 30 y 45 30 = 2 x 15 = 2 x 3 x 5 45 = 3 x 15 = 3 x 3 x 5 mcd (30, 45) = 3 x 5 Al estar compuesto por los factores comunes, nos aseguramos de que el número será divisor de 24 y de 48, porque puede descomponerse en una multiplicación que incluya sólo factores de ese número, así 15 es divisor a la vez de 30 y de 45 porque: 30 = 2 x 15 45 = 3 x 15 Por otro lado, como en la multiplicación para hallar el mcd aparecen todos los factores comunes, nos aseguramos a la vez que ese divisor común será el mayor posible. El docente podrá recalcar que este procedimiento, basado en la descomposición en factores primos, es una manera de hallar el mcm y el mcd pero no necesariamente la única. De hecho, para el ejemplo anterior, al analizar la primera descomposición (30 = 2 x 15 y 45 = 3 x 15) podía advertirse que 15 era divisor de ambos y que no había otro divisor común mayor. En el problemas que siguen se reutilizarán los conocimientos sobre divisores comunes que los alumnos están comenzando a construir. Material para el alumno, p....

a) Marcelo colecciona estampillas. Ya reunió 40 nacionales y 24 extranjeras. Hoy va a acomodarlas en un

álbum y decidió que en cada página va a haber nacionales y extranjeras pero no necesariamente la misma cantidad. La composición de nacionales y extranjeras es la misma en todas las páginas. No le deben quedar estampillas sin pegar ¿Cuántas páginas conviene que tenga el álbum? ¿Cuántas estampillas de cada tipo debe tener el álbum en cada hoja? ¿Hay única posibilidad? ¿Cuál es la mayor cantidad de páginas que se podría armar?

¿Y si hubieran sido 45 nacionales y 15 extranjeras?

8. Criterios de divisibilidad

Para abordar este contenido, el docente decidirá, en función de los tiempos disponibles en su proyecto didáctico, si elige una presentación más directa de los criterios de divisibilidad para hacerlos luego utilizar en problemas por los alumnos, o si puede desarrollar un trabajo más constructivo de estas reglas. Por supuesto, de ser posible, nos inclinaríamos por esta segunda opción, dadas las posibilidades que brinda de profundizar en las relaciones numéricas y vinculadas a la multiplicación y división, así como también a la comprensión misma de las razones que hacen al funcionamiento de los criterios en juego. Sin embargo, sabemos que este desarrollo puede no ser posible en toda su extensión y profundidad dados los tiempos con los que contamos. En ese caso, sería más peligroso “podar” del proyecto de enseñanza éste u otros contenidos que consideramos centrales para el desempeño futuro de estos alumnos. Por eso, para algunos de ellos, optamos -antes que su exclusión- por una “solución de compromiso” consistente en una presentación más directa pero que se ocupe de

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tejer algunas relaciones que faciliten su comprensión4. Más adelante, figura un Anexo con orientaciones para quienes puedan dar lugar a un desarrollo más extenso y denso de elaboración de los criterios de divisibilidad. Para comenzar, el docente explicará a sus alumnos que, para algunos números, existen maneras de darse cuenta rápidamente, sin hacer la cuenta, si un número es divisible por otro, y en esta parte del trabajo de divisibilidad vamos a proponerles aprender y reflexionar sobre esas reglas. Aludiendo al título de este apartado, se les explicará –y quedará anotado en las carpetas- qué es un criterio: una condición que nos permite saber algo sobre el número o los números que estamos analizando. En este caso, como se trata de criterios de divisibilidad, serán condiciones para saber cuándo un número es divisible por un número determinado, sin tener que apelar a la cuenta. Material para el alumno, p.... Criterios de divisibilidad Divisibilidad por 10; 100, 1000; etcétera

Un número es divisible por 10 si su última cifra es 0 Un número es divisible por 100 si sus dos últimas cifras son 0 Un número es divisible por 1000 si sus tres últimas cifras son 0

Divisibilidad por 5 Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2 cuando termina en 0, 2, 4, 6 u 8.

(Recuadro de información) Un número es par si es múltiplo de 2. O sea, un número par puede escribirse como 2 x ... Un número es impar si no es múltiplo de 2. O sea, un número impar puede escribirse como 2 x ... + 1

Divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4 si el número formado por sus dos últimas cifras es múltiplo de 4. Divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3 si la suma de sus cifras es divisible por 3 Divisibilidad por 9 Un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9. El docente irá leyendo las reglas con sus alumnos preguntando y retomando sus razones en el caso en que se conozcan, como sucede para la división por la unidad seguida de ceros o explicándolas en el caso en que no tengan el mismo trabajo previo. Luego podrán ponerlo en práctica buscando números que sean o no divisibles por el número analizado o, también, dada una lista de números, decidir si será divisible por el número analizado o no; o por cuáles números serán divisibles, etc. No estamos pensando en que se aborden todos los criterios simultáneamente en una clase. El maestro decidirá cómo recortar esta tarea y distribuir esta tarea en el tiempo de sus clases. Para el primer criterio, se recuperará todo el trabajo sobre la división por potencias de la base trabajada a propósito del sistema de numeración. La divisibilidad por 5 podrá retomarse a propósito de la divisibilidad por 10. En esta discusión se podrá explicitar que los múltiplos de 5 van de 5 en 5; cada dos múltiplos de 5 se “encuentra” un múltiplo de 10, por lo tanto los números terminados en 0 son múltiplos de 5. Otra manera de pensar esto es establecer que los múltiplos

4 Esta decisión se encuentra absolutamente contextualizada a grupos particulares, de un ciclo lectivo particular,

de ningún modo estamos proponiendo que se generalice.

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de 10 son también múltiplos de 5 porque 10 = 2 x 5 y entonces un número que se puede escribir bajo la forma ... x 10 también se puede escribir bajo la forma ... x 2 x 5. Se podrá recordar los análisis realizados sobre la tabla pitagórica el año anterior, cuando se explicitó que los números de la tabla del 10 eran el doble de los de la del cinco, porque 10 era el doble que 5, entonces hacer 10 veces algo era el doble que hacerlo 5 veces... Además de los números terminados en 0, están los terminados en 5, son los que tienen resto 5 al dividirlos por 10, entonces son divisibles por 5: ... x 10 + 5 = ... x 2 x 5 + 5. Aquí se remitirá al trabajo sobre división entera desarrollado previamente.

En la discusión sobre el criterio de divisibilidad por 2 se deberá explicitar por qué basta con considerar sólo la última cifra, qué es lo que sucede con el resto del número. Hasta la cifra de las decenas, tenemos que se trata de un número divisible por 10, por lo tanto también divisible por 2. Por ello, sólo hay que analizar si la otra parte del número –las unidades- también lo es. Aquí, el docente podrá introducir las definiciones de números pares e impares. Con respecto al criterio de divisibilidad por 4, se explicará que como un número “redondo”

de centenas es múltiplo de 4 –porque 100 lo es-, es suficiente analizar las dos últimas cifras y, para ello, cuentan con las relaciones que pueden realizar con múltiplos de 4 conocidos. El docente podrá ofrecer una escritura aritmética para esta condición. Por ejemplo: 512 = 5 x 100 + 12 = = 5 x 100 + 4 x 3 = = 5 x 4 x 25 + 4 x 3 Vemos entonces que 512 es múltiplo de 4 porque puede descomponerse en una suma de múltiplos de 4. En cambio, 1007 no es divisible por 4 porque no puede descomponerse en una suma de números divisibles por 4: 1007 = 10 x 100 + 7 = 10 x 4 x 25 + 4 x 1 + 3 El docente deberá presentar las razones que hacen al funcionamiento del criterio de divisibilidad por 3. A continuación, ofrecemos una explicación posible.

En primer lugar, se puede leer el criterio: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es divisible por 3. Luego se podrá explicar por qué funciona este criterio. Por ejemplo, para 324, mostrar que es posible descomponerlo en potencias de la base del siguiente modo: 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 4 A su vez, a cada una de esos 10 ó 100 es posible restarle 1 para convertirlos en múltiplos de 3 menos 1. 99 + 99 + 99 + 9 + 9 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 Se sabe que los números de la primera línea son divisibles por 3 porque 99 = 3 x 33 y 9= 3 x 3. De la primera parte (“múltiplos de 3”), entonces podemos estar seguros de que será múltiplo de 3. Luego, ¿cuántos unos sobran? La misma cantidad que señalan las cifras del número aisladas, porque éstas indican cuántas veces se restó 1 a cada una de las potencias de la base en las cuales se descompuso el número. En síntesis, se suman las cifras porque indican los restos al dividir por 3 cada una de las potencias de la base en las cuales se descompuso el número, y se comprueba si esa parte del número también es divisible por 3 o no. El criterio de divisibilidad por 9 se apoya en las mismas relaciones que el criterio de divisibilidad por 3: como el número puede descomponerse en una suma de múltiplos de 9 más 1, esos unos sumados equivalen a la suma de las cifras; es decir, las cifras indican los restos al dividir por 9 cada uno de las potencias de la base por ellas indicadas. Si el docente lo considerase, podrá explicarlo o a sus alumnos. Así, por ejemplo, 243 puede descomponerse como: 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 99 + 1 + 99 + 1 + 9 + 1 + 9 + 1 + 9 + 1 + 9 + 1 +3. Como 99 y 9 ya sabemos que son múltiplos de 9, sólo queda por analizar si esos “unos” forman un múltiplo de 9 o no.

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ANEXO

Material para el alumno, p....

Durante el año pasado y durante este año, realizaste muchas multiplicaciones y divisiones por 10, 100, 1000 etc. Viste que estos cálculos eran muy sencillos con nuestros números. A partir de eso que ya sabés, ¿podrías decir una regla que permita para todos los casos saber sin hacer la cuenta de dividir si un número - será divisible por 10? - por 100? - por 1000? Para hacerlo podés revisar en el cuadernillo del Primer Bimestre las actividades sobre Sistema de Numeración de las páginas 19 y 20 y sobre la división por 10 y por 100 en las páginas 24 y 25. ¿Cómo podés estar seguro de que la regla que enunciaste será válida par cualquier número?

El análisis colectivo posterior a la resolución se centrará en la justificación del criterio de divisibilidad por la unidad seguida de ceros apoyándose en la descomposición multiplicativa de los números: un número terminado en cero puede expresarse como ... x 10, un número terminado en dos ceros puede expresarse como .... x 100, etc. En la discusión, también podrán detenerse a observar que, para este caso, también es muy sencillo advertir el resto de la división, que corresponde, en la división por 10, a la última cifra, en la división por 100, a las dos últimas, etc. Al respecto, se enlazará esta reflexión con lo trabajado sobre división entera, qué significa cada número en dicha expresión y cómo esa información está contenida en los números dadas las características de nuestro sistema de numeración: 158 : 10 = 15 x 10 + 8. También será interesante remitir al recuadro de información sobre sistema de numeración en el primer bimestre (Material para el alumno, páginas 24 y 25):

Un número de tres cifras puede expresarse como las dos primeras cifras por 10 más la última. Por ejemplo 586 = 58 x 10 + 6; 705 = 70 x 10 + 5; 430 = 43 x 10; 300 = 30 x 10.

¿Cómo se transforma la regla anterior si el número tiene más de tres cifras? ¿Y si es de dos cifras? Un número de cuatro cifras puede expresarse como: - las tres primeras cifras por 10 más la última. Por ejemplo, 5462 = 546 x 10 + 2; - las dos primeras cifras por 100 más las dos últimas. Por ejemplo 5462 = 54 x 100 + 62 - la primera cifra por 1000 más las tres últimas. Por ejemplo 5462 = 5 x 1000 + 462. O, también, la primera por 1000, la segunda por 100, la tercera por 10 más la última: 5462 = 5 x 1000 + 4 x 100 + 6 x 10 + 2.

Material para el alumno, p....

b) ¿Podrían ahora tratar de enunciar una regla que permita saber, para cualquier número y sin hacer la cuenta, si será divisible por 5? ¿Cómo podemos estar seguros de que la regla que formularon servirá para cualquier número?

Una discusión con toda la clase permitirá confrontar los criterios enunciados por los alumnos en su trabajo autónomo previo sobre el ítem b. Esta discusión se dedicará a explicitar que los múltiplos de 5 van de 5 en 5, por lo tanto terminan en 5 o en 0. Los terminados en 0 son divisibles por 5 porque son divisibles por 10 y 10 = 2x 5. Por lo tanto, si ese número se puede escribir bajo la forma ... x 10 también se puede escribir bajo la forma ... x 2 x 5. Además de los números terminados en 0, están los terminados en 5, son los que tienen resto 5 al dividirlos por 10, entonces son divisibles por 5.

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... x 10 + 5 = ... x 2 x 5 + 5 Aquí se remitirá al trabajo sobre división entera desarrollado previamente y, en particular, a la actividad 4 (chequear e incluir bien la página), en la cual se trataba de determinar restos al dividir por 5. Material para el alumno, p....

c) ¿Podrían ahora tratar de enunciar una regla que permita saber, para cualquier número y sin hacer la cuenta, si será divisible por 2? ¿Cómo podemos estar seguros de que la regla que formularon servirá para cualquier número?

La puesta en común confrontará los diferentes enunciados y sus justificaciones. De una u otra manera, se espera que los alumnos lleguen a explicitar que para los números “redondos” se puede estar seguros de que serán divisibles por 2 porque son divisibles por 10: si pueden expresarse como .... x 10, también pueden expresarse bajo la forma ..... x 5 x 2. Por ello, hay que fijarse en las unidades porque la otra parte del número ya sabemos que es divisible por 2. En términos de la escritura para la división entera: ..... x 5 x 2 + .... Se trata entonces de ver si ese resto será divisible por 2, o si puede expresarse también en términos de “2 por algo”. Aquí, el docente podrá introducir las definiciones de números pares e impares: Material para el alumno, p....

(Recuadro de información) Un número es par si es múltiplo de 2. O sea, un número par puede escribirse como 2 x ... Un número es impar si no es múltiplo de 2. O sea, un número impar puede escribirse como 2 x ... + 1

El maestro explicará estas definiciones y preguntará por qué los impares pueden expresarse como “2 por algo más 1”, ¿qué sucede si fuera más 2?, ¿y si fuera más 3?, ¿más 4? Si fuera “más dos”, se agregan otros dos, con lo cual también puede expresarse como “dos por algo”. Si fuera “más tres”, se agrega otro grupo de dos y uno más, con lo cual también puede expresarse como “2 por algo más 1” y así... Entonces, estas dos posibilidades cubren a todos los números. En el problema d) los niños tendrán ocasión de utilizar las relaciones recién introducidas. Material para el alumno, p....

d) Para cada una de las siguientes afirmaciones, decidí si es Verdadera o Falsa y explicá cómo lo pensaste: 1. Todos los números pares son divisibles por 2 2. La suma de dos números pares es un número par 3. La suma de una cantidad par de números impares es un número impar. 4. La suma de una cantidad impar de números impares es un número impar. 5. La suma de un número par y de un número impar es un número impar.

Si el docente considerase que este listado resulta demasiado extenso, podrá proponer trabajar sobre algunas afirmaciones y dejar las otras como tarea. La primera se puede justificar apelando a la definición de número par : 2 x .... . Para la segunda, los alumnos quizás lleguen a establecer que están sumando dos números que pueden anotarse como 2 x ... + 2 x ... . Si no surgiera del grupo, el docente recordará la relación ya establecida: al sumar múltiplos de un número se obtiene un múltiplo de ese número. La falsedad de la afirmación 3 y la verdad de la afirmación 4 se pueden justificar del mismo modo. Sabemos que un número impar se puede escribir como 2 x ... + 1. Si tenemos una

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cantidad par de números impares, esos « +1 » forman un número par, es decir un número de forma 2 x .... En cambio, si la cantidad de números impares es impar, esos « +1 » forman un número de la forma 2x... + 1. Esto se mostrará a partir de ejemplos que permitan observar cómo se agrupan los + 1 de cada expresión impar. Por ejemplo : 13 + 7 + 15 + 11 = 2 x 6 + 1 + 2 x 3 + 1 + 2 x 7 + 1 + 2 x 5 + 1 = = 2 x 6 + 2 x 3 + 2 x 7 + 2 x 5 + 4 (2 x 2, obtenido a partir de las 4 veces « +1 ») 13 + 7 + 15 = 2 x 6 + 1 + 2 x 3 + 1 + 2 x 7 + 1 2 x 6 + 2 x 3 + 2 x 7 + 3 (obtenido a partir de las 3 veces « +1 ») De modo similar, puede justificarse la última, analizando que, al sumar un par y un impar, queda un « +1 » suelto, que permite saber que esa suma será impar. Material para el alumno, p....

e) ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles por 4 ? 10 – 20- 30 – 40 – 50 – 60 – 70 – 80 – 90 – 100 Hasta 40 podemos saberlo, pensando en la tabla. ¿Cómo es posible saberlo rápidamente sin hacer la cuenta pensando en los múltiplos de 4 que ya conocemos?

Un análisis colectivo llevará a los alumnos a identificar cómo pueden conocer los múltiplos de 4 a partir de múliplos ya conocidos. Por ejemplo : 80 es divisible porque es dos veces 40. Es decir, se están sumando dos múltiplos de 4. También podría argumentarse que 80 es 2 x 4 x 10, por lo tanto es divisible por 4. Si los alumnos no lo hubiesen advertido el docente les hará notar que los múltiplos de 4 van de 20 en 20, analizando a qué se debe esta progresión: al ser 20 un múltiplo de 4, estamos sumando múltiplos de 4 entre sí. Se analizará qué sucede cuando agregamos 10 a un múltiplo de 4 : en ese caso, no estamos agregando un múlitplo de 4, sino un múltiplo de 4 más dos o menos dos. A partir de aquí, podemos saber que, si 40 es múltiplo de 4, 50 no lo será. Pero también sabemos que 50 es un 4 x ... + 2 ó 4 x ... – 2 : es decir que si le sumamos o restamos 2, obtenemos múltiplos de 4, por lo tanto 48 y 52 lo son. Se podría preguntar para qué números es posible decir si serán divisibles por 4 a partir de lo analizado. El docente pedirá a los alumnos que anoten las conclusiones de lo discutido en sus carpetas y procederá luego a una revisión colectiva de lo anotado con una nueva versión, ahora de todo el grupo, de las conclusiones. Material para el alumno, p....

f) ¿Podés encontrar una manera rápida, sin hacer la cuenta, de decir si los siguientes números son divisibles

por 4? 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

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Es probable que algunos alumnos crean en principio que aquí puede suceder algo similar que con los « nudos » de las decenas recién trabajados: que los múltiplos de 4 avancen de a 200. La reflexión colectiva se orientará a analizar que, si 100 es múltiplo, cualquier número que pueda formar con grupos de 100 es múltiplo de 4. Aquí se remitirá nuevamente a las propiedades ya analizadas y utilizadas en reiteradas oportunidades:a) la suma de múltiplos de un número da un múltiplo de ese número y b) la multiplicación de un múltiplo de un número a por cualquier otro número, da un múltiplo de ese número a. Material para el alumno, p....

g) ¿Podés encontrar una manera rápida, sin hacer la cuenta, de decir si los siguientes números son divisibles por 4? Para cada caso, explicá cómo lo pensaste

68 54 43 42 102 107 120 116 134 148 158 316 520 1012

En un espacio de reflexión colectiva posterior a la resolución individual o de a dos, esperamos que puedan apoyarse en relaciones con los múltiplos que ya conocen. Para los números de dos cifras, en los resultados de la tabla y los análisis realizados a partir de la serie de los nudos de las decenas, o de descomponer un número en una suma o una multiplicación que involucre a múltiplos de 4. Por ejemplo, para 68, los alumnos podrán decir que es 60 + 8 y ellos saben que ambos son múltiplos de 4. El docente podrá proponer la escritura de 4 x 15 + 4 x 2. Para 54, ya saben que 50 no es múltiplo de 4, por lo tanto si a ese número se le agregan 4 no se obtiene otro múltiplo de 4. Aquí podrá remitirse al trabajo sobre división entera. Si al dividir 50 por 4, el resto es 2 ; con 54 se obtiene el mismo resto. Para los números de 3 cifras, se busca que puedan apoyarse en lo que saben para los múltiplos de 100: como 100 es múltiplo de 4, sus múltiplos también. Se remitirá expresamente a lo analizado a propósito de la actividad f). Entonces, la parte que puede expresarse como « un número x 100 », sabemos que será múltiplo de 4. Resta analizar la otra parte del número (las dos últimas cifras). Para ello, valen todas las relaciones mencionadas anterioremente. Material para el alumno, p....

h) De a dos, piensen y escriban, un criterio o más de uno para saber sin equivocarse y sin hacer la cuenta, si un número cualquiera es divisible por 4.

Esta tarea está pidiendo una enunciación general, para cualquier número, no para unos números particulares. Es cierto que los alumnos apelarán –y buscamos que lo hagan- a ejemplos para explorar qué hace que un número sea divisible por 4, pero –del mismo modo que señalamos para otras oportunidades- el enunciado del criterio no sale directamente de la lectura de los ejemplos sino de relaciones que van estableciendo los niños en sus interacciones entre lo que están buscando y las significaciones que atribuyen a lo que sucede en los ejemplos movilizados. Es decir, los ejemplos constituyen un terreno de exploración, no ofrecen directamente el criterio que los alumnos deben elaborar. Luego, podrán reunirse de a dos pares de alumnos a confrontar los criterios y seleccionar el o los criterios que les parecen mejores, o incluso formular otro/s. Luego, anotarán el o los criterios elegidos en un afiche. Se expondrán los afiches en el salón para que todos los

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grupos puedan analizar los criterios formulados por sus compañeros. Se dará un tiempo para que se lean, se anoten preguntas sobre los que no se entienden. Posteriormente, se organizará una puesta en común, en la cual se retomen dichas afirmaciones, se realicen preguntas sobre las producciones de los compañeros que no se comprendan, se analice su validez, se confronten tratando de ver cuáles son similares, cuáles podrían incluirse en otra más general, etc. En esta instancia los alumnos muy probablemente afirmarán –o será introducido por el maestro- que los números divisibles por 4 son pares: es decir, el número tiene que ser par. Ahora bien, esta relación “Si un número es divisible por 4, entonces es par”, lleva muchas veces a los alumnos a sostener su afirmación recíproca (errónea): “Si un número es par, entonces es divisible por 4”. En otros términos, todos los múltiplos de 4 son pares, pero no todos los pares son múltiplos de 4, sólo algunos lo son. Estas relaciones deberán ser discutidas en clase probando la verdad de la primera y la falsedad de la segunda. La misma relación podría enunciarse del siguiente modo: si un número es divisible por 4 es divisible por 2, ya que si puede escribirse como 4 x ...., también puede es escribirse como 2 x 2 x ... . Más informalmente, si recorremos la tabla del 2, cada dos múltiplos de 2 encontramos un múltiplo de 4, porque cada 2 veces 2 se forma 1 vez 4. Justamente, por esa razón, no podemos decir que si un número es par es múltiplo de 4, porque hay pares que no lo son, hay pares que pueden escribirse como 2 x ... pero no como 2 x 2 x .... Se espera que, de algún modo, los alumnos lleguen a establecer que, a partir del lugar de las centenas sabemos con seguridad que esa parte del número será múltiplo de 4, por lo tanto hay que analizar las dos últimas cifras y, para ello, cuentan con las relaciones que pueden realizar con múltiplos conocidos de la tabla del 4 y de los “nudos” de las decenas. El docente podrá ofrecer una escritura aritmética para esta condición. Por ejemplo: 512 = 5 x 100 + 12 = = 5 x 100 + 4 x 3 = = 5 x 4 x 25 + 4 x 3 Vemos entonces que 512 es múltiplo de 4 porque puede descomponerse en una suma de múltiplos de 4. En cambio, 1007 no es divisible por 4 porque no puede descomponerse en una suma de números divisibles por 4: 1007 = 10 x 100 + 7 = 10 x 100 + 4 x 1 + 3 Para trabajar el criterio de divisibilidad por 3 proponemos a continuación dos vías de acceso entre las cuales optará el docente: la primera, abarca desde el problema i) hasta el problema p); la segunda, desde q) hasta t). En la primera, se comienza por proponer problemas que lleven a los alumnos a “tejer” diferentes relaciones, establecer criterios parciales, que sirvan frente a algunos números para, a partir de allí, introducir posteriormente el criterio convencional. En las actividades de q) a t), se propone una presentación más directa, donde el docente explique las razones del funcionamiento del criterio “oficial” de divisibilidad por 3 para luego hacerlo funcionar en algunos problemas. Desde esta regla, se intentará luego que puedan establecer el criterio de divisibilidad por 9. El docente podrá realizar el recorrido desde i) hasta t) completo o seleccionando problemas; o desde q) a t), recuperando luego también algunos de los problemas del primer trayecto. La decisión estará regida en principio por el tiempo disponible sabiendo que la primera opción, con todo su interés, se hace algo más extensa; la segunda permite, en caso de no disponer de tiempo para desplegar la primera, un atajo que no sacrifique la comprensión de la regla. Material para el alumno, p....

i) Sabiendo que 720 es múltiplo de 3, ¿podrías decir otros múltiplos de 3 cercanos a 720?

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Para cada caso, explicá cómo es posible estar seguros sin hacer la cuenta de que esos números son divisibles por 3

5.

Tras un momento de resolución individual o de a dos, se pondrán en común los múltiplos hallados analizando los criterios utilizados para establecer que tales números son divisibles por 3. El análisis colectivo focalizará en que los múltiplos de 3 van de 3 en 3, que así es posible hallar otros múltiplos. También a partir de esa idea es posible establecer que, si a un múltiplo de 3 se le agrega o se le quita otro múltiplo de 3, se encuentra un número que también lo es. Así, por ejemplo, 738, 750, 690, etc. son múltiplos de 3. Del mismo modo, se podría rescatar que, si se multiplica a 720 por cualquier otro número, también se obtiene un múltiplo de 3. En otros términos, en este momento se rescatará con toda la clase cómo puede saberse si un número es divisible por 3 a partir de establecer relaciones con otros múltiplos ya conocidos. Material para el alumno, p....

j) Tenemos las siguientes ternas de números consecutivos: 11 – 12 – 13 25 – 26 – 27 41 – 42 – 43 97 – 98 – 99 ¿Cuántos números divisibles por 3 hay en cada terna? ¿Será siempre la misma cantidad de números divisibles por 3 para cualquier terna? ¿Por qué?

Se podría proponer a los alumnos que trabajen sobre este problema individualmente o de a dos para luego pedirles que lo discutan en pequeños grupos –de 4 integrantes- donde deberán establecer algún acuerdo y anotar las conclusiones obtenidas. En una puesta en común, podrán copiarse las conclusiones en el pizarrón para confrontarlas y analizarlas. Se busca establecer con todos los alumnos que, como los múltiplos de 3 van de 3 en 3, cada 3 números seguidos, hay seguro un múltiplo de 3 y nunca puede ser más de uno: si es el primero, no pueden ser el segundo y el tercero; si es el segundo... Se podrá apoyar este análisis sobre la recta numérica. Material para el alumno, p....

k) Tenemos el siguiente grupo de cuatro números naturales seguidos: 150 - 151- 152 –153 ¿Qué cantidad de múltiplos de 3 hay en cada uno de ellos? ¿Será siempre la misma cantidad para cualquier grupo de cuatro números naturales seguidos?

Se podrá proceder del mismo modo que para el problema j). Si los alumnos se limitaran a probar con ejemplos de cuaternas que comiencen todas con un múltiplo de 3, el docente podrá proponerles otros ejemplos donde el múltiplo de 3 se encuentre en el segundo o tercer lugar. En la puesta en común, buscando dar un carácter general a las afirmaciones de los alumnos, se retomarán cuáles son los lugares en los que puede caer un múltiplo de 3 en una serie de cuatro números seguidos, y dónde caen el múltiplo anterior y el posterior en cada uno de esos casos.

5 Algunos de los problemas que se proponen para trabajar sobre el criterio de divisibilidad por 3 han sido

retomados de un trabajo elaborado por Raúl Pontello en el marco del Postítulo Especialización en Enseñanza de la Matemática (I y II ciclo)., Escuela de Capacitación Cepa, Secretaría de Educación, Gobierno de la Ciudad de Buenos Aires, marzo de 2004.

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Material para el alumno, p....

l) A continuación, aparece la lista de los números “redondos” hasta 100. - ¿Cuáles son múltiplos de 3? ¿Cómo podés saberlo rápidamente sin hacer la cuenta de dividir? - ¿Cuáles son los restos respectivamente al dividir 10 y 20 por 3? Sin hacer la cuenta de dividir, se puede

saber cuál es el resto al dividir por 3 a los números de esta lista que no son múltiplos de 3. ¿Cómo? - A partir de esos restos, ¿cómo podemos saber cuáles son los múltiplos de 3 más cercanos a esos números

“redondos”?

SOBRA AL DIVIDIR POR 3

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Entre todos, se revisará cuáles son múltiplos de 3 y cómo puede establecerse esto a partir de múltiplos conocidos. Por ejemplo, podrán afirmar que 30 lo es, por la tabla o porque saben que 3 x 30 es 30; 60 a partir de 30 o de 6; y 90 a partir de 30, o de 30 y 60, etcétera. El segundo ítem apunta a establecer que sabiendo que, al dividir 10 por 3, el resto es uno y para 20, el resto es 2, es posible saber cuál será el resto al dividir los otros números redondos: como 40 se forma agregando 10 a un número que es múltiplo (30), sabemos que el resto va a ser 1; 50 se puede formar agregando 20 a un múltiplo de 3, por lo tanto el resto será 2; etcétera. Conocer el resto de un número al dividirlo por 3, nos permite saber a qué distancia de ese número estarán los múltiplos de 3 más cercanos. Así, por ejemplo, si con 70 tenemos resto 1, con 69 tenemos resto 0; lo mismo que para 72; si para 80, el resto es 2, 81 es múltiplo de 3, lo mismo que 78... De esta manera, tales relaciones a partir de múltiplos de 3 conocidos o del conocimiento de los restos al dividir ciertos números por 3, permite un criterio parcial que hace posible cubrir un grupo de números. A partir de 30; 60 y 90, se puede anticipar si un número será divisible por 3 para un rango de números. Material para el alumno, p....

ll) ¿Cuánto hay que sumar a cada uno de los siguientes números para obtener el múltiplo de 3 más cercano? 38 40 26 55 100 81 ¿Es posible saber cuáles son las posibilidades de números a sumar? ¿Puede haber algún número al que haya que sumarle 5 para llegar al múltiplo de 3 más cercano?

Después de un trabajo a cargo de los alumnos, el maestro retomará con toda la clase cuáles son las posibilidades de números a sumar identificadas y de qué dependen. Podrá apoyarse para ello en la recta numérica. En este análisis podrá preguntar también cuáles serían los

30

números a restar para encontrar el múltiplo de 3 más cercano. Se busca identificar que los números dados se encuentran a una distancia del múltiplo de 3 anterior, esa distancia es el resto al dividir por 3 el número dado y determina también cuánto le falta para completar un nuevo “salto de 3”. Así, se concluirá que las únicas posibilidades de cantidades a sumar o restar es 1; 2 ó 3. En otros términos, para cualquier número que tomemos sólo caben tres posibilidades: o es múltiplo de 3; o sobra 1 al dividirlo por 3; o sobra 2. Se vincularán estas conclusiones con las obtenidas al analizar la cantidad de múltiplos de 3 en series de tres y cuatro números consecutivos (problemas j) y k), pág....). Material para el alumno, p....

m) - ¿Puede ser que si sumo dos múltiplos de 3 obtenga un múltiplo de 3? - ¿Puede ser que si sumo dos números que no son múltiplos de 3 obtenga un múltiplo de 3? - ¿Puede ser que si sumo un múltiplo de 3 con otro número que no es múltiplo de 3 obtenga un múltiplo de

3?

El primer ítem sólo retoma una relación entre múltiplos ya identificada y utilizada en numerosas oportunidades. Respecto del segundo, los alumnos posiblemente explorarán mediante ejemplos encontrando que unas veces se obtiene un múltiplo de 3 y otras no. Si no sucediera así, si sólo se limitasen a probar con ejemplos donde siempre encuentren múltiplos de 3 o donde siempre encuentren resultados que no lo son, el docente podrá ofrecer otros sumandos a modo de contraejemplo. A partir de que lleguen a establecer que se da sólo en algunos casos, se propondrá un nuevo problema: ¿cómo es posible saber en qué casos se cumple esa afirmación? Se apunta a que los alumnos puedan identificar que se acumulan los restos de ambos sumandos. Es decir, si el primer número –al dividirse por 3- tiene resto 1 y el segundo resto 2, con ambos restos puedo armar otro nuevo grupo o “salto” de 3. A partir de la misma relación se prueba la imposibilidad de la tercera afirmación. Material para el alumno, p....

n) ¿Es posible hallar números que sean múltiplos de 3 que terminen con cualquiera de las diez cifras? ¿Y números que no sean múltiplos de 3? ¿Qué sucederá con los números de tres y de cuatro cifras?

Los alumnos han trabajado previamente con criterios de divisibilidad (por 2; 5; 10) para los cuales bastaba considerar la última cifra. También trabajaron con el criterio del 4 para el cual debían considerar las dos últimas cifras. Por lo tanto, es posible que sobregeneralicen esas relaciones y crean que siempre basta con considerar cómo termina un número. A partir de esta actividad se persigue llegar a concluir que la última cifra por sí sola no nos aporta información acerca de si un número será o no divisible por 3. o) El docente propondrá a los alumnos el siguiente juego, para que juegue toda la clase organizada en pares de alumnos: Material para el alumno, p....

o) Tendrán 2 minutos para anotar la mayor cantidad de números de dos cifras que sean divisibles por 3. Ganan los que hayan anotado más números.

En el momento de anotar los números encontrados y comprobar quiénes ganaron, se deberá validar que efectivamente esos números son múltiplos de 3. Para ello, se espera que los alumnos se remitan a los múltiplos de 3 ya conocidos. Él docente se detendrá sobre algunos números para analizar los restos al dividir por 3 cada uno de los sumandos que resultan de su descomposición. Por ejemplo:

31

Para 12: ¿Cuánto sobra al hacer 10 : 3? Ese 1 sobrante se puede agregar a 2 y tenemos otro grupo o “salto” de 3. Para 21: Al hacer 20: 3, sobran 2 que, al sumarse con el 1 de las unidades, forman otro grupo de 3. Para 24: Los dos que sobran al hacer 20 : 3, se suman a los 4 de las unidades y se forman 2 grupos de 3. Para 42: Al hacer 40: 3, podemos pensar que sobra 1 que se agrega a las unidades, formando un grupo de 3. O también podemos pensar que tenemos 4 (uno sobrante y otro grupo de 3) que juntamos con el 2 de las unidades y tenemos 6, dos grupos de 3, como en el caso de 24. Interesa aquí que el docente muestre a los alumnos cómo, a partir de sumar los restos al dividir por 3 cada una de las “partes” del número, se suman y, en caso de ser divisibles por 3, todo el número lo es: 42 = 40 + 2 3 x 13 + 1 ó 3 x 12 + 4 Se recordará el trabajo realizado a propósito de la división entera. La parte del número 3 x 13 ó 3 x 12 sabemos que es divisible por 3, hay que ver qué sucede con el resto. Lo que resta es 1 (ó 4 según la descomposición considerada) y el 2 de las unidades. 24 = 20 + 4 1 x 3 + 1 3 x 6 + 2 Se busca mostrar que cuando los números están formados por las mismas cifras pero invertidas, los restos al dividir por 3 las partes de su descomposición, son los mismos, en diferente orden: 2 y 4 ó 2 y 1, en este caso. También se retomará el trabajo en el problema m) sobre la afirmación que consideraba bajo que condiciones la suma de diferentes números que eran o no eran múltiplos de 3, daba un múltiplo de 3. Material para el alumno, p....

p) - De los problemas l) y ll, ya sabías que el resto de 100 : 3 es 1. ¿Cómo se puede saber el resto de estos números “redondos” al dividirlos por 3 sin hacer la cuenta de dividir? 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

Es posible que los chicos crean que, como para 100 el resto es 1, todos los nudos de las centenas tienen el mismo resto al dividirse por 3. Será interesante, retomar con ellos que si 100 : 3 tiene resto 1; 200 (100 + 100) tendrá resto 1 + 1 al dividirse por 3 y así... A partir de lo que saben para los números de tres cifras “redondos”, ¿cómo podríamos hacer para buscar otros números de tres cifras que sean múltiplos de 3?

Tratando de mostrar cómo es posible saber si los números anotados son divisibles por 3, es probable que los alumnos se apoyen en múltiplos ya conocidos. Si no apareciera, el docente

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retomará la suma de los restos al dividir por 3 cada una de las “partes” de la descomposición aditiva del número. Por ejemplo, para 120: 120 = 100 + 20 Para 100, sobra 1; para 20 sobran 2; juntando ese 1 y esos 2, se forma otro grupo de 3. Si fuera 117 = 100 + 10 + 7 Para 100, sobra 1 Para 10 sobra 1 Se juntan esos dos unos con el 7, formando 9, que es divisible por 3. Se repreguntará por qué estamos considerando lo que sobra, intentando estar seguros de que los alumnos no están perdiendo de vista que, para “todo lo demás del número”, ya sabemos que forma una cantidad exacta de grupos o “saltos” de tres. Para 100, por ejemplo, tenemos en cuenta el uno que sobra porque 99 ya sabemos que es una cantidad exacta de veces 3. Para 232: Del 200 sobran 2 (al dividirlo por 3); del 30, nada. Los dos sobrantes del 200 se suman a las dos unidades, entonces no se forma una cantidad exacta de veces 3, por lo tanto el número no es divisible por 3. El docente podrá pedir a los alumnos que prueben con otros números de tres cifras. También podrá pedir que exploren si esto que están aprendiendo servirá para números de más de tres cifras. q) El docente presentará a toda la clase el criterio de divisibilidad por 3. A continuación, ofrecemos una explicación posible. En primer lugar, se puede enunciar y anotar el criterio: un número es divisible por 3 cuando la suma de sus cifras es divisible por 3. Luego pasará a explicar por qué funciona este criterio. Por ejemplo, para 324, mostrar que es posible descomponerlo en potencias de la base del siguiente modo: 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 4 A su vez, a cada una de esos 10 ó 100 es posible restarle 1 para convertirlos en múltiplos de 3 menos 1. 99 + 99 + 99 + 9 + 9 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 4 Se sabe que los números de la primera línea son divisibles por 3 porque 99 = 3 x 33 y 9= 3 x 3. De la primera parte (“múltiplos de 3”), entonces podemos estar seguros de que será múltiplo de 3. Luego, ¿cuántos unos sobran? La misma cantidad que señalan las cifras del número aisladas, porque éstas indican cuántas veces se restó 1 a cada una de las potencias de la base en las cuales se descompuso el número. Se puede hacer el mismo análisis apelando a una descomposición multiplicativa. 324 = 3 x 100 + 2 x 10 +4 = = 3 x (99 +1) + 2 x (9 +1) +4 = 3 x 99 + 3 + 2 x 9 + 2 + 4 múltiplos de 3

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En síntesis, se suman las cifras porque indican los restos al dividir por 3 cada una de las potencias de la base en las cuales se descompuso el número, y se comprueba si esa parte del número también es divisible por 3 o no. Material para el alumno, p....

q) - Escribí un número de tres cifras que sea múltiplo de 3 y otro que no lo sea. - ¿Cuáles de estos números son múltiplos de 3? 8532 628 78 306

Material para el alumno, p....

r) ¿Es verdad que si a un número divisible por 2 le sumás 1, obtenés un número divisible por 3?

Frente a este problema, es probable que, probando con ejemplos, los alumnos adviertan que el enunciado es falso: que encuentran múltiplos de 2 a los cuales les suman 1 y no son divisibles por 3. Será interesante llevar más allá el análisis haciéndoles notar que para algunos números sí se cumple, planteando entonces un nuevo problema: ¿cómo saber para cuáles casos sí se cumple? Se dejará un tiempo para que los alumnos piensen, individualmente o de a dos, cuáles serían las condiciones para que el enunciado resultara verdadero. En un trabajo posterior con toda la clase, se buscará explicitar que esta relación se cumple cada tres múltiplos de 2. Este trabajo podrá vincularse con los problemas en los cuales tenían que determinar el resto de una expresión al dividirse por un número dado (referencia) Por ejemplo, 2 = 1x 3 –1 4 = 2 x 3 – 2 6 = 3 x 3 – 3 ó 2 x 3 8 = 3 x 3 –1 etc. Así, cada tres múltiplos de 2 vuelve a faltarme 1 para completar un múltiplo de 3. A partir de un número par para el cual se cumple que está un número antes que un múltiplo de 3; si hago otra vez 2, quedo a dos números de distancia del múltiplo de 3; si hago otra vez 2, caigo en ese múltiplo de 3; otra vez 2 y quedamos a un número de distancia del siguiente múltiplo de 3, entonces allí se cumple, etc. Esta relación podrá mostrarse sobre la recta numérica. Material para el alumno, p....

s) El criterio de divisibilidad para 9 es similar al del 3: un número es divisible por 9 si la suma de sus cifras es divisible por 9. Usando la explicación de tu maestra/o para el criterio de divisibilidad por 3, ¿cómo podrías justificar el criterio de divisibilidad por 9?

En una puesta en común, se volverá sobre las descomposiciones en potencias de la base presentadas para el criterio de divisibilidad por 3.

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846 = 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 6 A su vez, esos cienes y dieces pueden descomponerse en 99 + 1 ó 9 + 1. 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 99 + 9 + 9 + 9 + 9 + 6 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 6 Cada uno de esos 99 ó 9 pueden descomponerse en 9 x ..., por lo tanto esa parte del número es múltiplo de 9. Queda la parte del número que se forma con los unos o “restos” de dividir cada 10; 100 ó 1000 por 9, que equivalen a las cifras del número. Material para el alumno, p....

Para revisar lo que hicimos

t) Los criterios de divisibilidad son reglas para saber si un número es divisible por otro sin necesidad de hacer la división. Revisá y anotá todos criterios que fuimos analizando.

9) Hallar el dividendo a partir de diferentes divisores y los restos correspondientes Material para el alumno, p....

a) Inés cuenta de 3 en 3, Juan cuenta de 5 en 5. ¿En qué números coinciden? ¿Cuántas posibilidades hay? b) Y si se agrega Joaquín contando de 6 en 6, ¿en qué números coincidirán los tres?

En la puesta en común se analizarán las resoluciones. La idea respecto al primer ítem es que los alumnos puedan advertir que cada tres veces 5 se tiene una cantidad exacta de veces 3, entonces cada 15 números coincidirán. Lo mismo a propósito del segundo ítem: cada 5 veces 6, se tiene una cantidad exacta de veces 5 y una cantidad exacta de veces 3. Por lo tanto, los tres chicos coincidirán en el número que dicen cada 30 números. Se busca también que los alumnos adviertan que se puede seguir contando de esta modo de manera indefinida, por lo tanto las posibilidades son infinitas: cada 15 números para a) y cada 30 para b), coincidirán. Estos diferentes “saltos” a lo largo de los números y sus coincidencias se pueden explicar también sobre la recta numérica. Será interesante llevar a los alumnos a que expliciten las semejanzas entre este problema y el de la búsqueda de múltiplos comunes abordado al inicio de esta unidad. Material para el alumno, p....

c) Silvana tiene una bolsa de caramelos. Los quiere repartir en paquetes, de manera que todos tengan la

misma cantidad. Si pone 5 caramelos no le sobra ninguno. Si pone 7 caramelos en cada paquete tampoco le sobra ninguno. Y si pone 3 caramelos en cada paquete, le sobran 1. ¿Cuántos caramelos tiene Silvana en la bolsa? ¿Hay una sola respuesta posible?

Este problema es complejo y seguramente presentará dificultad a los alumnos. No esperamos que todos lo hayan resuelto a la hora de discutir con el conjunto de la clase la

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resolución. No haber llegado a encontrar una respuesta al problema no invalida el trabajo de exploración y búsqueda sobre el problema iniciado por el alumno. Es con este conocimiento puesto en juego con lo que interactuará la información aportada por las confrontaciones entre compañeros o por el docente mismo y desde donde los alumnos aprovecharán lo que acontezca en el espacio colectivo. Se puede sugerir que primero piensen cuál sería la respuesta si sólo se hubieran dado las dos primeras informaciones: si se ponen de a 5 y si se ponen de a 7. Allí, se advertirá que se trata de saltos regulares de a 35. A partir de allí, se trata de buscar cuándo, esos saltos regulares de a 35 son además múltiplos de 3 + 1, es decir se pueden escribir bajo la forma ... x 3 + 1. Esto puede a llevar a advertir que 70 cumple con las tres condiciones. Ahora bien, al sobrar 1 necesito otras tres veces 70 para volver a tener “el mismo resto”. El docente podrá apelar aquí a la recta numérica y a la escritura de la división entera, así como también a la relación de que los dividendos de un divisor determinado con un resto determinado “van de a saltos” equivalentes al divisor. En este caso, se encontró 70 que puede pensarse como 3 x ... + 1, en los próximos 70, ese resto 1 se convertirá en resto 2; en los siguientes 70, en 3, por lo tanto resto 0 y cambia el cociente; y en los siguientes nuevamente en resto 1. Es decir, en 210 números, se vuelve a encontrar un múltiplo de 5, de 7 y un número que es un múltiplo de 3 más 1.

Esas relaciones se reinvertirán trabajando sobre un problema similar: Material para el alumno, p....

d) Se quieren armar cajas con cierta cantidad de alfajores. Si se ponen 6 alfajores en cada caja no sobra ninguno. Si se ponen 4 en cada caja tampoco sobra ninguno y si se ponen 5 alfajores en cada caja, sobra 1. ¿Cuántos alfajores puede haber si se sabe que hay entre 1200 y 2000?

Material para el alumno, p....

e) Tengo una cantidad de ganchitos que, cuando los agrupo de a 4, no me sobra nada y, cuando los agrupo de a 2, me sobra 1. ¿Cuántos ganchitos puede haber?

La particularidad de este problema es que no tiene ninguna solución posible. Probablemente los alumnos prueben con algunos ejemplos pero adviertan rápidamente que si es posible ponerlos de a 4, también se pueden agrupar de a 2: con cada grupo de 4, se puede armar una cantidad exacta de grupos de 2 ganchitos. El docente apelará a vincular estas afirmaciones con las relaciones entre los múltiplos de 4 y de 2, o la idea de que todo múltiplo de 4 es par. Podrá proponer finalmente que piensen otras cantidades para cada grupo de ganchitos en este problema de manera que la solución resulte imposible como en este caso. En la puesta en común deberán justificar por qué no es posible hallar una solución para las cantidades propuestas por ellos. Material para el alumno, p....

10) Números primos y compuestos a) De a dos, piensen números que se puedan “armar” con cuatro factores diferentes de 1. ¿Se podrían desarmar en más de 4 factores? ¿Cuáles? ¿Todos los números podrían “armarse” con cuatro factores?

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¿Por qué les parece que no valía usar 1 como factor?

Brevemente, se retomará este problema para señalar que hay números que sólo pueden dividirse por sí mismos y por la unidad, ocasión en la cual se presentará la definición de números primos y compuestos. Material para el alumno, p....

[ A edición: Recuadrito de información] Te presentamos dos definiciones de número primo: Un número natural es primo si tiene exactamente dos divisores. Un número natural es primo si es divisible sólo por sí mismo y por 1. Un número natural distinto de cero es compuesto si tiene más de dos divisores. Los números 0 y 1 no son ni primos ni compuestos: 1 sólo es divisible por 1. 0 es divisible por todos los números.

Cuestión ¿Por qué te parece que la primera definición no aclara cuáles son esos dos divisores?

A continuación, presentamos información acerca de un modo para hallar los números primos hasta el 100, la criba de Eratóstenes. La lectura y comentario de este apartado es opcional. Si el docente decidiera no detenerse en él, quedará como material a disposición de los alumnos. Material para el alumno, p....

Recuadrito de información ,,, Eratóstenes fue un sabio griego que vivió alrededor del año 200 AC. Creó un método para hallar los números primos que se conoce como la Criba de Eratóstenes. Te contamos cómo se procede para los números hasta el 100. Si querés, probá con la cuadrícula de números que figura a continuación. Al finalizar, te deberían quedar tachados los números que aparecen en la cuadrícula que aparece más adelante. 1. Se toman los números hasta el 100. 2. Se quitan todos los múltiplos de 2, excepto el 2. 3. Luego, se sacan todos los múltiplos de 3, excepto el 3. 4. Los múltiplos de 5, excepto el 5 5. Así, se continúa recorriendo la tabla y, cada vez que se encuentra un número sin tachar, se tachan todos

sus múltiplos excepto ese número.

2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

71 72 73 74 75 76 77 78 79 80

81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

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¿Por qué te parece que se “saltean” los múltiplos de 4? ¿Con qué otros números pasará esto? ¿Por qué de esta manera es posible asegurarse de que quedan sólo los números primos? ¿Por qué no aparece el 1?

2 3 5 7

11 13 17 19

23 29

31 37

41 43 47

53 59

61 67

71 73 79

83 89

91 97

11) Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Material para el alumno, p....

b) Para ayudar en su casa Federico va a la verdulería cada 4 días a las 9 hs. y su amiga Teresa va cada 6

días a la misma hora. Si hoy se encontraron, ¿dentro de cuántos días será el próximo encuentro? c) Dos letreros luminosos se encienden intermitentemente uno cada 24 segundos y otro cada 15 segundos. Si

fueron puestos en funcionamiento los dos al mismo tiempo, ¿después de cuánto tiempo volverán a encenderse juntos?

En la puesta en común, se identificará que los momentos en que coinciden Federico y Teresa en la verdulería o el encendido de los carteles luminosos son múltiplos de 4 y 6 para un problema y de 24 y 15 para el segundo. Es decir, son múltiplos comunes a esas cantidades: un número que contenga una cantidad exacta de veces a 4 días y a 6 días para a); y un número que contenga una cantidad exacta de veces a 24 y a 15 para b). Se podrá relacionar con el problema 1, con la partición de las tortas donde se buscaba un número de porciones múltiplo a las cantidades posibles de invitados, es decir un número que contuviera una cantidad exacta de veces a las diferentes cantidades posibles de invitados. A su vez, se identificará que, a diferencia de aquel primer problema, aquí no se pide sólo un múltiplo común, sino el menor posible, introduciendo la definición de mínimo común múltiplo. Material para el alumno, p....

[Recuadro de información] El mínimo común múltiplo (mcm) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes.

El docente podrá proponer algunos números para que los alumnos intenten hallar el menor de los múltiplos comunes como, por ejemplo: 4 y 7; 14 y 8; etcétera. Material para el alumno, p....

d) Para adornar las mesas de un salón de fiestas se compraron:

36 rosas 48 jazmines 60 claveles

Se quieren armar ramos iguales para las mesas y que cada ramo tenga rosas, jazmines y claveles. ¿Cuál es la mayor cantidad de ramos que se podrían armar? ¿Cómo estará compuesto cada ramo?

En la puesta en común se identificará que se trata de hallar divisores comunes a estas tres cantidades. La última pregunta dará lugar a la introducción de la definición de máximo común divisor. Material para el alumno, p....

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[recuadro de información] El máximo común divisor (mcd) de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes.

Del mismo modo que para el mínimo común múltiplo, el docente podrá proponer algunos números para que los alumnos intenten hallar divisores comunes y el de ellos como, por ejemplo: 24 y 64; 35 y 75; etcétera. En los problemas que siguen se reutilizarán los conocimientos sobre divisores comunes que los alumnos están comenzando a construir. Material para el alumno, p....

e) Marcelo colecciona estampillas. Ya reunió 40 nacionales y 24 extranjeras. Hoy va a acomodarlas en un

álbum y decidió que en cada página va a haber nacionales y extranjeras pero no necesariamente la misma cantidad. La composición de nacionales y extranjeras es la misma en todas las páginas. No le deben quedar estampillas sin pegar ¿Cuántas páginas conviene que tenga el álbum? ¿Cuántas estampillas de cada tipo debe tener el álbum en cada hoja? ¿Hay única única posibilidad? ¿Cuál es la mayor cantidad de páginas que habría que armar?

¿Y si hubieran sido 45 nacionales y 15 extranjeras? ¿Y si hubiera juntado 64 estampillas nacionales; 40 del resto de América; y 20 estampillas del resto del mundo?

12) Afirmaciones sobre divisibilidad Material para el alumno, p....

A continuación te damos una lista de afirmaciones. Colocá V ó F según sean verdaderas o falsas. En cada caso vas a tener que justificar tu decisión. a) Si un número es igual a 2 x otro número natural, entonces es divisibible por dos b) Si un número termina en 0 es divisible por 2 c) Si dos números son múltiplos de 4, su suma también es múltiplo de 4 d) Si un número es múltiplo de 4, es múltiplo de 2. Entonces, si un número es múltiplo de 2, también es

múltiplo de 4 e) Si dos números son múltiplos de 3, entonces la suma de dos múltiplos de 3 también es múltiplo de 3 f) Cuando multiplicás dos múltiplos de 4, el resultado puede no ser múltiplo de 4 g) Si dividís dos múltiplos de 5, el resultado puede no ser múltiplo de 5 h) Si 342 es múltiplo de 3, entonces 3420 es múltiplo de 30

Estas afirmaciones, se retomarán en discusiones que vayan abordando algunas de estas afirmaciones por vez. Se espera llegar a establecer conclusiones del tipo, por ejemplo, para el ítem f): “al mulltiplicar dos múltiplos de 4, tenés una multiplicación de dos números que se puede descomponer en otra multiplicación con la forma 4 x ... x 4 x ...., entonces seguro que es múltiplo de 4”. 13) Material para el alumno, p.... Para revisar lo que hicimos

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13) En ... (pág..... ) hiciste una lista de qué aprendimos de divisibilidad hasta ese momento del trabajo. Revisando lo que aprendimos hasta ahora, ¿qué agregarías a esa lista?

Del mismo modo que para el listado confeccionado en la actividad mencionada, se revisarán colectivamente esas listas y se elaborará una de todo el grupo que copiarán en sus carpetas y en la cual podrán anotar cómo se encuentran frente a cada uno de esos temas, cuáles están más seguros y sobre cuáles necesitarían seguir practicando. Problemas de recapitulación

A continuación ofrecemos un conjunto de problemas destinados a volver sobre los contenidos trabajados en esta unidad. El docente decidirá cuáles abordar, cuáles hacerlo con todo el grupo, cuáles proponer a algunos alumnos de acuerdo a los aspectos sobre los cuales requieran continuar trabajando. Material para el alumno, p....

Problemas de recapitulación

1) a) Tenemos una bolsa con 42 caramelos y queremos ponerlos en bolsas más pequeñas de

tal forma que en todas entre la misma cantidad de caramelos y no quede ninguno suelto, ¿cuántos caramelos puede tener cada bolsa? Anotá todas las posibilidades.

b) ¿Y si fueran 70 caramelos? c) ¿Y para 96 caramelos? d) En otra oportunidad, se armaron bolsitas con 9 caramelos y no sobró ninguno. ¿Cuántos

caramelos podría tener la bolsa grande inicial? ¿Hay una única posibilidad? ¿Cuántas? e) ¿Y si se hubieran armado bolsas con 16 caramelos? f) En este último caso, para la misma cantidad total de caramelos, ¿se hubieran podido

armar bolsitas de 8 caramelos cada una? ¿Por qué? ¿De qué otras cantidades de caramelos se hubieran podido armar bolsitas estando seguros de que no sobraría ninguno? ¿Por qué?

2) a) Los 54 alumnos de los dos séptimos grados de una escuela van a formar equipos para

trabajar. Las maestras quieren que todos los equipos tengan la misma cantidad de alumnos. ¿De cuántas formas diferentes se pueden agrupar?

b) Los de los dos sextos grados son 48 y van a hacer lo mismo. ¿De cuántas formas diferentes se pueden agrupar?

c) Para un proyecto común trabajan 6° y 7° juntos. Quieren agruparse pero con la misma cantidad de alumnos de 6° en cada grupo por un lado, y la misma cantidad de alumnos de 7°, por otro lado. ¿Cuál es la mayor cantidad de grupos que se pueden formar? ¿Cuántos alumnos de 6° y cuántos de 7° participarán en cada grupo?

3) Se tienen 48 baldosas para cubrir un patio rectangular, ¿cuántas baldosas de ancho y de largo puede tener ese patio? ¿Cuántas posibilidades hay?

4) a) Se tienen un recipiente, ¿cuánta agua sería necesario que contenga si habrá que llenar

exactamente bidones de 6 litros y de 4 litros. ¿Hay una sola respuesta? ¿Cuántas?

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b) ¿Y si los bidones fueran de 3 y de 8 litros? 5) Si en la calculadora sólo pudiera multiplicarse por 5 y por 7, ¿cómo podrían hacerse los siguientes cálculos? 127 x 35 127 x 25 127 x 49 127 x 75 6) Para cada uno de los siguientes cálculos, no vale anotar en la calculadora el segundo factor. Cómo se podrían resolver usando, en su lugar, multiplicaciones por una cifra. Si hay más de una posibilidad, anótenlas. 37 x 42 = 56 x 81 = 51 x 100 = 67 x 36 = 47 x 86 = 7) Sabiendo que 35 x 24 = 840 resolvé mentalmente y anotá cómo lo pensaste para cada caso: 840 : 24 = 840 : 35 = 840 : 7 = 840 : 12 = 840 : 5 = 840 : 6 = 840 : 48 = 8) Hallá sin hacer la cuenta el resto de dividir por 5 las siguientes operaciones y, para cada caso, anotá cómo lo pensaste: a) 327 x 15 = el resto de dividir por 5 este producto va a ser .... 348 x 27 x 5 = 310 x 12 + 1 = 180 x 125 x 3 = 356 x 25 + 4 = 789 x 125 + 2 =

b) 157 x 45 = el resto de dividir por 5 este producto va a ser .... 144 x 35 x 14 – 3 = 407 x 45 – 4 = 107 x 85 – 5 = 247 x 95 – 1 = c) 457 x 75 = el resto de dividir por 5 este producto va a ser .... 574 x 25 + 7 = 346 x 67 x 45 + 9 = 124 x 75 + 8 =

41

345 x 27 x 35 – 8 = 67 x 45 x 25 – 6 =

9) Este problema incluye una serie de afirmaciones para que el docente seleccione o agrupe para ir trabajando en diferentes momentos. Para cada una de las siguientes afirmaciones, indicar si es Verdadera o Falsa justificando la decisión tomada6: a) Si un número es múltiplo de otro, la división del primero por el segundo es exacta b) Cada número es múltiplo de sí mismo c) El 0 es múltiplo de todos los números d) Los múltiplos de un número son infinitos e) En una división exacta, el dividendo es múltiplo del divisor f) Si un número es divisible por 6, entonces es divisible por 3 g) Si un número es divisible por 3, entonces es divisible por 6 h) Si un número es divisible por 3 y por 5, entonces es divisible por 15 i) Si un número es divisible por 7, entonces no es divisible por 2 j) Si un número no es divisible por 4, entonces no es divisible por 2 k) Si un número es divisible por 16, entonces es divisible por 8 y por 4 l) La suma de múltiplos de un número también es múltiplo de ese número m) La diferencia entre múltiplos de un número también es múltiplo de ese número n) Si un número a es múltiplo de otro b, todos los múltiplos de a son múltiplos de b o) Si un número es divisor de otro, todos los divisores del primero son divisores del otro p) Si un número es divisor común de otros, lo es de su suma q) Si un número es divisor común de otros dos, lo es de la diferencia del mayor menos el

menor. r) Si un número es divisor de otro, lo es de los múltiplos de este último 10) Tres empresas de micros van desde la ciudad A hacia la ciudad B, distantes 180 km una de la otra. Las tres empresas tienen distintas paradas a lo largo de la ruta: La Atlántica, cada 15 km.; El Lento, cada 10 km.; y La Luz, cada 18 km. Los tres parten de la terminal de micros de la ciudad A en el Kilómetro 0. ¿En qué kilómetros coinciden las tres paradas? ¿Hay una única posibilidad? ¿Cuántas? ¿Cuál es el lugar más cercano en el cual coincidirán? 11) En una biblioteca hay menos de 800 libros. Se pueden colocar exactamente en grupos de 24 o en grupos de 36, pero si se colocan en grupos de 25 sobre uno. ¿Cuántos libros hay en la biblioteca? 12) Un granjero, tras llenar una cesta con huevos piensa: “Si los pongo de a 12, me sobran 5. Si tuviera uno más, podría envasarlos exactamente en cajas de 10”. El granjero juntó casi 100 huevos. ¿Cuántos juntó exactamente? 13) Al contar las bolitas de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6, unos chicos se dan cuenta de que cada vez les quedan 2. ¿Cuántas bolitas son sabiendo que es un número entre 100 y 150? 14) Una caja contiene menos de 100 naranjas. Contándolas de 4 en 4, de 5 en 5 y de 6 en 6, sobran siempre 3 naranjas. ¿Cuántas naranjas tiene la caja? 15) Dos cometas se aproximan al sol, uno cada 25 años y otro cada 60 años. Si se aproximaron juntos en 1950, ¿en qué años volverán a hacerlo?

6 A partir de una actividad extraída de Chemello (coord), Agrasar, Crippa y Díaz (2003): Matemática 7. Buenos

Aires: Longseller.

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16) Se quiere embaldosar un pasillo de 8,60 m de largo por 2,40 m de ancho con baldosas cuadradas de la mayor dimensión posible que puedan caber un número entero de veces en cada lado. ¿Cuánto mide cada lado de las baldosas si se sabe que mide una cantidad entera de centímetros? ¿Cuántas habrá que usar para cubrir todo el pasillo? (Ayuda: pensá las medidas en cm) 17) Tres sogas miden 180 m, 250 m y 324 m y se quieren dividir en partes iguales de un número entero de metros. ¿Cuánto debe medir cada parte para obtener la menor cantidad de fragmentos de soga? 18) ¿Cuál es el mayor número divisor de 247, 367 y 427 que, en todos los casos, da como resto 7? 19) Encuentren un número que tenga el mismo resto tanto en la división por 4 como en la división por 9. ¿Hay una única posibilidad? Podrían explicar un método para hallarlos. 20) a) Escribí 3 múltiplos de cada uno de los siguientes números que sean mayores que 100:

6 13 9 4

b) Buscá los divisores de cada uno de los siguientes números

45 100 36 96

c) Buscá los divisores comunes de : - 15, 55 y 70 - 42 y 18

d) Buscar el mcm de los siguientes números - 9 y 12 - 4, 6 y 8 - 5 y 10 e) Buscar el mcd de los siguientes números - 4 y 6 - 225 y 125 f) ¿Cuál es el número más pequeño que se puede dividir exactamente por 5, 6 y 15? g) Completá la cifra que falta en estos números para obtener un número divisible por 2. ¿Cuántas posibilidades hay en cada caso? Justificá tu respuesta. 25... 1..4 ...37 h) Agregale una cifra a estos números para obtener números que sean divisibles por 9 261.. ...261 43.. 4...3

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i) ¿Y para que sean divisibles por 3? j) ¿Y para que sean divisibles por 4? 21) Una fábrica de gaseosas envasa las botellas en packs de 8. Un empleado, mientras carga los packs en el camión, va contando la cantidad de botellas que van cargando: 8; 16; 24; etc. ¿Cuáles de los siguientes números es posible que haya dicho? 34 56 46 72 78 80 96 100 108 120