DISEÑO DE LOSA BIDIRECCIONAL, MÉTODO DE PÓRTICO

EQUIVALENTE

PROBLEMA:

Calcular los momentos de diseño por el método “Pórtico Equivalente” la

dirección achurada para una losa armada en dos sentidos ubicada en un piso

intermedio, el edificio tiene pantallas o muros de corte que toman la fuerza de

sismo y la losa no tiene vigas de borde.

Altura de piso = 2.70 m.

Columnas = 40cm x 40cm

Cargas por tabiquería = 100 kg/m2

Recubrimiento y acabados = 100 kg/m2

Sobrecargas = 200 kg/m2

fy = 4200

kg/cm2

f’c = 210 kg/cm2

Solución:

1. Pre dimensionamiento de la losa

a) Por deflexión:

Según el ACI-83, nos da la siguiente información:

Para losas sin vigas o ábacos:

h=ln(800+0.071 fy)

36000>12.5cm

h=500 (800+0.071 x 4200)

36000

h=15.25cm

Como 15.25 es mayor a 12.5 cm. Usar h = 15.25 cm.

Las normas en esa misma sección nos indican que para losas sin vigas de borde y para losas con bordes descontinuas deberán ser aumentadas un mínimo de 10% de su espesor.

∴15.25×1.10=16.78usar h=17 cm

b. Verificar esfuerzo de corte

Considerando ϕ=1 /2

d=h−recubrimiento−ϕ2=17−2−1.3

d=13.7cm

Cargamuerta=P .P+ tabiqueria+rec .acabados

W D=408+100+100=608k /m2

W L=200k /m 2

Cargas factorizadas (ultimas)

WU=W D×1.4+W L×1.7=851.2+340

WU=1191.2k /m 2

b.1) Corte flexión

Considerar una franja de 1m de ancho a la distancia “d” de la cara de la columna de apoyo.

V U=1.191×2.363=2.814Tn .

V C=0.53×√ f ´ c×bw×d=0.53√210×100=13.7Tn

V C=10.522Tn

ϕ V C=0.85×10.522=8.944Tn

V U<ϕV C

b.2) Corte por punzonado

A la distancia “d/2”

V U=1.191(5×4−0.5372)=23.477Tn

V C=0.27(2+4βC

)√ f ´C×bo×d Donde βc=C1C 2

V C=0.27(2+ 41 )√210×214.8×13.7=69.08Tn

Pero no mayor que

V C=1.1√ f ´C ×bo ×d Donde bo=Perimetro de la seccioncritica

V C=1.1√ f ´C ×214.8×13.7=46.9Tn

Luegousar β×V C=0.85×46.9=39.87Tn

V u<V C β

Por consiguiente h=17 cm cumpla por defleccion corte.

2.- Elementos para “El Portico Equivalente”

Encontrar las constantes para distribucion de momntos y los momentos de empotramiento, para esto se usara el procedimiento de distribucion de momentos en la estructura parcial. Los factores de rigidez (“k”), los factores de transporte (FT), y los factores de momentos de empotramiento (FME), los

C1

C2

cuales podran determinarse por cualquier procedimiento estructural, aquí se obtuvieron por viga conjugada.

a) Rigidez a Flexion para viga-Losa en ambos extremos “K sb”

K sb=KNF cosI s

L

Donde: I s=l2h

3

12=

400× (17 )3

12=163766.6cm4

Ecs=15100√210=218819.78Kg

cm2

l1=500cm

K NF=4.27 ( Interpolando en tabla1 )

FT ¿0.514 ( Interpolando en tabla1 )

FME=0.843×l2l12

K sb=(4.27×2.19×105 ×163766.6)/500

K sb=306.286×106

b) Columna: Rigidez a la flexión en ambos extremos “kc”

Kc=Kc Ecc ic/lc

Donde: C4

12=404

12=2.13 x105cm4

Kc=4.74 (interpolando de tabla 2)

Ecc=15100√210=218819.78 kg/cm 2

lc=270 cm

Kc=(4.74x218819.78x2.13x105)/270

C) Miembros a torsión, rigidez torsional “Kt”

Kt= 9 xEcsxc

l2(1−C 2l 2 )

3

Donde:

Ecs=218819.78 k/cm2.

C=∑ (1−0.63( xy )) x3 y /3

C=∑

(1−0.63( 1740 ))173 40

3=47967.25cm 4

C2=40cm , l2=400cm

k t=9 x218819.78 x 47967.25

400(1− 40400

)3

=323.96 x 106

d) Rigidez de columna equivalente “Kec”

Kec=∑ kc x∑ kt /(∑ kc+∑ kt)

Kec=2x 818.24 x106 x 2x 323.96 x106

106(2x 818.24+2x 323.96)

Kec=464.15x106

e) Factor de distribución (F.D) en el nodo viga-losa

En nodo exterior:

F.D =306.28/(306.28+464.15)=0.398

En modo interno

F.D =306.28/(306.28+306.28+ 464.15)=0.284

F.transporte para viga losa =0.514

3. Analisis parcial de la estructura en la estructura equivalente:

Encontrar los momentos máximos positivos y negativos para las vigas –losas usando el método de distribución de momentos .

Debido a que WL <3/4 NO, se usará el caso (1) de estado de carga ,vale decir que los momentos de diseño se producirán en todas las secciones críticas con cargas vivas factorizadas en todos los tramos.

WL/WD=200608

=0.33< 34=0.75

a)Cargas factorizadas y momentos de empotramiento

Wd=1.4(608)=851.2 k/m3 ¿

WL=1.7(200)=340.0 k/m2¿

Wd+WL=851.2 +340.0 =1191.2 k/m2¿

Momento de empotramiento para vigas-losas

ME=0.0843 W L2 L12

ME=0.0843(1191.2)(4)(52)=10041.82 Kg-m

ME=10.04 Tn-m

b) La distribución de momentos se muestra en la tabla 11º3,es en base a los resultados previos a ella ver (a), la continuación de b) será con valores de la tabla ,Nº3 .

TABLA N° 3, DISTRIBUCION DE UN PORTICO PARCIAL

NODO 1 2 3 4

ELEMENTO 1-2 2-1 2-3 3-2 3-4 4-3

F.D

F.T

0.398

0.514

0.284

0.514

0.284

0.514

0.284

0.514

0.284

0.514

0.398

0.514

M.E.F

M.T.

M.T.

M.T.

10.04

0.0

0.29

0.03

-10.04

-2.05

0.0

-0.06

-10.04

0.0

-0.29

-0.03

-10.04

0.0

0.29

0.03

-10.04

2.05

0.0

0.06

-10.04

0.0

-0.29

-0.03

∑

M.D

10.36

-4.12

-12.15

0.81

9.72

0.81

-9.72

-0.81

12.15

-0.81

-10.36

4.12

M(-) 6.24 -11.34 10.53 -10.53 11.34 -6.24

Ma CL

(viene de

6.1 4.36

(b))

M.T. = Momento de transporte = F.D x F.T x (momento balanceado en el nodo

transportado al otro extremo).

M.D. = Momento de distribución = - (F.D x Momento desbalanceado en el nodo)

Ma CL = Momento que se encontrará más adelante en el punto (b)

DIAGRAMA DE MOMENTO Y CORTE

W = 1191.2 X 4 = 4764.8 t/m

{b} {A continuación}

Se encontraran los momentos positivos con la siguiente ecuación:

M φ=M S−12(M L+MR)

M S = momento en el centro de la viga, se cumple con exactitud cuando los momentos de extremos son iguales. Cuando no sucede esto el valor es bastante aproximado.

M 1−2¿¿

M 1−2¿¿

M 2−3¿¿

M 2−3¿¿

4. Momentos de Diseño

El siguiente grafico muestra la distribución de momentos (+) y (-).

Los momentos (-) se tomaran en la cara del apoyo recto menor o igual a 0.175l1 del centro de los apoyos, 40 cm < 0.175 x 500 = 87.5 cm. (usar la cara de la columna)

5. Momentos factorizados totales por tramo. De acuerdo a las limitaciones

de la sección 13.6.1 del ACI-83, los momentos obtenidos en las losas

deben tener sus reducciones tal que la suma del momento positivo y del

negativo promedio necesitan ser mayor que:

MO=W u l2ln

2

8=

1191.2x 4 x(4.60)2

8=12602.9K−m

Tramo Extremo: 6.1+ 4.34+9.042

=9.74<12.6 OK!

Tramo Interno: 4.36+ 8.37+8.372

=10.55<12.6 OK!

6. Distribución del momento de diseño a través de la franja viga-losa.

Los momentos factorizados negativos y positivos en las secciones

críticas, deben ser distribuidos en la franja de columna y dos medias

franjas centrales de la viga-losa de acuerdo a los porcentajes

especificados en la sección 13.6.4 y 13.6.6 se verá en la Tabla (4).

7. Momentos de columna.

El momento desbalanceado de las vigas-losas en el apoyo de la

estructura equivalente se distribuye a las columnas reales de arriba y

debajo de la viga-losa, en proporción a la rigideces relativas de las

columnas reales de la Tabla (3) tenemos:

Nodo 1 = 6.24 T-m

Nodo 2= -11.34+10.53= 0.81 T-m

Las rigideces y factores de transporte de las columnas reales y la

distribución de momento desbalanceado en las columnas interiores y

exteriores se muestran en la figura siguiente:

Los momentos de diseño para las columnas deben ser tomadas en la

unión de la columna y la losa

Momento de diseño en columnas exteriores: 2.97 tn .m

Momentos de diseño en columnas interiores : 0.39 tn .m

MOMENTOS EN COLUMNA

TABLA N4 : Distribución de momentos factorizados

Momentos

factorizados

Franja de columna

X momento

* 2 mitades de

franjas centrales

Tramo final

Negativo exterior

Positivo

Negativo interior

4.34

6.10

9.04

100 4.34

60 3.66

75 6.78

0

2.44

2.26

Tramo interior

Negativo

positivo

8.37

4.36

75 6.28

60 2.62

2.09

1.74

X= es un porcentaje del reglamento para losas sin vigas

* = esta porción de momento no resistido por la franja de columna será

resistido por dos mitades de la franja central .

8. Transferencia de cargos de gravedad y momentos en columnas exteriores.

- Verificar corte en la losa y esfuerzo por flexión en cara de la columna, debido a corte directo y transferencia de momento desbalanceado.

a) Esfuerzo de corte factorizado, transferido a una columna exterior.

Vu=W u l1l2

2=1491.2 x 4 x

2=1192kg

Vu=11.9Tn

b) Momento desbalanceado transferido a la columna exterior.

Cuando se analiza la estructura por métodos más exactos como el análisis como pórtico equivalente, se considera la rigidez real, pudiendo así obtenerse el momento de transferencia y mediante el análisis estructural el momento desbalanceado de la columna exterior.

Mu = 4.34 Tn

Considerando que el “Mu” está ubicado en el centroide de la sección crítica de transferencia.

c) Esfuerzo de corte combinado en la cara interna de la sección crítica de transferencia.

Cuando se analiza la estructura por métodos más exactos como el análisis como pórtico equivalente, se considera la rigidez real, pudiendo así obtenerse el momento de transferencia y mediante el análisis estructural el momento desbalanceado de la columna exterior.

Vu=V u

Ac+(γV Mn)/(d /c)

a=C 1+ d2=40+ 13.7

2=46.85cm

b=C 2+d=40+13.7=53.7cm

C= a2

2a+b= 46.852

2 (46.85 )+53.7=14.89cm

Ac=(2a+b ) d= (2x 46.85+53.7 ) x 13.7=2019.4 cm2

Jc=

(2ad (a+2b )+d3 (2a+b ) )6

Jc=¿¿

Jc=34349.87cm3

γ y=1− 1

1+2/3

√ c1+d

c2+d

=1− 1

1+2/3

3√ 40+13.740+13.7

=0.40

γ y=119002019.4

+( 0.4 x 43400034349.87 )=10.95 k /cm2

d. Calculo del esfuerzo de corte combinado en la cara exterior de la sección critica de transferencia.

Vu =119002019.4

−0.40 x 43400016003.43

=5.90−10.85

Vu= 119002019.4

−0.40 x 43400016003.43

=5.90−10.85

Vu = 4.95 k/cm2

C’ = a-c = 46.85-14.89 = 31.96 cm

J/c1’= (J/c)(c/c’) = (34349.87)(14.89/31.96)

J/c’ = 16003.43 cm3

e. Verificación del esfuerzo permisible

∅Vn=∅ x1.10√210

∅Vn=0.85 x1.10√210=13.55

13.55 k/cm2 > 10.95 k/cm2………. Esta bien

f) Diseño para momento desbalanceado transferido pro flexión para franja central y franja de columna

As(min)=0.0018∗200∗17=6.12cm2

Usar 6.121.29

=4.8→5ϕ1/2

Para Smáx=2h=2∗17=34cm

# Barras requeridas 200/34 = 6 ϕ ½”

Usar 6ϕ 1/2

Hallar “As” para franja de columna

M u¿¿

As=9cm2→Usar 7ϕ 1/2

Usar 6ϕ 1/2 @ 34 c de espaciamiento en la franja central y una porción de la franja de columna fuera de la sección de transferencia del momento.

c+2 (1.5h )=40+2 (1.5∗1.7 )=91cm

Se requiere refuerzo adicional sobre la columna con un ancho efectivo de 91 cm para tomar la fracción de momento desbalanceado transferido por flexión en caso de columna cuadrada se tiene:

γ f =1

1+2/3√ c1+dc2+d

= 1

1+23∗√1

=60 %

γ f Mu=0.6 ( 4.34 )=2.6T−mque debe ser tomado por la losa de ancho efectivo de 91 cm.

Probar 3ϕ ½” + 2 ϕ ½” (existente= 5 ϕ ½”

5*1.29=6.45 cm2

Mu=Asϕ∗fy(d−a2 )=6.45∗0.9∗4200 (0.9∗13.7 )=3T−m

Probar 4 ϕ ½”

4 * 1.29 = 5.16 cm2

Mu= 2.4 T-m ∴3T−m>2.6T−m

Usar 3ϕ ½” adicionales