analisis dinamico estructural portico

Memoria Descriptiva

Para el análisis dinámico estructural del pórtico asignado, se tomo un

modelo en el cual no existen rotaciones en los miembros horizontales a la altura

de los pisos, por ello se debe cumplir que:

La masa de la estructura esta concentrada al nivel de los pisos.

Las vigas al nivel de los pisos son infinitamente rígidas, con relación a la

rigidez de las columnas.

No existe relación entre la deformación de la estructura y las fuerzas

axiales presentes en la columna.

Al concentrar las masas al nivel de los pisos, el modelo asumido tendrá

tantos grados de libertad como numero de pisos, es decir tendrá tantos

desplazamientos horizontales como numero de pisos.

La segunda condición implica que las vigas permanezcan horizontales

durante el movimiento de la estructura, es decir que no roten.

La tercera condición permite que las vigas permanezcan horizontales

durante el movimiento de la estructura.

El análisis del pórtico se hizo como un sistema de vibración libre, a pesar de

que este no es el caso mas frecuente, de hecho en muy pocas circunstancias

actuará bajo esa condición, pero este análisis permite determinar las propiedades

dinámicas más importantes de la estructura (Periodo, frecuencia natural, velocidad

angular, masa participativa, etc.). El modelo debe tomar en cuenta el hecho de

que se considerarán resortes interconectados, por lo que el análisis de cuerpo

libre del pórtico arroja una ecuación en términos matriciales, la cual en su forma

más resumida es:

Donde: K= Matriz de rigideces del pórtico

= Periodos del Movimiento

M= Matriz de masas

amp = Amplitud del movimiento

Para la determinación de los parámetros dinámicos debemos construir la matriz de

rigidez, para esto nos apoyaremos en el programa SAP 2000 versión 8.08 en el

cual cargamos el pórtico con los datos asignados, además de cargas puntuales

horizontales a la altura de los pisos de magnitud 1 Kg. para el análisis modal. Una

vez cargado el pórtico se corre el análisis y se la pide al programa que exporte una

salida en donde reporte los desplazamientos de los nodos. Con esta salida se

escoge un nodo por cada piso y se construye la matriz de desplazabilidad o matriz

flexibilidad a partir de los desplazamientos horizontales. Se debe cumplir que esta

matriz sea simétrica, dado el hecho que se debe cumplir con el Teorema de

desplazamientos de Maxwell y Betti. La matriz de flexibilidad arrojada es:

0.000010143017 0.000012974017 0.000013767469 0.000014039218

0.000012974017 0.000032272733 0.000037900983 0.000039275252

0.000013767469 0.000037900983 0.000076600206 0.000091255620

0.000014039218 0.000039275252 0.000091255620 0.000194571419

F=

2. Matriz Rigidez

205810.4855 -94143.78088 10521.63189 -781.4482350

-94143.78081 119298.9120 -48749.94662 5575.900011

10521.63178 -48749.94658 55445.88965 -16923.35675

-781.4482340 5575.900018 -16923.35675 12007.57995

K=

3. Matriz Masa (m=25 UTM) > mm:=75;

:= mm 75

> M:=Matrix([[mm, 0, 0,0], [0, mm, 0,0], [0, 0, mm/2,0],[0, 0,0, mm/4]]);

:= M

75 0 0 0

0 75 0 0

0 0752

0

0 0 0754

4. Ecuación Caracteristica

> ([KKK]-(omega^2)*[MMM])*[aaa]=[0];( )[ ]KKK 2 [ ]MMM [ ]aaa [ ]0

> ([KKK]-LL*[MMM])*[aaa]=0; ( )[ ]KKK LL [ ]MMM [ ]aaa 0

5. Determinación de modos y frecuencias Se obtienen igualando el determinante de la ecuación caracteristica a cero.> [[KKK]-LL*[MMM]]=0;

[ ][ ]KKK LL [ ]MMM 0

> ML:=evalm(L*M);

:= ML

75 L 0 0 0

0 75 L 0 0

0 075 L

20

0 0 075 L

4

> R:=evalm(K-ML);

:= R

, , ,205810.4855 75 L -94143.78088 10521.63189 -781.4482350

, , ,-94143.78081 119298.9120 75 L -48749.94662 5575.900011

, , ,10521.63178 -48749.94658 55445.8896575 L

2-16923.35675

, , ,-781.4482340 5575.900018 -16923.35675 12007.5799575 L

4

a.-Obtencion del Polinomio Caracteristico> PC:=det(R);

PC 0.2385720942 1019 0.2314600509 1017 L 0.4590746835 1014 L2 :=

0.2552509845 1011 L3 316406258

L4

b.-Obtencion de las Raíces del Polinomio Caracteristico > LL(I):=solve(PC);

:= ( )LL I , , ,138.0156978 596.9145803 1935.110530 3783.712479

> l1:=138.0156978;l2:=596.9145803;l3:=1935.110530;l4:=3783.712479;

:= l1 138.0156978

:= l2 596.9145803

:= l3 1935.110530

:= l4 3783.712479

c.-Determinacion de los Modos y Frecuencias Se resuelve la ecuacion ((K- M)A=0) para cada ( ) i c.1-MODO1 ( 1)

a. Frecuencia Angular(rad/seg.):> omega[I]:=sqrt(li);

:= I

li

> omega[1]:=sqrt(l1); :=

111.74800825

b.Periodo Natural(seg.):> Gamma[I]:=2*Pi/omega;

:= I

2

> Gamma[1]:=evalf(2*Pi/omega[1]); :=

10.5348298344

c.Frecuencia Natural(c.p.s)> f[I]:=1/Gamma;

:= fI

1

> f[1]:=1/Gamma[1]; := f

11.869753585

d.Determinación de las amplitudes del modo para a41=1> aa:=Matrix([[a11], [a21], [a31],[1]]);

:= aa

a11

a21

a31

1

> evalm((K-l1*M)*aa);

195459.3082 a11 94143.78088 a21 10521.63189 a31 781.4482350

94143.78081 a11 108947.7347 a21 48749.94662 a31 5575.900011

10521.63178 a11 48749.94658 a21 50270.30098 a31 16923.35675

781.4482340 a11 5575.900018 a21 16923.35675 a31 9419.785616

SISTEMA DE ECUACION LINEAL X*A=Y

> SE:=evalm((K-l1*M)):X := array(1..3,1..3):for i to 3 do: for j to 3 do X[i,j] := SE[i,j] end do:end do: print(X);

195459.3082 -94143.78088 10521.63189

-94143.78081 108947.7347 -48749.94662

10521.63178 -48749.94658 50270.30098

> Y := array(1..3,1..1):for i to 3 do: Y[i,1] := SE[i,4]*(-1) end do: print(Y);

781.4482350

-5575.900011

16923.35675

> Z1:=linsolve(X,Y);

:= Z1

0.1517245389

0.3822056122

0.6755374353

Amplitudes del Movimiento> a1 := array(1..4,1..1):for i to 3 do: a1[i,1] := Z1[i,1] end do:a1[4,1]:=1: print(a1);

0.1517245389

0.3822056122

0.6755374353

1

Grafica del Modo de Vibración 1> PTO1 := array(1..5,1..1):for i to 4 do: PTO1[i+1,1] := a1[i,1] end do:PTO1[1,1]:=0: print(PTO1);

0

0.1517245389

0.3822056122

0.6755374353

1

> H:=3.10; := H 3.10

> l := [[ PTO1[n,1], H*(n-1)] $n=1..5];plot([l,l],a=0..1,h=0..H*4+1,color=[blue,red],style=[point,line],symbol=circle);

l [ ],0 0. [ ],0.1517245389 3.10 [ ],0.3822056122 6.20 [ ],0.6755374353 9.30, , , ,[ :=

[ ],1 12.40 ]

Amplitud del Modo de Vibración 1

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0.15 0.3 0.45 0.6 0.75 0.9 1.05

amplitud

Alt

ura

de

En

trp

iso

s

Modo 1 en Forma Normalizada

ij

aij

k 1

n

mkakj2

> m:=Matrix([[mm],[ mm],[ mm/2],[ mm/4]]);

He (m) Amp (m)0 0

3.10 0.15176.20 0.38229.30 0.6755

12.40 1

:= m

75

75

752

754

> ma²:=0:for i to 4 do: ma²:=ma²+m[i,1]*a1[i,1]^2 :print(ma²):end do:

1.726525178

12.68260993

29.79576592

48.54576592

> fn1:=array(1..4,1..1):for i to 4 do: fn1[i,1] := a1[i,1]/sqrt(ma²) end do: print(fn1);

0.02177610228

0.05485565197

0.09695578836

0.1435239312

Factor de Participacion Modal

ij

k 1

n

mk

k 1

n

mk2

> NUM:=0:DEN:=0:for i to 4 do: NUM:=NUM+ m[i,1]*fn1[i,1]:DEN:=DEN+ m[i,1]*fn1[i,1]^2 end do: Gamma[1]:=NUM/DEN;

:= 1

12.07429734

> NUM:=0:DEN:=0:for i to 4 do: NUM:=NUM+ m[i,1]*fn1[i,1]: end do: Gamma[1]:=NUM;

:= 1

12.07429734

c.1-MODO2( 2)

a. Frecuencia Angular(rad/seg.):

> omega[I]:=sqrt(li); := I

li


224.43183539


:= I

2


20.2571720547


:= fI

1

> f[2]:=1/Gamma[2]; := f

23.888447371


:= aa

a11

a21

a31

1


161041.8920 a11 94143.78088 a21 10521.63189 a31 781.4482350

94143.78081 a11 74530.31848 a21 48749.94662 a31 5575.900011

10521.63178 a11 48749.94658 a21 33061.59289 a31 16923.35675

781.4482340 a11 5575.900018 a21 16923.35675 a31 815.43157



161041.8920 -94143.78088 10521.63189

-94143.78081 74530.31848 -48749.94662

10521.63178 -48749.94658 33061.59289

> Y := array(1..3,1..1):

for i to 3 do: Y[i,1] := SE[i,4]*(-1) end do: print(Y);

781.4482350

-5575.900011

16923.35675


:= Z2

-0.2621791921

-0.4672505238

-0.09365938348


-0.2621791921

-0.4672505238

-0.09365938348

1


0

-0.2621791921

-0.4672505238

-0.09365938348

1

> > l := [[ PTO2[n,1], H*(n-1)] $n=1..5];plot([l,l],a=-1..1,h=0..H*4+1,color=[blue,red],style=[point,line],symbol=circle);l [ ],0 0. [ ],-0.2621791921 3.10 [ ],-0.4672505238 6.20 [ ],-0.09365938348 9.30, , , ,[ :=

[ ],1 12.40 ]


ij

aij

k 1

n

mkakj2

Amplitud del Modo de Vibración 2

0

2

4

6

8

10

12

14

-1.2 -0.7 -0.2 0.3 0.8 1.3

amplitud

Alt

ura

de

En

trp

iso

s


:= m

75

75

752

754


5.155344658

21.52957356

21.85852656

40.60852656


-0.04114239836

-0.07332316128

-0.01469747326

0.1569247278


ij

k 1

n

mk

k 1

n

mk2


:= 2

-6.193733575


:= 2

-6.193733574

c.1-MODO3( 3)


:= I

li


343.98989123


:= I

2


30.1428324811


:= fI

1

> f[3]:=1/Gamma[3]; := f

37.001208635


:= aa

a11

a21

a31

1


60677.1958 a11 94143.78088 a21 10521.63189 a31 781.4482350

94143.78081 a11 25834.3777 a21 48749.94662 a31 5575.900011

10521.63178 a11 48749.94658 a21 17120.75522 a31 16923.35675

781.4482340 a11 5575.900018 a21 16923.35675 a31 24275.74249



60677.1958 -94143.78088 10521.63189

-94143.78081 -25834.3777 -48749.94662

10521.63178 -48749.94658 -17120.75522


781.4482350

-5575.900011

16923.35675


:= Z3

0.6920420383

0.2843134238

-1.372732054


0.6920420383

0.2843134238

-1.372732054

1


0

0.6920420383

0.2843134238

-1.372732054

1

> > l := [[ PTO3[n,1], H*(n-1)] $n=1..5];plot([l,l],a=-2..1,h=0..H*4+1,color=[blue,red],style=[point,line],symbol=circle);

l [ ],0 0. [ ],0.6920420383 3.10 [ ],0.2843134238 6.20 [ ],-1.372732054 9.30, , , ,[ :=

[ ],1 12.40 ]


ij

aij

k 1

n

mkakj2


:= m

75

75

752

754


35.91916371

41.98172293

112.6464714

131.3964714


0.06037270368

0.02480307429

-0.1197550740

0.08723849179


ij

k 1

n

mk

k 1

n

mk2


:= 3

3.533089795


:= 3

3.533089794

c.1-MODO4( 4)


:= I

li


461.51188892


:= I

2


40.1021458683


:= fI

1

> f[4]:=1/Gamma[4]; := f

49.789921185


:= aa

a11

a21

a31

1


77967.9504 a11 94143.78088 a21 10521.63189 a31 781.4482350

94143.78081 a11 164479.5239 a21 48749.94662 a31 5575.900011

10521.63178 a11 48749.94658 a21 86443.32835 a31 16923.35675

781.4482340 a11 5575.900018 a21 16923.35675 a31 58937.02903



-77967.9504 -94143.78088 10521.63189

-94143.78081 -164479.5239 -48749.94662

10521.63178 -48749.94658 -86443.32835


781.4482350

-5575.900011

16923.35675


:= Z4

-3.885199799

2.948756453

-2.331628384


-3.885199799

2.948756453

-2.331628384

1


0

-3.885199799

2.948756453

-2.331628384

1

> > l := [[ PTO4[n,1], H*(n-1)] $n=1..5];plot([l,l],a=-6..6,h=0..H*4+1,color=[blue,red],style=[point,line],symbol=circle);

l [ ],0 0. [ ],-3.885199799 3.10 [ ],2.948756453 6.20 [ ],-2.331628384 9.30, , , ,[ :=

[ ],1 12.40 ]


ij

aij

k 1

n

mkakj2


:= m

75

75

752

754


1132.108311

1784.245657

1988.114066

2006.864066


-0.08672701106

0.06582334159

-0.05204755768

0.02232240697


ij

k 1

n

mk

k 1

n

mk2


:= 4

-3.101013493


:= 4

-3.101013493

MATRIZ DE LOS MODOS NORMALIZADA> Mfn:=array(1..4,1..4):for i to 4 do: Mfn[i,1] := fn1[i,1]:Mfn[i,2] := fn2[i,1]:Mfn[i,3] := fn3[i,1]:Mfn[i,4] := fn4[i,1] end do: print(Mfn);

0.02177610228 -0.04114239836 0.06037270368 -0.08672701106

0.05485565197 -0.07332316128 0.02480307429 0.06582334159

0.09695578836 -0.01469747326 -0.1197550740 -0.05204755768

0.1435239312 0.1569247278 0.08723849179 0.02232240697

Chequeo de la Ortogonalidad de los modos normales1. [ ]T [ ]M [ ] [ ]12. [ ]T [ ]K [ ] [ ] 2

2. [ ]T [ ]K [ ] [ ]

> MfnT:=transpose(Mfn);

:= MfnT

0.02177610228 0.05485565197 0.09695578836 0.1435239312

-0.04114239836 -0.07332316128 -0.01469747326 0.1569247278

0.06037270368 0.02480307429 -0.1197550740 0.08723849179

-0.08672701106 0.06582334159 -0.05204755768 0.02232240697

> multiply(MfnT,M,Mfn);

1.000000000 0.10 10-8 0. -0.286 10-8

0.11 10-8 0.9999999998 0.1 10-9 -0.388 10-8

-0.1 10-9 0.1 10-9 0.9999999998 -0.505 10-8

-0.296 10-8 -0.377 10-8 -0.505 10-8 1.000000000

> multiply(MfnT,K,Mfn);

138.0156981 0.61 10-6 -0.13 10-6 0.423 10-6

0.5 10-6 596.9145799 0.3 10-6 -0.193 10-5

0.1 10-6 -0.3 10-6 1935.110530 -0.00001224

-0.4 10-6 -0.27 10-5 -0.97 10-5 3783.712483

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analisis dinamico estructural portico

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