57760236 portico equivalente

El METODO DEL PÓRTICO (O PORTAL EQUIVALENTE)

Dado que la distribución de momentos toma en cuenta a vigas y

columnas, podemos decir que se tiene un primer indicio o idea al Análisis

Estructural; teniendo la desventaja que los cálculos se complican según el tipo

de estructura o de la cantidad de marcos que se trabajen. En realidad debido a

la sencillez del método (excepto por la distribución de momentos)

probablemente este método del portal sea mucho mas exacto y realista que

cualquier otro procedimiento aproximado para determinar las fuerzas internas

producidas por cargas en estructuras de edificios; por lo que podemos decir

que el diseño de losa será mucho mas exacto. Se dice que este método fue

expuesto por primera vez por Albert Smith en la publicación denominada

Journal of the western Society of Engineers (abril de 1915).

Deben formularse por lo menos 3 hipotesis por cada marco o por cada

trabe. En este método, la estructura se considera dividida en pórticos o marcos

independientes. (Ver figura 6.A) y se establecen los tres supuestos siguientes:

1.- LAS COLUMNAS SE DEFORMAN DE MANERA QUE EN SU PUNTO

MEDIO EXISTE UN POUNTO DE INFLEXION.

2.- LOS TRABES SE DEFORMAN DE MODO QUE EXISTE UN PUNTO DE

INFLEXION EN SU LINEA CENTRAL.

3.- LAS FUERZAS CORTANTES HORIZONTALES EN CADA NIVEL ESTÁN

DISTRIBUIDAS ARBITRARIAMENTE ENTRE LAS COLUMNAS.

EJEMPLO:Diseñar las losas del segundo nivel del sistema estructural dado a

continuación; la sobrecarga es de 100 kg/m2. La carga viva es de 210 (kg/m2.)

dado que su utilidad será para vivienda multifamiliar. La resistencia del

concreto será de F ‘c = 210 kg/cm2. (Para losa) y 281 kg/cm2 (Para

columnas), diseñar por pórticos equivalentes.

44.55

5

4.5

1 2 3 4

AB

C

ESCALA: INDICADAPLANTA DE COTAS_________________

Las dimensiones de la vivienda son los que aparecen a continuación:

(a): Planta de Cotas de vivienda

(a): Elevación de Cotas de vivienda a lo largo (B-B’)

4,55

33,5

4

B CA D

F GE H

J KI L

(b): Elevación de Cotas de vivienda a lo ancho (2-2’)4 ,55

33,

5

B CA

DE

F

G H I

PASOS PARA DISEÑAR UNA LOSA POR EL MÉTODO DEL PORTALEQUIVALENTE:

1. RECOLECCION DE DATOS:

Peso Del Concreto: 2400 kg/m3.

Sobre Carga: 100 kg/m2.

Carga Muerta: PP. + S/C (en kg/m2.)

Carga Viva 210 (kg/m2.) Utilidad:

F ‘c = 210 kg/cm2. (Para losa)

281 kg/cm2. (Para columnas)

Fy = 2810 kg/cm2.

Espesor De Losa t = 0.10 m (mínimo según norma)

Recubrimiento: de 2.5 a 3 cm.

2. PREDIMENSIONAMIENTO:

ESPESOR DE LOSA t =10 cm.

AREA DE COLUMNA (Según norma ACI Amin.>400cm2.)

***Se selecciona entonces una columna tentativa de 25x25 (625 cm2.)

3. DEFINIENDO PORTALES EQUIVALENTES (AREAS TRIBUTARIAS)

Es la ubicación correcta de un área tributaria que va de centro a centro

de cada ambiente y se mantiene paralelo como una viga hasta terminar

longitudinalmente; esto condiciona o provoca a que el método del “pórtico

equivalente” sea aplicable a edificaciones o viviendas de tipo simétrico y

rectangulares pues se complicaría mas de lo normal un calculo dado.

Los pórticos equivalentes se definen a continuación en ambos sentidos,

se presentan los detalles y los cálculos realizados y rápidamente se visualiza

que a diferencia del Método Tres que diseña con franjas o elementos unitarios

(de 1m de ancho) este método diseñará con franjas que están en función a la

longitud de la luz a diseñar.

Definiendo los portales verticales del ejemplo a resolver:

P1 P2 P3 P5

DETALLE DE PORTALES VERTICALESESCALA: INDICADA

CB

A

4321

4.5

5

5 4.5 4

ANCHO DE PORTAL VERTICAL “P2”:

P2 = (5 + 4.5)/2 = 4.75m.

LARGO DE PORTAL VERTICAL “P2”:

5+4.5 = 9.5m.

En forma vertical, aparecen 4 tipos de portales.

PORTAL ANCHO LARGO AREA

Pn (a1 + a2)/2 L (m2)

P1 0 5 9,5 23,75

P2 5 4,5 9,5 45,125

P3 4,5 4 9,5 40,375

P4 4 0 9,5 19

Definiendo los portales horizontales del ejemplo a resolver:

DETALLE DE PORTALES HORIZONTALES

PC

PB

PA

44.55

54.

5

1 2 3 4

CB

A

ESCALA: INDICADA

ANCHO DE PORTAL HORIZONTAL “B”:

PB = (5 + 4.5)/2 = 4.75m.

LARGO DE PORTAL HORIZONTAL “B”:

5+4.5+4 = 13.5m.

En forma horizontal, aparecen 3 tipos de portales

PORTAL ANCHO LARGO AREA

Pn (a1 + a2) / 2 L (m2)

PA 0 5 13,5 33,75

PB 5 4,5 13,5 64,125

PC 4,5 0 13,5 30,375

4. INTEGRACION DE CARGASCARGA MUERTA = PESO PROPIO + SOBRE CRAGA

C.M. = PP + S/C

= [(2400X0.10) + 100] kg/m2. C.M. = 340kg/m2.CARGA VIVA = Según la utilidad del edificio.

C.V. = 210 kg/m2. C.V. = 210kg/m2.

CALCULO DE LA CARGA ULTIMA

C.U. = C.M.U. + C.V.U.

C.U. = 1.2*C.M. + 1.6*C.V.

C.U. = (1.2X340 + 1.6X210)

C.U. = 408+336

C.U. =744 kg/m2. C.U. =744 kg/m2.

5. DISTRIBUCION DE CARGA ÚLTIMA(Según Área Tributaria y Portal)

Se aplicará la siguiente fórmula para el cálculo de carga última

distribuida linealmente obre el portal:

W = (C.U. X ÁP) / LW = (Carga Última Lineal POR Área de Portal) / (longitud de portal)

PORTICO C.U.A

(TRIBUTARIA) Largo.W

(distribuida)

(kg/m2.) M2. m kg/m

P1 744 23,75 9,5 1860

P2 744 45,125 9,5 3534

P3 744 40,375 9,5 3162

P4 744 19 9,5 1488

PA 744 33,75 13,5 1860

PB 744 64,125 13,5 3534

PC 744 30,375 13,5 1674

Detalle de Carga Linealmente Distribuida_________________ESCALA: INDICADA

Para una franja de 4.75my no de 1.00 m

744 kg/m

3534.0 kg/m3534.0 kg/m

3534.0 kg/m 3534.0 kg/m

5 4,5

3.5

3

ESCALA: INDICADA

Detalle de Carga Linealmente Distribuida (sentido largo)__________

744 kg/mPara una franja de 4.75m

y no de 3534.0 kg/mpara una franja de 1.00m

33.

5

5 4,5 4

3534.0 kg/m3534.0 kg/m3534.0 kg/m

3534.0 kg/m 3534.0 kg/m 3534.0 kg/m

Aparece la representación gráfica de las cargas distribuidas y se hace mención

de la carga lineal a utilizar en los distintos pórticos para el cálculo de

momentos.

GRAFICA 6.D (Detalle de carga distribuida linealmente)

(a): en la elevación de lo ancho

(b): en la elevación de lo largo.

ESCALA: INDICADADetalle de Momentos ________

2WL = 1674kg-m9

2

9WL = 2066.7kg-m

1674kg-m2066.7kg-m

1076kg-m1506kg-m1328kg-m 1860kg-m

WL = 1076kg-m14

2

2

14WL = 1328kg-m 2

10WL = 1506.6kg-mWL = 1860kg-m

10

2

33.

5

4,55

M=Wb. 9

22M=Wb.

10

2M=Wa. 9

M=Wa. 9

2

a b

M=Wb. 9

2

M=Wa. 10

2

Los portales P1, P2, P3 Y P4 Son equivalentes ya que teniendo un

ancho distinto experimentan la misma carga superficial por tal razón se analiza

el de dimensiones mas críticas; el portal P2.

A continuación mostramos los momentos calculados, según las fórmulas

mostradas por la grafica 6.x

GRAFICA 6.E (Calculo de Momentos para edificación a dos luces distintas)

Se presentan entonces los momentos calculados a lo ancho y en elevación del

portal 2 (P2) de la vivienda.

1302.7kg-m

WL = 1302.7kg-m2

910

2WL = 1190.4kg-m9

2WL = 2066.7kg-m

2066.7kg-m1190.4kg-m

1860kg-m

WL = 1860kg-m2

10 WL = 1506kg-m10

2

10

2WL = 1506kg-m

2

10WL = 1190.4kg-mWL = 1506kg-m

10

2

WL = 1860kg-m2

10

WL = 1190.4kg-m10

22

10WL = 1506kg-m

10

2WL = 1860kg-m

Detalle de Momentos __________________

44,55

3.5

3

ESCALA: INDICADA

2M=Wc. 10

2M=Wa. 10

2M=Wa. 9

M=Wa. 10

2

a b c

M=Wb. 10

2 M=Wc. 10

2

M=Wb. 10

2 M=Wc. 9

2

Para el calculo de momentos a los largo de nuestro sistema se utilizarán

las fórmulas mostradas en la siguiente grafica,

FIGURA 6.F (Cálculo de momentos para tres luces de diferente longitud)

Los datos obtenidos se muestran en el siguiente detalle:

Dado que los momentos negativos adyacentes varían y como que las

columnas no fuesen afectadas por estos se distribuirá momentos para que el

diseño de la losa sea mucho mas real y se tenga conocimiento previo del

Análisis Estructural.

K = 4EIL

3

121 bhI =

KnKiFDi =

CALCULO DE RIGIDECES:Entonces se utilizará la siguiente fórmula:

CALCULO DE INERCIAS:Dado que la sección transversal de la losa es rectangular la inercia se calculacon:

CALULO DE FACTORES DE DISTRIBUCION:

DE DONDE:El módulo de elasticidad del concreto reforzado está dado por:

E = 15100* f ‘c (en Kg/m2.)

PARA LAS COLUMNAS:

E = 15100 x (281)E = 253,122.1 Kg/m2.

E = 15100 x (210)E = 218,819.8 Kg/m2.

CALCULO DE INERCIAS:

Donde:para la losa b=4.75 m (franja) h = 0.10m.para la columna b=0.25 m (franja) h = 0.25m.

I los. = 39583.33 cm4.

I col. = 32552.10 cm4.

Con los siguientes datos podemos iniciar ya el análisis de cada portal, en cada

marco y en cada nivel. Iniciaremos con el cálculo de momentos y con el portal

dos.

FD3

FD2FD1

FD2

FD1

TRABAJANDO EL NODO “A”.

GRAFICA 6.G (forma del nodo A)

(218812,8)(39583,3)FD1 = 5

(218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1)5 3

FD1 = 0,387

Dado que la sumatoria de fuerzas de distribución en un NODO=1, entonces:

FD1 + FD2 = 1FD2 = 1 - FD1FD2 = 1 – 0.387

FD2 = 0.613

A manera que el estudiante concluya la veracidad del dato anterior,calculamos:

(253122,1)(32552,1)FD2 = 3

(218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1)5 3

FD2 = 0,613

TRABAJANDO NODO “B”.

GRAFICA 6.H (forma del nodo B)

FD1

FD2

(218812,8)(39583,3)FD1 = 5

(218812,8)(39583,3) (218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1)5 4,5 3

FD1 = 0,27

(218812,8)(39583,3)FD2 = 4.5

(218812,8)(39583,3) (218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1)5 4,5 3

FD2 = 0,30

(253122,1)(32552,1)FD2 = 3

(218812,8)(39583,3) (218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1)5 4,5 3

FD2 = 0.43

FD1 + FD2 + FD3 = 1 OK!!! EN EL NODO B.

TRABAJANDO NODO “C”.

GRAFICA 6.I (forma del nodo C)

(218812,8)(39583,3)FD1 = 4,5

(218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1)4,5 3

FD1 = 0,41

(253122,1)(32552,1)

FD2

FD3

FD1

FD2 = 3(218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1)

4,5 3

FD2 = 0.59

La sumatoria de fuerzas de distribución en el NODO C=1 entonces OK!!

TRABAJANDO EL NODO “D”.

GRAFICA 6.J (forma del nodo D)

(218812,8)(39583,3)FD2 = 5

(218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1) (253122,1)(32552,1)5 3 3.5

FD2 = 0,254

(253122,1)(32552,1)FD1 = 3

(218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1) (253122,1)(32552,1)5 3 3.5

FD1 = 0,40

(253122,1)(32552,1)FD3 = 3.5

(218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1) (253122,1)(32552,1)5 3 3.5

FD3 = 0.346

FD1 + FD2 + FD3 = 1 OK!!! EN EL NODO D.TRABAJANDO EL NODO “E”.

FD3

FD2

FD1

FD4

GRAFICA 6.K (Elementos que llegan al nodo E)

(253122,1)(32552,1)= 3,0

(218812,8)(39583,3) +

(218812,8)(39583,3) +

(253122,1)(32552,1) +

(253122,1)(32552,1)

5 4,5 3 3.5FD1 = 0.31

(253122,1)(32552,1)= 3,50

(218812,8)(39583,3) + (218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1) + (253122,1)(32552,1)5 4,5 3 3.5

FD2 = 0.27

(218812,8)(39583,3)= 5.0

(218812,8)(39583,3) + (218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1) + (253122,1)(32552,1)5 4,5 3 3.5

FD3 = 0.20

(218812,8)(39583,3)= 4.50

(218812,8)(39583,3) + (218812,8)(39583,3) + (253122,1)(32552,1) + (253122,1)(32552,1)5 4,5 3 3.5

FD4 = 0.22

FD1 + FD2 + FD3 + FD4 = 1 OK!!! EN EL NODO E.

TRABAJANDO EL NODO “F”.

FD3

FD2

FD1

GRAFICA 6.L (forma del nodo F)

(253122,1)(32552,1)FD1 = 3.00

(218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1) (253122,1)(32552,1)4.5 3.5 3

FD1 = 0,39

(253122,1)(32552,1)FD2 = 3.5

(218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1) (253122,1)(32552,1)4.5 3.5 3

FD2 = 0,34

(253122,1)(32552,1)FD3 = 4.5

(218812,8)(39583,3) (253122,1)(32552,1) (253122,1)(32552,1)4.5 3.5 3

FD3 = 0.27

FD1 + FD2 + FD3 = 1 OK!!! EN EL NODO D.

NOTA: El mismo procedimiento se utilizó para calcular los factores de

distribución en los otros marcos, el dato que cambia es el ancho de franja; ya

que en este ejemplo se utilizó 4.75 el cual es el mayor de los cuatro: mas

crítico.

Los factores de distribución y los momentos balanceados o ya

distribuidos por el Método de Cross se muestran en el marco siguiente:

6. BALANCEO DE MOMENTOSPORTICO EQUIBALENTE 2: (A lo ancho de la vivienda)

GRAFICA 6.M (Distribución de momentos a lo ancho; pórtico 2)Las dimensionales están en kg-m





BALANCE DE MOMENTOSPORTICO EQUIBALENTE B: (A lo largo de la vivienda)

GRAFICA 6.N (Distribución de momentos a lo ancho; pórtico B)





831 kg-m

1595 kg-m1719 kg-m

1279 kg-m1431 kg-m

1801 kg-m1105 kg-m

666.5 kg-m1893 kg-m

5 4,5

3.5

3

920 kg-m

Detalle de Momentos Finales____ESCALA: INDICADA

El diagrama de momentos finales que se presenta a continuación (para

las losas) fue calculado proporcionalmente al aumento o disminución de los

momentos originales. Por ejemplo en el nudo “A” a lo ancho (Portal 2: gráfica

de detalle de momentos) el momento calculado según fórmulas era de 1382 kg-

m pero según el balanceo en el pórtico equivalente 2 es de 1126 kg-m lo cual

disminuyó en un 18.5% utilizando proporcionalidad también ajustamos los

momentos positivos de tal manera que se mantenga la concavidad de las

gráficas.

DIAGRAMA DE MOMENTOS FINALES PARA LOSAS.PORTICO EQUIBALENTE 2: (A lo ancho de la vivienda)

Siendo el Pórtico mas crítico, diseñaremos con base a los momentosque se muestran en la gráfica.

1214 kg-m1480 kg-m

756 kg-m

1585 kg-m

750 kg-m1000 kg-m

992 kg-m1433 kg-m1510 kg-m

818 kg-m1415 kg-m1942 kg-m

1349 kg-m

1114 kg-m

ESCALA: INDICADA

3

3.5

5 4,5 4

Detalle de Momentos Finales___________________

DIAGRAMA DE MOMENTOS FINALES PARA LOSAS.PORTICO EQUIBALENTE B: (A lo largo de la vivienda)

Diseñaremos las losas según la magnitud de los momentos mostradosen los detalles de momentos en ancho y en largo anteriores.

Espesor De Losa t = 0.10 m (mínimo según norma)Recubrimiento: de 2.5 a 3 cm.F ‘c = 210 kg/cm2. (Para losa)Fy = 2810 kg/cm2.

7. CALCULO DE ACERO PARA PORTAL 2 (EN ANCHO)Mu f 'c fy b d AsminT AsminF As Asmáx

(kg-cm) (kg/cm²) (kg/cm²) (cm) (cm) (cm²) (cm²) (cm²) (cm²)

92000 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 4,90 85,67

NIV

EL 2143100 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 7,67 85,67

189300 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 10,21 85,67127900 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 6,85 85,6766650 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 3,54 85,67

110500 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 5,90 85,67

NIV

EL 1171900 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 9,25 85,67

180100 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 9,70 85,67159500 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 8,57 85,6783100 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 4,42 85,67

CALCULO DE ACERO PARA PORTAL “B” (EN LARGO)

Mu f 'c fy b d AsminT AsminF As Asmáx(kg-cm) (kg/cm²) (kg/cm²) (cm) (cm) (cm²) (cm²) (cm²) (cm²)

111400 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 5,95 85,67

NIV

EL 2

100000 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 5,34 85,67194200 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 10,48 85,67142100 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 7,62 85,67141500 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 7,59 85,6775000 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 3,99 85,6781800 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 4,35 85,67

134900 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 7,23 85,67

NIV

EL 1

121400 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 6,49 85,67151000 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 8,11 85,67149600 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 8,03 85,67143300 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 7,69 85,6775600 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 4,02 85,6799200 210 2810 475 7,5 7,13 7,15 5,29 85,67

8. CALCULO DE LA SEPARACION PARA VARILLAS #3

El área de una varilla número tres es de 0.71cm2. Entonces:Si 7.13 cm2. es a 475 cm (franja no unitaria)

Entonces: 0.71 cm2. es a X (espaciamiento)

X = (0.71 x 475) / 7.13 X = 47.3 cm.

(Dado que la separación máxima debe ser 3t, separaremos las varillas a 3 cm.

en donde el acero requerido es de 7.13 cm2.)

Nuevamente por proporciones; dada el área de una varilla número tres;Si 10.48 cm2. es a 475 cm (franja no unitaria)

Entonces: 0.71 cm2. es a X (espaciamiento)

X = (0.71 x 475) / 10.48 X = 32.18 cm.

(Dado que la separación máxima debe ser 3t, separaremos las varillas a 3 cm.en donde el acero requerido es de 10.48 cm2.)

En conclusión se separarán las varillas de acero #3 a 30 cm. debido a

que ninguna opción cumple con el distanciamiento según la cantidad de acero

por franja de 4.75 (esto será en ambos sentidos (Según normativo).

1.12

0.9

0.9

1.12

1.25 1

11.

25

#3 @ 0.15m.

#3 @ 0.15m.

#3 @ 0.15m.

#3 @ 0.15m.

A#3 @ 0.15m.

#3 @ 0.15m.

44.55

54.

5

1 2 3 4

CB

DETALLE DE ARMADO; SENTIDO VERTICALP5P3P2P1

DETALLE DE ARMADO; SENTIDO HORIZONTAL

0,81

0,81

0,91,02

0,91,02

11.25

11.25

#3 @ 0.15m.#3 @ 0.15m.#3 @ 0.15m.

#3 @ 0.15m.#3 @ 0.15m.#3 @ 0.15m.

AB

C

4321

4.5

5

5 4.5 4

PA

PB

PC

9. PRESENTACION DE ARMADO:

57760236 portico equivalente

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