polinomios especiales

5/12/2018 Polinomios Especiales - slidepdf.com

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TEMA : POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIOS ESPECIALESSon aquellos polinomios que gozan decaracterísticas especiales, llámese la

ubicación de sus términos o por elcomportamiento de los exponentes queafectan a sus variables.

1.Polinomio HomogéneoEs aquel polinomio reducido donde todossus términos poseen el mismo gradoabsoluto. A dicho valor se le denomina,grado de homogeneidad. Todo PolinomioHomogéneo dependerá de dos, tres omás variables.

Ejemplo :

972324

,, abcz yabx z yax z y x P !

9° 9° 9°

Grado de Homogeneidad = 9

2. Polinomio Ordenado( Respecto a unaVariable)

Es aquel polinomio que está ordenadocon respecto a una variable llamadaordenatriz, donde los exponentes de lamencionada variable van aumentado o

disminuyendo.

Ejemplo:

* 13352 ! x x x x P

Ordenado en forma descendente.

* 543257

, y y x y x x y x P !

Ordenado Ascendentemente para ´yµOrdenado Descendentemente para ´xµ

3. POLINOMIO COMPLETO (Respecto aUna Variable)

Se denomina polinomio completorespecto a una variable , a todo aquelpolinomio que presenta todos losexponentes de dicha variables desde elmayor hasta el exponente cero

(término independiente) de uno en unosin importarnos el orden de supresentación.

Ejemplo:

2233 y x y xy x x P !

3° 1° 0° 2°

T. I.

OBSERVACIÓN: En todo polinomiocompleto respecto a una variable severifica que :

N° de términos = G. R. (Variable) + 1

4. POLINOMIOS IDÉNTICOSDos Polinomios reducidos, del mismo

grado y con las mismas variables, seránidénticos Si los coeficientes de sustérminos semejantes son iguales.

Ejemplo:

Sea:

d cxbxax x P !49

r p xnxmx xQ !49

Se dice Que :

xQ x P |

´P(x) es idéntico a Q (x )µ ó



r p xnxmxd cxbxax | 4949

Si y solo sí:

a = m ; b = n ; c = p ; d = r

5. Polinomio Idénticamente Nulo Todo polinomio reducido, é idénticamentenulo debe tener todos sus coeficientesiguales a cero.

Ejemplo:

Sea:P(x,y) = ax4 + bx4 y5 + cx3 y6 + dy25

Se dice que :

0,

| y x P

´´ P(x, y) es idénticamente nuloµó

02563544 | d y ycx ybxax

Si y solo sí :

a = 0 ; b = 0 ; c = 0 ; d = 0

EJEMPLOS

1.Dado el polinomio homogéneo:

a yb ya xa x y x P ! 15152

3

1

,

Hallar : ( a + b) 2

RESOLUCIÓN

Si P(X,Y) Es Homogéneo se cumple:

2a = a + b - 1= 15 ² a

2a = 15 ² a

3a = 15a = 5

2a = a + b - 1

2(5) = 5 + b ²110 = 4 + bb = 6

@ (a +b)2 = (5 +6) 2 = (11)2 = 121

2. Ordenar el Polinomio en formadecreciente respecto a ´xµ.

433

164

13

20

4

122, x y x y xy y x y x P !

RESOLUCIÓN

4

13

20

4

1223316

4, y xy y x y x x y x P !

3. Dado el polinomio Q( x ) completo yordenado decrecientemente.

Hallar : (a + b ) (c + d)

31543151 ! a xba xcb xd c x xQ

RESOLUCIÓN

y a - 3 = 0 a = 3

y a + b ² 4= 1 b = 2y b ² c + 1= 2 c = 1

y c + d ² 1 =3 d = 3

@ (a + b) ( c + d ) = ( 3 + 2 ) (1 + 3)

= ( 5 ) ( 4 )= 20

4.Si se cumple la siguiente identidad:

a (x - 2) + b (x + 1) | 4x - 17

Calcular : ´ b4 ² a2 µ



CONSTRUYENDO

MIS CONOCIMIENTOS

RESOLUCIÓN

ax - 2a + bx + b | 4x - 17

(a + b)x - (2a ² b) | 4x ² 17

Por ser idénticos:

a + b = 4...........( 1 )2 a - b = 17.........( 2 )

3 a = 21a = 7 ; b = - 3

274324 !@ ab

= 81 - 49= 32

5. Hallar : 22q pnm , si:

¹ º ¸©

ª¨ ¹

º ¸©

ª¨ 2

18223)213(4

83 x p xn xm

03 642 |¹

º ¸©

ª¨ xq

RESOLUCIÓN

y m3 + 8 = 0 m = -2y 3n ² 21 = 0 n = 7

y 2p2 -18 = 0 p = 3

y 03 642 !q q = 2

22327222 !@ q pnm

= ( - 9 )2 - ( 5 )2 = 81 - 25

= 56

1. Dado el polinomio P(x) completo yordenado descendentemente, hallar elvalor de ´a + b + c + dµ.

P(x)=2312

2745

abacbd c

x x x x

Resolución

Rpta. 12. ¿Cuál es el valor de ´mµ?

para que:

P(x)= 63222931117

x x x x x

m

Esté ordenado descendentemente?

Resolución

Rpta. m = 7

4. Hallar la suma de los coeficientes de:P(x,y)=

582132 .2. xby yabxax aba

Si este es un polinomio homogéneo

Resolución:

Rpta. 2

5. Calcular ´mnµ si el siguiente polinomio:

P(x,y)=53864 235 nm y x y x y x

Es homogéneo

Resolución

Rpta. mn = 60

(+)



REFORZANDO

MIS CAPACIDADES

1. Dado el polinomio homogéneo:

M(x,y)= mnmm y y x x 1512

945

Calcular: (m + n)2

a) 110 b) 120 c) 121d) 131 e) 141

2. Dado el polinomio Q(x) completo yordenado decrecientemente:

Q(x)=3411

9876

abacbd c x x x x

Hallar: (a+b) (c + d)

a) 15 b) 20 c) 25 d) 30 e) 5

3. Si se cumple la siguiente identidad:m (x ² 2) + n(x+1) | 4x - 17

Calcular : n4 ² m2

a) 30 b) 32 c) 31 d) 17 e) 4

4. Hallar: (a ² b)2 ² (c + d)2, sí

016)182()213()8( 222343 | xd xc xb xa

a) 50 b) 52 c) 54 d) 56 e) 60

5. Hallar: m2 ² n2, si el polinomio eshomogéneo.

P(x,y)=222420161446 32

nmmnm y x y x y x

a) 21 b) 31 c) 41 d) 20 e) 30

6.- Calcular (mn) sabiendo que el

polinomio es homogéneo.n53264m

) y,x( yx2 yx3 yx5P !

a) 1 b) 0 c) -

1

d) 4 e) -2

7. Si se cumple la identidad

P Nx Mx x x |2323 )1(3)2(4

Hallar: (M ² N + P)2

a) 144 b) 121 c) 100d) 81 e) 64

8. Si el polinomio es idénticamente nulo,hallar: (m + n + p)2

K(x)= x p xn xm )7()82()123(23

a) 15 b) 125 c) 0d) 225 e) 1

9.- Se dan los polinomios:

P(x) = (a - 3)x2 + (b2 - 2)x + 1

Q(x) = 5x2 + 2x + c

Donde: P(x) | Q(x) Hallar: E = a + b - c

a) 2 b) 3 c)

4

d) 9 e) 10

10. Hallar: m + n

Si el polinomio es homogéneo

Q(x,y)=94342452

53 y x y x y xnmnm

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 2



EJERCICIOS DE APLICACIÓN1. Calcular la suma de coeficientes de P(x)

sabiendo que es un polinomio completo.

P(x) = 5xm+2 ² 3x4 + 4x2 + 3x + 2m

a) 10 b) 9 c) 11

d) 12 e) 13

2. Se tienen los polinomios:

M(x) = 3x2 + (b + 3)x + c2 ² 3

N(x) = (7 - a)x2 + (2b + 1)x + 1

Donde: M(x) | N(x)

Hallar: E = a ² b ² c

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

3. Dados los polinomios idénticos.

M(x) = 3x4 ² (a + b)xa N(x) = (b + n)xa+1 ² x3

Calcular: nba2E !

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

4. El polinomio es idénticamente nulo:

P(x) = (a2 + b2 ² 2ab)x3 + (b2 + c2 ²

2bc)x2 +

(a - c)x + d - 3

Hallar:bd

cbaE !

a) 0 b) 1 c) 2

d) 3 e) 4

5. Si: P(x) es completo y ordenado

Hallar: ́ bµ

P(x) = axa+b ² xa+2 ² x2a + 3xa + xa-1

a) -1 b) 0 c) 1

d) 2 e) 36. Si el polinomio esta ordenado en forma

ascendente:

P(x) = 5x3 + 7x8 + 9xm+3 + bxn+2 + x11

Hallar: ´m + nµ

a) 10 b) 15 c)

17

d) 21 e) 35

7. Sea P(x) un polinomio mónico:

P(x) = (3 - a)x3 ² (b - 2)x2 + (3 + a + b)x

Determinar la suma de coeficientes de

P(x)

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 10

8. Indicar cual o cuales de los siguientes

polinomios son homogéneos:

Donde (a, b, c, d Z+)

I. P(x) = xa+b + yb+1

II. P(x, y) = x1+a+b y2 + 3x3+a yb

III. P(x) = xa+b+2 + xa+c+d

a) Sólo I b) Sólo II c)

Sólo III

d) I y II e) Ninguno

9. Calcular: (a + b + c)

Si: P(x) | Q(x) Siendo:

P(x) = 4x2 + 3x + 2

Q(x) = (a + b - 1)x2 + (b ² c + 2)x + (c ² a + 4)

a) 1 b) 2 c) 4

d) 6 e) 8

10. Sea M(x) un polinomio idénticamente

nulo:

Si: (a, b, c, d Z)

M(x) = (a + b - 10)x3 + (b + c + 7)x2 +(c + a + 2)x +2d+1

Hallar:

)dcba(

22 )ba(3

)dc)(ba(F

¼¼½

»

¬¬-

«

!

a) -1 b) 3 c) 2

d) 0 e) 1

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