poliedrosss
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Platón y Aristóteles en La escuela deAtenas, pintura de Rafael. Platón estásosteniendo el Timeo.
Aristóteles sostiene una copia de su Ética aNicómaco.
Esta frase se podía leer encimade la puerta de entrada a la“Academia de Platón” (siglo IV a. deC.) donde se reunían a discutirproblemas defilosofía, lógica, política, arte, etc. ynos da una idea de la importanciaque desde la antigüedad se le haconcedido al conocimiento de laGeometría.
El astrónomo y físico italianoGalileo Galilei (1.564-1.642)refiriéndose al Universo escribía: “Estegrandísimo libro que continuamentetenemos abierto ante los ojos no sepuede entender si antes no se aprendea entender la lengua y a conocer loscaracteres en los cuales está escrito.Está escrito en lengua matemática ylos caracteres son triángulos, círculos yotras figuras geométricas”.
Entre todos los poliedros que existenhay unos especialmente importantes por suspropiedades, belleza y presencia en la vidareal: los poliedros regulares.
Se les conoce con el nombre de sólidosplatónicos en honor a Platón (siglo IV a. deC.) que los cita en el Timeo, pero lo cierto esque no se sabe en qué época llegaron aconocerse.
Algunos investigadores asignan elcubo, tetraedro y dodecaedro a Pitágoras y eloctaedro e icosaedro a Teeteto (415-369 a.de C.).
Para Platón los elementos últimos de lamateria son los poliedros regulares:
Asignando el fuego al tetraedro (Elfuego tiene la forma del tetraedro, pues elfuego es el elemento máspequeño, ligero, móvil y agudo).
La tierra al cubo (el poliedro mássólido de los cinco).
El aire al octaedro (Para los griegos elaire, de tamaño, peso y fluidez, en cierto modointermedios, se compone de octaedros).
El agua al icosaedro (El agua, el másmóvil y fluido de los elementos, debe tenercomo forma propia o “semilla”, el icosaedro,el sólido más cercano a la esfera y, por tanto,el que con mayor facilidad puede rodar).
El dodecaedro (el universo) (Comolos griegos ya tenían asignados los cuatroelementos, dejaba sin pareja al dodecaedro.
De forma un tanto forzada lo relacionaroncon el Universo como conjunción de los otroscuatro: La forma del dodecaedro es la que losdioses emplean para disponer lasconstelaciones en los cielos. Dios lo utilizó paratodo cuando dibujó el orden final).
Poliedro
Porción de espacio limitada por polígonosplanos.
Sus elementos característicos son:
Caras, son los polígonos que la limitan.
Aristas, donde limitan dos caras contiguas.
Vértices, el punto donde concurren tres omás caras.
Un poliedro regular es aquel cuyas caras sonpolígonos regulares iguales.
Sólo existen cinco tipos de poliedros regulares:
Tetraedro regular:4 caras triangulares, que concurren tres
en cada vértice. Tiene 4 vértices y 6aristas.
Cubo:6 caras cuadradas, que concurren tres en cadavértice. Tiene 8 vértices y 12 aristas.
Área es A = 6a2
volumen es: V = a3
El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.
Octaedro:8 caras triangulares, que concurren
cuatro en cada vértice. Tiene 6 vértices y12 aristas.
Dodecaedro:12 caras pentagonales regulares, que
concurren tres en cada vértice. Tiene 20vértices y 30 aristas.
Icosaedro:20 caras triangulares, que concurren
cinco en cada vértice. Tiene 12 vértices y30 aristas
¿Serán modelos para armar cubos?
Traza las siguientes figuras, recorta y arma los poliedros.
Construye y calcula el área total del
prisma cuyo desarrollo es:
Un prisma es un poliedro limitado pordos caras iguales y paralelas (bases) y tantosparalelogramos (caras laterales) como ladostienen las bases.
Si los polígonos de la base son regulares, elprisma se llama regular.
Hay unos prismas especialmenteinteresantes dentro de los prismascuadrangulares.
Estos son los paralelepípedos llamados asíporque los cuadriláteros de las bases sonparalelogramos.
Contesta en tu libreta lo siguiente.
¿Qué es un prisma?
¿Cómo se definen las bases de un prisma?
¿Cómo son las caras laterales de un prisma?
¿En donde se intersectan las caras de un prisma se llama?
¿Cómo se calcula la altura de un prisma?
Para denominar el nombre de un prisma, ¿qué se debe tomar en cuenta?
POLIEDRO VÉRTICES (v) CARAS ( c ) ARISTAS (a)
PRISMA TRIANGULAR
PRISMA CUADRANGULAR
PRISMA PENTAGONAL
PRISMA EXAGONAL
COMPLETA LA TABLA NUMÉRICA Y VERIFICA QUE SE CUMPLA LA IGUALDAD v + c = a + 2
V + C = a + 2
El grupo de los poliedros está formadopor prismas, paralelepípedos, pirámides ypoliedros regulares.
Prismas
Son los poliedros que tienen dos carasparalelas e iguales en forma de polígono(bases), y caras laterales en forma derectángulo. Se les nombra de acuerdo con laforma de su base.
Paralelepípedos
Son los prismas que tienen por bases dos paralelogramos iguales (cuadrados, rectángulos, rombos, romboides).
ÁREA LATERAL Y TOTAL DE UN PRISMA
El área lateral del prisma es la suma de lasáreas de todas sus caras laterales y por tantovendrá dada por el área del rectángulo.
La base de este rectángulo es el perímetro delpolígono de la base del prisma y la altura es la aristalateral del prisma.
Por tanto: AL = P · a
El área total del prisma es la suma del área lateral y el área de las bases, es decir:
AT = AL + 2 Ab
Los cuerpos ocupan un lugar oextensión en el espacio. Llamaremosvolumen de un cuerpo al número queexpresa la medida de su extensión en elespacio.
La unidad de medida es el metro cúbicoque es el volumen ocupado por un cubo dearista 1 metro, aunque, dependiendo delcaso que se trate, se utilizan múltiplos osubmúltiplos suyos.
Queremos calcular el volumen de una cajade galletas que tiene 10 cm de largo, 5 cm deancho y 3 cm de alto. Se trataría de hallar elnúmero de cubos de arista 1 cm que cabendentro.
Como verás, para contarlos, basta con multiplicar 10·5·3 = 150 cm3.
V =
Expresen el volumen de los siguientes cuerpos.
V =
3cm
3cm
3cmV =
4cm
3cm
2cm
V =
10
12
15
7
V =
V =
aa
3a
V =
V = c
A un cubo le caben 3 375 cm3 de agua, ¿cuánto miden las aristas del cubo?
Si se duplica la medida de las aristas del cubo:
¿Qué cantidad de agua le cabría?
¿También la cantidad de agua que se tenía
inicialmente se duplicó?
Completen la tabla siguiente. Pueden usar calculadora.
Cuerpo
Datos de la baseAltura del
cuerpo (cm)
Volumen
(cm3)Largo (cm)
Ancho
(cm)
Prisma cuadrangular 10 360
Prisma cuadrangular 3 360
Prisma cuadrangular 4 240
Prisma cuadrangular 9.6 240
Prisma rectangular 8 2 160
Prisma rectangular 5 10 160
Prisma rectangular 2 20 180
Prisma rectangular 5 3 180
Cuerpo
Datos de la baseAltura del
cuerpo (cm)
Volumen
(cm3)Largo (cm)
Ancho
(cm)
Pirámide
cuadrangular10
Pirámide
cuadrangular3
Pirámide
cuadrangular4
Pirámide
cuadrangular9.6
Pirámide rectangular 8 2
Pirámide rectangular 5 10
Pirámide rectangular 2 20
Pirámide rectangular 5 3
Completen la tabla siguiente. Pueden usar calculadora.
1.- Calcular el volumen y el área de un cuboque tiene como arista 5 cm.
2.- Si el área total de un cubo es de 91.125 cm2. ¿Cuál es el volumen del cubo
Área total = 6a2
6a2 = 91.125 m2.a2 = 91.125 m2.
6
3.- Calcula el área total de un cubo, si el volumen es de 2 197 cm3 5 cm.
4.- Calcular el volumen del prisma cuadrangular.
Área total = 6x2
V = x3
5.- Calcular el volumen del siguiente prisma hexagonal.
6.- Calcular el volumen del prisma cuadrangular.
7.- Calcular el volumen del siguiente prisma triangular.
8.- Calcular el volumen del prisma pentagonal.
9.- ¿Cuánto costará recubrir de cemento unestanque prismático de 12 m de largo, 7 m deancho y 2 m de altura, a razón de $45.00 elmetro cuadrado?
1 000 Cm3 = ¡ 1 LITRO !
MEDIDAS DE CAPACIDAD
UN DECIMETRO CUBICO SE REPRESENTA ASÍ:
103 Cm3
(10)(10)(10) = 1 000 Cm3
1 M3 = ¡ 1000 LITROS !
MEDIDAS DE CAPACIDAD
UN METRO CUBICO SE REPRESENTA ASÍ:
13 M3
(1)(1)(1) = 1 M3
10.- Una piscina tiene 26 m de largo, 15 m de
ancho y 2.5 m de profundidad.
Si el agua llega hasta los bordes ¿cuántos litros de
agua le caben?
Si para llenarla empleamos agua de un pozo
que nos da un caudal de 5 litros por segundo, ¿qué
tiempo emplearemos en llenarla?
11.- ¿Qué altura alcanza el agua en estapecera, sabiendo que contiene 171 litrosde agua?
12.- Para unas obras en mi casa, necesito5m3 de arena. Un amigo me ha prestadoun camión como el de la figura.
a. ¿Cuántos m3 de arena podría transportar sitraigo el camión lleno?
b. ¿Es suficiente el camión para traer en una sola carga la arena necesaria?
Poliedro limitado por una base, que es unpolígono cualquiera, y varias caras laterales, queson triángulos con un vértice común llamadovértice de la pirámide.
Según el número de lados del polígono dela base, la pirámide será triangular,cuadrangular, pentagonal, etc.
En una pirámide regular, se llamaapotema a la altura de cualquiera de sus caraslaterales. La apotema, la altura de la pirámide yla apotema de la base forman un triángulo, ¿dequé tipo es?
¿Cuál será el área lateral y total de la pirámidede la figura?
En las pirámides rectas y de base regular,las caras laterales serán triángulos isóscelestodos iguales.
El área lateral de la pirámide será, portanto, la suma de las áreas de estos triángulos,es decir:
donde P es el perímetro de la base y “a” la apotema de la pirámide.
donde a’ es la apotema del polígono de la base.
y el área total:A tot = A lat + A base
Con cartulina, construye una pirámide pentagonal, como la de la figura, y córtala según se indica.
13.- Determinar la superficie total de la pirámide triangular.
14.- Calcular la superficie total de la siguiente pirámide.
El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:
15.- Calcula el volumen de la siguiente pirámide.
16.- Calcula el volumen de la siguiente pirámide.
17.- Calcula el volumen de la siguiente pirámide rectangular.
18.- Calcula el volumen de la siguiente pirámide hexagonal.
19.- El volumen de una pirámide triangular es de1152 cm3. Calcula la longitud de la base deltriángulo, si la altura de la pirámide es de 24 cm. Yla altura del triangulo lateral es de 8cm.
20.- Calcula el área de la base de una pirámidepentagonal , sabiendo que el volumen mide 210cm3, y la altura de la pirámide es 21cm.
En estadística, es frecuente contemplaruna gran cantidad de datos y para ello habráque organizarla para tener un panorama y emitirjuicios críticos.
Para organizarla nada mejor que las tablasestadísticas:
En la primera columna se escribe elintervalo de valores, en la siguiente lafrecuencia, utilizaremos una tercera columnapara indicar la frecuencia relativa y una últimapara indicar el porcentaje correspondiente.
Los datos se tomaron de las cuentas deconsumo de energía eléctrica durante el primerbimestre.
45 62 121 63 114 392 115 382 116122 370 119 214 302 352 242 304 306243 355 359 244 260 246 214 302 110351 65 150 117 308 67 309 71 31073 110 152 280 282 152 402
Energía KWh(intervalo)
Frecuencia Absoluta
FrecuenciaRelativa
Porcentaje
0 - 60 1 1/43 =
61 – 120 13 13/43 =
121 – 180 5 5/43 =
181 – 240 2 2 /43 =
241 – 300 7 7/43 =
301 – 360 11 11/43 =
361 – 420 4 4/43 =
0
2
4
6
8
10
12
14
0 - 60 61 - 120 121-180 181 - 240 241 - 300 301 - 360 361 - 420
GRAFICA DE BARRASCONSUMO DE ENERGÍA KWh
Para encontrar el valor del intervalo; se localiza el dato mayor y se le resta , el dato menor.
se divide este resultado entre el números de intervalos que desee utilizar
1.- Producción lechera de 30 vacas (litros)
12 10 15 50 10 22 10 28 3610 34 35 17 26 40 46 22 3410 52 28 10 43 32 39 50 2310 37 45
Dato mayor = 52
Dato menor = 10
Rango = Dato mayor – Dato menor 52 – 10 = 42
Número de intervalos 6:
42 6 = 7
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
(10 - 16) (17 - 22) (23 - 28) (29 - 34) (35 _ 40) (41 - 46) (47 - 52)
HISTOGRAMA DE BARRASPRODUCCIÓN LECHERA
(LITROS)
INTERVALOS FRECUENCIAABSOLUTA
(10 – 16) 9
(17 – 22) 3
(23 – 28) 4
(29 – 34) 3
(35 – 40) 5
(41 – 46) 3
(47 – 52) 3
2.- Las calificaciones en matemáticas de losalumnos del segundo grado son:
84 63 92 82 72 62 50 94 10092 85 72 94 86 84 71 63 9694 90 100 74 82 57 85 88 5992 78 81 83 59 87 84 61 5581 76 84 71 69 92 63 82 97
Utiliza 5 intervalos
3.- Extracción de petróleo en 25 pozos (millones de barriles)
80 28 56 53 93 73 68 47 5568 35 85 81 100 100 96 63 7993 55 75 39 91 67 55
Utiliza 8 intervalos.
4.- Las ventas de boletos en 21 cines.
1500 850 2500 341
1250 590 2400 252
1360 1610 2100 590
1960 1870 1120 1300
2000 1200 1400 1900
970
Utiliza 8 intervalos
La media aritmética o promedio de n de datos se obtiene con la fórmula:
El procedimiento es:
sumar
Dividir la suma obtenida entre el número total de datos.
Escribir el valor de la media aritmética.
Calcular el promedio obtenido por unalumno de primaria.
Primer
grado
Segundo
grado
Tercer
grado
Cuarto
grado
Quinto
grado
Sexto
grado
9.3 9.6 8.9 8.7 9.2 9.5
La siguiente tabla muestra la organización de lainformación obtenida al investigar el número dehoras que dedican 210 estudiantes durante unasemana a los programas de televisión.
INTERVALOSDE CLASES
(horas)
MARCA DE CLASE O
PUNTO MEDIO
FRECUENCIAABSOLUTA
Xf= MARCA DECLASE x
FREC. ABS.
0 – 5 x1= 3 f1= 11
6 – 10 x2= f2= 55
11 – 15 x3=13 f3= 75 13 x 75 = 975
16 – 20 x4= f4= 60
21 - 25 x5= f5= 9
210
¿Cómo puedes encontrar la media aritmética?
5.- Completa la tabla de distribución de frecuenciaspara que puedas calcular el gasto promedio deenergía eléctrica durante un bimestre en 402hogares mexicanos.
INTERVALOS MARCA DE CLASE F Xf
0 – 60 30 12
61 – 120 48
121 – 180 56
181 – 240 74
241 - 300 110
301 - 360 60
361 - 240 42
T.= 402
MEDIANA
Es el dato que ocupa el lugar central,cuando el número de datos es impar se busca elpromedio de los datos centrales.
11 15 18 21 23 25 29 29 30
mediana
42 42 40 39 38 31 30 25
El valor de la mediana es: (39 +38)/2 = 38.5
6.- ¿Cómo se puede calcular la mediana y lamoda en datos agrupados?
INTERVALOSDE CLASES
(horas)
MARCA DE CLASE O
PUNTO MEDIO
FRECUENCIAABSOLUTA
Xf= MARCA DEABSOLUTA xFREC. ABS.
0 – 5 3 11
6 – 10 8 55
11 – 15 13 75
16 – 20 18 60
21 - 25 23 9
210
MODA = 13
MEDIANA = 13
7.- Calcula la media aritmética, la mediana y lamoda de los datos agrupados correspondientes aun estudio sobre masa corporal de personas de 20años.
INTERVALOS PUNTOS MEDIOS F Xf
46 – 50 12
51 – 55 15
56 – 60 36
61 – 65 25
66 – 70 24
71 – 75 22
76 – 80 18
8.- Duración media de los focos producidos por unacompañía A arrojó los siguientes datos agrupados;calcula la media aritmética, la mediana y la moda.
INTERVALOS PUNTOS MEDIOS F Xf
161 – 180 10
181 – 200 12
201 – 220 24
221 – 240 18
241 – 260 16
261 – 280 18
281 – 300 40
9.- Nivel de ruido en decibeles en una avenidacon mucha afluencia vehicular. Calcular: mediaaritmética, mediana y moda.
INTERVALOS PUNTOS MEDIOS F Xf
51 – 60 110
61 – 70 100
71 – 80 110
81 – 90 115
91 – 100 120
101 – 110 125
111 – 120 28
10.- Calificaciones de matemáticas obtenidaspor los alumnos de segundos grados de unaescuela secundaria. Calcular: media aritmética,mediana y moda.
INTERVALOS PUNTOS MEDIOS F Xf
50 – 59 11
60 – 69 82
70 – 79 70
80 – 89 82
90 – 100 15
