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FÍSICA CONTEMPORÁNEA MÓDULO II

ELECTROMAGNETISMO Objetivos:

• Repasar conceptos relacionados con matemáticas aplicadas: relaciones trigonométricas, vectores, álgebra vectorial, cambio de coordenadas, derivadas.

• Analizar y discutir algunos conceptos básicos del electromagnetismo a través del planteamiento, discusión y solución de problemas, haciendo especial énfasis en las aplicaciones del electromagnetismo.

• Discutir el funcionamiento de un acelerador de partículas utilizando sólo los conceptos básicos del electromagnetismo necesarios para determinar la trayectoria de partículas cargadas

Resumen:

El estudio de la física ha incidido de forma directa en el desarrollo tecnológico. Prácticamente toda la tecnología, que se encuentra a nuestro alcance, está basada ya sea directa o indirectamente en la aplicación de los conceptos básicos del electromagnetismo. Así pues, la importancia de la interacción electromagnética no solo radica en el hecho de ser la interacción que gobierna la física y la química de la materia a nivel macroscópico, sino también en su gran utilidad práctica ya que nuestra sociedad está basada en la producción de energía eléctrica y su utilización en generadores, motores, alumbrado, calefacción, comunicaciones, etc. Nuestra vida cotidiana no sería como la conocemos si no hubiese un estudio sistemático del electromagnetismo y sus aplicaciones. En este módulo se pretende, a través del planteamiento, resolución y análisis de problemas, discutir y reforzar algunos de los conceptos básicos de electromagnetismo, haciendo énfasis en sus aplicaciones y las matemáticas aplicadas necesarias para un buen entendimiento de cursos más avanzados.

Actividades de enseñanza aprendizaje:

• Integración de grupos de trabajo para el planteamiento, análisis y solución de problemas conceptuales y analíticos.

• Discusión de estrategias para la solución de problemas de electromagnetismo

• Lectura de referencias indicadas

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Contenido temático: I. La Interacción Electromagnética

• Introducción. • Carga eléctrica. Conservación de la carga. Cuantización de la carga.

Transferencia de carga. Funcionamiento de la fotocopiadora • Interacción electrostática. Ley de Coulomb

II. Campo Eléctrico y Diferencia de Potencial

• Campo Eléctrico. Trayectoria de partículas cargadas en un campo

eléctrico externo. • Energía Potencial eléctrica y Diferencia de potencial. Tormentas

eléctricas. Determinación del campo eléctrico a partir del potencial eléctrico

III. El Campo Magnético

• Corriente eléctrica. • Campo Magnético. Movimiento de partículas cargadas en un campo

magnético externo. Fuerza de Lorentz • Aplicaciones: Aceleradores de partículas, Selector de velocidades,

Espectrómetro de masas IV. Aplicaciones del Electromagnetismo

• Ley de Faraday. Motores y Generadores • Ondas Electromagnéticas. Radiación de ciclotrón • El electromagnetismo como generador de las ideas cuánticas y la

relatividad especial.

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INTRODUCCIÓN ¿Qué son los rayos que observamos en las tormentas eléctricas? ¿Porqué sentimos una descarga eléctrica cuando nos bajamos del auto y

tocamos la puerta para cerrarla? ¿Por qué se nos eriza el cabello cuando nos cepillamos insistentemente al peinarnos? ¿Cómo se forma el arco iris? ¿Porqué titilan las estrellas?... Estas son algunas de las preguntas más comunes que nos formulan los estudiantes y su respuesta implica, directa o indirectamente, un cierto grado de

comprensión del electromagnetismo. La fuerza de fricción, la tensión superficial, el empuje, etc., son efectos observables a nivel macroscópico de las fuerzas entre los átomos de los objetos que constituyen nuestro sistema. Incluso, estas fuerzas entre los átomos no son fundamentales pues se pueden analizar en función de las fuerzas existentes entre las partículas que componen a los átomos. Partiremos de uno de los últimos modelos para la estructura de la materia, el Modelo Estándar. Según éste, toda la materia que compone nuestro universo está compuesta por: leptones (entre los que se encuentra el electrón, protagonista principal del electromagnetismo) y quarks y todas las fuerzas pueden entenderse, en última instancia, en función de cuatro interacciones fundamentales:

La gravitacional, La electromagnética La nuclear La débil

Empecemos un recorrido a través de la interacciones fundamentales partiendo de lo microscópico hacia lo macroscópico, que es el ámbito de interés de este módulo.

La interacción débil es de corto alcance, limitada enteramente al interior del núcleo. Con un alcance pequeñísimo de tan sólo 10-15 m es la responsable de algunas formas de radiactividad, esto es la transformación espontánea del núcleo de una clase de átomo en el núcleo de otra; o del

decaimiento beta en donde un protón se convierte en un neutrón. La interacción nuclear también es de corto alcance. Su rango de alcance no se extiende más allá de 10-14 m. De este modo, aunque la fuerza nuclear es esencial para mantener unido al núcleo no juega un papel directo en la interacción de los átomos entre sí.

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La interacción gravitacional es la más débil cuando tratamos con partículas elementales. Sin embargo, en el mundo cotidiano y el mundo macroscópico observamos que se vuelve perceptible, de hecho es la interacción que hace que los objetos sigan una trayectoria parabólica cuando los aventamos y mantiene unidos a los planetas al Sol. Sólo los grandes objetos ejercen una fuerza medible sobre los átomos y la acumulación de estos átomos aumenta la masa del objeto, de modo que también aumenta la fuerza gravitacional que puede ejercer y como consecuencia el objeto todavía atrae más átomos lo cual hace

que su masa aumente aún más. Así es como inmensos conglomerados de materia, tales como las estrellas y galaxias de estrellas, se forman a partir del polvo y de los átomos esparcidos por el espacio. La gravedad es con mucho la fuerza más importante que controla la estructura de los cuerpos celestes. La fuerza gravitacional es

de largo alcance, directamente proporcional al producto de las masas, inversamente proporcional a la distancia al cuadrado y siempre es una fuerza de carácter atractivo. Aunque no nos percatemos directamente de ello, la interacción electromagnética a diferencia de las otras tres interacciones fundamentales se encuentra presente en toda escala, desde lo macroscópico hasta lo microscópico. No solo es la principal interacción que gobierna la física y la química de la materia ordinaria sino que además tiene una gran importancia práctica puesto que toda nuestra civilización industrial está basada en la producción de energía eléctrica y su aplicación en motores, generadores, alumbrado, calefacción, aparatos médicos, etc.. La interacción electromagnética determina la estructura atómica pues los electrones se mantiene unidos al núcleo debido a ella. A su vez, los electrones interaccionan entre sí electromagnéticamente y la fuerza ejercida entre dos átomos próximos es precisamente la fuerza electromagnética entre sus electrones y núcleos. Las fuerzas que se analizan en otros ámbitos de la física como son la fricción, la tensión superficial, el empuje, etc. son el resultado de esta interacción electromagnética. Así que podríamos decir que todas las fuerzas que observamos en nuestra vida cotidiana, con excepción de la gravedad, son de origen electromagnético, inclusive nuestro cuerpo funciona debido a impulsos eléctricos. Así pues, nuestra forma de vida y nuestra vida diaria no sería como la conocemos si no hubiese un estudio sistemático del electromagnetismo y sus aplicaciones.

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La carga eléctrica Estamos habituados a observar cotidianamente muchos fenómenos naturales que nos permiten deducir, sin el uso de grandes experimentos, que entre algunos cuerpos existe una interacción a distancia distinta a la gravitacional. A esta interacción, que conocemos como interacción electrostática o eléctrica, se debe que en ocasiones recibamos una descarga eléctrica, esa sensación de cosquilleo que algunas veces nos resulta desagradable, cuando descendemos del automóvil en un día seco. También a ella se debe que un bolígrafo de plástico al que hemos frotado con un trozo de tela sea capaz de atraer pequeños pedacitos de papel o el que seamos incapaces de atravesar las paredes a pesar de que al analizar la estructura atómica se encuentra una gran separación entre las partículas elementales que nos constituyen.

Aunque la interacción eléctrica es parecida a la gravitacional en algunos aspectos, como es el que ambas disminuyen con la distancia, también presenta una diferencia fundamental: la interacción eléctrica entre dos cuerpos puede ser atractiva o repulsiva, mientras que la interacción gravitacional siempre es atractiva. Hasta donde sabemos este último hecho se debe a que existen dos tipos de carga

eléctrica, la positiva y la negativa, y los experimentos muestran que cargas de igual signo se repelen y cargas de signo contrario se atraen. Tratar de explicar y de entender el concepto de carga resulta complicado, pero podemos interpretarlo de la siguiente manera: la carga es una propiedad intrínseca a las partículas como lo es la masa. Una partícula no puede perder su carga. Otro hecho sorprendente en la naturaleza es que la carga está cuantizada en el sentido de que la unidad más pequeña de carga libre conocida en la naturaleza, es la carga del electrón (-e) o del protón (+e) donde e=1.60219x10-19 C. Así pues, todos los objetos cargados tienen una carga que es un múltiplo entero de la carga del electrón o del protón. Los objetos neutros tienen la misma cantidad de carga positiva que de negativa. En cualquier proceso físico la carga eléctrica se conserva. Esta ley es cierta no sólo cuando por ejemplo cargamos objetos macroscópicos por frotamiento, como cuando se frota una barra de vidrio con un paño de seda, sino que es mucho más general ya que incluso es válida para procesos en los cuales se crean y se destruyen partículas lo cual ocurre en muchos procesos a nivel de la física de altas energías. En el caso de la barra que hemos frotado, si el vidrio pierde N electrones tendrá N protones más que electrones por lo que su carga total será +Ne, pero la seda tiene N electrones más que protones por

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lo que su carga total será –Ne. La carga total de la varilla y la seda juntas es Ne+(-Ne)=0 o sea la misma que tenían antes de frotarse. Funcionamiento de una fotocopiadora

En la actualidad es común encontrarnos en bibliotecas, oficinas, papelerías, etc., una fotocopiadora utilizada para duplicar documentos y toda clase de materiales

impresos. Este dispositivo tan conocido funciona utilizando los principios básicos de la electrostática. La idea básica que subyace en el procedimiento de xerografía fue desarrollada por Chester Carlson, quien obtuvo la patente en 1940. Xerox Corporation desarrolló las primeras fotocopiadoras en 1947, las cuales día con día han sido mejoradas con el fin de proporcionar una mejor calidad de impresión y capacidad. Un fotoconductor es un material que es mal conductor en la oscuridad pero cuando se ilumina se convierte en un buen conductor. En una fotocopiadora se cuenta con una placa o tambor que se cubre con una película delgada de material fotoconductor (usualmente selenio o algún compuesto de éste) y se le da una carga positiva en la oscuridad. Posteriormente, se proyecta la página que va a ser copiada sobre la superficie cargada. La superficie fotoconductora sólo se vuelve conductora en las zonas donde recibió la luz. En estas zonas, la luz induce el movimiento portadores de carga negativa en el fotoconductor, los cuales neutralizan la superficie cargada positivamente. Sin embargo, las cargas permanecen sobre aquellas zonas del fotoconductor que no se expusieron a la luz, dejando una imagen (no visible) del objeto en la forma de una distribución superficial de carga positiva. En seguida, un polvo cargado negativamente llamado toner, se espolvorea sobre la superficie fotoconductora. El polvo cargado se adhiere sólo en aquellas zonas de la superficie que contienen la imagen cargada positivamente. En este momento la imagen se vuelve visible. Después, la imagen se transfiere a la superficie de una hoja de papel cargado positivamente. Por último, el toner se fija a la superficie del papel a través de la aplicación de calor. Esto da lugar a una copia permanente del original. Preguntas

1. ¿Cómo se explica microscópicamente el proceso de cargar un objeto por frotamiento?

2. ¿Cómo se explica microscópicamente el proceso de cargar un objeto por contacto?

3. ¿Cómo se carga un objeto por inducción? 4. ¿En qué consiste la polarización? 5. ¿Pueden los objetos cargados atraer a objetos neutros?

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6. Si tenemos un grifo abierto del que cae un chorrito de agua ¿qué ocurre si acercamos al chorrito una barra de vidrio cargada positivamente por frotamiento?

7. Explique, desde el punto de vista atómico, por qué la carga es comúnmente transferida por los electrones.

8. Si se pierden electrones al arrastrar los pies sobre una alfombra, ¿se adquiere carga negativa o positiva?

9. ¿Por qué un globo al que se ha frotado previamente se queda pegado a la pared pero solo si hace contacto con la parte que ha sido frotada? ¿A que se debe que el globo eventualmente se caiga?

10. ¿Qué significa la expresión átomo neutro?¿y átomo cargado negativamente?

11. ¿Qué son los iones? ¿Qué son los isótopos?

12. ¿Por qué es posible ver u oír pequeñas chispas cuando se retira la ropa

de la secadora? 13. ¿Cómo funciona un electroscopio? 14. ¿Por qué los papelitos que han sido atraídos con

una regla de plástico que se ha frotada contra nuestro pelo después de un cierto tiempo se caen?

15. En sus propias palabras ¿que significa considerar una carga puntual?

16. ¿Cuándo resulta válido representar de forma aproximada una distribución de carga mediante una carga

puntual? 17. ¿Cómo se cargan las nubes? 18. Describa y discuta el experimento de Millikan para determinar la carga

eléctrica del electrón Problemas

1. Examina las siguientes reacciones hipotéticas, del choque de un protón de alta energía, producido en un acelerador, contra un protón estacionario, en el núcleo de un átomo de hidrógeno, que sirve como blanco:

𝑝 + 𝑝⟶ 𝑛 + 𝑛 + 𝜋! 𝑝 + 𝑝⟶ 𝑛 + 𝑝 + 𝜋! 𝑝 + 𝑝⟶ 𝑛 + 𝑝 + 𝜋!

𝑝 + 𝑝⟶ 𝑝 + 𝑝 + 𝜋! + 𝜋! 𝑝 + 𝑝⟶ 𝑛 + 𝑝 + 𝜋! + 𝜋!

donde los símbolos 𝑝,𝑛,𝜋!,𝜋! y 𝜋! representan un protón, un neutrón, un pión neutro, un pión positivo y un pión negativo respectivamente. ¿Cuáles de estas reacciones son imposibles?

2. En la reacción   𝑁𝑖!! + 4𝐻!𝑂⟶ 𝑁𝑖𝑂!!! + 8𝐻! + 𝑒𝑙𝑒𝑐𝑡𝑟𝑜𝑛𝑒𝑠 ¿cuántos

electrones se liberan?

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3. ¿Cuántos electrones es necesario quitar de una pelota de vidrio, que al inicio es neutra, para darle una carga eléctrica positiva de 1×10!! C?

4. Un rayo suele depositar -25 C en el terreno en que cae. ¿A cuántos electrones equivale esto?

5. La carga eléctrica de un mol de protones se llama constante de Faraday. ¿Cuál es su valor numérico?

La fuerza de Coulomb

La fuerza eléctrica entre objetos cargados fue medida cuantitativamente por Charles Coulomb (1736-1806) utilizando una balanza de torsión.

La ley de Coulomb, establece que la fuerza ejercida por una carga q1 sobre una carga q2 es

F

12= k

q1q

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r2r̂ ,

donde r es la distancia entre las dos cargas y ̂r es un vector unitario dirigido de q1 hacia q2. La constante k, llamada constante de Coulomb, tiene el

valor k=1/4πε0=8.99x109 Nm2/C2,

con ε0=8.854187×10-12 C2/Nm2 la permitividad del vacío. Cuando se tienen más de dos cargas, la fuerza entre cualquier par de cargas está dada por la ecuación anterior y no se ve afectada por la presencia de las otras. Así pues, la fuerza total sobre cualquiera de las cargas es igual a la suma vectorial de las fuerzas ejercidas por las otras cargas individuales sobre ella. Por ejemplo, si se tienen cinco cargas, la fuerza resultante ejercida por las cargas 2, 3, 4 y 5 sobre la 1 es

F

1= F

21+F

31+F

41+F

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y por tanto si tenemos N partículas, la fuerza sobre la i-ésima partícula será

Fi= F

jij!i

" .

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Es importante recordar que se trata de una suma vectorial. Estrategia para la solución de problemas:

Cuando se realizan cálculos que implican el uso de la constante de Coulomb,

!

k = 1/ 4"#0, las cargas deben estar dadas en unidades de

Coulombs y la distancia en metros. Si están en otras unidades deberán hacerse las conversiones adecuadas.

Debe ponerse especial cuidado en el signo de las cargas involucradas ya que determinará si la fuerza es de atracción o de repulsión.

Es importante recordar que si se tienen más de dos cargas, debe hacerse uso del principio de superposición, teniendo en mente que la fuerza es un vector, por lo que las sumas son sumas vectoriales.

Las fuerzas entre dos cargas puntuales son iguales en magnitud, opuestas en dirección y actúan a lo largo de la línea que une sus centros

La solución de problemas puede facilitarse si inicialmente se dibuja un diagrama de cuerpo libre en el que se bosqueje la dirección de las fuerzas

Preguntas

1. Explique las diferencias y similitudes entre la Ley de Coulomb y la Ley Universal de la Gravitación de Newton

2. Si alguien afirmara que las personas estamos sobre la Tierra debido a la fuerza eléctrica en vez de por la fuerza gravitacional. ¿Cómo le demostraría que está equivocado?

3. Si el objeto A tiene una carga igual a 2µC y el objeto B una carga de 6 µC. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera respecto a la fuerza eléctrica ejercida entre los objetos? (a) FAB=-3FBA ; (b) FAB=-FBA ; (c) 3FAB=-FBA ; (d) FAB=3FBA ; (e) FAB=FBA ; (f) 3FAB=FBA

4. ¿Es aplicable la expresión de la Ley de Coulomb en el caso en el que queremos calcular la fuerza eléctrica entre dos objetos macroscópicos eléctricamente cargados?

5. ¿Depende la fuerza de Coulomb del tiempo? 6. ¿Qué es una teoría de acción a distancia?

Problemas

1. Discuta el experimento de Coulomb para determinar la expresión que describe la interacción eléctrica entre dos partículas cargadas.

2. Calcule la carga neta sobre una sustancia arbitraria que consta de: (a) 8×1013 electrones, (b) una combinación de 3×1014 protones y 7×1014 electrones.

3. El electrón y el protón de un átomo de hidrógeno están separados (en

promedio) una distancia de aproximadamente 0.5×10-10 m. Calcule la magnitud de la fuerza electrostática y la fuerza gravitacional que cada partícula ejerce sobre la otra y compárelas.

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4. Considere dos cargas puntuales iguales separadas una distancia d. ¿En qué punto (distinto de ! ) una tercera carga, colocada sobre la misma línea que une a las dos primeras, no experimentaría fuerza alguna?

5. Cuatro cargas puntuales se colocan en las esquinas de un cuadrado de lado a, como se muestra en la figura. Determine la fuerza resultante sobre la carga positiva q.

6. Tres cargas puntuales se encuentran en los vértices de un triángulo equilátero como se muestra en la figura. Calcula fuerza eléctrica neta sobre la carga de 7 µC.

7. El peso medio de una persona es de 650 N. Si dos personas tienen, cada una, una carga excedente de 1 C, una positiva y la otra negativa, ¿qué tan lejos tendrían que estar para que la atracción eléctrica entre ellas fuera igual a su peso de 650 N?

8. En un experimento en el espacio, se mantiene fijo un protón y se libera otro desde el reposo a una distancia de 2.5 mm. (a) ¿Cuál es la aceleración inicial del protón después de liberarlo? (b) Elabora diagramas cualitativos (¡sin números!) de aceleración-tiempo y velocidad-tiempo, para el movimiento del protón liberado.

9. Dos cargas puntales positivas q se colocan sobre el eje y en y=a y y=-a. Se coloca una carga puntual negativa –Q en cierto punto de la parte positiva del eje x. (a) En un diagrama de cuerpo libre, indica las fuerzas que actúan sobre la carga –Q. (b) Encuentra las componentes x y y de la fuerza neta que ejercen las dos cargas positivas sobre –Q.

10. Supón que los dos protones en el núcleo de un átomo de Helio están a

una distancia de 2×10!!" m entre ellos. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza eléctrica de repulsión que ejercen entre sí? ¿Cuál sería la aceleración de cada uno si ésa fuera la única fuerza que actuara entre ellos?. Considera que los protones son cargas puntuales.

11. Deimos es una pequeña luna de Marte con 2×10!"kg de masa. Supón

que un electrón está a 100 km de Deimos. ¿Cuál es la atracción gravitacional sobre el electrón? ¿Qué carga eléctrica negativa habría que colocar en Deimos para equilibrar esta atracción gravitacional? ¿A cuántas cargas electrónicas equivale? Considera en tus cálculos que las masas son puntuales al igual que las cargas.

7µC

2µC - 4µC

0.5m 0.5m

0.5m

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12. Dos cargas puntuales +Q y –Q separadas una distancia d (dipolo eléctrico) están en el eje x, en x=d/2 y x=-d/2, respectivamente. Encuentra la fuerza neta sobre una trcera carga +q, también en el eje x en x>d/2. Simplifica el resultado y obtén la forma de la fuerza neta aproximada para x mucho mayor que d.

13. En los vértices de un cubo de lado a están ocho cargas q iguales.

Calcula la magnitud de la fuerza total sobre una de las cargas, debida a las otras 7 cargas.

14. Una barra delgada de longitud L se coloca se coloca sobre el eje x. Una

carga puntual q se coloca sobre el mismo eje x a una distancia 𝑑 de uno de los extremos de la barra. La barra tiene una distribución uniforme de carga, de 𝜆 coulombs por metro. Calcula la fuerza eléctrica que actúa sobre la carga q. (Sugerencia: Suma las contribuciones a la fuerza debidas a diferenciales de carga de la barra para obtener la fuerza total)

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