planificaciÓn temporal de proyectos

Planificación temporal de proyectos 1

Administración de proyectos Informáticos

Tema 4Tema 4PLANIFICACIÓN TEMPORAL PLANIFICACIÓN TEMPORAL

DE PROYECTOSDE PROYECTOS

1. Introducción2. Notaciones gráficas3. Grafos: conceptos básicos4. Métodos de planificación temporal5. Método PERT

5.1. Principios básicos5.2. Construcción del grafo PERT5.3. Asignación de tiempos a las actividades5.4. Cálculo de los tiempos EET y LET5.5. Conceptos de holgura y camino crítico5.6. Calendario de ejecución del proyecto5.7. El método PERT en un contexto aleatorio

6. Método CPM6.1. Relación entre duración y coste de una actividad6.2. Diferencias entre PERT y CPM

7. Método ROY7.1. Principios básicos7.2. Construcción del grafo ROY7.3. Cálculo de los tiempos mínimo y máximo7.4. Holguras y calendario de ejecución



1. Introducción1. Introducción

Planificación temporal: Identificación de tareas,asignación de tiempos y recursos a dichas tareas y planificación de la secuencia de ejecución de forma que el tiempo de desarrollo del proyecto sea mínimo.

– El objetivo del gestor del proyecto es definir todas las tareas del proyecto, identificar las que son críticas y hacerles un seguimiento para detectar de inmediato posibles retrasos.

– La planificación temporal distribuye el esfuerzo estimado a lo largo de la duración prevista del proyecto.

– La planificación evoluciona con el tiempo: durante las primeras etapas se desarrolla una planificación temporal macroscópica y a medida que el proyecto va progresando se refina obteniendose una planificación temporal detallada.

Tiempos

Recursos

Tiempos

RecursosSecuenciade tareas

Secuenciade tareas

Fecha de comienzo

Fecha de comienzo

ESTIMACIÓN PLANIFICACIÓN CALENDARIO

Figura 1. Actividades relacionadas con la planificación temporal



IntroducciónIntroducción

Principios de la planificación temporal:– Compartimentación: descomposición del proyecto en un

número manejable de actividades y tareas. – Interdependencia: Se deben determinar las

interdependencias de cada actividad o tarea compartimentada.

– Asignación de tiempo: A cada tarea que se vaya a programar se le deben asignar un cierto número de unidades de trabajo, una fecha de inicio y otra de finalización.

– Validación del esfuerzo: A medida que se realiza la asignación de tiempo, el gestor del proyecto se tiene que asegurar de que hay en plantilla el suficiente número de personas que se requiere en cada momento.

– Responsabilidades definidas: Cada tarea que se programe debe asignarse a un miembro específico del proyecto.

– Resultados definidos: El resultado de cada tarea, normalmente un producto, deberá estar definido. Los productos se combinan generalmente en entregas.

– Hitos definidos: Todas las tareas grupos de tareas deberían asociarse con algún hito del proyecto. Se considera un hito cuando se ha revisado la calidad de uno o más productos y se han aceptado.



2. Notaciones gráficas2. Notaciones gráficas

Comienzo

T1

M1 T3

T2

M3 T6

M4

T9

M6

T11

M8

T12

Final

M2

T7

T5

M7

T10

T4

M5 T8

4/7/96

8 días

15 días15 días

15 días

10 días 10 días

5 días

20 días

25 días

15 días

7 días

10 días

14/7/96

25/7/96

25/7/96

18/7/96

4/8/96

11/8/96

25/8/96

5/9/96

19/9/96

Tarea Duración (días) Dependencias

T1 8T2 15T3 15 T1T4 10T5 10 T2,T4T6 5 T1,T2T7 20 T1T8 25 T4T9 15 T3,T6

T10 15 T5,T7T11 7 T9T12 10 T11

Redes de Tareas: En ellas se representan las actividades que deben ejecutarse en paralelo y las que deben llevarse a cabo en secuencia debido a una dependencia respecto a la actividad o actividades anteriores.– Los nodos rectangulares representan las tareas.– Los nodos redondeados representan los hitos



Notaciones gráficasNotaciones gráficas

Diagramas de barras o de Gantt: Representación gráfica de las actividades sobre una escala de tiempos. Las actividades se representan en forma de barra sobre dicha escala manteniendo la relación de proporcionalidad entre sus duraciones y su representación gráfica, y su posición respecto del punto origen del proyecto.

– No permiten la representación de conexiones cruzadas que muestre directamente la dependencia de tareas.

– Tampoco permiten conocer claramente la lógica utilizada en la planificación.

4/7 .4/7 11/7 18/7 25/7 1/8 15/8 22/8 29/8 5/9 12/9 19/98/8

.T4T1T2

Comienzo

M1T7T3

M5T8

M3.M2T6.

T5M4.

T9M7.

T10 ...M6

T11M8T12

Final

.

.



3. Grafos: conceptos básicos3. Grafos: conceptos básicos

Los grafos son la base de la mayoría de los métodos de planificación temporal.Un grafo se puede definir por medio de dos conjuntos:– Un conjunto X que representa n puntos del plano

denominados vértices.– Un conjunto U que representa las relaciones que existen

entre los elementos del conjunto X . Dichas relaciones se denominan arcos.

La relación entre dos vértices xi y xj se representa mediante el arco uij, mientras que la relación en sentido contrario se expresaría mediante el arco uji.

Figura 2. Estructura de un grafo



Grafos: conceptos básicosGrafos: conceptos básicos

Un grafo parcial de otro grafo se obtiene suprimiendo algunos arcos y manteniendo todos los vértices.Un subgrafo de un grafo dado se obtiene suprimiendo algunos vértices y los arcos correspondientes.

Figura 4. subgrafo

Figura 3.Grafo parcial



Grafos: conceptos básicosGrafos: conceptos básicos

Camino de un grafo: sucesión de arcos tales que si un arco muere en el vértice xi, el arco siguiente de la sucesión nace en ese mismo vértice.Un caso especial de camino en el que el vértice inicial y final coinciden se denomina circuito.Longitud generalizada de un camino o de un circuito: suma de los números asociados a los arcos del camino o del circuito.– La longitud generalizada del camino (x1, x2, x3, x4) del grafo

de la figura 5 es:6 + 6 + 5 = 17

– La longitud generalizada del circuito (x1, x2, x4, x1) del grafo de la figura 5 es:

6 + 7 + 8 = 21

Figura 5. Grafo con números asociados a los arcos



4. Métodos de planificación temporal4. Métodos de planificación temporal

Aunque los diagramas de Gantt se pueden utilizar como técnica de planificación temporal, los métodos utilizados para la planificación de grandes proyectos se basan en el uso de redes de tareas. Algunos de estos métodos son:

– PERT (Program Evaluation & Review Technique): » Creado para proyectos del programa de defensa del

gobierno norteamericano entre 1958 y 1959.» Se utiliza para controlar la ejecución de proyectos con

gran número de actividades desconocidas que implican investigación, desarrollo y pruebas.

– CPM (Critical Path Method): » Desarrollado para dos empresas americanas entre 1956

y 1958 por un equipo liderado inicialmente por James E. Kelley y Morgan R. Walker .

» Se utiliza en proyectos en los que hay poca incertidumbre en las estimaciones.

– Método de ROY: » Desarrollado en Europa entre 1958 y 1961 por un grupo

de ingenieros encabezados por B. Roy y M. Simmonard.

» Similar a los métodos PERT y CPM, pero permite establecer las redes sin utilizar actividades ficticias e iniciar los cálculos sin la construcción de la red.



Métodos de planificación temporalMétodos de planificación temporal

– Método GERT (Graphical Evaluation & Review Technique):

» Desarrollado por A. A. Pritsker tomando como base los trabajos de Eisner y Elmaghraby.

» El método GERT extiende la incertidumbre en la duración de las actividades a la propia programación, permitiendo considerar un número mayor de situaciones del proyecto que otros métodos.

» Las actividades precedentes de cada nudo pueden ser de naturaleza determinante o probabilística.

– Otros métodos:

» Método de secuencia mínima irreductible para programas de mantenimiento.

» PEP (Program Evaluation Procedure) desarrollado por las Fuerzas Aéreas de EEUU.

» PERT-Coste: para el cálculo de la duración óptima a coste mínimo.

» PERT-Recursos: aplicable cuando existen limitaciones en los recursos.



5. Método PERT5. Método PERT5.1. Principios básicos5.1. Principios básicos

El método PERT parte de la descomposición del proyecto en actividades. Entendiendo por actividad la ejecución de una tarea que exige para su realización el uso de recursos.Se establece también el concepto de suceso: acontecimiento que indica el principio o fin de una actividad o conjunto de actividades. No consume tiempo ni recursos.El método utiliza una estructura de grafo para la representación gráfica de las actividades o tareas de un proyecto, sus tiempos de comienzo y finalización y las dependencias entre las distintas actividades.

– Las actividades se representan por líneas o flechas (arcos del grafo).

– Los sucesos se representan por círculos (vértices del grafo).

1 2A

A: actividad1, 2: sucesos



Método PERTMétodo PERTPrincipios básicosPrincipios básicos

Tipos de prelaciones entre las actividades:– Prelaciones lineales: Para poder iniciar una determinada

actividad es necesario que haya finalizado una única actividad.

– Prelaciones que originan una convergencia: Para poder iniciar una determinada actividad es necesario que hayan finalizado dos o más actividades.

– Prelaciones que originan una divergencia: Para poder iniciarse un conjunto de actividades es necesario que haya finalizado una única actividad.

– Prelaciones que originan convergencia-divergencia: Para poder iniciarse un conjunto de actividades es necesario que hayan finalizado dos o más actividades.

1 2A

3B

3

4

5

1 2

B

CD

A



Método PERTMétodo PERTPrincipios básicosPrincipios básicos

Actividades ficticias: son actividades que no consumen tiempo ni recursos, sólo reflejan prelaciones existentes entre distintas actividades del proyecto.

Se utilizan en dos casos:

– Cuando se presentan simultáneamente prelaciones lineales y de convergencia o divergencia:

– Con actividades paralelas:

1

2 4

A

B

5

6

C

D

3

3

4

1 2

B

CD

A5 E 6



Método PERTMétodo PERT5.2. Construcción del grafo PERT5.2. Construcción del grafo PERT

Se comienza recogiendo de manera sistematizada toda la información referente a las prelaciones entre las distintas actividades. Existen dos procedimientos:

– Matriz de encadenamientos: matriz cuadrada cuya dimensión es igual al número de actividades en que se ha descompuesto el proyecto. Si en los puntos de cruce aparece una X indica que para poder iniciar la actividad de la fila tiene que haber terminado la correspondiente a la columna.

– Cuadro de prelaciones: tabla de dos columnas, en la primera se encuentran las actividades del proyecto y en la segunda figuran las actividades precedentes de su homologa en la primera columna.

A B C D E FABCDEF

X

X

X

X

X

Actividades Precedentes

A

B

C A, B

D A

E A

F D

Cuadro de prelacionesMatriz de encadenamientos



Método PERTMétodo PERTConstrucción del grafo PERTConstrucción del grafo PERT

El grafo comienza en un vértice que representa el suceso inicio del proyecto y termina en otro vértice que representa el suceso fin del proyecto.

– Suceso inicio del proyecto: representa el inicio de una o más actividades pero no representa el fin de ninguna.

– Suceso fin del proyecto: representa el fin de una o mas actividades pero no representa el comienzo de ninguna.

– Actividades inicio del proyecto: no tienen ninguna actividad precedente.

– Actividades fin del proyecto: no preceden a ninguna otra actividad.

La numeración de los vértices del grafo debe cumplir siempre la siguiente condición:El número del vértice que represente el comienzo de cierta actividad debe ser menor que el número del vértice que represente el suceso fin de esa actividad.




3

1B

F

A 5

4

2 E

C

D

A B C D E FABCDEF

XX

X

X

X

Actividades PrecedentesABC A, BD AE AF D




Ordenación en niveles de un grafo (I)Método gráfico:– Se busca en el grafo un subconjunto de vértices de los que

no nace ningún arco y se suprime junto con los arcos que llegan a ellos.

– Con el subgrafo obtenido se sigue el mismo proceso.– La repitiendo el proceso hasta el final del grafo se podría

recomponer ordenado por niveles, como se muestra en la figura 6.




Ordenación en niveles de un grafo (II)

Figura 6. O

rdenación en niveles de un grafo




Ordenación en niveles de un grafo (III)Algoritmo matricial (algoritmo de Demoucron):– Se construye una matriz asociada al grafo:

A todo grafo de n vértices se le puede asociar una matriz cuadrada de dimensión n. Un elemento aij de la matriz toma el valor 1 cuando existe un arco que une el vértice i con el vértice j, y toma el valor 0 cuando no exista un arco que una dichos vértices.

– Se amplia la matriz asociada al grafo mediante un vector columna V1. Los elementos de ese vector son iguales a la suma de los elementos de cada fila de la matriz asociada.

– Se amplia nuevamente la matriz mediante un vector columna V2. Los elementos de ese vector se obtienen restando a los elementos del vector V1, los elementos homólogos de la(s) columna(s) que corresponden a los vértices que en dicho vector V1 toman el valor cero. Cuando el minuendo y el sustraendo sean cero se coloca un aspa en el vector en lugar de un cero.

– Debajo de la columna correspondiente a cada vector se van colocando los números de los vértices con los que se obtienen elementos de valor cero en el vector.

– Repitiendo el proceso de forma iterativa se obtendrán los demás vectores columna que representan la ordenación en niveles del grafo.




Ordenación en niveles de un grafo (IV)Algoritmo matricial (algoritmo de Demoucron)

Figura 7. Matriz de ordenación en niveles de un



Método PERTMétodo PERT5.3. Asignación de tiempos a las actividades5.3. Asignación de tiempos a las actividades

El tiempo que se tarda en desarrollar una actividad no se conoce con exactitud por lo que hay que realizar estimaciones de tiempo. El método PERT considera tres estimaciones de tiempo distintas:

– Estimación optimista (Eo): tiempo mínimo en que podría ejecutarse la actividad si no surgiera ningún contratiempo.

– Estimación más probable o estimación modal (Em): tiempo que se empleará en ejecutar la actividad en circunstancias normales

– Estimación pesimista (Ep): tiempo máximo de ejecución de la actividad si las circunstancias son muy desfavorables.

El tiempo PERT (D) será la media o esperanza matemática:

Eo + 4 Em + EpD =

6Varianza de una actividad:

Las actividades con mayor varianza tienen un mayor riesgo en la estimación de su duración.

V = ( )6E - E o p2

2



Método PERTMétodo PERT5.4. Cálculo de los tiempos EET y LET 5.4. Cálculo de los tiempos EET y LET

Una vez construido el grafo del proyecto y asignados tiempos de ejecución a las actividades, el siguiente paso consistirá en calcular dos parámetros para cada suceso:

– EET (Earliest Even Time): representa el tiempo mínimo para que comience un suceso. El EET del suceso inicial es cero, para el resto de los sucesos el EET se calcula siguiendo las siguientes reglas:

» Seleccionar todas las actividades que llegan al suceso.» Para cada actividad que entra, se suma la duración de la

actividad y el EET de su suceso inicial.» Seleccionar el EET más alto que se haya obtenido.

tj = max [ti + tij] ∀i

– LET (Latest Even Time): representa lo más tarde que puede comenzar una actividad, sin que afecte a la planificación del proyecto.El suceso fin del proyecto tiene LET igual al EET, para el resto de los sucesos se aplican las reglas siguientes:

» Considerar todas las actividades que salen del suceso.» Restar al LET del suceso final la duración de cada

actividad.» Seleccionar el menor LET que se haya obtenido

t*i = min [t*

j - tij] ∀j



Método PERTMétodo PERTCálculo de los tiempos EET y LET Cálculo de los tiempos EET y LET

212

3

5

4

2

43

60

0

6

7

1

8

0

4

3

9

0

11102

1

6

2

duración

Suceso

º

º EET

º LET

222

100

2

36

6

58

11

4

2

466

3

612

120

0

6

712

18

1

815

15

0

4

3

915

20

0

112323

102121

21

6

2



Método PERTMétodo PERTCálculo de los tiempos EET y LET Cálculo de los tiempos EET y LET

Los parámetros EET y LET para grafos muy grandes se calculan mejor mediante la matriz de Zaderenco:

– Se construye una matriz cuadrada cuya dimensión sea igual al número de vértices del grafo.

– Los elementos de esa matriz indican el tiempo de las actividades que nacen en el vértice correspondiente a la fila y terminan en el vértice correspondiente a la columna

ti i \ j 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 1 2 2 2 4 3 6 3 0 2 6 4 6 1 8 5 0 4 12 6 0 3 12 7 2 15 8 0 6 15 9 1 21 10 2 23 11

t*j 0 2 6 6 11 12 18 15 20 21 23



Método PERTMétodo PERT5.5. Conceptos de holgura y camino crítico5.5. Conceptos de holgura y camino crítico

La holgura de cierto suceso i (Hi) se define como la diferencia entre los tiempos LET y EET:

Hi = t*i - ti

La holgura de un suceso indica el número de unidades de tiempo en que puede retrasarse la realización del mismo, de manera que la duración del proyecto no experimente ningún retraso.Holgura total de cierta actividad ij (HT

ij) se define como el tiempo que resulta de restar el tiempo LET del suceso final del EET del suceso inicial y la duración de esa actividad:

HTij = t*

j - ti - tij

La holgura total de una actividad indica el número de unidades de tiempo en que puede retrasarse la realización de la actividad con respecto al tiempo PERT previsto, de manera que la duración del proyecto no se retrase.Aquellas actividades cuya holgura total sea cero se denominan actividades críticas. El camino que forman se denomina camino crítico.El retraso en la realización de cualquiera de las actividades críticas producirá un retraso en la finalización del proyecto.



Método PERTMétodo PERTConceptos de holgura y camino críticoConceptos de holgura y camino crítico

El camino crítico es el camino de longitud generalizada máxima que va desde el vértice que representa el suceso inicio del proyecto al vértice que representa el suceso fin del proyecto.Cuando existen varios caminos críticos se pueden aplicar criterios estadísticos para establecer diferentes índices de criticidad.

duración

(holgura total)

Suceso

º

º EET

º LET

222

100

2

(0)

36

6

58

11

4

2

(0)

(3)

466

3

(1)

612

12(0)0

0(0)

(0)6

712

18

1(11)

815

15

0(6)

4(3)

3(0)

915

20

0(5)

112323

102121

2

(0)(5)1

(0)

6

2

(6)



Método PERTMétodo PERT5.6. Calendario de ejecución del proyecto5.6. Calendario de ejecución del proyecto

En el calendario se establecen cuatro fechas para cada una de las actividades:

– Fecha de comienzo más temprana:

∆ij = ti

– Fecha de comienzo más tardía:

∆*ij = ti + HT

ij = t*j - tij

– Fecha de finalización más temprana:

∇ij = ti + tij

– Fecha de finalización más tardía:

∇*ij = t*

j

En el caso de las actividades críticas las fórmulas anteriores coinciden.La holgura total de una actividad es igual a la diferencia entre las fechas de comienzo más tardía y más temprana e igual a la diferencia entre las fechas de finalización más tardía y más temprana:

HTij = ∆*

ij - ∆ij = ∇*ij - ∇ij



Método PERTMétodo PERTCalendario de ejecución del proyectoCalendario de ejecución del proyecto

Figura 8. Calendario de ejecución del proyecto



Método PERTMétodo PERT5.7. El método PERT en un contexto aleatorio5.7. El método PERT en un contexto aleatorio

Se trata de la aplicación del método PERT en un contexto de riesgo en el que sólo se conoce la distribución de probabilidad de la duración de las actividades.En el método PERT se supone que esta distribución es tipo beta:– La función de densidad f (t) de una variable aleatoria t, que

sigue una distribución de probabilidad tipo beta en un intervalo cerrado [a,b], es:

f (t) = 0 t ≤ af (t) = K (t - a)α (b - t)ϕ a < t < bf (t) = 0 t ≥ b

– La campana no es simétrica como en las distribuciones normales pudiendo presentar asimetría:

» a la derecha: (a + b/2) > m (figura 9)» a la izquierda: (a + b/2) < m (figura 10)

– Las curvas beta cortan al eje de abscisas en los puntos extremos de la distribución:

» estimación optimista: a» estimación pesimista: b



Método PERTMétodo PERTEl método PERT en un contexto aleatorioEl método PERT en un contexto aleatorio

Figura 10. Distribución beta con asimetría a la izquierda

Figura 9. Distribución beta con asimetría a la derecha

Figura 3.1. Figura 3.1. PgPg. 71. 71

Figura 3.2. Figura 3.2. PgPg. 71. 71



El método PERT en un contexto aleatorioEl método PERT en un contexto aleatorio

Para distribuciones del tipo anterior las expresiones de media y la varianza son las siguientes:

a + 4 m + bD =

6

El algoritmo PERT con probabilidad se basa en las expresiones anteriores.

– ai, mi y bi representan las estimaciones optimista, más probable y pesimista de la duración de una actividad i.

– Di y vi2 representan la media y la varianza de esa duración.

– Si ξi representa la variable aleatoria que mide la duración de una actividad i que pertenece al camino crítico, la media y varianza de esa variable aleatoria serán:

ai + 4 mi + biDi = 6

v2 = ( )6b - a 2

vi2 = ( )6

bi - ai 2



El método PERT en un contexto aleatorioEl método PERT en un contexto aleatorio

– Definimos una nueva variable aleatoria η que mide la duración del proyecto:

nη = ξ1 + ξ2 + ... + ξi + ... + ξn = ∑ ξi

i=1siendo n el número de actividades del camino crítico

– Cuando el número de actividades sea lo suficientemente elevado (n → ∞) la variable aleatoria que mide la duración del proyecto converge en distribución a una ley normal:

n nη → N [ M = ∑ Di; V2 = ∑ vi

2 ]i=1 i=1

– A partir de la expresión anterior se puede determinar la probabilidad de terminación de un proyecto en un plazo no superior a un número de unidades de tiempo T:

P(η ≤ T ) = F ( T )

Figura 11. Representación de la función de distribución F(T)



6. Método CPM6. Método CPM6.1. Relación entre duración y coste de una actividad6.1. Relación entre duración y coste de una actividad

Los fundamentos del método CPM son los mismos que los del método PERT, sin embargo, uno de sus autores (J.E. Kelley) amplió el método CPM original introduciendo la relación entre coste y duración de una actividad dando lugar a la variante: programación de proyectos a coste mínimo (MCE: Minimum CostExpediting). En el método MCE para cada actividad ij del proyecto existen dos tiempos de ejecución distintos, cada uno con un coste asociado:– Tij = Tiempo normal de ejecución de la actividad ij– CijT = Coste de ejecución de la actividad ij en el tiempo Tij

– tij = Tiempo tope de ejecución de la actividad ij– Cijt = Coste de ejecución de la actividad ij en el tiempo tij

– xij = Duración de la actividad ij (incógnita del método MCE)

Si se representan los costes frente a las duraciones de las actividades tendremos los puntos:– A(Tij, CijT) : punto normal (tiempo máximo y coste mínimo)– B(tij, Cijt) : punto tope (tiempo mínimo y coste máximo)– Los puntos A y B están unidos por la curva Cij = f (xij) que

constituye la llamada curva coste-duración.



Método CPMMétodo CPMRelación entre duración y coste de una actividadRelación entre duración y coste de una actividad

Para simplificar el tratamiento, en lugar de trabajar con funciones de coste no lineales, se puede considerar la siguiente aproximación:

– Transformar las curvas coste-duración en líneas rectas.

– Introducir un coste suplementario Sijt creciente, con comportamiento lineal respecto a la duración.

CijT - CijtCij = Cijt + (xij - tij )

Tij - tij

Figura 12. Representación coste-duración de una actividad



Método CPMMétodo CPMRelación entre duración y coste de una actividadRelación entre duración y coste de una actividad

S ijt = Cijt - CijT

La ecuación correspondiente a la recta coste suplementario-duración es:

– La pendiente de las rectas coste-duración y coste suplementario-duración representa el coste suplementario que se obtiene al reducir la duración del proyecto una unidad de tiempo. Se denomina coste unitario de reducción.

S ijtSij = Sijt - (xij - tij ) Tij - tij

Figura 13. Representación coste suplementario-duración de una actividad



6. Método CPM6. Método CPM6.2. Diferencias entre PERT y CPM6.2. Diferencias entre PERT y CPM

Asignación de tiempos a las actividades:

– PERT: tres estimaciones de tiempo– CPM: una estimación única

Introducción en el método CPM de la relación que existe entre el coste y la duración de una actividad: técnica de programación de proyectos a coste mínimo.

Diferencias de notación

PERT CPM

Suceso Nudo

Actividad Trabajo

Holguras Flotantes

Tiempo early Tiempo más bajo deiniciación

Tiempo last Tiempo más alto deiniciación



6. Método CPM6. Método CPMDiferencias entre PERT y CPMDiferencias entre PERT y CPM

Cálculo de flotantes libres y flotantes independientes de una actividad:

– Flotante libre de una actividad ij:

FijL = tj - ti - tij

Representa la cantidad de flotante disponible después de haber realizado la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos más bajos de iniciación.

– Flotante independiente de una actividad ij:

FijI = tj - ti

* - tij

Representa la cantidad de flotante disponible después de haber realizado la actividad, si todas las actividades del proyecto han comenzado en sus tiempos más altos de iniciación.Este flotante generalmente tiene valores pequeños y a veces puede ser negativa.



7. Método ROY7. Método ROY7.1. Principios básicos7.1. Principios básicos

La diferencia básica entre el método ROY y los métodos PERT y CPM reside en los principios de construcción del grafo:

– Las actividades se representan por los vértices del grafo– Las prelaciones existentes entre las actividades se

representan mediante los arcos del grafo.Representación de las prelaciones:

– Prelación lineal

– Prelaciones que originan convergencia

– Prelaciones que originan divergencia

A B

A

B

C

D

B

C

D

A



7. Método ROY7. Método ROYPrincipios básicosPrincipios básicos

– Prelaciones que originan convergencia-divergencia

A

B

C

D

E

F

5

6

7

D

EF

ROY

PERT



7. Método ROY7. Método ROYPrincipios básicosPrincipios básicos

– Prelaciones lineales y de convergencia (o divergencia) simultáneas:

– Actividades en paralelo:

A

B

C

D

ROY PERT

3

4

1 2

B

CD

A5 E 6

1

2 4

A

B

5

6

C

D

3

EA

B

C

D

ROY

PERT



7. Método ROY7. Método ROY7.2. Construcción del grafo ROY7.2. Construcción del grafo ROY

Para construir el grafo hay que introducir, en el conjunto de actividades del proyecto, dos actividades adicionales: las actividades inicio y fin del proyecto:– La actividad inicio está representada por un vértice del que

salen arcos que llegan a todas las actividades que no tienen actividades precedentes.

– La actividad fin de proyecto está representada por un vértice al que llegan arcos que proceden de los vértices que representan a todas las actividades que no tienen actividades siguientes.

Las actividades inicio y fin del proyecto son actividades ficticias que no consumen tiempo ni recursos, se les asigna un tiempo de ejecución igual a cero.Si en el proyecto sólo existe una actividad sin precedentes, esa actividad jugaría el papel de actividad inicio del proyecto.Si en el proyecto sólo existe una actividad sin siguientes, esa actividad jugaría el papel de actividad fin del proyecto.Las prelaciones entre las actividades se pueden recoger en cuadros de prelaciones o mediante matrices de encadenamiento.



7. Método ROY7. Método ROYConstrucción del grafo ROYConstrucción del grafo ROY

Figura 14. Representación de un grafo ROY

Actividades PrecedentesA -B -C A, BD AE AF DG DH GI FJ EK CL H, I, JM KN MP LQ N, PR Q



7. Método ROY7. Método ROY7.3. 7.3. Cálculo de los tiempos mínimo y máximoCálculo de los tiempos mínimo y máximo

El tiempo mínimo de una actividad K representa lo más pronto que se puede llegar a esa actividad:

TK = max [TJ + DJ] ∀ J

donde DJ representa la duración de la actividad J

El tiempo máximo de una actividad K representa lo más tarde que se puede llegar a esa actividad:

TK* = min [TL

* - DK] ∀ L

donde DK representa la duración de la actividad J

Notación utilizada para dibujar el grafo:

DK

TK TK*K



7. Método ROY7. Método ROYCálculo de los tiempos mínimo y máximoCálculo de los tiempos mínimo y máximo

Figura 5.8 pg. 114

Figura 15. Representación de tiempos mínimo y máximo en el grafo ROY

El cálculo de los tiempos mínimo y máximo se puede calcular sin utilizar la estructura de grafo, construyendo una matriz de encadenamientos en la que se han sustituido las “X” por la duración de la actividad correspondiente a la columna.



7. Método ROY7. Método ROYCálculo de los tiempos mínimo y máximoCálculo de los tiempos mínimo y máximo

Figura 16. Matriz de cálculo de los tiempos mínimo y máximo



7. Método ROY7. Método ROY7.4. 7.4. Holguras y calendario de ejecución del proyectoHolguras y calendario de ejecución del proyecto

Holgura total de cierta actividad K es la diferencia entre sus tiempos máximo y mínimo:

HKT = TK

* - TK

Las actividades con holgura nula son actividades críticas.

La holgura libre de cierta actividad K viene dada por la fórmula:

HKL = min [TL - TK - DK] ∀ L

A partir de los tiempos mínimo y máximo se puede determinar el calendario de ejecución del proyecto:

– Fecha de comienzo más temprana:

∆K = TK

– Fecha de comienzo más tardía:

∆*K = TK

*

– Fecha de finalización más temprana:

∇K = TK + DK

– Fecha de finalización más tardía:

∇*K = TK

* + DK



EjerciciosEjercicios

Construir los grafos PERT y ROY y determinar el camino crítico para un proyecto cuyas actividades y prelaciones se recogen en el siguiente cuadro:

2534322536142

Duración

C, LMJ, KLDKIJDIGHDGEFGE-D

B, HCAB-A

PrecedentesActividades




Construir el grafo ROY del siguiente proyecto:

El proyecto consiste en pintar un cuartel rectangular en tres etapas: primero raspar la pintura vieja, después aplicar la nueva pintura y finalmente acuchillar la pintura de los cristales de las ventanas. Se dispone de 15 soldados y de 5 herramientas de cada clase (raspadores, brochas y cuchillas).

Actividad Duración Actividad Duración A Raspar cara 1 2 G Raspar cara 4 4 B Raspar cara 2 4 H Pintar cara 3 3 C Pintar cara1 3 I Acuchillar cara 2 2 D Raspar cara 3 2 J Pintar cara 4 6 E Pintar cara 2 6 K Acuchillar cara 3 1 F Acuchillar cara 1 1 L Acuchillar cara 4 2




A B C D E F G H I J K L Duración

A 2

B X 4

C X 3

D X 2

E X X 6

F X 1

G X 4

H X X 3

I X X 2

J X X 6

K X X 1

L X X 2

Solución

A

B

C

F

D

E I

G

H

J

K

L Fin

Ini .

0/ 00

2

2

3

3

4

4

2

2

6

1

3

3

46

12

26

0/ 0

2/2

2/3

6/9

5/17

6/6 12/18

8/11

12/12

15/15

15/20

21/21 23/23

A

B

C

F

D

E I

G

H

J

K

L Fin

Ini .

0/ 00

2

2

3

3

4

4

2

2

6

1

3

3

46

12

26

0/ 0

2/2

2/3

6/9

5/17

6/6 12/18

8/11

12/12

15/15

21/21 23/23



BIBLIOGRAFÍABIBLIOGRAFÍA

Burnett, K., The project management paradigm, Springer-Verlag, 1998.

Cos, M., Teoría General del proyecto, Ed. Síntesis, 1997.

Davis, W.S., Herramientas CASE. Metodología estructurada para el desarrollo de sistemas. Paraninfo, 1983.

Kelley, J.E., Critical-Path Planning and Sheduling Mathematical Basis, Operations Research, 9, pp 296-320, 1961.

Piattini Velthuis, M.G., Calvo-Manzano, J.A., Cervera, J. y Fernández, L. “Análisis y Diseño Detallado de Aplicaciones Informáticas de Gestión”. Ra-ma. 1996.

Pressman, R.S., Ingeniería del Software, un enfoque práctico, Mc Graw Hill, 1998.

Romero, C., Técnicas de programación y control de proyectos, Pirámide, 1997.

Fulkerson, D.R., Expected Critical Path Lengths in PERT Networks, Operations Research, 10,, pp 808-817, 1962.

Sommerville, I. Software Engineering, Addison-Wesley, 1996.

Yu, L., Aplicaciones prácticas de PERT y CPM, Ediciones Deusto,1974.

Zaderenco, S.G., Sistemas de programación por camino crítico, Editorial Librería Mitre, 1968.

planificaciÓn temporal de proyectos

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