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Escuela Secundaria Gral. no. 1 “José María Rosas Zumaya” Profra. Eréndira Sánchez Blanco

Plan de clase (1/4) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización al resolver problemas y ecuaciones de la forma ax2+bx=0. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. El área de un cuadrado es igual a 8 veces la medida de su lado. ¿Cuánto mide por lado el cuadrado? 2. El triple del área de un cuadrado menos seis veces la medida de su lado es igual a cero. ¿Cuánto mide

por lado el cuadrado?

Plan de clase (2/4) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver problemas que implican ecuaciones de la forma ax2 =bx. Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema: La edad de Luis multiplicada por la de su hermano, que es un año mayor, da como resultado cinco veces la edad del primero. ¿Cuáles son las edades de Luis y de su hermano? EJERCICIO: Resuelvan algunas ecuaciones como las siguientes:

a) x(x+2)=4x b) 2x(x+1)=0 c) 2x2-4x=0

Plan de clase (3/4) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver problemas que implican ecuaciones de la forma ax2+ bx + c =0. Consigna. En equipo, resuelvan los siguientes problemas: A un cuadrado (Fig. A) se le aumenta 7 cm de largo y 3 cm de ancho, con lo que se forma un rectángulo (Fig. B) cuya área es x2+10x+21. Con base en esta información, contesten y hagan lo que se indica.

Fig. A

x

x

Fig. B


a) ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo construido (Fig. B)? Base: _________ altura: _____________ b) Verifiquen que al multiplicar la base por la altura obtienen x2+10x+21 c) Si el área de un rectángulo similar al de la figura B, es x2+9x+18, ¿cuántos centímetros se le aumentó de

largo y cuántos de ancho? d) Si el área x2+9x+18 es igual a 40 cm2, ¿cuántos centímetros mide de largo y cuántos centímetros mide

ancho el rectángulo? EJERCICIO: a) ¿Cuántos metros mide por lado el siguiente cuadrado? b) ¿Cuántos centímetros mide la base y cuántos centímetros mide la altura del siguiente paralelogramo? c) ¿Cuáles son las dimensiones del siguiente rectángulo?

Plan de clase (4/4) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: SN y PA Contenido: 9.2.1 Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Intenciones didácticas: Que los alumnos usen la factorización para resolver problemas y ecuaciones de la forma ax2 + bx + c = 0. Consigna. En equipo resuelvan el siguiente problema: Al desarmar las piezas que forman el marco de una fotografía y colocarlas alineadamente, como se muestra en el dibujo, se forma un rectángulo cuya área es 72 cm2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que se forma?

A = 100 m2 x + 5

x + 5

x + 8

x A = 48 cm2

x2 +6x +8= 35 cm2


EJERCICIO: Resuelvan por factorización ecuaciones como las siguientes:

a) 4x2 + 6x = 0 b) 5x2 + 10x = 0 c) x2 + 4x = 7x d) x2 + 6x +8 = 0 e) m2 + 10m + 21 = 0 f) n2 – 6 = - n g) x2 - 10x + 25 = 0 h) x2 = - 6x - 9 i) 12x +36 = - x2

encuentren una ecuación cuyas soluciones sean por ejemplo: a) x1 = 3, x2= -1 b) x1 = 5, x2= 7 c) x1 = -4, x2= -1 d) x1 = -4, x2= 3

Plan de clase (1/2) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M

Contenido: 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Intenciones didácticas: Que los alumnos comprendan que al trazar el simétrico de una figura, las medidas de los lados y los ángulos de la figura original se conservan; además que reflexionen acerca de qué cualidades de las figuras se conservan al trazar su simétrico con respecto de un eje. Consigna: Organizados en equipo, completen las siguientes figuras de manera que la recta m sea eje de simetría de cada figura y contesten las preguntas.

a) ¿Qué figura se formará en el tercer dibujo? b) ¿A qué distancia de m estará el punto B’ en la primera figura? c) ¿Cuál va a ser la medida de los lados simétricos en cada figura?

x x

8

6

A

B

m

m

O P

m


d) ¿Cuánto medirá el ángulo B’? e) ¿Cuál va a ser la medida de los ángulos O’ y P’ en la segunda figura? f) ¿Qué figura se formó en cada caso? g) Las figuras anteriores ¿tienen otros ejes de simetría, además de m? Trázalos. h) ¿Con qué otras figuras que tú conozcas sucede algo semejante?

Plan de clase (2/2) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M

Contenido: 9.2.2 Análisis de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Intenciones didácticas: Que los alumnos figuras simétricas para que apliquen las propiedades. Consigna: Tracen la figura simétrica a la dibujada. Consideren la línea q como eje de simetría. Al terminar los trazos, respondan las preguntas.

a) Describe el procedimiento que seguiste para trazar las figuras anteriores. b) ¿Cómo son los lados y los ángulos de la figura simétrica con respecto de la original?

Plan de clase (1/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEyM Contenido: 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Intenciones didácticas. Que los alumnos anticipen cómo cambia una figura, al aplicarle una simetría, una rotación o una traslación. Consigna. Organizados en parejas, averigüen cuáles transformaciones se realizaron para pasar de la figura original a la final. En cada uno de los casos, señalen con líneas punteadas las transformaciones que identificaron.

Caso 1

q q

q

q


Caso 2

Caso 3

A´ B´

C´ D´

A B

C D

Q

R

S

p

Q´

R´

S´

P´


En cada caso, escribe qué tipo o tipos de transformaciones sufrió la primera figura para obtener la segunda.

Trapecio isósceles: ________________________________________________

Cuadrilátero PQRS: __________________________________________________

Pentágono ABCDE: __________________________________________________ Consideraciones previasCon respecto al primer caso, es probable que surjan diferentes respuestas, por ejemplo, algunas de ellas podrían ser:

- primero se realiza una simetría axial con relación al eje x, luego una simetría central con centro de simetría sobre el eje y. - primero una simetría axial con relación al eje y, luego una traslación con dirección vertical y sentido hacia abajo. - una traslación con dirección oblicua y sentido hacia abajo. - Dos traslaciones, una con dirección horizontal y sentido a la derecha y otra con dirección vertical y sentido hacia abajo. Cualquiera de estas respuestas es válida, siempre y cuando se indiquen con líneas punteadas las transformaciones realizadas, como se muestra en la siguiente figura.

Con respecto al caso 2, también pueden surgir diferentes respuestas, por ejemplo, aplicar dos simetrías axiales como se muestra en la siguiente figura.

A

B

C D

E

E´

D´ C´

B´

A´


En el caso 3, no está marcado ningún eje de simetría, esto es con la finalidad de que los alumnos tracen los que consideren necesarios. Seguramente la mayoría de los alumnos identificarán una simetría axial y una traslación, pero puede haber otras respuestas válidas, como se muestra en la siguiente figura.

Durante el análisis colectivo de los tres casos, hay que tratar de que los alumnos se familiaricen con el lenguaje convencional, como lados homólogos, la imagen de un punto, dirección, sentido, etcétera, así como con la idea de que en este tipo de transformaciones las medidas de lados y ángulos se conservan.

Plan de clase (2/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEyM Contenido: 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Intenciones didácticas. Que los alumnos identifiquen el proceso de construcción corto o directo de figuras. Consigna. Organizados en parejas describan el proceso más corto para construir los siguientes logos, empleando traslación, rotación y simetrías.

a) b) c)

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________


d) e) f)

g) h) i)

Plan de clase (3/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEyM Contenido: 9.2.3 Construcción de diseños que combinan la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras. Intenciones didácticas. Que los alumnos construyan diseños que impliquen realizar transformaciones de rotación traslación, simetría axial o central. Consigna. De manera individual, elije cualquiera de las siguientes figuras y construye mosaicos por traslaciones, por rotaciones o por simetrías.

a) b) c)

d) e) f)

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________

_____________________


Plan de clase (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M Tema: Medida Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos determinen las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la superposición de superficies y el cálculo de áreas. Consigna 1: Organizados en equipos, construyan en una hoja dos cuadrados tomando como base las medidas de los lados menores del siguiente triángulo. Después tracen una diagonal en cada cuadrado que construyeron, recorten las figuras resultantes y con éstas intenten cubrir el cuadrado trazado en el lado mayor.

Consigna 2: En los mismos equipos, resuelvan el siguiente problema: Se van a construir 3 plazas cuadradas adyacentes a los límites de un jardín, como el que aparece en el dibujo, tomando como base las medidas de sus lados.

¿Con las figuras recortadas lograron cubrir toda la superficie del cuadrado mayor? ¿Por qué

crees que sucede esto?

¿Qué clase de triángulo es el que está sombreado?


¿Cuánto mide el área de cada una de las plazas? Encuentren qué relaciones hay entre las áreas de las tres plazas. ¿Qué figura geométrica representa el jardín? Consideraciones previas:Para realizar la actividad de la primera consigna se requieren tijeras, hojas de colores o de foami. Esta forma de comprobar la relación entre las áreas de los cuadrados es válida para el triángulo rectángulo isósceles. El armado de la figura de la primera consigna puede quedar así:

Se espera que los alumnos digan que es un triángulo rectángulo isósceles y que determinen que la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados iguales es equivalente al área del cuadrado del lado mayor. En la segunda consigna, mediante el cálculo de las áreas de las plazas, se espera que los estudiantes se den cuenta que al sumar las áreas de los cuadrados menores el resultado es igual al área del cuadrado mayor. Es importante que los alumnos adviertan que no es la única relación, sino que determinen que hay otras relaciones, el área de un cuadrado menor es igual al área del cuadrado mayor menos el área del otro cuadrado menor.


Plan de clase (2/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M Tema: Medida Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos verifiquen las relaciones entre las áreas construidas sobre los lados de un triángulo rectángulo, mediante la comparación de superficies y de forma algebraica. Consigna 1. Reunidos en binas, comparen las superficies de las figuras siguientes y determinen qué relación hay entre el cuadrado interior de la figura 2 y los cuadrados interiores de la figura 1.

Con base en la relación que encontraron y considerando la figura 3, elaboren una conclusión. Figura 3 Consigna 2: En la misma bina, analicen las siguientes figuras y comprueben algebraicamente que la suma de las áreas sombreadas de la figura A es igual al área sombreada en la figura B.


Consideraciones previas:Para efecto de cálculos, en la consigna 1 cada cuadrado de la cuadrícula representa una unidad de medida. La expectativa es que los alumnos adviertan que los cuatro triángulos de la figura 1 son iguales entre sí y con los cuatro triángulos de la figura 2, por lo tanto, la suma de las áreas de los dos cuadrados interiores de la figura 1 equivale al área del cuadrado interior de la figura 2.

A partir de la equivalencia anterior y considerando la figura 3, se trata que los estudiantes verifiquen que se cumplen las relaciones entre los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Esta actividad puede realizarse utilizando el recurso tecnológico llamado “geogebra”, con la ventaja que al mover un vértice de la figura para cambiar sus dimensiones se puede apreciar que la relación entre las áreas de los cuadrados se conserva.


Si cuenta con Geogebra en su equipo, esta actividad la podrá descargar en: http://www.supervision12sectec.com.mx/Documentos/matematicas/plan%20de%20clase%20para%203%b0%20pagina%20web.ggb En la segunda consigna se trata que los alumnos recurran a sus conocimientos de álgebra para comparar las áreas de las figuras A y B y determinar que la suma de las áreas de los cuadrados internos de la figura A es equivalente al área del cuadrado interno de la figura B. Una forma de proceder es la siguiente:

a a

c

a a a c

a c Que al contrastar dichos cuadrados con la figura C, puedan verificar una vez más las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. También se les puede solicitar que representen algebraicamente el área de uno de los cuadrados menores, si se conoce el área del cuadrado

mayor y la del otro menor, para lo cual tendrán que despejar en a c .

Plan de clase (3/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FE y M Tema: Medida Contenido: 9.2.4 Análisis de las relaciones entre las áreas de los cuadrados que se construyen sobre los lados de un triángulo rectángulo. Intenciones didácticas: Que los alumnos infieran que sólo en los triángulos rectángulos se cumple que el área del cuadrado construido con la medida del lado mayor es equivalente a la suma de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores, mediante el cálculo de las áreas. Consigna: Organizados en equipos calculen el área de los cuadrados que se pueden construir con las medidas de los lados de cada triángulo, posteriormente completen la tabla y contesten lo que se pide.

Figura 1

Figura 2

http://www.supervision12sectec.com.mx/Documentos/matematicas/plan%20de%20clase%20para%203%b0%20pagina%20web.ggb


No. Figura

Suma de las áreas de los cuadrados con las medidas de los lados

menores

Área del cuadrado con la medida del lado mayor

Nombre del triángulo por la medida de sus

ángulos

Nombre del triángulo por la

medida de sus lados

1

2

3

4

¿En qué triángulos se cumple que la suma de las áreas de los cuadrados construidos con la medida de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor? Escriban una conclusión acerca de la relación que encontraron. Consideraciones previas: Después que los alumnos analizan diferentes triángulos, la expectativa es que determinen que sólo en los triángulos rectángulos la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor.

Después de todas las experiencias relacionadas con este contenido, el profesor puede comentar que en un triángulo rectángulo el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa (lado mayor) y los lados que forman el ángulo recto se denominan catetos (lados menores) y que la propiedad estudiada “la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor”, la cual es exclusiva de los triángulos rectángulos, recibe el nombre de “Teorema de Pitágoras”. Esta propiedad se puede enunciar de manera sintética así, “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. En internet hay muchas opciones para consolidar este conocimiento, algunas de ellas se muestran a continuación:

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html En matemáticas 3°, Forma espacio y medida. Reactivo 38, teorema de Pitágoras /demostración/sumar áreas.

www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html. http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm

Videos: http://www.youtube.com/watch?v=9wexfpHMDCk http:/www.youtube.com/watch?v=CAkMUdeB06

Plan de clase (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM Contenido: 9.2.5 Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras. Intención didáctica: Que los alumnos expresen algebraicamente las relaciones entre los cuadrados de los lados de triángulos rectángulos.

Figura 3 Figura 4

http://basica.sep.gob.mx/dgdgie/cva/gis/index.html

http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/teorema-pitagoras.html

http://docentes.educacion.navarra.es/msadaall/geogebra/pitagoras.htm

http://www.youtube.com/watch?v=9wexfpHMDCk


Consigna. Reunidos con dos compañeros, realicen lo que se indica enseguida: 1. Expresen algebraicamente los valores solicitados en función de las otras dos variables.

________________2 z ________________2 c ________________2 c

________________2 x ________________2 a ________________2 a

________________2 y ________________2 2 a ________________2 b

________________z ________________c ________________a

________________x ________________a ________________b

________________y ________________c

2. En cada figura, ¿cuál es la expresión algebraica que representa la siguiente afirmación conocida como Teorema de Pitágoras? Escríbanla en cada espacio correspondiente. “En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos”. Figura 1: _____________ Figura 2: _____________ Figura 3: _____________ Consideraciones previas:En los planes de clase del contenido 9.2.4, los alumnos realizaron varias actividades que implicaron determinar las relaciones entre las áreas de los cuadrados construidos sobre los lados de un triángulo rectángulo y concluyeron que “la suma de las áreas de los cuadrados construidos con las medidas de los lados menores es igual al área del cuadrado construido con la medida del lado mayor”, esta propiedad es exclusiva de los triángulos rectángulos y recibe el nombre de Teorema de Pitágoras. Ahora se trata de simbolizar esta propiedad y las relaciones que se desprenden de ella. Con respecto a la primera actividad, es probable que algunos alumnos se les dificulte escribir las expresiones algebraicas solicitadas; si esto ocurre, se les puede plantear preguntas de reflexión sobre los significados de cada expresión, por ejemplo, para el primer caso, se les puede plantear las siguientes preguntas: Si se construye un cuadrado que tenga por lado la hipotenusa representada como z, ¿qué representa z2? ¿Qué representa x2? ¿Y y2? ¿A qué equivale z2? Con ello, se espera que los alumnos puedan reconocer que z2 representa el área del cuadrado sobre la hipotenusa; por lo que z2 equivale a x2 + y2. Una vez que los alumnos logren establecer la igualdad z2 = x2 + y2, se espera que no haya dificultad en escribir las relaciones restantes, ya que sólo implica realizar despejes de la relación z2 = x2 + y2. Con respecto a la segunda actividad, es probable que para la figura 2, los alumnos digan que hay un error, es decir, que un cateto del triángulo rectángulo isósceles debe asignarse con otra letra. Si esto ocurre, aclarar que se usa la misma letra o literal “a” porque los dos catetos son iguales. En este caso, se espera que los alumnos escriban cualquiera de las dos expresiones algebraicas siguientes: c2 = a2 + a2 c2 = 2a2

Plan de clase (2/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM Contenido: 9.2.5 Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras. Intención didáctica: Que los alumnos apliquen el teorema de Pitágoras para resolver problemas.

x

y z a

a

c

a

b

c

Figura 1 Figura 2 Figura 3


Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas, pueden utilizar calculadora. 1. Un albañil apoya una escalera de 5 m de largo contra un muro vertical. El pie de la escalera está a 2 m del muro.

Calculen a qué altura se encuentra la parte superior de la escalera. 2. En la esquina de una plaza rectangular se encuentra un puesto de helados. Si estoy en la esquina opuesta

diagonalmente, ¿cuántos metros tengo que recorrer en diagonal para llegar al puesto? Los lados de la plaza miden 48 m y 64 m.

3. ¿Cuál es la máxima distancia que puedes recorrer sin cambiar de dirección en una pista de patinaje en forma de

rombo, si cada lado mide 26 m y la diagonal menor 40 m? 4. El pueblo B está, en línea recta, 40 km al norte del pueblo A y el pueblo C está, en línea recta, 30 km al este de B.

¿Cuál es la distancia entre los pueblos A y C?

Consideraciones previas: En los problemas anteriores será muy común encontrar que los alumnos dibujen la situación para ayudarse a comprenderla, sin embargo, en la puesta en común se pueden compartir las diversas estrategias aplicadas. En todos los casos, es pertinente utilizar el teorema Pitágoras para encontrar la respuesta. Con respecto al problema 4, es probable que los alumnos no sepan interpretar adecuadamente el problema. Si sucediera que nadie en el grupo hace una clara interpretación de las posiciones de A, B y C, será necesario orientarlos al respecto a través de preguntas como: ¿cuál es el primer punto que debemos ubicar? ¿Dónde está el siguiente pueblo (B)?, etc., incluso se les puede pedir que justifiquen sus respuestas. Una vez hecho un dibujo semejante al de abajo, se les dejará buscar la manera de responder la pregunta del problema.

Plan de clase (3/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: FEM Contenido: 9.2.5 Explicitación y uso del Teorema de Pitágoras. Intención didáctica: Que los alumnos usen el Teorema de Pitágoras y las propiedades de figuras semejantes para resolver problemas. Consigna: Los dos triángulos que aparecen abajo son semejantes. Individualmente, calculen el perímetro de cada uno. Consideraciones previas:Para resolver este problema no basta aplicar el teorema de Pitágoras, sino que es necesario recordar y aplicar las propiedades de los triángulos semejantes.. Para llegar a la respuesta, existen varios caminos, por ejemplo, es probable que algunos alumnos se les ocurra primero determinar el valor de x por teorema de Pitágoras, luego, por semejanza determinar el valor de z, para finalmente determinar por semejanza o por Pitágoras el valor de y. Es importante que mientras los alumnos trabajan, observar si han quedado claros los dos conceptos o si hay dificultad en alguno de ellos.

x 32 cm

60 cm

1 y

z

8 cm 2


EJERCICIO: Si el tiempo lo permite se puede pedir al grupo que resuelva los siguientes problemas, si no, se pueden dejar de tarea y revisar sus procedimientos en una puesta en común en la siguiente clase. 1. En la siguiente figura los triángulos son semejantes. Calcula la longitud x y determina la distancia entre los puntos A y B. 2. Calcular el área de un hexágono regular si se sabe que la longitud de cada uno de sus lados mide 4 m.

Plan de clase (1/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). Intenciones didácticas: Que los alumnos reflexionen sobre el espacio muestra de un experimento aleatorio, sobre el significado de eventos simples, compuestos y complementarios y calculen su probabilidad. Consigna: Las siguientes figuras representan un tetraedro (poliedro regular de cuatro caras) y una ruleta. En forma individual resuelve los problemas que se plantean y comenta tus resultados con tres de tus compañeros más cercanos. 2 3 1 4 8 5 7 6 1. Al girar la ruleta, ¿qué probabilidad existe de que la ruleta se detenga en…

a) el número 5? _____________ b) un número menor que 4? _____________

A

B

x

144 cm 48 cm

64 cm


c) un múltiplo de 2? _______________ d) un número impar? _________________ e) un número que no sea impar? f) un número impar o par? _____________

2. Si se lanza el tetraedro, ¿cuál es la pro a ilidad de que la cara que quede so re la superficie plana, …

a) sea color rojo? ___________ b) no sea de color rojo? c) sea color verde o rojo? ___________ d) sea color verde o blanco o rojo? ___________

Consideraciones previas:Es conveniente plantear primero el problema uno y hacer una puesta en común para analizar los resultados de los seis incisos. Debe quedar claro que el espacio muestra en el experimento de la ruleta es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} y que a cada elemento le corresponde una probabilidad de 1/8. Con base en esto se podrán contestar las primeras seis preguntas. Si los alumnos preguntan cuáles son los múltiplos de dos hay que decirles que son todos los resultados de la tabla del dos. El evento “que se detenga en un número que no sea impar” es complementario del evento “que se detenga en un número impar”. Dos eventos se denominan complementarios cuando su unión da el espacio muestra y su intersección es vacía. Dicho de otra manera, el complemento de un evento A son todos los elementos del espacio muestra (E) que no se encuentran en A. La probabilidad de un evento complementario Ac es:

APAc 1

Así, la pro a ilidad de que la ruleta se detenga en un número impar es /8 o ien ½. La pro a ilidad de su complemento “que se detenga la ruleta en un número que no sea impar” es 1 – ½ = ½. La suma de las probabilidades de dos eventos complementarios es igual a 1. Por lo que la probabilidad de que se detenga la ruleta en un número impar o par, es la suma de las probabilidades: “La pro a ilidad de que se detenga en un número par” más “la pro a ilidad de que se detenga en un número impar”, es decir, 4/8 + 4/8 = 1 En el segundo problema también conviene destacar el espacio muestra y enfatizar el hecho de que en los incisos c y d, se trata de eventos compuestos y que los conectivos “o” indican que se trata de la probabilidad de que suceda cualquiera de los dos o de los tres eventos, a diferencia del conectivo “y”, que se refiere a la pro a ilidad de que sucedan dos o más eventos a la vez. Por lo tanto, la pro a ilidad en el inciso c) es ¼ + ¼, mientras que en d) es ¼ + ¼ + ¼.

Plan de clase (2/3) Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). Intenciones didácticas: Que los alumnos distingan dos eventos que son mutuamente excluyentes de aquellos que no lo son y busquen, en este último caso, la manera de calcular la probabilidad.

Consigna: Resuelvan en equipos los siguientes problemas. Se hace referencia a la ruleta de la sesión anterior. 1. Si se tienen los eventos:

A. Que la ruleta se detenga en un número menor que cuatro. B. Que se detenga en un número múltiplo de cuatro.

a) ¿Cuál es la probabilidad del evento A? p(A) = ___________ b) ¿Cuál es la probabilidad del evento B? p(B) = ___________ c) ¿Qué significa que ocurra A o B?___________________________________ d) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra A o B? p(A o B) = ______________ Expliquen su respuesta. 2. Ahora se tienen los eventos siguientes:

C. Que la ruleta se detenga en un número mayor que cuatro. D. Que la ruleta se detenga en un múltiplo de cuatro.

a) Obtengan: p(C) = __________ p(D) = __________


b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra C o D? P(C o D) = ____________

3. Comparen los resultados de d) del ejercicio 1 y de b) del ejercicio 2 y comenten las formas de obtenerlos. ¿Existe alguna diferencia en estos eventos? ¿Cuál? Consideraciones previas: Es conveniente que siempre que los alumnos calculen la probabilidad de un evento compuesto obtengan primero el espacio muestra y la probabilidad particular de cada evento, esto les permitirá apreciar si hay elementos comunes o si no los hay. Si no los hay ya saben que el resultado es la suma de las probabilidades particulares, si los hay, es probable que por sí solos concluyan que no se puede contar dos veces el mismo elemento del espacio muestra.

Plan de clase (3/3)

Curso: Matemáticas 9 Eje temático: MI Contenido: 9.2.6 Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). Intenciones didácticas: Que los alumnos consoliden los procedimientos para calcular la probabilidad de eventos compuestos. Consigna 1. Organizados en equipos, resuelvan el siguiente problema: Se tienen dos dados, uno azul y otro rojo, que tienen sus caras marcadas con puntos del uno al seis. El experimento consiste en lanzar simultáneamente los dos dados. Los resultados posibles del experimento son parejas de números en los cuales el primero es el número de puntos del dado rojo y el segundo del azul. Completen la tabla.

D A D O A Z U L 1 2 3 4 5 6

DA

DO

RO

JO

1 1,1 2 2,2 3 4 5 5,4 6 6,5

a) ¿Cuántos resultados posibles tiene el experimento? ________________ b) ¿Cuál es la probabilidad de que ocurra cada uno de ellos? ____________ c) Anoten los resultados que hacen falta en la siguiente tabla. EVENTO RESULTADOS POSIBLES PROBABILIDAD A {La suma es dos} B {La suma es tres} C {La suma es siete} 6 6/36 D {La suma es diez} E {La suma es 3 o 10} F {La suma es mayor que 10 o múltiplo de 4}

d) ¿Qué evento tiene mayor probabilidad? _______________ e) ¿Qué evento tiene menor probabilidad? _______________ f) Formulen un evento compuesto por dos eventos que sean mutuamente excluyentes. ___________________________ g) Formulen un evento compuesto por dos eventos que NO sean mutuamente excluyentes. Consideraciones previas: Es necesario prever el tiempo suficiente para analizar las respuestas de una en una y detenerse en las que hay diferencias. Hay que centrar la atención sobre todo en los dos últimos incisos, analizando algunas respuestas para ver si los alumnos logran distinguir lo que son eventos compuestos y cuándo éstos se forman con eventos mutuamente excluyentes o no excluyentes.

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