nfasisLibros de los nfasis del

Doctorado Interinstitucional en Educacin

nfasisLibros de los nfasis del Doctorado

Interinstitucional en Educacin

Perspectivas en la Didctica de las Matemticas

Educacin matemtica

Dora Ins Caldern(Compiladora)

Bruno DAmoreJuan D. Godino

Dora Ins CaldernCarlos Eduardo Vasco Uribe

Olga Luca Len Adalira Senz Ludlow

Profesores invitadosCarmen Batanero

Vicen FontCarlos Alvarez

Anna Athanasopoulou

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

Bogot, Colombia - Agosto de 2012

InocencioBahamnCaldernRector

MaraElviraRodrguezLunaVicerrectoraAcadmica

FacultaddeCienciasyEducacinDoctoradoInterinstitucionalenEducacin

ISBN:978-958-8782-09-6e-ISBN:978-958-8782-89-8

Primeraedicin,2012

UniversidadDistritalFranciscoJosdeCaldas

PreparacinEditorialDoctoradoInterinstitucional enEducacinUniversidadDistritalFranciscoJosdeCaldashttp://die.udistrital.edu.coeventosdie@distrital.edu.co

FondodepublicacionesUniversidadDistritalFranciscoJosdeCaldasCra.19No.33-39.Piso 2.PBX:(57+1)3238400,ext.6203

CorreccindeestiloLuisaJulianaAvellaVargas

DiagramacinydiseodecartulaJuanCamiloCorredorCardona

ImpresoenJavegraf

Bogot,Colombia,2012

ProhibidalareproduccintotaloparcialdelapresenteobraporcualquiermediosinpermisoescritodelaUniversidad.

ComitEditorial-CADE

AdelaMolinaAndradePresidentaCADE

lvaroGarcaMartnezRepresentantegruposdeinvestigacinIntercultu-ralidad,CienciayTecnologa-INTERCITEC,ydelGrupoDidcticadelaQumica-DIDAQUIM,del

nfasisdeEducacinenCiencias.

SandraSolerCastilloRepresentantedelosgruposdeinvestigacin

Identidad,LenguajeyCultura,Moralia,EstudiosdelDiscurso,EducacinComunicacinyCultura

delnfasisdeLenguajeyEducacin.

OlgaLuciaLenCorredorRepresentantedelosgruposdeinvestigacin

InterdisciplinariaenPedagogadeLenguajeylasMatemticasGIIPLyM,MatemticasEscolaresUniversidadDistrital-MESCUD,delnfasisde

EducacinMatemtica.

RigobertoCastilloRepresentantedelosgruposdeinvestigacinFor-macindeEducadores,delnfasisdeHistoriadelaEducacin,PedagogayEducacinComparada.

JosJavierBetancourtGodoyRepresentantedelosestudiantesdelDIE-UD

ComitEditorialInterinstitucional-CAIDE

MargieNohemyJessupC.DirectoraNacional

RosalbaPulidodeCastellanosCoordinadoraDIE,Universidad

PedaggicaNacional

AdelaMolinaAndradeCoordinadoraDIE,Universidad

DistritalFranciscoJosdeCaldas

EricRodrguezWoroniucCoordinadorDIE,UniversidaddelValle

Contenido

Introduccin

Parte I

El debate sobre conceptos y objetos matemticos: la posicin ingenua en una teora realista vs. el modelo antropolgico en una teora pragmtica 17 Bruno DAmore

IntroduccinLos conceptos: terminologa difundida, filosfica y literariaLos conceptos: terminologa psicolgica en la vertiente didcticaLos conceptos en los procesos de enseanza y aprendizajeEl papel del lenguaje en el aprendizaje y en la formulacin de los conceptosLas definiciones de concepto y de esquema dadas por VergnaudEl viraje antropolgico: significado institucional y personal de los objetos matemticosAlgunas precisiones antes de proseguirEl concepto (u objeto) en matemtica, como superposicin o como acumulacin de concepciones provisionalesCrticas a la precedente posicin y conclusionesReferencias Bibliogrficas

Un enfoque ontosemitico del conocimiento y la instruccin matemtica 47 Juan D. Godino, Carmen Batanero, Vicen Font

IntroduccinHacia un enfoque unificado del conocimiento y la instruccin matemticaHerramientas tericas que componen el enfoque ontosemiticoComparacin con otros modelos tericosEjemplos de investigaciones Reflexiones finales ReconocimientoReferencias Bibliogrficas

El lenguaje en las matemticas escolares 79 Dora Ins Caldern

IntroduccinLenguaje y desarrollo del sujeto socialLenguaje y conocimiento matemtico escolarA modo de conclusinReferencias Bibliogrficas

Parte II

Experiencia interna y quehacer matemtico 111 Carlos Eduardo Vasco Uribe

IntroduccinUn ejemplo geomtricoLa experiencia internaUn modelo lgicoLa experiencia interna y el uso cuidadoso de la palabra intuicinConclusinReferencias Bibliogrficas

La experiencia figural: Algunas reflexiones sobre el papel de las figuras en la geometra plana 137 Olga Luca Len C., Carlos lvarez J.

IntroduccinPrimera experiencia: el movimiento de las figuras y la determinacin de la igualdadSegunda experiencia: el ancla de la figura y la comparacin de las magnitudesReflexin final: figuras y proporcionesReferencias Bibliogrficas

The GSP as a technical and psychological-symbolic tool: The case of a lateral entry teacher 167 Adalira Senz Ludlow, Anna Athanasopoulou

The GSP as a mediational toolLiterature reviewMethodologyAnalysisConcluding remarksReferences

Resea de autores 189

ndice de grficas, tablas y figuras

Captulo 1Cuadro 1Esquema 1 Figura 1 Figura 2

Captulo 2Figura 1: Tipos de significados institucionales y personalesFigura 2: Modelo ontosemitico de los conocimientos matemticosFigura 3: Componentes de la idoneidad didctica

Captulo 3Cuadro 1: Modos composicionales propios del discurso matemtico escolarCuadro 2: Los modos de posicionamiento y de vnculo afectivo de los sujetos

frente a un campo de saber

Captulo 4Figura 1: Grficos para experimentar en matemticas

Captulo 5Grfica 1: Teorema LALGrfica 2Grfica 3Grfica 4Grfica 5Grfica 6Grfica 7Grfica 8Grfica 9Grfica 10 Grfica 11 Grfica 12 Grfica 13 Grfica 14

Captulo 6Figura 1: Semi-structured drawing ABCD with ABIICDFigura 2: Two line segments with a common vertex, PM and RM Figura 3: Those two diagonals [RS and TQ] congruent Figura 4Figura 5: A monologue comparing the big triangles PQR and SRQFigura 6: The appropriate perpendicular lines forming the rectangle RVUQFigura 7: Triangle GEB is congruent to triangle GEDFigura 8: The copy and paste facility of the GSP

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Introduccin

El nfasis de Educacin Matemtica del Doctorado Interinstitucional en Educacin de las Universidades Distrital Francisco Jos de Caldas, del Va-lle y Pedaggica Nacional, presenta a la comunidad de profesores e inves-tigadores esta obra como un aporte a la discusin de los desarrollos de este campo intelectual.

La obra compila resultados de investigacin del los grupos inscritos en la Universidad Distrital, que son, respectivamente, el Grupo MESCUD1 y el Grupo de Investigacin Interdisciplinaria en Pedagoga del Lenguaje y las Matemticas GIIPLyM2. Adicionalmente, para esta publicacin se cont con la colaboracin de cuatro investigadores invitados al grupo GIIPLyM; ellos son Carmen Batanero, doctora en Matemticas y profesora de estadstica y didctica en la Universidad de Granada (Espaa); Vicen Font, doctor en Didctica de las Matemticas y profesor en la Universidad de Barcelona; Carlos lvarez, doctor en Matemticas, especialista en Historia de las Ma-temticas y profesor en la Universidad Autnoma de Mxico; y Anna Atha-nasopoulou, doctora en Educacin Matemtica y profesora de matemticas en North Carolina.

La obra, como producto de investigacin, tiene dos caractersticas: pre-senta resultados de las investigaciones realizadas en el marco de las lneas de los grupos referidos; en esa medida, se constituye en una muestra del desarrollo de tales lneas de investigacin. A la vez, el conjunto de artculos compilados conforma un escenario en el que convergen distintas perspecti-vas en la investigacin de la didctica de las matemticas; en este sentido, aporta a este campo de la didctica.

Con base en las caractersticas sealadas, el libro se estructura en dos grandes partes: la primera dedicada a presentar Elementos generales de la didctica de las matemticas a travs de tres artculos que, a nuestro juicio, amplan el abanico de elementos epistemolgicos, pedaggicos y lings-ticos que pueden contribuir a la comprensin de la educacin matemtica en general.

1 Grupo Matemticas Escolares Universidad Distrital-MESCUD, dirigido por los profesores Bruno DAmore y Jaime Romero. Adscrito a Colciencias en categora C.

2 El grupo es interinstitucional, adscrito a las Universidades Distrital Francisco Jos de Caldas y del Valle, y es dirigido por el profesor Carlos Eduardo Vasco. Adscrito a Colciencias en categora A.

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Abre esta primera parte el artculo El debate sobre conceptos y objetos mate-mticos: la posicin ingenua en una teora realista vs. el modelo antropo-lgico en una teora pragmtica de Bruno DAmore. De manera sugerente, el autor ofrece un anlisis de diferentes interpretaciones de los trminos con-cepto y objeto en varios mbitos conceptuales: las matemticas, la historia de los pensamientos filosfico y psicolgico, y en la reciente acepcin antro-polgica, mostrando que es necesario introducirse en una teora pragmtica. Segn el autor, el panorama presentado en su artculo revela la importancia de que los estudios e investigaciones en educacin matemtica, y en particular en la prctica didctica, identifiquen los problemas y las actividades que histri-camente han llevado al surgimiento de toda concepcin, todo objeto, toda regla; categoras fundamentales en la didctica de las matemticas. Cierra su disertacin proponiendo, en todo este contexto educativo, la necesidad de establecer la real o presunta dependencia de sus categoras de contextos insti-tucionales y las razones que emergen de estas relaciones.

El segundo artculo de esta primera parte es Un enfoque ontosemitico del conocimiento y la instruccin matemtica de Juan Daz Godino, Carmen Bata-nero y Vicen Font. De acuerdo con los autores, en este trabajo presentan una sntesis del modelo terico sobre el conocimiento y la instruccin matemtica, que vienen elaborando desde hace varios aos. De su modelo destacan varios aspectos:

la articulacin de las facetas institucionales y personales del conocimien-to matemtico, la atribucin de un papel clave a la actividad de reso-lucin de problemas, a los recursos expresivos y la asuncin coherente de supuestos pragmticos y realistas sobre el significado de los objetos matemticos.

La propuesta considera que el modelo de cognicin matemtica es un ele-mento clave sobre el que se basa el desarrollo de una teora de la instruccin matemtica significativa. Un valor de su modelo, consideran ellos, es permitir la comparacin, articulacin y unificacin de diversas aproximaciones teri-cas empleadas en didctica de las matemticas.

El tercer artculo, que cierra esta primera parte, es El Lenguaje en las mate-mticas escolares de Dora Ins Caldern. La autora presenta elementos para la hiptesis de que el lenguaje es un aspecto central en el aprendizaje de las matemticas y que, en este sentido, requiere ser considerado desde dos pers-pectivas complementarias: la discursiva y la sistmica. Destaca cmo en el escenario discursivo se da la configuracin de los sujetos discursivos de las matemticas escolares y constituye una esfera de la comunicacin didctica de las matemticas, con su respectivo gnero discursivo. De igual manera pre-senta elementos para la comprensin del papel del lenguaje en la construccin

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del conocimiento matemtico escolar, entendiendo con Pimm (1990) que las matemticas son, adems, un lenguaje y, como tal, constituyen un desa-rrollo del lenguaje natural.

La segunda parte de la obra se ha denominado Elementos especficos en la didctica de las matemticas: experiencias para el aula. Bajo este tema se compilan tres artculos que consideramos, aportan experiencias particu-lares con metodologas, herramientas o propuestas para trabajar en clase.

Abre este segunda parte el artculo Experiencia interna y quehacer ma-temtico de Carlos Eduardo Vasco. De acuerdo con este tema, el autor se plantea un doble propsito:

considerar al menos tres tipos de experiencia interna relacionados con las reconstrucciones mentales espacio-temporales: geomtrica, aritmtica y lgica, y argumentar por qu parecen ser stos los tres tipos mnimos necesarios (y tal vez suficientes) para iniciar y apoyar el avance del trabajo matemtico de los nios, nias y jvenes, al menos en las ramas de las matemticas que se han llamado la aritmtica, la geometra y la lgica matemtica.

As, a travs de distintos casos, Vasco muestra cmo la geometra, la arit-mtica y la lgica se inician con experiencias internas que, segn l, no deben ser llamadas empricas, por ms que tengan su origen en la cor-poreidad-con-mente de los seres humanos, que experimentan como orga-nismos consientes la sucesin de los eventos, el movimiento, la accin, la distribucin espacial de variaciones perceptuales, el flujo de informacin en el pensamiento y en el dilogo, pero que pueden reconstruir, refinar, digitalizar y reorganizar esa experiencia emprica en una experiencia inter-na. En general, este artculo propone una profunda reflexin situada en la comprensin del aprendizaje y el desarrollo del saber matemtico; pone de relieve la discusin sobre el carcter emprico de la experiencia matemtica y la experiencia interna o cuasi-emprica en matemticas. As, le apuesta a la experiencia interna y a la intuicin cultivada como lugar privilegiado de la creatividad matemtica.

El segundo artculo de esta parte es La experiencia figural: algunas reflexio-nes sobre el papel de las figuras en la geometra plana de Olga Luca Len y Carlos lvarez. Siguiendo la lnea que abri Vasco en el artculo preceden-te, los autores reflexionan sobre un tipo de experiencia que puede realizar el sujeto a travs de las figuras. De acuerdo con el ttulo del artculo, Len y lvarez presentan el anlisis de la experiencia para el caso de la geometra plana o histricamente denominada geometra euclidiana. Centran su inte-rs en el papel que juegan las figuras en tal experiencia y en el modo en que

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las figuras se inscriben en la demostracin geomtrica. Con esta base se intenta comprender el lugar que las figuras ocupan en las inferencias que, a partir de los axiomas, dan lugar al resto de proposiciones que forman el cuerpo de la geometra. Segn los autores, este trabajo permite comprender el papel de las figuras en una geometra cuyo objeto no es la comparacin entre las magnitu-des geomtricas, sino el estudio de la proporcionalidad y la semejanza. En este sentido concluyen que un trabajo de este tipo destina a la figura un papel cuyo aspecto experimental ha de ser analizado.

Cierra la segunda y ltima parte del libro el artculo The GSP as a technical and psychological-symbolic tool: the case of a lateral entry teacher de Adalira Senz-Ludlow y Anna Athanasopoulou. Como lo indican las autoras, se trata de un estudio preliminar a un experimento de enseanza, en el que se con-form un equipo de participantes integrado por un estudiante de educacin matemtica, una aspirante a obtener su licenciatura para escuela media y dos maestras en ejercicio en la escuela secundaria. El propsito del experimento fue tratar de entender cmo maestros, que poseen cierto conocimiento de ob-jetos geomtricos, utilizan el programa Geometers Sketchpad (GSP) para ex-pandir y consolidar dicho conocimiento. Se aplicaron tareas semi-estructura-das especialmente diseadas para el GSP con la intencin de motivar la triada comunicativa entre el profesor, el software y el investigador, adems de dar al profesor la libertad de explorar situaciones geomtricas para generar conje-turas, investigarlas y luego probarlas. El anlisis realizado durante el experi-mento permiti a las autoras observar el uso del GSP para resolver tareas cuyo objetivo era investigar varias propiedades de los trapecios issceles. Observan cmo para uno de los actores participantes el programa no solamente es una herramienta tcnica sino simblica en el proceso de conceptualizar algunas de las propiedades de trapecios issceles y la demostracin geomtrica de ellas.

As pues, ponemos en consideracin de la comunidad este conjunto de art-culos como un espacio para la interlocucin acadmica en torno a los proble-mas de la didctica de las matemticas.

PARTE I

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El debate sobre conceptos y objetos matemticos: la posicin ingenua en una teora realista

vs. el modelo antropolgico en una teora pragmtica

Bruno DAmore1

Introduccin

En este texto se analizan diferentes interpretaciones de los trminos con-cepto y objeto en matemticas, en la historia de los pensamientos filo-sfico y psicolgico y en la reciente acepcin antropolgica. Se muestra de esta manera, la necesidad de introducir una teora pragmtica como marco para la interpretacin de estos trminos.

Los conceptos: terminologa difundida, filosfica y literaria

Acerca de la naturaleza de los conceptos se han escrito libros enteros y filsofos de primer nivel se han ocupado de este tema.2 En los dicciona-rios de filosofa se hallan definiciones de conceptos bastante semejantes; tomo como ejemplo la siguiente, de tipo aristotlico: En general, todo procedimiento que haga posible la descripcin, la clasificacin y la previ-sin de los objetos conocibles. Desde esta definicin se puede notar que:

el concepto es un proceso, es decir algo dinmico y no esttico; puede haber conceptos de cualquier cosa, desde los objetos concretos (el

concepto de mesa) hasta los abstractos (el concepto de nmero 3); desde los objetos reales hasta los irreales, inexistentes o imaginarios;

existe diferencia entre nombre y concepto; baste pensar que diferentes nombres pueden ser pertinentes para el mismo concepto; adems, que conceptos diferentes pueden circular bajo el mismo nombre.

En este punto surgen dos problemticas fundamentales: la naturaleza del concepto y la funcin del concepto.

La pregunta acerca de la naturaleza del concepto ha tenido, en filosofa, respuestas diferentes que divido en dos clases:

1 El doctor D'Amore es director del Grupo Matemticas Escolares de la Universidad Distrital FJC- MESCUD y profesor del Doctorado Interinstitucional en Educacin de esta universidad. Tambin es Responsable Cientfico del Grupo NRD (Nucleo di Ricerca in Didattica della Matematica) y hasta septiembre de 2010 fue profesor de planta de la Universidad de Bologna (Italia).

2 Para la redaccin de esta primera seccin, me sirvo principalmente de DAmore (1999-2006), cap. 6.

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el concepto es la esencia misma de las cosas y por lo tanto su esencia necesaria: eso por lo cual las cosas no pueden ser otra cosa que lo que son (aunque entre mil diversidades, obviamente, dira que esta idea, na-cida con Scrates y refinada por Aristteles, ha tenido muchos seguidores hasta llegar a Husserl);

el concepto es el signo del objeto, por lo que se halla con l en relacin de significacin (la idea es esencialmente estoica, pero fue retomada en la poca medieval, remontndonos a Boecio y despus a Abelardo, y an en los siglos XVII al XIX en Espaa y Portugal; pero fue hecha propia por los lgicos de inicios del siglo XX).

La pregunta acerca de la funcin del concepto ha dado lugar a dos con-cepciones fundamentalmente diferentes:

de tipo intencional: el concepto tiene como objetivo expresar o revelar la sustancia de las cosas;

de tipo instrumental: en este caso se tienen varios aspectos ulteriores: - el concepto es un instrumento para describir los objetos y permitir

su reconocimiento (en la antigedad los Epicreos y los Estoicos; algunos filsofos de la ciencia en el siglo XX);

- el concepto es un instrumento para clasificar los objetos en el modo ms econmico posible (a esta idea adhiere, por ejemplo, Mach; y aqu se desencadena la cuestin segn la cual los conceptos cientfi-cos son pseudo-conceptos en el sentido de Benedetto Croce);

- el concepto es un instrumento para organizar los datos de la expe-riencia en manera tal de poder establecer entre ellos conexiones de carcter lgico (idea aceptada por Duhem);

- el concepto es un instrumento para anticipar (por ejemplo, aqu podemos citar a Dewey y a Quine, aunque por razones totalmente distintas).

Un modo completamente diferente de discurrir filosficamente acerca de los conceptos es el de las escuelas francesa y alemana. Ms que definir los conceptos, se busca analizar cmo se forman los conceptos. Tenemos en-tonces las siguientes distinciones:

conceptos a priori o conceptos puros (de Kant): son los conceptos que no se obtienen de la experiencia: el concepto de unidad, de pluralidad etc.; tales ejemplos son tomados precisamente de Kant;

conceptos a posteriori o conceptos empricos: son nociones generales que definen clases de objetos dados o construidos; por ejemplo, el concep-to de vertebrado, de placer, etc., se refieren a todos y solo a aquellos individuos que forman estas clases, sea que se les pueda aislar (un gato, tomado de la clase de los vertebrados) o no (como sera en el caso de un placer).

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Esta es, por ejemplo, la posicin asumida por Andr Lalande en su Voca-bulaire technique et critique de la philosophie (PUF, Pars 1926).

Es claro, entonces, que se puede hablar en todo caso de intensin y de extensin de un concepto (recordando que pueden existir conceptos con extensin vaca...).

Pero, qu quiere decir, etimolgicamente, concepto? Su nombre latino (conceptus, de concipere) tiene una clara referencia al resultado del acto de la concepcin o generacin de la mente en su alejarse de la inmediatez de las impresiones sensibles y de las representaciones particulares y en su llegada a una significacin universal. Pero entonces, se podra pensar en una coincidencia con la palabra idea; o se le podra hacer coincidir con el (el verbum, la palabra mental) o incluso con la nocin.

Cada una de estas interpretaciones (y otras ms) fueron sostenidas en el pasado por eminentes filsofos. Esto nos autoriza a confundir, de ahora en adelante, concepto con idea, aunque en la idea existe implcita tambin una especie de representacin, mientras que el concepto podra tambin ser inmune a lo anterior.

Si se pasa a diccionarios de la lengua comn, no filosficos, editados en varios pases, se halla, por ejemplo:

Aquello que la mente entiende y comprende por medio de la observa-cin, la reflexin y la induccin; a veces, adems de entiende y com-prende, se agrega tambin concluye;

La criatura concebida - la cosa imaginada e inventada por nuestro intelecto;

Pensamiento que la mente forma derivado de dos o ms ideas, partiendo de lo individual a lo general; [pero tambin:] idea, opinin;

Pensamiento, en cuanto concebido por la mente; ms en particular: idea, nocin que expresa los caracteres esenciales y constantes de una realidad dada que la mente se forma aferrando juntos (...) los varios as-pectos de un determinado objeto que a la mente le interesa tener presen-tes en su totalidad;

Trmino filosfico referido en general al contenido lgico o al significado de los signos lingsticos y de las imgenes mentales.

Puede ser interesante, para nuestros objetivos introductorios, ver qu uso hacen de este trmino algunos literatos. Dante Alighieri usa conceptos en el sentido de concepciones en Paraso 3-60; en este mismo sentido, se halla en muchos literatos de todos los pases del mundo. Pero es claro que los literatos utilizan una palabra en el sentido ms vasto posible, como adems

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se hace y es justo que se haga en el lenguaje comn, donde concepto indica tambin opinin, modo de entender, principio, proyecto, intencin, estimacin, reputacin, etc., segn sea la lengua.

Todo esto solo para testimoniar la enorme dificultad y las variaciones que se encuentran cuando se quiere enfrentar de manera significativa y un poco rigurosa una problemtica que asigna un lugar primordial a una palabra para cuya definicin se han empleado miles de aos.

Los conceptos: terminologa psicolgica en la vertiente didctica

Si queremos hacer progresos significativos y especficos, es necesario bus-car textos ms adecuados, ms acordes con el espritu del mbito en el que nos queremos mover.

No puedo entonces dejar de recordar inmediatamente que L. S. Vigots-ky (1960, 1962) trabaj durante mucho tiempo sobre la formacin de los conceptos en el mbito de su ms vasto campo de investigacin acerca de cmo influyen las causas sociales en las diferencias psquicas de los indi-viduos (la influencia del ambiente sobre las diferencias psquicas). l habla precisamente de desarrollo conceptual, distinguiendo esencialmente tres fases (pero el asunto es mucho ms complejo y aqu lo dejo de lado):

fase de los cmulos sincrticos, caracterizada por la falta de una referen-cia objetiva estable;

fase del pensamiento por complejos; en tal fase el sujeto tiende hacia un modo objetivo del pensamiento; el sujeto reconoce nexos concretos, pero no lgicos ni abstractos;

fase conceptual; en tal fase el sujeto opera utilizando su capacidad de abstraccin.

Vigotsky presta especial atencin a la formacin de los conceptos cien-tficos, en particular a la de los de tipo escolar durante la infancia, eviden-ciando el anclaje que los nios hacen de tales conceptos a componentes concreto-figurativos, mucho antes que a los componentes lgicos o abs-tractos; parece ser que tal prioridad es necesaria para la fundacin misma del concepto. A propsito del orden en la adquisicin de los conceptos, Vigotsky (1962) hace una clebre afirmacin, a primera vista paradjica, segn la cual los conceptos cientficos se desarrollan antes que los espont-neos; dice tambin si el programa proporciona el material adecuado; en resumen: la supuesta necesidad infantil de anticipar una fase emprica de

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aprendizaje a una abstracta no parece ser as necesaria. [Regresaremos a los conceptos cientficos y a Vigotsky en la seccin 4].

Pero entonces se puede poner en discusin la posicin de J. Bruner (1964), aquella de la clebre terna de los modos de representacin de los conceptos:

ejecutiva (o enactiva), icnica, simblica

que, dicho sea de paso, se refera precisamente a las matemticas.

Pongamos un ejemplo muy famoso: la adquisicin del concepto de me-dida por parte de nios con edad entre los tres (3) y los cinco (5) aos, y contrapongamos las modalidades de Piaget a las de un famoso miembro de la escuela sovitica: Galperin.

En la descripcin que hacen Piaget, Inhelder y Szeminska (1948) del apren-dizaje espontneo del concepto de medida, al nio se le proponen situa-ciones empricas en las que se pide medir, hasta llegar a un concepto abs-tracto, respetando la teora de los estadios evolutivos. El comportamiento del nio seguira un famoso recorrido, muy difundido an hoy en el nivel preescolar y en el primer ciclo de la escuela elemental no solo italiana: medidas espontneas con pseudo-unidades de medida, predominancia de la actividad perceptiva; eleccin ms cuidadosa de la unidad de medida, capacidad de llevar ms veces la unidad; conciencia de la conservacin de las magnitudes (y de las medidas). Como podr notarse, abundancia de terminologa tpicamente piagetiana.

La prueba de Galperin (1969) relaciona ms la medicin con la idea de nmero, basndose incluso en ideas fundacionales de A. N. Kolmogorov. La primera etapa es la de llegar a la idea de unidad; despus, al hecho de que la medida con respecto a una unidad dada es un nmero que puede ser recordado incluso sin conocer su nombre, simplemente poniendo apar-te un palito o un botn cada vez que se usa dicha unidad; en este punto la medida se hace coincidir con el nmero de veces que se us la unidad (el ejemplo propuesto es llenar un balde con vasos de agua para estimar su capacidad); y para terminar, reconocimiento y aceptacin de la relatividad del nmero-medida con respecto a la unidad utilizada.

Me parece que todo esto explica bien la obstinacin y el inters con el que los ms famosos tericos del aprendizaje conceptual se han interesado en este tema y contribuye a explicarnos qu entienden ellos por concepto, al menos en el mbito del aprendizaje cognitivo.

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Los conceptos en los procesos de enseanza y aprendizaje

Se deben ensear los conceptos? Se pueden aprender los conceptos? Ms an: tienen sentido estas preguntas?

Las precedentes son cuestiones cardinales sobre las cuales se necesita reflexionar y que algunos autores toman demasiado a la ligera.

Esta problemtica se desarroll alrededor de los aos 60, sobre todo en los pases de lengua anglosajona, en el vastsimo movimiento internacional de renovacin de los currculos que se dio en todo el mundo, provocado por la gran revalorizacin educativa de los contenidos de las varias discipli-nas, en particular de las ciencias y, especficamente, de las matemticas. En este sentido, ciertamente un artfice del viraje mundial fue J. Bruner.3 Como consecuencia, esto llev a un profundo debate acerca de los currculos, sobre todo en lo relativo al sector de las ciencias en general y de la mate-mtica en particular.

Lo resumo en seguida, comenzando por esta pregunta, preliminar a las precedentes: hacia qu se debe educar, cuando en la Escuela se hace ciencia?

Existen dos posibles respuestas:

hacia el mtodo cientfico: el objetivo es el de proporcionar dominio de la metodologa;

hacia la adquisicin y dominio de los conceptos esenciales de la ciencia.

El debate no es nuevo; la primera respuesta se puede conectar con el mtodo de la inteligencia de John Dewey (1933), pero los aos 60 fueron testigos de un encendido debate interior, del cual tuvieron vida fcil todos aquellos que propugnaron ideas didcticas bastante bien diseadas.4

En este debate se inserta bien otro tipo de propuesta, la de Gagn (1965-1985), que tiende a separar la didctica de los conceptos concretos de la de los abstractos; la concretez y la abstraccin deben verse en relacin a la cualidad de referencia de los objetos considerados en los conceptos:

si se trata de conceptos derivados de la observacin emprica de los obje-tos, se trata de conceptos concretos;

si se trata de conceptos derivados de definiciones y que implican por lo tanto relaciones abstractas, se trata de conceptos abstractos.

3 Para entender el porqu, vase Tornatore (1974), cap. 9.4 Para profundizar sobre el debate, puede verse Pontecorvo (1983, pp. 262-263).

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Gagn elabora una teora de las jerarquas de aprendizaje en cuya cspi-de se hallan los conceptos abstractos como punto culminante. Esta idea de las jerarquas empuja a muchos otros autores a idear jerarquas semejantes, siguiendo otros parmetros; en particular, estoy pensando en los trabajos de Klausmeier, Gathala y Frayer (1974) y Klausmeier (1979, 1980), que dividen el aprendizaje de los conceptos de la escuela primaria en 4 niveles:

nivel concreto: el nio reconoce un objeto ya visto, en la misma situacin; nivel de identidad: el nio reconoce un objeto ya visto, pero en condicio-

nes diferentes; nivel de clasificacin: el nio reconoce que dos cosas son semejantes por

un cierto aspecto y, generalizando, las clasifica juntas, aunque no sean claros los criterios de la clasificacin;

nivel formal: el nio sabe dar un nombre a la clase obtenida en el tercer nivel, es decir, al concepto seleccionado de los atributos que le han per-mitido la clasificacin.5

Por lo que parece que el estudio de cmo se desarrollan los conceptos tiene que ver, sobre todo, con la etapa que va de los 3 a los 10 aos de edad y que es necesario entrelazar esta investigacin con la investigacin didc-tica. Entonces, el desarrollo de los conceptos y el aprendizaje se hallan muy relacionados entre s.

Se puede llegar a pensar que el punto culminante de la ontognesis sea la organizacin del conocimiento por categoras? Segn Luria (1982), los mtodos utilizados en este sentido, desde su punto de vista, son los siguientes:

mtodo de la definicin del concepto: se pide responder de manera espontnea y libre a preguntas del tipo Qu es?; las respuestas pueden ser especficas, es decir, referidas a una cierta particularidad, o de tipo categorial;

mtodo de la comparacin-diferenciacin: dados dos objetos diferentes pero con alguna diferencia en comn, se pide decir cules son las carac-tersticas comunes y las diferencias;

mtodo de la clasificacin: se dan varios objetos y se pide clasificar un subconjunto formado por aquellos objetos que tienen una caracterstica en comn;

mtodo de la formacin de los conceptos artificiales: se regresa a Vigotsky; el experimentador ha preordenado todo para llegar a un concepto bien establecido que se quera alcanzar.

5 Mayores clarificaciones, relaciones entre los niveles de Klausmeier, las fases de Gagn y los estadios de Piaget, as como ejemplos de aplicaciones didcticas, pueden hallarse en Pontecorvo (1983).

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Debo decir que no se puede estar en desacuerdo con Cornu y Vergnioux (1992, pp. 55-56) cuando afirman: El aprendizaje de un concepto aislado es imposible, dado que todo concepto se halla en correlacin con otros. Se debe hablar entonces de entramados conceptuales. Sobre este punto tendremos que regresar dentro de poco (y remito a DAmore, 1999-2006).

El papel del lenguaje en el aprendizaje y en la formulacin de los conceptos

En todo esto, es evidente que el lenguaje juega un papel de extraordinaria importancia. Es bien sabido que la posicin de Piaget se dirige hacia una progresiva devaluacin cognitiva del lenguaje (Pontecorvo, 1983, p. 292); esto:

debe verse en relacin con la toma de posicin de Piaget contra toda concepcin que ve en la comunicacin social a travs del lenguaje el origen del pensamiento y contra toda concepcin que asimile los sistemas lgicos a los sistemas lingsticos (...) El pensamiento, insis-te Piaget, no tiene origen en el lenguaje (...); la estructura de un sistema operatorio no es la estructura de un sistema de signos, sino la estructura de un sistema de acciones interiorizadas (Tornatore, 1974, p. 137).

Esta es la razn por la que Piaget toma la siguiente posicin:

la imagen es un significante cuyo objetivo es el de designar objetos figura-tivamente;

el concepto es un significado que tiene como funcin la de especificar caracteres constitutivos del objeto con respecto a otros trminos de la misma clase (y no de nombrarlo);

la palabra signo verbal que designa al concepto no agrega nada en lo que respecta al conocimiento, al concepto mismo.

Muy diferente es la posicin de Vigotsky (1962), quien en cambio ve el lenguaje como mediador entre individuo y cultura; l afirma que la forma-cin de un concepto se da con una operacin intelectual que est guia-da por el uso de las palabras que sirven para concentrar activamente la atencin, para abstraer ciertos conceptos, sintetizarlos y simbolizarlos por medio de un signo (p. 106). Por lo que la organizacin cognitiva del nio recibe, gracias al lenguaje, una dimensin que le es propia, arraigada des-de su comienzo: la dimensin social. Si es verdad que el nio aprende a categorizar en la relacin lingstica con el adulto, es tambin verdad que formas embrionarias de categorizacin deben estar ya presentes antes del

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arreglo adulto definitivo de ellas. Vigotsky establece entonces una compa-racin entre conceptos espontneos (o cotidianos) y conceptos cientficos:

los primeros tienen la caracterstica de ser relativos a la experiencia per-sonal;

los segundos son ya parte de un sistema de conceptos; la escuela tiende, como efecto sobre las capacidades del nio, a dar un orden a los concep-tos que l ya posee y que adquiere poco a poco.

Una posicin en verdad revolucionaria, y sobre la cual se funda gran parte de la didctica de hoy en da.

Quiero cerrar esta rapidsima exploracin acerca de lenguaje y aprendi-zaje de los conceptos recordando, entre muchos otros, los estudios de Nel-son (1974, 1977). Como ya he evidenciado, el concepto, al menos desde el punto de vista del aprendizaje cognitivo, se interpreta hoy como algo ms vasto, no exclusivamente ligado a las categoras, a las clases, etc. El concepto se halla, para Nelson (1977), conectado a una adquisicin de co-nocimiento cualquiera, siempre y cuando esta sea definida e incorporada en un contexto o en un sistema. Por lo que, independientemente del grado de generalidad o de abstraccin, lo que cuenta es que exista un marco de referencia, una red de relaciones: los conceptos necesariamente existen al interior de un entramado o marco (framework) conceptual (Nelson, 1977).

Se vuelve entonces decisivo para el aprendizaje de un concepto, un mapa de conocimientos referidos, por ejemplo, a un objeto. El caso propuesto por la misma autora se refiere al trmino bola en una experiencia con un nio de 12 meses: la red de relaciones que gira alrededor de la palabra bola es relativa al lugar donde fue vista, a las actividades que otras personas o que el mismo nio hacen con ella, a cules son las caractersticas funcio-nales del objeto y los lugares en los que todo esto puede suceder, etc., por lo que el objeto se halla ligado a toda una red relacional, cuyo complejo termina con constituir el concepto; y, como se observa, la palabra tiene un papel decisivo. Con el pasar del tiempo, el nio agregar a esta primera formacin del concepto otros atributos, otras funciones, etc., de modo que el concepto podr contener elementos funcionales, relacionales, percepti-vos, descriptivos, incluso el trmino que lo designa, tanto individual como colectivamente. Es tambin obvio que aqu existe una relacin muy fuerte con los guiones (scripts), pensados como marcos de referencia ms am-plios, al interior de los cuales se pueden colocar y situar estos conceptos en las varias fases en las que evolucionan y se presentan. Todo esto permite reconocer las caractersticas identificables del concepto, en manera tal de poder despus reconocer nuevos ejemplares que puedan compartir el nom-bre con el precedente.

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Pero el punto final es aquel en el que, no obstante saber guiones (scripts) diferentes, el sujeto logra, como se usa decir, supercategorizar:

Tanto las categoras como los guiones pueden ofrecer marcos de refe-rencia para los mismos conceptos: en efecto, no existe ninguna razn por la cual conceptos introducidos en uno o en otro contexto sean diferentes en el contenido o en la estructura. Por ejemplo: los osos pueden ser parte del guin relativo al zoolgico o ser parte de una categora taxonmica relativa a los animales (Nelson, 1977, p. 223).

Pinsese cmo estas reflexiones se hallan bajo los ojos de todos en la actividad de didctica de la matemtica, cuando el mismo concepto, intro-ducido dentro de un guin particular, no se acepta cuando se halla en una categorizacin diferente.

Este es el problema: Qu es lo que vuelve difcil la comprensin de los conceptos? Cul es el nivel en el que existen dificultades de comprensin de los conceptos? Existen mltiples respuestas. Para empezar, los diferen-tes niveles de formacin de los conceptos estudios sobre este punto son ms frecuentes en el mundo de la didctica de las ciencias naturales (Gior-dan, De Vecchi, 1987; Astolfi, Develay, 1989) y de la historia (Clary, Ge-nin, 1991), y despus, la existencia de objetivos-obstculo (Meirieu, 1987; Astolfi, Develay, 1989). Pero sobre este tema no entramos en profundidad.

Las definiciones de concepto y de esquema dadas por Vergnaud

Grard Vergnaud, en mltiples ocasiones, ha afrontado la problemtica de distinguir y definir las ideas de concepto y de esquema. Despus de haber declarado que el conocimiento racional debe ser de tipo operatorio, define esquema como la organizacin invariante del comportamiento para una clase de situaciones dadas (Vergnaud, 1990).

En particular, muchos de sus ejemplos son tomados del mbito de las matemticas:

la numeracin de una pequea coleccin de objetos, por parte de un nio de 5 aos, necesita de la aplicacin de un esquema que le permi-ta coordinar movimientos de ojos y manos, y de coordinar con ellos la secuencia numrica; en particular, existe la constante significativa de un comportamiento de tipo esquemtico en la repeticin del ltimo numeral, pronunciado con tono diferente;

la solucin de ecuaciones lineales por parte de adolescentes, desde su punto de vista sigue un esquema, una organizacin invariante;

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la ejecucin de la adicin de nmeros naturales en columna sigue un esquema ya aceptado;

Segn Vergnaud, si se analiza crticamente la dificultad de los alumnos en la resolucin de tareas matemticas por ejemplo nios que intentan resolver problemas de aritmtica, es necesario examinar en trminos de esquemas la eleccin de los datos por usar, as como la eleccin de las operaciones, especialmente cuando existan varias opciones posibles. Inclu-so los procedimientos heursticos no seran otra cosa ms que esquemas. l introduce, en este punto, la idea de concepto-en-acto y de teorema-en-acto; se trata de los conocimientos contenidos en los esquemas: se pueden incluso designar con la expresin ms inclusiva de 'invariantes ope-ratorios (Vergnaud, 1990).

Segn Vergnaud, existen tres tipos lgicos de invariante operatorio:

invariantes del tipo proposicin, aquellos a los que se asigna la atribucin de ser verdaderos o falsos;

invariantes del tipo funcin proposicional, con el que podemos entender una expresin que contiene una o ms variables individuales tales que, cuando en lugar de stas se ponen constantes individuales, se obtiene una proposicin;

invariantes del tipo argumento, que pueden ser objetos, relaciones, pro-posiciones, funciones proposicionales u otra cosa: se trata sustancialmen-te de requerimientos de variables o ejemplos de funciones proposiciona-les o proposiciones mismas.

Regresemos a los conceptos. Segn Vergnaud, el punto decisivo en la conceptualizacin de lo real y en la didctica es el paso de los conceptos-como-instrumento a los conceptos-como-objeto, y una operacin lings-tica esencial en esta transformacin, es precisamente la nominalizacin. Esto se podra resumir en una sola palabra: conceptualizacin. Es entonces fundamental, irrenunciable, dar una definicin pertinente y eficaz de con-cepto; en varias obras, aunque con pequesimas variaciones, Vergnaud sugiere una que podemos ilustrar como sigue:

Un concepto C es una terna de conjuntos:

C = (S, I, S)

donde:

S es el conjunto de las situaciones que dan sentido al concepto (el referente); I es el conjunto de los invariantes sobre los que se basa la operatividad de

los esquemas (el significado).

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S es el conjunto de las formas lingsticas y no lingsticas que permiten representar simblicamente el concepto, las situaciones y los procedi-mientos de tratamiento (el significante).

Segn Vergnaud, estudiar cmo se desarrolla y cmo funciona un con-cepto significa considerar estos tres planos separadamente y en mutua relacin recproca.

El viraje antropolgico: significado institucional y personal de los objetos matemticos

Pero, ya a partir de los aos 70, las preguntas acerca de la naturaleza cog-nitiva de los conceptos matemticos y del significado de los objetos ma-temticos tomaron una direccin diferente. Declaraba Dummett en 1975:

Una teora del significado es una teora de la comprensin; es decir: aquello de lo cual una teora del significado debe dar cuenta es aque-llo que se conoce cuando se conoce el lenguaje, es decir, cuando se conocen los significados de las expresiones y de los discursos del lenguaje (Dummett, 1975).

Pocos aos despus, en 1980, se preguntaba Brousseau Cules son los componentes del significado, deducibles del comportamiento matemtico, que se observan en el alumno? Cules son las condiciones que llevan a la reproduccin de un comportamiento manteniendo el mismo significa-do? (Brousseau, 1981). No ser, por casualidad, que existe una variedad didctica del concepto de sentido, especfica para la matemtica, jams estudiada, jams evidenciada hasta ahora, en lingstica o en psicologa? (Brousseau, 1986).

La acentuacin de la necesidad de estudios sobre los conceptos centrados en los procesos de aprendizaje la da tambin Sierpinska (1990):

Comprender el concepto ser () concebido como el acto de adquirir su significado. Tal acto ser probablemente un acto de generalizacin y sntesis de significados en relacin con elementos particulares de la estructura del concepto (la estructura del concepto es la red de significados de los enunciados que hemos considerado). Estos signi-ficados particulares deben ser adquiridos con actos de comprensin. (...) La metodologa de los actos de comprensin se preocupa prin-cipalmente del proceso de construir el significado de los conceptos.

Nos hallamos frente a la necesidad de dar luz a la naturaleza del signi-ficado, comparando dos categoras diferentes en las que pueden dividirse

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las teoras: realistas (o figurativas) y pragmticas (divisin ya aparecida en Kutschera, 1979).

En las teoras realistas, el significado es una relacin convencional entre signos y entidades concretas o ideales que existen independientemente de los signos lingsticos; como consecuencia suponen un realismo concep-tual (Godino, Batanero, 1994). Como ya afirmaba Kutschera (1979), se-gn esta concepcin el significado de una expresin lingstica no depende de su uso en situaciones concretas, sino que ms bien sucede que el uso se apoya en el significado, siendo posible una divisin neta entre semntica y pragmtica.

En la semntica realista que resulta, se atribuyen a las expresiones lings-ticas funciones puramente semnticas: el significado de un nombre propio (como Bertrand Rusell) es el objeto que tal nombre propio indica (en tal caso Bertrand Rusell); los enunciados atmicos (como A es un ro) ex-presan hechos que describen la realidad (en tal caso A es verdaderamente el nombre de un ro); los predicados binarios (como A lee B) designan atributos, aquellos indicados por la frase que los expresa (en este caso la persona A lee la cosa B). Por lo que toda expresin lingstica es un atributo de cierta entidad: la relacin nominal que se deriva es la nica funcin se-mntica de las expresiones. Se reconocen aqu las posiciones de Frege, de Carnap y del Wittgenstein del Tractatus.

Una consecuencia de esta posicin es la admisin de una observacin cientfica (por lo que al mismo tiempo es emprica y objetiva o intersubje-tiva), como podra ser, en un primer nivel, una lgica de los enunciados y de los predicados.

Desde el punto de vista que aqu nos interesa ms, si aplicamos los su-puestos ontolgicos de la semntica realista a la matemtica, se obtiene ne-cesariamente una visin platnica de los objetos matemticos: en ella no-ciones, estructuras, etc., tienen una existencia real que no depende del ser humano, en la medida en que pertenecen a un dominio ideal; conocer desde un punto de vista matemtico significa descubrir entes y sus relacio-nes en tal dominio. Y es tambin obvio que bajo esa perspectiva, implica un absolutismo del conocimiento matemtico en cuanto sistema de verdades seguras, eternas, no modificables por la experiencia humana, dado que la preceden o, al menos, le son extraas e independientes. Posiciones de este tipo, aunque con diferentes matices, fueron sostenidas por Frege, Rusell, Cantor, Bernays, Gdel; y hallaron violentas crticas, como el conven-cionalismo de Wittgentsein y el cuasi-empirismo de Lakatos (vanse Ernest, 1991 y Speranza, 1997).

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En las teoras pragmticas, las expresiones lingsticas tienen significados diferentes segn sea el contexto en el que se usan, por lo que resulta impo-sible toda observacin cientfica, dado que el nico anlisis posible es per-sonal o subjetivo, circunstanciado y no generalizable. No se puede hacer otra cosa que examinar los diferentes usos: el conjunto de los usos, en efecto, determina el significado de los objetos. Se reconocen aqu las po-siciones del Wittgenstein de las Investigaciones filosficas, cuando admite que la significatividad de una palabra depende de su funcin en un juego lingstico, dado que en l tiene un modo de uso y un fin concreto para el cual ha sido usada: por lo que la palabra no tiene por s misma un sig-nificado, y sin embargo puede ser significativa. Desde la perspectiva ante-rior, los objetos matemticos son smbolos de unidad cultural que emergen de un sistema de utilizaciones que caracterizan las pragmticas humanas (o, al menos, de grupos homogneos de individuos) y que se modifican continuamente en el tiempo, dependiendo tambin de las necesidades. De hecho, los objetos matemticos y el significado de tales objetos dependen de los problemas que se enfrentan en matemticas y de los procesos de su resolucin.

Teoras realistas Teoras pragmticas

Significado

Relacin convencional entre signos y entidades concretas o ideales, independientes de los signos lingsticos.

Depende del contexto y del uso.

Semntica vs. pragmtica

Divisin neta.Sin divisin o divisin matizada.

Objetividad o intersubjetividad

Total. Faltante o discutible.

SemnticaLas expresiones lings-ticas tienen funciones puramente semnticas.

Las expresiones lingsticas y las palabras tienen signi-ficados personales, son significativas en oportunos contextos, pero no tienen significados absolutos por s mismas.

AnlisisPosible y lcito, por ejemplo, la lgica.

Slo es posible un anlisis personal o subjetivo, no generalizable, no absoluto.

Visin epistemo-lgica conse-cuente

Concepcin platnica de los objetos matem-ticos.

Concepcin problemtica de los objetos matemticos.

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Teoras realistas Teoras pragmticas

Conocer Descubrir. Usar en oportunos contextos.

Conocimiento Es un absoluto.Es relativo a la circunstan-cia y al uso especfico.

Ejemplos

Witgenstein en el Trac-tatus, Frege, Carnap [Rusell, Cantor, Ber-nays, Gdel].

Witgenstein en las Investiga-ciones Filosficas [Lakatos].

En la direccin pragmtica, se entiende la definicin de Chevallard (1991) de objeto matemtico:

un emergente de un sistema de praxis donde se manipulan objetos materiales que se descomponen en diferentes registros semiticos: re-gistro oral, de las palabras o de las expresiones pronunciadas; registro gestual; dominio de las inscripciones, es decir aquello que se escribe o se dibuja (grficas, frmulas, clculos), se puede decir, registro de la escritura.

Siendo el praxema un objeto material ligado a la praxis, el objeto es entonces un emergente de un sistema de praxemas. En esta acepcin, ya no tiene mucho inters la nocin de significado de un objeto sino ms bien la de rapport lobjet, relacin con el objeto. Sobre tal idea se apoya la construccin que Chevallard hace de su teora del conocimiento, o mejor dicho de su antropologa cognitiva, al interior de la cual se puede situar la didctica.

Pero entonces es central la persona (o la institucin, como conjunto de personas) que se pone en relacin con el objeto, y no el objeto en s:

Un objeto existe desde el momento en el que una persona X (o una institucin I) reconoce este objeto como existente (para ella). Ms exactamente, se dir que el objeto O existe para X (respectivamente para I) si existe un objeto, representado por R (X, O) [respectivamente R (I, O)] llamado relacin personal de X a O (respectivamente rela-cin institucional de I a O) (Chevallard, 1992).

Esta posicin ha marcado un viraje interesante al interior de los marcos tericos en los que se sita toda investigacin en didctica de la matem-tica, tanto ms si se subrayan los sucesivos estudios llevados a cabo por otros autores, para clarificar y volver operativas las nociones de Chevallard, creando instrumentos conceptuales adecuados y paragonndolos a aque-llos propuestos por otras posiciones al respecto.

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Por ejemplo, una claridad proviene de los estudios de Godino y Batanero (1994), porque en ellos se definen de manera rigurosa todos los trminos de la cuestin: qu significa prctica, qu es una prctica personal, qu es una institucin, que es una prctica institucional, qu diferen-cia existe entre objetos personales e institucionales y cmo se define cada uno de ellos, qu son los significados de un objeto personal y de un obje-to institucional, qu relaciones existen entre significado y comprensin Uno de los mritos del trabajo al que remito, consiste tanto en haber dado claridad terminolgica como en haber proporcionado ejemplos adecuados, as como el poner en evidencia semejanzas y diferencias entre varias teoras del significado.

Para querer dar, de una sola vez, una caracterstica de tal posicin, en la formulacin de Chevallard-Godino-Batanero lo esencial es la actividad de las personas puestas frente a la resolucin de campos de problemas (feno-menologas), de las que emergen los objetos (conceptos, enunciados, rela-ciones, teoras etc.), los cuales son relativos a los contextos institucionales y personales. Tales contextos quedan definidos segn los campos de proble-mas que se enfrenten y los instrumentos semiticos disponibles. Dentro de poco deber regresar a esta posicin, con ejemplos significativos.

An una nota. Para explicar el nfasis con el que se tratan los fenmenos tpicos de la cognicin humana en el trabajo de Godino y Batanero (1994), conviene resaltar que, mientras en el texto de Chevallard (1992) se da ma-yor peso al contexto institucional con respecto al personal, Godino y Bata-nero tienden a privilegiar la esfera de lo mental, del sujeto humano, para intentar un equilibrio entre los dos contextos y para evitar que la esfera de lo personal sea ocultada por el campo institucional.

Algunas precisiones antes de proseguir6

En esta seccin har algunas precisiones terminolgicas, consideraciones complementarias y notas cautelares.

A veces en matemtica se habla de conceptos; a veces de objetos. Qu diferencia existe? Podra ser el resultado de un hbito de los matem-ticos, pero se trata en cambio de un motivo bien fundado, dado que se basa sobre los siguientes tres puntos:

todo concepto matemtico remite a no-objetos desde el punto de vista del realismo ingenuo; por lo que la conceptualizacin no es y no se puede

6 Para la redaccin de esta seccin me sirvo de DAmore (2001).

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basar en significados que se apoyen en la realidad concreta, dado que en matemtica no son posibles referencias ostensivas;

todo concepto matemtico se ve obligado a servirse de representaciones, dado que no existen objetos por exhibir en su nombre o en su evocacin;7 por lo que la conceptualizacin debe pasar necesariamente a travs de registros representativos que, por varios motivos, sobre todo si son de ca-rcter lingstico, no pueden ser unvocos, por lo que, en matemtica, no existe acceso sensible (vista, tacto) directo a los objetos, sino solo a sus representaciones semiticas en diferentes registros lingsticos;

se habla ms frecuentemente en matemtica de objetos matemticos y no de conceptos matemticos por cuanto en matemtica se estudian prefe-rentemente objetos ms que conceptos: la nocin de objeto es una nocin que no se puede no utilizar desde el momento en el que nos cuestionamos acerca de la naturaleza, de las condiciones de validez o del valor del cono-cimiento (Duval, 1998).

En el camino trazado por Duval, la nocin de concepto preliminar o prioritaria en casi todos los autores se vuelve secundaria, mientras que lo que adquiere carcter de prioridad es la pareja (signo, objeto), lo que lleva a la llamada paradoja cognitiva del pensamiento matemtico, que presen-tar ms adelante y que fue evidenciada precisamente por Duval (1993).8 El mismo autor (1996) cita un pasaje de Vigotsky en el que sustancialmente se declara que no existe concepto sin signo:

Todas las funciones psquicas superiores se hallan unidas por una ca-racterstica comn superior, la de ser procesos mediados, es decir, la de incluir en su estructura, como parte central y esencial del proce-so en su conjunto, el empleo del signo como medio fundamental de orientacin y de dominio de los procesos psquicos. El elemento cen-tral [del proceso de formacin de los conceptos] es el uso funcional del signo o de la palabra como medio que permite al adolescente so-meter a su poder las propias operaciones psquicas, dominar el curso de los propios procesos psquicos (Vigotsky, 1962; en la ed. francesa, 1985, pp. 150, 151, 157).

Es obvio que si se pone el acento sobre la pareja (signo, objeto), todas las representaciones tradicas (de C. S. Peirce, de G. Frege, de C. K. Ogden y I. A. Richards) caen en defecto.9

7 Aqu objeto es ingenuamente entendido en el sentido de objeto real o de cosa. Cul sea el significado de esta palabra (cosa) se expresa en la Metafsica de Aristteles, cuando afirma que la cosa, en cuanto parte de lo real, es aquello que presenta las tres caractersticas siguientes: (1) tridimensionalidad; (2) accesibilidad sensorial mltiple (es decir simultneamente por parte de ms de un sentido) independientemente de las representaciones semiticas; (3) posibilidad de separacin material y de otras partes de la realidad, desde otras cosas.

8 Pero los primeros trabajos de Duval sobre este argumento son de 1988 (Duval, 1988a, b, c).9 Vase DAmore (2001) para un tratamiento ms completo.

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Resumo parte de lo ya dicho, interpretando a Duval (1993) en el siguiente esquema:

Veamos ahora en qu consiste esta paradoja cognitiva del pensamiento matemtico, que tiene fuertes repercusiones cognitivas (Duval, 1993, p. 38):

por una parte, el aprendizaje de los objetos matemticos no puede ser ms que un aprendizaje conceptual y, por otra parte, solo por medio de representaciones semiticas es posible una actividad sobre los obje-tos matemticos. Esta paradoja puede constituir un verdadero crculo vicioso para el aprendizaje. Cmo los sujetos en fase de aprendizaje podran dejar de confundir los objetos matemticos con sus represen-taciones semiticas si ellos slo pueden tener relacin con las solas representaciones semiticas? La imposibilidad de un acceso directo a los objetos matemticos, fuera de toda representacin semitica, vuelve la confusin casi inevitable. Y, por el contrario, cmo pueden ellos adquirir el dominio de los tratamientos matemticos, necesaria-mente ligados a las representaciones semiticas, si no tienen ya un

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aprendizaje conceptual de los objetos representados? Esta paradoja es an ms fuerte si se identifican actividades matemticas y actividades conceptuales, y si se consideran las representaciones semiticas como secundarias o extrnsecas.

En esta paradoja, tan bien evidenciada por Raymond Duval, se puede es-conder una potencial causa de falta de devolucin, como trat de demostrar antes (DAmore, 2001). El problema principal, para decirlo brevemente, est en el hecho de que segn el maestro, segn la noosfera y segn el mis-mo estudiante, este ltimo est entrando en contacto con un objeto mate-mtico; pero, de hecho, y a veces nadie parece darse cuenta, el estudiante est entrando en contacto solo con una representacin semitica particular de ese objeto. El estudiante no tiene no puede tener acceso directo al objeto, y el maestro y la noosfera tienden a no separar el objeto de su representacin; el estudiante se queda como bloqueado, como inhibido: no puede hacer nada ms que confundir el objeto con su representacin semitica porque no se da cuenta, porque no lo sabe. Su relacin personal con el saber tiene como objeto una cosa borrosa, confusa. Y por lo tanto, frente a una sucesiva necesidad conceptual que se manifiesta, por ejemplo, con la necesidad de modificar la representacin semitica de ese mismo objeto, el estudiante no tiene medios crticos ni culturales ni cognitivos; el maestro y la noosfera no entienden el porqu y acusan al estudiante, cul-pndolo de algo que l no entiende; lo acusan de una incapacidad vaga, no circunstanciada y detallada: nadie sabe exactamente qu es, en verdad, lo que el estudiante no sabe y qu es lo que no sabe hacer.

El concepto (u objeto) en matemtica, como superposicin o como acumulacin de concepciones provisionales

Tratar aqu acerca de una convergencia entre:

a. una posicin exquisitamente didctico-cognitiva, de carcter fuerte-mente ingenuo, que acepte como hiptesis de base el constructivismo del conocimiento ms elemental, posicin basada en las concepcio-nes acrticas ms difundidas;

b. una posicin antropolgica en la que todo se refiere a la relacin per-sonal con el objeto matemtico. Todo esto en el mbito de una teora del aprendizaje matemtico que no se caracterice de ninguna forma por algn preconcepto terico u ontolgico.

Este ttulo es solo un intento de primera mediacin entre las posiciones ms ingenuas, pero radicadas en el sentido comn y lo hasta aqu expuesto.

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En el siguiente, har algunas consideraciones crticas.

Sean ci las concepciones provisionales en un proceso lineal y evolutivo (al menos en el tiempo) de asimilacin y acomodamiento, relativas a un objeto matemtico C. Se necesita distinguir entre:

ci cientficas de tipo institucional, que diremos acadmicas (a), es decir aquellas que la comunidad cientfica (acadmica) acepta como pertinen-tes, significativas y correctas; se trata de R[I(C)] compartidas; las llamare-mos ci de tipo a;

ci cognitivas de tipo institucional, que diremos escolares (e), debidas a la accin de la escuela y a la noosfera, es decir aquellas que una persona construye o ha construido en la escuela; se trata de R[X(C)] que pueden ser tambin no compartidos; las llamaremos ci de tipo e.

Las ci de tipo a se diferencian de aquellas de tipo e solo porque las se-gundas se hallan ms en retardo con respecto a las primeras (es decir: los ndices son de valor numrico inferior), o porque son crticamente menos ricas y ms basadas en sensaciones, en el buen sentido, ligadas a aplicacio-nes, menos sujetas a repensamientos y reflexin crtica, ms ligadas a varias clusulas del contrato didctico.

El sentido del proceso didctico usual, en su forma ms ingenua pero tam-bin ms difundida, es el de llevar al final a los individuos a la formacin de un concepto C que sea la cspide del proceso evolutivo, el concepto supuestamente existente de tipo a (o, por lo menos, el ms cercano posible a l).

Pero como toda concepcin se halla en evolucin histrico-crtica pe-renne, es imposible valorar el logro de este lmite, sobre todo porque a lo ms se podr hablar de objeto adquirido por la comunidad cientfica hasta ahora y no ponerse en la situacin de deber prever el futuro de ese objeto. El objeto es por lo tanto, en esta concepcin, algo ideal, abstracto, punto culminante de un proceso perennemente en acto del que tenemos solo una idea, limitada a su evolucin histrica y su estado actual.

La formacin de C a partir de la sucesin ci puede ser pensada segn dos modalidades:

Superposicin: toda concepcin provisional cm+1 agrega e integra la pre-cedente cm, es decir la comprende y le aade algo, sobreponindose a ella:

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Acumulacin: toda concepcin provisional cm+1 agrega algo a la cm precedente, es decir, conserva el contenido de cm y agrega nuevas informa-ciones o ideas, sin borrar las viejas:

En realidad, frecuentemente se tienen mezclas de las dos modalidades.

Ejemplo 1: el objeto recta

De manera aproximada, intento dar una sucesin de concepciones provi-sionales relativas a un supuesto objeto recta. En su larga historia evolutiva, se podra pensar a una sucesin de la siguiente manera:

c1: recta primitiva: segmento (sus caractersticas son el ser derecha y del-gada, y su independencia nominal de la longitud); esta es la idea ingenua de un nio;

c2: recta euclidiana: idealizacin de c1 [sus caractersticas son el tener una sola dimensin (que es la idealizacin de ser delgada) y el ser prolonga-ble (que es la idealizacin de la independencia de la longitud)]; no es muy clara la relacin entre puntos y recta; en el sentido pitagrico, el modelo es el de las bolitas (mnadas) de un collar (recta); pero en Euclides no existe ya esta posicin ingenua;

c3: recta densa: idealizacin de c2; entre dos puntos siempre existe otro. Se supera el modelo pitagrico;

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c4: recta continua (ya a los tiempos de Newton y Leibniz): en la recta existen oportunas posiciones de puntos correspondientes a valores irra-cionales (2) y trascendentes () aunque an no es muy claro su estatuto epistemolgico;

c5: recta de Hilbert (definida implcitamente por los axiomas): no existe ya el intento de definicin explcita para buscar adecuar la imagen de recta a un modelo prefijado al que se quiere llegar, pero se tiene una idealizacin de la concepcin al interior de un sistema terico;

c6: recta como nombre comn utilizado indiferentemente en un mbito euclidiano o no: no se habla ya de dimensin, de ser derecha, de ser infinita (pero ilimitada siempre);

c7: denominacin de recta dada a entes diferentes de modelos diferentes (recta finita o infinita, discreta, densa o continua, limitada o ilimitada);

c8: objeto n-2 dimensional en una variedad n-dimensional;

Cmo podramos decidir cuales ci ulteriores seguirn? El objeto C rec-ta es una superposicin o acumulacin de las concepciones precedentes; parece que de c1 a c4 se puede hablar principalmente de pasos del tipo superposicin, mientras de c5 a c8 parecen ser pasos principalmente del tipo acumulacin.

Ejemplo 2: el objeto adicin

De manera aproximada, intento dar una sucesin de concepciones provi-sionales relativas al supuesto objeto adicin. En su larga historia evolutiva, se podra pensar en una sucesin hecha as:

c1: adicin pitagrica (ordinal y cardinal indistintos) en N-{0}; la adicin como cardinal de colecciones disyuntas; es la concepcin ingenua de un nio pequeo (sobre este punto Vergnaud explica algunos de sus teoremas en acto);

c2: adicin en Qa; estoy pensando en las adiciones entre fracciones, en la historia sumeria, egipcia y despus griega;

c3: adicin en N y en Qa (0 incluido); en la poca medieval, en el mundo indo-arbigo se vuelve necesario ampliar la adicin a casos en los cuales uno de los sumandos es el cero;

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c4: adicin en Z;

c5: adicin en Q;

c6: adicin en R;

c7: adicin en el campo complejo C;

c8: adicin en los cuaterniones y, ms en general, en los sistemas comple-jos n-valentes; estoy pensando a las investigaciones de Hamilton, Grassman, Frobenius y Hankel; algunas propiedades formales de la adicin tpicas de los nmeros N, Z, Q, R y C se pierden y, sin embargo la operacin que extiende y generaliza, la adicin se sigue llamando del mismo modo;

c9: adicin generalizada en los retculos y en las lgebras de Boole;

c10: adicin generalizada en las estructuras ;

Cmo se podra decidir si y cuales ci ulteriores seguirn? El pseudo-obje-to C adicin es superposicin o acumulacin de las concepciones prece-dentes; parece que de c1 a c7 se puede hablar de pasos principalmente de tipo superposicin, mientras que de c8 a c10 parecen ser pasos principal-mente del tipo acumulacin.

Crticas a la precedente posicin y conclusiones

La visin trazada en el ttulo anterior, repito, es solo un esquema que re-sume las posiciones ms ingenuas pero tambin las ms difundidas al respecto. Veamos ahora algunas notas fuertemente crticas.

En todo caso, una reflexin madura muestra que es esencial la actividad de las personas puestas frente a las problemticas que hacen surgir los ci; en este sentido, una supuesta escala jerrquica pierde, desde mi punto de vista, sentido; por lo que una mayor nobleza conceptual supuesta para las ci de tipo a, con respecto a las de tipo e, desaparece.10 Los objetos emergen de la actividad de las personas puestas frente a la solucin de problemas, incluso independientemente de todo contexto institucional pri-

10 Este punto, si se acepta, podra tener fuertes repercusiones en la prctica didctica; y, desde mi punto de vista, debera estudiarse no solo desde la perspectiva terica, como se ha hecho hasta ahora, en el mbito de la as llamada Educacin Matemtica, sino tambin desde el punto de vista de la accin prctica, en el mbito de la Didctica de la Matemtica (Godino, Batanero, 1998).

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vilegiando, en un cierto sentido, los significados personales con respecto a los institucionales.

Desde esta perspectiva, no parece tener sentido hablar, por ejemplo, del objeto recta (o de la idea de recta, o del concepto de recta) como nor-malmente se hace: ms bien nos vemos obligados, evidentemente, a hablar de pluralidad de objetos, no tanto porque se trate de una escalada hacia un vrtice, sino en cuanto una pluralidad de objetos diferentes que banal-mente tienen en comn un nombre propio, pero que no identifica una sola entidad, como en la visin que hemos llamado teora realista, sino que su significado depende del contexto de uso, desde la teora pragmtica. Por lo que toda ci es, en esta visin, un objeto recta (probablemente, con un ms cuidadoso anlisis, se podra descubrir que, en realidad, el mismo es, a su vez, una pluralidad).

Toda ci es el resultado de una relacin personal con el objeto, pero como hemos visto en Chevallard y en Godino-Batanero, el objeto es esta misma relacin personal, no un supuesto objeto en s.

Por otra parte, el mismo Wittgenstein insiste en el hecho de que no se debe hablar de ideas matemticas en el sentido en el que se hace habitualmen-te, es decir, como resultado de un proceso de abstraccin, dado que esto origina graves confusiones filosficas y psicolgicas [y didcticas, como me sugiere Juan Daz-Godino (en una carta privada)]. El Wittgenstein de las Investigaciones filosficas insiste en hablar de diversidad de uso o de usos diferentes del trmino (recta, adicin, en mis ejemplos precedentes).

En la posicin de Godino-Batanero, al objeto matemtico Ox se propo-ne asociarle la entidad terica significado de Ox (en realidad una clase de significados): se pasa as de la acentuacin puesta en el concepto, sus definiciones y sus reglas de uso, a una nueva acentuacin puesta sobre los campos de problemas, de prcticas, de tcnicas, de las cuales emergen estas entidades intencionales. Por lo que los dos casos por m proporcio-nados, recta y adicin, constituyen precisamente un ejemplo de la re-latividad de los objetos Ox, que unas veces son entidades mentales (por lo tanto personales), y otras, entidades abstractas (institucionales). No me he detenido demasiado en clarificar y resaltar esta distincin, porque la consi-dero ocasional e intercambiable.

Me parece poder afirmar que en los estudios tericos de Educacin Ma-temtica, en la investigacin en este sector y en la prctica didctica, es de fundamental importancia identificar cules son los problemas especficos, las actividades prcticas, las actividades tcnicas, etc. que, tambin histri-

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camente, han llevado al surgimiento de toda concepcin, todo objeto, toda regla; as como tiene suma importancia establecer su real o presunta dependencia de contextos institucionales (podra tenerse una razn histri-ca, educativa o instrumental, etc., o todas estas juntas).

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Sito: www.dm.unibo.it/rsddm

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Un enfoque ontosemitico del conocimiento y la instruccin matemtica1

Juan D. Godino2 (*)Crmen Batanero (*)

Vicen Font (**)

*Universidad de Granada**Universidad de Barcelona

En este trabajo presentamos una sntesis del modelo terico sobre el co-nocimiento y la instruccin matemtica, en cuya elaboracin venimos tra-bajando desde hace varios aos. Como rasgos caractersticos destacamos la articulacin de las facetas institucionales y personales del conocimiento matemtico, la atribucin de un papel clave a la actividad de resolucin de problemas, a los recursos expresivos y la asuncin coherente de supuestos pragmticos y realistas sobre el significado de los objetos matemticos. El modelo de cognicin matemtica elaborado se adopta como elemento clave sobre el que basar el desarrollo de una teora de la instruccin mate-mtica significativa, permitiendo as mismo comparar y articular diversas aproximaciones tericas usadas en Didctica de las Matemticas desde un punto de vista unificado.

Introduccin

El fin especfico de la Didctica de las Matemticas, como campo de in-vestigacin, es el estudio de los factores que condicionan los procesos de enseanza y aprendizaje de las matemticas y el desarrollo de programas de mejora de dichos procesos. Como propuso el programa de Steiner para la Teora de la Educacin Matemtica, es necesario el desarrollo de una aproximacin comprensiva a la educacin matemtica, que debe ser vista

1 Versin ampliada del artculo The onto-semiotic approach to research in mathematics education. ZDM. The International Journal on Mathematics Education, Vol. 39 (1-2): 127-135 (2007).En este trabajo realizamos una sntesis actualizada de diversas publicaciones de Godino y colaboradores donde se desarrolla un marco terico para la Didctica de las Matemticas desde un enfoque ontolgico y semitico. Estos trabajos estn disponibles en Internet, URL: http://www.ugr.es/local/jgodino

2 El profesor D. Godino es docente visitante en el Doctorado Interinstitucional en Educacin, nfasis en Matemticas, de la Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas, Colombia.

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en su totalidad como un sistema interactivo que comprende investigacin, desarrollo y prctica (Steiner et al., 1984, p. 16).

Para lograr este objetivo, la Didctica de las Matemticas debe considerar las contribuciones de diversas disciplinas como la psicologa, pedagoga, filosofa, o la sociologa. Adems debe tener en cuenta y basarse en un an-lisis de la naturaleza de los contenidos matemticos, su desarrollo cultural y personal, particularmente en el seno de las instituciones escolares. Este anlisis ontolgico y epistemolgico es esencial para la Didctica de las Matemticas ya que difcilmente podra estudiar los procesos de enseanza y aprendizaje de objetos difusos o indefinidos.

As pues, la investigacin en Didctica de las Matemticas no puede igno-rar cuestiones filosficas tales como:

Cul es la naturaleza de los objetos matemticos? Qu papel juegan la actividad humana y los procesos socioculturales en

el desarrollo de las ideas matemticas? Las matemticas se descubren o se inventan? Agotan las definiciones formales y los enunciados de las proposiciones

el significado integral de los conceptos? Cul es el papel que juegan en el significado de los objetos matemti-

cos, sus relaciones con otros objetos, las situaciones problemticas en las cuales se usan como herramientas, y las diversas representaciones simblicas?

La emergencia rel