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La ecuación de Schrödinger describe las propiedades de onda del

electrón en términos de su posición, su masa, su energía total y su

energía potencial. En su forma más simple se representa como:

Ĥ = E

donde Ĥ es el operador hamiltoniano, representa la función de onda u

orbital y E es una constante que describe el contenido de energía de ese

orbital .

La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial, por lo que la

función de onda viene a ser la solución de ésta (de hecho, como

veremos más adelante, el número de soluciones u orbitales es infinito),

El cuadrado de esta función, 2, si se grafica, nos da la probabilidad de

encontrar al electrón a una cierta distancia del núcleo cuando se halla

inmerso en ese orbital .

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Ĥ =

h = constante de Planck

m = masa del la partícula (electrón

Z = carga del núcleo

= permitividad del vacío

= término que indica el contenido de energía

potencial (V)

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Para que una función sea una solución de la ecuación de Schrödinger

(y por lo tanto alcance también el estatus de orbital), debe cumplirse

matemáticamente que al aplicar sobre ella al operador hamiltoniano lo

que se obtiene como resultado debe ser igual a esa misma función

multiplicada por una constante E. En adición, debe cumplir con la serie

de características que se enumeran a continuación:

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Características que debe cumplir :

- Un solo valor conforme se grafica (de lo contrario, al elevar al

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cuadrado , habría dos o más posibilidades diferentes de

encontrar al electrón en el espacio).

r

Distancia r quesepara al electrón del núcleo.

r

Función no permitida

En el punto r la función posee dos valores: y . Cuando se eleve al cuadrado, estorepresentará que a la distanciar = habrían dos posibilidadesdiferentes de encontrar alelectrón.

Función permitida

- Ella misma y su primera derivada deben ser continuas (esto es,

no puede pasar de un estado con una cierta probabilidad de

encontrar al electrón a un punto donde ésta crezca o se abata

abruptamente).

r

Función no permitida

No se permiten las variacionesbruscas

- Debe aproximarse a cero conforme r se acerca a (la

probabilidad de hallar al electrón debe volverse cada vez más

pequeña al considerar una distancia para el sistema electrón-

protón cada vez más grande y no al revés).

r

tiende a cero

r

Función no permitida

Función permitida

se aleja del cero

- Condición de normalización: la probabilidad estadística de hallar

al electrón en todo el espacio es igual a 1.

- Condición de ortogonalidad. Todas las soluciones de la ecuación

de onda deben ser ortogonales entre sí.

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¿Cómo se utiliza y qué información puede extraerse de la ecuación de

Schrödinger?

Imagina que todos los datos experimentales y teóricos proporcionados

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por los físicos y matemáticos indican que el átomo de hidrógeno posee

una forma lineal. y que el electrón sólo puede moverse a través de un

eje desde un punto inmediatamente al lado del núcleo y hasta antes de

una distancia L de éste (algo así como una especie de “pasarela”)..

Considera que la coordenada sobre la que puede desplazarse es la del

eje de las “x” y que, en este intervalo, la energía potencial para el

electrón vale 0, o lo que es lo mismo, que el electrón puede desplazarse

sobre una superficie de potencial totalmente plana y que, a menos de

que se le proporcione energía de alguna manera, nunca la abandona. El

ambiente al que estaría sujeto el electrón sería algo similar a lo

siguiente:

El electrón se puede mover entre la región x > 0 y x < L. No puede

ocupar la posición x = 0 porque allí se encuentra el núcleo, y no puede

ocupar la posición x = L porque así lo hemos concluido a partir de datos

experimentales,

Para asegurar que el electrón no pueda escapar del intervalo que le

hemos definido, definiremos que la energía potencial será infinita fuera

de éste (esto es, para valores de x ≤ 0 y también para x ≥ L). Así pues,

sobre x = 0 y x = L se “levantan” dos paredes cuya coordenada no puede

ocupar el electrón. A este sistema se le llama partícula en una caja:

Desde la perspectiva de Newton y la mecánica clásica, no hay

restricciones para la circulación, por lo que la probabilidad de encontrar

al electrón a lo largo de la trayectoria en la que le está permitido

moverse es la misma en cualquier punto .Si esta tendencia se graficase

ésta llegaríamos a lo siguiente:

probabilidad = 2

0 L

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El modelo clásico nos indica que es igualmente probable hallar al

electrón en cualquier sitio comprendido entre x > 0 y x < L.

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Según el modelo cuántico de Schrödinger, el electrón no se encuentra

distribuido de manera homogénea a lo largo de la trayectoria para él

permitida, y así será necesario resolver la ecuación Ĥ = E para en-

contrar las que definan (a partir de 2) con qué probabilidad y en qué

posición será posible hallar al electrón.

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Iniciamos con:

= E

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Como la energía potencial V en el intervalo donde se mueve el electrón

vale 0, entonces

, por lo que el hamiltoniano se reduce

entonces a:

= E

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Como el electrón no se mueve más que en el eje de las x, cualquier

variación en el eje de las “y” y en el de las “z” valdrá 0. Como esto

implica que

=

= 0, con lo que el hamiltoniano se reduce

nuevamente:

= E

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Esta ecuación solamente se aplicará sobre el eje de las “x”, por lo que

puede ser reescrita como:

= E

donde C = -h2/(82m). Si hacemos E’ = E/C, la ecuación se reduce aún

más:

= E’

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Una solución de esta ecuación diferencial sería = 3 sen 7x:

’ = 21 cos 7x

’’ = -147 sen 7x

Por tanto, para = 3 sen 7x, E = -49. Sin embargo, advierte que otra

solución también lo sería = -4 sen 5x, y también = 16 sen x. De

hecho, en principio cualquier función del tipo = A sen Bx (A y B son

constantes), sería una solución para nuestra ecuación de Schrödinger.

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Para que sea válida en nuestro sistema, una función tipo = A sen Bx

tendría que satisfacer un requisito importante: debe valer 0 tanto en

x = 0 como en x = L. Recuerda que en esos puntos la energía potencial

vale infinito, por lo que el electrón se encuentra completamente

impedido para ocupar dichas posiciones.

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La función 0 vale 0 en su origen (A sen Bx = 0 para x = 0), por lo que allí

no hay problema. Sin embargo, para que valga 0 en x = L, se requiere

que un nodo de la función sen x pase exactamente por L. Las gráficas de

las únicas funciones tipo = A sen Bx que cumplen con este requisito

son como las que a continuación se representan:

En la primera = A sen x/L; en la siguiente = A sen 2x/L; en la

tercera = A sen 3x/L; en la cuarta = A sen 4x/L; etc. En general,

nos damos cuenta de las púnicas soluciones aceptables son aquéllas en

donde = A sen nx/L, donde n es un entero.

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Lo interesante viene a continuación: según la mecánica cuántica,

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realmente quien dicta qué tan probable es encontrar a un electrón en

un cierto lugar es 2. Cuando elevamos al cuadrado las funciones con n

= 1 y n = 2, se obtienen las siguientes gráficas:

Esto quiere decir que si el electrón es descrito mediante = A sen nx/L

(con n = 1), será más probable encontrarlo a la mitad del camino entre x

= 0 y x = L; sin embargo, si la ubicación del electrón se describe a partir

de = A sen 4x/L (con n = 2), será posible encontrar al electrón en las

regiones con x = 0.25L y x = 0.75L con mayor seguridad, mientras que

no existe posibilidad alguna de encontrarlo en 0.5L. A estas regiones se

les conoce como nodales.

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El planteamiento inicial para la ecuación de Schrödinger de nuestro

sistema del átomo lineal fue:

= E’

con ella llegamos a

= E’

recordando que C = -h2/(82m) y que E’ = E/C:

= E

Resulta que E = n2h2/8mL2; esto indica que el nivel 2 tiene mayor

energía que el 1, por lo que si el electrón posee su contenido energético

mínimo, la función que nos indicará la probabilidad de donde

encontrarlo estará dada por el cuadrado de = A sen nx/L. Si al

electrón se le irradia con el fotón de la energía exacta correspondiente

tal que sea promovido al segundo nivel de energía, la función con la que

se determinará la probabilidad para encontrarlo pasará a ser ahora =

A sen 4x/L. Finalmente, al haber un solo número cuántico, en este caso

n, todos los orbitales poseerán la misma forma (de una línea), aunque

con diferente número de nodos. A mayor número de nodos, mayor

energía.

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William Rowan

Hamilton

1805-1865

Erwin Rudolf Josef

Alexander

Schrödinger

(1887 -1961)

Niels Henrik David

Bohr

(1885-1962)

Prince Louis-Victor

Pierre Raymond

de Broglie

(1892-1987)

Werner Karl

Heisenberg

(1901 -1976)