optimizacion
TRANSCRIPT
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAREPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICOINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
““SANTIAGO MARIÑO”SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MARACAIBOEXTENSIÓN MARACAIBO
Autor: Nathaly CubillanCátedra: Optimización de Sistemas
Ing. Sara López
Lagrange
Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico
Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange
(25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un
matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Rusia
y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín,
durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio,
desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante
contribución en astronomía.
Condiciones de LagrangeDefinición
En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange,
nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para
trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o
minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el
problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1
variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce
una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para
cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los
multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas
parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la
regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las
condiciones para que la derivada con respecto a las variables
independientes de una función sea igual a cero.
Condiciones de LagrangeCuando son útiles
Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar
máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a
menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se
está extremized. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea
maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores fijos o
restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una
herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la
necesidad de resolver explícitamente las condiciones y los utilizan para
eliminar las variables adicionales. Para decirlo más sencillamente, no es
por lo general suficiente para preguntar:
Condiciones de LagrangeCuando son útiles
"¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer esta lata?" (La
respuesta a eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño puede!")
¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio mientras se
asegura la lata celebrará 10 onzas de sopa ? " O del mismo modo,
"¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica dado que sólo tiene $
15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo más sofisticado ", ¿Cuánto
tarda en llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se
mantiene en el camino ? " En general, los multiplicadores de Lagrange
son útiles cuando algunas de las variables en la descripción más sencilla
de un problema son despedidos por las restricciones.
Condiciones de LagrangeCampo de aplicación
Economía:
La optimización reprimida desempeña un papel central en la economía.
Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se representa
como uno de maximizar una función de utilidad sujeta a una coacción de
presupuesto . El multiplicador Lagrange tiene una interpretación
económica como el precio de la oposición asociado con la coacción, en
este ejemplo la utilidad marginal de ingresos . Otros ejemplos incluyen la
maximización de la ganancia para una firma, junto con varias
aplicaciones macro-económicas.
Condiciones de LagrangeCampo de aplicación
Teoría de control:
En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se
interpretan como constates variables, y los multiplicadores de Lagrange
se formulan de nuevo como la minimización del hamiltoniano , en el
principio mínimo de Pontryagin
Condiciones de LagrangeObjetivos
Ø Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para
distintos valores de la variable z.
Ø Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva
correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene
extremos.
Ø Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método
de multiplicadores de Lagrange.
Condiciones de LagrangeObjetivos
Ø Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el
simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva
correspondiente a la función condicionante.
Ø Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un
ambiente computacional.
Kuhn Tucker
Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero
de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en
Canadá que realizó importantes contribuciones a la
Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal.
Kuhn Tucker
Las condiciones necesarias que deben satisfacer los óptimos de
problemas de optimización no lineal con restricciones de desigualdad
fueron publicadas por primera vez (1939) en la tesis de Maestría de
William Karush (1917-1997) (en aquél entonces estudiante de
matemáticas de la Universidad de Chicago), aunque fueron renombradas
tras un artículo en una conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker
en 1951. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) son una
generalización del método de los multiplicadores de Lagrange para
restricciones de desigualdad.
Condición de Kuhn Tucker
Definición
En programación matemática, las condiciones de Karush-KuhnTucker
(también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son
condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema
de programación matemática séa óptima. Es una generalización del
método de los Multiplicadores de Lagrange
Condición de Kuhn Tucker
Importancia
La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos
asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la
puerta de la potente herramienta del análisis matemático al estudio del
comportamiento del consumidor.
Condición de Kuhn TuckerCampo de aplicación
Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal
como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema
no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se
activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se
resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de
restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones
omitidas. Notar que si se han activado la totalidad de restricciones sin
encontrar una solución factible, entonces el problema es infectable. Esta
característica particular de los modelos no lineales permite abordar
problemas donde existen economías o de economías de escala o en
general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se
cumplen.
Problemas en organizaciones
Los problemas que surgen en las grandes organizaciones, tanto en el
sector privado como en el público, son tan complejos que no pueden
resolverse usando exclusivamente sentido común y experiencia práctica.
Se deben tomar decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos
disponibles, generalmente escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La
Investigación Operativa proporciona modelos y técnicas para abordar
estos problemas, que permiten comprender los sistemas reales y, en
general, facilitan información sobre la decisión o el conjunto de
decisiones más adecuado de acuerdo con los objetivos establecidos y el
impacto que pueden tener sobre el funcionamiento del sistema como un
todo.
Lagrange y Kuhn Tucker
Los multiplicadores de Khun-Tucker , al igual que los multiplicadores de
Lagrange en el caso de restricciones de igualdad, son calculados
simultáneamente a los puntos óptimos. Además de servir para utilizar las
condiciones de optimización de segundo orden y para indicar las
restricciones que se encuentran saturadas, tienen una clara
interpretación económica y financiera. Dado el óptimo de un programa
con restricciones de desigualdad podría plantearse un programa
equivalente eliminando las restricciones no saturadas y expresando en
forma de igualdad las saturadas. También son aplicados en sistemas
eléctricos, en el área de sistemas, matemática, toma de decisiones entre
otras.
Lagrange y Kuhn Tucker
El método Lagrange es mas cuantitativo que cualitativo.
El método de Kuhn Tucker busca analizar el comportamiento del
consumidor.
El método Lagrange busca analizar el punto máximo y mínimo de una
ecuación.
El método Lagrange se centra mas en el control.
El método de Kuhn Tucker se centra mas en la organización.