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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO SANTIAGO MARIÑO” SANTIAGO MARIÑO” EXTENSIÓN MARACAIBO EXTENSIÓN MARACAIBO Autor: Nathaly Cubillan Cátedra: Optimización de Sistemas Ing. Sara López

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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAREPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICOINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO

““SANTIAGO MARIÑO”SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MARACAIBOEXTENSIÓN MARACAIBO

Autor: Nathaly CubillanCátedra: Optimización de Sistemas

Ing. Sara López

Page 2: Optimizacion

Lagrange

Joseph Louis Lagrange, bautizado como Giuseppe Lodovico

Lagrangia, también llamado Giuseppe Luigi Lagrangia o Lagrange

(25 de enero de 1736 en Turín - 10 de abril de 1813 en París) fue un

matemático, físico y astrónomo italiano que después vivió en Rusia

y Francia. Lagrange trabajó para Federico II de Prusia, en Berlín,

durante veinte años. Lagrange demostró el teorema del valor medio,

desarrolló la mecánica Lagrangiana y tuvo una importante

contribución en astronomía.

Page 3: Optimizacion

Condiciones de LagrangeDefinición

En los problemas de optimización, los multiplicadores de Lagrange,

nombrados así en honor a Joseph Louis Lagrange, son un método para

trabajar con funciones de varias variables que nos interesa maximizar o

minimizar, y está sujeta a ciertas restricciones. Este método reduce el

problema restringido en n variables en uno sin restricciones de n + 1

variables cuyas ecuaciones pueden ser resueltas. Este método introduce

una nueva variable escalar desconocida, el multiplicador de Lagrange, para

cada restricción y forma una combinación lineal involucrando los

multiplicadores como coeficientes. Su demostración involucra derivadas

parciales, o bien usando diferenciales totales, o sus parientes cercanos, la

regla de la cadena. El fin es, usando alguna función implícita, encontrar las

condiciones para que la derivada con respecto a las variables

independientes de una función sea igual a cero.

Page 4: Optimizacion

Condiciones de LagrangeCuando son útiles

Uno de los problemas más comunes en el cálculo es el de encontrar

máximos o mínimos (en general, "extremos") de una función, pero a

menudo es difícil encontrar una forma cerrada para la función que se

está extremized. Estas dificultades surgen a menudo cuando se desea

maximizar o minimizar una función sujeta a condiciones exteriores fijos o

restricciones. El método de los multiplicadores de Lagrange es una

herramienta poderosa para resolver esta clase de problemas sin la

necesidad de resolver explícitamente las condiciones y los utilizan para

eliminar las variables adicionales. Para decirlo más sencillamente, no es

por lo general suficiente para preguntar:

Page 5: Optimizacion

Condiciones de LagrangeCuando son útiles

"¿Cómo puedo minimizar el aluminio necesario para hacer esta lata?" (La

respuesta a eso es claramente "Hacer un muy, muy pequeño puede!")

¡Tienes que preguntar: "¿Cómo puedo minimizar el aluminio mientras se

asegura la lata celebrará 10 onzas de sopa ? " O del mismo modo,

"¿Cómo puedo maximizar el beneficio de mi fábrica dado que sólo tiene $

15.000 a invertir ? " O, para tomar un ejemplo más sofisticado ", ¿Cuánto

tarda en llegar a la montaña rusa de la tierra suponiendo que se

mantiene en el camino ? " En general, los multiplicadores de Lagrange

son útiles cuando algunas de las variables en la descripción más sencilla

de un problema son despedidos por las restricciones.

Page 6: Optimizacion

Condiciones de LagrangeCampo de aplicación

Economía:

La optimización reprimida desempeña un papel central en la economía.

Por ejemplo, el problema selecto para un consumidor se representa

como uno de maximizar una función de utilidad sujeta a una coacción de

presupuesto . El multiplicador Lagrange tiene una interpretación

económica como el precio de la oposición asociado con la coacción, en

este ejemplo la utilidad marginal de ingresos . Otros ejemplos incluyen la

maximización de la ganancia para una firma, junto con varias

aplicaciones macro-económicas.

Page 7: Optimizacion

Condiciones de LagrangeCampo de aplicación

Teoría de control:

En la teoría de control óptimo , los multiplicadores de Lagrange se

interpretan como constates variables, y los multiplicadores de Lagrange

se formulan de nuevo como la minimización del hamiltoniano , en el

principio mínimo de Pontryagin

Page 8: Optimizacion

Condiciones de LagrangeObjetivos

Ø Visualizar algunas superficies cuádricas y curvas de nivel para

distintos valores de la variable z.

Ø Identificar, a través de los simuladores, los puntos (x,y) sobre la curva

correspondiente a la función restricción donde la función principal tiene

extremos.

Ø Interpretar gráficamente los resultados obtenidos empleando el método

de multiplicadores de Lagrange.

Page 9: Optimizacion

Condiciones de LagrangeObjetivos

Ø Aproximar las soluciones del problema a partir de la observación en el

simulador, de las curvas de nivel de la función principal y la curva

correspondiente a la función condicionante.

Ø Adquirir habilidad en la resolución de problemas de optimización en un

ambiente computacional.

Page 10: Optimizacion

Kuhn Tucker

Albert William Tucker (28 de noviembre de 1905 – 25 de enero

de 1995) fue un matemático estadounidense nacido en

Canadá que realizó importantes contribuciones a la

Topología, Teoría de juegos y a la Programación no lineal.

Page 11: Optimizacion

Kuhn Tucker

Las condiciones necesarias que deben satisfacer los óptimos de

problemas de optimización no lineal con restricciones de desigualdad

fueron publicadas por primera vez (1939) en la tesis de Maestría de

William Karush (1917-1997) (en aquél entonces estudiante de

matemáticas de la Universidad de Chicago), aunque fueron renombradas

tras un artículo en una conferencia de Harold W. Kuhn y Albert W. Tucker

en 1951. Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker (KKT) son una

generalización del método de los multiplicadores de Lagrange para

restricciones de desigualdad.

Page 12: Optimizacion

Condición de Kuhn Tucker

Definición

En programación matemática, las condiciones de Karush-KuhnTucker

(también conocidas como las condiciones KKT o Kuhn-Tucker) son

condiciones necesarias y suficientes para que la solución de un problema

de programación matemática séa óptima. Es una generalización del

método de los Multiplicadores de Lagrange

Page 13: Optimizacion

Condición de Kuhn Tucker

Importancia

La importancia de este teorema radica en que nos dice que podemos

asociar una función de utilidad a unas preferencias, esto nos abre la

puerta de la potente herramienta del análisis matemático al estudio del

comportamiento del consumidor.

Page 14: Optimizacion

Condición de Kuhn TuckerCampo de aplicación

Básicamente el procedimiento consiste en resolver el problema no lineal

como uno sin restricciones, luego si la solución óptima de dicho problema

no cumple la totalidad o parte de las restricciones del problema se

activan dichas restricciones (en conjunto y/o secuencialmente) y se

resuelve nuevamente. Esto se repite hasta llegar a un conjunto de

restricciones activas cuya solución también satisface las restricciones

omitidas. Notar que si se han activado la totalidad de restricciones sin

encontrar una solución factible, entonces el problema es infectable. Esta

característica particular de los modelos no lineales permite abordar

problemas donde existen economías o de economías de escala o en

general donde los supuestos asociados a la proporcionalidad no se

cumplen.

Page 15: Optimizacion

Problemas en organizaciones

Los problemas que surgen en las grandes organizaciones, tanto en el

sector privado como en el público, son tan complejos que no pueden

resolverse usando exclusivamente sentido común y experiencia práctica.

Se deben tomar decisiones sobre la manera ‘óptima’ de usar los recursos

disponibles, generalmente escasos, para lograr unos ciertos objetivos. La

Investigación Operativa proporciona modelos y técnicas para abordar

estos problemas, que permiten comprender los sistemas reales y, en

general, facilitan información sobre la decisión o el conjunto de

decisiones más adecuado de acuerdo con los objetivos establecidos y el

impacto que pueden tener sobre el funcionamiento del sistema como un

todo.

Page 16: Optimizacion

Lagrange y Kuhn Tucker

Los multiplicadores de Khun-Tucker , al igual que los multiplicadores de

Lagrange en el caso de restricciones de igualdad, son calculados

simultáneamente a los puntos óptimos. Además de servir para utilizar las

condiciones de optimización de segundo orden y para indicar las

restricciones que se encuentran saturadas, tienen una clara

interpretación económica y financiera. Dado el óptimo de un programa

con restricciones de desigualdad podría plantearse un programa

equivalente eliminando las restricciones no saturadas y expresando en

forma de igualdad las saturadas. También son aplicados en sistemas

eléctricos, en el área de sistemas, matemática, toma de decisiones entre

otras.

Page 17: Optimizacion

Lagrange y Kuhn Tucker

El método Lagrange es mas cuantitativo que cualitativo.

El método de Kuhn Tucker busca analizar el comportamiento del

consumidor.

El método Lagrange busca analizar el punto máximo y mínimo de una

ecuación.

El método Lagrange se centra mas en el control.

El método de Kuhn Tucker se centra mas en la organización.