optimizacion de funcion
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Optimización de funciones
Dirección de Formación Básica
Optimización de funciones
Habilidades a desarrollarAl terminar el presente tema, Usted estará en la capacidad de:1) Resolver problemas de optimización de funciones
reales de variable real haciendo uso de la derivada.
Optimización de funciones
Ejemplo. La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es
donde es el número de unidades y es el precio por unidad. ¿Para qué valor de se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?Resolución
Sea el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como
Ingreso=( precio)(cantidad )
se tiene
𝐼=𝑝𝑞=( 80−𝑞4 ) ∙𝑞𝐼 (𝑞)=−𝑞
2
4+20𝑞
donde . Se establece
𝐼 ′ (𝑞)=− 12𝑞+20=0
−12𝑞=−20
𝑞=40
0 8040
Signo de
Comportamiento de
+¿ −
La cantidad que permite el máximo ingreso es .
El máximo ingreso es
Optimización de funciones
Ejemplo. La función de costo total de un fabricante está dada por
donde es el costo total de producir unidades. ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio por unidad un mínimo? ¿Cuál es ese mínimo?Resolución
La cantidad a minimizar es el Costo promedio . La función de Costo promedio es
𝐶𝑃=𝐶 (𝑞)𝑞
se tiene
𝐶𝑃=
𝑞2
4+3𝑞+400
𝑞
𝐶𝑃 (𝑞 )=𝑞4
+3+400𝑞
Vamos a obtener los valores críticos, se resuelve
𝐶𝑃 ′ (𝑞 )= 14−400
𝑞2=0
14=400
𝑞2
𝑞=40
0 +∞40
Signo de
Comportamiento de
− +¿
La cantidad que permite minimizar el costo promedio es .
El costo promedio mínimo es
Optimización de funciones
Extremos absolutos en un intervalo cerrado.
Si una función es continua en un intervalo cerrado , puede demostrarse que entre todos los valores de de la función de en , debe haber un valor máximo (absoluto) y un valor mínimo (absoluto). Esos dos valores se llaman valores extremos de en ese intervalo. Esta importante propiedad de las funciones continuas se llama teorema del valor extremo.
Optimización de funciones
Teorema del valor extremo.Si una función es continua en un intervalo cerrado , entonces la función tiene tanto un valor máximo como un valor mínimo en ese intervalo.
𝑎𝑥1 𝑥2 𝑏𝑥
𝑦
𝑎 𝑥1 𝑏𝑥
𝑦
Mínimo absoluto
Máximo absoluto
Mínimo absoluto
Máximo absoluto
Optimización de funciones
Procedimiento para encontrar los extremos absolutos de una función que es continua en .
Paso 1. Encontrar los valores críticos de . Osea, los valores de tal que .
Paso 2. Seleccione los valores críticos que pertenecen al intervalo
Paso 3. Evaluar en los puntos extremos y , y en los valores críticos sobre .
Paso 4. El valor máximo de es el mayor de los valores encontrados en el paso 3. El valor mínimo de es el menor de los valores encontrados en el paso 3.
Optimización de funciones
Ejemplo. Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicio de salud, entonces al cabo de años, miles de personas ancianas recibirán beneficios directos, donde
¿Para qué valor de el número de beneficiados es máximo?Resolución
Se establece , se tiene
𝑑𝑛𝑑𝑡
=𝑡2−12 𝑡+32=0
(𝑡−4 ) (𝑡−8 )=0𝑡=4ó 𝑡=8
Como el dominio de es el intervalo
cerrado [0; 12], el valor máximo absoluto
de debe ocurrir en
𝑛 (0 )=03
3−6 (02)+32 (0 )=0
𝑛 (4 )=43
3−6 (42 )+32 (4 )=160
3
𝑛 (8 )=83
3−6 (82 )+32 (8 )=128
3
Así, se tiene un máximo absoluto en .
𝑛 (12 )=123
3−6 (122 )+32 (12 )=96
Recordemos que una herramienta que permite clasificar los puntos críticos es el criterio de la segunda derivada.
Optimización de funciones
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA.Sea una función tal que y con una segunda derivada definida en .• Si entonces es un máximo relativo de .• Si entonces es un mínimo relativo de .
Observaciones:1) El criterio no es concluyente en el caso que y . Se deberá usar el criterio de la
primera derivada.2) El criterio no puede usarse en el caso que la segunda derivada no exista en .3) Una de las bondades de este criterio es que permite clasificar los puntos
críticos con sólo evaluar la función segunda derivada en los números críticos, a diferencia del criterio de la primera derivada que se debía evaluar la primera derivada a la izquierda y derecha del punto crítico y entre los puntos críticos vecinos.
Optimización de funciones
Ejemplo
El costo total de producir unidades de un artículo está dada por . Si la ecuación de demanda está dada por , calcule las unidades que deberá de producir a fin de obtener la máxima utilidad.
Primero se debe de conseguir la función utilidad .
Resolución
Derivamos
𝑈 ′ (𝑞 )=− 310
𝑞+100
Se usa el criterio de la segunda derivada para clasificar el posible extremo
𝑈 ′ ′(𝑞)=−310
Como es siempre negativa, así lo es en el número crítico.
En este caso, como se tendrá
𝐼=(200−0,1𝑞)𝑞
Con ello, la utilidad es
𝑈= 𝐼−𝐶
Se plantea para conseguir los puntos críticos
Por tanto en se alcanza un máximo relativo y por existir un único, éste es absoluto..
𝐼=200𝑞−0,1𝑞2
𝑈 (𝑞)=−320𝑞2+100𝑞−1000
−310𝑞+100=0
𝑞=10003
Optimización de funciones
Ejemplo
El costo total de producir unidades de un artículo está dada por . Calcule las unidades que deberá de producir a fin de obtener el mínimo costo promedio por unidad.
Primero debemos obtener el costo promedio. Este se calcula dividiendo el costo total entre .
Resolución
Despejando
−5000
𝑞2=−
12
10000=𝑞2
Eliminamos la solución negativa pues carece de sentido.
𝐶 ′ ′ (𝑞)=10000
𝑞3
Al evaluar tenemos
𝐶 ′ ′ (100 )=10000(10 )3
>0
Entonces en se alcanza un mínimo relativo.
𝐶 (𝑞)=𝐶 (𝑞)𝑞
=5000𝑞
+4+ 12𝑞
Ahora se calcula la derivada de
𝐶 ′ (𝑞)=−5000
𝑞2+12
Planteamos para encontrar los valores críticos
−5000
𝑞2+12=0
±100=𝑞
Usaremos el criterio de la segunda derivada
Se concluye que cuando se producen 100 unidades tendremos el costo promedio mínimo.
Derivadas de ecuaciones paramétricasBibliografía• [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración.
Ed 5. México, D.F. Pearson. • [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y
Economía. Ed 12. Pearson Educación.