Métodos de optimización

Extremos no restictivos de dos variables

Las derivadas parciales de primer y segundo orden son implementadas para hallar el punto critico de funciones vectoriales y geométricas

Ejemplo de Extremos no restrictos con dos variables

Ejemplo:En la siguiente función f (x,y)=3x3+1.5 y 2–18xy+17 encontrar los puntos críticos y determinar si éstos son máximos o mínimos relativos, puntos de inflexión o puntos de silla ?

Paso (1): Calculando la primera derivada e igualándola a 0 (condición de primer orden):

fx= 9x2 – 18y = 0 y= ½ x2 fy= 3y – 18x = 0 y = 6x

Donde x = 0, x = 12, y = 0, y = 72. Así, los puntos críticos son: (0,0) y (12,72)

Paso (2): Calculando las segundas derivadas:

fxx = 18x fyy = 3 fxy = fyx = -18

Paso (3): Evaluando el punto crítico (0,0) :

fxx = ( 0, 0 ) = 18 (0) = 0 fyy = ( 0, 0 ) = 3 ¿Cumple que fxx ( 0, 0 ). fyy ( 0, 0 ) > [ fxy(0,0) ]2 ? 0.3 < ( -18 )2 (No cumple)

este punto crítico no es ni máximo ni mínimo. Puesto que fxx y fyy (evaluadas en este punto crítico) tienen signos iguales entonces es un punto de inflexión.

Paso (4): Evaluando el punto crítico (12,72) :

fxx = ( 12, 72 ) = 18 (12) = 216 fxy = ( 12, 72 ) = 3 ¿Cumple que fxx( 12, 72 ).fyy( 12, 72 ) > [ fxy(12,72) ]2 ? 216.3 > ( -18 )2 (Si cumple!)

Dado que se cumple fxx ( 12, 72 ). fyy ( 12, 72 ) > [ fxy (12,72) ]2 y además, fxx , fyy > 0 entonces el punto en análisis es un mínimo relativo.

Método de LaGrangeEl método Langrangiano son unas técnicas o métodos que se utilizan para trabajar con las funciones de varias variables que necesitas maximizar o que necesitamos minimizar, las cuales poseen una serie de condiciones o restricciones, es un método que reduce los problemas restringidos en las variables “n” es uno sin ningún tipo de restricciones de “n + 1” variables en las cuales las ecuaciones se pueden resolver.

Ejemplo del Método de LaGrangePaso (1): Primero dibujamos una caja donde sus lados sean paralelos a los ejes del sistema de referencia xyz.

Del enunciado se saca que la función que se quiere maximizar, en este caso, es la función capacidad o volumen de una caja rectangular o de un paralelepípedo rectangular. Entonces debemos escribir la llamada función del volumen de la caja de acuerdo a su expresión geométrica= xyz Además, se identifica la condición a cumplir o la restricción, dada por la superficie que debe poseer dicha caja, que es de 64 cm. cuadrados. Escribimos el área de la superficie (S):S= 2xy + 2yz + 2xz = 64

Paso (2): de la función a maximizar, la función volumenVx= yzVy= xzVz= xy

Paso (3): luego el gradiente de la restricción

Sx = 2y + 2z Sy = 2x + 2zSz = 2x + 2y

Paso (4): La ecuación de LaGrange se escribe:

xyxzyz ,, =λ yxzxzy 22,22,22

Paso (5): Se forma el siguiente sistema de ecuaciones a partir de la igualación de cada componente:

yz = λ( 2 y + 2z) …ec nº 1xz = λ (2x + 2z) …ec nº 2

xz = λ (2x + 2y) …ec nº 3 y además2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4

Paso (6): Se resuelve el sistema de ecuaciones lineales por cualquiera de los métodos conocidos para estos casos.En particular, en este caso se multiplicara la ec nº 1 por x, la ec nº 2 por y, la ec nº 3 por z. quedan así las ecuaciones:

xyz = 2 λx y + 2 λx z …ec nº 5xyz = 2 λ xy + 2 λy z …ec nº 6xyz =2 λ xz + 2 λ yz …ec nº7

Fíjese que las tres ecuaciones poseen igual los primeros términos (xyz), así que los igualaremos a través de ellos.

Paso (7): Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 6:2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z 2 λx y + 2 λx z = 2 λ xy + 2 λy z

2 λx z = 2 λy z, se obtiene: x = y

Paso (8): Al igualar las ecuaciones nº 5 y nº 7:2 λx y + 2 λx z = 2 λ xz + 2 λ yz

2 λx y = 2 λ yz x = z

Así que se tiene: x =y = z

Se escribe la ecuación nº4 en función de una sola variable: 2xy + 2yz + 2xz = 64…ec nº4, respecto de x por ejemplo, queda:

, por representar x una distancia se toma el valor positivo, así que:

, entonces:

y el volumen máximo para la condición dada es:

Matriz jacobiana

La matriz Jacobiana es una matriz formada por las derivadas parciales de primer orden de una función. Una de las aplicaciones más interesantes de esta

matriz es la posibilidad de aproximar linealmente a la función en un punto. En este sentido, el Jacobiano representa la derivada de una función multivariable.

Ejemplo de la Matriz jacobiana calcular la matriz jacobiana de

Paso (1): Como en nuestro caso tenemos una función la matriz jacobiana será de orden 2 x 3, y sus elementos vienen dados por:

Paso (2): Observa que en nuestro caso las componentes de ƒ son:

𝑓1( _1, _2, _(3 ))= . 1+ _2. _3) y 2( _1, _2, _3 )=2 _2−5𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑓 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥Paso (3): Calculamos ya los elementos de la matriz jacobiana:

(pues y actúan como constante).

= . (pues y actúan como constantes).

= (pues y actúan como constantes).

(pues no aparece en la expresión 2).𝑓(pues al derivar respeto la actúa como constante).

(pues al derivar respecto la actúa como constante).

Paso (4): De este modo la matriz jacobiana de nuestra función ƒ es:

Condiciones de Kuhn Tucker las condiciones de kuhn-tucker

Muchos modelos en economía son, naturalmente, formulados, como problemas de optimización con restricciones de desigualdad.

Consideremos, por ejemplo, el problema de la elección del consumidor. No hay ninguna razón para insistir en que un consumidor pasa toda su riqueza, por lo que su problema de optimización se formula con restricciones de desigualdad:

x max u (x) en p · x ≤ w y x ≥ 0.

En el carácter de la función y los valores de u p y w, podemos tener p x · w <dependiendo o p · x = w a una solución de este problema.

Un enfoque para la solución de este problema comienza por determinar cuál de estas dos condiciones se cumple en una solución. En problemas más complejos, con más de una restricción, este enfoque no funciona bien. Consideremos, por ejemplo, un consumidor que se enfrenta a dos limitaciones (tal vez tiempo y dinero). Tres ejemplos se muestran en la figura siguiente, que debe convencer de que no podemos deducir de propiedades simples de u solo que de las limitaciones, en su caso, están satisfechos con la igualdad en una solución.

Ejemplo de Condiciones de Kuhn TuckerMaximizar la función de beneficio sujeto a una restricción de producción.

Maximizar : π = 64x – 2x2 + 96y - 4y2 - 13 Sujeto a : x + y ≤ 36

Paso (1): Formamos la función Lagrangiana:

π = 64x – 2x2 + 96y - 4y2 - 13 + λ(36 – x – y)

Paso (2): Por las condiciones de Kuhn-Tucker:

πx= 64 – 4x - λ ≤ 0 πy= 96 – 8y - λ ≤ 0 λ π = 36 – x – y ≥ 0

x ≥ 0 y≥ 0 λ≥ 0

x ( 64 -4x - λ ) = 0 y ( 96 – 8y - λ ) = 0 λ( 36 – x – y ) = 0

Paso (3): Se testean o revisan las condiciones de Kuhn-Tucker:

(a): Si λ, x, y > 0 entonces de las condiciones de Kuhn-Tucker llevan a: 64 -4x - λ = 0 96 – 8y - λ = 0 36 – x – y = 0 Paso (4): En forma de matriz:

Paso (5): Usando la Regla de Cramer donde:

A = 12 Ax = 256 Ay = 176 Aλ = -256 ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

se obtiene que: x= 21.33 y = 14.67 λ = -21.33

Lo cual no puede ser óptimo ya que λ< 0 y contradice las condiciones de Kuhn-Tucker

(b) Si λ= 0 y x, y > 0 entonces

64 – 4x = 0 x = 16 96 – 8y = 0 y = 12

Esto da la solución correcta: x = 16, y = 12 y λ= 0, lo cual es óptimo ya que no viola ninguna condición de Kuhn-Tucker