guia modelamiento optimizacion

PROBLEMAS RESUELTOS

Se aprecia que se cumplen las ventas mínimas para los duraznos en conserva: enteros, en mitades

y picados, pero se sobrepasa el mínimo de jugo y pulpa. Por otro lado, se consume todo el durazno

disponible, es decir, 300.000 toneladas. Además, todas las máquinas envasadoras, a excepción de la de

pulpa, tienen tiempo ocioso. Las utilidades alcanzan US$ 56.214.800.

Problema 2: Pastas Jacarandá

Pastas Jacarandá fué fundada a principios del siglo XX por

Arcangelo Molinare, un inmigrante italiano. La empresa se

ha consolidado como un actor importante de la industria

alimenticia ofreciendo, además de pastas, otros productos

como chocolates, galletas, jugos y confites.

La sección de pastas secas debe planificar su producción de

pastas cortas para la semana próxima. Éstas son: corbatas,

caracoles, espirales, quífaros, farolitos y mariposas.

El proceso de fabricación es altamente automatizado. En primer lugar, los ingredientes son mezcla-

dos en una centríguga, según recetas preprogramadas. El ingrediente principal es la sémola. La mezcla

pasa a una máquina amasadora y extrusora que la hidrata gradualmente, hasta obtener una masa ho-

mogenea. La unidad de extrusión da forma al producto. Las pastas formadas y cortadas son sometidas

a un proceso de presecado que mantiene el producto separado y evita que se deforme. Luego, mediante

una correa transportadora, son llevadas a un secador, para ser posteriormente enfriadas y envasadas.

La Figura 1.128 muestra el diagrama de este proceso.

Figura 1.128: Proceso de elaboración de pastas Jacarandá.

La sección de presecado puede operar hasta 14 horas diarias, trabaja 5 días por semana y cuenta con

dos máquinas iguales que trabajan en paralelo y pueden procesar cualquier producto. Las velocidades

de secado son diferentes para cada tipo de pasta. En el caso de las corbatas, la etapa de presecado

es capaz de secar 400 kg de pasta por hora, es decir, bajo el supuesto de linealidad, una tonelada de

corbatas necesita 2,5 hr de este recurso. Por otra parte, el envasado se realiza en dos lineas: una más

antigua cuya capacidad es 20 bolsas de 400 gramos por minuto, y otra más nueva que envasa 30 bolsas

por minuto, también de 400 gramos. Cada línea puede envasar cualquiera de las seis pastas cortas secas

consideradas. Se dispone de 60 toneladas de sémola para la semana.

Carmen Ortiz Z. - Luis Seccatore G. c© 389

Carmen

Rectangle

Carmen

Rectangle

CAPÍTULO 1. MODELOS DE OPTIMIZACIÓN

Al adicionar agua a la sémola, su peso aumenta. Por otro lado, en el proceso de extrusión se generan

pérdidas de masa o recortes, que varían entre un 10 % y un 20 %, dependiendo de la forma de cada tipo

de pasta. Finalmente, tanto el presecador como el secador reducen el peso de las pastas, en un 10 % cada

uno, ya que eliminan el agua. La Tabla 1.57 indica la cantidad de sémola que requiere una tonelada de

cada producto, junto con la velocidad del presecador y el precio de venta.

Proceso de elaboración de pastas

Producto Semola Presecador PrecioAumento de peso ( %) kg / 1000 kg Velocidad (kg/hr) (miles de $/ton)

Corbatas 40 882 400 1.240

Caracoles 30 950 320 1.100

Espirales 45 852 360 1.160

Quífaros 35 915 400 950

Farolitos 25 988 450 1.180

Mariposas 30 950 500 1.040

Tabla 1.57: Elaboración de pastas Jacarandá.

Por políticas de presencia en el mercado, se debe fabricar al menos 4 toneladas de cada producto por

semana. Además, se han adquirido compromisos de venta de 12 ton de corbatas, 8 ton de espirales y 6

ton de mariposas, que deben ser entregados en la semana que se está planificando.

Para responder las interrogantes sobre ¿cuánto fabricar de cada producto?, se plantea un modelo

cuyas variables de decisión son:

xj= cantidad, en toneladas, de pasta seca tipo j que se debe fabricar durante la semana,

con j = 1 (corbatas), 2 (caracoles), 3 (espirales), 4 (quífaros), 5 (farolitos), 6 (mariposas).

Las restricciones señalan la disponibilidad de semola, presecado y envasado.

Disponibilidad de sémola: la producción total puede utilizar hasta 60 toneladas de sémola en la semana.

0, 882x1 + 0.950x2 + 0.852x3 + 0.915x4 + 0.988x5 + 0.950x6 ≤ 60.

Disponibilidad de horas de presecado: la producción total de pastas puede utilizar hasta 140 horas de

presecado en la semana.

Dado que cada presecador puede operar durante 14 hr/día × 5 dias/semana = 70 horas /semana,

se dipone de 140 horas de presecado por semana.

Es importante notar que las variables de decisión son toneladas de pasta seca, es decir, de producto

final. Por ello, para obtener 1 tonelada de corbatas secas, por ejemplo, se necesita mezclar 882 kg

de sémola con agua y otros ingredientes, obtiéndose 882 × 1,4 = 1.235 kg de corbatas húmedas,

despues de la extrusión. Éstos ingresan el presecador, donde su peso se reduce en un 10 %, es decir,

salen 1.235× 0.9= 1.111,5 kg de corbatas semi-secas.

A su vez, el secador también reduce en un 10 % lo que recibe, por lo tanto, salen 1.111,5× 0.9=

1.000,35 ≈ 1.000 kg de corbatas secas y listas para envasar. En consecuencia, para obtener una

390 Modelamiento y Gestión de Negocios

PROBLEMAS RESUELTOS

tonelada de corbatas secas, deben ingresar al presecador 1,235 ton de corbatas húmedas. Además,

como la velocidad del presecador para las corbatas es 400 kg/hr, entonces cada tonelada de cor-

batas húmedas requiere 2,5 horas de este proceso. Por lo tanto, el consumo de horas de presecado

de las corbatas es 0, 882× 1, 4× 2, 5x1. Analizando en forma similar los otros productos se tiene:

caracoles : 0, 950× 1, 3× 3, 1x2,

espirales : 0, 852× 1, 45× 2, 8x3,

quífaros : 0, 915× 1, 35× 2, 5x4,

farolitos : 0, 988× 1, 25× 2, 2x5,

mariposas : 0, 950× 1, 3× 2, 0x6.

Luego, la restricción es:

3, 087x1 + 3, 929x2 + 3, 459x3 + 3, 088x4 + 2, 717x5 + 2, 470x6 ≤ 140.

Disponibilidad de horas de envasado: la producción total de pastas puede utilizar hasta 90 horas de

envasado en la semana.

La máquina de envasado más antigua puede envasar 20 bolsas de 400 gramos por minuto, esto es,

8 kg de pasta por minuto. Como trabaja 75 horas por semana, puede envasar 36 toneladas en una

semana. Analogamente, la envasadora más nueva puede envasar 54 toneladas por semana. Por lo

tanto, se puede envasar un total de 90 toneladas por semana. Lo que interesa es la capacidad de

envasado de la sección, y no la cantidad envasada por cada máquina.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ≤ 90.

Cantidades mínimas a producir: se debe producir al menos 4 toneladas de cada tipo de pasta en la semana.

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 4.

Compromisos de venta: se deben cumplir todos los compromisos de venta.

x1 ≥ 12, x3 ≥ 8, x6 ≥ 6.

Estas restricciones hacen redundantes a las restricciones de producción mínima para los mismos

productos.

Naturaleza de las variablesx1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0.

La función objetivo que maximiza ingresos es:

1.240x1 + 1.100x2 + 1.160x3 + 950x4 + 1.180x5 + 1.040x6.

La solución del modelo es: x∗1 = 12, x∗2 = 4, x∗3 = 8, x∗4 = 4, x∗5 = 12, 07, x∗6 = 6 y z∗ = 52.843, 6. La

solución del problema consiste en producir 12 ton de corbatas, 4 ton de caracoles, 8 ton de espirales, 4



ton de quífaros, 12,07 ton de farolitos y 6 ton de mariposas. El ingreso total es $ 52.843.600. Este plan de

producción utiliza todas las horas disponibles de la sección de presecado, sólo 46,07 horas de envasado

y 42,5 toneladas de sémola. De modo que se puede prescindir de la envasadora más antigua, dedicán-

dola a otros productos.

Problema 3: Compañía Azucarera Las Pataguas

Las Pataguas produce y comercializa azúcar de remolacha.

La compañía posee varias plantas productoras donde se

procesa la remolacha. El gerente de operaciones de la planta

Patagua Blanca necesita planificar la producción para el

período de Mayo a Agosto. La capacidad de refinación de la

planta es 240 toneladas por mes, si se trabaja un sólo turno.

Los costos de producción varían de un mes a otro, debido

principalmente a que el costo de la materia prima más impor-

tante (remolacha) es también variable. El costo unitario de pro-

ducción se ha estimado en $ 240, $260, $230 y $240 por kg para

Mayo, Junio, Julio y Agosto, respectivamente. Si es necesario se puede trabajar horas adicionales, lo que

permite producir (refinar) hasta 40 ton adicionales en un mes, pero como se debe pagar un salario mayor

a los operarios, el costo unitario de producción en horas extraordinarias se estima en $ 260, $ 275, $ 250 y

$ 255 por kg, para Mayo, Junio, Julio y Agosto, respectivamente. La planta también puede subcontratar

la refinación a otra empresa que tiene una gran capacidad ociosa. Esto resulta en un costo unitario adi-

cional de $ 3 por kg en Mayo y Junio y de $ 4 por kg en Julio y en Agosto.

La capacidad de almacenamiento de la planta Patagua Blanca es 150 toneladas y se estima que

quedarán 30 toneladas en la bodega, al final del día 30 de Abril. El costo de almacenamiento se ha

valorizado en $ 30/kg-mes.

Patagua Blanca entrega el producto a distribuidores regionales que se encuentran ubicados en la

zona central y norte del país. Ellos han efectuado los pedidos que se indican en la Tabla 1.58 para el

horizonte de planificación considerado.

Pedidos de azúcar refinada(toneladas / mes)

Distribuidor Mayo Junio Julio Agosto

Norte I 24 20 26 28

Norte II 32 36 42 40

Centro I 82 85 130 140

Centro II 86 95 140 160

Centro III 30 30 32 32

Total 254 266 370 400

Tabla 1.58: Pedidos de Planta Refinadora Patagua Blanca.


PROBLEMAS RESUELTOS

Para formular un modelo que permita establecer un plan de producción de mínimo costo, para

la planta Patagua Blanca, para el período de cuatro meses indicado, se necesita diferenciar entre la

producción realizada en horario normal y la efectuada en horas extraordinarias, puesto que tienen

distintos costos. También se requiere decidir ¿qué cantidad de producción subcontratar? y ¿qué cantidad

de azúcar dejar en inventario al final de cada mes? Así, se definen las siguientes variables de decisión:

x1 = cantidad de azúcar que se debe producir en horario normal en Mayo [kg],

x2 = cantidad de azúcar que se debe producir en horario normal en Junio [kg],

x3 = cantidad de azúcar que se debe producir en horario normal en Julio [kg],

x4 = cantidad de azúcar que se debe producir en horario normal en Agosto [kg].

y1 = cantidad de azúcar que se debe producir en horas extraordinarias en Mayo [kg],

y2 = cantidad de azúcar que se debe producir en horas extraordinarias en Junio [kg],

y3 = cantidad de azúcar que se debe producir en horas extraordinarias en Julio [kg],

y4 = cantidad de azúcar que se debe producir en horas extraordinarias en Agosto [kg].

w1 = cantidad de azúcar cuya producción se debe subcontratar en Mayo [kg],

w2 = cantidad de azúcar cuya producción se debe subcontratar en Junio [kg],

w3 = cantidad de azúcar cuya producción se debe subcontratar en Julio [kg],

w4 = cantidad de azúcar cuya producción se debe subcontratar en Agosto [kg].

I1 = cantidad de azúcar que se debe dejar en inventario al final de Mayo [kg],

I2 = cantidad de azúcar que se debe dejar en inventario al final de Junio [kg],

I3 = cantidad de azúcar que se debe dejar en inventario al final de Julio [kg],

I4 = cantidad de azúcar que se debe dejar en inventario al final de Agosto [kg].

Las restricciones se refieren a la capacidad de producción, en horario normal y extraordinario, la

capacidad de almacenamiento y al cumplimiento de pedidos mensuales.

Capacidad de producción en horario normal: la cantidad de azúcar refinada en la planta, en cada mes,

en horario normal, no debe exceder la capacidad que es 240 ton mensuales.

x1 ≤ 240.000 (Mayo),

x2 ≤ 240.000 (Junio),

x3 ≤ 240.000 (Julio),

x4 ≤ 240.000 (Agosto).

Capacidad de producción en horas extraordinarias: la cantidad de azúcar refinada en la planta, en cada

mes, en horas extraordinarias, no debe exceder la capacidad que es 40 ton mensuales.

y1 ≤ 40.000 (Mayo),

y2 ≤ 40.000 (Junio),



y3 ≤ 40.000 (Julio),

y4 ≤ 40.000 (Agosto).

Capacidad de almacenamiento: la cantidad de azúcar almacenada al final de cada mes, en la bodega de la

planta, no debe exceder su capacidad que es 150 toneladas.

I1 ≤ 150.000 (Mayo),

I2 ≤ 150.000 (Junio),

I3 ≤ 150.000 (Julio),

I4 ≤ 150.000 (Agosto).

Cumplimiento de pedidos: la cantidad de azúcar producida en la planta, tanto en horas normales como

adicionales, más la cantidad subcontratada debe ser suficiente para satisfacer los pedidos mensuales de los

distribuidores regionales. Si es necesario se pueden incluir inventarios.

30.000− I1 + x1 + y1 + w1 = 254.000 (Mayo),

I1 − I2 + x2 + y2 + w2 = 266.000 (Junio),

I2 − I3 + x3 + y3 + w3 = 370.000 (Julio),

I3 − I4 + x4 + y4 + w4 = 400.000 (Agosto).

Naturaleza de las variables:xj , yj , wj , Ij ≥ 0, j = 1, 2, 3, 4.

La medida de desempeño es el costo total, es decir, el costo de producción, tanto en turno normal

como en horas extraordinarias, almacenamiento y subcontratación.

El costo de producción es: 240x1 + 260y1 + 260x2 + 275y2 + 230x3 + 250y3 + 240x4 + 255y4,

el costo de almacenamiento o inventario es: 30I1 + 30I2 + 30I3 + 30I4,

y el de subcontratación es: 263w1 + 278w2 + 254w3 + 259w4.

Por lo tanto, la función objetivo es:

Min z = 240x1 + 260y1 + 263w1 + 30I1 + 260x2 + 275y2 + 278w2 + 30I2+

230x3 + 250y3 + 254w3 + 30I3 + 240x4 + 255y4 + 259w4 + 30I4.

El valor de las variables de decisión del modelo en la solución óptima se muestra en la Tabla 1.59 y

el valor óptimo es z∗ = 310.170.000.


PROBLEMAS RESUELTOS

Variable Valor óptimo de variablesmes 1 mes 2 mes 3 mes 4

x (mes) 240.000 240.000 240.000 240.000

y (mes) 0 10.000 40.000 40.000

w (mes) 0 0 90.000 120.000

I (mes) 16.000 0 0 0

Tabla 1.59: Solución óptima del modelo de Azucarera Las Pataguas.

Interpretando la solución del modelo, se obtiene la solución del problema, esto es, el plan de

producción de mínimo costo que se muestra en la Tabla 1.60. El costo total para el período es

$310.170.000. Nótese que en Mayo sólo se necesita producir en turno normal, dado que se cuenta con

30.000 kg en inventario al inicio del mes. Sin embargo, se produce más de lo que se requiere, dejando

16.000 kg en inventario. Esto tiene sentido ya que en Junio el costo de utilizar horas extraordinarias es

$ 275 por kg, en cambio, si se produce en Mayo y se almacena, el costo es sólo $ 240+30=270 por kg. En

Julio la producción de la planta, tanto en horario normal como adicional, es igual a la capacidad que

es 280.000 kg, lo que no es suficiente para cumplir los pedidos del mes, que ascienden a 370.000 kg.

Por ello, se deben subcontratar los 90.000 kg que faltan. Análogamente, en Agosto también es necesario

subcontratar 120.000 kg para cumplir los compromisos de venta.

Plan óptimo de producción

Decisión Mayo Junio Julio Agosto

Producción en horario normal (kg) 240.000 240.000 240.000 240.000

Producción en horas extraordinarias (kg) 0 10.000 40.000 40.000

Subcontratación (kg) 0 0 90.000 120.000

Inventario inicial (kg) 30.000 16.000 0 0

Inventario final (kg) 16.000 0 0 0

Total (kg) 254.000 266.000 370.000 400.000

Tabla 1.60: Plan óptimo de producción de Azucarera Las Pataguas.

También es interesante observar que no se tiene inventario en Junio, Julio y Agosto. Esto se expli-

ca, por una parte, porque tanto en Julio como en Agosto la capacidad de la planta es insuficiente para

cumplir los compromisos de venta. Por otro lado, es más económico subcontratar que adelantar produc-

ción y almacenar. La Figura 1.129 muestra el plan de producción óptimo en forma gráfica.

Figura 1.129: Plan de producción óptimo de Patagua Blanca.



Problema 4: Industria Química El Canelo

Química El Canelo provee detergentes y desinfectantes de

tipo industrial a hoteles, casinos, restaurantes, entre otros.

Comercializa N detergentes líquidos diferentes y necesita

diseñar un plan de producción para los próximos T trimestres.

Para ello ha realizado pronósticos de venta, que indican que

Fjt es la venta estimada de producto j para el trimestre t,

j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T .

El cuello de botella del proceso productivo es el envasado.

Para esta etapa se cuenta con cuatro máquinas envasadoras,

de características similares. Cada una es capaz de envasar α

litros por hora. La mano de obra que participa en este proceso puede trabajar en horario normal, esto

es un turno diurno de ocho horas, y también horas extra. Estas últimas no pueden superar el 20 % de

las horas normales. Como la demanda es muy variable, la empresa puede contratar y despedir personal

adicional, por uno o más períodos (trimestres). El costo de contratar una persona es γ y el de despido es

δ. Se estima que la productividad de la mano de obra es β litros por hora, sin importar si es permanente o

temporal, dado que se realiza una capacitación al ingreso. Por políticas de la empresa, en un día se puede

trabajar hasta 10 horas, puesto que las máquinas se someten diariamente a mantenimiento, después de

la jornada laboral.

Debido al tamaño de la bodega, la capacidad de almacenamiento es K litros, y el costo de inventario

se ha estimado en hjt por litro-mes. El costo de producción del producto j en el período t, en horario

normal, es cjt y en horas extra es djt.

Al inicio del primer trimestre, se tendrá Ij0 litros de producto j en inventario, y el personal de planta

es W0. La mano de obra está limitada por la cantidad de máquinas a un máximo de LP trabajadores.

Por otra parte, de acuerdo a convenios con los sindicatos, se debe tener un mínimo de LU operarios.

Los parámetros del modelo son:

Fjt = venta estimada de producto j en el período t, con j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T, [litros].

α = litros por hora que envasa cada máquina.

β = litros por hora que envasa un operario.

K = capacidad de almacenamiento [litros].

γt = costo de contratar un operario en el período t, con t = 1, ..., T, [$].

δt = costo de despedir un operario en el período t, con t = 1, ..., T, [$].

hjt = costo unitario de inventario, para j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T, [$/litro-mes].

cjt = costo de producción en horario normal, para j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T, [$/litro].

djt = costo de producción en horas extra, para j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T, [$/litro].

Ij0 = inventario inicial del producto j, para j = 1, ..., N, [litros].

W0 = cantidad inicial de operarios.


PROBLEMAS RESUELTOS

Para diseñar un plan de producción de detergentes de mínimo costo, en cada período se debe decidir

¿qué cantidad fabricar de cada detergente?, ¿la producción se efectúa en turno normal?, ¿cuántas horas

extra utilizar?, ¿qué cantidad de cada detergente dejar en inventario?, ¿cuántos operarios contratar o

despedir? Así, las variables de decisión son:

xjt = cantidad de detergente j que se debe producir en el período t en horario normal [litros], para

j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T .

yjt = cantidad de detergente j que se debe producir en el período t en horas extra [litros], para

j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T .

Ijt = cantidad de detergente j que se deja en inventario al final del período t [litros], con j = 1, ..., N ;

t = 1, ..., T .

ut = cantidad de operarios que se contrata al inicio del período t, para t = 1, ..., T .

vt = cantidad de operarios que se despide al inicio del período t, con t = 1, ..., T .

wt = cantidad de operarios en el período t, con t = 1, ..., T .

Así, el modelo tiene 3NT + 3T variables. Cabe hacer notar que las variables wt contabilizan la mano

de obra disponible en cada período, y son el resultado de las decisiones sobre contratación y despido.

Las restricciones representan las limitaciones de capacidad de las máquinas, de la mano de obra y de

almacenamiento. También imponen el cumplimiento de las ventas estimadas para cada período.

Capacidad de las máquinas envasadoras: en cada trimestre, la producción total de detergentes está

limitada por la capacidad de las máquinas envasadoras.

Se asume que en un día se trabaja a lo sumo 10 horas, la semana laboral es 5 días y un trimestre

tiene 13 semanas. Por lo tanto, la capacidad de producción de cada máquina es 650α litros en un

trimestre. Así, el proceso de envasado tiene una capacidad de 2.600α litros trimestrales.

N∑j=1

xjt + yjt ≤ 2.600α t = 1, ..., T.

Mano de obra disponible: la cantidad de operarios con que se

cuenta en un trimestre corresponde a la cantidad existente el

trimestre anterior, más los contratados y menos los despedidos, al

comienzo del trimestre.

wt = wt−1 + ut − vt t = 1, ..., T.

Limitaciones al número de trabajadores: se puede emplear a lo más LP operarios y al menos LO.

LO ≤ wt ≤ LP t = 1, ..., T.



Capacidad de la mano de obra en horario normal: en cada trimestre, la producción total de detergentes

en horario normal está limitada por la mano de obra disponible en el trimestre.

La mano de obra disponible en un trimestre, medida en horas-hombre, es la cantidad de operarios

multiplicada por el número de horas laborales en turno normal, en el trimestre, es decir,

8hr

dia× 5

dias

semana× 13

semanas

trimestre= 520

hr

trimestrepor operario.

Luego, la restricción es:N∑

j=1

xjt − 520 β wt ≤ 0 t = 1, ..., T.

Capacidad de la mano de obra en horas extra: en cada trimestre, la producción total de detergentes en

horas extraordinarias está limitada por la mano de obra adicional disponible en el trimestre.

En este caso las horas extra que se puede trabajar es un 20 % de las horas normales.

N∑j=1

yjt − 104 β wt ≤ 0 t = 1, ..., T.

Satisfacción de demanda y balance de producto: para cada

producto, en cada período, la cantidad elaborada, tanto en horario

normal como extra, más el inventario al inicio del período, debe ser

suficiente para satisfacer la venta estimada. Si es conveniente, se

deja inventario al final del período.

Ij,t−1 + xjt + yjt − Ijt = Fjt j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T.

Capacidad de almacenamiento: la cantidad total de producto que se puede dejar en inventario al final de

cada período es, a lo más, K litros.

N∑j=1

Ijt ≤ K t = 1, ..., T.

Naturaleza de las variables:

xjt, yjt, Ijt, wt, ut, vt ≥ 0 j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T.

La función objetivo consiste en minimizar el costo total, que está compuesto por el costo de

producción, de inventario, de contratación y de despido. A su vez, el costo de producción incluye la

producción en horario normal y en horas extra.

Min z =T∑

t=1

N∑j=1

(cjtxjt + djtyjt + hjtIjt) + γtut + δtvt

.¿Cómo cambia el modelo si existe la posibilidad de subcontratar parte del proceso de envasado?


PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 5: Mermeladas Los Ulmos

Los Ulmos es una empresa familiar que produce merme-

ladas y dulces artesanales, y se caracteriza por no usar preser-

vantes ni colorantes. Algunas de las mermeladas que elabo-

ran son tradicionales y otras muy innovadoras, como frutillas

con romero, duraznos a la lavanda, naranjas a la pimienta, y

otras. Para éstas últimas se prepara la misma base que para

las tradicionales, y luego se agregan los sabores y aromas, co-

mo romero y lavanda. Las mermeladas base son de seis tipos

de fruta: piña, frambuesa, durazno, frutilla damasco y mora.

Para que la mermelada tenga las características de sabor y du-

rabilidad que son necesarias para satisfacer las necesidades y

las preferencias de los consumidores, se requiere que la fruta

y el azúcar estén en la proporción establecida en las antiguas

recetas de la familia. Estas proporciones son:

- Mermelada de frambuesa: requiere una proporción de fruta y azúcar de 1 a 1.

- Mermelada de durazno: requiere una proporción de fruta y azúcar de 3 a 2.

- Mermelada de frutilla: requiere una proporción de fruta y azúcar de 3 a 4.

- Mermelada de damasco: requiere una proporción de fruta y azúcar de 2 a 4.

- Mermelada de mora: requiere una proporción de fruta y azúcar de 3 a 4.

- Mermelada de piña: requiere una proporción de fruta y azúcar de 2 a 3.

La fruta que se utiliza en la elaboración de las mermeladas proviene de tres predios que posee la

familia: El Matico, El Sauco y El Toronjil. Para esta temporada se ha estimado que se obtendrán las can-

tidades de fruta que se indican en la Tabla 1.61.

Cosecha estimada por predio (kilogramos)

Fruta El Matico El Sauco El Toronjil

Frambuesa 2.000 1.500 3.200

Durazno 4.500 3.200 2.400

Frutilla 800 1.800 2.600

Damasco 2.400 1.600 1.200

Mora 1.000 700 1.500

Tabla 1.61: Cosecha de frutas en Mermeladas Los Ulmos.

La piña se importa ya que no es posible cultivarla en la zona central de nuestro país por razones

climáticas y se han colocado pedidos por 3.600 kg.

La mermelada se procesa primero en una mezcladora, donde se adiciona el azúcar. Enseguida se

cocina a cierta temperatura en un hervidor de acero inoxidable. La empresa poseee dos hervidores, uno



más grande y moderno que el otro. El tiempo de procesamiento de cada tipo de mermelada (hr/kg) se

indica en la Tabla 1.62, junto con el número total de horas que se puede utilizar cada máquina y el costo

estimado de utilización.

Tiempo de Proceso (hr/kg de mermelada fabricada) Horas CostoFrambuesa Durazno Frutilla Damasco Mora Piña disponibles operación ($ /hr)

Mezcladora 0,8 0,7 0,4 0,5 0,3 0,5 4.500 350

Hervidor1 0,7 0,4 0,6 0,4 0,5 0,3 3.000 260

Hervidor2 0,6 0,6 0,5 0,6 0,5 0,4 1.400 220

Tabla 1.62: Tiempos de proceso de Mermeladas Los Ulmos.

El azúcar se adquiere de un mayorista a $ 280 el kg. El costo de las frutas no depende del predio de

donde procede. Los costos y precios de venta del producto final (mermeladas) se señalan en la Tabla 1.63.

Fruta Costo ($/kg) Precio Venta ($/kg)

Frambuesa 120 760

Durazno 98 700

Frutilla 135 850

Damasco 124 740

Mora 65 650

Piña 112 720

Tabla 1.63: Costo de frutas y precios de venta de Mermeladas Los Ulmos.

Los Ulmos necesita diseñar un plan de producción de mermeladas. Esto es, decidir cuánto producir

de cada tipo de mermelada y qué hervidor utilizar. Además, se debe tomar en cuenta la capacidad de las

máquinas y todas las limitaciones importantes, de manera se maximice la utilidad total. Para formular

un modelo que apoye el proceso de toma de decisiones, se definen las siguientes variables:

xi1 = cantidad de mermelada tipo i que se fabrica utilizando el Hervidor 1, i =1 (frambuesa),

2 (durazno), 3 (frutilla), 4 (damasco), 5 (mora), 6 (piña) [kg].

xi2 = cantidad de mermelada tipo i que se fabrica utilizando el Hervidor 2, i =1 (frambuesa),

2 (durazno), 3 (frutilla), 4 (damasco), 5 (mora), 6 (piña) [kg].

Restricciones

Cada tipo de mermelada requiere mezclar en una proporción particular la fruta y el azúcar. Además,

la cantidad de fruta disponible es limitada.

Disponibilidad de frambuesa: la cantidad de frambuesa utilizada en la elaboración de mermelada, no debe

superar la cantidad disponible (6.700 kg).

Es importante recordar que la proporción de fruta y azúcar en este caso es 1:1, es decir, para

producir un kilogramo de mermelada de frambuesa se necesita mezclar 0,5 kg de fruta y 0,5 kg de

azúcar, asumiendo que no hay pérdidas en la elaboración. Por ello, la restricción es:

12 (x11 + x12) ≤ 6.700.


PROBLEMAS RESUELTOS

Análogamente, las restricciones para las otras mermeladas son:

35 (x21 + x22) ≤ 10.100 (durazno),

37 (x31 + x32) ≤ 5.200 (frutilla),

26 (x41 + x42) ≤ 5.200 (damasco),

37 (x51 + x52) ≤ 3.200 (mora),

25 (x61 + x62) ≤ 3.600 (piña).

Disponibilidad de la máquina mezcladora: el tiempo de utilización de la mezcladora no debe superar el

tiempo disponible de dicha máquina.

0, 8(x11+x12)+0, 7(x21+x22)+0, 4(x31+x32)+0, 5(x41+x42)+0, 3(x51+x52)+0, 5(x61+x62) ≤ 4.500.

Utilización del Hervidor 1: el tiempo de utilización del Hervidor 1 no debe superar el tiempo disponible

de dicha máquina.

0, 7x11 + 0, 4x21 + 0, 6x31 + 0, 4x41 + 0, 5x51 + 0, 3x61 ≤ 3.000.

Utilización del Hervidor 2: el tiempo de utilización del Hervidor 2 no debe superar el tiempo disponible

de dicha máquina.

0, 6x11 + 0, 6x21 + 0, 5x31 + 0, 6x41 + 0, 5x51 + 0, 4x61 ≤ 1.400.


xij ≥ 0 i = 1, ..., 6; j = 1, 2.

Función objetivo

El objetivo es maximizar el beneficio que percibe Los Ulmos por la venta de sus mermeladas. El

beneficio es el ingreso por venta de productos menos el costo que implicó su elaboración, asumiendo

que se vende todo lo que se produce. En este caso, el costo de producción está dado por el costo de los

insumos principales: fruta y azúcar, y por el costo de utilización de las máquinas:

El ingreso, I , es:

I = 760(x11 + x12) + 700(x21 + x22) + 850(x31 + x32) + 740(x41 + x42) + 650(x51 + x52) + 720(x61 + x62).

Costo total = costo fruta + costo azúcar + costo utilización (mezcladora + Hervidor 1 + Hervidor 2)

El costo por fruta utilizada, CF , es:

CF = 12 · 120(x11 + x12) + 3

5 · 98(x21 + x22) + 37 · 135(x31 + x32) + 2

6 · 124(x41 + x42) + 37 · 65(x51 + x52)+

25 · 112(x61 + x62).

El costo por azúcar utilizada, CA, es:

CA = 280 · [ 12 (x11 + x12) + 25 (x21 + x22) + 4

7 (x31 + x32) + 46 (x41 + x42) + 4

7 (x51 + x52) + 35 (x61 + x62)].



El costo de utilización de la mezcladora, CM , es:

CM = 350 · [0, 8(x11 + x12) + 0, 7(x21 + x22) + 0, 4(x31 + x32) + 0, 5(x41 + x42) + 0, 3(x51 + x52)+

0, 5(x61 + x62)].

El costo de utilización del Hervidor 1, CH1, es:

CH1 = 260 · [0, 7x11 + 0, 4x21 + 0, 6x31 + 0, 4x41 + 0, 5x51 + 0, 3x61].

El costo de utilización del Hervidor 2, CH2, es:

CH2 = 220 · [0, 6x12 + 0, 6x22 + 0, 5x32 + 0, 6x42 + 0, 5x52 + 0, 4x62].

De modo que la función objetivo es:

Max z = I − (CF + CA + CM + CH1 + CH2).

La solución óptima del modelo es x∗31 = 2.700, x∗32 = 2.800, x∗61 = 4.600 y z∗ = 3.404.505, 7. Por lo

tanto, el plan de producción óptimo consiste en elaborar 3.500 kg de mermelada de frutilla y 4.600 kg

de mermelada de piña. De éstos, 2.700 kg de mermelada de frutilla se deben producir en el Hervidor 1,

al igual que la de piña. Los restantes 2.800 kg de frutilla se preparan en el Hervidor 2. De esta manera

el beneficio total, si se vende todo lo producido, es $ 3.404.506. Por otra parte, se utilizan todas la horas

disponibles de las tres máquinas. Además, se necesitan 4.983 kg de azúcar, 2.357 kg de frutilla y 1.840

kg de piña.

De lo anterior, se deduce que la fruta que ya está plantada y que no se dedicará a la producción de

mermeladas, se puede utilizar en la fabricación de otros productos.

Problema 6: Refinería La Lenga

Silverio Olivo es el gerente de Producción de una refinería

de petróleo situada en la zona norte. La refinería produce

tres tipos de bencinas que vende a pequeños distribuidores

independientes. La refinería hace contratos a largo plazo con

sus clientes y se enorgullece de hacer despachos diarios de

acuerdo al plan de ventas. Para producir los tres tipos de

bencinas, generalmente, utiliza tres tipos de petróleo crudo,

importados de diferentes puntos del globo. Para ello dispone

de cierto inventario en estanques ubicados en Quintero, que

son de su propiedad y pueden proveerle diariamente hasta

8.000 barriles de crudo 1, 5.000 de crudo 2 y 7.000 barriles de

crudo 3. El departamento Comercial negocia los volúmenes de

venta semestral a sus clientes.

Olivo sabe que se enfrenta a un problema de mezcla, en

los cuales dos o más materias primas son combinadas para formar uno o más productos terminados,


Carmen

Rectangle

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 7: Emparedados Arándanos

Timoteo Aranda, dueño de Emparedados Arándanos,

provee a los casinos y cafeterías de varias universidades de sus

innovadores productos. Éstos han tenido una gran aceptación

entre el alumnado. El chef le ha propuesto un nuevo em-

paredado de pan integral con toques macrobióticos, es decir,

con cereales y frutos secos. Los ingredientes que ha consi-

derado son: queso de cabra, atún, almendras, pasas, nueces,

lechuga, palta y tomate. El emparedado debe pesar al menos

150 gramos, descontando el pan. Su precio es $ 1.200, puesto

que su política es que todos los emparedados se vendan al

mismo valor.

Las características nutricionales fijadas para cada emparedado son: la energía debe ser a lo más 480

Kcal, el contenido de proteína debe estar entre 15 y 20 gramos, las grasas no deben superar los 15 gramos,

y la cantidad de hidratos de carbono debe ser a lo más 18 gramos. La Tabla 1.66 muestra el contenido de

energía, proteína, grasas y carbohidratos, en gramos por cada 100 gramos de cada ingrediente, así como

el precio por kilogramo. El costo del pan se estima en $ 60 por emparedado (dos rebanadas).

Ingrediente Precio Energía Proteína Grasas Carbohidratos($ /kg) (Kcal) (gr) (gr) (gr)

Queso de cabra 3.400 208 11,0 17,0 1,0

Atún 3.600 226 21,0 15,5 0,0

Almendras 9.500 610 18,5 54,0 5,3

Pasas 7.200 310 2,4 0,5 70,0

Nueces 12.400 650 14,0 62,5 4,4

Lechuga 3.200 20 1,3 0,5 1,5

Palta 800 233 1,8 23,5 0,4

Tomate 560 23 0,8 0,2 3,5

Tabla 1.66: Características nutricionales de ingredientes.

Debido a que los frutos secos tienen muchas calorías se ha decidido limitar su contenido a un máximo

de 25 gramos. Sin embargo, como éstos le darán un sabor especial al producto, el chef ha recomendado

que se incluya uno o más frutos secos, y que en conjunto sumen al menos 15 gramos. Además, por

razones de estética y salud, el emparedado debe incluir por lo menos 6 gramos de lechuga (una hoja,

aproximadamente) y a lo más 50 gramos de tomate (entre dos y tres rebanadas medianas).

Para formular un modelo que permita establecer la composición que deben tener los emparedados,

se toma como base un solo emparedado. Se definen las siguientes variables de decisión son:

xj = cantidad del ingrediente j que se debe incorporar en un emparedado, [gramos],

con j = 1 (queso de cabra), 2 (atún), ..., 8 (tomate).



Las restricciones se refieren a las características que debe tener el emparedado.

Peso total: el peso del emparedado debe ser al menos 150 gramos.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 ≥ 150.

Contenido de energía: un emparedado debe tener a lo más 480 kilocalorías.

Dado que 100 gramos de, por ejemplo, atún tienen 226 Kcal, bajo el supuesto de linealidad, un

gramo de atún tiene 2,26 Kcal. Luego, la condición que limita la energía del emparedado es:

2, 08x1 + 2, 26x2 + 6, 10x3 + 3, 10x4 + 6, 50x5 + 0, 20x6 + 2, 33x7 + 0, 23x8 ≤ 480.

Contenido de proteína: un emparedado debe tener entre 15 y 20 gramos de proteína.

0, 11x1 + 0, 21x2 + 0, 185x3 + 0, 024x4 + 0, 14x5 + 0, 013x6 + 0, 018x7 + 0, 008x8 ≥ 15.

0, 11x1 + 0, 21x2 + 0, 185x3 + 0, 024x4 + 0, 14x5 + 0, 013x6 + 0, 018x7 + 0, 008x8 ≤ 20.

Para tener valores númericos con menos decimales, se puede multiplicar cada restricción por 100.

11x1 + 21x2 + 18, 5x3 + 2, 4x4 + 14x5 + 1, 3x6 + 1, 8x7 + 0, 8x8 ≥ 1.500.

11x1 + 21x2 + 18, 5x3 + 2, 4x4 + 14x5 + 1, 3x6 + 1, 8x7 + 0, 8x8 ≤ 2.000.

Contenido de grasas: un emparedado debe tener a lo más 15 gramos de grasas.

17x1 + 15, 8x2 + 54x3 + 0, 5x4 + 62, 5x5 + 0, 5x6 + 23, 5x7 + 0, 2x8 ≤ 1.500.

Contenido de carbohidratos: un emparedado debe tener a lo más 18 gramos de carbohidratos.

x1 + 5, 3x3 + 70x4 + 4, 4x5 + 1, 5x6 + 0, 4x7 + 3, 5x8 ≤ 1.800.

Contenido de frutos secos: un emparedado debe tener al menos 15 gramos de frutos secos y a lo más 25

gramos.

15 ≤ x3 + x4 + x5 ≤ 25.

Contenido de lechuga: un emparedado debe incluir al menos 6 gramos de lechuga.

x6 ≥ 6.

Contenido de tomate: un emparedado debe tener a lo más 50 gramos de tomate.

x8 ≤ 50.


x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 ≥ 0.

Dado que el precio de venta está predeterminado, para maximizar utilidades se debe minimizar el

costo. Éste tiene una componente fija, debido al costo del pan y otra variable por los ingredientes. Luego,

el modelo que minimiza el costo variable de un emparedado es:


PROBLEMAS RESUELTOS

Min z = 3, 4x1 + 3, 6x2 + 9, 5x3 + 7, 2x4 + 12, 4x5 + 3, 2x6 + 0, 8x7 + 0, 56x8.

s.a.

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 ≥ 150

2, 08x1 + 2, 26x2 + 6, 10x3 + 3, 10x4 + 6, 50x5 + 0, 20x6 + 2, 33x7 + 0, 23x8 ≤ 480

11x1 + 21x2 + 18, 5x3 + 2, 4x4 + 14x5 + 1, 3x6 + 1, 8x7 + 0, 8x8 ≥ 1.500

11x1 + 21x2 + 18, 5x3 + 2, 4x4 + 14x5 + 1, 3x6 + 1, 8x7 + 0, 8x8 ≤ 2.000

17x1 + 15, 8x2 + 54x3 + 0, 5x4 + 62, 5x5 + 0, 5x6 + 23, 5x7 + 0, 2x8 ≤ 1.500

x1 + 5, 3x3 + 70x4 + 4, 4x5 + 1, 5x6 + 0, 4x7 + 3, 5x8 ≤ 1.800

x3 + x4 + x5 ≥ 15

x3 + x4 + x5 ≤ 25

x6 ≥ 6

x8 ≤ 50

x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8 ≥ 0.

La solucion del modelo es x∗2 = 64, 2, x∗3 = 2, 6, x∗4 = 12, 4, x∗6 = 6, 0 x∗7 = 14, 8 x∗8 = 50, 0 y

x∗1 = x∗5 = 0, con valor óptimo z∗ = 404, 07.

Por lo tanto, la solución del problema, es decir, la composición de cada emparedado es: 64,2 gr de

atún, 2,6 gr de almendras, 12,4 gr de pasas, 6,0 gr de lechuga, 14,8 gr de palta y 50 gr de tomate.

Además, los ingredientes pesan 150 gr, lo que se debe sumar al pan para tener el peso total. Contiene

246,4 Kcal, 15 gr de proteina (el mínimo establecido), 15 gr de grasas (igual al máximo permitido), 15

gr de carbohidratos (menor que el máximo fijado), 15 gr de frutos secos que corresponde al mínimo

recomendado, y de los cuales 2,6 gr son almendras y 12,4 gr de pasas. Las cantidades de lechuga y el

tomate son el mínimo requerido.

El costo de los ingredientes es $ 404,07, lo que implica que el costo total de los insumos, agregando

el pan, es 404,1+60 = $ 464,1. De modo que la utilidad, por emparedado es $ 735,9 ≈ $736.

Es importante observar que la cantidad de cada ingrediente está expresada en gramos, que es una

unidad muy pequeña para considerar decimales, en la práctica. Especialmente, si se piensa en el proceso

de producción de un gran volumen de emparedados. Una opción es redondear los valores fraccionarios.

Así, la composición del emparedado sería 64 gr de atún, 3 gr de almendras, 12 gr de pasas, 6 gr de

lechuga, 15 gr de palta y 50 gr de tomate. Esta solución cumple todas las restricciones, excepto la del

contenido de grasas. En efecto, las grasas de esta composición suman 15,255 gr, y el máximo establecido

es 15. Si se considera que la desviación de 0,255 gr no es significativa, esta solución sería aceptable. El

costo variable es $ 404,5, muy similar al valor anterior.

Otra alternativa es agregar explicítamente la restricción de integralidad de las variables. En este

caso, la solución que se obtiene, aplicando técnicas para resolución de modelos lineales enteros como

Ramificación y Acotamiento, es la siguiente: x∗2 = 65, x∗3 = 2, x∗4 = 13, x∗6 = 6 x∗7 = 14 x∗8 = 50 y

z∗ = 405. Esto es, 65 gr de atún, 2 gr de almendras, 13 gr de pasas, 6 gr de lechuga, 14 gr de palta y 50

gr de tomate. El costo total es $ 405 +60 = $ 465.



Problema 10: Semillas Pistacho

Semillas Pistacho es una empresa cuyo objetivo es pro-

ducir y comercializar semillas de hortalizas, de alta calidad,

destinadas a la agroindustria. Actualmente, ofrece al merca-

do cientos de variedades de semillas, entre las que se pueden

mencionar bulbos y raíces como zanahoria y cebolla; cucur-

bitáceas como el melón, sandía, zapallo y pepino; solanaceas

como pimiento, tomate y ají; y semillas grandes, entre las que

se incluye poroto, arveja y maíz. El Departamento de Desa-

rrollo de Tecnología da asistencia técnica a los agricultores,

ayudándolos así a aumentar su productividad y rentabilidad.

En los predios de cultivo, las semillas masculinas y femeninas se plantan una al lado de la otra.

Cuando las plantas florecen, se polinizan de forma cruzada para producir el fruto. Cuando éste madura,

se cosecha y se extraen las semillas. Desde las plantaciones, las semillas son enviadas a alguna de las

plantas donde son preparadas para la venta.

Pistacho tiene tres plantas procesadoras: Pistacho-Egina, Pistacho-Sirona y Pistacho-Askar, donde las

semillas se secan, clasifican según el tamaño, y someten a rigurosas pruebas de calidad. Las semillas se

almacenan en contenedores a granel bajo condiciones controladas. Se empacan a pedido de acuerdo con

las especificaciones de los clientes. Una vez embaladas se envian a los centros de distrbución que se

encargan de la venta a los productores comerciales de hortalizas, que constituyen la gran mayoría de los

clientes.

El próximo mes, la Sección Cucurbitáceas debe comercializar semillas de melón, pepino y sandía. Se

han recibido los pedidos de los centros de distribución que muestra la Tabla 1.71 junto con la capacidad

de proceso (embalaje) de las plantas.

Capacidad de proceso (ton/mes)

Planta Melón Pepino Sandía Conjunta

Pistacho-Egina 360 180 320 740

Pistacho-Sirona 250 420 280 820

Pistacho-Askar 240 200 310 600

Pedidos (ton)

CD1 260 120 240 620

CD2 170 200 180 550

CD3 180 100 130 410

CD4 120 150 130 400

Tabla 1.71: Capacidad de proceso y pedidos de Semillas Pistacho.

Es importante notar que la capacidad total de proceso se refiere al conjunto de semillas y es inferior

a la suma de las capacidades por producto. Esto se debe a que la capacidad es una cota superior.


PROBLEMAS RESUELTOS

La Tabla 1.72 señala las distancias entre las plantas y los centros de distribución.

Distancias ( km)

Planta Centro de distribuciónCD1 CD2 CD3 CD4

Pistacho-Egina 120 160 200 280

Pistacho-Sirona 180 130 210 320

Pistacho-Askar 300 240 150 80

Tabla 1.72: Distancias de plantas a centros de distribución de Semillas Pistacho.

El costo de transporte se ha estimado en $50 por tonelada-kilómetro. Por lo tanto, los costos unitarios

de transporte, en miles de pesos por tonelada, son los indicados en la Tabla 1.73.

Costos de transporte (M$/ton)

Planta Centro de distribuciónCD1 CD2 CD3 CD4

Pistacho-Egina 6.000 8.000 10.000 14.000

Pistacho-Sirona 9.000 6.500 1.500 16.000

Pistacho-Askar 15.000 12.000 7.500 4.000

Tabla 1.73: Costos de transporte de Semillas Pistacho.

Se observa que este es un problema de transporte (o distribución) de varios productos, es decir,

multiproducto. Para diseñar un plan de distribución que mimimice el costo total, se construye un

modelo de programación lineal. Las variables de decisión del modelo establecen la cantidad de cada

producto que debe enviar cada planta a cada centro. Luego, se define:

xijk = cantidad de semilla tipo k que debe enviar la planta i al centro de distribución j [toneladas],

con i = 1 (Pistacho-Egina), 2 (Pistacho-Sirona), 3 (Pistacho-Askar); j =1 (CD1), 2 (CD2), 3 (CD3),

4 (CD4); k = 1 (melón), 2 (pepino), 3 (sandía).

Las restricciones para cada uno de los tres productos son similares a las del problema anterior,

Arrocera Quillayes.

Semilla de melón (k = 1):

Capacidad de proceso (embalaje) de las plantas, por producto: la cantidad total de semilla de melón

despachada por cada planta, en el mes, no puede exceder su capacidad.

x111 + x121 + x131 + x141 ≤ 360 (Planta Pistacho-Egina),

x211 + x221 + x231 + x241 ≤ 250 (Planta Pistacho-Sirona),

x311 + x321 + x331 + x341 ≤ 240 (Planta Pistacho-Askar).

Satisfacción de pedidos de semilla de melón de los centros de distribución: la cantidad total de

semilla de melón recibida por cada centro de distribución, en el mes, debe ser igual a la solicitada.



x111 + x211 + x311 = 260 (Centro CD1),

x121 + x221 + x321 = 170 (Centro CD2),

x131 + x231 + x331 = 180 (Centro CD3),

x141 + x241 + x341 = 120 (Centro CD4).

Semilla de pepino (k = 2):



x312 + x322 + x332 + x342 ≤ 200 (Planta Pistacho-Askar),

x112 + x212 + x312 = 120 (Centro CD1),

x122 + x222 + x322 = 200 (Centro CD2),

x132 + x232 + x332 = 100 (Centro CD3),

x142 + x242 + x342 = 150 (Centro CD4).

Semilla de sandía (k = 3):



x313 + x323 + x333 + x343 ≤ 310 (Planta Pistacho-Askar),

x113 + x213 + x313 = 240 (Centro CD1),

x123 + x223 + x323 = 180 (Centro CD2),

x133 + x233 + x333 = 130 (Centro CD3),

x143 + x243 + x343 = 130 (Centro CD4).

Naturaleza de las variables

xijk ≥ 0 i = 1, 2, 3; j = 1, .., 4; k = 1, 2, 3.

Con las restricciones anteriores, el problema es separable, esto es, se puede establecer un modelo para

cada producto. Así, se tendrían tres modelos . Esto es válido si los productos se manejan en forma in-

dependiente, unos de otros. Sin embargo, en este caso existe una capacidad de proceso conjunta en las

plantas que involucra a todos los productos. La restricción correspondiente, para cada planta es:

Planta Pistacho-Egina: x111+x121+x131+x141+x112+x122+x132+x142+x113+x123+x133+x143 ≤ 740,

Planta Pistacho-Sirona: x211+x221+x231+x241+x212+x222+x232+x242+x213+x223+x233+x243 ≤ 820,

Planta Pistacho-Askar: x311+x321+x331+x341+x312+x322+x332+x342+x313+x323+x333+x343 ≤ 600.


PROBLEMAS RESUELTOS

Figura 1.131: Modelo gráfico de Semillas Pistacho.

La Figura 1.131 muestra un modelo gráfi-

co del problema de distribución multipro-

ducto, donde se indican los posibles flujos de

semillas entre plantas y centros de distribu-

ción. Nótese que tanto las capacidades como

los pedidos son diferentes para los distintos

tipos de semilla. También los envios de pro-

ductos deben ser individualizados, puesto

que si, por ejemplo, se ha vendido semilla de

pepino a un cliente, no se le puede mandar

semilla de melón o de sandía.

La función objetivo consiste en minimizar el costo de transporte entre las plantas procesadoras y los

centros de distribución:

Min z =3∑

i=1

4∑j=1

3∑k=1

cijxijk.

donde los coeficientes cij son los señalados en la Tabla 1.73 y no dependen del tipo de producto.

La Figura 1.132 muestra la solución del pro-

blema. Se observa que la planta Pistacho- Egi-

na satisface el total de pedidos de CD1, de los

tres tipos de semillas. También envia de to-

das las semillas al CD3, pero este centro recibe

además, semilla de pepino de Pistacho-Sirona

y de melón y sandía de Pistacho- Askar. Por

su parte, los pedidos del centro CD2 son aten-

didos completamente por la planta Pistacho-

Sirona. El centro CD4 sólo recibe productos de

Pistacho-Askar.

Las plantas Pistacho-Egina y Pistacho Askar

utilizan toda su capacidad de proceso, en cam-

bio Pistacho-Sirona tiene 22 % de capacidad

ociosa.Figura 1.132: Solución óptima de Semillas Pistacho.

En este caso, se tiene que todas las plantas procesan los tres tipos de semillas ¿cómo incorporaría

al modelo la condición que Pistacho-Egina sólo trabaja con semillas de melón y sandía?, ¿cuál sería la

solución para esta situación?


PROBLEMAS RESUELTOS

La solución óptima del modelo es: x∗1 = x∗2 = x∗4 = 1 y x∗3 = 0. El valor óptimo es z∗ = 3.450.000.

Esto significa que las promociones que se deben ofrecer para obtener el máximo beneficio son crespón1,

crespón2 y crespón4. La utilidad total es $ 3.450.000. Estos paquetes utilizan 30 horas de drenaje linfáti-

co, 43 horas de masaje corporal y crioterapia, y 69 horas de ultrasonido y radiofrecuencia. De manera

que se tienen 15 horas ociosas de drenaje linfático, 7 horas de masaje corporal y crioterapia, y 6 horas de

ultrasonido y radiofrecuencia.

Nótese que todas las restricciones tienen holgura positiva. Esto no ocurre en programación lineal

continua, sin embargo es perfectamente posible cuando se trata de problemas enteros o binarios. Como

en este caso cada paquete promocional está formado por un conjunto de cupones, cada uno con varias

sesiones, las horas ociosas (holgura) podrían utilizarse en sesiones de paquetes vendidos en forma indi-

vidual y directa (no mediante Cuponcito).

Problema 15: Constructora Abeto Andino

La constructora Abeto Andino Ltda. tiene una larga tradi-

ción y experiencia en el sector inmobiliario, especialmente en

viviendas y centros comerciales. Las operaciones de la empre-

sa se encuentran ubicadas en cuatro regiones del país. Las ac-

tividades que realizan incluyen: selección de terrenos; desa-

rrollo y gestión de proyectos; construcción; venta y comercia-

lización, entre otras.

Los socios han estimado conveniente intensificar su pre-

sencia en la región El Olivar y para ello han decidido invertir

allí $ 2.500 millones anuales durante los próximos tres años.

El Departamento de Estudios ha seleccionado cinco posibles

proyectos para la región de interés. Cada uno de ellos tiene

una duración de tres años. La Tabla 1.76 resume la inversión

anual que requiere cada proyecto y la rentabilidad estimada.

Proyecto Inversión anual Rentabilidad(millones de $) (millones de $)

Año 1 Año 2 Año 3

Olivo Rojo 500 100 800 1.800

Olivo Blanco 400 700 1.000 4.000

Olivo Verde 300 900 200 2.000

Olivo Negro 700 400 100 1.500

Olivo Azul 800 600 1.000 3.000

Presupuesto 2.500 2.500 2.500

Tabla 1.76: Proyectos Constructora Abeto Andino.


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Nótese que si un proyecto es seleccionado, su ejecución toma tres años. Por lo tanto, no es posible

elegirlo por uno o dos años solamente.

Se definen las siguientes variables decisión:

xj =

{1 si se selecciona el proyecto j

0 caso contrarioj = 1, .., 5, donde 1 = Olivo Rojo, 2 = Olivo Blanco, ..., 5 = Olivo Azul.

El modelo que maximiza la rentabilidad estimada total, sin exceder el presupuesto anual es:

Max z = 1.800x1 + 4.000x2 + 2.000x3 + 1.500x4 + 3.000x5

s.a.

500x1 + 400x2 + 300x3 + 700x4 + 800x5 ≤ 2.500 (año 1)

100x1 + 700x2 + 900x3 + 400x4 + 600x5 ≤ 2.500 (año 2)

800x1 + 1.000x2 + 200x3 + 100x4 + 1.000x5 ≤ 2.500 (año 3).

xj ∈ {0, 1} j = 1, ..., 5.

Nótese que el problema corresponde a uno de mochila multidimensional, donde cada presupuesto

anual es una mochila y cada proyecto es un artículo que puede o no ser seleccionado.

La solución óptima del modelo es x∗2 = x∗3 = x∗5 = 1, las otras variables tienen valor 0, y z∗ = 9.000.

Es decir, los proyectos que conviene seleccionar son: Olivar Blanco, Olivar Verde y Olivar Azul. La in-

versión es $ 1.500 millones el año 1, $ 2.200 millones el año 2 y $ 2.200 millones el año 3. Esto es, la

inversión total del período es $ 5.900 millones y la rentabilidad total estimada es $ 9.000 millones.

Problema 16: Taller de Mecanizado El Belloto

El Belloto es un taller de mecanizado fundado en la década

de los 60’s por Felipe Lauro, que trabajando como tornero

en otra empresa durante varios años, vio la oportunidad

de ofrecer soluciones innovadoras a las necesidades de los

clientes. La actividad principal que desarrolla es mecanizado y

conformado de piezas en torno. Disponen de maquinaria para

fabricar pequeñas series, y también prototipos y muestras en

diversos materiales: hierro, acero, latón, aluminio, pvc, teflón,

cobre, etc. También dan asesoría técnica en proyectos.

La calidad es un pilar fundamental para El Belloto que cuenta con certificación ISO. Por ello realizan

un riguroso control a todos los procesos, para así garantizar un producto y servicio ágil y eficaz. En

particular, el negocio se caracteriza por la rapidez de entrega de los trabajos.


PROBLEMAS RESUELTOS

Un cliente ha traído cinco series de piezas cuyos códigos de identificación son: SS1-C, SS2-W, SS3-F,

SS4-A y SS5-T. Se requiere organizar la ejecución de estos trabajos, para lo que se dispone de cinco tornos

denominados: ST45-A, TA87-XZ, BG62-H, FU-458 y MM75-V. Los tiempos de proceso de cada serie en

los diversos tornos se muestran en la Tabla1.77.

Tiempos de proceso (horas)

Serie TornosST45-A TA87-XZ BG62-H U-458 MM75-V

SS1-C 4,0 5,2 3,6 4,8 6,0

SS2-W 6,4 4,5 8,6 7,5 9,2

SS3-F 2,5 1,8 3,0 2,8 2,4

SS4-A 8,5 6,5 7,6 7,0 8,2

SS5-T 5,8 7,5 5,2 6,6 5,5

Tabla 1.77: Tiempos de proceso de Taller de Mecanizado El Belloto.

Las variables decisión son las siguientes:

xij =

{1 si la serie i se asigna al torno j

0 caso contrarioi = 1, ..., 5, donde 1 = SS1-C, 2 = SS2-W, 3= SS3-F, 4 = SS4-A, 5 = SS5-T;

j = 1, ..., 5, con 1 = ST45-A, 2 = TA87-XZ, 3 = BG62-H, 4 = FU-458 y 5 = MM75-V.

El modelo tiene 25 variables, todas binarias.

Las restricciones deben asegurar que cada trabajo es asignado a un torno y cada torno ejecuta un

trabajo. En efecto,

Cada serie de trabajos debe ser asignada a un (y sólo a un) torno:

serie SS1-C: x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 1,

serie SS2-W: x21 + x22 + x23 + x24 + x25 = 1,

serie SS3-F: x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 1,

serie SS4-A: x41 + x42 + x43 + x44 + x45 = 1,

serie SS5-T: x51 + x52 + x53 + x54 + x55 = 1.



Cada torno debe ejecutar una (y sólo una) de las series:

torno ST45-A: x11 + x21 + x31 + x41 + x51 = 1,

torno TA87-XZ: x12 + x22 + x32 + x42 + x52 = 1,

torno BG62-H: x13 + x23 + x33 + x43 + x53 = 1,

torno FU-458: x14 + x24 + x34 + x44 + x54 = 1,

torno MM75-V: x15 + x25 + x35 + x45 + x55 = 1.


xij ∈ {0, 1} i, j = 1, ..., 5.

El modelo minimiza el tiempo de ejecución del conjunto de trabajos. Luego, la función objetivo es:

Min z = 4, 0x11 + 5, 2x12 + 3, 6x13 + 4, 8x14 + 6, 0x15 +

6, 4x21 + 4, 5x22 + 8, 6x23 + 7, 5x24 + 9, 2x25 +

2, 5x31 + 1, 8x32 + 3, 0x33 + 2, 8x34 + 2, 4x35 +

8, 5x41 + 6, 5x42 + 7, 6x43 + 7, 0x44 + 8, 2x45 +

5, 8x51 + 7, 5x52 + 5, 2x53 + 6, 6x54 + 5, 5x55.

La solución óptima del modelo es x∗13 = x∗22 = x∗31 = x∗44 = x∗55 = 1, las otras variables tienen valor

0, y z∗ = 23, 1. Esto implica que la solución del problema, es decir, la asignación de los trabajos a los

tornos debe ser como muestra la Tabla 1.78.

Trabajo Torno Tiempo de ejecución (horas)

SS1-C BG62-H 3,6

SS2-W TA87-XZ 4,5

SS3-F ST45-A 2,5

SS4-A FU-458 7,0

SS5-T MM75-V 5,5

Tabla 1.78: Asignación óptima de trabajos de El Belloto.

El tiempo total de ejecución es 23,1 horas-máquina. Esto se refiere a la suma de los tiempos de proceso

de los cinco trabajos. Sin embargo, ya que hay cinco trabajos y cinco tornos, la ejecución se realiza en

paralelo. El pedido con las cinco series estará listo para ser entregado en 7,0 horas. Este es el mayor

tiempo de ejecución, que corresponde a la serie SS4-A que será realizada por el torno FU-458.


PROBLEMAS PROPUESTOS

Problema 5: Detergentes Paulonia

Paulonia Ltda. es una empresa que se dedica a comercializar

detergentes importados de uso doméstico. La sección alfombras

trabaja con dos tipos de detergentes: en polvo y líquido. La

empresa compra los productos a granel, en grandes cantidades,

a los productores en el exterior y lo envasa en formatos de menor

tamaño.

En el proceso de envasado intervienen máquinas y mano de

obra. Se dispone de tres máquinas para envasar y etiquetar los

detergentes en polvo, cada una de ellas puede trabajar hasta

200 horas mensuales. El costo de operación de estas máquinas

se ha estimado en $500 por hora-máquina (hm). También se

dispone de una máquina para envasar y etiquetar el detergente líquido que puede trabajar hasta 120

horas mensuales y su costo estimado de operación es de $480 por hm. La Tabla 1.117 muestra los

requerimientos de envasadora y de mano de obra de cada tipo de producto, expresados en hora-

máquina (hm) por tonelada y horas-hombre (hh) por tonelada para los productos en polvo y por kilolitro

(kl) para los líquidos.

Detergente Envasadora Mano de obra

Polvo 2,5 (hm/ ton) 2,5 (hh/ ton)

Líquido 4,0 (hm/ kl) 1,5 (hh/ kl)

Tabla 1.117: Requerimientos de Detergentes Paulonia.

La sección envasado cuenta con 4 operarios. La jornada de trabajo es 8 horas diarias, y para efectos

de planificación se considera que un mes laboral tiene 20 días. Cada operario puede trabajar hasta 30

horas extraordinarias por mes. El salario en horario normal es $1.200 / hh y las horas extraordinarias

cuestan un 50 % más.

La bodega de productos terminados de la empresa tiene una capacidad de 60 toneladas. El costo de

almacenar es $400 por mes-ton. Un litro de detergente líquido pesa 1 kg aproximadamente. Al inicio de

Julio no hay inventario de ningún producto. La Tabla 1.118 indica la demanda que se ha estimado para

el segundo semestre del año.

Detergente Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Polvo (ton) 120 130 240 280 260 200

Líquido (kl) 35 40 40 45 40 35

Tabla 1.118: Demanda de Detergentes Paulonia.

El gerente de Operaciones le ha pedido a Ud. que lo asesore en la elaboración de un plan de

producción para el periodo de 6 meses indicado que minimice los costos totales asociados al proceso

de envasado de detergentes.

a) Construya la caja negra del problema.


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Diseñe un plan de producción utilizando un modelo de programación lineal. Elabore


Problema 10: Productos Los Maitenes

Los Maitenes S.A. es una reconocida marca de aderezos

para comidas, como ketchup, mostaza y mayonesa, entre

otros. Su producto principal es la mayonesa. La empresa

tiene M plantas productoras, ubicadas en diferentes países

de Latinoamérica. La capacidad de producción mensual de

mayonesa en la planta i es Gi toneladas, i = 1, ...,M .

El producto se envia desde las plantas, a P centros de

distribución, donde se colocan las etiquetas y sellos de calidad,

y desde allí se abastece a N clientes ubicados en diferentes

países. Se necesita confeccionar un plan de distribución para

un horizonte de T meses. La demanda estimada del cliente j

en el mes t es djt toneladas, j = 1, ..., N ; t = 1, ..., T.

El costo unitario de producción en la planta i en el mes t es cit. Sólo los centros de distribución

cuentan con infraestructura apropiada para mantener inventario de un mes a otro. El costo unitario de

mantención de inventario de un mes al siguiente es Fkt, k = 1, ..., P ; t = 1, ..., T. No se incurre en este

costo si la mayonesa se recibe y despacha en un mismo mes. La capacidad de almacenamiento de la

bodega del centro de distribución k es wk toneladas, k = 1, ..., P. Por otra parte, el costo unitario de

transporte desde la planta i a la centro de distribución k en el periodo t es rikt y desde el centro k hasta

el cliente j, también en el período t, es skjt.

a) Elabore un modelo gráfico de la situación planteada, incluyendo parámetros y variables de

decisión.

b) Formule un modelo de programación lineal que apoye la elaboración de un plan de producción y

transporte de mayonesa para los T meses del horizonte, de manera de minimizar los costos totales.

Problema 11: Cervecería Lúpulo

La fabricación de cerveza de manera artesanal en pequeñas

plantas, ha proliferado en los últimos años. Una de las razones

de este fenómeno es la simplicidad del proceso. El primer paso

es el macerado que consiste en mezclar agua y cebada maltea-

da molida. La mezcla se somete a ciertos protocolos de tem-

peratura. Terminado el proceso de macerado se separan los

granos del líquido mediante un filtro. El resultado es un líqui-

do dulzón llamado mosto. El mosto es llevado a una marmita

donde se produce la cocción, que dura entre 7 y 8 horas. Allí

se le añade lúpulo que aporta amargor y aromas, y azúcar. A

la salida de la cocción, el mosto es enfriado rápidamente y lle-

vado a estanques especiales para producir la fermentación, al

agregar levadura, que tiene la particularidad de transformar

el azúcar en alcohol, generar gas carbónico y calor. La levadura le imprime el sabor y aroma caracterís-



cantidad total de cerveza (considerando todos los tipos) que puede fabricar la planta j es Kj litros

por mes, j=1, 2, 3, 4. El costo de producción de la cerveza i en la planta j en el mes t es Gijt por litro.

Se ha estimado que la demanda de cerveza tipo i de la tienda k para el mes t es dikt cajas. Para

absorber las variaciones estacionales de la demanda, la política es producir y almacenar en las bodegas

de cada planta la cerveza envasada en cajas de 12 botellas de 250 cc cada una. La bodega de la planta j

puede almacenar hasta Ej cajas. Obviamente esto representa un costo, pero le permite tener inventario

suficiente para períodos de alta demanda. El costo de almacenar una caja durante un mes en la bodega

de la planta j es hjt.

Cervecería Lúpulo ha tercerizado la distribución de su producto. De las plantas salen, diariamente,

varios camiones pequeños que entregan directamente a las tiendas. El contrato con las empresas de

transporte estipula un costo variable que depende la cantidad transportada más un costo fijo por viaje.

El costo variable es Cjkt por caja transportada desde la planta j a la tienda k en el mes t y Fjkt es el costo

fijo correspondiente.

a) Construya un modelo gráfico de relaciones entre los parámetros y las variables de decisión.

b) Formule un modelo de permita diseñar un plan de producción y distribución de cerveza para los

próximos cuatro meses.

Problema 12: Naviera Arrayán Florecido Ltda.

La naviera Arrayan Florecido Ltda. transporta contene-

dores de 1 y 2 TEU’s y otras cargas en varias rutas. Se

ha recibido un conjunto importante de cargas para la ru-

ta Valparaíso-Filadelfia. La primera nave que hará esta ruta

es el Arrayan X, uno de sus buques portacontenedores, que

tiene una capacidad de 1.600 TEU 20. La Tabla 1.124 mues-

tra el número de contenedores de las cargas recibidas, jun-

to con el beneficio asociado a cada una. Los contenedores

son todos de 1 TEU. Claramente, la capacidad de este buque

sólo permite embarcar algunas cargas. las otras deberán en-

viarse en el buque siguiente. Las cargas no se pueden frac-

cionar.

Carga C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7

Contenedores 368 280 184 522 352 274 390

Utilidad (US$) 2.500 2.180 2.240 4.840 2.560 1.860 2.680

Tabla 1.124: Cargas de Naviera Arrayán Florecido.

201 TEU corresponde a contenedor de 20 pies de largo


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PROBLEMAS PROPUESTOS

a) Construya la caja negra del problema.

b) Formule un modelo de programación lineal que permita establecer el mejor plan de carga para

el próximo viaje. Resuélvalo aplicando alguna herramienta computacional adecuada y analice la

solución.

c) Determine cómo cambia la solución si se consideran las siguientes condiciones adicionales, refor-

mulando el modelo:

- Las cargas C3 y C5 pertenecen al mismo cliente y debieran embarcarse juntas.

- La carga C1 no puede embarcarse junto con la carga C2.

Problema 13: Latania Televisión

Latania TV es un canal de noticias nacionales e internacionales

que transmite en señal abierta. Cuenta con varios equipos

periodísticos y técnicos, junto con tecnología de última gen-

eración, que le permiten una gran cobertura de acontecimien-

tos en vivo. Su programación está basada en noticieros, entre-

vistas y reportajes. Al igual que otros canales de televisión, uti-

lizan las redes sociales para captar noticias en desarrollo envi-

adas por el público. Debido a su numerosa audiencia, ha atraí-

do una cantidad importante de auspiciadores, interesados en

publicitar sus productos y servicios a través de Latania.

a) Justo antes del noticiero central se ha programado un bloque publicitario de cinco minutos y se

tienen diez avisos de diferentes duraciones y precios que podrían ser emitidos en él. Los avisos

que no queden incluídos en este espacio serán programados en el bloque que se transmite antes de

las las noticias deportivas, puesto que ambos horarios tienen un impacto similar en la audiencia.

La Tabla 1.125 muestra los avisos publicitarios y su precio en caso de ser incluidos en el horario

señalado (en unidades monetarias = U$).

Avisos A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10

Duración (segundos) 35 42 20 45 60 35 70 50 65 48

Precio (U$) 400 600 300 450 80 350 900 750 600 620

Tabla 1.125: Avisos publicitarios de Latania TV.

- Determine una cota del ingreso, aplicando la estrategia de G. Dantzig, de la sección 1.4.1 ¿qué

avisos se seleccionan? ¿cuál es el ingreso asociado? ¿qué significa la cota obtenida?

- Formule un modelo de programación lineal que permita decidir qué avisos incluir en el bloque

publicitario indicado y que maximice los ingresos del espacio.

- Resuélvalo con un aplicación computacional apropiada e interprete la solución. Compárela con

la cota de Dantzig.


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guia modelamiento optimizacion

Engineering