EJERCICIO 1.-(Basadoenproblema2.6InvestigacindeOperacionesenlaCienciaAdministrativa;Gould,Eppen y Schmidt; Prentice Hall; 3a Ed.; 1992; Mxico)Dong E. Starr, gerente de la Heavenly Dog Kennels, Inc., proporciona albergues para cachorros.ElalimentoparaperrosKennelsehacemezclandodosproductosdesoyaparaobteneruna"dietaparaperrosbienbalanceada."Enlafigurasedanlosdatosparalosdosproductos.SiDong quiere asegurarse de que sus perros reciban al menos 8 onzas de protenas y 2 onzas degrasa diariamente, cul sera la mezcla de costo mnimo de los dos alimentos para perro?Dieta bien balanceada para perrosProducto de Soya Costo por Onza ($) Protena (%) Grasas (%)1 300 32 72 200 20 20EJERCICIO 2Unaempresadelagronecesita fabricardostiposdefertilizantesparaelsiguiente mes. Para ello requiere preparar los fertilizantes 5-5-10 y el 5-10-5.Esdecir,para elprimeroserequiere5%denitrato,5%defosfato,10%depotasioyelrestodeunasustancia inerte.Paraelsegundofertilizanteserequiere5%denitrato,10%defosfato,5%depotasioyelrestodesustanciainerte.Dispone de 1100 toneladas de nitrato a un costo de US$200 la tonelada; 1800toneladasdefosfatoaUS$80latonelada;2000toneladasdepotasioauncostodeUS$160latoneladaylasustanciainertedisponedeunacantidadilimitada a un costo de US$10 la tonelada. El costo de mezclar los ingredientespara los fertilizantes es de US$15 la tonelada.El fertilizante 5-5-10 se vende a US$71,50 la tonelada y el fertilizante 5-10-5se vende a US$69 la tonelada.EJERCICIO 3LacompaaCuerosS.A.,fabricantederopadecuerodeseaincursionarenelmercadodeguantesdecueroyfabricarlosdedoscalidades;deprimeraydesegunda calidad.Lainvestigacin de las etapas necesarias para echar a andar el proyecto mostr que el proceso defabricacin requera las siguientes acciones.a) Cortar y teirb) Coserc) Terminard) Inspeccionar y embalarEl departamento de costos estim que un guante de primera calidad dejara una utilidad de 10dlares, en cambio la utilidad de un guante de segunda calidad sera de 9 dlares. Despus deanalizarcadaunadelasoperaciones,losingenierosestimaronquelostiemposrequeridospara confeccionar guantes de las dos calidades eran los que muestra la tabla siguiente.TIEMPO DE PRODUCCIN POR HORASProducto Corte y teido Costura Terminado Inspeccin yembalajeGuantedeprimera7/10 1 1/10Guantedesegunda1 5/6 2/3 1/4Se calcul, adems, que para la produccin de guantes habra disponible el siguiente tiempo:a) Tiempo de corte y teido 630 horasb) Tiempo de costura 600 horasc) Tiempo de terminado 708 horasd) Tiempo de inspeccin y embalaje 135 horasEJERCICIO 4La compaa J&J, fabrica dos productos que se venden como materia prima y cuya produccintotal combinada puede ser a lo menos de 350 litros. Un cliente solicita un pedido del productoIde125litros.ElproductoIrequierede2horasdetiempodeprocesamientoporlitro.Entanto que el producto II requiere de 1 hora de tiempo de procesamiento por litro y existen 600horasdetiempodeprocesamientoparaelsiguientemes.Elobjetivodelacompaaessatisfacerlosrequisitosdedemandademaneraquesuscostosseanmnimos.Loscostosdeproduccin son de 2 dlares por litro del producto I y de 3 dlares por litro del producto II.EJERCICIO 5( (U Un n P Pr ro ob bl le em ma a d de e A As si ig gn na ac ci i n n d de e l la a P Pr ro od du uc cc ci i n n) )(Basado en problema 2.16 Investigacin de Operaciones en la Ciencia Administrativa; Gould,Eppen y Schmidt; Prentice Hall; 3a Ed.; 1992; Mxico)Una empresa ha decidido lanzar tres nuevos productos. Dos plantas sucursales tienen en estosmomentos capacidad de produccin excedente. En la figura se muestran las capacidades de lasplantas y los costos de produccin. Identifique las variables de decisin y elabore un modelo PLqueasignelaproduccindelostresproductosalasdosplantasenformatalquecubranlademanda y minimicen los costos.FIGURA Costos Unitarios de ProduccinPlanta Producto CapacidadA B C de Produccin1 $ 4.500 $ 9.000 $ 6.000 5002 $ 6.500 $ 9.000 $ 3.500 650Demanda 400 250 350EJERCICIO 6(Basadoenproblema2.4InvestigacindeOperacionesenlaCienciaAdministrativa;Gould,Eppen y Schmidt; Prentice Hall; 3a Ed.; 1992; Mxico)WoodWalkeresunfabricantedemueblesindependiente.Hacetresestilosdiferentesdemesas, A, B, C. Cada modelo de mesa requiere de una cierta cantidad de tiempo para el cortedelaspiezas,sumontajeypintura.Woodpuedevendertodaslasunidadesquefabrica.Esms,elmodeloBsepuedevendersinpintar.Utilizandolosdatosenlafigura2.31,formulenunmodeloPLqueayudeaWoodatomarladecisinptima,aquellaquemaximizarsusutilidad mensual total.Requerimiento de Horas Hombre por mesaModelo Utilidad por mesa Corte Ensamblado PinturaA $ 17.500 1 2 4B $ 20.000 2 4 4B sin pintar $ 10.000 2 4 0C $ 25.000 3 7 5Disponibilidad mensual de HH 200 298 148EJERCICIO 7Enunaeconomalinealparaproducir3unidadesdetrigoserequieren6unidades de tierra, $12 de semillas y 3 trabajadores. Para producir 4 unidadesde centeno se requieren 5 unidades de tierra, $15 de semillas y 6 trabajadores.Elprecioporunidaddetrigoydecentenoesde$15y$20respectivamente.Las cantidadesdisponiblesdetierraydetrabajoson100unidadesy300unidades.Plantee el problema y resulvalo si el empresario desea optimizar el resultadode esta explotacin.EJERCICIO 8Unapequeaempresafabricaartculosdedostiposapartirdetresmateriasprimas,llamadas . , , C B A Elartculotipo1produceutilidadde$400porunidad,yparasufabricacin se requieren una libra de A , una libra de B y tres gramos de C.El artculotipo 2 produce utilidad de $300 por unidad, para cuya fabricacin se necesitan una librade A , 2 libras de B y 2 gramos de C.La empresa dispone de 150 libras de A , 240 libras de B y 420gramos de C, para elsiguiente periodo de produccin (puede ser una hora, un da u otro lapso).La compaa desea conocer cuantas unidades de cada tipo de artculo debe producir enel periodo con el fin de maximizar la utilidad total por venta de los artculos.Se suponequetodoslosartculosproducidossevendenyquelautilidadunitariapermanececonstante, sin importar la cantidad vendida.EJERCICIO 9Considerando lo establecido en problema 7Formule elproblemadual, yopinesobre preciossombraycontribucionesmarginales.Problema Dual:Cuandoelproblemaprimalesdemaximizacin,eldualesdeminimizacinyviceversa.Elnmerodevariablesoriginalesdelproblemadualesigualalnmeroderestriccionesdelprimal,yelnmeroderestriccionesdeldualesigualalnmero de variables del problema primal.En este caso el problema dual sera el siguiente:Z = 100X1+ 300X22X1+ X2 111.25X1+ 1,5X2 16.25X1 0 ,X2 0En este caso el problema dual consiste en minimizar la funcin objetivo.Precios Sombra:Lacontribucinmarginaldeunrecursoescuntoseincrementalafuncinobjetivo si se incrementa en una unidad un recurso saturado.Elpreciosombraeselmximoprecioqueconvienepagarporagregarunaunidaddeunrecursosaturado.Eseprecioesigualalacontribucinmarginaldel recurso ya que no conviene pagar por esa unidad adicional ms de lo quese incrementa la funcin objetivo. Es decir, que el costo de incrementar en unaunidadun recurso saturado deber serinferiora la contribucin marginalparaque se justifique hacerlo.Siunrecursonoseutilizatotalmente(noestsaturado)supreciosombraescero, porque no tiene sentido pagar por un recurso que sobra.En este problema los precios sombra son:Precio sombra del recurso 1 (tierra): $13Precio sombra del recurso 2 (trabajo): $0Esdecir,quesiseincrementaenunaunidadelrecursotierra,la funcinobjetivo se incrementa en 13 unidades monetarias.EJERCICIO 10Un agricultor dispone de 150 acres de tierra frtil para los cultivos A y B.El costo de Aes de $40 el acre, mientras que el cultivo de B cuesta $60 el acre. El agricultor tiene unmximo de $7400 disponibles para trabajar la tierra. Cada acre del cultivo A necesita 20horas de trabajo y cada acre del cultivo B, 25. El agricultor dispone de un mximo de3300 horas de trabajo. Si espera lograr una ganancia de $150 por acre del cultivo A y$200 por acre del cultivo B, cuntos acres de cada cultivo debe plantar para maximizarsu ganancia?Ejercicios no resueltos (del 11 al 21)11.- FayKleinhadesarrolladodostiposdejuegosdesalnparaadultoshechosamano,quevendeatiendasentodoelpas.Aunquelademandadeestosjuegosexcede su capacidad de produccin, la seora Klein contina trabajando sola y limitasu trabajo semanal a 50 horas.El juego tipo I ;se produce en3,5 horasy arroja unaganancia de $ 28, mientras que el juego II toma 4 horas para su produccin y da unaganancia de $ 31 . Cuantos juegos de cada tipo deber producir semanalmente laseora Kleinsi su objetivo es maximizar la ganancia total.12.- UnatiendadeanimaleshadeterminadoquecadaHamsterdeberarecibirdiariamenteal menos70unidadesdeprotena. 100unidadesdecarbohidratosy20unidades de grasa. Si la tienda vende los seis tipos de alimento mostrados en la tablasiguiente,Quemezcladealimentosatisfacelasnecesidadesauncostomnimopara la tienda?Alimento Protenas(und./onza)Carbohidratosunid/onzaGrasa(unid/onza)Costo$ / onzaA 20 50 4 2B 30 30 9 3C 40 20 11 5D 40 25 10 6E 45 50 9 8F 30 20 10 813.-- Unacompaarnanufactureralocalproducecuatrodiferentesproductosmetlicosquedebenmaquinarse,.pulirseyensamblarse.Lasnecesidadesespecificas de tiempo (en horas) para cada producto son las siguientes:Producto Maquinado (horas) Pulido ( horas ) Ensamble ( horas )1 3 1 22 2 1 13 2 2 24 4 3 1Lacompaadisponesemanalmentede480horasparaelrnaquinado.400horaspara el pulido y 400 horas para ensamble. Las ganancias unitarias por producto son $6,.$ 4,. $6 y $ 8. respectivamente. La compaa tiene un contrato con un distribuidorenel quesecomprometeaentregarsemanalmente50unidadesdelproducto1y100unidadesdecualquiercombinacindelosproductos1,2y3.Segnsealaproduccinperosolounmximode5unidadesdelproducto4.Cuantasunidadesdecadaproductodebera fabricarsemanalmentelacompaaafindecumplircontodas las condiciones del contrato ymaximizar la ganancia total?Considrese que las piezas incompletas puedenterminarse la siguiente semana14.- Unproveedordebeprepararconcincobebidasde frutaenexistencia500galones de un ponche que contenga por lo menos20 % de jugo de naranja, 10 % dejugo de toronja y 5 % de jugo de arndano. Si los datos del inventario son los que sepresentan a continuacin. Que cantidad de cada bebida de fruta deber emplearafin de obtener la composicin requerida a un costo total mnimo.Bebida JugodeNaranjaJugodeToronjaJugodeArndanoExistencias(Gal.Costo($/gal )A 0.40 0.40 0.00 200 1.50B 0.05 0.10 0.20 400 0.75C 1.00 0.00 0.00 100 2.00D 0.00 1.00 0.00 50 1.75E 0.00 0.00 0.00 800 0.2515.- Unacomunidadhareunido$250.000paradesarrollarnuevasreasdeeliminacindedesechos.Haysietessitiosdisponiblescuyoscostosdedesarrolloycapacidadessemuestranacontinuacin. qusitiosdeberdesarrollarlacomunidad?.Sitio A B C D E F GCapacidad (ton/sem) 20 17 15 15 10 8 5Costo ( $ 1.000 ) 145 92 70 70 84 14 4716.- Una compaa fabrica dos clases de cinturones de piel. El cinturn tipo " A " es dealta calidad y el tipo " B " es de baja calidad.La ganancia por cinturn es deUS$ 0.40para A y US$ 0.30 para B. Cada cinturn de tipoArequiere el doble del tiempoque el que usa el tipo B, y si todos los cinturones fueran del tipo Bla compaa podrafabricar1.000 al da. El abastecimiento de piel es suficiente nicamente para 800cinturones diarios (A y B combinados)El cinturn Arequiere una hebilla elegante delas que se disponen de400 diarias. Se tienen nicamente 700 hebillas al da para elcinturn B. La empresa tienepedidos de un importante exportador el cual le hasolicitado 100 unidades de cinturones de alta calidad y 150 cinturones de menorcalidad.a) Formule el problema de programacin lineal correspondienteb)Resulvalo grficamente.17.- UnapersonaacabadeheredarUS$6.000quedeseainvertirlos.Dosamigosleofrecen participar como socio en dos negocios cada uno planeado por cada amigo.En ambos casos la inversin significa dedicar un poco de tiempo el siguiente verano,al igual que invertir en efectivo.Con el primer amigo, al convertirse en socio completo tendra que invertir US$ 5.000y 400 horas con una ganancia estimada de US$ 4.500 (ignorando el valor del tiempo).El segundo amigo proporciona cifras de US$ 4.000 y 500 horas con una gananciaestimada de US$ 4.500.Ambosamigossonflexiblesypermitenentraralnegocioencualquierfraccindelasociedad, la participacin en las utilidades sera proporcional a esa fraccin.La persona en cuestin est dispuesta a trabajar un mximo de 600 horas en total.Plantee y resuelva el P.P.L. correspondiente.18.- Una compaa de transportes tiene 12 camiones de 30 toneladas de capacidad y6 camiones con una capacidad de 20 toneladas. Los camiones grandes tienen costosdeoperacinde300pesospor kilometro recorridoylospequeosde250pesosporkilometro recorrido.En la prxima semana la compaa debe transportar 240 toneladas de harina para unrecorrido de 600 kilmetros. La posibilidad de otros compromisos implica que por cada2 camionespequeosmantenidosenreservadebequedarsealmenosuncamingrande.Cul es el nmero ptimo de camiones de ambas clases que deben movilizarse paratransportarlaharina?.Ignoreelhechodequesurespuestadebedarseenformadenmeros enteros.19.- Dado el siguiente Problema Primalresulvalo grficamente.MaxZ= 4X1+6X2s.a.:2X1+3X2 s +> +>X XX XX XXEJERCICIO 25 Mtodo de las 2 fases.2 13 2 X X MinZ + =s.a0 ,600 23501252 12 12 11> s +> +>X XX XX XXEJERCICIO 26 El Problema Dual de la Programacin LinealTeorema de la Holgura ComplementariaCoritu produce dos modelos de artefactos electrnicos que utilizan: resistores, capacitaresy chips. La siguiente tabla resume los datos de la situacin:Requerimientos de recursos por unidadModelo 1 Modelo 2 Disponibilidad mxima(unidades)ResistoresCapacitorChipsUtilidad por Unidad ($)2203314412001000800Sean1X y2X las cantidades producidas del modelo 1 y 2 respectivamente.El modelo de P.L para este problema es:2 14 3 X X MaxZ + =s.a00800 41000 21200 3 22122 12 1>>ss +s +XXXX XX XCuya solucin ptima es:750 . 1 $100450**2*1=)`==ZXXCon los datos anteriores, se solicita obtener la solucin ptima del dual.EJERCICIO 27Unacompaaproduceartculosdetrestipos,realizandolasoperaciones T F C , , .Lamquina de la operacin C cuesta $1500/hora de funcionamiento, la de la operacin Fcuesta $2400/hora y la de la operacin T cuesta $1200/hora.El costo del material para una unidad del artculo 1 es $50, para una unidad del artculo2 es de $80 y para una unidad del artculo 3 es de $140.Lospreciosdeventaparalosartculossonrespectivamentede$400,$420y$500,launidad.Los tiempos de proceso requeridos por una unidad de cada tipo de material, se dan en lasiguiente tabla:Minutos de operacin por unidadLa compaa necesita conocer cuantas unidades de cada tipo de artculo debe fabricar enuna hora, para obtener la mxima utilidad.T I P O D EA R T C U L OA 1 2 , 5 2 , 0 4 , 0A 2 2 , 5 1 , 0 2 , 5A 3 2 , 0 0 , 5 2 , 0C F TEJERCICIO 28Un fabricante debe cumplir los siguientes compromisos, en el primer trimestre:Lacapacidadmensualdeproduccindesuplantaesde20.000unidades.Elcostounitario de produccin varia cada mes, as: Enero $20,Febrero $9yMarzo $12.Lacompaaestimaen$3elcostodealmacenamientodecadaunidadqueposeaenlabodega l ltimo da del mes.La capacidad de labodega de que dispone es de22.000unidades.La empresa tiene en elinventario 50 unidades y desea tener70 al final.El problema aresolverconsisteenladeterminardelprogramadeproduccinmensualqueminimizalos costos totales en el trimestre.Se supone que la produccin se realiza durante todo el mes y el despacho se efecta lltimo da de mes.EJERCICIO 29Unacompaapetroleraproducedostiposdegasolina,lacorrienteylaextra.Lacorriente se vende a $3000 galn y la extra a $3600.Las gasolinas se fabrican a partirde dos crudos, cuyos anlisis de componentes aparecen a continuacin:Lagasolinacorrientedebecontenermximo60%de B ,mientrasquelaextradebecontener mnimo 50% de A.Eloleoductodelacompaapuedesuministrarunmximode2millonesdegalonescrudo 1, y 3 millones de crudo 2, al da.La compaa espera vender a lo mximo 5 millones de galones de gasolina corriente y 1milln de gasolina extra, cada da.Cmo debe proceder la empresa para obtener la mxima ganancia diaria?MES Enero F ebrero Marzounidades 10,000 30,000 20,000CRUDO A B Costo porgaln1 60% 40% 1502 30% 70% 120COMPON EN T ESResuelva EJERCICIO 30Uninversionistadisponede$30.000.000ydeseainvertirlosdetalmaneraquemaximice la ganancia en el periodo de tres aos.Tiene las siguientes posibilidades de inversin:Acciones: Disponiblealiniciodecadaao,durantelostresprximosaos.CadapesoinvertidoenAcciones,retorna1.20alsiguienteao,atiempoparareinvertireldinero nuevamente.Puede invertir mximo $12.000.000 cada vez.Bonos: Disponibleaprincipiodelprimerao.Cadapesoinvertidoleretorna1.50alcabodedosaos,atiempoparareinvertirlos.Puedeinvertirunmximode$20.000.000 en esta alternativa.Certificadosdedepsitoadosaos:Disponiblealprincipiodelsegundoao.Cadapesoinvertidoleretorna1.60dosaosdespus.Puedeinvertirunmximode$15.000.000Dlares:Disponiblealiniciodeltercerao.Cadapesoinvertidoleretorna1.40,unao despus.Puede invertir un mximo de $10.000.000Si porlaslimitacionesenlacantidadinvertidaenlasalternativas,endeterminadoaonoseinviertetodoeldinerodisponible,elsobrantesedejaenunacuentadeahorros,queindicauna rentabilidad del 12% anual.