INSTITUTO PEDAGGICO HORACIO ZIGA S.C BACHILLERATO UNAM CICLO ESCOLAR 2011-2012.

Nombre del alumno: maryel Martnez Guadarrama

Nombre del profesor: Marcos

Materia: matemticas

Unidad 1Operaciones o razones

NumeradorLa suma:

Denominador

La resta: solo cambia el signo La multiplicacin:

Solo se van sacando la mitad para reducir la La divisin:

Ejercicios:

TricotomaEmplea la ley de tricotoma para resolver las siguientes desigualdades 9999_____________10000 678900________68790012 docenas__________144 478-12________1210,006__________100 000 1111111__________1111111129999___________21,000

Signos iguales se suman y se conserva el signo Signos diferentes se restan y se deja el signo del mayor Ley de los signos

Aplicacin de la ley de los signos

Mnimo comn mltiplo Simplemente el ms pequeo de los mltiplos que es mltiplo de dos o ms nmeros conjuntos de nmeros Ejemplo:Los mltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36Los mltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.El mnimo comn mltiplo de 4 y 5 es: 20 Mximo comn divisorSimplemente el ms grande que permite dividir a los nmeros Ejemplo 20 1, 2, 4, 5, 2, 10 y 2010 1, 2, 5 y 10Problemas de aplicacin de mnimo comn divisor 12 16 24 2

Se multiplican M.C.M = 48 6 8 12 2 3 4 6 23 2 3 23 1 3 31 1 13 aviones luminosos encienden sus luces, el primero cada 6s., el segundo cada 9s y el tercero cada 15. A las 7 de la noche se encienden simultneamente los 3 aviones Cuntas veces coincidi encendidos

M.C.M =90 540/90 = 6 9 = (9) (60) 540 M.C.M = -(6. 9, 15)= 90 6 9 15 2 3 9 15 3 1 3 5 3 1 1 5 5 1 1 1

Un viajante va a Sevilla cada 15 das, otro cada 18 dias y otro cada 8, hoy 10 de enero han coincidido los 3 viajantes Dentro de cuantos das volvern a coincidir en Sevilla?

M.C.M = 3605 de enero del ao 15 18 8 2 15 9 4 2 15 9 2 2 15 9 1 3 1 3 1 3 5 1 1 5 1 1 13 galgos salen juntos en una carrera la primera tarda 30s en dar la vuelta, el segundo 33s y el tercero 36s Despus de cuando segundo volvern a pasar juntos para la lnea de salida?30 33 36 2

M.C.M = 1980 15 33 18 2 15 33 9 3 5 11 3 3 5 11 1 5 1 11 1 11 1 1 1Ejercicios:32 40 64 2

M.C.M = 320M.C.D = 8 16 20 32 2 8 10 16 2 4 5 8 2 2 5 4 2 1 5 2 2 1 5 1 3 1 1 112 16 24 2

M.C.M = 48M.C.D = 8 6 8 12 2 3 4 6 2 3 2 3 2 3 1 3 3 1 1 1

32 48 2 16 24 2

M.C.M = 96M.C.D = 16 8 12 2 4 6 2 2 3 2 1 3 31 1

210 315 420 2

M.C.M = 1260M.C.D = 105 105 315 210 2 105 315 105 3 35 105 35 3 7 35 7 5 7 7 7 7 1 1 1

Jerarqua de operaciones Potencias y/o races Multiplicacin y/o divisin Suma y/o restaEjercicios

Variacin proporcional La variacin proporcional tiene gran aplicacin en nuestra vida cotidiana Dentro de la variacin proporcional se tienen dos tipos: la directa y la inversaEjemplo 1En un laboratorio de fsica al medir durante cierto tiempo los litros de sangre que bombea el corazn de una persona cuyo peso es de 70 kg se observan los siguientes datos:Litros de sangre que bombea el corazn20355060

Tiempo en minutos 471012

Las razones son directamente proporcionales. Aplicando la ley fundamental de las proporciones se tiene:

Si son directamente proporcionales es cuando su cociente es constante o igual Ejemplo 2 Un depsito de agua se llena en 2.25 horas empleando cinco llaves de agua de igual dimetroLlaves de agua 5 3 1

Tiempo 2.253.7511.25

Al expresar las razones de la tabla y obtener el producto de los trminos de cada razn se tiene lo siguiente

Cuando es una variable inversa se multiplican los trminos de las dos razones y el producto se divide entre el termino conocido de la otra raznSucesin numrica Una sucesin numrica es una secuencia de nmeros ordenados uno detrs del otro a) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10b) 8, 2, 4, 10, 16, 22, 28, 34

UNIDAD 2Variacin propia y funciones lineales Las siguientes figuras fueron construidas con palillos

1 2 1. Dibuja las 3 figuras siguientes2. Cuntos palillos se necesitan para construir la figura 10? 303. Cuntos para la figura 50?, 67?, 100? 150, 201, 3004. En qu lugar se encuentra la figura construida con 1236 y con 4752? 142 y 15845. Si Y representa el # de palillos y X la posicin de la figura formada, encontrar la constante y realiza la grafica

1512963

1 2 3 4 5

Constante de proporcionalidad es cuando se divide y sale el mismo resultado Directa: cuando aumenta o disminuye y dan lo mismoInversas: si uno aumenta otro disminuye

Directa Modelo matemticoX 2 3 4Y 10 15 20

Inversas Constante de proporcionalidadX 2 3 4Y 10 15 20

Un automvil viaja a velocidad constante de 33 k/h. Encontrar la distancia que recorre despus de 1, 2, 3, 4 horas

T 1 2 3 4

D 35 70 105 140

Una persona lanza un objeto con una fuerza de 40. Calcula la aceleracin que se imprime a dicho cuerpo si su masa cambia de 5, 10, 20, 40

X 5 10 20 40

Y 8 4 2 1

Ejercicios

Directa X 1 2 3 4 5

Y 2.54 5.08 7.62 10.16 12.7

Inversa X 1 2 3 4 5

Y 30 15 10 7.5 6

Una bomba de agua llena en 15 min un tinaco de 600L

A. DirectaCompleta la siguiente tabla para conocer cuantos L de agua tiene el tinaco despus de cierto tiempo

Tiempo (min)0 1 2 3 610.51213Y = 40K = 40x15

Contenido (t)04050120240420480520600

B. Indica que tipo de variacin representa, calcula la constante de proporcionalidad y escribe el modelo matemtico

Variacin directa, la constante de proporcionalidad es 40

C. Identifica las variables

La variable es dependiente

Aun resorte se le colocan diferentes pesos en su extremo inferior con un objetivo de 20 g se alarga 4 cm

a. Completa la siguiente tabla

X (gramos)0 1 2 3102050130K = 0.2Y = 0.2150

Y (cm) 00.20.40.6 2 4102630

b. Indica que tipo de variacin representa calcula la constante de proporcionalidad y escribe el modelo matemtico

Variacin directa

c. Identifica las variables

Variable dependiente

Plano cartesiano +Y

II (+, +) I (-, +)

P(X, Y) CORDENADAS

X ABSTRACTA - IV (+, -)

III (-, -)

-

X YA (-3, 1)B (3, 1)C (-2, -3)D (0, 3)E (2, -3)

FUNCIONES LINEALES

Es aquella cuya representacin grafica es una recta. Hay 2 tipos de funciones que son: 1. Funcin pendientes: es la inclinacin de la recta con respecto al eje abscisa 2. Funcin independiente: su grafica es la bisectriz y tercer cuadrante

PendienteIndependiente

Funcin

Regla de correspondencia que tiene un Dominio y un Contra dominio. La D es variable independiente y la CD es variable dependiente Y

Cuadrtica es cuando tiene potencia y lineal cuando no

Evaluar: sustituir los coeficientes por la variable y hago operaciones

Ejemplo Ejercicios:

Representacin grafica de una funcin Cuando este elevada al cuadrado nos da una parbola y si no es lineal (recta) Ejercicios:

Que significa

X Y -3 -1-2 2-1 5 0 8 1 11 2 14 3 17 son constantes reales y es una variable real. La constante es la pendiente de la recta y la es el punto de corte de la recta con el eje. Cuando modificamos cambiamos la inclinacin de la recta y cuando cambiamos desplazamos la lnea arriba y abajo.

X Y -3 5-2 2-1 -1 0 -4 1 -7 2 -10 3 -13

Ejercicios:

X Y-2 -17-1 -11 0 -5 1 11 2 7

X Y-2 -8-1 -2 0 41016

Recta tangente

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto tiene la misma pendiente de la curva.

Sea C una curva y A un punto no anguloso donde la curva sea diferencial y por tanto en la curva no cambia repentinamente de direccin. La tangente a C en A es la recta TA que pasa por A y que tiene la misma direccin que C alrededor de A

Si C representa una funcin (no es el caso en el grafico precedente) tendr como coeficiente directo (o pendiente)

Tangente

Cateto opuesto entre cateto adyacente

Pendiente de una recta

Aplicacin de funciones lineales Ral se gradu y acepto un puesto en una tienda de muebles como gerente de ventas. Recibir un salario mensual de 3 mil pesos mas una comisin de 350 pesos por mueble vendido

a) Determina la funcin que representa el salario que recibir Ral b) Encontrar el salario que recibir raul por ventas desde 0 hasta 10 variablesc) Realiza la grafica para el salario que recibir raul desde 3 mil hasta 10 mil

100095009000850080007500700065006000550045004000350030003000 03350 13700 24050 34400 44750 55100 65450 75800 86150 96500 10

6850 117200 127550 137900 148250 158600 168950 179300 189650 191000 20

Ejercicios:

Gua de trabajo

I.

X Y-3 3.5-2 3-1 2.5 0 2 1 1.5 2 1 3 o.5X Y-3 -11-2 -8-1 - 5 0 -2 1 1 2 4 3 7

II.

Ecuaciones: termino semejante Expresiones algebraicas Elementos de una expresin algebraica Tipos de expresiones algebraicas

Una ecuacin es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incgnitas, relacionados mediante operaciones matemticas. Los valores conocidos pueden ser nmeros, coeficientes o constantes; y tambin variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones.

Se llaman trminos semejantes a todos aquellos trminos que tienen igual factor literal, es decir, a aquellos trminos que tienen iguales letras (smbolos literales) e iguales exponentes.

Una expresin algebraica es una combinacin de letras, nmeros y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incgnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemtico expresiones del lenguaje habitual.

Elementos de las expresiones algebraicas:

Propiedades asociativas

Si tenemos a, b y c conocidos como 3 nmeros reales cualesquiera tendremos que:(a + b)+ c = a (b + c) O (ab)c= a(bc)(2 + 3) +7 = 2(7+3) =12 (2 3)-7= 42.La propiedad asociativa de acuerdo a los nmeros citados anteriormente establecen que si 3 nmeros se suman o se multipliquen a la vez no va a importar, cuales 2 de ellas se semen o se multipliquen en primer trmino se obtendr la misma respuesta en ambos casos.

Propiedades distributivas

Establece que multiplicar una suma por un nmero da el mismo resultado que multiplicar cada sumando por el nmero y despus sumar todos los productos

Propiedades conmutativas

Tambin llamada propiedad de orden de la suma. Esta propiedad significa que los sumandos se pueden sumar en cualquier orden y que la suma siempre es la misma.

Inverso aditivo

El inverso aditivo de un nmero es el opuesto de ese nmero, esto es, el inverso aditivo de un nmero x es - x. La suma de un nmero y su inverso aditivo siempre es cero, eso es, x + (-x) = 0.

Inverso multiplicativo

El inverso multiplicativo (frecuentemente acortado como inverso) de un nmero x es el nmero que, multiplicado por x da 1 como resultado.

Unidad 3

Ecuacin

CoeficienteExponente

Tipos elementos Lineal signos Literal SignoCuadrtica coeficiente Literales

Trminos semejantes

Literal Que tenga la misma variable y mismo exponente

Monomio: 1 Binomio: 2Trinomio: 3Polinomio: ms de 3

Reduccin de trminos semejantes

Nota: el cero no se pone (no se le pone nada

Ecuaciones lineales

Es un planteamiento de igualdad, involucrando una o ms variables a la primera potencia, que no contiene variables, es una ecuacin que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia. Son llamadas lineales porque representan rectas en el sistema cartesiano. Una forma comn de ecuaciones lineales es:

Donde m representa la pendiente y el valor de c determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta al eje Y). Las ecuaciones que donde aparece el trmino x*y (llamado rectangular) no son consideradas linealesAlgunos ejemplos de ecuaciones lineales: 3x + 2y = 10 3x + y 5 = 7x + 4y +3 3a + 472b = 10b + 37 Ejercicios

Lenguaje algebraicoEs traducir lenguaje que utilizamos en lenguaje matematico (algebraico)El doble de un nmero: 2xLa mitad de un nmero:El cuadrado de un nmero: Adicin: sumarDiferencia: resta La raz cuadrada de la diferencia de dos nmeros La raz cubica cociente de dos nmeros

La raz cuadrada del producto del cubo de un nmero por el cuadrado de otro La suma de los cuadrados de dos nmeros

El cuadrado de la suma de dos nmeros

El cociente de la raz cubica del producto de dos nmeros entre la diferencia de esos nmeros

Propiedad conmutativa Propiedades asociativas

Propiedad distributiva Inverso adictivo

4 -4 -10 10 9 -9

Inverso multiplicativo

Solucin de ecuaciones aplicando las propiedades (formal)

Solucin de ecuaciones por el mtodo informal

a)

Cuando un numero esta multiplicando o dividiendo se deja el signob)

c)

d)

El triple de la suma de un numero con 3 equivale al cudruplo de la diferencia de ese nmero con 7 Cul es el numero?

e)

Las 513 mujeres que practicaron en un maratn representan los del total de participantes Cul es el numero total de participantes corriendo el maratn

Entre Ral y Raymundo compraron una bolsa de canicas que costo 56 pesos pero Ral aporto 12 pesos menos que Raymundo Cunto aporto cada quien?

f)

Reglas para desarrollar un binomio al cuadrado

1. Tener cuatro trminos2. Que el primero y el ultimo termino sean cubos perfectos3. Que el 2 termino sea mas o menos el triple de la raz cubica del ultimo termino4. Que el 3 termino sea el triple de la raz cubica del primer termino por el cuadrado de la raz cubica del ultimoSi todos los trminos de la expresin son positivos, la expresin dada es el cubo de la suma de la raz cubica de su primer y ultimo termino

g)

h)

Repaso para el examen

Mario realizo un contrato d compra venta para adquirir una casa la cual tiene un precio de 574mil pesos, el dio un enganche de 250 000 y el resto lo pagara en mensualidades, si despus de 10 aos de haber realizado su compra su deuda es de 257mil pesos de acuerdo con la sig. Grafica

35

M= 324B= 324.000/120 B= 2700 mensuales

# Mensualidades

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

a) Cul seria el monto de la mensualidad que deber pagar para reducir su mensualidad? 2700b) Escribe la ecuacin que representa la deuda de Mario despus de x meses y=2700x+324.00c) Qu deuda tendr Mario despus de haber pagado mensualidades por un periodo de 4 aos 2 meses? 189.000d) Si a Mario le han avisado que le restan 54mil pesos Cuntas mensualidades ha cubierto y cuantas le quedan por cubrir? 100 y restan 20 e) Cuntos aos despus terminara de pagar 10 aos

Unidad 4

Sistema de ecuaciones lineales 2x2

Sistemas: conjunto de ecuaciones

Los mtodos de solucin son: suma y resta o reduccin Mtodo de igualacinSustitucin Determinantes o cramerMtodo grafico

Suma y resta (reduccin)

Este mtodo consiste en lograr que los coeficientes de una variable sean iguales pero de signo contrario

1. Identificar la variable que quiero eliminar de diferente signo e identifico por cual numero lo voy a multiplicar

2. Sumarlos o restarlos

3. Despejar la x

4. Hacer la divisin y encontrar la incgnita

5. Sustituyo la incgnita en la ecuacin original

Mtodo de igualacin

1. Despejar la misma variable de ambas ecuaciones (se recomienda que sea la que tenga signos positivos)

2. Se igualan los resultados obtenidos en el paso 1

3. Se multiplican de forma cruzada y se resuelve la ecuacin

4. Se sustituye la variable encontrada en una ecuacin del paso 1

Mtodo de sustitucin

1. Se despeja una literal de alguna de las dos ecuaciones Nota: de preferencia la que tenga signo positivo y coeficiente 1

2. Se sustituye la variable despejada en la ecuacin que una se despeja

3. Se realizan operaciones agrupando y reduciendo trminos para encontrar una literal

4. Se sustituye el valor de la variable encontrada en la ecuacin despejada y se encuentra el valor de la segunda literal

Mtodo de determinantes (cramer)

Sean los exponentes

Las ecuaciones que forman el sistema, entonces se construyen los matrices

Una vez establecida la matriz se resuelveHacia arriba se cambian los signos, haci abajo se deja el signo X= y=

X= =

X= =

Mtodo grafico

1. Se despeja la misma variable de ambas ecuaciones (la variable dependiente ) Y

2. Se sustituyen las variables x dados en cada ecuacin y se realiza la tabulacin 3. Se grafican en un solo plano cartesiano las dos rectas

4. El punto de interseccin de las rectas ser la solucin del sistema

Unidad 5

Ecuaciones cuadrticas

Terminoindependiente

TerminolinelaTermino Cuadrado

Es aquel que tiene como mximo exponente 2

Completas: tienen trmino cuadrtico, termino lineal y termino independienteIncompletas: le falta un trmino, menos el cuadrado

Completa se puede resolver en: Formula general Factorizacin Completando el cuadrado Grafico

Incompletas (puras)

Incompletas (mixtas)

Ejemplos:

Ecuaciones Cuadrticas Mixtas

Ecuaciones Cuadrticas completas

Mtodo de factorizacin

Dos nmeros que multiplicados de el termino independiente y debe de dar el termino lineal

Nota: si el producto es los signos son diferentes y el # mayor tendr el signo del termino lineal

Formula general

Ejercicios

Anlisis de discriminantes

2 soluciones imaginarias