numeros racionales en la escuela secundaria: …€¦ · tarea 1 clase ejemplo 1ro 3ro 5to total 4-...

$: NUMEROS RACIONALES EN LA ESCUELA SECUNDARIA: …€¦ · Tarea 1 Clase Ejemplo 1ro 3ro 5to Total 4- Son la parte (raci on o fracci on) de un ente-ro Son los numeros que se pue-den$
NUMEROS RACIONALES EN LA ESCUELASECUNDARIA: ANALISIS MULTIVARIADO DE

SU COMPRENSION

Maximiliano Palacios Veronica Bianchi Virginia Montoro

2016

Palacios, Bianchi & Montoro UMA/REM-Bahıa Blanca 2016

En el marco de un estudio sobre las concepciones de estudiantes desecundaria acerca de los numeros racionales, se diseno uncuestionario con actividades orientadas a indagar la comprensionde los numeros racionales. Se aplico este cuestionario a 132estudiantes, de distinto anos de escolaridad (primero, tercero yquinto), de una escuela secundaria publica de Bariloche.A continuacion mostramos una clasificacion de las respuestas delos estudiantes a cuatro tareas del cuestionario. Y mas adelantecompartiremos otro analisis multivariado “cruzando” esas cuatroclasificaciones.


MetodologıaInstrumento de indagacion.

En el cuestionario se utiliza de forma exclusiva racionales positivos.Se les pedıa responderlo de forma escrita e individual, en menos deochenta minutos y podıan optar por usar calculadoras.Este estudio se baso en la resolucion de cuatro tareas, dos eran derespuestas abiertas (1 y 4) y dos de respuestas cerradas (2 y 3):


Metodologıa

Tarea 1: Posiblemente has escuchado que 1/2 y 0, 25 son numerosracionales. ¿Como explicarıas con tus palabras en que consiste esacondicion de ser “racionales”?

Tarea 2: ¿Podrıas nombrar un numero entre los siguientes pares?,

0 y 2,1

5y1

4,

3

8y4

8, 3, 14 y 3, 15, 0, 899 y 0, 90,

1

4y 1, 4.

Elige una de las siguientes opciones para cada una: Si - No hay -No se. Si la respuesta es afirmativa escribe un numero que seencuentre entre ambos. ¿Cuantos numeros hay entre cada uno delos pares anteriores? Elige una de las siguientes opciones para cadauno: Ninguno - Solo uno - Unos Pocos - Muchısimos -Infinitos - No se.


Metodologıa

Tarea 3: Indica el numero mayor entre cada par de numeros acontinuacion,

1,23 y 0,76, 0,989 y 1,02, 0,4 y 0,326, 3,72 y 3,073,

8,24573 y 8,245, 1,7501 y 1,75011, 6,3 y 6,03, 1,99 y 1,89999,

2 y 1,9999..., 0,5 y 0,50,3

8y5

8,

2

4y2

5,

4

10y1

2,

4

6y6

4,

99

100y

999

1000,

1

4y 0,25, 0,3 y

1

3, 0,535 y

2

7, 0,333... y

1

3.


Metodologıa

Tarea 4: Carlos y Martina estan jugando a decir numeros racionalesentre 1 y 2, y gana el que encuentra el numero mas cercano al 2.Si Carlos es el primero en jugar, ¿podra decir algun numero que leasegure ganar?¿por que?.

Estimaciones:

Es esperable que algunos estudiantes utilicen en su respuestaestrategias de truncamiento y redondeo, o evidencien la utilizacionde propiedades propias de los numeros naturales en el conjunto delos racionales.


MetodologıaAnalisis de las respuestas.

En este artıculo se pueden reconocer dos partes:

En una primera etapa se han analizado y clasificado lasrespuestas de los encuestados en cada una de las distintastareas, y se desglosaron los resultados por ano lectivo.

En la segunda etapa, con el objetivo de realizar un analisisglobal, se realizo un Analisis Factorial Multiple y unaClasificacion de las los perfiles anteriormente expuestos,obteniendo de esta manera informacion “cruzada” de las 4tareas involucradas.

Con respecto a nuestro primer analisis, se advierten dos tareas (1 y4) que involucran preguntas abiertas, y otras dos tareas (2 y 3) queinvolucran preguntas cerradas. Por ello se abordaron de manerasdiferentes.


Metodologıa ...

... para la Tarea 1 y 4. Tanto en la tarea uno como en la cuatrose ha utilizado la misma metodologıa, esencialmente se etiqueto acada estudiante con alguna de las clases propuestas ad-hoc. Lasclases se propusieron una vez analizado el corpus de respuestas yrepresenta, cada una, una forma de pensamiento hacia el objeto deestudio. Para validar dicha construccion se realizo una pruebainter-juez de la totalidad de la clasificacion de las respuestas.


Metodologıa ...

... para las Tarea 2 y 3. En ambas tareas se estudio lasrespuestas de los encuestados mediante un analisis multivariado.De este analisis se pudo extraer una clasificacion de losestudiantes, que luego se refino de manera ad-hoc, para finalmentevalidarla mediante otra prueba inter-juez. De esta manera fueposible construir, partiendo de preguntas cerradas, una clasificacionconceptual de los estudiantes. Es decir, fueron clasificados segun lasimilitud de sus respuestas en cuanto a una interpretacion enterminos de concepciones.


Metodologıa ...

... para el analisis global. Para lograr nuestro objetivo final, esdecir, analizar todas las tareas en simultaneo, utilizamosnuevamente un analisis multivariado con las clasificaciones que semostraron anteriormente. De dicho analisis, una ultima clasificacionse desprende que relaciona toda la informacion antes expuesta.


ResultadosTarea 1

Clase Ejemplo 1ro 3ro 5to Total

1- NC 29 40 26 32.5

2- No se. Ni idea. 4 2 17 12

3- Otros Para mi es que se relacionan 2 0 9 13


ResultadosTarea 1

Clase Ejemplo 1ro 3ro 5to Total

4- Son la parte (raciono fraccion) de un ente-ro

Son los numeros que se pue-den racionar en partes, porejemplo 1/2 es la mitad de 1

19 11 7 13

5- Solo dicen queestan entre dos ente-ros o no son enteros

Los numeros racionales no sonnumeros enteros

14 6 7 10

6- Son los que puedenescribirse con coma

Racionales son todos losnumeros que contienen deci-males. Por lo tanto, no sonnumeros enteros. Sirven paradecir numeros mas exactos

2 4 19 7.5

7- Son los que puedenescribirse como frac-cion

Todos los numeros que son re-sultados de una razon o se ex-presan en forma de fraccion

10 25 0 4

8- Son los que puedenescribirse con coma ycomo fraccion

Racionales cubre todos losnumeros entre numeros concoma y fracciones

7 9 12 8


ResultadosTarea 2

Clase 1 (NS-NC): Esta clase esta formada por 25estudiantes. Se caracterizan por ser en su mayorıa mujeres (un80 %) y suelen contestar que no saben o no contestan a ungran numero de preguntas.

Clase 2 (Nivel ingenuo): Esta clase esta formada por 48estudiantes. Los estudiantes de esta clase se caracterizan portener una idea bastante ingenua de los numeros racionales,optando por decir que hay pocos o ningun numero entre lospropuestos, en general son alumnos de primer ano, aunquetambien hay 11 alumnos de tercero y 2 de quinto.


ResultadosTarea 2

Clase 3 (Nivel intermedio): Esta clase esta formada por 30estudiantes, en su mayorıa son estudiantes de tercero y quintoano. Los estudiantes de esta clase, se caracterizan por tenercierta nocion de la propiedad de densidad de los numerosracionales (expresados de manera decimal o fraccionaria).Dicha nocion no es del todo consistente, pues se encuentranopiniones muy diversas en cuanto a la cantidad de numerosque pueden encontrar.

Clase 4 (Nivel avanzado): Esta clase esta formada por 29estudiantes en su mayorıa de quinto ano. Suelen contestarbien la gran mayorıa de los ıtems de la primer pregunta de laTarea 2, haciendo un uso correcto de la notacion, usando masla decimal que la fraccionaria. Suelen decir que hay infinitosnumeros entre los propuestos.


ResultadosTarea 3

Clase 1 (Ns-Nc): Dieciocho estudiantes.

Clase 2 (M1): La primer clase esta compuesta por 26estudiantes, integrada por alumnos de primero y tercer ano.Estos estudiantes se caracterizan por responder mal algunosincisos de la tarea 3, y una parte de los que contestaron bienal comparar 99/100 y 999/1000 y 1, 999... y 2. Podemosobservar que una caracterıstica notable de este grupo es quecontestan que es mayor el numero cuya mantisa tiene masdecimales (excepto en el caso de 8, 24573 y 8, 245).


ResultadosTarea 3

Clase 3 (M2): Compuesta por 37 estudiantes que representanel 28,03 % del total de la poblacion. Los estudiantes de estaclase parecen poder distinguir el numero mayor entre los dadosteniendo en cuenta la primer cifra decimal de los numeros (sitienen mas cifras iguales contestan mal) y parecen confundirseen los casos en los que algunos de los numeros se encuentraexpresado en notacion decimal. Se evidencian algunas de lasoperaciones de redondeo para responder a la tarea.

Clase 4 (B3): Se compone por 51 estudiantes que representael 38 % del total. El 80 % de los estudiantes de quinto ano seencuentra en esta clase, y su caracterıstica principal es queresponde bien cual de los numeros es mayor, especialmente enlas parejas en las que al menos uno de ellos se encuentraexpresado con notacion fraccionaria.


ResultadosTarea 4

Clase EjemploPorcentaje de Alumnos

1ro 3ro 5to Total

1- No Se No se; No porque no tie-ne que ver una cosa con laotra

6,8 7,6 6,8 21,21

2- No Contesta NC 0,8 3 1,5 5,30

3- No, hay infinitosnumeros

No, entre 1 y 2 hay infini-tos numeros

1,5 1,5 11,4 14,39

4- Sı, 1,999... 1,999... porque antes del2 viene el y no hay otrodespues que ese

8,3 6 5,3 19,70

5- Sı, 1,9; 1,99; 1,999;etc. (con una cantidadfinita de 9)

Sı se puede asegurar ganarporque Carlos puede decir1,9 que es el numero mascercano al 2

9,8 10,6 3 23,48

6- Sı, otros ejemplos El numero puede ser 1,50 6 3,8 0,8 10,61

7- Otros No porque no hay numeroentre 1 y 2

2,3 0.8 2,3 5,30


ResultadosAFCM y Clasificacion de las cuatro tareas juntas

Clase 1: Esta formada por 32 estudiantes (24,24 % del total).Mas de la mitad de los estudiantes de esta clase pertenecen aprimer ano. Los estudiantes de esta clase se caracterizanencontrarse en la Clase 2 (Nivel ingenuo) de la tarea 2(trasladan propiedades de los naturales a los racionales).Asimismo, en la tarea 3, responden incorrectamente alcomparar numeros, pues dicen que es mayor el numero en elcual la mantisa tiene mayor longitud. Al igual que en la tareaanterior, estan empleando en los numeros decimalespropiedades validas exclusivamente en el conjunto de numerosnaturales. En la tarea 4 responden que pueden ganar el juegoproponiendo un ejemplo del tipo 1,99 (con una finita cantidadde nueves).



Los estudiantes de esta clase tienden a responder, porejemplo, que No hay numeros entre dos dados o solo podemosencontrar Unos pocos. Al comparar numeros racionales dicen,por ejemplo, que 0,50 es mayor que 0,5 o que 0,376 es mayorque el 0,4.



Clase 2: Esta formada por 22 estudiantes (16,67 % del total).Esta clase esta conformada mayormente por estudiantes detercer ano. Se caracteriza por dudar o contestar coninseguridad. Las modalidades de respuesta que caracterizanesta clase son, No Contesta acerca de la interpretacion denumero racional; No saben / No Contestan si es puedenencontrar un numero entre dos racionales. Al momento decomparar numeros racionales (cual es mayor o si son iguales),demuestran mucha incertidumbre y en las preguntas abiertassuelen no contestar.



Clase 3: En esta clase se encuentran 20 estudiantes (15,15 %del total). De esta clase, unicamente cuatro estudiantespertenecen a primer ano, el resto pertenecen a tercero yquinto ano. En esta clase se agrupan los estudiantes condificultades para describir cuales son los numeros racionales(No contestan), junto con los que senalan que estos sonaquellos que pueden escribirse con coma. Respecto a ladensidad, en la tarea 2, el 65 % de los estudiantes de estaclase se encuentran en una transicion, Clase 3 (nivelintermedio), es decir, para ciertos pares de numeros afirmanque hay muchos numeros entre ellos, y para otros no. Cabedestacar que en esta clase no se encuentran estudiantes de laClase 4 (nivel avanzado) de esta tarea.La misma transicion se refleja en la tarea 3, pues el 80 % delos estudiantes de esta clase se corresponde con el perfil de laClase 3 (M2).



Respecto a la tarea 1, se encuentran en esta clase el 70 % delos estudiantes que dicen que los numeros racionales sonaquellos que pueden escribirse con coma. Ademas el 43,75 %de los estudiantes que No Saben cuales son estos numerosestan en esta clase.

Clase 4: Esta clase esta asociadas a la tarea 4, formada por14 estudiantes. Se caracteriza por todos los estudiantes queno contestan la tarea 4 y por todos los estudiantes cuyarespuesta es confusa. Podrıa decirse que esta clase es residuala nuestros intereses.



Clase 5: Esta formada por 30 estudiantes (22,73 % del total).Esta conformada uniformemente por estudiantes de primero,tercero y quinto ano. Estos estudiantes responden bien latarea 2 y 3. El 63 % de los estudiantes estan en la clase 4(avanzados) en la tarea 2. Ademas, el 47 % de los quepertenecen a la Clase 4 (B) en la tarea 3 estan en esta clase,conformando un alto porcentaje de la misma.

En la tarea 4 encontramos que se dividen las opiniones entrelos que responden que se puede ganar con el 1,999... y losestudiantes que dicen que no se podrıa pues hay infinitosnumeros racionales entre dos dados. El 77 % de los queproponen el 1, 999... estan en esta clase, al igual que el 47 %de los estudiantes que contestan que No, hay infinitos.



Clase 5: Esta formada por 30 estudiantes (22,73 % del total).Esta conformada uniformemente por estudiantes de primero,tercero y quinto ano. Estos estudiantes responden bien latarea 2 y 3. El 63 % de los estudiantes estan en la clase 4(avanzados) en la tarea 2. Ademas, el 47 % de los quepertenecen a la Clase 4 (B) en la tarea 3 estan en esta clase,conformando un alto porcentaje de la misma.En la tarea 4 encontramos que se dividen las opiniones entrelos que responden que se puede ganar con el 1,999... y losestudiantes que dicen que no se podrıa pues hay infinitosnumeros racionales entre dos dados. El 77 % de los queproponen el 1, 999... estan en esta clase, al igual que el 47 %de los estudiantes que contestan que No, hay infinitos.



Clase 6: Esta formada por 14 estudiantes (10 % del total),siendo en su mayorıa estudiantes de quinto ano. En la tarea 1encontramos dos tipos de respuestas caracterısticas: El 82 %de los estudiantes que consideran que los numeros racionalesson los que pueden escribirse con coma o como fraccion seencuentran en esta clase. Ademas, se agrupan con un altoporcentaje de los que piensan que estos numeros son los quepueden escribirse como fraccion. El 57 % de los estudiantes deesta clase, presentan algunas dificultades en relacion a lacomprension de la densidad de los racionales: considerandoque en algunos casos hay un numero intermedio entre lospropuestos y en otros no (Clase 3 (Nivel intermedio)), siendoun 27 % del total de estudiantes que adoptan esta modalidad.El 85 % de los estudiantes de esta clase pertenecen a la Clase4 (B3) de la tarea 3. En cuanto a la tarea 4, se encuentra el42 % de los que responden No, hay infinitos .


Algunas conclusiones

Encontramos un gradiente de profundidad en las concepcionesde los estudiantes respecto de los numeros racionales, que vadesde las Clases 2 y 4 hasta las Clases 5 y 6, pasando por lasClases 1 y 3. A una ajenidad respecto al tema, presentefundamentalmente en los estudiantes mas jovenes (Clases 2 y4), le sigue una identificacion de los racionales con losnaturales (Clase 1) y una fase intermedia de transicioncentrada fundamentalmente en la notacion (Clase 3). Porultimo, entre los estudiantes que mas comprenden a losracionales con sus propias caracterısticas, por una parte seevidencia cierta dificultad operativa con la densidad (Clase 6).Por otra parte, aunque manejan el orden y la densidad de losracionales, en su concepcion interviene una marcada vision delinfinito potencial (Clase 5). Entre estas dos ultimas clasesalrededor de la mitad son estudiantes de quinto ano.


Algunas conclusiones

La ultima clasificacion pone en evidencia algunas relaciones notriviales entre la informacion expuesta anteriormente. Porejemplo, se diferencian dos clases, la 5 y la 6, conformadaspor estudiantes cuyas respuestas al cuestionario podrıantildarse de satisfactorias pero sin embargo se diferencian.

Dentro de las preguntas de todo el cuestionario, losestudiantes respondieron en menor cantidad las tareas 1 y 4,considerandolas como las tareas “mas difıciles”, sin embargose ha podido aprovechar el desempeno de un buen numero delos encuestados mediante este metodo.

Entre las dificultades mas evidentes se puede observar confrecuencia que se trasladan las propiedades de los numerosenteros en cuanto al orden. Es persistente una vision finitistade los decimales que esta presentes a lo largo de toda laescolaridad en menor medida en los ultimos anos.


¡¡Muchas gracias por su atencion!!


numeros racionales en la escuela secundaria: …€¦ · tarea 1 clase ejemplo 1ro 3ro 5to total 4-...

Documents