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Tema 1 – Funciones analıticas

1.1 Introduccion a los numeros complejos

Los numeros complejos pueden definirse como pares ordenados de numeros reales z = (x, y) con las

operaciones adicion y multiplicacion definidas como sigue:

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2)

(x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)

Se define la parte real y la parte imaginaria de z de la forma:

Re(z) = x, Im(z) = y.

Los numeros complejos de la forma (0, y) son llamados imaginarios puros.

Observacion 1.1

1. (x, y) = (x, 0) + (0, 1) · (y, 0).

2. El par (x, 0) se identifica con el numero real x. Ası R puede considerarse un subconjunto de C.

1

1. Funciones analıticas 2

3. Llamando i = (0, 1) (en ocasiones se utiliza j), cualquier numero complejo z = (x, y) puede

escribirse como z = x + iy .

4. i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0)= −1.

Propiedades 1.1

1. Conmutativa: z1 + z2 = z2 + z1, z1 · z2 = z2 · z1.

2. Asociativa: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) , (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3).

3. Elemento neutro de la suma: (0, 0) = 0. Elemento neutro del producto: (1, 0) = 1.

4. Elemento inverso de la suma: ∀z = (x, y) ⇒ −z = (−x,−y).

5. Elemento inverso del producto: ∀z = (x, y) 6= 0 ⇒ z−1 =

(

x

x2 + y2,− y

x2 + y2

)

.

6. Resta: z1 − z2 = z1 + (−z2).

7. Cociente:z1

z2= z1 · z−1

2 , ∀z2 6= 0.

8. C con las operaciones suma y producto tiene estructura de cuerpo conmutativo.

9. En C no es posible definir una relacion de orden compatible con la estructura de cuerpo.


Se define el conjugado de un numero complejo z = x + iy como el numero complejo z = x − iy.

Propiedades 1.2

1. z1 + z2 = z1 + z2, z1 · z2 = z1 · z2.

2. z + z = 2Re(z), z − z = 2iIm(z).

3. z = z.

Coordenadas cartesianas

De manera natural se identifica C con el plano R2 :

z = x + iy = (x, y)

Se denominan las coordenadas cartesianas de z.

-

6

x

yz = (x, y)•

|z|

Se define el modulo de z = (x, y) como el numero real no negativo | z |=√

x2 + y2. Esta magnitud

representa la distancia en R2 entre el punto (x, y) y el origen (0, 0).


Propiedades 1.3

1. | z |2= (Re(z))2 + (Im(z))2.

2. Re(z) ≤ | Re(z) | ≤ | z |, Im(z) ≤ | Im(z) | ≤ | z |.

3. z · z =| z |2 .

4. Utilizando el modulo se puede definir una metrica en C: dist(z1, z2) =| z1 − z2 |, ∀z1, z2 ∈ C,

como consecuencia de las siguientes propiedades del modulo:

(a) |z| ≥ 0 y | z |= 0 ⇔ z = 0.

(b) | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |.

(c) | z1 · z2 |=| z1 | · | z2 |.

Coordenadas polares

Sean (r, θ) las coordenadas polares del punto del plano (x, y) correspondiente al numero complejo

z = x + iy 6= 0.

-

6

x

yz = (x, y)•

r

θ

x = r cos(θ)

y = r sen(θ)


Entonces, r es el modulo de z, pues: r =√

x2 + y2 = | z |.θ es el argumento de z: el angulo (en radianes) que forma z con el eje real positivo. Se verifica:

arg(z) = θ tal que

cos(θ) =x

r

sen(θ) =y

r

Observacion 1.2

1. Para un z dado, el argumento puede tomar infinitos valores, pues si θ es argumento de z

tambien lo sera θ + 2kπ, ∀k ∈ Z.

Se denomina determinacion principal del argumento de z, denotado por Arg(z), al unico

valor de arg(z) tal que −π < Arg(z) ≤ π.

2. Si | z |= r y arg(z) = θ entonces z = r(cos(θ) + i sen(θ)).

Con frecuencia se utiliza la notacion siguiente, conocida como formula de Euler:

eiθ = cos(θ) + i sen(θ),

por tanto, puede escribirse z = r eiθ.


3. arg(z1 · z2) = arg(z1) + arg(z2).

(Es falso para determinaciones concretas. Por ejemplo: Arg, z1 = −1, z2 = i.)

Propiedades 1.4 Sean z1 = r1(cos(θ1) + i sen(θ1)), z2 = r2(cos(θ2) + i sen(θ2)) entonces:

1. z1 · z2 = r1 · r2(cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2)).

2. z−11 =

1

r1(cos(−θ1) + i sen(−θ1)).

3.z1

z2=

r1

r2(cos(θ1 − θ2) + i sen(θ1 − θ2)).

Potencias y raıces

Sea z = r(cos(θ) + i sen(θ)). Entonces, utilizando la formula de Moivre:

(cos(θ) + i sen(θ))n = (cos(nθ) + i sen(nθ))

se tiene:

zn = rn(cos(nθ) + i sen(nθ)), n ∈ Z.


Las raıces n-esimas de la unidad son aquellos complejos z tales que zn = 1.

Si z = r(cos(θ) + i sen(θ)), como Arg(1) = 0, se tiene:

rn = 1 =⇒ r = 1, nθ = 0 + 2kπ =⇒ θ =2kπ

n, k ∈ Z.

Entonces, por la periodicidad del seno y el coseno, existen n raıces n-esimas de la unidad distintas:

n√

1 = 11/n = cos(2kπ

n) + i sen(

2kπ

n), k = 0, 1, . . . , n − 1.

Observacion 1.3

1. Geometricamente, las raıces n-esimas de la unidad son los vertices de un polıgono regular

de n lados inscrito en la circunferencia unidad centrada en el origen (con un vertice en

1).

2. Si llamamos: ωn = cos(2π

n) + i sen(

2π

n),

entonces las n raıces n-esimas de la unidad son: 1 , ωn , ω2n , . . . , ωn−1

n .

Sea ω = ρ(cos(φ) + i sen(φ)) un numero complejo cualquiera. Las raıces n-esimas de ω son:

n√

ω = ω1/n = ρ1/n

(

cos(φ + 2kπ

n) + i sen(

φ + 2kπ

n)

)

, k = 0, 1, . . . , n − 1.


1.2 Funciones de variable compleja

Sea S ⊂ C. Una funcion de variable compleja es una funcion:

f : z ∈ S −→ f(z) = w ∈ C.

S se denomina dominio de definicion de f .

Observacion 1.4 La definicion puede generalizarse al concepto de funcion multivaluada: regla

que asigna mas de un valor a un punto z del dominio. Por ejemplo:

f : z ∈ C −→ f(z) = z1/2 ⊂ C.

Consideremos de nuevo la funcion f : S −→ C. Para z = x + iy, w = u + iv, se tiene:

f(x + iy) = u(x, y) + i v(x, y)

donde u y v son dos funciones de R2 en R denominadas, respectivamente, la parte real y la

parte imaginaria de f.


Ejemplo 1.1

1. Funcion real de variable compleja: f : z ∈ S ⊂ C −→ f(z) = w ∈ R,

es decir, la parte imaginaria v es nula.

2. Funcion polinomica: f(z) = a0 + a1z + · · · + anzn, ai ∈ C,

es decir, un polinomio de grado n (si an 6= 0) y esta definida en todo C.

3. Funcion racional: (cociente de polinomios)

f(z) =P (z)

Q(z)

esta definida en todo C excepto en las raıces de Q.

Las propiedades de una funcion real de variable real se ponen de manifiesto mediante la grafica de

la funcion, pero las funciones complejas no pueden representarse graficamente ya que

tanto z como w estan en un plano. Sin embargo, puede obtenerse informacion sobre la funcion

representando como transforma puntos, rectas, circunferencias, parabolas, . . .


Ejemplo 1.2

1. Traslacion: dado z0 ∈ C

f : z ∈ S ⊂ C −→ f(z) = z + z0 ∈ C

2. Rotacion: dado z0 ∈ C, tal que | z0 |= 1

f : z ∈ S ⊂ C −→ f(z) = z0 · z ∈ C

3. Reflexion: por ejemplo, respecto al eje real

f : z ∈ S ⊂ C −→ f(z) = z ∈ C

4. Estudiar la transformacion:

f : z ∈ C −→ f(z) = | z | − i Im(z) ∈ C


1.3 LımitesSea f definida en todos los puntos de un entorno de z0 ∈ C, salvo, a lo sumo, en z0. Se dice que:

limz→z0

f(z) = w0 ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ δ > 0 / 0 <| z − z0 |< δ ⇒| f(z) − w0 |< ε

Ejemplo 1.3 limz→1

iz

2=

i

2.

Propiedades 1.5

1. El lımite, si existe, es unico.

2. Sean f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z0 = x0 + i y0, w0 = u0 + i v0. Entonces:

limz→z0

f(z) = w0 ⇐⇒ lim(x,y)→(x0,y0)

u(x, y) = u0, lim(x,y)→(x0,y0)

v(x, y) = v0.

3. limz→z0

(f + g)(z) = limz→z0

f(z) + limz→z0

g(z).

4. limz→z0

(f · g)(z) = limz→z0

f(z) · limz→z0

g(z).


5. Si limz→z0

g(z) 6= 0, entonces:

limz→z0

f

g(z) =

limz→z0

f(z)

limz→z0

g(z).

6. limz→z0

| f(z) |=| limz→z0

f(z) | .

7. Sea P un polinomio cualquiera, entonces: limz→z0

P (z) = P (z0).

1.4 ContinuidadUna funcion f es continua en z0 ∈ C si y solo si:

∃ f(z0),

∃ limz→z0

f(z),

limz→z0

f(z) = f(z0).

Se dice que f es continua en S ⊂ C si f es continua en cada z0 ∈ S.


Propiedades 1.6 Sean f(z) = u(x, y) + i v(x, y), z0 = x0 + iy0.

1. Entonces f es continua en z0 ⇐⇒ u y v son continuas en (x0, y0).

2. f, g continuas en z0 ⇒ f + g continua en z0.

3. f, g continuas en z0 ⇒ f · g continua en z0.

4. f, g continuas en z0, g(z0) 6= 0 ⇒ f

gcontinua en z0.

5. f continua en z0, g continua en f(z0) ⇒ g f continua en z0.

6. Los polinomios son funciones continuas en todo C.

7. Las funciones racionales son continuas en todo C salvo en las raıces del denominador.

Se pueden deducir diferentes propiedades de las funciones continuas de variable compleja a partir

de las propiedades correspondientes de las funciones continuas de dos variables reales.

Teorema 1.1 Sea f continua en una region S cerrada y acotada del plano complejo. Entonces

| f | es acotada en S y | f | alcanza su maximo en S, es decir:

∃M ≥ 0 / | f(z) |≤ M, ∀z ∈ S, ∃ z1 ∈ S / | f(z1) |= M.


1.5 DerivacionSea f definida en un entorno de z0 ∈ C. Se dice que f es derivable en z0 si ∃ lim

z→z0

f(z) − f(z0)

z − z0.

Se denota f ′(z0) = limz→z0

f(z) − f(z0)

z − z0= lim

h→0

f(z0 + h) − f(z0)

h.

Una aplicacion Φ : C −→ C es R-lineal si y solo si:

Φ(z1 + z2) = Φ(z1) + Φ(z2), ∀z1, z2 ∈ C,

Φ(λz1) = λΦ(z1), ∀z1 ∈ C, ∀λ ∈ R.

(Ejemplo: Φ(z) = z es R-lineal.)

Una aplicacion Φ : C −→ C es C-lineal si y solo si:

Φ(z1 + z2) = Φ(z1) + Φ(z2), ∀z1, z2 ∈ C,

Φ(λz1) = λΦ(z1), ∀z1 ∈ C, ∀λ ∈ C.

(Observacion: Todas las aplicaciones C-lineales son de la forma: Φ(z) = αz, con α ∈ C.)


Sea f definida en un entorno de z0 ∈ C. Se dice que f es R-diferenciable en z0 si existe una aplicacion

R-lineal Df(z0) : C −→ C tal que

limh→0

| f(z0 + h) − f(z0) − Df(z0)(h) || h | = 0.

Se dice que f es C-diferenciable en z0 si existe una aplicacion C-lineal Df(z0) : C −→ C tal que

limh→0

| f(z0 + h) − f(z0) − Df(z0)(h) || h | = 0.

Teorema 1.2 f derivable en z0 ⇐⇒ f C-diferenciable en z0.

Observacion 1.5 f derivable en z0 ⇒ f R-diferenciable en z0.

(El recıproco no es cierto: f(z) = z es R-diferenciable en z0 = 0, pero no derivable).

Teorema 1.3 f derivable en z0 ⇒ f continua en z0.

(El recıproco no es cierto: f(z) =| z |2 es continua en todo z0 6= 0, pero no derivable).


Propiedades 1.7

1. f derivable en z0 ⇒ (cf)′(z0) = cf ′(z0).

2. f, g derivables en z0 ⇒ (f + g)′(z0) = f ′(z0) + g′(z0).

3. f, g derivables en z0 ⇒ (f · g)′(z0) = f ′(z0) · g(z0) + f(z0) · g′(z0).

4. f, g derivables en z0, g(z0) 6= 0 ⇒(

f

g

)′(z0) =

f ′(z0) · g(z0) − f(z0) · g′(z0)

[g(z0)]2.

5. f(z) = c ⇒ f ′(z0) = 0.

6. f(z) = zn ⇒ f ′(z0) = nzn−10 .

7. Regla de la cadena: Sean f derivable en z0 y g derivable en f(z0), entonces

(g f)′(z0) = g′(f(z0)) · f ′(z0).

1.6 Ecuaciones de Cauchy-Riemann

Relacionan la derivabilidad de f = u + i v con condiciones sobre las derivadas parciales de u y v.


Teorema 1.4 Teorema de Cauchy-Riemann: Sea f(z) = u(x, y)+i v(x, y). Sea z0 = x0+i y0.

a) Si existe f ′(z0), entonces existen∂u

∂x(x0, y0),

∂u

∂y(x0, y0),

∂v

∂x(x0, y0),

∂v

∂y(x0, y0) y se verifican

las condiciones de Cauchy-Riemann en (x0, y0):

∂u

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0),

∂u

∂y(x0, y0) = −∂v

∂x(x0, y0).

Ademas: f ′(z0) =∂u

∂x(x0, y0) + i

∂v

∂x(x0, y0) =

∂v

∂y(x0, y0) − i

∂u

∂y(x0, y0).

b) Recıprocamente, si f esta definida en un entorno del punto z0, existen las derivadas

parciales de u y v respecto a x e y y son continuas en (x0, y0), y se verifican las condiciones de

Cauchy-Riemann en (x0, y0), entonces existe f ′(z0).

Observacion 1.6 En realidad, se demuestra que si f es R-diferenciable en z0 y se verifican las

condiciones de C-R en (x0, y0), entonces existe f ′(z0) .

Observacion 1.7 Si f es derivable en z0 entonces: Df(z0)(h) = f ′(z0) · h . (Ejemplo: f(z) = z2).


1.7 Funciones analıticasSea f definida en un entorno de z0 ∈ C. Se dice que f es analıtica (u holomorfa) en z0 si su

derivada existe en cada punto z de un entorno de z0.

Se dice que f es analıtica en S ⊂ C si es analıtica en cada punto z0 de S. Se denota f ∈ H(S).

Observacion 1.8

1. Si f es analıtica en un punto z0, entonces tambien lo es en un entorno de ese punto.

2. Si f es analıtica en S, entonces para cada punto z0 de S existe un entorno donde la funcion

esta definida. Por tanto, z0 ha de ser un punto interior del dominio de definicion de f.

3. Si hablamos de f analıtica en un conjunto cerrado, se entiende que f es analıtica en un

abierto que lo contiene.

Una funcion se dice entera si es analıtica en todo C.

Ejemplo 1.4 Los polinomios son funciones enteras.


Si f es analıtica en un entorno de z0, salvo en z0, entonces se dice que z0 es un punto singular de f.

Ejemplo 1.5

1. z0 = 0 es un punto singular de f(z) =1

z.

2. f(z) =| z |2 no tiene puntos singulares, ya que no es analıtica en ningun punto.

1.8 Funciones armonicas

Sea D un dominio de R2. Sea h : D ⊂ R

2 −→ R. Se dice que h es una funcion armonica en D si h

es de clase 2 en D y satisface la ecuacion de Laplace en D:

∂2h

∂x2+

∂2h

∂y2= 0, ∀(x, y) ∈ D

que suele escribirse, de manera abreviada, ∆h = 0.


Observacion 1.9

1. Si f = u + iv es analıtica en S, entonces u y v verifican las condiciones de C-R y son de

clase 2 en S como funciones de R2. (Veremos mas adelante que, en realidad, u y v son de clase

∞ en S). Entonces, derivando dichas relaciones:

∂2u

∂x2=

∂2v

∂y∂x= −∂2u

∂y2⇒ ∂2u

∂x2+

∂2u

∂y2= 0.

∂2v

∂x2= − ∂2u

∂x∂y= −∂2v

∂y2⇒ ∂2v

∂x2+

∂2v

∂y2= 0.

Por tanto, u y v son armonicas en S.

2. Recıprocamente, si u es armonica en S, puede encontrarse otra funcion v armonica

en S, tal que f = u + iv es analıtica en S. Las funciones u y v se denominan armonicas

conjugadas.

Ejemplo 1.6 La funcion u(x, y) = x2 − y2 es armonica en R2. Una de sus funciones armonicas

conjugadas es v(x, y) = 2xy, ya que f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = x2 − y2 + 2xyi = (x + iy)2 = z2 es

una funcion entera.

(Puede probarse que todas las armonicas conjugadas de u son de la forma v(x, y) = 2xy + c, c ∈ R.

En este caso, la funcion entera es f(z) = z2 + ci.)

Tema 2 – Funciones analıticas elementales

2.1 Funcion exponencial

Tenemos que definir la funcion exponencial compleja de manera que generalice la real, esto es:

f(x + 0i) = ex, ∀x ∈ R.

f ′(z) = f(z), ∀z ∈ C.

Si la definimos de la forma:

f(z) = ex(cos(y) + isen(y)) = ex · eiy , ∀z = x + iy

entonces se verifican las dos condiciones. Por tanto, esa sera la definicion de la funcion exponencial.

Propiedades 2.1

1. ez ∈ H(C).

2.d

dzez = ez.

3. ez1+z2 = ez1 · ez2.

21

2. Funciones analıticas elementales 22

4. f(z) = ez es periodica de periodo 2πi, es decir ez1 = ez2 ⇔ z1 − z2 = 2kπi, k ∈ Z.

5. ez 6= 0, ∀z ∈ C.

6. | ez |= eRe(z).

7. ez = 1 ⇔ z = 2kπi, k ∈ Z.

2.2 Funciones trigonometricas

Teniendo en cuenta que para todo x ∈ R:

sen(x) =eix − e−ix

2i, cos(x) =

eix + e−ix

2,

se definen las funciones complejas:

sen(z) =eiz−e−iz

2i, ∀z ∈ C,

cos(z) =eiz+e−iz

2, ∀z ∈ C.


Propiedades 2.2

1. sen(z), cos(z) ∈ H(C).

2.d

dzsen(z) = cos(z),

d

dzcos(z) = −sen(z).

3. cos2(z) + sen2(z) = 1.

4. eiz = cos(z) + i sen(z), ∀z ∈ C.

5. sen(z) y cos(z) son periodicas de periodo 2π.

6. sen(z) = 0 ⇔ z = kπ, k ∈ Z.

cos(z) = 0 ⇔ z =(2k + 1) π

2, k ∈ Z.

7. sen(z) = sen(x)cosh(y) + i cos(x)senh(y).

cos(z) = cos(x)cosh(y) − i sen(x)senh(y).

A partir de estas expresiones se tiene:

|sen(z)|2 = sen2(x) + senh2(y)

|cos(z)|2 = cos2(x) + senh2(y)

donde se ve claramente que sen(z) y cos(z) son funciones no acotadas.


2.3 Funciones hiperbolicas

Se definen las funciones complejas:

senh(z) =ez−e−z

2, ∀z ∈ C,

cosh(z) =ez+e−z

2, ∀z ∈ C.

Propiedades 2.3

1. senh(z), cosh(z) ∈ H(C).

2.d

dzsenh(z) = cosh(z),

d

dzcosh(z) = senh(z).

3. sen(z) = −i senh(iz), −i sen(iz) = senh(z),

cos(z) = cosh(iz), cos(iz) = cosh(z).

4. cosh2(z) − senh2(z) = 1.

5. senh(z) y cosh(z) son periodicas de periodo 2πi.

6. senh(z) = 0 ⇔ z = kπi, k ∈ Z.

cosh(z) = 0 ⇔ z =(2k + 1) πi

2, k ∈ Z.


2.4 Funcion logaritmo y sus determinaciones

Sea ω ∈ C, | ω |= 1. Se llama argumento de ω a cualquier numero real θ tal que ω = eiθ. No

esta unıvocamente determinado.

Sea z ∈ C, z 6= 0. Se define el argumento de z como el argumento θ dez

| z |, de forma que

z =| z | eiθ. Es nuevamente una funcion multivaluada.

Se llama argumento principal ( o ındice 0) de z al unico argumento de z en el intervalo (−π, π]. Se

denomina Arg(z) o arg0(z).

Dado α ∈ R, se llama argumento ındice α de z al unico argumento de z en el intervalo (α−π, α+π].

Se denomina argα(z).

Ejemplo 2.1 Arg(1) = 0, argπ/2(1) = 0, argπ(1) = 2π.


La funcion Arg : z ∈ C − 0 −→ Arg(z) ∈ (−π, π] ⊂ R

es continua en C − H0 , donde H0 = −r / r ∈ R+

6

H0

En general, la funcion argα es continua en C − Hα , donde Hα = −reiα / r ∈ R+.

6

-

Hα

α

Una vez vista la funcion argumento, estudiemos ahora la funcion logaritmo (en base e) y sus determina-

ciones. El logaritmo esta definido inicialmente para numeros reales positivos. Se extiende a numeros

complejos de la siguiente forma:

log(z) = log(| z |) + i arg(z) , z 6= 0.

Como el argumento admite diferentes determinaciones, lo mismo ocurrira con el logaritmo.


Entonces, se define el logaritmo ındice α de z como:

logα(z) = log(| z |) + i argα(z).

El logaritmo principal (o ındice 0) de z tambien se denota Log(z).

6

-

u

v

−π

πLog(z)

α − π

α + πlogα(z) β − π

β + πlogβ(z)

La funcion logα es analıtica en todo C salvo en Hα. En particular, Log(z) es analıtica en C−H0.

Para calcular su derivada, la escribimos en coordenadas polares:

Log(z) = log(r) + i θ, z = r(cos(θ) + isen(θ)) .


Por el teorema de Cauchy-Riemann en coordenadas polares se tiene:

f ′(z) =e−iθ

r=

1

z.

Tambien se verifica:

(a) eLog(z) = z , (b) ∃ k ∈ Z / Log(ez) = z + 2kπi.

Por tanto, las funciones Log(z) y ez se consideran inversas al restringirlas a la banda R × (−π, π].

De igual forma, logα(z) y ez son inversas al restringirlas a la banda R × (α − π, α + π].

Propiedades 2.4

1.d

dzlogα(z) =

1

z.

2. log(z1.z2) = log(z1) + log(z2) (falso para determinaciones concretas; ej.: Log, z1 = z2 = −1.)

3. log(z1

z2) = log(z1) − log(z2).

4. zn = en log(z).

5. z1/n = elog(z)/n.


2.5 Potencia con exponentes complejos

Dada una constante c ∈ C se define la funcion:

zc = ec log(z), ∀z 6= 0.

La funcion ası definida es multivaluada, pero si fijamos una determinacion del logaritmo, entonces

ya es univaluada.

Entonces, la funcion:

zcα = ec logα(z) ,

es analıtica en C − Hα . Ademas:

d

dzzcα = c.zc−1

α .

Ejemplo 2.2 Calcular la determinacion principal de zi . Evaluar (−i)i.


2.6 Exponencial de base c

Dado c ∈ C, c 6= 0, se define la funcion:

cz = ez log(c), ∀z ∈ C.

La funcion ası definida tambien es multivaluada, pero fijando una determinacion del logaritmo

se hace univaluada.

Entonces, la funcion:

czα = ez logα(c) ,

es analıtica en todo C .

Ademas:

d

dzczα = cz

α.logα(c) .


2.7 Funciones inversas

Ejemplo 2.3 Comprobar las siguientes igualdades:

1. arc sen(z) = −i log(iz ±√

1 − z2)

2. arc cos(z) = −i log(z ± i√

1 − z2)

3. arg senh(z) = log(z +√

z2 + 1)

4. arg cosh(z) = log(z +√

z2 − 1)

Por ejemplo, determinemos arc sen(z):

ω = arc sen(z) ⇒ sen(ω) = z ⇒eiω − e−iω

2i= z ⇒ (eiω)2 − 2izeiω − 1 = 0 ⇒

eiω = iz ±√

1 − z2 ⇒ iω = log(iz ±√

1 − z2) ⇒

arc sen(z) = −i log(iz ±√

1 − z2) .

Tema 3 – Integracion en el campo complejo

3.1 Integral de una funcion compleja de variable real

Se define una funcion compleja de variable real continua a trozos como una aplicacion:

w : t ∈ [a, b] ⊂ R −→ w(t) = u(t) + i v(t) ∈ C

tal que u y v son funciones reales continuas salvo, a lo sumo, en un numero finito de puntos

de [a, b], en donde hay discontinuidades de tipo finito (es decir, la funcion tiene lımites finitos por la

derecha y por la izquierda).

Sea w : [a, b] −→ C una funcion compleja de variable real continua a trozos. Se define la integral en

[a, b] de w de la forma:

∫ b

a

w(t)dt =

∫ b

a

u(t)dt + i

∫ b

a

v(t)dt.

(Analogamente para integrales impropias definidas en intervalos no acotados).

32

3. Integracion en el campo complejo 33

Ejemplo 3.1

∫ π/6

0

ei2tdt =

∫ π/6

0

cos(2t)dt+ i

∫ π/6

0

sen(2t)dt =sen(2t)

2

]π/6

0

+ i−cos(2t)

2

]π/6

0

=

√3

4+

i

4.

Propiedades 3.1

1. Re

(∫ b

a

w(t)dt

)

=

∫ b

a

Re(w(t))dt.

2. Im

(∫ b

a

w(t)dt

)

=

∫ b

a

Im(w(t))dt.

3.

∫ b

a

(w(t) + z(t))dt =

∫ b

a

w(t)dt +

∫ b

a

z(t)dt.

4. ∀z0 ∈ C,

∫ b

a

z0 · w(t)dt = z0 ·∫ b

a

w(t)dt.

5.

∣

∣

∣

∣

∫ b

a

w(t)dt

∣

∣

∣

∣

≤∫ b

a

| w(t) | dt.

Sea w : [a, b] ⊂ R −→ C una funcion compleja de variable real continua a trozos. Se dice que w es

derivable en t0 ∈ [a, b] si existe:

limt→0

w(t0 + t) − w(t0)

t= w′(t0).


Teorema 3.1 w derivable en t0 ⇐⇒ u, v derivables en t0.

Ademas, en ese caso: w′(t0) = u′(t0) + i v′(t0).

Teorema 3.2 Sea w : [a, b] −→ C una funcion compleja de variable real continua a trozos.

Entonces:

1. La funcion z : [a, b] −→ C definida por: z(x) =

∫ x

a

w(t)dt,

es derivable y tal que z′(x) = w(x), ∀x ∈ [a, b].

2. Si w es de clase 1 en [a, b] (es decir, u y v son de clase 1), entonces:

∫ b

a

w′(t)dt = w(b) − w(a).

3. Si w es de clase 1 en [a, b] y g : [c, d] −→ g([c, d]) = [a, b] es de clase 1 en [c, d], entonces:

∫ b

a

w(t)dt =

∫ d

c

(w g)(x)g′(x)dx.


3.2 Contornos

Una curva (o arco) C en el plano complejo es una aplicacion:

z : t ∈ [a, b] ⊂ R −→ z(t) = x(t) + i y(t) ∈ C

donde x e y son funciones reales continuas.

Se identifica la curva con la imagen de la aplicacion:

C = z(t) = x(t) + i y(t) : t ∈ [a, b].

La orientacion de la curva viene dada por los valores crecientes en t.

Una curva C es simple si no se corta a sı misma, es decir:

t1 6= t2 ⇒ z(t1) 6= z(t2).

Una curva C es simple y cerrada (o de Jordan) si es simple salvo para z(a) = z(b).


Ejemplo 3.2

1. Todas las curvas estudiadas en R2:

σ : t ∈ [a, b] ⊂ R −→ σ(t) = (x(t), y(t)) ∈ R2,

se pueden considerar como curvas complejas:

σ : t ∈ [a, b] ⊂ R −→ σ(t) = x(t) + i y(t) ∈ C.

2. z(t) = z0 + reit, t ∈ [0, 2π] representa la circunferencia centrada en z0 y de radio r.

Una curva C se dice derivable de clase 1 si existen y son continuas en [a, b] las derivadas x′(t)

e y′(t).

La funcion real: | z′(t) |=√

(x′(t))2 + (y′(t))2, permite definir la longitud de arco de C:

L =

∫ b

a

| z′(t) | dt.


Una curva C se dice regular si es una curva derivable de clase 1 y la derivada no se anula en

ningun punto.

Una curva regular a trozos se llama contorno, esto es: z ′(t) continua a trozos, z′(t) 6= 0, ∀t ∈[a, b] salvo, a lo sumo, en un numero finito de puntos.

Todo contorno simple cerrado C define dos dominios (un dominio es un conjunto abierto y

conexo) en el plano complejo que tienen a C como frontera comun. Uno de los dominios es acotado

y se llama el interior de C. El otro, no acotado, se llama exterior de C.

La orientacion positiva de un contorno simple cerrado es aquella tal que al recorrer el contorno el

interior queda a la izquierda.


3.3 Integrales curvilıneas

Sea C un contorno. Sea f : z ∈ C ⊂ C −→ f(z) = u(x, y) + i v(x, y) ∈ C continua a trozos

sobre C, es decir: f(z(t)) = u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t)) continua a trozos en [a, b] . Se define la

integral de contorno de f sobre C como:

∫

Cf(z)dz =

∫ b

a

f(z(t))z′(t)dt ∈ C,

es decir:∫

Cf(z)dz =

∫ b

a

[u(x(t), y(t)) + i v(x(t), y(t))] · [x′(t) + i y′(t)]dt

=

∫ b

a

[u(x(t), y(t))x′(t) − v(x(t), y(t))y′(t)]dt

+i

∫ b

a

[u(x(t), y(t))y′(t) + v(x(t), y(t))x′(t)]dt

=

∫

C(u dx − v dy) + i

∫

C(u dy + v dx).


Propiedades 3.2

1. Cualquier cambio de parametrizacion conservando la orientacion no afecta a la integral.

2. Sea −C el mismo contorno C, pero recorrido en sentido contrario: −C = z(−t) : t ∈ [−b,−a].Entonces:

∫

−Cf(z)dz = −

∫

Cf(z)dz.

3. Sea C1 un contorno de z1 a z2 y sea C2 un contorno de z2 a z3. Consideramos C = C1 + C2 el

contorno de z1 a z3. Entonces:

z1• z2

• z3•C1

C2∫

Cf(z)dz =

∫

C1

f(z)dz +

∫

C2

f(z)dz.

4. Sea C1 un contorno de z1 a z3 y sea C2 un contorno de z2 a z3. Consideramos C = C1 − C2 =

C1 + (−C2) el contorno de z1 a z2. Entonces:

z1• z2

• z3•C C2

C1

∫

Cf(z)dz =

∫

C1

f(z)dz −∫

C2

f(z)dz.


5.

∫

C(f(z) + g(z))dz =

∫

Cf(z)dz +

∫

Cg(z)dz.

6. ∀z0 ∈ C,

∫

Cz0 · f(z)dz = z0 ·

∫

Cf(z)dz.

7. Sea L la longitud de arco de C. Sea M una cota de f en C, esto es, | f(z) |≤ M, ∀z ∈ C.

Entonces:

∣

∣

∣

∣

∫

Cf(z)dz

∣

∣

∣

∣

≤ ML.

Ejemplo 3.3 Calcular la integral

∫

γ

|z| dz siendo el contorno γ:

1. γ = [−i, i] en sentido positivo.

2. El indicado en la figura, desde −i hasta i.

3. El indicado en la figura, desde i hasta −i.

-

6

−i

•

•

iγ


3.4 Teorema de Cauchy-Goursat

Un dominio D ⊂ C es simplemente conexo si todo contorno cerrado dentro de D encierra en su

interior unicamente puntos del dominio.

En caso contrario se dice que D ⊂ C es multiplemente conexo.

simplemente conexo multiplemente conexo

Teorema 3.3 Primera version del teorema de Cauchy-Goursat

Sean D una region simplemente conexa y f(z) = u(x, y) + i v(x, y) una funcion analıtica en

D con derivada f ′ continua. Entonces, si C es un contorno simple cerrado orientado

positivamente dentro de D, se tiene:

∫

Cf(z)dz = 0.


Observacion 3.1 Goursat demostro el teorema pidiendo “menos hipotesis”. Basta con que f sea

analıtica sobre C y en su interior para que el resultado se verifique:

Teorema 3.4 Segunda version del teorema de Cauchy-Goursat

Sea f analıtica en una region D simplemente conexa. Entonces, para todo contorno Csimple cerrado en D, se tiene:

∫

Cf(z)dz = 0.

Observacion 3.2 Como consecuencia inmediata, si D es simplemente conexa y si C1 y C2 son dos

contornos en D con los mismos extremos, se tiene que C1 − C2 es un contorno cerrado en D. Entonces,

para toda f analıtica en D:

∫

C1−C2

f(z)dz = 0 ⇒∫

C1

f(z)dz =

∫

C2

f(z)dz.

Es decir, la integral es independiente del camino.


Teorema 3.5 Version del T. Cauchy-Goursat para dominios multiplemente conexos

Sea C un contorno simple cerrado. Sean Cj, j = 1, . . . , n contornos simples cerrados en el

interior de C tales que los interiores de Cj no tengan puntos comunes entre sı. Entonces, si R es la

region:

R = int(C) −n∑

j=1

int(Cj)

C

C

C

1

2

R

y B es su frontera positivamente orientada, se verifica para toda f analıtica en R y sobre

su frontera B:

∫

Bf(z)dz = 0.

Ejemplo 3.4 Calcular la integral

∫

B

dz

z4 + 9z2,

donde B es la frontera de la region R = z ∈ C/ 1 < |z| < 2, orientada positivamente.


3.5 Primitivas e independencia del camino

Sea f continua en un dominio D tal que existe una funcion F analıtica en D verificando

F ′(z) = f(z), ∀z ∈ D. Entonces se dice que F es una primitiva de f en D.

Observacion 3.3 Si se cambia el dominio D, la primitiva de f puede variar.

Teorema 3.6 Sea f una funcion continua en un dominio D con una primitiva F en ese dominio.

Entonces, si C es un contorno en D de extremos z1 y z2 se verifica:

∫

Cf(z)dz = F (z2) − F (z1).

Observacion 3.4

1. Por tanto, la integral solo depende de los puntos inicial y final, es decir, es independiente

del camino.

2. Si z1 = z2, es decir, el camino es cerrado, entonces:

∫

Cf(z)dz = 0.


Recıprocamente:

Teorema 3.7 Sea f una funcion continua en un dominio D y tal que las integrales de f sobre

contornos contenidos en D son independientes del camino. Entonces f tiene primitiva

F en D.

Teorema 3.8 Sean D un dominio y f una funcion continua en D. Entonces dos primitivas

de f en D difieren en una constante.

Observacion 3.5 Por el teorema de Cauchy-Goursat, una funcion f analıtica en un dominio

D simplemente conexo verifica que cualquier integral sobre un contorno C de D uniendo

dos puntos z1 y z2 es independiente del camino. Por tanto, por el teorema anterior, f tiene

primitiva F en D. Ası pues:

∫

Cf(z)dz = F (z2) − F (z1).

Tema 4 – Formula integral de Cauchy

4.1 Formula integral de Cauchy

Teorema 4.1 .- Sea f una funcion analıtica sobre un contorno C simple cerrado orientado

positivamente y en su interior. Sea z0 cualquier punto interior a C. Entonces:

∫

C

f(z)

z − z0dz = 2πi f(z0).

Es decir, la formula integral de Cauchy indica que los valores que toma una funcion analıtica en el

interior de un contorno dependen unicamente de los valores que toma dicha funcion sobre el contorno.

Ejemplo 4.1 Dado C = z ∈ C/ |z| = 2, calcular la integral

∫

C

z

(9 − z2)(z + i)dz .

46

4. Formula integral de Cauchy 47

4.2 Derivadas de funciones analıticas

El objetivo fundamental es probar que, tal como habıamos avanzado, una funcion analıtica en un punto

tiene derivadas de cualquier orden en ese punto.

Teorema 4.2 Sea f una funcion analıtica sobre un contorno C simple cerrado orientado po-

sitivamente y en su interior. Sea z0 cualquier punto interior a C. Entonces:

∫

C

f(z)

(z − z0)2dz = 2πi f ′(z0).

En general, se puede demostrar la formula integral de Cauchy para las derivadas:

fn)(z0) =n!

2πi

∫

C

f(z)

(z − z0)n+1dz.

Teorema 4.3 Si f es una funcion analıtica en z0, entonces f tiene derivadas de todos los

ordenes en z0 y son analıticas en z0.


4.3 Teoremas importantes de analiticidad

Teorema 4.4 Teorema de Morera

Sea f una funcion continua en un dominio D. Si para todo contorno C cerrado en D se

verifica:∫

Cf(z)dz = 0,

entonces f es analıtica en D.

Observacion 4.1 Para funciones continuas el Teorema de Morera representa el recıproco al Teorema

de Cauchy-Goursat.

Observacion 4.2 Si se conoce la analiticidad de una funcion f en un dominio D excepto en un punto

z0 y se sabe que f es continua en D, entonces se puede concluir que f es analıtica en D.

Ejemplo 4.2 La funcion

f(z) =

sen(z)

zsi z 6= 0

1 si z = 0

es analıtica en todo C.


Teorema 4.5 Teorema del modulo maximo

Sea f una funcion analıtica y no constante en un dominio D. Entonces | f(z) | no alcanza

un valor maximo en ese dominio.

(Ası, si f ∈ H(D), no constante y continua sobre su frontera, entonces | f(z) | alcanza el maximo

sobre la frontera y no en el interior de D).

Teorema 4.6 Teorema del modulo mınimo

Sea f una funcion continua en una region acotada y cerrada D y analıtica y no constante

en el interior de D. Si f(z) 6= 0, ∀z ∈ D, entonces | f(z) | alcanza el mınimo en la frontera de

D y no en su interior.

Observacion 4.3 La condicion f(z) 6= 0, ∀z ∈ D es necesaria para obtener el resultado anterior.

Considerar, por ejemplo, la funcion f(z) = z.

Teorema 4.7 Teorema de Liouville

Toda funcion entera y acotada es constante.

Teorema 4.8 Teorema fundamental del Algebra

Todo polinomio P (z) = a0 + a1z + · · · + anzn con ai ∈ C, ∀i = 0, . . . , n; an 6= 0, tiene n ceros.

Tema 5 – Series

5.1 Series de numeros complejos

Una sucesion de numeros complejos es una aplicacion: z : n ∈ N −→ z(n) = zn ∈ C, que

suele representarse como znn∈N o zn.

Una sucesion zn converge a z0 y se denota zn → z0, si y solo si:

∀ε > 0, ∃M ∈ N / ∀n > M, | zn − z0 |< ε.

Sea F el espacio de funciones complejas de A ⊂ C en C. Una sucesion de funciones complejas

es una aplicacion:

f : n ∈ N −→ f(n) = fn ∈ F ,

que suele representarse como fn.

50

5. Series 51

Una sucesion fn converge puntualmente a f0 si y solo si:

∀a ∈ A, ∀ε > 0, ∃Ma ∈ N / ∀n > Ma, | fn(a) − f0(a) |< ε,

esto es, si ∀a ∈ A, la sucesion de complejos fn(a) → f0(a).

Una sucesion fn converge uniformemente a f0 si y solo si:

∀ε > 0, ∃M ∈ N / ∀n > M, | fn(z) − f0(z) |< ε, ∀z ∈ A.

Dada una sucesion de complejos zn se define la sucesion de sumas parciales sn como:

sn = z0 + z1 + · · · + zn =

n∑

m=0

zm, ∀n ∈ N.

Se define entonces la serie de numeros complejos:

∞∑

n=0

zn.

5. Series 52

Se dice que la serie es convergente si la sucesion sn es convergente. Si sn → s se nota:

∞∑

n=0

zn = s

y s se llama la suma de la serie.

Se dice que la serie

∞∑

n=0

zn es divergente si la sucesion sn es divergente.

Se dice que la serie∞∑

n=0

zn es absolutamente convergente si la serie∞∑

n=0

| zn | es convergente.

Se dice que la serie∞∑

n=0

zn es condicionalmente convergente si es convergente, pero no abso-

lutamente convergente.

De manera analoga, una serie de funciones∞∑

n=0

fn es puntualmente convergente o uniforme-

mente convergente si su sucesion de sumas parciales sn(z) es, respectivamente, puntualmente

convergente o uniformemente convergente.

5. Series 53

Propiedades 5.1

1. Sea zn = xn + iyn. Entonces:

∞∑

n=0

zn converge ⇔∞∑

n=0

xn,

∞∑

n=0

yn convergen.

2.∞∑

n=0

zn converge ⇒ limn→∞

zn = 0.

3.∞∑

n=0

| zn | converge ⇒∞∑

n=0

zn converge.

5.2 Series de potencias

Una serie de potencias centrada en z0 ∈ C es una serie de funciones de la forma:∞∑

n=0

an(z − z0)n , donde an es una sucesion de numeros complejos.

Las series de potencias centradas en z0 = 0 se denominan series de McLaurin.

5. Series 54

Teorema 5.1 Si la serie∞∑

n=0

an(z − z0)n converge para z1 6= z0, entonces es absolutamente

convergente para todo z tal que | z − z0 |<| z1 − z0 |.

El mayor disco centrado en z0 en el que la serie de potencias converge se llama disco de convergencia

Se llama radio de convergencia ρ al radio del disco de convergencia.

Observacion 5.1 La serie no puede ser convergente en ningun punto fuera de su disco de convergencia,

ya que en ese caso, segun el teorema anterior, la serie convergerıa en un disco mayor. En los puntos de

la frontera, la serie puede ser convergente o no segun el caso.

Sea s(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n la suma de la serie de potencias y sea sn(z) =

n∑

m=0

am(z − z0)m la suma

parcial n−esima. Se llama resto n−esimo de la serie:

ρn(z) = s(z) − sn(z).

Como la serie es convergente en su disco de convergencia | z−z0 |< ρ, sabemos que en dicho disco:

limn→∞

ρn(z) = 0.

5. Series 55

Teorema 5.2 Si z1 es un punto interior del disco de convergencia de una serie de potencias centra-

da en z0, entonces la serie es uniformemente convergente en el disco cerrado | z−z0 |≤| z1−z0 |.

Corolario 5.1 La funcion suma de la serie s(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n es continua en el interior de su

disco de convergencia.

Se recuerda que el radio de convergencia ρ de una serie∞∑

n=0

an(z − z0)n es el supremo de los

numeros reales r ≥ 0 para los que la serie

∞∑

n=0

| an | rn

es convergente. Nota: se esta considerando r =| z − z0 |.

Entonces, para la determinacion de ρ se pueden utilizar los dos siguientes criterios de convergencia de

series de numeros no negativos:

5. Series 56

Criterio de Cauchy:

Sea αn una sucesion de numeros reales no negativos y sea l = lim αn1/n. Entonces, si l < 1 la

serie∞∑

n=0

αn es convergente, si l > 1 la serie es divergente y, si l = 1 el criterio no decide.

Criterio de D’Alembert:

Sea αn una sucesion de numeros reales positivos. Entonces,

• si limαn+1

αn< 1 la serie

∞∑

n=0

αn es convergente,

• si limαn+1

αn> 1 la serie es divergente y,

• si limαn+1

αn≤ 1 ≤ lim

αn+1

αnel criterio no decide.

Se prueba ademas que, si existe el lımite, entonces:

limn→∞

αn+1

αn= lim

n→∞αn

1/n.

5. Series 57

Aplicando el criterio de Cauchy a la serie∞∑

n=0

| an | | z − z0 |n =∞∑

n=0

| an | rn se obtiene la formula

de Hadamard, que proporciona el radio de convergencia:

ρ =1

lim | an |1/n.

Aplicando el criterio de D’Alembert, se tiene que:

ρ1 =1

lim| an+1 || an |

≤ ρ ≤ 1

lim| an+1 || an |

= ρ2.ρ1

ρ2

Observacion 5.2 Interpretacion de la desigualdad anterior: Si ρ < ρ1 la serie converge. Si

ρ > ρ2 entonces la serie no converge.

Ademas, si existe el lımite, entonces:ρ =

1

limn→∞

| an+1 || an |

.

5. Series 58

Ejemplo 5.1

1.

∞∑

n=0

zn

n!, ρ = ∞.

2.∞∑

n=0

zn

n2, ρ = 1.

3.∞∑

n=0

nn zn

n!, ρ =

1

e.

4.

∞∑

n=0

zn2

, ρ = 1.

5.∞∑

n=0

zn =1

1 − zsi |z| < 1. Ademas, ρ = 1.

5. Series 59

5.3 Integracion y derivacion de series de potencias

Teorema 5.3 Sea la funcion s(z) =

∞∑

n=0

an(z − z0)n, (que es continua en el interior de su disco de

convergencia). Sea C un contorno en dicho disco, y sea g(z) una funcion continua en C. Entonces:

∫

Cg(z)s(z)dz =

∞∑

n=0

an

∫

Cg(z)(z − z0)

ndz.

Corolario 5.2 La serie de potencias s(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n, representa una funcion analıtica en el

interior de su disco de convergencia.

Teorema 5.4 La funcion s(z) =

∞∑

n=0

an(z − z0)n, puede derivarse termino a termino en el

interior de su disco de convergencia. Ademas, la serie:

s′(z) =

∞∑

n=1

n an(z − z0)n−1,

es convergente en el mismo disco de convergencia que s(z).

5. Series 60

5.4 Series de Taylor

Teorema 5.5 Teorema de Taylor

Sea la funcion f analıtica en el interior de un cırculo centrado en z0 y de radio R. Entonces, para

cada z tal que | z − z0 |< R se tiene:

f(z) =∞∑

n=0

f (n(z0)

n!(z − z0)

n.

Teorema 5.6 Teorema de unicidad

Si una serie∞∑

n=0

an(z − z0)n converge a una funcion f en su disco de convergencia | z − z0 |< ρ

entonces esa serie es el desarrollo de Taylor de f en el punto z0.

Ejemplo 5.2

1. Calcular la serie de Taylor de f(z) =1

1 − z2en torno al punto z0 = 2.

2. Calcular la serie de Taylor de f(z) =−3z − 30

(z + 4)2(z − 2)en torno al punto z0 = 1.

5. Series 61

5.5 Ceros de funciones analıticas

Sea f una funcion analıtica en el punto z0. Entonces, para el disco | z − z0 |< R se tiene una

representacion de Taylor:

f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n,

con an =f (n(z0)

n!, ∀n ∈ N

Si f (i(z0) = 0, i = 0, 1, . . . , m − 1, f (m(z0) 6= 0, entonces, para el disco | z − z0 |< R se tiene:

f(z) = (z − z0)m ·

∞∑

n=0

am+n(z − z0)n,

es decir, f(z) = (z − z0)m · g(z), con g analıtica en el disco y g(z0) = am.

5. Series 62

Entonces, si f es una funcion analıtica en z0 y tal que

f(z) = (z − z0)m.g(z),

con g analıtica en z0 y g(z0) 6= 0, se dice que z0 es un cero de orden m de f .

Ejemplo 5.3 Encontrar los ceros de la funcion f(z) = ez − z − 1.

Teorema 5.7 Teorema de los ceros aislados

Sea la funcion no identicamente nula f analıtica en el punto z0, tal que se anula en dicho punto.

Entonces, existe un entorno de z0 en el que no hay otros ceros de la funcion f.

(Es decir, los ceros de las funciones analıticas no nulas son aislados).

Ejercicio 5.1 Sea Ω un conjunto abierto y conexo, sean f, g ∈ H(Ω), sea zn una sucesion en Ω tal

que zn → z0 ∈ Ω. Probar que si f(zn) = g(zn), ∀n ∈ N, entonces f ≡ g.

Tema 6 – Residuos y polos

6.1 Series de Laurent

Si f es analıtica en z0 podemos hablar de su desarrollo en serie de Taylor en el disco de convergencia,

pero:

• ¿que se puede decir fuera de ese disco?

• ¿que ocurre si la funcion no es analıtica en z0?

Teorema 6.1 Sean C0 y C1 dos circunferencias centradas en el punto z0 y de radios respectivos R0

y R1, con R0 < R1. Sea f una funcion analıtica en C0, C1 y en la corona que encierran. Entonces,

para todos los puntos z en la corona R0 <| z − z0 |< R1 se tiene:

f(z) =

∞∑

n=0

an(z − z0)n +

∞∑

n=1

bn

(z − z0)n,

donde:

63

6. Residuos y polos 64

an =1

2πi

∫

C1

f(z)

(z − z0)n+1dz, n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

2πi

∫

C0

f(z)

(z − z0)−n+1dz, n = 1, 2, 3, . . .

R0

R1

La serie se denomina desarrollo en serie de Laurent de f . La parte∞∑

n=0

an(z − z0)n se denomina

parte regular de f y la parte∞∑

n=1

bn

(z − z0)nse denomina parte principal de f .

Las propiedades vistas para series de potencias siguen siendo validas para las series de Laurent si

consideramos los dominios apropiados.

Ası, si denotamos: R =1

lim | an |1/n, r = lim | bn |1/n,

la serie de Laurent define una funcion analıtica en la corona: z ∈ C : r <| z − z0 |< R.


Observacion 6.1

1. Si f es analıtica en todo el interior de C1 entonces, por el teorema de Cauchy-Goursat,

bn = 0, ∀n ≥ 1. En consecuencia, lo que se tiene es el desarrollo de Taylor.

2. Como f es analıtica en la corona r <| z − z0 |< R, aplicando el teorema de Cauchy-Goursat

para dominios multiplemente conexos, para el calculo de an y bn puede utilizarse cualquier

otro contorno C en el interior de la corona. Ası se tiene:

f(z) =

∞∑

n=−∞cn(z − z0)

n,

donde: cn =1

2πi

∫

C

f(z)

(z − z0)n+1dz, n = 0,±1,±2, . . .

C0C1

C

3. La representacion en series de Laurent de una funcion depende de la region donde es valida

dicha representacion. Por ejemplo:

1

z − 1=

∞∑

n=0

(

1

z

)n+1

, si |z| > 1;1

z − 1= −

∞∑

n=0

zn, si |z| < 1


6.2 Residuos

Un punto z0 se dice una singularidad (o punto singular) de f si y solo si f no es analıtica en

z0, pero sı lo es en algun punto de cada entorno de z0.

Una singularidad z0 se dice aislada si existe un entorno de z0 donde f es analıtica, salvo en z0.

Esto es, existe R > 0 tal que f es analıtica en el anillo 0 <| z − z0 |< R.

Como la singularidad z0 es aislada, se puede encontrar un desarrollo en serie de Laurent en ese

anillo:

f(z) =

∞∑

n=0

an(z − z0)n +

∞∑

n=1

bn

(z − z0)n.

Al numero:

b1 =1

2πi

∫

Cf(z)dz,

se le denomina residuo de f en la singularidad z0 y se denota Res(f, z0).


Teorema 6.2 Teorema de los RESIDUOS

Sea C un contorno cerrado simple orientado positivamente. Sea f una funcion analıtica en C y en su

interior, salvo en un numero finito de singularidades aisladas z1, z2, . . . , zn. Sean B1, B2, . . . , Bn

los residuos de f en dichas singularidades. Entonces:

∫

Cf(z)dz = 2πi(B1 + B2 + · · · + Bn).

Observacion 6.2 Este resultado se puede interpretar como una generalizacion de la Formula Integral

de Cauchy.

6.3 Clasificacion de singularidades

Si f tiene una singularidad aislada en z0 se puede encontrar un desarrollo en serie de Laurent

f(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n +

∞∑

n=1

bn

(z − z0)n, en el anillo 0 <| z − z0 |< R.

Entonces:


1. Si la parte principal tiene un numero FINITO de sumandos no nulos, es decir,

∃m ∈ N / bm 6= 0, bn = 0, ∀n > m, entonces z0 se dice un POLO de orden m.

Por ejemplo:

(a) La funcion

f(z) =z2 − 2z + 3

z − 2= 2 + (z − 2) +

3

z − 2

tiene en z0 = 2 un polo de orden uno (o simple) y Res(f, 2) = 3.

(b) La funcion

f(z) =ez

z3=

1

z3+

1

z2+

1

2! z+

∞∑

n=0

zn

(n + 3)!

tiene en z0 = 0 un polo de orden tres y Res(f, 0) = 12.

2. Si la parte principal tiene un numero INFINITO de sumandos no nulos, entonces

z0 se dice una singularidad ESENCIAL.

Por ejemplo:

f(z) = e1/z = 1 +∞∑

n=1

1

n! zn

tiene en z0 = 0 una singularidad esencial y Res(f, 0) = 1.


3. Si la parte principal tiene TODOS sus coeficientes NULOS, es decir, bn = 0, ∀n ∈ N,

entonces z0 se dice una singularidad EVITABLE.

Por ejemplo:

f(z) =sen(z)

z=

∞∑

n=0

(−1)nz2n

(2n + 1)!

tiene en z0 = 0 una singularidad evitable y Res(f, 0) = 0.

Observacion 6.3 El nombre de singularidad evitable se utiliza por el hecho de que si redefinimos

la funcion en z0 de forma que sea continua, esto es:

f(z0) = limz→z0

f(z),

la nueva funcion ya no presenta singularidad en dicho punto, como consecuencia de la Observacion 4.2.

Ası, en el ejemplo anterior, si redefinimos:

f(z) =

sen(z)

z, z 6= 0

1, z = 0

esta funcion ya es entera.


6.4 Calculo efectivo de residuos

Cuando z0 es una singularidad ESENCIAL, la unica manera de hallar el residuo es calcular la

serie de Laurent y determinar en ella el coeficiente b1 que acompana a1

z − z0.

Cuando z0 es una singularidad EVITABLE, el residuo es CERO, pues la parte principal es nula.

Tenemos el siguiente resultado de caracterizacion de singularidades evitables:

Teorema 6.3 Sea z0 una singularidad aislada de la funcion f. Entonces equivalen:

1. z0 una singularidad EVITABLE de f .

2. limz→z0

(z − z0).f(z) = 0.

3. Existe el lımite limz→z0

f(z).

4. f es acotada en un entorno de z0.

En el caso en que z0 es un polo, el residuo puede ser calculado de forma alternativa, segun se deduce

del siguiente resultado de caracterizacion de polos:


Teorema 6.4 Sea z0 una singularidad aislada de la funcion f. Entonces equivalen:

1. z0 un POLO de orden m de f .

2. limz→z0

(z − z0)m.f(z) = c 6= 0.

3. Existe una funcion Φ definida en un entorno de z0, analıtica en z0 y verificando Φ(z0) 6= 0 tal

que, en ese entorno:

f(z) =Φ(z)

(z − z0)m

Observacion 6.4

1. Como consecuencia se tiene que si z0 es un polo de orden m de f , entonces: limz→z0

f(z) = ∞y, ademas, el residuo de f en z0 viene dado por:

Res(f, z0) =Φ(m−1(z0)

(m − 1)!=

1

(m − 1)!limz→z0

d(m−1

dzm−1f(z).(z − z0)

m.

2. Tambien se deduce que z0 es un POLO de orden m de f si y solo si z0 es un CERO

de orden m de1

f.


En realidad, se tiene el siguiente resultado general:

Teorema 6.5 Sea la funcion f(z) =p(z)

q(z).

Si z0 es un cero de orden m de p ( p(z) = (z − z0)ml(z) , l(z0) 6= 0 ) y un cero de orden n de q

( q(z) = (z − z0)nr(z) , r(z0) 6= 0 ), entonces:

• Si n > m, z0 es un POLO de orden (n − m) de f .

• Si n = m, z0 es una singularidad EVITABLE de f .

• Si n < m, f es analıtica en el punto z0, que es un CERO de orden (m − n) de f .

Ejercicio 6.1

1. Sea f(z) =z

(z − 1)(z + 1)2. Calcular y clasificar las singularidades de f . Determinar el residuo

de f en cada una de dichas singularidades.

2. Determinar el orden de los polos de cada una de las siguientes funciones en z0 = 0:

(a)cos(z)

z2(b)

ez − 1

z2(c)

z + 1

z − 1


6.5 Aplicacion al calculo de integrales reales

6.5.1 Integrales trigonometricas

Todas las integrales de la forma:

∫ 2π

0

R(cos(θ), sen(θ)) dθ

donde el integrando es una funcion racional de sen(θ) y cos(θ) pueden ser calculadas utilizando el

teorema de los residuos.

Para ello, realizamos el “cambio de variable” z = eiθ, teniendo en cuenta que si θ recorre el intervalo

real [0, 2π] entonces z recorre, sobre el plano complejo, la circunferencia unidad | z |= 1.

Dado que:

dz = i eiθdθ ⇒ dθ =dz

iz= −i

dz

z,

sen(θ) =eiθ − e−iθ

2i=

1

2i(z − 1

z), cos(θ) =

eiθ + e−iθ

2=

1

2(z +

1

z),


la integral trigonometrica se transforma en la integral compleja:

−i

∫

|z|=1

R(1

2(z +

1

z),

1

2i(z − 1

z))

dz

z.

Ejemplo 6.1 Calcular la integral:

I =

∫ π

0

dθ

a + cos(θ)a > 1.

En primer lugar, teniendo en cuenta que la funcion cos(θ) es par, es decir, toma los mismos valores en

el intervalo [0, π] que en [π, 2π], se puede escribir:

I =1

2

∫ 2π

0

dθ

a + cos(θ).

Tomando z = eiθ, θ ∈ [0, 2π], se tiene:

I = −i

∫

|z|=1

dz

z2 + 2az + 1

Pero f(z) = z2 + 2az + 1 = (z − α)(z − β) con:

α = −a +√

a2 − 1, (| α |< 1),

β = −a −√

a2 − 1, (| β |> 1),


y el residuo de f en α es:

Res(f, α) =1

α − β=

1

2√

a2 − 1.

Entonces:

I = −i 2πi Res(f, α) =π√

a2 − 1.

Ejemplo 6.2∫ 2π

0

e2 cos(θ) dθ = 2π

∞∑

n=0

1

(n!)2

6.5.2 Integrales impropias

Calcularemos, mediante el teorema de los residuos, las integrales de la forma:

∫ ∞

−∞R(x) dx

donde el integrando es una funcion racional R(x) =P (x)

Q(x)tal que:

• el grado de denominador es, al menos, dos unidades mayor que el del numerador,

• el demominador no tiene raıces reales.


El procedimiento de calculo consiste en integrar la funcion compleja R(z) sobre la curva cerrada Cρ

formada por el intervalo [−ρ, ρ] y la semicircunferencia γρ de centro 0 y radio ρ situada en el semiplano

superior.

ρ

ρ

C

ργ

−ρ

Si ρ es suficientemente grande, Cρ encierra todos los polos zk de R(z) situados en el semiplano superior,

y entonces:∫

Cρ

R(z) dz = 2πi∑

Im(zk)>0

Res(R, zk).

Por otra parte, utilizando la Propiedad 3.2.7 y debido a las hipotesis sobre R, se tiene:

limρ→∞

∫

γρ

R(z) dz = 0, limρ→∞

∫

[−ρ,ρ]

R(z) dz =

∫ ∞

−∞R(x) dx.

Por tanto:

∫ ∞

−∞R(x) dx = 2πi

∑

Im(zk)>0

Res(R, zk).



I =

∫ ∞

0

2x2 − 1

x4 + 5x2 + 4dx.

En primer lugar, teniendo en cuenta que la funcion R(x) =2x2 − 1

x4 + 5x2 + 4es par, se puede escribir:

I =1

2

∫ ∞

−∞R(x) dx.

El integrando tiene cuatro polos simples ±i, ±2i. Por tanto, si tomamos ρ > 2 la curva Cρ encierra

en su interior los dos polos situados en el semiplano superior, i y 2i. Ası pues:∫

Cρ

R(z) dz =

∫

[−ρ,ρ]

R(z) dz +

∫

γρ

R(z) dz

= 2πi Res(R, i) + Res(R, 2i).

Por otra parte:

Res(R, i) = − 1

2i, Res(R, 2i) =

3

4i.

Entonces:∫

[−ρ,ρ]

R(z) dz =π

2−∫

γρ

R(z) dz.


Teniendo en cuenta que si z ∈ γρ se tiene | z |= ρ, podemos acotar:

| 2z2 − 1 | ≤ 2|z|2 + 1 = 2ρ2 + 1,

| z4 + 5z2 + 4 |= | z2 + 1 | · | z2 + 4 | ≥∣

∣|z|2 − 1∣

∣ ·∣

∣|z|2 − 4∣

∣ = (ρ2 − 1)(ρ2 − 4), si ρ ≥ 2

y por tanto:

| R(z) |≤ 2ρ2 + 1

(ρ2 − 1)(ρ2 − 4), ∀z ∈ γρ.

Entonces:∣

∣

∣

∣

∣

∫

γρ

R(z) dz

∣

∣

∣

∣

∣

≤ πρ2ρ2 + 1

(ρ2 − 1)(ρ2 − 4),

que tiende a cero cuando ρ → ∞.

Por consiguiente:∫ ∞

−∞R(x) dx = lim

ρ→∞

∫

[−ρ,ρ]

R(z) dz =π

2.

En consecuencia:

I =1

2· π

2=

π

4.


Veamos, finalmente, un ejemplo donde el denominador tiene raıces reales simples. En este caso

tendremos que utilizar el siguiente lema:

Lema 6.1 Si f tiene en z0 un polo simple, y γε es un arco circular de angulo α de la circunferencia

de centro z0 y radio ε positivamente orientada, entonces:

limε→0

∫

γε

f(z) dz = α i Res(f, z0)


I =

∫ ∞

−∞

1

(x2 + 1)(x + 1)dx.

El integrando tiene tres polos simples −1, ±i. Por tanto, si tomamos ρ > 1 y ε suficientemente pequeno,

la curva Cρ,ε encierra en su interior al unico polo i.

−1

ρ,ε

ρ

C

−1+ε−1−ε

εγ

−ρ

i

ργ


Ası pues:∫

Cρ,ε

R(z) dz =

∫

[−ρ,−1−ε]

R(z) dz +

∫

γε

R(z) dz

+

∫

[−1+ε,ρ]

R(z) dz +

∫

γρ

R(z) dz = 2πi Res(R, i).

Por otra parte:

Res(R, i) = − 1 + i

4, Res(R,−1) =

1

2.

Teniendo en cuenta que si z ∈ γρ se tiene | z |= ρ, podemos acotar:

| (z2 + 1)(z + 1) |= | z2 + 1 | · | z + 1 | ≥∣

∣|z|2 − 1∣

∣ ·∣

∣|z|1− 1∣

∣ ≥ (ρ2 − 1)(ρ − 1),

y por tanto:∣

∣

∣

∣

∣

∫

γρ

R(z) dz

∣

∣

∣

∣

∣

≤ πρ · 1

(ρ2 − 1)(ρ − 1),

que tiende a cero cuando ρ → ∞.


Ademas, por el lema previo, y dado que γε esta orientado negativamente:

limε→0

∫

γε

R(z) dz = − π i Res(R,−1) .

Entonces, tomando lımites cuando ρ → ∞ y cuando ε → 0 se tiene:

∫ ∞

−∞R(x) dx = lim

ρ → ∞

ε → 0

(∫

[−ρ,−1−ε]

R(z)dz +

∫

[−1+ε,ρ]

R(z)dz

)

= limρ → ∞

ε → 0

∫

Cρ,ε

R(z) dz − limε→0

∫

γε

R(z) dz − limρ→∞

∫

γρ

R(z) dz

= 2πiRes(R, i) + π i Res(R,−1) − 0

= −2πi1 + i

4+

πi

2=

π

2.

Tema 7 – Aplicacion: La transformada en z

7.1 Definicion

Dada una sucesion de numeros complejos ann∈Z se define la transformada z de an como la

serie:

f(z) =

∞∑

n=−∞an z−n, r1 <| z |< r2.

Observacion 7.1

1. Si la serie de Laurent∞∑

n=−∞an ωn tiene como region de convergencia el anillo r < |ω| < R,

entonces:

r1 =1

R, r2 =

1

r.

2. En consecuencia, la funcion f es analıtica en la region r1 <| z |< r2.

82

7. Aplicacion: La transformada en z 83

3. La funcion f es unica.

4. El dominio de convergencia puede ser vacıo: Como la transformada z puede descomponerse

en f(z) = f1(z) + f2(z), con:

f1(z) =∞∑

n=0

an z−n, f2(z) =−1∑

n=−∞an z−n =

∞∑

n=1

a−n zn,

siendo f1 analıtica en la region r1 <| z | y f2 analıtica en la region | z |< r2 . Entonces, si

r2 < r1, el dominio de convergencia es vacıo y f no existe.

Ejemplo 7.1

1. Transformada z de una sucesion de longitud finita:

Supongamos que solo un numero finito de coeficientes an 6= 0, entonces: f(z) =M∑

n=N

an z−n

en el dominio 0 <| z |< ∞. (Si M ≤ 0, entonces el dominio es 0 ≤| z |< ∞ ).

2. Transformada z de una sucesion limitada por la izquierda (sucesion causal):

Supongamos que an = 0, ∀n < N, entonces: f(z) =

∞∑

n=N

an z−n en el dominio r1 <| z |< ∞.


3. Transformada z de una sucesion limitada por la derecha (sucesion anticausal):

Supongamos que an = 0, ∀n > M, entonces: f(z) =

M∑

n=−∞an z−n

en el dominio 0 <| z |< r2.

(Si M ≤ 0, entonces el origen tambien pertenece al dominio).

7.2 Calculo practico

Dada la transformada z de la sucesion ann∈Z:

f(z) =

∞∑

n=−∞an z−n, r1 <| z |< r2,

para calcular r1 y r2, segun se deduce de la Observacion 7.1, se tienen las formulas:

r1 = lim | an |1/n ; r2 =1

lim | a−n |1/n, n ∈ N.


Ejemplo 7.2 Para b ∈ C dado, se tiene la sucesion causal:

an =

bn, n ≥ 0

0, n < 0, la transformada z es f(z) =

z

z − b, | b |<| z |< ∞ .

Ejemplo 7.3 Para c ∈ C dado, se tiene la sucesion anticausal:

an =

0, n ≥ 0

−cn, n < 0, la transformada z es f(z) =

z

z − c, 0 ≤| z |<| c | .

Como puede verse, en los dos ejemplos anteriores se obtiene “la misma expresion” para f(z), pero

en dominios diferentes.

Ejemplo 7.4 Para b, c ∈ C dados, se tiene la sucesion:

an =

bn, n ≥ 0

−cn, n < 0

Si | c |≤| b |, no existe la transformada z de dicha sucesion.

Si | c |>| b |, la transformada z de dicha sucesion es:

f(z) =z

z − b+

z

z − c, | b |<| z |<| c | .


7.3 Inversion de la transformada

Conocida una funcion f analıtica en la corona circular centrada en el origen r1 <| z |< r2, el objetivo

es encontrar la sucesion ann∈Z tal que:

f(z) =∞∑

n=−∞an z−n

en dicha corona. (Es decir, los coeficientes del desarrollo en serie de Laurent de f en ω =1

z.)

Este problema tiene sentido siempre que f sea analıtica en la corona.

Ejemplo 7.5 Por lo visto anteriormente, la transformada inversa z de:

f(z) =z

z − 1, 1 <| z |< ∞

es la sucesion:

an =

1, n ≥ 0

0, n < 0


La transformada inversa z de f(z), r1 <| z |< r2, donde f es una funcion analıtica en la

corona, es la sucesion de numeros complejos ann∈Z tal que:

f(z) =

∞∑

n=−∞an z−n,

siendo la serie convergente en todos los puntos de la corona.

Aplicando los resultados para series de Laurent, los coeficientes an vienen dados por:

an =1

2πi

∫

Czn−1f(z)dz, n ∈ Z,

donde C es cualquier circunferencia centrada en el origen y de radio r con r1 < r < r2, recorrida en

el sentido positivo.

A fin de calcular an podemos utilizar el teorema de los residuos, pues:

∫

Czn−1f(z)dz = 2πi

∑

zk

Res(zn−1f(z), zk)

donde zk recorre las singularidades aisladas de la funcion zn−1f(z) en el interior de C.


Por tanto:

an =∑

|zk|≤r1

Res(zn−1f(z), zk) .

Observacion 7.2 Puesto que la funcion f(z) es analıtica en la corona r1 <| z |< r2, las sin-

gularidades aisladas de la funcion zn−1f(z) en el interior de C solo pueden ser el cero y las

singularidades de f(z) con |zk| ≤ r1.

Ejemplo 7.6 La transformada inversa z de:

f(z) =z3

z − 1, 1 <| z |< ∞ es an =

1, n ≥ −2

0, n < −2


f(z) =z + 2

2(z − 12)(z − 3)

, 0 ≤| z |< 1

2es an =

0, n ≥ 1

2−n − 3n−1, n < 1


f(z) =z

(z − 12)(z − 1)2

,1

2<| z |< 1 es an =

22−n, n ≥ 0

4 − 2n, n < 0


7.4 Propiedades

Sean dos sucesiones ann∈Z, bnn∈Z y sean sus respectivas transformadas z:

f(z) =∞∑

n=−∞an z−n, r1 <| z |< r2, g(z) =

∞∑

n=−∞bn z−n, r′1 <| z |< r′2.

Sean tambien α, β ∈ C; m ∈ Z. Entonces cnn∈Z tiene como transformada z la funcion h(z):

(1) Linealidad cn = α an + β bn, h(z) = α f(z) + β g(z), maxr1, r′1 <| z |< minr2, r

′2.

(2) Traslacion cn = an−m, h(z) = z−mf(z), r1 <| z |< r2.

(3) Modulacion cn = αnan, α 6= 0, h(z) = f(z

α), | α | r1 <| z |<| α | r2.

(4) Derivacion cn = nan, h(z) = −zf ′(z), r1 <| z |< r2.

(5) Simetrıa cn = a−n, h(z) = f(1

z), 1

r2<| z |<| 1

r1.

(6)Convolucion

discretacn = an ∗ bn =

∞∑

k=−∞akbn−k, h(z) = f(z).g(z), maxr1, r

′1 <| z |< minr2, r

′2.

(7)Convolucion

complejacn = anbn, h(z) =

1

2πi

∫

Cf(

z

z′) g(z′)

dz′

z′, r1r

′1 <| z |< r2r

′2

donde C es cualquier circunferencia de centro el origen y radio r tal que r ′1 < r < r′2.

Tema 9 – Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales

Ordinarias (E.D.O.)

9.1 Definiciones

Se llama ecuacion diferencial a toda ecuacion que contiene las derivadas de una o mas variables

dependientes respecto a una o mas variables independientes.

Se llama ecuacion diferencial ordinaria (E. D. O.) a una ecuacion diferencial en la que aparecen

derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes respecto a una unica variable in-

dependiente.

Se llama ecuacion diferencial en derivadas parciales (E. D. P.) a una ecuacion diferencial en la

que aparecen derivadas parciales de una o mas variables dependientes respecto a mas de una

variable independiente.

90

9. Generalidades sobre Ecuaciones Diferenciales Ordinarias (E.D.O.) 91

Muchas de las leyes generales de la naturaleza encuentran su expresion mas natural en el lenguaje de

las ecuaciones diferenciales. Tambien tienen multiples aplicaciones en Geometrıa, Ingenierıa, Economıa

y muchos otros campos de las Ciencias Aplicadas.

Se denomina orden de una ecuacion diferencial al orden de la derivada mas alta entre todas las

que figuran en dicha ecuacion.

Ejemplo 9.1 La ecuacion:d2y

dx2+ xy(

dy

dx)3 = ex tiene orden 2.

Una ecuacion diferencial ordinaria lineal de orden n en la variable dependiente y y en la variable

independiente x es una ecuacion que puede expresarse de la forma:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = b(x),

donde a0(x) es una funcion no identicamente nula.


Ejemplo 9.2

1.

3d3y

dx3+ y = 2

es una E. D. O. lineal de orden 3 y coeficientes constantes.

2.d2y

dx2+ 5

dy

dx+ (x2 − 2)y = 22x

es una E. D. O. lineal de orden 2 y coeficientes variables.

3.

xex d4y

dx4= 25 x3

es una E. D. O. lineal de orden 4 y coeficientes variables.

4.(

d2y

dx2

)2

+ 5ydy

dx= x

es una E. D. O. no lineal de orden 2.


Consideremos la E. D. O. de orden n:

F (x, y,dy

dx,d2y

dx2, . . . ,

dny

dxn) = 0,

donde F es una funcion real de sus (n+2) argumentos.

Sea f una funcion real definida para todo x en un intervalo real I que posea derivada n-esima en

todo I. La funcion f es una solucion explıcita de la E. D. O. en el intervalo I si satisface que:

F (x, f(x), f ′(x), f ′′(x), . . . , f (n(x))

esta definida para todo x de I y verifica:

F (x, f(x), f ′(x), f ′′(x), . . . , f (n(x)) = 0, ∀x ∈ I.

Es decir, la sustitucion de y por f en la E. D. O. reduce la ecuacion a una identidad en I .

Se dice que una relacion g(x, y) = 0 es una solucion implıcita de la E. D. O. en el intervalo I si esta

relacion define, al menos, una funcion real f de la variable x en I de manera que esta funcion sea

una solucion explıcita de la E. D. O. en dicho intervalo I.


Ejemplo 9.3

1. La funcion f definida en toda la recta real mediante:

f(x) = a sen(x) + b cos(x), a, b ∈ R

es una solucion explıcita de la E. D. O.

d2y

dx2+ y = 0

en todo R, pues: f ′′(x) + f(x) = 0, ∀x ∈ R.

2. La relacion:

x2 + y2 − 25 = 0

es una solucion implıcita de la E. D. O.

x + ydy

dx= 0

en el intervalo I = (−5, 5). En efecto, dicha relacion define dos funciones:

f1(x) =√

25 − x2, ∀x ∈ I,

f2(x) = −√

25 − x2, ∀x ∈ I,

que son soluciones explıcitas de la E. D. O. en I.


Observacion 9.1 La relacion:

x2 + y2 + 25 = 0

tambien podrıa ser una solucion implıcita de la E. D. O.

x + ydy

dx= 0,

pues si derivamos dicha relacion respecto a x se obtiene:

2x + 2ydy

dx= 0,

que es equivalente a la E. D. O.

Por tanto, esta relacion satisface formalmente la E. D. O. pero de aquı no podemos deducir que sea una

solucion implıcita, ya que no define una solucion real explıcita. (La funcion:

f(x) = ±√

−25 − x2

toma valores complejos en toda la recta real).

En consecuencia, la relacion es meramente una solucion formal.


9.2 Familias de curvas. Trayectorias ortogonales y oblicuas

Sea la familia de funciones o curvas:

g(x, y, c1, c2, . . . , cn) = 0

dependiente de n parametros. La derivacion n veces con respecto a la variable x conduce a (n+1)

ecuaciones de las que se podran eliminar las n constantes y obtener una relacion de tipo:

F (x, y, y′, y′′, . . . , y(n) = 0,

esto es, una E. D. O. de orden n.

A dicha familia de curvas se le denominara solucion general de la E. D. O. correspondiente.

Ejemplo 9.4

1. g(x, y, c) = y − x2 − c es una familia de parabolas.

2. g(x, y, a, b, r) = (x − a)2 + (y − b)2 − r2 es una familia de circunferencias.


Observacion 9.2 En general, la familia de curvas no englobara todas las soluciones de la E. D. O.

Observacion 9.3 Tampoco se podra asegurar que para una E. D. O. dada, exista una familia de

curvas que sea su solucion.

Ejemplo 9.5 Sea la E. D. O. de primer orden:dy

dx= 2x .

Las funciones de la forma:

g(x, c) = hc(x) = x2 + c , ∀x ∈ R,

son soluciones de dicha ecuacion para cualquier c ∈ R. Es decir, tenemos una familia de soluciones, que

se denomina solucion general.

Cada una de las funciones de la familia es una solucion particular de la ecuacion.

Sea la E. D. O. de primer orden:dy

dx= G(x, y),

donde G es una funcion real que hace corresponder a cada punto (x, y) una pendiente G(x, y). Su-

pongamos que dicha E. D. O. tiene una familia de soluciones de la forma y = g(x, c) donde c es el

parametro de la familia.


A su representacion geometrica en el plano se le llama familia uniparametrica de curvas

(las pendientes de cada punto de las curvas vienen dadas directamente por la E. D. O.). Cada una

de las curvas de la familia recibe el nombre de curva integral de dicha ecuacion.

Ejemplo 9.6 Consideremos de nuevo la E. D. O. de primer orden:

dy

dx= 2x.

Esta ecuacion tiene una familia de soluciones:

y = x2 + c, ∀x ∈ R.

Su representacion geometrica es la familia uniparametrica de curvas, donde cada una de las curvas

integrales es una parabola.


Ejemplo 9.7 La E. D. O. de tercer orden:

y′′′(1 + (y′)2) − 3y′(y′′)2 = 0

tiene como familia de soluciones:

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Su representacion geometrica es una familia de curvas que depende de tres parametros, a, b y r, donde

cada una de las curvas integrales es una circunferencia.

Observacion 9.4 Puede ocurrir que la eliminacion de los n parametros de una familia de curvas lleve

a una E. D. O. de orden menor que n. Esto ocurre cuando los parametros no son esenciales.

Por ejemplo, la familia de 2 parametros:

y = c1 + log(c2x)

tiene asociada la ecuacion de primer orden:

dy

dx=

1

x.

Pero, en realidad, dicha familia puede escribirse simplificadamente como dependiente de un unico

parametro:

y = log(c x)


Trayectorias ortogonales

Sea g(x, y, c) = 0 una familia uniparametrica de curvas. Cuando una curva corta a todas las

curvas de la familia en angulos rectos, recibe el nombre de trayectoria ortogonal a la familia

dada.

Por ejemplo, dada la familia uniparametrica de circunferencias centradas en el origen, x2 + y2 = r2,

cualquier recta pasando por el origen es una trayectoria ortogonal.

Si g(x, y, c) = 0 es una familia uniparametrica de curvas, tendra asociada una E. D. O. de primer

orden:dy

dx= G(x, y).

Por tanto, cualquier curva de la familia que pase por el punto (x, y) debera tener pendiente G(x, y)

en ese punto. Puesto que una trayectoria ortogonal a la familia corta a cada curva de la familia formando

un angulo recto, la pendiente de la trayectoria ortogonal en el punto (x, y) debera ser − 1

G(x, y).


Por tanto, la E. D. O. de la familia de trayectorias ortogonales sera:

dy

dx= − 1

G(x, y),

que tendra como solucion una familia uniparametrica g1(x, y, k) = 0.

Ejemplo 9.8 Las trayectorias ortogonales a la familia uniparametrica de parabolas: y = cx2,

son las elipses de la familia: x2 + 2y2 = k.

Trayectorias oblicuas

Sea g(x, y, c) = 0 una familia uniparametrica de curvas. Se denomina trayectoria oblicua a la fami-

lia a cualquier curva que corta a todas las curvas de la familia formando un angulo constante α 6= π2 .

Si la familia uniparametrica de curvas tiene asociada una E. D. O. de primer orden:

dy

dx= G(x, y),

entonces la pendiente de la curva de la familia que pase por el punto (x, y) es G(x, y), esto es,

el angulo que forma es arctg(G(x, y)). Por tanto, la trayectoria oblicua a la familia formara un

angulo arctg(G(x, y)) + α en el punto (x, y).


En consecuencia, la E. D. O. de la familia de trayectorias oblicuas sera:

dy

dx= tg(arctg(G(x, y)) + α).

Teniendo en cuenta que:

tg(a + b) =tg(a) + tg(b)

1 − tg(a) · tg(b)

se deduce que la ecuacion de las trayectorias oblicuas es:

dy

dx=

G(x, y) + tg(α)

1 − G(x, y) · tg(α).


9.3 Problemas de valor inicial y de contorno

Supongamos una E. D. O. de orden n. Si buscamos una solucion de la ecuacion tal que en un

punto x0 verifique unas condiciones suplementarias (tantas condiciones como indique el orden de

la ecuacion) diremos que estamos ante un problema con condiciones iniciales.

Ejemplo 9.9

1. El problema de condiciones iniciales:

y′ = 2x,

y(1) = 4,

tiene como solucion unica: y(x) = x2 + 3.

2. El problema de condiciones iniciales:

y′′ + y = 0,

y(π) = 3,

y′(π) = −4,

tiene como solucion unica: y(x) = 4 sen(x) − 3 cos(x).


Si lo que buscamos es una solucion de la ecuacion tal que en diferentes puntos verifiquen unas

condiciones suplementarias diremos que estamos ante un problema con condiciones de

contorno.

Ejemplo 9.10

1. El problema de condiciones de contorno:

y′′ + y = 0,

y(0) = 1,

y(π2) = 5,

tiene como solucion unica: y(x) = cos(x) + 5 sen(x).

2. El problema de condiciones de contorno:

y′′ + y = 0,

y(0) = 1,

y(π) = 5,

no tiene solucion.

Tema 10 – E.D.O. de primer orden

10.1 El problema de Cauchy para ecuaciones de primer

orden

Sea una E. D. O. de primer orden:dy

dx= f(x, y) , donde f es una funcion definida en un cierto

dominio D ⊂ R2.

El problema de Cauchy (o de valor inicial) asociado a dicha ecuacion consiste en hallar una

solucion y de la ecuacion diferencial definida en un intervalo real que contenga al punto x0 y que

satisfaga la condicion inicial: y(x0) = y0.

Generalmente, el problema de Cauchy se escribe de la forma abreviada:

y′ = f(x, y),

y(x0) = y0.

Geometricamente, se puede interpretar el problema de Cauchy como la busqueda de aquella curva

perteneciente a la solucion general de la E. D. O. que pasa por el punto (x0, y0).

105

10. E.D.O. de primer orden 106

10.2 Existencia y unicidad de solucion

Teorema 10.1 Teorema de existencia y unicidad de solucion del problema de Cauchy

Consideremos la E. D. O.dy

dx= f(x, y).

Supongamos que se verifica:

1. La funcion f es continua en las variables (x, y) en un dominio D.

2. La funcion∂f

∂yes continua en las variables (x, y) en un dominio D.

Entonces, para cualquier punto (x0, y0) ∈ D existe una unica solucion y de la ecuacion

diferencial definida en un intervalo (x0 − ε, x0 + ε) que satisface la condicion:

y(x0) = y0.

Observacion 10.1 Las condiciones que se imponen en el teorema anterior son suficientes pero no

necesarias, es decir, pueden rebajarse. En efecto, la continuidad de∂f

∂ypuede sustituirse por

una propiedad mas debil para f , conocida como condicion de Lipschitz (en la variable y):

∃L > 0 / | f(x, y1) − f(x, y2) |≤ L | y1 − y2 | , ∀ (x, y1), (x, y2) ∈ D.


Ejemplo 10.1 Consideremos el problema:

y′ = −x2 + y2 + 1,

y(1) = 1.

Tanto f(x, y) = −x2 + y2 + 1 como∂f

∂y= 2y son continuas en todo R

2. Por tanto, el problema de

Cauchy tiene solucion unica y(x) definida en el intervalo (1 − ε, 1 + ε).

En realidad, puede probarse que y(x) = x, ∀x ∈ R.

Ejemplo 10.2

1. Consideremos el problema:

y′ =y√x,

y(1) = 2.

Tanto f(x, y) =y√x

como∂f

∂y=

1√x

son continuas en todos los puntos (x, y) ∈ R2 tales

que x > 0. Por tanto, el problema de Cauchy tiene solucion unica y(x) definida en el intervalo

(1 − ε, 1 + ε).

En realidad, puede probarse que y(x) = 2 e2(√

x−1), ∀x ∈ (0,∞).


2. Consideremos ahora el problema:

y′ =y√x,

y(0) = 2.

Como f(x, y) =y√x

no es continua en el punto (0, 2), no podemos asegurar que el problema tenga

solucion, pero tampoco que no la tenga.

Ejercicio 10.1 Se considera la funcion:

f(x, y) =x3 + x2y − xy2 − y3

2x2y + 4xy2 + 2y3.

1. Estudiar la existencia y la unicidad de solucion del problema:

y′ = f(x, y), y(1) = 3.

2. Estudiar la existencia y la unicidad de solucion del problema:

y′ = f(x, y), y(1) = −1.


10.3 Prolongacion de soluciones. Solucion maximal

Sean las funciones:

y1 : I1 ⊂ R −→ R,

y2 : I2 ⊂ R −→ R.

Diremos que y2 es una prolongacion de y1 cuando I1 ⊂ I2 y se verifique que y1(x) = y2(x), ∀x ∈ I1.

Si y1 e y2 son dos soluciones de una E. D. O. se dice que la solucion y2 prolonga a la solucion y1.

Diremos que una solucion es maximal cuando no existe ninguna otra solucion que la prolongue.

El intervalo en que esta definida esta solucion se llamara intervalo maximal.

Teorema 10.2 Sea f una funcion continua en D y verificando la condicion de Lipschitz.

Entonces todo problema de Cauchy:

y′ = f(x, y),

y(x0) = y0,

con (x0, y0) ∈ D, admite una solucion maximal.


Teorema 10.3 Sean y1 e y2 dos soluciones de la E. D. O. y′ = f(x, y) definidas, respectivamente,

en los intervalos I1 = [a, x0] e I2 = [x0, b], verificando que y1(x0) = y2(x0). Entonces la funcion y,

construida como prolongacion de ambas, y definida en [a, b] como:

y(x) =

y1(x), x ∈ [a, x0],

y2(x), x ∈ [x0, b],

es solucion de y′ = f(x, y) en [a, b].

10.4 Dependencia respecto a los datos del problema

Teorema 10.4 (dependencia continua de la solucion respecto a la condicion inicial)

Sea f una funcion continua en (x, y) y que satisface una condicion de Lipschitz en y con

constante k en un dominio D. Sean y1, y2 tales que los problemas de Cauchy:

y′ = f(x, y),

y(x0) = y1,

y′ = f(x, y),

y(x0) = y2,

tengan solucion unica definida en el intervalo | x − x0 |≤ h y que denotaremos, respectivamente,

y1(x) y y2(x). Entonces, si | y1 − y2 |= δ:

| y1(x) − y2(x) |≤ δ · ekh, en | x − x0 |≤ h.


Esto es, la solucion depende con continuidad de la condicion inicial.

Teorema 10.5 (dependencia continua de la solucion respecto al segundo miembro)

Sean f1 y f2 dos funciones continuas en (x, y) y que satisfacen una condicion de Lipschitz en y

con constante k en un dominio D, k = maxk1, k2. Sea (x0, y0) ∈ D tal que los problemas de Cauchy:

y′ = f1(x, y),

y(x0) = y0,

y′ = f2(x, y),

y(x0) = y0,

tengan solucion unica definida en el intervalo | x − x0 |≤ h y que denotaremos, respectivamente,

y1(x) y y2(x). Entonces, si | f1(x, y) − f2(x, y) |≤ ε, ∀(x, y) ∈ D:

| y1(x) − y2(x) |≤ ε

k· (ekh − 1), en | x − x0 |≤ h.

Esto es, la solucion depende con continuidad del segundo miembro de la ecuacion.

Observacion 10.2 Todos los resultados previos se pueden generalizar, como veremos en proximos

temas, al caso de un problema de Cauchy de orden superior, esto es, una E. D. O. de orden

n con n condiciones iniciales.


Para el caso de los problemas con condiciones de contorno, la obtencion de resultados

similares es mucho mas costosa. Ası, por ejemplo, podemos considerar una ecuacion lineal de

segundo orden:

a0(x)y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = f(x), ∀x ∈ (x0, x1),

y plantear el siguiente problema:

Encontrar las soluciones de la E. D. O. anterior que verifiquen las dos condiciones de contorno:

αy(x0) + βy′(x0) = y0,

γy(x1) + δy′(x1) = y1,

donde algunos de los coeficientes α, β, γ, δ son no nulos.

Los teoremas de existencia y unicidad de solucion de este tipo de problemas de contorno son, en ge-

neral, mucho mas complicados que los correspondientes al problema de Cauchy, y recaen siempre en la

busqueda de soluciones no triviales del correspondiente problema homogeneo (y0 = y1 = 0, f(x) = 0).

Es lo que se denomina la busqueda de autofunciones y autovalores.

Tema 11 – Resolucion de E.D.O. de orden 1

Dada una E. D. O. de primer orden: y′ = f(x, y), estudiaremos distintos metodos para calcular

la solucion y(x) de la ecuacion, verificando la condicion inicial: y(x0) = y0.

11.1 Ecuaciones exactas

Una ecuacion del tipo: y′ = − P (x, y)

Q(x, y)

se dice que es una ecuacion diferencial EXACTA si existe una funcion V (x, y) verificando:

P (x, y) = ∂xV (x, y), Q(x, y) = ∂yV (x, y).

La unica solucion y(x) de la ecuacion verificando y(x0) = y0 vendra dada por la expresion:

V (x, y) = V (x0, y0).

Ejemplo 11.1 La ecuacion: y′ = − y

x, y(x0) = y0,

es exacta, pues basta tomar V (x, y) = x · y

113

11. Resolucion de E.D.O. de orden 1 114

Por tanto, la solucion del problema sera:

x · y = x0 · y0 ⇒ y(x) =x0 · y0

x.

Teorema 11.1 Condicion necesaria y suficiente de exactitud

La E. D. O. y′ = − P (x, y)

Q(x, y)es exacta si y solo si:

∂yP (x, y) = ∂xQ(x, y).

Ademas, en caso de exactitud, se tiene la expresion:

V (x, y) − V (x0, y0) =

∫ x

x0

P (x, y)dx +

∫ y

y0

Q(x0, y)dy,

lo que proporciona la solucion implıcita:

V (x, y) − V (x0, y0) = 0.

Ejercicio 11.1 Demostrar que la E. D. O.

y′ =x2 − y

x + y2

es exacta y calcular la solucion tal que y(0) = 1.


11.2 Ecuaciones en variables separadas

Una ecuacion en VARIABLES SEPARADAS es un tipo de ecuacion exacta muy sencillo:

y′ = − P (x)

Q(y).

La solucion de la ecuacion verificando y(x0) = y0 sera entonces:∫ x

x0

P (x)dx +

∫ y

y0

Q(y)dy = 0.

Ejemplo 11.2 La ecuacion:

y′ = − x

y, y(x0) = y0,

tiene como solucion:

x2 + y2 = x20 + y2

0.

Ejercicio 11.2 Resolver la E. D. O.

y′ = (1 + y2) · tg2(x)

con la condicion inicial y(x0) = y0.


11.3 Ecuaciones homogeneas

Recibe el nombre de ecuacion HOMOGENEA toda ecuacion que se pueda expresar en la forma:

y′ = G(y

x).

Se resolvera mediante el cambio de variable u =y

x:

y = u · x ⇒ y′ = u′ · x + u ⇒ u′ =y′ − u

x.

Por tanto, tenemos que resolver la ecuacion en variables separadas:

u′ =G(u) − u

x= − 1/x

1−G(u)+u

.

Ejercicio 11.3 Demostrar que la ecuacion:

y′ =x2 + y2

xy, y(x0) = y0,

tiene solucion implıcita:

−log(x) +y2

2x2= −log(x0) +

y20

2x20

.


11.4 Ecuaciones reducibles a homogeneas

La ecuacion:dy

dx= F

(

ax + by + c

fx + gy + h

)

no es homogenea, pero, siempre que a · g 6= b · f , se puede reducir a una ecuacion homogenea

mediante el cambio de variable:

X = x − α, Y = y − β,

donde α y β son la unica solucion del sistema:

aα + bβ + c = 0

fα + gβ + h = 0

Se tiene entonces la ecuacion homogenea:

dY

dX= F

(

aX + bY

fX + gY

)

Ejercicio 11.4 Resolver la ecuacion:

y′ =2x + 5y − 1

x + y + 2, y(x0) = y0.


Observacion 11.1 En el caso en que a · g = b · f se deduce que (a, b) = k · (f, g) y entonces la

ecuacion queda:

y′ = F

(

k · (fx + gy) + c

fx + gy + h

)

y puede resolverse por el cambio de variable:

z = fx + gy ⇒ z′ = f + gy′.

Ejercicio 11.5 Resolver la ecuacion:

y′ =2x + 4y − 1

x + 2y + 1, y(x0) = y0.

11.5 Factores integrantes

Dada la ecuacion diferencial no exacta: y′ = − P (x, y)

Q(x, y),

si existe una funcion µ(x, y) tal que la ecuacion:

y′ = − P (x, y) · µ(x, y)

Q(x, y) · µ(x, y)

es exacta, se dice que µ(x, y) es un FACTOR INTEGRANTE de la ecuacion.


Ejemplo 11.3 La ecuacion:

y′ = − 3y + 4xy2

2x + 3x2y

no es exacta, pues:

∂yP = 3 + 8xy 6= 2 + 6xy = ∂xQ.

Si consideramos la funcion µ(x, y) = x2y, entonces:

y′ = − 3y2x2 + 4x3y3

2x3y + 3x4y2

ya es exacta, pues:

∂y(P · µ) = 6x2y + 12x3y2 = ∂x(Q · µ).

Por tanto, µ(x, y) = x2y es un factor integrante.

A fin de calcular un factor integrante de la ecuacion: y ′ = − P (x, y)

Q(x, y),

debemos imponer que la ecuacion:

y′ = − P (x, y) · µ(x, y)

Q(x, y) · µ(x, y)

sea exacta, o equivalentemente:


∂y(P · µ) = ∂x(Q · µ) ⇔

∂yP · µ + P · ∂yµ = ∂xQ · µ + Q · ∂xµ ⇔

(∂yP − ∂xQ) · µ = Q · ∂xµ − P · ∂yµ.

Esta ecuacion en derivadas parciales puede resolverse en algunos casos sencillos:

1. Si∂yP − ∂xQ

Q= Φ depende unicamente de x, entonces se tiene el factor integrante

dependiente exclusivamente de x:

µ(x) = e∫

Φ(x)dx.

2. Si∂yP − ∂xQ

P= Ψ depende unicamente de y, entonces se tiene el factor integrante

dependiente exclusivamente de y:

µ(y) = e−∫

Ψ(y)dy.

3. Tambien puede calcularse el factor integrante cuando se conoce la dependencia de x e y. Por

ejemplo:

µ(x · y), µ(x + y), µ(x · ey), . . .


Ejemplo 11.4 La E. D. O. no exacta:

y′ = − 2x2 + y

x2y − x, y(x0) = y0

admite un factor integrante de la forma:

µ(x) =1

x2,

lo que permite resolver la ecuacion, obteniendose la solucion implıcita:

2x − y

x+

y2

2= 2x0 −

y0

x0+

y20

2.

Ejercicio 11.6 Demostrar que la E. D. O.

y′ = − y

x − 3x3y2, y(x0) = y0

admite un factor integrante de la forma µ(x · y) y, a continuacion, resolver dicha ecuacion.


11.6 Ecuaciones lineales

Una ecuacion LINEAL de primer orden tiene la expresion: y ′ + p(x) · y = q(x), o equivalentemente:

y′ = − p(x) · y − q(x)

1= − P (x, y)

Q(x, y).

Como:∂yP − ∂xQ

Q= p(x),

admite el factor integrante:

µ(x) = e∫

p(x)dx.

Entonces, la solucion de la ecuacion lineal viene dada por:

y(x) = e−∫

p(x)dx ·[ ∫

q(x) · e∫

p(x)dxdx + C

]

,

donde C es una constante que se determina imponiendo la condicion inicial.

Ejercicio 11.7 Comprobar que la solucion del problema:

y′ +y

x− 3x = 0 , y(1) = 2 es y(x) = x2 +

1

x.


11.7 Ecuacion de Bernouilli

Es una ecuacion de la forma:

y′ + p(x) · y = q(x) · yn

Para encontrar su solucion, dividimos toda la expresion por yn:

y′

yn+ p(x) · 1

yn−1= q(x)

De modo que puede reducirse a una ecuacion lineal mediante el cambio de variable:

z = y1−n =1

yn−1.

Teniendo en cuenta que:

z′ =1 − n

yn· y′

se obtiene la ecuacion lineal:

z′ + (1 − n)p(x) · z = (1 − n)q(x).


Ejercicio 11.8 Demostrar que la ecuacion: xy′ + y = x4y3

tiene las soluciones:

y(x) = ± 1√Cx2 − x4

y determinar la solucion que verifica la condicion inicial: y(1) = 1.

11.8 Ecuacion de Ricatti

Es una ecuacion de la forma:

y′ = a(x) + b(x) · y + c(x) · y2.

Se puede resolver de dos formas alternativas:

Teorema 11.2 Supongamos conocida una solucion particular y1(x) de la ecuacion. Entonces:

1. Mediante la sustitucion:

y(x) = y1(x) +1

u(x)

la ecuacion de Ricatti se reduce a la ecuacion lineal:

u′ + [b(x) + 2c(x) · y1(x)] · u = −c(x).


2. Mediante la sustitucion:

y(x) = y1(x) + u(x)

la ecuacion de Ricatti se reduce a la ecuacion de Bernouilli (n = 2):

u′ − [b(x) + 2c(x) · y1(x)] · u = c(x) · u2.

Ejercicio 11.9 Consideramos la ecuacion:

y′ = 1 + x2 − 2xy + y2.

Utilizando las dos sustituciones indicadas anteriormente, comprobar que y1(x) = x es una solucion

particular de la ecuacion y calcular una solucion que verifique la condicion inicial y(0) = 1.

11.9 Ecuaciones en forma implıcita

Si se tiene la ecuacion diferencial en forma implıcita G(x, y, y ′) = 0 y no se puede (o es compli-

cado) despejar y′ tambien puede resolverse la ecuacion despejando, por ejemplo, y.


El ejemplo mas sencillo de ecuaciones implıcitas son las ecuaciones de Clairaut

y = xy′ + f(y′).

Se resolveran haciendo el cambio de variable: p = y ′ y derivando la ecuacion:

y = xp + f(p) ⇒

p = xp′ + p + f ′(p) · p′ ⇒

[x + f ′(p)] · p′ = 0 ⇒

p′ = 0 ⇒ p = C ⇒ y(x) = Cx + f(C)

(Solucion general)

x + f ′(p) = 0 ⇒ f ′(p) = −x ⇒p = g(x) ⇒y(x) = xg(x) + f(g(x))

(Solucion singular)


Ejemplo 11.5 Comprobar que la ecuacion de Clairaut:

y = xy′ + (y′)2

tiene como solucion general:

y(x) = Cx + C2

y como solucion singular:

y(x) = − x2

4.

Observacion 11.2 En el ejemplo anterior, la existencia de solucion para el problema de Cauchy

depende de la condicion inicial. Ası, por ejemplo:

• Para y(0) = 0 son validas la solucion singular: y1(x) = − x2

4y la general para C = 0 :

y2(x) = 0. Esto es, existen dos soluciones.

• Para y(0) = 1 no es valida la solucion singular, pero sı la general para los dos valores C = ±1,

es decir: y1(x) = x + 1, y2(x) = −x + 1.

• Para y(0) = −1 no vale la solucion singular ni la general para ningun valor real de la constante

C. (Imponiendo la condicion inicial, se obtienen los valores complejos C = ±i ). Por tanto, no

existen soluciones reales.

Tema 12 – Metodos numericos para el problema de

Cauchy

12.1 Introduccion

Sea el problema de Cauchy siguiente:

y′(x) = f(x, y(x)), a ≤ x ≤ b,

y(a) = y0,

que suponemos posee solucion unica.

Los metodos mas utilizados en la practica para calcular la solucion y(x) de dicho problema en el intervalo

[a, b] son los metodos de discretizacion que suministran una aproximacion de la solucion en

un conjunto de puntos discreto del intervalo de integracion. Estos valores se calculan a partir de

una ecuacion en diferencias que aproxima la E. D. O. dada.

128

12. Metodos numericos para el problema de Cauchy 129

Dado el intervalo de integracion [a, b] y dado el numero natural N se define el paso de discretizacion:

h =b − a

N

y los puntos de discretizacion:

xn = a + nh, n = 0, 1, . . . , N.

• •

•• •

x0 x1 x2 . . .xN−1xN

Un metodo de discretizacion proporciona, a partir de la condicion inicial y(x0) = y0, los valores

aproximados de la solucion en los N puntos x1, x2, . . . , xN de la forma:

yn ' y(xn), n = 1, 2, . . . , N.

Si el valor de yn se calcula exclusivamente a partir de xn−1, yn−1 el metodo se dice de un paso. Si,

por el contrario, es preciso conocer los valores xn−k, yn−k, . . . , xn−1, yn−1, el metodo se dice de varios

pasos (o multipaso) con numero de pasos igual a k.

En la practica los metodos mas usados son los de un paso y los multipaso lineales.


12.2 Metodos de un paso

Los metodos de un paso corresponden a la forma general:

yn − yn−1 = h Φ(xn−1, yn−1, h), n = 1, 2, . . . , N.

El metodo se dice de orden p si verifica:

y(xn) − y(xn−1) − h Φ(xn−1, y(xn−1), h) = O(hp+1).

El metodo de un paso mas elemental consiste en hacer una aproximacion lineal de la derivada

en la forma:

f(x, y(x)) = y′(x) ' y(x + h) − y(x)

h,

de donde:

y(x + h) = y(x) + h f(x, y(x)).

Se puede entonces aproximar la solucion en la forma:

yn = yn−1 + h f(xn−1, yn−1), n = 1, 2, . . . , N.

Este metodo, que es el mas simple para resolver problemas de valor inicial, se conoce como metodo

de Euler y tiene orden 1.


Ejemplo 12.1 Resolver el problema de Cauchy:

y′ =2y

1 + x, 0 < x < 3

y(0) = 1

utilizando el metodo de Euler y tomando como paso de discretizacion h = 1.

Siguiendo esta filosofıa se pueden construir metodos mas generales y precisos, como son los

metodos de Runge-Kutta, con los cuales se puede alcanzar cualquier orden p deseado.

Ejemplo 12.2

1. Runge-Kutta de orden 1:

yn = yn−1 + h K1, n = 1, 2, . . . , N,

donde:

K1 = f(xn−1, yn−1).

(Coincide exactamente con el metodo de Euler).

2. Runge-Kutta de orden 2 (clasico):

yn = yn−1 +h

2(K1 + K2), n = 1, 2, . . . , N,


donde:K1 = f(xn−1, yn−1),

K2 = f(xn−1 + h, yn−1 + h K1).

Conocido como metodo de Heun.


yn = yn−1 + h K2, n = 1, 2, . . . , N,


K2 = f(xn−1 + h2 , yn−1 + h

2 K1).

Conocido como metodo de Euler modificado.


yn = yn−1 +h

9(2K1 + 3K2 + 4K3), n = 1, 2, . . . , N,


K2 = f(xn−1 + h2 , yn−1 + h

2 K1),

K3 = f(xn−1 + 3h4, yn−1 + 3h

4K2).



yn = yn−1 +h

6(K1 + 2K2 + 2K3 + K4), n = 1, 2, . . . , N,


K2 = f(xn−1 + h2 , yn−1 + h

2 K1),

K3 = f(xn−1 + h2, yn−1 + h

2K2),

K4 = f(xn−1 + h, yn−1 + h K3).

Es el metodo mas utilizado, conocido como metodo clasico.

Observacion 12.1 Como puede verse en los ejemplos anteriores, no existe un unico metodo de Runge-

Kutta para cada orden p, sino que hay toda una familia de metodos para un orden dado.


Ejercicio 12.1 Consideramos el problema de Cauchy:

y′ = 2√

y

y(1) = 1

Se quiere aproximar la solucion en el intervalo [1, 4] mediante aplicacion de los Metodos de Runge–

Kutta de orden 1, 2, 3, 4 con pasos h = 1, h = 0.5 y h = 0.125. (Solucion exacta: y(x) = x2 )

RESULTADOS:

Nodos R-K 1 R-K 2 R-K 3 R-K 4 exacta Nodos R-K 1 R-K 2 R-K 3 R-K 4 exacta

1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.5 2.0000 2.2247 2.2461 2.2493 2.2500

2 3.0000 3.8284 3.9577 3.9876 4.0000 2.0 3.4142 3.9483 3.9927 3.9988 4.0000

2.5 5.2620 6.1713 6.2397 6.2483 6.2500

3 6.4641 8.6389 8.9206 8.9784 9.0000 3.0 7.5559 8.8940 8.9868 8.9979 9.0000

3.5 10.3047 12.1166 12.2340 12.2475 12.2500

4 11.5490 15.4442 15.8859 15.9701 16.0000 4.0 13.5148 15.8391 15.9812 15.9971 16.0000


1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

t

Apro

ximac

ión

Métodos Runge−Kutta, paso h=1

Orden 1Orden 2Orden 3Orden 4exacta

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

t

Apro

ximac

ión

Métodos Runge−Kutta, paso h=1/2


1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

t

Apro

ximac

ión

Métodos Runge−Kutta, paso h=1/8


1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

t

Apro

ximac

ión

Métodos Runge−Kutta, orden 4

h=1h=1/ 2h=1/8


12.3 Metodos multipaso

Los metodos de un paso solo utilizan para el calculo de yn el valor de yn−1. Se pueden disenar

procedimientos mas eficientes si para el calculo de yn se utilizan los k valores yn−k, . . . , yn−1.

Debido a que inicialmente solo se conoce el valor de y0 dado por la condicion inicial el resto de

los yj necesarios para comenzar el proceso de los metodos multipaso se deben obtener utilizando un

metodo de un paso. El resultado optimo se obtiene combinando el metodo multipaso con

uno de un paso del mismo orden. La base para estos metodos es la siguiente:

Deseamos conocer los valores de la solucion y(x) de la ecuacion y ′(x) = f(x, y(x)) en los puntos de

discretizacion xn, n = 1, . . . , N . Mediante integracion directa de la ecuacion se tiene:∫ xn

xn−1

y′(x)dx = y(xn) − y(xn−1),

y por tanto:

y(xn) = y(xn−1) +

∫ xn

xn−1

f(x, y(x))dx.

Aproximando la integral por diferentes formulas de cuadratura numerica se obtienen distintos

tipos de metodos multipaso.


12.3.1 Metodos de Adams-Bashforth

Se conoce como formula de Adams-Bashforth de (k + 1) pasos a una formula del tipo:

yn+k+1 = yn+k + h

k∑

j=0

βjfn+j,

donde fi = f(xi, yi) y los coeficientes βj se determinan de tal forma que la formula de cuadratura

sea exacta para polinomios de grado ≤ k. Entonces, a partir de y0, y1, . . . , yk conocidos, se pueden

calcular todos los restantes yn, n = k + 1, . . . , N .

Ejemplo 12.3 Formulas de Adams-Bashforth:

1. Caso k = 0 (1 paso, orden 1) yn+1 = yn + h fn (Es el metodo de Euler)

2. Caso k = 1 (2 pasos, orden 2) yn+2 = yn+1 +h

2(3fn+1 − fn)


12(23fn+2 − 16fn+1 + 5fn)


24(55fn+3 − 59fn+2 + 37fn+1 − 9fn)


12.3.2 Metodos de Adams-Moulton

Mientras todos los metodos vistos hasta el momento son de tipo explıcito, es decir, no se utiliza fn

para calcular yn, existe otro tipo de metodos, los implıcitos, donde sı se utiliza.

Se conoce como formula de Adams-Moulton de k pasos a una formula del tipo:

yn+k = yn+k−1 + h

k∑

j=0

βjfn+j,

donde fi = f(xi, yi) y los coeficientes βj se determinan de tal forma que la formula de cuadratura

sea exacta para polinomios.

Ejemplo 12.4 Formulas de Adams-Moulton:

1. Caso k = 0 (orden 1) yn = yn−1 + h fn (Se conoce como metodo de Euler implıcito)

2. Caso k = 1 (orden 2) yn+1 = yn +h

2(fn+1 + fn)

3. Caso k = 2 (orden 3) yn+2 = yn+1 +h

12(5fn+2 + 8fn+1 − fn)

4. Caso k = 3 (orden 4) yn+3 = yn+2 +h

24(9fn+3 + 19fn+2 − 5fn+1 + fn)


Observacion 12.2 .- Observese que en todos los casos para el calculo de yn+k se utiliza el valor

fn+k = f(xn+k, yn+k) que es desconocido. Esto hace que los metodos de Adams-Moulton no sean

aplicables directamente para avanzar en la solucion, ya que el valor yn+k aparece en ambos lados

de la ecuacion. En contrapartida, los metodos implıcitos tienen orden de convergencia mayor

que los explıcitos. Para calcular yn+k se debera recurrir a metodos iterativos de resolucion

de ecuaciones algebraicas (por ejemplo, el metodo de Newton-Raphson).

Ası, en el caso k = 3, para calcular yn+3 se debera resolver la ecuacion no lineal:

yn+3 −9h

24f(xn+3, yn+3) = yn+2 +

h

24(19fn+2 − 5fn+1 + fn).

12.4 Metodos predictor-corrector

Las formulas de Adams-Bashforth y de Adams-Moulton raramente se utilizan de manera inde-

pendiente. Se suelen utilizar de manera conjunta para aumentar la precision de la solucion.

Unos algoritmos muy eficientes son los conocidos como metodos predictor-corrector que consisten

en el conjunto formado por un metodo implıcito y otro explıcito usados simultaneamente.


Veamos como es el procedimiento:

En primer lugar se utiliza un metodo explıcito, por ejemplo, Adams-Bashforth de 4 pasos

que tiene orden 4:

y∗n+4 = yn+3 +h

24(55fn+3 − 59fn+2 + 37fn+1 − 9fn)

para “predecir” un valor aproximado de yn+4, que denotaremos por y∗n+4.

A continuacion, mediante un metodo implıcito, por ejemplo, Adams-Moulton de 3 pasos y

tambien orden 4:

yn+4 = yn+3 +h

24(9fn+4 + 19fn+3 − 5fn+2 + fn+1)

se calcula un valor “corregido” de yn+4, utilizando para el calculo de fn+4 el valor predicho y∗n+4, esto

es:

fn+4 = f(xn+4, y∗n+4).

(Esta “correccion” puede realizarse tantas veces como se quiera).


Como ya se ha indicado, necesitamos calcular previamente los valores de y1, y2, y3. Podrıa utilizarse

el metodo de Euler para calcular y1 a partir de y0, y2 a partir de y1 e y3 a partir de y2, pero un metodo

de Runge-Kutta tambien de orden 4 resultarıa optimo (por ejemplo, el metodo clasico).

Observacion 12.3 En la practica, en los metodos predictor-corrector, las formulas del mismo

orden se usan conjuntamente a fin de optimizar la aproximacion. Ası, si se utiliza un metodo

predictor de orden p, se utilizara tambien uno corrector de orden p y un metodo de un paso

del mismo orden para el calculo de los valores iniciales.

Observacion 12.4 Todos los metodos estudiados estan disenados para la resolucion de un problema

de valor inicial o problema de Cauchy. Para problemas con condiciones de contorno

existen otros metodos de resolucion especıficos (metodos de tiro, de diferencias finitas, de elementos

finitos, . . . )


Ejercicio 12.2 Consideramos el problema de Cauchy:

y′ = 2√

y

y(1) = 1

Se quiere aproximar la solucion en el intervalo [1, 4] mediante aplicacion de los Metodos predictor–

corrector de orden 1, 2, 3 y 4, con paso h = 1, h = 0.5 y h = 0.125. (Solucion exacta: y(x) = x2 )

RESULTADOS:

Nodos P-C 1 P-C 2 P-C 3 P-C 4 exacta Nodos P-C 1 P-C 2 P-C 3 P-C 4 exacta

1 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

1.5 2.4142 2.0000 2.2247 2.2493 2.2500

2 4.4641 3.0000 3.8284 3.9876 4.0000 2.0 4.4062 3.6586 3.9483 3.9988 4.0000

2.5 6.9567 5.8213 6.1849 6.2483 6.2500

3 10.3598 7.4146 8.6389 8.9784 9.0000 3.0 10.0542 8.4840 8.9219 8.9980 9.0000

3.5 13.6908 11.6467 12.1589 12.2476 12.2500

4 18.5566 13.8594 15.5148 15.9701 16.0000 4.0 17.8611 15.3095 15.8958 15.9973 16.0000


1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

t

Apro

ximac

ión

Métodos predictor−corrector, h=1

1 paso2 pasos3 pasos4 pasosexacta

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t

Apro

ximac

ión

Métodos predictor−corrector, h=1/2


1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

2

4

6

8

10

12

14

16

18

t

Apro

ximac

ión

Métodos predictor−corrector, h=1/8


Predictor–Corrector 2 pasos, con h = 0.5:

Nodos predictor corrector

1.0 1.0000 1.0000

1.5 0.0000 2.0000

2.0 3.6213 3.6586

2.5 5.8206 5.8213

3.0 8.4840 8.4840

3.5 11.6467 11.6467

4.0 15.3095 15.3095

Tema 13 – E.D.O. lineales de orden superior

13.1 Resultados basicos

Sea una E. D. O. lineal de orden n de la forma:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = F (x),

donde vamos a suponer de modo general que:

1. a0, a1, . . . , an, F son funciones reales continuas en un intervalo real [a, b].

2. a0(x) 6= 0, ∀x ∈ [a, b].

Al termino F (x) se le denomina termino no homogeneo (o segundo miembro de la ecuacion).

En el caso en que F sea nula, se dice que es una ecuacion homogenea.

Tenemos los siguientes resultados de existencia y unicidad de solucion:

144

13. E.D.O. lineales de orden superior 145

Teorema 13.1 Sea una E. D. O. lineal de orden n:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = F (x)

en las hipotesis anteriores.

Sea x0 ∈ [a, b] y sean c0, c1, . . . , cn−1 n constantes reales arbitrarias. Entonces, existe una unica

solucion y de la ecuacion definida en [a, b] tal que:

y(x0) = c0, y′(x0) = c1, . . . , y(n−1(x0) = cn−1.

Corolario 13.1 Sea y la solucion de la E. D. O. lineal homogenea de orden n:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = 0

en las hipotesis anteriores, tal que:

y(x0) = 0, y′(x0) = 0, . . . , y(n−1(x0) = 0 .

Entonces:

y(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].


13.2 Caracterizacion de la solucion general en el caso ho-

mogeneo

Teorema 13.2 Sean y1, y2, . . . , yn n soluciones de la E. D. O. lineal homogenea de orden n:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = 0.

Entonces, la combinacion lineal:

c1 · y1 + c2 · y2 + · · · + cn · yn

es tambien solucion de la E. D. O. para cualesquiera c1, c2, . . . , cn constantes reales arbitrarias.

Se dice que las n soluciones y1, y2, . . . , yn son linealmente dependientes en el intervalo [a, b] si

existen constantes c1, c2, . . . , cn no todas nulas, tales que:

c1 · y1(x) + c2 · y2(x) + · · · + cn · yn(x) = 0, ∀x ∈ [a, b].

En caso contrario, se diran linealmente independientes.

Teorema 13.3 Toda E. D. O. lineal homogenea de orden n posee siempre n soluciones

linealmente independientes en [a, b].


Ademas, si y1, y2, . . . , yn son n soluciones linealmente independientes de la ecuacion, toda

solucion de dicha ecuacion se puede expresar como combinacion lineal de ellas:

c1 · y1 + c2 · y2 + · · · + cn · yn.

mediante una adecuada eleccion de las constantes ck.

Al conjunto de las n soluciones linealmente independientes en el intervalo [a, b] de la E. D. O.

lineal homogenea de orden n se le denomina sistema fundamental de soluciones de la ecuacion,

y la solucion definida por:

y(x) = c1 · y1(x) + c2 · y2(x) + · · · + cn · yn(x), x ∈ [a, b]

se llama solucion general de la ecuacion en [a, b].

Dadas n funciones reales f1, f2, . . . , fn derivables hasta el orden n−1 en el intervalo [a, b], el siguiente

determinante se llama wronskiano de las n funciones y constituye una funcion real definida en [a, b].

W (f1, f2, . . . , fn)(x) =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

f1(x) f2(x) . . . fn(x)

f ′1(x) f ′

2(x) . . . f ′n(x)

. . . . . . . . . . . .

f(n−11 (x) f

(n−12 (x) . . . f

(n−1n (x)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣


Teorema 13.4 Las n soluciones y1, y2, . . . , yn de una E. D. O. lineal homogenea de orden n son

linealmente independientes en [a, b] si y solo si el wronskiano de estas funciones es distinto

de cero para algun punto del intervalo [a, b].

Observacion 13.1 En realidad puede probarse que el wronskiano es no nulo en algun punto del

intervalo si y solo si es no nulo en todos los puntos del intervalo.

Ejemplo 13.1

Consideramos la ecuacion homogenea y′′ + y = 0.

La solucion de la ecuacion es y(x) = c1sen(x) + c2cos(x).

Reduccion del orden

Sea f una solucion no trivial de la E. D. O. lineal homogenea de orden n, entonces la

transformacion y = f · v REDUCE la ecuacion anterior a una E. D. O. lineal homogenea de

orden (n − 1) en la nueva variable:

w =dv

dx.

Ejemplo 13.2 Sea f una solucion de la E. D. O. lineal homogenea de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x)y = 0.


Mediante la transformacion y = f · v se obtiene, en la variable w =dv

dx, la ecuacion lineal de orden 1:

a0(x)f(x)dw

dx+ [2a0(x)f ′(x) + a1(x)f(x)]w = 0,

que se puede resolver facilmente, pues es una ecuacion en variables separadas. Una vez calculada w(x),

mediante integracion se determina v(x) , y finalmente, multiplicando por f(x), se obtiene la solucion

buscada y(x).

13.3 Caracterizacion de la solucion general en el caso no

homogeneo

Teorema 13.5 Sea la E. D. O. lineal no homogenea de orden n:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = F (x)

Sean v una solucion cualquiera de la ecuacion no homogenea y u una solucion cualquiera de la

ecuacion homogenea correspondiente, entonces u + v es tambien una solucion de la E. D. O. no

homogenea.


Consideremos la E. D. O. lineal no homogenea de orden n:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = F (x)

y la E. D. O. lineal homogenea correspondiente:

a0(x)dny

dxn+ a1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = 0 .

La solucion general de la ecuacion homogenea se denomina funcion complementaria de la

ecuacion no homogenea. La denotaremos por yc .

Una solucion cualquiera de la ecuacion no homogenea se denomina solucion o integral parti-

cular. La denotaremos por yp .

Por tanto, el teorema anterior puede resumirse diciendo que la suma y = yc +yp de la funcion com-

plementaria de la ecuacion no homogenea y de una solucion particular constituye la solucion

general de la ecuacion no homogenea.

En consecuencia, el calculo de la solucion general de una ecuacion no homogenea pasa por la busqueda

de la solucion general de la homogenea correspondiente y una solucion particular de la no homogenea.


Ejemplo 13.3

Consideramos la ecuacion no homogenea y′′ + y = x.

La funcion complementaria de la ecuacion es yc(x) = c1sen(x) + c2cos(x).

Una solucion particular es yp(x) = x.

Por tanto, la solucion general de la ecuacion es y(x) = x + c1sen(x) + c2cos(x).

Teorema 13.6 Sean y1, y2 soluciones particulares de las E. D. O. lineales no homogeneas de orden n :

a0(x)dny

dxn+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y= F1(x) , a0(x)

dny

dxn+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y= F2(x) .

Entonces, para k1, k2 ∈ R , k1 · y1 + k2 · y2 es solucion particular de la ecuacion:

a0(x)dny

dxn+ · · · + an−1(x)

dy

dx+ an(x)y = k1F1(x) + k2F2(x) .

Ejemplo 13.4 Consideramos la ecuacion no homogenea y′′ + y = 3x + 5 tg(x) .

Una solucion particular de la ecuacion y′′ + y = x es y1(x) = x.

Una solucion particular de la ecuacion y′′ + y = tg(x) es y2(x) = −cos(x) · log(sec(x) + tg(x)).

Una solucion particular de y′′ + y = 3x + 5 tg(x) es yp(x) = 3 x−5 cos(x) · log(sec(x) + tg(x)).

Entonces, la solucion general de la ecuacion es:

y(x) = 3x − 5cos(x) · log(sec(x) + tg(x)) + c1sen(x) + c2cos(x).


13.4 Calculo de la solucion de una ecuacion homogenea

con coeficientes constantes

Consideraremos una ecuacion homogenea lineal de orden n con coeficientes constantes:

a0dny

dxn+ · · · + an−1

dy

dx+ an y= 0 .

Buscaremos soluciones de la forma exponencial:

y(x) = emx.

Teniendo en cuenta quedky(x)

dxk= mkemx, ∀k ∈ N y sustituyendo en la ecuacion, se obtiene

a0 mnemx + · · · + an−1 memx + an emx= 0.

De modo que m debe ser raız del polinomio:

a0 mn + · · · + an−1 m + an = 0,

conocido con el nombre de ecuacion caracterıstica de la E. D. O.

Vamos a ver que, a partir de las raıces de la ecuacion caracterıstica se puede obtener la solucion

general de la E. D. O. Para ello veremos tres casos distintos:


13.4.1 Caso de raıces reales simples

Teorema 13.7 Sea una ecuacion homogenea lineal de orden n con coeficientes constantes.

Si la ecuacion caracterıstica de la E. D. O. tiene n raıces reales distintas m1, m2, . . . , mn,

entonces el sistema fundamental de soluciones es:

em1x, em2x, . . . , emnx .

Por tanto, la solucion general de la E. D. O. es:

y(x) = c1em1x + c2e

m2x + · · · + cnemnx

donde c1, c2, . . . , cn son constantes arbitrarias.

Ejemplo 13.5

Sea la ecuacion y′′ − 3y′ + 2y = 0.

Su ecuacion caracterıstica es m2 − 3m + 2 = 0,

cuyas raıces son m1 = 1, m2 = 2.

Entonces, la solucion general es y(x) = c1 ex + c2 e2x.


13.4.2 Caso de raıces reales multiples

Teorema 13.8 Sea una ecuacion homogenea lineal de orden n con coeficientes constantes. Si

la ecuacion caracterıstica de la E. D. O. tiene una raız real m de multiplicidad k entonces

el sistema fundamental de soluciones correspondiente a esa raız es:

emx, x emx, x2 emx, . . . , xk−1 emx .

Por tanto, la parte de la solucion general de la E. D. O. correspondiente a esa raız viene dada por:

(c1 + c2x + c3x2 + · · · + ckx

k−1)emx

donde c1, c2, . . . , ck son constantes arbitrarias.

Ejemplo 13.6

Sea la ecuacion y′′′ − 4y′′ − 3y′ + 18y = 0.

Su ecuacion caracterıstica es m3 − 4m2 − 3m + 18 = 0,

cuyas raıces son m1 = m2 = 3, m3 = −2.

Entonces, la solucion general es y(x) = (c1 + c2x)e3x + c3e−2x.


13.4.3 Caso de raıces complejas

Teorema 13.9 Sea una ecuacion homogenea lineal de orden n con coeficientes constantes.

Si la ecuacion caracterıstica de la E. D. O. tiene dos raıces complejas conjugadas simples

m1 = a + bi, m2 = a − bi, entonces el sistema fundamental de soluciones correspondiente a

ambas raıces es:

eax sen(bx), eax cos(bx) .

Por tanto, la parte de la solucion general de la E. D. O. correspondiente a ambas raıces viene

dada por:

eax (c1 sen(bx) + c2 cos(bx)).

Si estas mismas raıces tienen multiplicidad k, entonces su contribucion es de la forma:

eax [(c1 + c2x + · · · + ckxk−1) sen(bx) + (ck+1 + ck+2x + · · · + c2kx

k−1) cos(bx)].


Ejemplo 13.7

1. Sea la ecuacion y′′ + y = 0.

Su ecuacion caracterıstica es m2 + 1 = 0,

cuyas raıces son m1 = i, m2 = −i.

Entonces, la solucion general es y(x) = c1 sen(x) + c2 cos(x).

2. Sea la ecuacion y′′ − 6y′ + 25y = 0.

Su ecuacion caracterıstica es m2 − 6m + 25 = 0,

cuyas raıces son m1 = 3 + 4i, m2 = 3 − 4i.

Entonces, la solucion general es y(x) = e3x(c1 sen(4x) + c2 cos(4x)).

3. Sea la ecuacion yIV − y = 0.

Su ecuacion caracterıstica es m4 − 1 = 0,

cuyas raıces son m = ±1,±i.

Entonces, la solucion general es y(x) = c1 ex + c2 e−x + c3 sen(x) + c4 cos(x).


13.5 Calculo de la solucion de una ecuacion no homogenea

Estudiaremos dos metodos diferentes para el calculo de una solucion particular de las ecuaciones no

homogeneas lineales de orden n:

13.5.1 Metodo de Coeficientes Indeterminados

Diremos que una funcion es de tipo CI si es de alguno de los siguientes tipos:

1. xn, con n ∈ N.

2. eax, con a una constante arbitraria.

3. sen(bx + c), con b, c constantes.

4. cos(bx + c), con b, c constantes.

o bien un producto finito de dos o mas funciones de los tipos anteriores.

Sea f una funcion de tipo CI. Al conjunto formado por f y todas las funciones de tipo CI

linealmente independientes tales que f y todas sus derivadas son combinaciones lineales

de ellas se llama conjunto CI de f .


Ejemplo 13.8

1. Sea f(x) = x3. Su conjunto CI es S = x3, x2, x, 1.

2. Sea f(x) = e2x. Su conjunto CI es S = e2x.

3. Sea f(x) = x2 sen(x). Su conjunto CI es

S = x2 sen(x), x2 cos(x), x sen(x), x cos(x), sen(x), cos(x).

Observacion 13.2 RESTRICCIONES del metodo de Coeficientes Indeterminados:

• Solo es utilizable para coeficientes constantes.

• Solo es utilizable cuando el segundo miembro es de tipo CI.

Consideraremos una ecuacion no homogenea lineal de orden n con coeficientes constantes:

a0dny

dxn+ · · · + an−1

dy

dx+ an y = F (x),

donde F es una combinacion lineal finita de funciones de tipo CI de la forma:

F (x) = a1 u1(x) + a2 u2(x) + · · · + am um(x).


Entonces, para construir una solucion particular de la ecuacion se procede del modo siguiente:

1. Para cada ui se calcula su conjunto CI correspondiente, que denotaremos por Si.

2. Se eliminan los conjuntos Si que son identicos o estan contenidos en otros.

3. Si alguno de los conjuntos restantes incluye soluciones de la correspondiente ecuacion ho-

mogenea, se multiplican todas las funciones del conjunto por la potencia mas baja de

x tal que el conjunto resultante no contenga ya soluciones de la ecuacion homogenea.

4. Se forma una combinacion lineal de todos los elementos de todos los conjuntos resultantes.

5. Se determinan los coeficientes de dicha combinacion lineal, sustituyendola en la ecua-

cion.

Ejemplo 13.9 Resolver la ecuacion:

y′′ − 2y′ − 3y = 2ex − 10 sen(x).

(H) La ecuacion homogenea asociada es y′′ − 2y′ − 3y = 0 ,

cuya ecuacion caracterıstica es m2 − 2m − 3 = 0 , con raıces m1 = 3 , m2 = −1 .

Entonces, la funcion complementaria es yc(x) = c1e3x + c2e

−x.


(N H 1) El termino no homogeneo consta de dos funciones de tipo CI:

u1(x) = ex, u2(x) = sen(x),

cuyos conjuntos CI son S1 = ex, S2 = sen(x), cos(x).(N H 2, 3) No son reducibles ni contienen soluciones de la homogenea.

(N H 4) Por tanto, la solucion particular sera:

yp(x) = A1ex + A2sen(x) + A3cos(x).

(N H 5)Derivando, sustituyendo en la ecuacion e igualando coeficientes se obtiene:

A1 −2A1 −3A1 = 2

−A2 +2A3 −3A2 = −10

−A3 −2A2 −3A3 = 0

cuya solucion es A1 = −12, A2 = 2, A3 = −1, de donde

yp(x) = − 1

2ex + 2sen(x) − cos(x).

Entonces, la solucion general de la ecuacion es

y(x) = yc + yp = c1e3x + c2e

−x− 1

2ex + 2sen(x) − cos(x).


Ejemplo 13.10 Resolver la ecuacion y′′ − 3y′ + 2y = 2x2 + ex + 2xex + 4e3x .

(H) La ecuacion homogenea asociada tiene ecuacion caracterıstica m2 − 3m + 2 = 0, cuyas raıces

son: m1 = 1 , m2 = 2 . Entonces, la funcion complementaria es yc(x) = c1ex + c2e

2x .

(N H 1) El termino no homogeneo consta de las funciones de tipo CI:

u1(x) = x2 , u2(x) = ex , u3(x) = xex , u4(x) = e3x ,

cuyos conjuntos CI son: S1 = x2, x, 1 , S2 = ex , S3 = xex, ex , S4 = e3x .

(N H 2) Como S2 ⊂ S3 se puede ELIMINAR el conjunto S2.

(N H 3) Ademas, en S3 la funcion ex es solucion de la homogenea, por tanto se tiene el nuevo

conjunto S ′3 = x2ex, xex .

(N H 4) Finalmente, tenemos S1 = x2, x, 1 , S4 = e3x , S ′3 = x2ex, xex .

La solucion particular sera de la forma: yp(x) = A1x2 + A2x + A3 + A4e

3x + A5x2ex + A6xex .

(N H 5) Derivando y sustituyendo en la ecuacion se llega a:

A1 = 1, A2 = 3, A3 =7

2, A4 = 2, A5 = −1, A6 = −3.

Entonces, la solucion general es:

y(x) = yc + yp = c1ex + c2e

2x+ x2 + 3x +7

2+ 2e3x − x2ex − 3xex.


13.5.2 Metodo de Variacion de Constantes

Como se ha mencionado anteriormente, el metodo de coeficientes indeterminados presenta va-

rias restricciones. Vamos a ver ahora un metodo que puede ser utilizado en el caso general: el

metodo de variacion de constantes (o variacion de parametros). Por simplicidad se describira el

metodo para una ecuacion de orden 2, aunque es aplicable para ecuaciones de cualquier orden.

Consideremos, entonces, la ecuacion lineal de orden 2:

a0(x)d2y

dx2+ a1(x)

dy

dx+ a2(x) y = F (x) ,

donde suponemos conocidas dos soluciones linealmente independientes y1 , y2 de la ecuacion ho-

mogenea correspondiente. Entonces la solucion general de la homogenea sera:

yc(x) = c1y1(x) + c2y2(x).

Sustituyendo los parametros por funciones, vamos a buscar funciones v1 , v2 , que se determi-

naran a partir de la ecuacion, de forma que la solucion de la ecuacion no homogenea sea:

y(x) = v1(x) · y1(x) + v2(x) · y2(x).


Derivando la expresion de y(x) se tiene:

y′(x) = v′1(x) · y1(x) + v1(x) · y′1(x) + v′2(x) · y2(x) + v2(x) · y′2(x).

De las infinitas soluciones de la E.D.O. buscamos la que, ademas, verifica:

v′1(x) · y1(x) + v′2(x) · y2(x) = 0 ,

De esta forma la expresion anterior se reduce a:

y′(x) = v1(x) · y′1(x) + v2(x) · y′2(x).

Derivando de nuevo:

y′′(x) = v′1(x) · y′1(x) + v1(x) · y′′1(x) + v′2(x) · y′2(x) + v2(x) · y′′2(x).

Sustituyendo en la ecuacion y reordenando se tiene:

v1(x) · [a0(x) · y′′1 (x) + a1(x) · y′1(x) + a2(x) · y1(x)]+

v2(x) · [a0(x) · y′′2 (x) + a1(x) · y′2(x) + a2(x) · y2(x)]+

a0(x) · [v′1(x) · y′1(x) + v′2(x) · y′2(x)] = F (x).

Como y1, y2 son soluciones de la ecuacion homogenea esto se reduce a:

v′1(x) · y′1(x) + v′2(x) · y′2(x) =F (x)

a0(x).


En resumen, se tiene que v′1, v

′2 deben ser solucion del siguiente S. E. L.:

(

y1(x) y2(x)

y′1(x) y′2(x)

)

.

(

v′1(x)

v′2(x)

)

=

0F (x)

a0(x)

,

cuyo determinante es el wronskiano W (y1, y2) que es no nulo. Por tanto, el sistema tiene solucion

unica que, mediante integracion, nos proporciona v1 y v2, salvo constantes de integracion.

Ejemplo 13.11 Resolver la ecuacion y′′ + y = tg(x).

Claramente, la funcion tg(x) no es de tipo CI, por tanto aplicaremos el metodo de variacion de constantes.

La funcion complementaria es yc(x) = c1sen(x) + c2cos(x).

Buscamos una solucion de la forma y(x) = v1(x)sen(x) + v2(x)cos(x).

El sistema a resolver queda

(

sen(x) cos(x)

cos(x) −sen(x)

)

.

(

v′1(x)

v′2(x)

)

=

(

0

tg(x)

)

,

cuya solucion es v′1(x) = sen(x), v′2(x) = − sen2(x)

cos(x),

cuya integracion da v1(x) = −cos(x) + c1, v2(x) = sen(x) − log | sec(x) + tg(x) | +c2.

Entonces, la solucion general es:

y(x) = −cos(x) · log | sec(x) + tg(x) | + c1 sen(x) + c2 cos(x) .


Ejercicio 13.1 Resolver, por el metodo de variacion de constantes, la ecuacion:

y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = ex.

13.6 La ecuacion de Cauchy-Euler

La dificultad principal en el metodo de variacion de parametros es obtener la funcion

complementaria en el caso en que los coeficientes no son constantes. Sabemos como obtenerla

en el caso de coeficientes constantes por medio de la ecuacion caracterıstica, pero el caso de coeficientes

variables no puede ser tratado de la misma forma. Solamente en algunos casos puede ser ob-

tenida la solucion de manera explıcita.

En este apartado veremos un caso particular en que, mediante un cambio de variable, se pueden

transformar determinadas ecuaciones de coeficientes no constantes en otras de coeficientes

constantes y, por tanto, se pueden resolver. (Para el caso general, se vera en el siguiente apartado la

resolucion mediante desarrollos en serie.)


Estudiemos la ecuacion de Cauchy-Euler (o ecuacion equidimensional), que es una ecuacion de

coeficientes variables de la forma:

a0 xn dny

dxn+ a1 xn−1 dn−1y

dxn−1+ · · · + an−1 x

dy

dx+ an y = F (x), x 6= 0.

Para los valores de la variable independiente x > 0, la transformacion x = et, t ∈ R reduce

la ecuacion de Cauchy-Euler a una ecuacion lineal con coeficientes constantes. (Para x < 0,

el cambio adecuado es x = −et ). Por simplicidad lo veremos en el caso n = 2, pero es valido para

ecuaciones de cualquier orden.

Sea entonces la ecuacion de segundo orden

a0 x2 d2y

dx2+ a1 x

dy

dx+ a2 y = F (x), x > 0.

Teniendo en cuenta que x = et ⇔ t = log(x)

se tiene:dy

dx=

dy

dt· dt

dx=

1

x· dy

dt,

d2y

dx2=

d

dx(1

x· dy

dt) =

1

x· d

dx(dy

dt) − 1

x2· dy

dt=

1

x· d2y

dt2· dt

dx− 1

x2· dy

dt=

1

x2· (d

2y

dt2− dy

dt).


Con lo que, sustituyendo en la ecuacion, se obtiene la ecuacion lineal de orden 2 y coeficientes constantes:

a0d2y

dt2+ (a1 − a0)

dy

dt+ a2 y = F (et) ,

que puede ser resuelta por los metodos ya vistos.

Observacion 13.3 A partir de aquı hay dos opciones:

1. Aplicar el metodo CI para obtener la solucion particular y, posteriormente, deshacer el

cambio de variable (si F (et) es de tipo CI).

2. Deshacer el cambio de variable y aplicar el metodo de variacion de constantes a la

ecuacion de Cauchy-Euler.

Ejemplo 13.12 Encontrar la unica solucion del problema con condiciones iniciales:

x2d2y

dx2− 2x

dy

dx+ 2y = x3, x > 0

y(1) = 1,dy

dx(1) = 2.

Haciendo el cambio de variable x = et se tiene la ecuacion de coeficientes constantes:

d2y

dt2− 3

dy

dt+ 2y = e3t.


Como su ecuacion caracterıstica es m2 − 3m + 2 = 0, con raıces m1 = 1, m2 = 2, la funcion

complementaria de esta ecuacion es:

yc(t) = c1et + c2e

2t.

Como el segundo miembro es la funcion de tipo CI e3t, cuyo conjunto CI es S = e3t, la solucion

particular la buscamos de la forma:

yp(t) = Ae3t.

Derivando y sustituyendo en la ecuacion se obtiene que A = 12, por tanto, la solucion sera:

y(t) = c1et + c2e

2t +1

2e3t.

Deshaciendo el cambio de variable se tiene entonces:

y(x) = c1x + c2x2 +

1

2x3.

Al imponer las condiciones iniciales, se tiene:

y(x) =x + x3

2


13.7 El metodo de series

Las E. D. O. no tienen, en general, soluciones que se puedan expresar mediante com-

binaciones lineales finitas de funciones elementales conocidas. Sin embargo, a veces es

posible asegurar la existencia de soluciones representadas mediante series infinitas.

Se dice que una funcion f es analıtica en un punto x0 si en un entorno de ese punto se puede expresar

mediante una serie de potencias de (x − x0):

f(x) =

∞∑

n=0

an(x − x0)n, an =

f (n(x0)

n!.

Aunque el metodo es general, para facilitar su exposicion lo desarrollaremos para una ecuacion ho-

mogenea de segundo orden:

P (x) · y′′ + Q(x) · y′ + R(x) · y = 0.

Diremos que x0 es un punto ordinario de la ecuacion si P (x0) 6= 0. En caso contrario nos encontra-

remos ante un punto singular.


Comenzaremos estudiando el caso de puntos ordinarios. La base del metodo se encuentra en el

siguiente resultado:

Teorema 13.10 Sea la E. D. O. lineal homogenea de orden 2:

P (x) · y′′ + Q(x) · y′ + R(x) · y = 0 .

Si P, Q y R son funciones analıticas en el punto ordinario x0, entonces existe una unica solucion

y de la ecuacion que es analıtica en x0 y cumple las condiciones iniciales:

y(x0) = y0, y′(x0) = y′0.

Observacion 13.4 Como x0 es un punto ordinario, entonces la funcion P no se anula en un

entorno de x0 y por tanto, la ecuacion en dicho entorno puede expresarse:

y′′ + q(x) · y′ + r(x) · y = 0,

donde:

q(x) =Q(x)

P (x), r(x) =

R(x)

P (x)

son funciones analıticas en x0.

Esta sera, entonces, la forma de las ecuaciones para las que presentaremos los dos metodos de

series que estudiamos para su resolucion en un punto ordinario. (Para puntos singulares existen

otros metodos, que veremos mas adelante, como el de Frobenius).


13.7.1 Metodo de la serie de Taylor

Sea la ecuacion y′′ + q(x) · y′ + r(x) · y = 0.

Dado que q y r son funciones indefinidamente diferenciables, se puede obtener una solucion de la

ecuacion tal que y(x0) =y0 , y′(x0) =y′0 .

Para ello, despejando la expresion de y′′ y′′ = −q(x) · y′ − r(x) · yy sustituyendo en la ecuacion los valores de y0 e y′0, se determina y′′0 :

y′′0 = y′′(x0) = −q(x0) y′0 − r(x0) y0.

A continuacion, derivando la ecuacion, se tiene:

y′′′ = −q(x) · y′′ − (q′(x) + r(x)) · y′ − r′(x) · y.

Sustituyendo los valores ya conocidos:

y′′′0 = y′′′(x0) = −q(x0) y′′0 − (q′(x0) + r(x0)) y′0 − r′(x0) y0.

Y ası sucesivamente, mediante una ley de recurrencia, obtenemos los valores de los coeficientes

de la serie de Taylor. Por tanto, la solucion sera:

y(x) =∞∑

n=0

y(n0

n!(x − x0)

n .


Ejemplo 13.13 Resolver el problema:

y′′ + xy = 0, y(0) = y0, y′(0) = y′0.

Dado que y′′ = −xy, se tiene:

y′′′ = −xy′ − y, y(4 = −xy′′ − 2y′,

y, en general:

y(n = −xy(n−2 − (n − 2)y(n−3.

Al evaluar en x = 0 se tiene:

y′′0 = 0, y′′′0 = −y0, y(40 = −2y′0,

y, en general:

y(n0 = −(n − 2)y

(n−30 .

Entonces, la solucion es:

y(x) = y0 + y′0x − y0

3!x3 − 2

y′04!

x4 + 4y0

6!x6 + 10

y′07!

x7 + . . .

= y0 · (1 −1

3!x3 +

4

6!x6 + . . . ) + y′0 · (x − 2

4!x4 +

10

7!x7 + . . . )


13.7.2 Metodo de coeficientes indeterminados

Sea la ecuacion y′′ + q(x) · y′ + r(x) · y = 0.

Cuando q y r son POLINOMIOS se suele utilizar este metodo, consistente en ensayar una serie de

potencias:

y(x) =

∞∑

n=0

an(x − x0)n

con coeficientes an indeterminados y que suponemos convergente en un determinado intervalo real.

Llevando esta serie y las que resultan de derivar termino a termino para obtener y ′ e y′′:

y′(x) =∞∑

n=1

n an(x − x0)n−1, y′′(x) =

∞∑

n=2

n(n − 1) an(x − x0)n−2,

a la ecuacion, agrupando en potencias iguales de (x − x0) e identificando los coeficientes se

determinan los an.

Observacion 13.5 En el caso en que q y r no son polinomios, sino funciones analıticas en x0,

tambien se puede utilizar el metodo sin mas que sustituir las funciones q y r por sus desarrollos en

serie de Taylor en x0, lo que permite agrupar en potencias de (x − x0) y continuar el proceso.



y′′ − xy′ + λy = 0, y(0) = y0, y′(0) = y′0.

Suponiendo:

y(x) =∞∑

n=0

an xn ⇒ a0 = y(0) = y0,

y′(x) =

∞∑

n=1

n an xn−1 ⇒ a1 = y′(0) = y′0,

y′′(x) =∞∑

n=2

n(n − 1) an xn−2 =∞∑

n=0

(n + 2)(n + 1) an+2xn

y sustituyendo en la ecuacion se tiene:

2a2 + λa0 = 0, 6a3 + (λ − 1)a1 = 0, 12a4 + (λ − 2)a2 = 0,

y, en general (n + 1)(n + 2) an+2 + (λ − n) an = 0, de donde

an+2 =(n − λ)

(n + 1)(n + 2)an, n ≥ 0.

Por tanto:

y(x) = y0 · (1 −λ

2!x2 +

λ(λ − 2)

4!x4 + . . . ) + y′0 · (x − λ − 1

3!x3 +

(λ − 1)(λ − 3)

5!x5 + . . . )



y′ + cos(x) y = ex, y(0) = 2.

Suponiendo:

y(x) =∞∑

n=0

anxn ⇒ y′(x) =

∞∑

n=1

n anxn−1, a0 = y(0) = 2,

teniendo en cuenta que:

cos(x) =∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n, ex =

∞∑

n=0

xn

n!,

y sustituyendo en la ecuacion se tiene:

(a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x

3 + . . . ) + (1 − 1

2x2 +

1

24x4 + . . . ) · (a0 + a1x + a2x

2 + a3x3 + . . . )

= 1 + x +1

2x2 +

1

6x3 +

1

24x4 + . . .

Igualando coeficientes se deduce:

a1 + a0 = 1 ⇒ a1 = −1, 3a3 + a2 −a0

2=

1

2⇒ a3 =

1

6,

2a2 + a1 = 1 ⇒ a2 = 1, 4a4 + a3 −a1

2=

1

6⇒ a4 = − 1

8, . . .

Por tanto, la solucion sera de la forma:

y(x) = 2 − x + x2 +1

6x3 − 1

8x4 + . . .


13.7.3 Metodo de Frobenius

La busqueda de soluciones validas en el entorno de un punto singular x0 constituye una cuestion

de gran importancia practica, pues muchas de las ecuaciones que se plantean en aplicaciones tienen

puntos singulares.

Nos limitaremos a considerar un tipo de singularidad debil bastante frecuente, que consiste en que

las funciones q y r son ligeramente no analıticas, por lo que cabe esperar que pequenas modifica-

ciones de los metodos anteriores den resultados satisfactorios.

Se dira que un punto x0 es singular regular para la ecuacion:

y′′ + q(x) · y′ + r(x) · y = 0

si las funciones q(x) y r(x) no son analıticas en x0, pero los productos (x−x0)·q(x) y (x−x0)2 ·(x)

ya son analıticos en x0.

Observacion 13.6 Para simplificar la notacion podemos suponer x0 = 0, en caso contrario bastarıa

hacer el cambio de variable z = x − x0. Tambien podemos suponer x > 0, pues si x < 0 bastarıa

hacer el cambio z = −x.


La base del metodo de Frobenius se encuentra en el siguiente resultado:

Teorema 13.11 Sea x0 un punto singular regular de la ecuacion lineal

y′′ + q(x) · y′ + r(x) · y = 0.

Entonces existe una solucion de dicha ecuacion que puede expresarse en forma de serie de Frobe-

nius:

y(x) = (x − x0)p ·

∞∑

n=0

an(x − x0)n

donde el exponente p y los coeficientes an son numeros indeterminados con a0 6= 0.

Ademas, si las series de Taylor que representan los productos (x − x0) · q(x) y (x − x0)2 · r(x) son

validas en el intervalo |x−x0| < ρ, la serie de Frobenius satisface la ecuacion para 0 < |x−x0| < ρ.

Por tanto, el desarrollo del metodo comporta el hallazgo de los valores de p para los cuales existe

solucion en forma de serie de Frobenius, y tambien la obtencion de una relacion recurrente que determine

los coeficientes an.


Ejemplo 13.16 Sea la ecuacion:

2x2y′′ − xy′ + (1 + x)y = 0,

que puede escribirse de la forma:

y′′ − x

2x2y′ +

1 + x

2x2y = 0.

Por tanto, x0 = 0 es un punto singular regular.

Buscamos entonces una solucion de la forma:

y(x) = xp∞∑

n=0

anxn =

∞∑

n=0

anxp+n

Por tanto:

y′(x) =

∞∑

n=0

an(p + n)xp+n−1,

y′′(x) =∞∑

n=0

an(p + n)(p + n − 1)xp+n−2.

Sustituyendo en la ecuacion:∞∑

n=0

2an(p + n)(p + n − 1)xp+n −∞∑

n=0

an(p + n)xp+n +

∞∑

n=0

anxp+n +

∞∑

n=0

anxp+n+1 = 0


⇒ [2p(p − 1) − p + 1]a0xp +

∞∑

n=1

[2(p + n)(p + n − 1) − (p + n) + 1]an + an−1xp+n = 0.

De modo que, igualando coeficientes y teniendo en cuenta que a0 6= 0, se tiene:

2p(p − 1) − p + 1 = 0,

[2(p + n)(p + n − 1) − (p + n) + 1]an + an−1 = 0.

Si definimos la funcion

Φ(p) = 2p(p − 1) − p + 1 = (2p − 1)(p − 1),

estas ecuaciones pueden escribirse como:

Φ(p) = 0,

Φ(p + n) an + an−1 = 0.

Las raıces de la primera ecuacion son p1 = 1 y p2 = 12 y constituyen los unicos valores para los cuales

existe solucion en forma de serie de Frobenius.

Ası, para p = 1 se deduce:

Φ(2) a1 + a0 = 0 ⇒ a1 = −a0

3


Φ(3) a2 + a1 = 0 ⇒ a2 = −a1

10=

a0

30

Φ(4) a3 + a2 = 0 ⇒ a3 = −a2

21= − a0

630

. . . ⇒ . . .

De donde se obtiene una solucion:

y(x) = a0 (x − 1

3x2 +

1

30x3 − 1

630x4 + . . . )

De manera similar, para p = 12, se obtiene otra solucion:

y(x) = a0

√x (1 − x +

1

6x2 − 1

90x3 + . . . )

tema 1 { funciones anal ticas 1.1 introducci on a los numeros …aurea/tr_c3.pdf · 2008-10-03 ·...

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