MECANICA ANALITICA - CURSO 2011Practica de laboratorio Nro. 3

Centros de masa y Momentos de Inercia.

1 Introduccion.

La dinamica de cuerpos rıgidos constituye el caso especial, en que un sistema de partıculas poseeligaduras multiples tales que las distancias entre cualquier par de ellas se mantiene inalterable. Estaidealizacion es aplicable a los movimientos de cuerpos solidos reales cuando sus deformaciones puedendespreciarse. El abordaje general del problema puede hacerse desde la formulacion Lagrangiana,reconociendo que los cuerpos rıgidos poseen 6 grados de libertad. Las coordenadas mas usuales parasu descripcion son las tres posiciones espaciales del centro de masa, y tres angulos que definen laorientacion respecto de un sistema fijo.

En este trabajo de laboratorio desarrollaremos dos experiencias para la determinacion de posicionesde centro de masa y momentos de inercia. El primer experimento consiste en estudiar el movimientopendular de una barra en un plano vertical (un solo grado de libertad). Veremos como puede obtenerseel momento de inercia de la barra respecto de un eje horizontal que pasa por su centro de masa, apartir de la medicion de perıodos de oscilacion. El segundo experimento permite la determinacion dela posicion del centro de masa de un cuerpo plano, y de su momento de inercia respecto de un ejeperpendicular al plano del cuerpo que pasa por el centro de masa. Las determinaciones se realizanmediante recursos originados en la interaccion del cuerpo con la gravedad.

Experimento 1

2 Fundamentacion teorica.

Consideremos una barra rıgida uniforme de longitud l y masa m, que sera suspendida de diversospuntos situados sobre ella. Llamerenos d a la distancia entre el punto de suspension P y el centrode masa CM . Supongamos ahora que la barra se suspende de uno de los puntos y se la somete apequenas oscilaciones. El unico torque τ actuante es el debido al peso. Entonces

τ = Iθ (1)

donde I es el momento de inercia respecto de un eje horizontal que pasa por el centro de suspensiony θ es una coordenada angular que mide la desviacion respecto de la vertical. Llamaremos ICM al

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momento de inercia respecto de un eje horizontal que pasa por el centro de masa. Utilizando la reglade Steiner y reemplazando tenemos

−mgd sin θ =(ICM + md2

)θ (2)

que en regimen de pequenas oscilaciones se aproxima como

θ +

(mgd

ICM +md2

)θ = 0 (3)

Identificando el perıodo T en la ecuacion diferencial tenemos(2π

T

)2

=mgd

ICM +md2(4)

de donde se deduce que

u =mgT 2

4π2=

ICM

d+ md (5)

donde u es una variable auxiliar que depende de d. Para encontrar los mınimos de u derivamos respectode d e igualamos a cero, con lo que obtenemos

−ICM

d20+ m = 0 (6)

donde d0 representa las posiciones de los mınimos de u. Entonces

d0 =

√ICM

m(7)

Reemplazando en (5) tenemos

u0 =mgT 2

0

4π2= 2

√mICM (8)

donde U0 y T0 representan los respectivos valores mınimos. El momento de inercia respecto del centrode masa puede escribirse en terminos del perıodo mınimos como sigue

ICM =1

4m

(mgT 2

0

4π2

)2

(9)

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3 Descripcion del montaje.

El objeto a medir es una barra de hierro de seccion rectangular, sobre la cual se han hecho agujerospequenos con separaciones regulares. Los agujeros se han hecho de modo que facilitan que la barrapueda suspenderse, haciendo pasar por ellos un eje de muy baja friccion. Dicho eje puede sostenersecon un trıpode u otros medios de sujecion. Para las mediciones involucradas en esta practica, serequieren un cronometro, una cinta metrica y una balanza.

4 Metodologıa.

En primer lugar, procedemos a pesar la barra. Luego determinamos las posiciones de los agujerosrespecto de uno de los extremos. Tanto el peso como las posiciones de los agujeros deben medirsevarias veces hasta considerar que tales medidas son confiables.

Para analizar las oscilaciones, comenzamos por montar la barra sobre el eje en el primer agujero.Luego giramos la barra un pequeno angulo y la soltamos. La misma realizara oscilaciones cuyo perıodopuede medirse con el cronometro. Repita la operacion cinco veces y proceda analogamente con cadaagujero.

5 Procesamiento de los datos obtenidos.

Con los datos obtenidos, construya una tabla de valores de dos columnas. En la primera anote losvalores de la magnitud x, que corresponde a la distancia de cada punto al extremo de la barra. Enla segunda columna incorpore los valores de la variable u, construida de acuerdo con la definicion (5).Luego grafique los puntos con las correspondientes barras de error y pase una curva de la forma

u =ICM

x− xCM+ m (x− xCM ) (10)

buscando las constantes ICM y xCM que dan el mejor ajuste.

Experimento 2

6 Fundamentacion teorica.

Aquı nos proponemos identificar la posicion del centro de masa de una placa de madera de contornosarbitrarios. Luego determinaremos su momento de inercia respecto de un eje perpendicular a la placaque pasa por el centro de masa. Este experimento esta basado en un recurso sumamente intuitivo.

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Cuando cualquier cuerpo rıgido se suspende desde un punto que no coincide con su centro de masa,alcanzara el equilibrio estable cuando su centro de masa quede exactamente por debajo del punto desuspension. En consecuencia, el centro de masa sera uno de los puntos que se encuentra sobre unarecta vertical que, en el equilibrio, pasa por el punto de suspension.

En sentido teorico, bastara suspender la placa sucesivamente de varios puntos no alineados con elcentro de masa, y trazar rectas verticales desde cada uno de ellos. Todas las rectas debieran cortarseen un mismo punto, el cual debe identificarse como el centro de masa.

Para el calculo del momento de inercia proponemos la determinacion del perıodo de oscilacion dela placa como pendulo fısico. Para ello suspendemos la placa desde un punto bastante alejado delcentro de masa, y la sometemos a un regimen de pequenas oscilaciones. Finalmente se requiere unaaplicacion de la regla de Steiner.

7 Descripcion del montaje.

El montaje experimental consta de una estructura rıgida con dispositivos de regulacion para nivelarla.En la parte alta de la estructura hay un eje que sirve para suspender el cuerpo plano a medir. El cuerpopuede girar alrededor del mencionado eje, pero puede bloquearse su movimiento mediante recursosmagneticos. Para ello la estructura posee una placa ferromagnetica paralela y proxima al plano deoscilacion del cuerpo. El bloqueo del movimiento se realiza mediante imanes potentes que presionanel cuerpo sobre la placa. Ademas, el montaje consta de un recurso para trazar rectas verticales sobreel cuerpo a medir, incluyendo elementos de calibracion que permitan garantizar su verticalidad (ensentido gravitatorio).

8 Metodologıa.

En primer lugar, procedemos a nivelar el equipo, para lo cual pueden utilizarse un nivel de burbujay una plomada (u otros recursos equivalentes). Luego se suspende el cuerpo tomado desde un puntolateral y se lo deja escilar hasta que se detiene. Entonces se lo bloquea y se procede a trazar la verticalque para por el eje de suspension, con lo queda completa la primera operacion.

Luego se repite la misma secuencia varias veces, colgando el cuerpo desde distintos puntos laterales.La posicion del centro de masa queda determinada por la interseccion de “todas” las rectas trazadas.

Para comprobar que el punto determinado es efectivamente el centro de masa, realizamos unpequeno orificio en dicho punto y colgamos el cuerpo, de modo que el eje de suspension pase por elorificio. Comprobaremos que la medicion fue correcta si el cuerpo esta “balanceado”, es decir que nooscila.

Para la determinacion del momento de inercia respectos de un eje perpendicular al cuerpo quepasa por su centro de masa, hacemos un segundo orificio (pequeno) cerca del borde del cuerpo y losuspendemos desde ese punto. Luego procedemos a medir el perıodo de pequenas oscilaciones del

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cuerpo en dichas condiciones. Repetimos la medicion varias veces. Luego, medimos la distancia entrelos dos agujeros que tiene el cuerpo (distancia desde el centro de masa hasta el punto de suspension).Por ultimo, pesamos el cuerpo, con lo que se completan los datos necesarios para la determinacion delmomento de inercia.

9 Procesamiento de los datos obtenidos.

Dejamos a consideracion del estudiante los contenidos de esta seccion, en virtud de la sencillez de laexperiencia.

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