Integracin por fracciones parciales (http://148

Integracin por fracciones parciales (http://148.216.10.84/INTEGRAL/integrales_parciales.htm)Es comn, que en ocasiones encontremos la integracin de una fraccin de polinomios en el que el grado del denominador es mayor que el del numerador, lo cual no es un resultado que pueda obtenerse de manera inmediata. En el caso contrario, basta con hacer la divisin entre polinomios que no necesariamente es fcil pero que conduce a generar una funcin racional entera. La integracin de este tipo de expresiones diferencial a menudo requiere obtener fracciones racionales ms simples para su integracin. El teorema fundamental del lgebra es esencial en el desarrollo de mtodos que tiendan a solucionar este tipo de problemas.Una expresin del teorema fundamental del lgebra es la siguiente:Teorema fundamental del lgebra. Cualquier polinomio con coeficientes reales de grado n tiene n races, las cuales son reales o complejas. En el caso de existir races complejas siempre existen en pares, es decir, la raz y su complejo conjugado.Sea construido un teorema que recoge los elementos del teorema fundamental del lgebra, este agrupa en las aplicaciones a la solucin de integrales:Teorema: La integral de toda funcin racional en la que el denominador se puede descomponer en factores reales de primero y segundo grado puede solucionarse una vez que la funcin racional se expresa en sumas y restas de funciones elementales.Fracciones parciales1er caso. Todos los factores del denominador son de primer grado. Si no se repiten los factores la descomposicin en fracciones parciales es de la forma:

Ejemplo resuelto1.-Resuelve la siguiente integral

de acuerdo a la recomendacin planteada en este mtodo analicemos la factorizacin del denominador

por lo cual podemos realizar la siguiente descomposicin de fracciones:

realizando las operaciones

comparando las fracciones podemos deducir de los numeradores que

sustituyendo de Ec. 3 tenemos A =-1 en Ec.1 tenemos que B+C = 1 , pero de Ec.2 tenemosB = C por lo tanto 2B=1 en consecuencia:

Ahora estamos en condiciones de resolver la integral inicial Ec.A obteniendo integrales a las cuales les podemos aplicar las frmulas de manera inmediata

Aplicando propiedades de los logaritmos:

en el caso que uno de los factores se repita n veces tendremos que desarrollar para ese caso una descomposicin de la siguiente forma:

Segundo caso. El denominador tiene factores de segundo grado.De acuerdo al teorema fundamental del lgebra, si los factores son de la forma y adems no se repiten, a todo factor corresponder una fraccin parcial de la forma:

Ejercicio resueltoResolver la siguiente integral

Por medio del mtodo de integracin de fracciones parciales podemos determinar que esta se puede descomponer como suma de dos integrales.

Una forma de resolverla es encontrar las constantes, A,B y C.

comparando esta expresin con Ec. 3A

A + C = 0, B = 2, C = 1De donde podemos deducir que A =-1, por lo que:

Un caso particular es el anlogo al caso lineal en el que llega a aparecer una raz mas de una vez, en este caso pensar que un polinomio de segundo grado puede repetirse n veces, a lo cual corresponder la suma de n fracciones parciales de la forma:

Integracin Mediante Fracciones ParcialesLa Integracin mediante fracciones parciales, es uno de los mtodos de Integracin ms fcil, en donde la forma a seguir esta dada (se podra decir), por unos criterios.Definicin: Se llama funcin racional a toda funcin del tipo

En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado Ejemplo:

Cmo descomponer una funcin racional en fracciones parciales? Veamos los siguientes casos: CASO 1: Factores Lineales Distintos. A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccin racional propia (que el denominador se puede descomponer), le corresponde una fraccin de la forma , siendo A una constante a determinar. Ejemplo: luego nos queda la siguiente igualdado tambin lo podemos escribir 1 = ( A + B )x + 2A - 2B Haciendo un Sistema. A + B = 02A - 2B = 1 , las soluciones son : Quedando de esta manera: con lo cual

CASO 2: Factores Lineales Iguales. A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

EJEMPLO: Calculemos la siguiente integral

Pero: Tendremos

Amplificando por

Las Soluciones son:

Nos queda:

CASO 3: Factores Cuadrticos Distintos. A cada factor cuadrtico reducible, que figure en el denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una fraccin de la forma siendo A y B constantes a determinar. Ejemplo: Calcular:

Con lo que se obtiene de donde

luego los valores a encontrar son. A = 0 , B = 1 , C = 1 , D = 0

CASO 4: Factores cuadrticos Iguales A cada factor cuadrtico irreducible, que se repita n veces en el denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma

siendo los valores de A y B constantes reales. Ejemplo: Calcular la siguiente integral

tendremos que por tanto multiplicando a ambos lados de la igualdad por el mnimo comn denominador tenemos

Donde los valores de las constantes son A = 0 , B = 2 , C = 0 , D = 1De donde remplazando e integrando a primitivas se obtiene.

Ejercicio 1 1) Hallar la primitiva de la siguiente integral

Lo primero que haremos ser calcular las fracciones parcialesTenemos que Igualando y multiplicando por el mnimo comn mltiplo tenemos que

Ahora determinemos las constantes igualando coeficientes de potencias idnticos

C = 0

A = 1entonces los valores de A, B, C y D son: A = 1, B = 2, C = 0, D = -2, E = 0As pues:

Para resolver la segunda y tercera integral usamos el siguiente cambio de variable:

Entonces tenemos:

Ejercicio 2Calcular la siguiente Integral mediante Fracciones Parciales

Primero podemos factorizar el denominador de la siguiente manera

entonces calculando las fracciones parciales tenemos:

Multiplicando por el mnimo comn mltiplo

Igualando coeficientes tenemos: A = -1, B = 1, C = -3Entonces remplazando los valores de A , B y C, tenemos:

La primera integral da como resultado: La segunda integral la debemos resolver completando cuadrados y luego por sustitucin trigonomtrica

Ejercicio 3Calcular la siguiente Integral mediante Fracciones Parciales

El denominador lo podemos factorizar y luego expresando las fracciones parciales obtenemos la siguiente expresin:

Multiplicando por el mnimo comn denominador nos queda

igualando por coeficientes obtenemos: A = -1, B = 0, C = 3, D = 1, E = 0As pues, aplicando el segundo teorema fundamental del clculo se tiene que

Integracin por fracciones parciales (http://calc101.com/spanish/partial_fractionse.html)Estudie estos ejemplos de integraciones primero. Y despus calcule sus integrales instantneamente!ejemplo 1

Esto es lo que usted escribir: 1 / (x^2 - 1) ejemplo 2

Esto es lo que usted escribir: x^2 / (x^2 - 1) ejemplo 3

Esto es lo que usted escribir: x^3 / (x^2 - 1) ejemplo 4

Esto es lo que usted escribir: 1 / (x^2 +1 ) ejemplo 5

Esto es lo que usted escribir: x^2 / (x^2 + 1) ejemplo 6

Esto es lo que usted escribir: x^3 / (x^2 + 1) ejemplo 7

Esto es lo que usted escribir: 1 / (x^3 + 1) ejemplo 8

Esto es lo que usted escribir: x / (x^3 + 1) ejemplo 9

Esto es lo que usted escribir: x^3 / (x^3 + 1) ejemplo 10

Esto es lo que usted escribir: 1 / ((x + 1) (x^3 + 1)) ejemplo 11

Esto es lo que usted escribir: x / ((x + 1) (x^3 + 1)) ejemplo 12

Esto es lo que usted escribir: x^2 / ((x + 1) (x^3 + 1))FRACCIONES PARCIALES (http://www.fmat.cl/index.php?showtopic=892&pid=17854&st=0entry17854)PresentacinEl mtodo de fracciones parciales puede describirse (en pocas palabras) como un truco aritmtico para escribir de otra forma una divisin de polinomios. Esta nueva forma es "ms cmoda" en algunos contextos, como clculo de integrales, comportamiento de funciones en torno a los ceros del denominador, en ocasiones nos permite usar la propiedad telescpica de la sumatoria, entre otros.Veamos un ejemplo ilustrativo, a la izquierda el cuociente de polinomios y a la derecha la representacin en fracciones parciales. Si a un alumno de clculo se le pide hallar la integral indefinida de esto, no dudar en ir al lado derecho:

Nunca est de ms (y en este caso es fundamental) desarrollar un ejemplo, ms sencillo que el anterior, que nos permita sacar conclusiones generales. La idea es escribir coherentemente lo que uno desea conseguir, definiendo todo lo que haga falta y explicando los pasos, uno a uno. Nuestro ejemplo es el siguiente:

Algunos preliminares conceptualesConsideremos polinomios en una variable, que son denotados con una letra minscula, seguido de la variable indeterminada entre parntesis: (La variable y los coeficientes estn en , a menos que se diga explcitamente lo contrario. La variable o indeterminada siempre se denotar . Cuando desarrollemos el mtodo de fracciones parciales, los polinomios se indicarn con letras maysculas). Se supone entendido qu es el grado de un polinomio no nulo. Si un polinomio tiene grado , entonces llamaremos coeficiente lder a aquel que pondera a . Suponemos conocidas las operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicacin)

Dados dos polinomios: , es posible dividirlos. Esto significa que existen polinomios que cumplen las siguientes dos propiedades: , o bien el grado de es menor que el grado de Los polinomios estn bien determinados a partir de , o sea, son nicos. La justificacin de esto (existencia y unicidad) no es nuestro objetivo por ahoraEs til comparar en un comienzo, esto con el algoritmo de la divisin de enteros (al dividir dos enteros, con divisor entero positivo, aparece un cociente y un resto. El resto es menor que el divisor). Los nombres se mantienen en este contexto. Por ejemplo, r(x) se sigue llamando resto. Si r(x) = 0, decimos que p(x) es un divisor de f(x)Otro asunto interesante es el teorema del resto: Cuando el polinomio f(x) se divide por x = a, el resto es f(a). Basta con tomar el algoritmo de la divisin (p(x) = x-a) y reemplazar x = a. Como el grado de x-a es 1, no queda otra opcin que r(x) sea constante (tal vez nulo). Luego . De aqu se deduce el teorema del factor: es un divisor del polinomio , si y slo si f(a) = 0. En caso afirmativo se dice que es una raz o un cero del polinomioTambin es vlido el Teorema Fundamental del lgebra, que dice lo siguiente: todo polinomio no constante posee una raz compleja. Esto nos permite sacar un factor lineal: si el polinomio p(x) tiene una raz , entonces podemos hallar un polinomio q(x) tal que , y el grado del polinomio es una unidad menor que el grado de p(x). Si continuamos con el procedimiento tantas veces como sea posible, llegamos a la siguiente representacin del polinomio p(x), con grado n y coeficiente lder A:

Por otra parte, si es escrito como , y resulta ser una raz de p(x) con coeficientes en , entonces su conjugado: tambin es raz de p(x). Queda de ejercicio propuesto. Pasando a la forma (2) y agrupando los pares de factores (si los hubiera con ), vemos que cualquier polinomio con coeficientes en puede escribirse como producto de polinomios, todos ellos con grado menor o igual que 2 (y si el grado es igual a 2, este polinomio no puede ser reducido, o sea no tiene races reales, su discriminante es negativo). Tenemos otra forma:

donde las races reales son , y adems .Uno a uno los pasos del mtodo de fracciones parcialesEsta tcnica se trabaja para el cociente de polinomios, con una variable. Por lo tanto, vamos a considerar F(x), P(x) polinomios de este tipo, con coeficientes en . Adems vamos a exigir que P(x) no sea constante, para evitar casos evidentes. La expresin con la que trabajaremos, es:

A continuacin viene una lista con los pasos fundamentales del mtodo de fracciones parciales1 - Dividir polinomiosAlgo que puede suceder al comienzo, es que F(x) tenga grado mayor o igual que P(x), y lo que debemos hacer en este caso, es dividir. Aparece un cociente Q(x) y un resto R(x), con las siguientes propiedades: R(x) = 0, o bien el grado de R(x) es menor que el grado de P(x)Si dividimos la primera igualdad por P(x) vamos a obtener:

Si fuera R(x) = 0, entonces (excepto cuando P(x) = 0) es un polinomio y el proceso acaba. Si , entonces nos concentramos en para seguir. Veamos lo que pasa con nuestro ejemplo:

2 - Factorizar el denominadorEsto quiere decir que llevamos P(x) = 0 a la forma (2) o bien a la forma (3), dependiendo de nuestros objetivos (normalmente se busca la representacin (3), sobre todo si queremos calcular integrales). Pasando a frmulas se tiene lo siguiente:

La constante no debera ser un problema significativo, desde un punto de vista terico y prctico.En nuestro ejemplo vamos a tener lo siguiente (el factor cuadrtico tiene discriminante negativo):

Salvo casos excepcionales, factorizar polinomios es sumamente complicado. Requiere prctica y conocimiento de ciertos criterios. Por esta razn, casi siempre en los ejercicios propuestos el denominador ya est factorizado, o bien lo que falta se deduce a partir de tcnicas usuales de factorizacin3 - Obtener las fracciones parcialesAqu debemos hacer una observacin: las representaciones (2) y (3) no han agrupado explcitamente los factores repetidos. En este mtodo es necesario hacerlo para el denominador. Lo que viene a continuacin es generar ciertas fracciones de la siguiente manera: Cada factor de la forma , con genera las fracciones

donde son constantes reales, incgnitas por ahora Cada factor de la forma , con , genera las fracciones

donde son constantes reales, incgnitas por ahora Todas estas fracciones generadas, se suman para obtener Veamos lo que ocurre con nuestro ejemplo. Se obtiene la siguiente igualdad:

Encontrar el valor numrico de las Cuando uno llega a la igualdad enunciada en la parte anterior, pueden igualarse los denominadores, y en el numerador se llega a una igualdad de polinomios (otra forma de verlo, es multiplicar ambos lados de la igualdad por , que ya estaba factorizado). Esta es informacin suficiente para encontrar todos los coeficientes. Vamos a indicar dos mtodos para conseguirlo: igualdad por coeficiente, y evaluacin, con la ventaja que ambos pueden ser combinados, como sea ms cmodo para cada caso.Antes de eso, veamos lo que sucede con nuestro ejemplo (multiplicamos por ):

4.1 - Igualdad por coeficienteDos polinomios son iguales, cuando lo son coeficiente por coeficiente. Usamos este principio para establecer un sistema de ecuaciones que nos dar el valor de las constantes . Veamos con nuestro ejemplo:

De aqu pasamos al siguiente sistema de ecuaciones:

Restando la primera ecuacin de la primera, se obtiene que . Restando la cuarta ecuacin de la segunda se obtiene . Reemplazando esto en las ecuaciones, obtenemos que y que , de donde . A fin de cuentas, llegamos a lo siguiente:

Formalmente, esto termina de resolver el problema (salvo por pequeos detalles tcnicos). Pero es muy habitual que de este mtodo aparezca un sistema de ecuaciones bien complicado. En este ejemplo tuvimos suerte que no fuera as, y se pudo salir del problema en pocos pasos.4.2- EvaluacinEste mtodo es especialmente corto cuando el denominador (ya factorizado) tiene muchos factores (lineales o cuadrticos irreducibles) con exponente 1. El mtodo es evaluar los polinomios, o sea dar valores a . Lo astuto es evaluar en los ceros (reales o complejos) del denominador. Veamos qu sucede en nuestro ejemplo:

Si reemplazamos llegamos a lo siguiente: , de donde . A diferencia del mtodo anterior, llegamos de inmediato al valor de una constante, cosa que antes poda tardar mucho tiempo. Poniendo tenemos lo siguiente: . Ahora nos acordamos que , luego . Aqu con una evaluacin obtuvimos dos incgnitas. Al evaluar (el complejo conjugada) obtenemos la misma informacin, as que no lo haremos.Hasta aqu no es forzoso tener todos los coeficientes (en nuestro ejemplo falta obtener ). El esquema general para continuar, es el siguiente: reemplazar todas las constantes que hayamos determinado, aislar las incgnitas restantes en el lado derecho, factorizar ambos lados y dividir por los factores comunes. Veamos lo que pasa en nuestro ejemplo:

Normalmente se llega a este punto y repetimos el razonamiento inicial (el mtodo de evaluacin), pero en el ejemplo apenas quedaba una incgnita y por eso terminamos de inmediato. Si hubieran ms constantes por determinar, el proceso se extendera un poco ms. Un camino alternativo a este, es reemplazar las constantes conocidas, derivar, evaluar en todas las races que sean convenientes, y con frecuencia se obtiene "gratis" el valor de algunas constantes. Con prctica, esto resulta mucho ms rpido. En nuestro ejemplo se vera as:

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