naturaleza de la luz leyes de reflexion y refraccion.1

7/23/2019 Naturaleza de La Luz Leyes de Reflexion y Refraccion.1

1/18

Ing. Graciela M. Musso Prof. Adjunta Fsica II

1

TTEEMMAA99::NNAATTUURRAALLEEZZAAYYPPRROOPPAAGGAACCIIOONNDDEELLAALLUUZZ

99..11IINNTTRROODDUUCCCCIINNQues la luz?Esta pregunta ha sido formulada por los seres humanos a lo largo de much-

simos siglos. Hasta la mitad del siglo XVII, aproximadamente, fue general la creencia que la luzconsista en una corriente de corpsculos, que eran emitidos por fuentes luminosas, tales como elsol o la llama de una vela, y se alejaban de la fuente en lnea recta. Podan atravesar las sustan-cias transparentes y se reflejaban en las superficies de los cuerpos opacos. Cuando los corpscu-los penetraban en el ojo, excitaban el sentido de la vista.

Hacia mediados del siglo XVII, aunque la mayora de los investigadores aceptaban la teoracorpuscular, haba comenzado a progresar la idea de que la luz fuera quiz, un movimiento ondu-latorio de cierta naturaleza. Christian Huygens demostr, en 1678, que las leyes de la reflexin yde la refraccin podan explicarse basndose en una teora ondulatoria, y que sta proporcionabauna interpretacin sencilla del fenmeno de la doble refraccin recientemente descubierto. La teo-ra ondulatoria no fue, sin embargo, aceptada inmediatamente. Se objet que si la luz era un mo-

vimiento ondulatorio, deba ser posible ver detrs de las esquinas, puesto que las ondas puedendoblar los obstculos en su trayectoria. Ahora sabemos que las longitudes de onda de las ondasluminosasson tan pequeas que aunque en efecto tiene lugar la flexin, esta es tan reducida que,de comn, no se observa. De hecho, la flexin de una onda luminosa en los bordes de un objeto,fenmeno conocido con el nombre de difraccin, fue enunciada ya por Grimaldi en un libro publi-cado en el ao 1665, pero la importancia de sus observaciones no fue comprendida en aqueltiempo.

En el primer cuarto del siglo XIX, los experimentos de Thomas Young y Agustn Fresnel sobreinterferencia, y las medidas de la velocidad de la luz en los lquidos, realizadas por Len Foucaulten fecha algo posterior, demostraron la existencia de fenmenos pticos para cuya explicacin

resultaba inadecuada cualquier teora corpuscular. Los experimentos de Young permitieron medirla longitud de onda de las ondas, y Fresnel demostr que la propagacin rectilnea de la luz, lomismo que los efectos de difraccin observados por Grimaldi y otros , podan explicarse por elcomportamiento de las ondas de corta longitud de onda.

EI gran avance siguiente en la teora de la luz fue el trabajo de Maxwell. En 1873 Maxwell de-mostr que un circuito elctrico oscilante radiaba ondas electromagnticas. La velocidad de pro-pagacin de las ondas pudo calcularse a partir de medidas puramente elctricas y magnticas, yresulto ser, aproximadamente, 3 X 108m/seg. Dentro de los lmitesde los errores experimentales,este valor coincide con la velocidad de propagacin de la luz determinada experimentalmente.Pareca evidente que la luz consista en ondas electromagnticas de longitud de onda extrema-damente corta. Quince aos mas tarde del descubrimiento de Maxwell, Heinrich Hertz, utilizandoun circuito oscilante de pequeas dimensiones, logr producir ondas de corta longitud de onda(que hoy llamamos microondas) de indudable origen electromagntico, y demostr que poseantodas las propiedades de las ondas luminosas. Podan ser reflejadas, refractadas, concentradaspor una lente, polarizadas, etc., lomismo que las ondas luminosas. La teora electromagntica dela luz de Maxwell, y su comprobacin experimental por Hertz, constituyuno de los triunfos de lafsica.A finales del siglo XIX era creencia general que en el futuro muy poco se podra aadir, si esque era posible aadir algo a nuestro conocimiento acerca de la naturaleza de la luz; pero no su-cedi as.

No obstante, la teora electromagntica clsica no era capaz de explicar el fenmeno de laemisin fotoelctrica; esto es, la expulsin de electrones de un conductor por la luz que incide

sobre su superficie. En 1905 Einstein ampli una idea propuesta cinco aos antes por Planck ypostul que la energa de un haz luminoso, en lugar de estar distribuida por el espacio en loscampos elctrico y magntico de una onda electromagntica, estaba concentrada en pequeos


2/18


2

paquetes o fotones. Se conservaba un vestigio de la descripcinondulatoria al considerar que elfotn tiene una frecuencia, y que su energa es proporcional a ella. EI mecanismo del efecto foto-elctrico consista en una transmisin de energa de un fotn a un electrn. Los experimentos deMillikan demostraron que las energas cinticas de los fotoelectrones coincidan exactamente conla frmula propuesta por Einstein.

Otra confirmacin sorprendente de que la luz est formada por fotones es el efecto Compton.A. H. Compton logrdeterminar, en 1921, el movimiento de un fotn y un electrn aislados, antesy despus de un choque entre ellos, y encontr que se comportaban como cuerpos materialesque tenan energa cintica y cantidad de movimiento, conservndose ambas magnitudes en elproceso del choque. Tanto el efecto fotoelctrico como el efecto Compton parecen, pues, exigiruna vuelta a la teora corpuscular de la luz.

EI punto de vista actual de los fsicos, enfrentados con experimentos aparentemente contradic-torios, es aceptar el hecho de que la luz parece tener una doble naturaleza. Los fenmenos depropagacin de la luz encuentran su mejor explicacin dentro dela teora ondulatoria electromag-ntica, mientras que la accin mutua entre luz y materiaen los procesos de absorcin y emisin,es un fenmeno corpuscular.

Actualmente se considera que la dualidad onda-partcula es un concepto de la mecnica cun-tica segn el cual no hay diferencias fundamentales entre partculas y ondas: las partculas pue-den comportarse como ondas y viceversa. (Stephen Hawking, 2001)

ste es un hecho comprobado experimentalmente en mltiples ocasiones. Fue introducido porLouis Vctor de Broglie, fsico francs de principios del siglo XX. En 1924 en su tesis doctoral pro-puso la existencia de ondas de materia, es decir que toda materia tena una onda asociada a ella.Esta idea revolucionaria, fundada en la analoga con que la radiacin tena una partcula asociada,propiedad ya demostrada entonces, no despert gran inters, pese a lo acertado de sus plantea-mientos, ya que no tena evidencias de producirse. Sin embargo Einstein reconoci su importanciay cinco aos despus, en 1929, De Broglie recibi el Nbel en fsica por su trabajo.

Su trabajo deca que la longitud de onda de la onda asociada a la m ateria era

mv

h

p

h

dondees la longitud de la onda asociada a la partcula de masa mque se mueve a una veloci-dad v, y hes la constante de Planck. El producto mves tambin el mdulo del vectorp,o cantidadde movimientode la partcula. Viendo la frmula se aprecia fcilmente, que a medida que la masadel cuerpo o su velocidad aumentan, disminuye considerablemente la longitud de onda.

99..22OONNDDAASSEELLEECCTTRROOMMAAGGNNTTIICCAASS,,CCAARRAACCTTEERRSSTTIICCAASSDDEEPPRROOPPAAGGAACCIINN::IINNTTEENNSSIIDDAADD,,AAMMPPLLIITTUUDD,,FFRREECCUUEENNCCIIAAYYFFAASSEE

Figura 1


3/18


3

De todo el espectro de ondas electromagnticas que parten del sol, el ojo humano responde auna parte relativamente pequea, entre los lmites de frecuencias desde aproximadamente 4,2 x1014 hasta 7,5 x 1014 Hz. Estos valores corresponden a longitudes de onda entre 4,0 x 10-7 y 7,2 x10-7m. Al tratarse de longitudes de onda luminosas se acostumbra a usar tambin las unidadesnanmetro(nm) o Angstrom (A). Como un nanmetro es 10-9m, se puede decir que la variacinde las longitudes de onda del espectro visible se extiende desde 400 nm hasta 720 nm y como el

Angstrom se define como 10-10m, la misma variacin se puede expresar como desde 4000 hasta7200 A. Adems de estas longitudes de onda, las radiaciones en las partes del espectro electro-magntico adyacentes a la radiacin visible, llamadas radiacin infrarroja, en el lado de las longi-tudes de onda ms largas, y radiacin ultravioleta, en el lado de longitudes ms cortas, se com-portan de modo similar a la luz y las leyes de la ptica se aplican por igual a la luz (visible), a laluz infrarroja y a la luz ultravioleta.

La figura 2 ilustra que lo que se percibe como color de un haz lumnico est relacionado con lalongitud de onda o frecuencia de la luz. Tambin muestra que lo que el ojo detecta como luz blan-ca realmente es una superposicin de ondas de todas las frecuencias visibles.

Si un haz de luz blanca se hace pasar por un

elemento refractor, como un prisma de vidrio, estase descompone o dispersaen una banda de com-ponentes de distinto color, banda en la que las lon-gitudes de onda componentes estn separadasespecialmente; las longitudes mas largas se des-van o refractan en un ngulo mas pequeo que lasmas cortas. A este efecto ptico se le llama espec-tro, y se encuentra que en el caso de la luz blanca,los colores que presenta el espectro visible son, enorden de longitud de onda decreciente: rojo, naran-ja, amarillo, verde, azul, ail y violeta. La separa-cin de la luz blanca es sus componentes espec-trales mediante un prisma se basa en el hecho de que en una sustancia transparente densa comovidrio, la velocidad de la luz es menor que en el vaco, adems de que su velocidad cambia paradistintas longitudes de onda.

Por lo tanto, las diferentes longitudes componentes desvan o refractan ngulos desiguales alpasar por un prisma, y cada color emerge en direccin ligeramente diferente, como se ilustra en lafigura. Este fenmeno es llamado dispersin. Aunque desde tiempos prehistricos se han conoci-do los colores del espectro en el arco iris, en el que las gotas de agua hacen las veces de prismade vidrio, solo se comprendieron claramente los fenmenos de la refraccin, dispersin y des-composicin de la luz blanca en sus componentes espectrales, hasta que Sir Isaac Newton los

estudi en 1672.A menudo es importante distinguir entre luz monocromtica, que es la de un solo color, con

una frecuencia y longitud de onda especificadas unvocamente, y la luz blanca, que es una su-perposicin de ondas luminosas de diversas frecuencias.

Examinemos algunas propiedades de las ondas electromagnticas. Cuando estas se propa-gan transportan energa de un punto a otro y como pueden moverse en el vaco, no hay despla-zamiento fsico de materia.Consisten en campos elctri-cos y magnticos variables enel tiempo. Estos campos son

uniformes en todo el planoxyy slo dependen de z y de t.En este caso decimos que la

Figura 2

x

y

z

Figura 3


4/18


4

onda electromagntica es una onda plana que responden a las ecuaciones:

2

2

002

2

2

2

002

2

t

B

z

B

t

E

z

E

Estas ecuaciones de onda unidimensional, son anlogas a las estudiadas en Mecnica para elmovimiento armnico simple, lo que indica que estas ondas pueden propagarse con una veloci-dad de propagacin:

00

1

cv

Cuando una onda viaja por el espacio, sus campos elctrico y magntico son siempre perpen-diculares o transversales a la direccin de propagacin.

Para una onda electromagntica plana que se propaga en la direccin z positiva, los campos

Ey B estn en el planoxyy su magnitud es:

)cos(),(

)cos(),(

2kDonde

)(2

cos),(

)(2

cos),(

0

0

0

0

tkzBtzB

tkzEtzE

kcy

ctzBtzB

ctzEtzE

La frecuencia angular de oscilacin est relacionada con la frecuencia real f mediante la ex-presin = 2f, obtenemos la importante relacin:

fc

El valor de las ondas electromagnticas se debe a su capacidad de transferir o transportarenerga de un punto a otro. As por ejemplo las ondas trasmiten la energa utilizable del Sol a laTierra haciendo posible la vida.

Tratndose de una onda electromagntica monocromtica simple, la energa que transporta laonda esta dada por el vector de Poynting S, que se puede escribir como:

)(1

0

BES

El vector Sest en la direccin en que la onda transporta la energa, y su magnitud es la deenerga por rea unitaria y por unidad de tiempo. En trminos generales, y ya que el vector dePoynting es normal tanto a E como a B, igual que el vector de propagacin kasociado a la onda,el vector de Poynting y el vector de propagacin estn en la misma direccin.

Para este tipo de onda, como Ey Bsiempre son perpendiculares, la magnitud instantnea delvector de Poynting ser

)(cos

2

0

00

0 tkz

BEEB

S

y como su direccin es la del vector de propagacin k, debe apuntar en la direccin positiva del eje


5/18


5

z. En cualquier punto, esta cantidad flucta rpidamente, debido a la variacin armnica de loscampos E y B. Como la frecuencia para las ondas de luz es tan alta, es difcilobservar directa-mente esta fluctuacin. Generalmente loque se desea conocer es la energa media transportadapor la onda, en un intervalo de tiempo mucho mayor que la duracin de un solo ciclo, lo que co-rresponde al valor medio de la magnitud del vector de Poynting. EI resultado es

0

00

0'

2

0

22

BE

c

ES

El valor de Sobtenido de esa manera, y expresado en las unidades watts/m2, se llama intensi-dad de la radiacin electromagntica, o bien intensidad de la luz, en el planoxy.Para una ondamonocromtica simple, es evidente que la intensidad de la luz es proporcional al cuadrado de laamplitud Eodel vector elctrico. Para luz que consiste en la superposicin de una serie de com-ponentes de distinta frecuencia, la intensidad total es simplemente la suma de las intensidadesasociadas a cada componente espectral.

Para una fuente puntual de luz, como la que muestra la figura 4, los frentes de onda ya no sonplanos, sino superficies esfricas cuyos radios crecen a la velocidad c.Las expresiones anteriores

son vlidas para las magnitudes de los camposmagntico y elctrico, a condicin de que sereconozca que ahora las amplitudes Eo y Bopueden variar con el radio del frente de ondaesfrico. Esta variacin puede calcularse no-tando que la ley de la conservacin de la ener-ga requiere que para una fuente que radie unacantidad constante total de energa por segun-do, la energa radiada a travsde la superficiede cualquier esfera centrada en la fuente tieneque ser la misma, sin importar el radio de la

esfera. Sino fuera as, la energa luminosa seacumulara en el tiempo en determinadas re-giones, y se agotara a partir de otras, lo que claramente no sucede. La intensidad S de la luz re-presenta la cantidad de energa por unidad de tiempo y por rea unitaria transportada a travs decualquier superficie orientada normalmente a la direccin de propagacin.

La figura 4 tambin ilustra algunas de las caractersticas importantes de la propagacin de laluz, desde una fuente puntual. Como ya se ha visto, los frentes de onda, es decir, las superficiesde fase constante, son esferas concntricas que se dilatan radialmente hacia el exterior, a la velo-cidad de la luz. Desde luego, los vectores Ey Bson tangentes a los frentes de onda, ya que lasondas electromagnticas son transversales. EI vector k de propagacin es normal en todas partes

a E y B, por lo que es un vector que apunta radialmente hacia el exterior, en cualquier punto en elfrente de onda. Por ejemplo, a medida que el frente de onda se propaga desde el punto 0 al puntoP, el vector de propagacinkasociado a este punto en el frente de onda se traslada radialmentehacia el exterior, a lolargo de la lnea OP. Es claro que el vector de propagacin en todas partesdel frente de onda siempre apunta en la misma direccin radial a medida que el frente se dilatahacia el exterior, desde la fuente. La manera ms comn de resumir este comportamiento es decirque la luzviaja en lnea recta a travs de cualquier medio uniforme. La recta OPsobre la que semueve hacia afuera el vector kasociado al punto Pen el frente de onda, se llama rayo de luz.

99..33MMEEDDIICCIIOONNEESSDDEELLAARRAAPPIIDDEEZZDDEELLAALLUUZZLos primeros intentos para medir la rapidez de la luz fracasaron porque la misma es muy alta.

Galileo intent medirla colocando dos observadores en torres separadas aproximadamente a 10km. Cada observador llevaba una linterna de persianas. Uno de ellos la abrira primero y luego, al

BE

k

Figura 4


6/18


6

momento de ver la luz, la abrira el otro. Galileo explic que si conoca el tiempo de trnsito de losrayos de luz de una linterna a la otra y la distancia que separaba las dos linternas, podra obtenerla rapidez. Sus resultados no fueron satisfactorios. En la actualidad sabemos que es imposiblemedir la rapidez de la luz de esta manera porque el tiempo de trnsito es mucho menor que eltiempo de reaccin de los observadores.

9. 3. 1 MMTTOODDOODDEERROOEEMMEERREn 1676, el astrnomo dans Ole Roemer, a partir de observaciones astronmicas realizadas

sobre uno de los satlites de Jpiter obtuvo la prueba de que la velocidad de la luz es finita.Rmer fue encargado de medir el perodo de revolucin de uno de los satlites, Io, alrededor delplaneta (aproximadamente 42,5 hs) utilizando el tiempo transcurrido entre dos eclipses consecuti-vos. Comparando los resultados obtenidos durante un largo perodo observ que cuando la Tierrase alejaba de Jpiter, los intervalos de tiempo eran mayores que el intervalo medio mientras quecuando se acercaban suceda lo contrario. De ello dedujo, correctamente, que la anomala podaatribuirse a que la luz tiene velocidad finita y por lo tanto emplea menos tiempo en llegar a noso-tros cuando Jpiter est ms prximo, y viceversa.

Supongamos que las observaciones comienzan cuando Jpiter y la Tierra ocupan las posicio-nes T1 y J1. Figura 5. Como Jpiter necesitaaproximadamente 12 aos para recorrer surbita resulta que durante el tiempo que laTierra llega a la posicin 2 (unos cinco meses)Jpiter se ha movido hasta J2. Durante esetiempo la distancia entre los dos planetas aaumentado continuamente, por consiguienteen cada eclipse, la luz procedente del satliterecorre una distancia ligeramente mayor quela observada anteriormente y el perodo de

cada revolucin parece algo mayor que el ver-dadero.

Roemer dedujo que la luz necesita un tiempo de 22 minutos para recorrer una distancia igualal dimetro de la rbita terrestre. Aunque no hay testimonios de que Roemer haya realizado losclculos, Huygens utilizando sus datos estim que el lmite inferior de la velocidad de la luz eraaproximadamente 2,3 x 108m/s.

Las distancias planetarias en aquellas pocas eran conocidas con poca precisin; por lo tanto,el valor de la velocidad de la luz, que el astrnomo pudo calcular de esta manera, fue relativamen-te impreciso. Sucesivas determinaciones, tanto a travs de mtodos astronmicos como terrestres(en laboratorio), han llevado al descubrimiento del exacto valor de la velocidad de la luz en el va-

co, que es de 299.792, 458 km/seg (alrededor de mil millones de kilmetros por hora).9. 3. 2 MMTTOODDOODDEEFFIIZZEEAAUU

El primer mtodo exitoso para medir la velocidad de la luz por medio de tcnicas puramenteterrestres fue perfeccionado en 1849 por el fsico francs Armand H. Fizeau.

Utiliz una rueda dentada giratoria, que convierte un haz continuo de luz en una serie de pul-sos luminosos. El arreglo utilizado se muestra en la figura 6.

Io

S

T2J2

J1T1

Figura 5

S

L1 L2 L3

L4

M

G T

ObservadorFigura 6

Rueda den-tada giratoria


7/18


7

Supongamos en primer lugar que la rueda est quieta y que la luz pasa a travs de una de lasaberturas entre los dientes. Las lentes L1y L3 estn separadas 8,6 km y forman una segunda ima-gen sobre un espejo M. La luz reflejada en l vuelve sobre su trayectoria y una parte es reflejadapor la lmina de vidrio G, atravesando la lente L4 penetra en el ojo de un observador. Si se hacegirar la rueda T, la luz es cortada en una serie de trenes de longitud limitada. Si la velocidad derotacin es tal que durante el tiempo empleado por la luz para llegar al espejo y volver, la rueda

se ha movido a un segmento opaco, al observador no le llegar la luz reflejada.Para una velocidad angular doble que la anterior la luz trasmitida a travs de la abertura volve-

r a travs de la siguiente y el observador ver nuevamente la imagen de la fuente luminosa S.conociendo la velocidad angular de la rueda, la distancia entre las aberturas y la distancia de larueda al espejo puede calcularse la velocidad de la luz.

Las mediciones de Fizeau no fueron de gran precisin, obtuvo un valor de 3,15 x 108m/s. Esteaparato fue modificado por Foucault quien reemplaz la rueda por un espejo giratorio, introdu-ciendo entre la rueda y el espejo un tubo lleno de agua, comprob que la velocidad de la luz en elagua es menor que en el aire.

Las medidas ms precisas, basadas en el mtodo de Foucault, fueron realizadas por Michel-

son en 1878 que fueron completadas por Pease y Pearson en 1935.En un anlisis de todas las mediciones realizadas hasta 1935, Cohen, Du Mond, Layton y Ro-

llet dieron el valor ms seguro c = 2,99730 X 108m/s, con un margen de error de 300 m/s.

99..44PPRRIINNCCIIPPIIOODDEELLTTIIEEMMPPOOMMNNIIMMOOYYPPRRIINNCCIIPPIIOODDEEHHUUYYGGEENNSS::LLEEYYEESSDDEELLAARREEFFLLEEXXIINNYYLLAAFFOORRMMAACCIINNDDEEIIMMGGEENNEESS

Deduciremos las leyes de la reflexin y refraccin a partir de conceptos fsicos simples rela-cionados con elcomportamiento de los rayos y frentes de onda. Para ello seguiremos dos cami-nos distintos, el primero, partiremos del enunciado fundamental acerca del comportamiento de lasondas luminosas, que se conoce como principio del tiempo mnimo de Fermat, y al segundo lodesarrollaremos a partir de un postulado bsico relativo a la propagacin de frentes de onda: elprincipio de Huygens.

En el primer caso comenzaremos con el hecho de que la luz, en el vaco o en medios homog-neos, viaja en lnea recta. Esto est de acuerdo con la manera como se propagan los frentes deonda, adems del comportamiento observado de la luz. Tambin sabemos que una recta es ladistancia minima entre dos puntos dados. Por tanto, parecera que al ir de un punto a otro, un rayode luz simplemente toma el camino ms corto. Por otra parte, tambin puede suceder que tome elcamino que le permita hacer el viaje en el menortiempo posible. Muchas veces, estas dos posibi-

lidades significan lo mismo, aunque hay casos,uno de los cuales se estudiar un poco mas ade-

lante, en que no lo son. En estos casos, los expe-rimentos demuestran rotundamente que la segun-da posibilidad es la correcta. En consecuencia, elcomportamiento de los rayos luminosos se puedecaracterizar por el enunciado de que al viajar entredos puntos, un rayo de luz sigue la trayectoria que

le permite hacer el recorrido en el tiempo ms cor-

to posible. Este es el enunciado del principio deltiempo mnimo de Fermat.

Podemos comprender el principio de Fermat

para la reflexin de la luz por una superficie reflejante plana observando la figura 7; veamos unrayo que va del punto Aal punto B siguiendo la trayectoria APB, que comprende una reflexin enel punto P. La parte de la trayectoria APse conoce como rayo incidente, en tanto que la parte PB

Rayo incidenteRayo reflejado

i rh

h'

x d -xd

NormalA

B

P

Figura 7


8/18


8

es el rayo reflejado. EI ngulo ientre el rayo incidente y la normal al plano reflejante se conocecomo ngulo de incidencia, en tanto que el ngulo correspondiente rentre el rayo reflejado y lanormal se conoce como ngulo de reflexin. Supongamos que los ngulos son muy desiguales.Las proyecciones verticales de Ay Bsobre la superficie reflejante estn separadas una distanciad, y las distancias entre el punto de reflexin y estos dos puntos estn sealadas como xy d -x,respectivamente.

La trayectoria entre A y Bque puede recorrer un rayo de luz en el menor tiempo posible es latrayectoria punteada directa AB.Desde luego, este rayo no se refleja en absoluto. Para cualquierrayo que se refleja, la trayectoria del mismo debe consistir en cierta forma en dos segmentos rec-tilneos que se juntan en el plano reflejante, debido a que los rayos de luz viajan en lnea recta enel vaco. De acuerdo con el principio de Fermat, esta ser de tal manera que permita al rayo pasardesde Ahasta la superficie reflejante, y de ah a B, en el tiempo mnimo.

Matemticamente, podemos encontrar esta trayectoria escribiendo una ecuacin para el tiem-po necesario para que la luz siga una trayectoria como la APB, y utilizaremos la tcnica de dife-renciacin para obtener fa trayectoria especfica que minimiza al tiempo. EI valor de t necesariopara que la luz recorra la trayectoria APBest dado por

c

hxdhx

c

PBAPt

2222 ')(

O sea

2222 ')( hxdhxct

En esta ecuacin, h, h' y d son constantes que indican la ubicacin de los dos puntos fijos A yB. La cantidadx indica el lugar donde el rayo incidente toca el plano de reflexin, como no lo co-nocemos de antemano, debemos determinarlo a partir de la condicin de que el tiempo de transi-

to sea el menor posible. Para ello, derivaremos la ecuacin del tiempo en funcin de x, con res-pecto ax, e igualaremos a cero la derivada resultante, entonces

2222 ')( hxd

xd

hx

x

dx

dtc

Despejando uno de los dos trminos en un lado de la ecuacin, y elevando ambos miembros alcuadrado, puede escribirse

22

2

22

2

')(

)(

hxd

xd

hx

x

2222222 )()(')( xdhxdxhxdx

Por ltimo2222 )(' hxdhx

De donde

h

x

h

xd

'

De la figura podemos ver que ri h

xd

yh

x

tan'tan

por lo tanto concluimos que i = r,el ngulo de incidencia es igual al ngulo de reflexin.


9/18


9

En el diagrama que muestra la figura 8, vemos latrayectoria real del rayo, caracterizada por ngulos deincidencia y reflexin iguales. Como los rayos inciden-tes y reflejados viajan a velocidad constante c, la tra-yectoria que corresponde al tiempo mnimo tambines la ms corta que puede seguir un rayo reflejado

entre los puntos Ay B.Veamos un ejemplo.

Ejemplo 9.1:Supongamos una fuente puntual queemite rayos luminosos en todas direcciones. Si colo-camos un espejo plano en su proximidad, los rayosque incidan en l se reflejarn de manera que los ngulos que formen los rayos incidentes y losreflejados correspondientes, con la normal al plano, sean iguales.

Si observamos la figura 9, es evidente que el efecto de la reflexin es generar un conjunto derayos luminosos reflejados que diverjan hacia afuera, como si hubieran sido emitidos desde una

fuente puntual ficticia o virtualdetrs del espejo,

en A'. Por tanto, una persona cuyo ojo este en unpunto como B, no puede decir a simple vista quelos rayos reflejados que llegan a su ojo verdade-ramente emanen de A, en vez de A'; el efectovisual es el de una fuente puntual como A, ubica-da detrs del espejo A'. Decimos, entonces, queel espejo forma una imagen virtual de la fuenteyno real, ya que no son los rayos luminosos ver-daderos los que divergen del punto A' , sino so-lamente un conjunto de rayos reflejados cuyas

prolongaciones se cortan en este punto.Para encontrar la posicin de la imagen deuna fuente puntual, solo es necesitamos conside-rar las trayectorias de dos rayos que procedan dela fuente en distintas direcciones y encontrar su

punto de interseccin, despus de la reflexin. Como obtenemos una imagen virtual, en vez deuna real, debemos encontrar el punto de interseccin de sus proyecciones, detrs del espejo,donde aparecen las trayectorias que siguen los rayos APBy AQC,que parten en distintas direc-ciones desde la fuente A. Las prolongaciones PA'y QAde los rayos reflejadosPBy QCse cor-tan en el punto A,que es donde se localiza la imagen del punto fuente A.Teniendo en cuentaque la ley de reflexin requiere que los ngulos de incidencia y reflexin sean iguales, los ngulosOAPy OAPson iguales a . Entonces, en los tringulos OPA y OPA',

'OAtg

OPOA

Concluimos que la imagen de un punto en un espejo plano es virtual, y est ubicada detrs delmismo, a la misma distancia que el punto objeto est frente a l.

Por ltimo es fcil determinar el tamao y la orientacin de la imagen de un objeto extenso,simplemente localizando las imgenes de dos o ms puntos situados en l. Las tcnicas de trazo

de rayos que expusimos en estos ejemplos, son muy importantes y los aplicaremos tambin aespejos y lentes curvas, igual que a espejos planos.

Rayo incidente

Rayo reflejado

ir

hh'

d

Normal

A

B

P

Figura 8

B

C

i r

P Q

r

'r'iO

A

i

r

r

A Figura 9


10/18


10

El segundo punto de vista con el que estudiaremos la propagacin de la luz, se basa en unpostulado simple referente al comportamiento de los frentes de onda, enunciado por primera vezpor Christian Huygens en 1678, ex-presa que podemos entender la formacomo se propagan los frentes de on-da, suponiendo que cadapunto de un

frente de onda opera como una fuen-te puntual desde la que se emitenpequeas ondas esfricas, y que el

frente de onda que se propaga des-

pus es una superficie, llamada en-

volvente, que es tangente a todas

estas pequeas ondas esfricas. Portanto, podemos describir la propaga-cin sucesiva de los nuevos frentesde onda en trminos de la emisin denuevas pequeas ondas esfricasdesde los frentes que obtuvimos ante-riormente.

Huygens fue la primera personaen considerar a la luz como un fenmeno ondulatorio, y su principio fue el primer caso en que sedemostr que los hechos conocidos referentes a la propagacin de la luz podran explicarse sa-tisfactoriamente por medio de la teora ondulatoria. Desafortunadamente, no fue aceptada en for-ma generalizada cuando fue enunciada, al grado de que la mayora de los cientficos se aferr alos antiguos conceptos de emisin por partculas durante ms de 130 aos, hasta que los experi-mentos de interferencia de Young demostraron inequvocamente la naturaleza ondulatoria de laluz.

El principiode Huygens nos permite visualizar de manera geomtrica simple, la forma en quelas ondas luminosas vande un lado a otro y cmose comportan al ser re-flejadas o refractadas.Por ejemplo podemosdeducir la ley de la refle-xin, utilizando este prin-cipio. Supongamos unfrente de onda plano que

avanza en el espacio eincide en un espejoplano. El frente AAtocael espejo en el punto Ayse emite una onda esf-rica reflejada. Cuando el frente se mueve hasta el punto B, el radio de la onda reflejada se haagrandado hasta la distancia AB, que desde luego es igual a AB, ya que las velocidades delfrente de onda incidente y la pequea onda reflejada, son iguales. Supongamos ahora que simul-tneamente se emiten nuevas pequeas ondas reflejadas en By en R. cuando el frente incidentea avanzado hasta CC, las pequeas ondas se han dilatado de manera que puede construirse elfrente de onda reflejado CC, trazando las tangentes a las mismas. El proceso puede repetirse

infinitamente.

Z

Z

BC

B

CFigura 10

A B C D

Frente de onda incidente

A B C DA B C

Frente de onda reflejado

R

Espejo

Normal

Figura 11


11/18


11

Ejemplo 9.2:Vamos a demostrar que cuando un espejo gira un ngulo , la direccin del rayo deluz reflejado, en el mismo, cambia en un ngulodoble del girado. Figura 12.

Un rayo PO llega al espejo plano formando inicial-mente un ngulo de incidencia y se refleja como

un rayo OQ. Si luego giramos el espejo un ngulo

,el ngulo entre el rayo incidente y la nueva normalN es ahoraPN, es decir es +.Por la ley de lareflexin el nuevo rayo reflejado OQ tambin debeformar un ngulo +con la normal N. Pero ahora,qu ngulo forma el rayo reflejado, anterior OQcon el nuevo reflejado OQ?. Del diagrama se pue-de ver que:

ng. QQ= ng.NN+ ng.NQQ- ng. NQ,

O sea ng. QQ= + (+)= 2.

Ejemplo 9.3:A qu altura debe estar colocado unespejo para que un observador pueda ver ntegra-mente el objeto de altura hcolocado a la distancia dal frente del espejo, si el observador est a la distancia adel propio mismo?

Un objetoAB,de altura hest situado frente a un espejoPQ, de altura ya una distancia d.

Por propiedades de los espejos planossabemos que su imagenABser delmismo tamao y estar a una distan-cia ddetrs de la superficie reflejante.

Si el observador se encuentra a unadistancia a frente del espejo, para po-der ver el objeto completo es necesa-rio que el espejo tenga el tamao ade-cuado (como se indica en la figura 13)ya que si fuese ms pequeo no ha-bra superficie que reflejara los rayos

AQOyBPO. Observemos el diagramay veamos que los tringulos OPQ y

OABson semejantes por tener sus lados homlogos proporcionales, por lo que se puede escri-

bir la siguiente relacin

Veamos que si el observador se estuviera mirando en el espejo entonces acoincidira con dy

la expresin se reduce a que indica que el espejo debe tener la mitad de la altura del ob-

servador.

NN

Q

Q

O

P

+

Figura 12

y

a d

A

B

P

Q

h

dA

B

O

Figura 13


12/18


12

99..55LLUUZZEENNLLOOSSMMEEDDIIOOSSTTRRAANNSSPPAARREENNTTEESSDDEENNSSOOSS::LLEEYYDDEESSNNEELLLLDDEELLAARREEFFRRAACCCCIINN

Cuando un rayo de luz en el vaco llega a la superficie de un medio transparente y denso, comoel vidrio o el agua, se refracta o desva hacia la normal a la superficie al entrar al medio.

Todos hemos observado, alguna vez, el quiebre aparente de un lpiz, o de cualquier objeto

recto, sumergido parcialmente en el agua, con lo que estamos familiarizados con este fenmeno.Por otro lado, simultneamente, la superficie delmedio refringente tambin refleja una pequeaporcin de la energa lumnica incidente en un hazreflejado que obedece a la ley de la reflexin, porlo que podemos ver las imgenes de los objetosreflejados.

Supongamos un haz de luz, que incide en unafrontera refringente plana entre dos sustanciastransparentes distintas, como muestra la figura.

Observemos la trayectoria que seguir el rayode luz al ir desde el punto Aen el medio superior,menos refringente, hasta el puntoBen la sustan-cia inferior, altamente refractiva. Si los rayos deluz siguieran la trayectoria de la distancia mscorta entre esos dos puntos, viajaran segn larecta AQB, en cuyo caso no habra refraccin.Pero como observamos que hay refraccin, sa-

bemos que los rayos de luz no se comportan as. Adems, si los rayos de luz siguieran la trayec-toria que los lleva de A a B en el menor tiempo posible, como indica el principio de Fermat, y si almismo tiempo la velocidad de la luz fuera la misma en las dos sustancias, los rayos seguiran la

trayectoria rectilnea AQB.Por otra parte, si los rayos de luz viajan segn la trayectoria que los lleva desde A hasta Ben

el menor tiempo posible, y si la velocidad de la luz fuera menor en la sustancia inferior, ms re-fractiva que el medio superior, desde el punto de vista del tiempo, al rayo de luz le convendraseguir una trayectoria ms larga, pero que abarcara una mayor proporcin del recorrido en el me-dio superior (donde la luz viaja con ms rapidez), que en el medio inferior, donde la velocidad esms baja. Observamos que la trayectoria que se indica en la figura como APB, tiene precisamenteesta caracterstica. Entonces, es evidente que, como lo expresa el principio de Fermat, la luz si-gue la trayectoria que le permite viajar entre dos puntos dados en el menor tiempo posible, y semueve con mayor lentitud en las sustancias ms refringentes que en las menos refringentes.

Supongamos ahora que la luz viaja con velocidad v en el medio superior, menos refractivo, ycon velocidad menor ven el medio inferior. Si el primero fuera vaco (o aire, que afecta poco la

velocidad de la luz), la velocidad v estara dada pors

mc 8

00

10998,21

Consideremos dos puntos A y B, situados a una distancia horizontal d, y queremos conocer ladistanciaxdonde debe incidir, para que un rayo luz pueda ir deA aBen el menor tiempo posible.Si expresamos el tiempotnecesario para realizar el recorrido en funcin de la distanciaxal puntode refraccin, diferenciamos el tiempo con respecto x, e igualamos a cero la derivada, en-contraremos el valor mnimo de la variable dependiente t.

El tiempo requerido para el recorrido entreAyBser

B

P r

ih

A

h'

Q

Rayo refractado

Rayo reflejadoRayo incidente

Figura 14


13/18


13

'

')(

'

2222

v

hxd

v

hx

v

PB

v

APt

Donde hy h son las distancias perpendiculares entreAyBy la frontera refringente. Derivandoe igualando la misma a cero, obtenemos

0')(' 2222

hxdv

xd

hxv

x

dx

dt

Despejando

2222 ')(' hx

x

hxd

xd

v

v

Pero de la figura podemos observar

isenhx

x

22

y rsenhxd

xd

22 ')(

Por lo que podemos escribirrefractadorayodelvelocidad

incidenterayodelvelocidadn

sen

sen

v

vr

r

i

'

La ecuacin anterior nos indica que el seno del ngulo de incidencia dividido entre el seno delngulo de refraccin, tiene valor constante nry se conoce como ndice de refraccin relativo en-

tre los dos medios. Si el medio superior es el vaco o el aire, entonces v = cy nv

cnr

', en que

usamos npara indicar el ndice de refraccin absoluto de cualquier sustancia transparente densacon respecto al vaco o al aire (en la prctica). Cuando empleamos la expresin ndice de refrac-

cin a secas nos referimos al ndice absoluto.El holands Willebrord Snell observ esta correspondencia experimental, a principios del siglo

XVII y formul la ley de la refraccin, que lleva su nombre, que puede resumirse en la siguienteecuacin:

ri sennsenn 21

Recordemos que la velocidad de la luz en el vaco, predicha por la teora de Maxwell est dadapor la expresin:

smxco

/10998,21 8

0

Donde o es la permisividad elctrica y

0 es la permeabilidad magntica, ambas

constantes vlidas en el espacio vaco.

La ley de Snell, tambin es consecuen-cia del principio de Huygens, como pode-mos observar en la figura 15, en la quevemos el esquema de frentes de onda queresulta cuando la luz se refracta al cruzaruna superficie de separacin entre dosmedios. Recordemos que la frecuencia dela luz en ambos medios es la misma, por lo

OP

Frentes de ondasincidentes

Frentes de ondarefractados

Rayo Incidente

Rayo Refractado

Figura 15


14/18


14

que si la velocidad de la luz en el medio superior esvy en el medio inferior es v, debemos tener:

rnv

v

''

Como la velocidad de la luz en la sustancia superior es mayor que en la inferior, el ndice derefraccin relativo es mayor que la unidad y por consiguiente podemos concluir que la longitud de

onda de la luz en la sustancia inferior, con mayor ndice de refraccin, es ms p equea que lalongitud de onda en el medio superior, donde la luz viaja con mayor velocidad . Por lo expuestopodemos expresar la ley de Snell, en base al principio de Huygens, de la siguiente manera:

r

r

i

ir

nv

v

sen

sen

sensen

''

'

Ejemplo 9.4:Supongamos un haz luminoso que llega a una hoja plana de vidrio formando un n-gulo de incidencia de 53,0. El ndice de refraccin absoluto es de 1,520. Calcular el ngulo derefraccin y la velocidad de propagacin de la luz en el vidrio.

De acuerdo con la ley de Snell:

, entonces

La velocidad de la luz en el vidrio ser:

Si la longitud de onda de la luz en el vaco es de 589 nm en el vidrio ser:

Supongamos ahora que el vidrio se sumerge en agua cuyo ndice de refraccin es

veamos que sucede con la refraccin, aplicando la ley de Snell:

ahora es 1,333 ya que la luz viene del agua: entonces

Ejemplo 9.5:Se arroja una moneda a una pileta de 1,80 m de profundidad, cuando llega al fondose mira segn un ngulo de 30 con la hori-zontal a qu profundidad parece estar?

Los rayos luminosos salen del objeto en O

pero al observador le parece que surgen deuna imagen virtual del objeto en O cuya pro-fundidad ha es menor que la real del objeto.

De la figura 16 es evidente que:

Rayo incidente

O

O

i

r

d

hr

ha

Figura 16


15/18


15

De donde , si expresamos las tangentes de ambos ngulos en funcin de la relacin

de senos y cosenos.

Recordando que podemos describir:

Pero de acuerdo a la ley de Snell el entonces

Para nuestro ejemplo , y

99..66RREEFFRRAACCCCIINNIINNVVEERRSSAAYYRREEFFLLEEXXIINNTTOOTTAALLIINNTTEERRNNAAHemos estudiado el fenmeno de la refraccin en que el haz incidente va desde un medio me-

nos refringente hasta otro de mayor ndice de refaccin; adems hemos descripto como la luz serefleja y trasmite parcialmente en la interfaz entre losdos materiales. Ahora analizaremos el caso inverso,

es decir cuando la luz incide en la superficie de sepa-racin de dos medios transparentes desde la sustan-cia de mayor refringencia a otra de menor refractivi-dad. En estas circunstancias toda la luz incidente sepuede reflejar sin que nada de ella se trasmita al otromedio, aunque este sea transparente.

La figura 17 muestra como sucede esto. Supon-gamos una fuente puntual Pen el material a con ndi-ce de refraccin na,de la cual emanan varios rayosque inciden en la superficie de un segundo material b con ndice de refraccin nb, donde na>nb.

De acuerdo con la ley de Snell,

r

i

c

c

na

nb

P

Figura 17


16/18


16

i

b

a

r senn

nsen

Comob

a

nn es mayor que la unidad, sen r es ms grande que sen i; el rayo refractado se

desva alejndose de la normal. Por consiguiente debe existir otro ngulo de incidencia para el

cual la ley de Snell da sen r = 1 y r= 90y el rayo sale apenas rasando la superficie, formandoun ngulo de refraccin de 90.

El ngulo de incidencia para el cual sucede lo mencionado anteriormente, se llama ngulo cr-ticoy se denota con cy la intensidad trasmitida tiende a cero. Si el ngulo de incidencia es ma-yor que el ngulo crtico, el seno del ngulo refractado, calculado con la ley de Snell, sera mayorque la unidad, lo cual es imposible. A partir del ngulo crtico, cualquier otro haz que incida con unngulo mayo, no puede pasar al otro medio y se refleja totalmente en la superficie limtrofe y que-da atrapado en el material inferior. Este fenmeno se conoce con el nombre de reflexin totalinternay se presenta slo cuando el rayo incide en la superficie de separacin de otro medio conmenor ndice de refraccin que el material de donde se propaga el haz.

Podemos hallar el valor del ngulo crtico entre dos materiales cualesquiera, utilizando la ley deSnell y fijando r = 90

i

rcn

nsen

Ejemplo 9.6:Un rayo incide sobre una interfase agua (n1=1,33) y aire (n2=1,00), desde el aguaformando un ngulo de 30 con la normal, encontrar el ngulo entre la normal y el rayo refractado.Determinar el ngulo crtico c para dicha interfase y, posteriormente, para las superficies de sepa-racin vidrio (n = 1,520) y aire, vidrio y agua y diamante (n= 2,418) y aire.

9021 sennsenn C

1

2

n

narcsenC

Para agua y aire: 750,033,1

00,1Csen entonces 6,48C

Para el vidrio y aire: 658,0520,1


Para vidrio y agua: 87,0

520,1


Para la interfase diamante y aire: n= 2,418, 414,0418,2

00,1Csen , entonces 4,24C

Ejemplo 9.7:En los gemelos binoculares la trayectoria interna dela luz se pliega sobre si misma y la imagen originalmente invertidase endereza por reflexin total interna en dos prismas.

Los prismas totalmente reflejantes ofrecen ciertas ventajas sobrelas superficies metlicas, como los espejos ordinarios de vidriorecubierto. En tanto que ninguna superficie metlica refleja el 100% de la luz que incide en ella, un prisma puede reflejar totalmentela luz.

45

45

Prisma de binoculares.

Figura 18


17/18


17

Ejemplo 9.8:La brillantez del diamante se debe a su alto ndice de refraccin y a su correspon-diente ngulo crtico pequeo, que hace que la luz se refleje internamente en su totalidad en lasfacetas de su superficie de atrs y luego emerge por la superficie de adelante.

99..77DDIISSPPEERRSSIINNDDEELLAALLUUZZLa luz blanca es una superposicin de ondas con lon-

gitudes de onda que abarcan todo el espectro visible. Larapidez de la luz en el vacoes la misma para todas laslongitudes de onda, pero en cualquier otra sustancia ma-terial es diferente para cada longitud de onda distinta. Porconsiguiente el ndice de refraccin de un material depen-de de la longitud de onda y cada color recorre un caminoligeramente diferente. Este fenmeno se llama disper-sin. Figura 19.

Para la mayora de las sustancias pti-

camente transparentes, el ndice de refrac-cin correspondiente a la luz violeta en elextremo de las altas frecuencias del espec-tro, es ligeramente mayor que para luz rojade menor frecuencia. La figura 20 muestrala dependencia del ndice de refraccin conla longitud de onda.

Ejemplo 9. 10:Un rayo de luz blanca en el aire incide sobre una hoja de cristal pesado tipo Flintcon un ngulo de incidencia de 45 . Encontrar la velocidad de la luz en el vidrio para la compo-nente de la luz blanca con 4000 de longitud de onda.

a) Cul es el ngulo de refraccin para esta longitud de onda?b) Determinar la velocidad en el medio para la componente de 7000 de longitud de onda.c) Obtener los ngulos crticos.

Considerando , y dado que para y para ,

empleando Snell se obtiene:a)

b)

De estos dos puntos se obtiene que la dispersin angular entre los lmites de 4000 y 7000 A es

c) los ngulos crticos para la reflexin total interna, considerando para las respectivas

longitudes de onda son:

Figura 19

Figura 20


18/18


18

Entonces el cambio del ngulo crtico dentro de estos lmites es:

BBIIBBLLIIOOGGRRAAFFAAMcKelvey, Jhon y Grotch, HowardFsica para ciencias e ingenieras Tomo 21981Mxico

Editorial HARLA

Sears, Francis y Zemansky, Mark Fsica Universitaria Volumen 2 2005 Mxico PEARSONAddison Weslley

Hecht, EugeneFsica 2, Algebra y trigonometraMxico1999THOMSON EDITOR

naturaleza de la luz leyes de reflexion y refraccion.1

Documents