MÉTODOS CUANTITATIVOS APLICADOS A LA COMPUTACIÓN Asignatura Clave: FIM001Número de Crédito:6 Teórico: 2 Práctico: 4 INSTRUCCIONES PARA OPERACIÓN ACADÉMICA: El Sumario representa un reto, los Contenidos son los ejes temáticos, los Activos una orientación inicial para resolverlo y la síntesis concluyente, como Posibilidad de integración conceptual corresponderá a lo factible de un punto de vista temático amplio. La visión global de los asuntos resueltos como Titular Académico, te ofrecerá oportunidades de discusión que se enriquecerán en la medida que intensificas las lecturas, asistes a tu comunidad de estudio, te sirves de los asesores y analizas la ciberinformación disponible posicionándote de los escenarios informativos adecuados. Los periodos de evaluación son herramientas de aprendizaje. La acreditación es un consenso de relación con el nivel de competencia. Mantén informado a tu tutor de tus avances académicos y estado de ánimo. Selecciona tus horarios de asesorías. Se recomienda al titular ( estudiante) que al iniciar su actividad de dilucidación, lea cuidadosamente todo el texto guión de la asignatura. Para una mejor facilitación, el documento lo presentamos en tres ámbitos: 1.- Relación de las unidades, 2.- Relación de activos, 3.- Principia Temática consistente en información inicial para que desarrolles los temas. COMPETENCIAS:

• Podrá entender y diseñar tablas de verdad lógicas

• Podrá generar esquemas de álgebra booleana

• Podrá generar sistemas de ecuaciones lineales y plantear sus

principales soluciones SUMARIO: Desarrollar las habilidades numéricas y de pensamiento lógico, para entender la estructura binaria de los procesadores y generar algoritmos optimizando tiempos y costos de solución. Que el alumno posea conocimientos básicos sobre sistemas de ecuaciones lineales, espacios vectoriales y transformaciones lineales. Que pueda aplicar los conceptos del Álgebra Booleana en el análisis y diseño de circuitos lógicos. MÉTODOS CUANTITATIVOS APLICADOS A LA COMPUTACIÓN

CONTENIDOS: Unidad I Sistemas de ecuaciones lineales.

Unidad II Espacios vectoriales. Unidad III Transformaciones lineales. Unidad IV Espacio dual. Unidad V Álgebra booleana.

ACTIVOS UNIDAD I

Sistemas de Ecuaciones Lineales.

1.1.- Introducción. I.2.- Definición. I,3.- Sistema de ecuaciones lineales. I.4.- Solución mediante la notación matricial. I.5.- Forma canónica escalonada. I.6.- Subespacios lineales del espacio euclidiano. Actividad: Discernir y comprender los conceptos del espacio euclidiano

UNIDAD II Espacios Vectoriales.

II.7.- Definición. II.8.- Propiedades básicas. II.9.- Ejemplos. II.10.- Independencia lineal. II.11.- Base y dimensión. II.12.- Sumas directas de subespacios. Actividad: Ejemplificar gráficamente; independencia lineal, base y dimensión.

UNIDAD III Transformaciones Lineales.

III.13.- Definición. III.14.- Matrices como transformaciones. III.15.- Operaciones con transformaciones lineales. III.16.- Representación matricial. III.17.- Cambio de base. III.18.- Valores y vectores propios. III.19.- Polinomio característico. Actividad: Discernir y comprender el concepto de transformación lineal.

UNIDAD IV Espacio Dual.

IV.20.- Introducción. IV.21.- Principio de dualidad. IV.22.- Espacio dual. IV.23.- Productos interiores, y sistemas de ecuaciones. V.24.- Bases duales. IV.25.- Pares duales. IV.26.- Representación de funcionales lineales. Actividad: Discernir y comprender el concepto de dualidad de alguna variable.

UNIDAD V Álgebra Booleana.

V.27.- Introducción. V.28.- Constantes y variables booleanas. V.29.- Operaciones booleanas. V.30.- Circuitos lógicos basados en compuertas. V.31.- Obtención de funciones booleanas a partir de especificaciones lógicas. V.32.- Mapas de karnaugh. V.33.- Método de Quine-McKluskey. (De Investigación). Actividad: Discernir y comprender la aplicación de álgebra booleana de circuitos eléctricos. ESCENARIOS INFORMATIVOS: - Asesores locales - Asesores externos - Disposición en internet. - Puntualidad en intranet. - Fuentes directas e indirectas. - Bibliografía BIBLIOGRAFÍA: Páginas WEB: http://www.mat.bham.ac.uk/atlas/ http://www.rbjones.com/rbjpub/logic/index.htm

MÉTODOS CUANTITAVOS APLICADOS A LA COMPUTACIÓN PRINCIPIA TEMÁTICA I.1.- Introducción:

En toda investigación cuantitativa, el analista considera los conceptos de carácter económico y/o administrativo (tales como los precios, el consumo, la producción, el ingreso nacional, etc.) en calidad de variables, es decir, como magnitudes que pueden asumir diferentes valores dentro de su campo de variabilidad. La forma en que una variable influye sobre otra, se expresa en forma de una función o una ecuación. Ocurre a menudo que las variables de un problema deben satisfacer más de una relación o condición. Cuando cada una de estas condiciones (o relaciones) se expresa en forma de una ecuación lineal, el problema queda descrito mediante un sistema de ecuaciones lineales. Un ejemplo de una ecuación lineal es X1 + X2 =1, En que X1 y X2 son incógnitas. 2X1 + 3X2 =11 } es otro ejemplo de ecuación lineal en dos incógnitas . En general una ecuación algebraica lineal es de la forma

En donde

Son incógnitas, y Son números:

I.2.- Definición: Consideremos un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas x1,

x2, ...xn

=+++

=+++

=+++

nnmnmm

nn

nn

hxaxaxa

hxaxaxa

hxaxaxa

...........

..........................................

............

...........

2211

2222121

11212111

En el cual todos los coeficientes de las incógnitas (aij ) y los términos independientes (hi ) pertenecen a un cuerpo F. Se llama solución del sistema en F, todo conjunto de valores de las incógnitas x1, x2, .......,xn pertenecientes a F, que satisfagan

bxaxaxa nn =+++ .......2211

nxxxx ,......,, 321

naaa ,.......,, 21

simultáneamente las m ecuaciones dadas. Si el sistema tiene solución se denomina compatible; en caso contrario es incompatible. Un sistema compatible puede tener una o infinitas soluciones.

I.3.- Sistema de ecuaciones lineales Dos sistemas de ecuaciones lineales, sobre un mismo cuerpo F, de igual numero de incógnitas se llaman equivalentes cuando toda solución de uno de ellos lo es también del otro. Para obtener un sistema equivalente al (10.1) se pueden efectuar una o mas de las transformaciones siguientes:

a) Permutar dos ecuaciones.

b) Multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero.

c) Sumar una ecuación a otra multiplicada por una constante. Resolver un sistema de ecuaciones compatibles consiste en sustituir

el sistema dado por otro equivalente.

I.4.- Solución mediante la notación matricial: Utilizando esta notación, el sistema de ecuaciones lineales (10.1) se

puede escribir de la forma:

(10.2)

=

nnmnmm

n

n

h

h

h

x

x

x

aaa

aaa

aaa

2

1

2

1

21

22221

11211

...

....

....

..o bien de manera mas compacta AX = H Siendo : A = [aij ] ; la matriz de los coeficientes X = [x1, x2,....,xn] H = [h1, h2,….,hn] Consideremos ahora la matriz ampliada con los términos independientes del sistema (10.1)

(10.4) [ ]HA

haaa

haaa

haaa

nmnmm

n

n

=

...

................

...

...

21

222221

111211

Cada una de las filas es una representación abreviada de las correspondientes ecuaciones de (10.1); para leer la ecuación de una fila basta con añadir apropiadamente las incógnitas y los signos “+” & “=”. Para resolver el sistema (10.1) por medio de (10.4) se sustituye A por la matriz canónica equivalente de fila C, aplicando transformaciones elementales de fila. Para ello se opera sobre todas las filas de (10.4). Ejemplo resolver el siguiente sistema:

4322412

332314

132213

22 321

=

=−−

=−

=

xxx

xxx

xxx

xxx

Considerando el criterio de la matriz ampliada [A H]

≈

−

≈

−−−≈

−−−

−−−≈

−−

−

0000

1100

1110

0101

0000

55110

1110

1121

0000

55110

5550

2121

4242

3134

1213

2121

≈

0000

1100

0010

1001

; Por consiguiente, la solución es el sistema equivalente de ecuaciones; x1 = 1; x2 = 0; x3 = 1. Con la notación vectorial, se escribe de la forma X = [1, 0, 1].

I.5.- Forma canónica escalonada, A menudo conviene mas resolver un sistema de ecuaciones lineales, llevando la matriz aumentada hacia la forma escalonada, sin llevar a cabo todos los pasos hasta la escalonada reducida, aplicando este sistema se logra la solución de los elementos por este método llamado sustitución hacia atrás. OBSERVACION.- Hay que aplicar las reglas de operaciones elementales entre renglones, las cuales son: 1.- Se puede multiplicar una de las ecuaciones por una constante diferente de cero. 2.- Se pueden intercambiar dos de las ecuaciones 3.- Sumar un múltiplo de una de las ecuaciones a otra. Esto se aplica también en la matriz aumentada por ser exactamente la misma expresada en notación diferente. Ya que las reglas de operación entre renglones de ecuaciones son similares al aplicarlas a las reglas de operaciones entre renglones de la matriz aumentada, se concluyen las siguientes reglas, se puede:

1.- Multiplicar uno de los renglones por una constante diferente de cero. 2.- intercambiar dos de los renglones. 3.- Sumar un múltiplo de uno de los renglones a otro renglón.

A estos pasos se les denomina operaciones elementales entre renglones. Ejemplo: Realizar las operaciones entre renglones necesarias para resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de eliminación

de Gauss. Nota: R1, R2, R3, etc. se refiere a la abreviación del renglón 1, renglón 2 - etc. Representando el sistema de ecuaciones en forma de matriz aumentada tenemos.

0563

1342

92

=−+

=−+

=++

zyx

zyx

zyx

−

−

0563

1342

9211 Sumar –2 veces el

Renglón 1 al renglón 2

-2R1+ R2

−

−−

0563

17720

9211Sumar –3 veces el

renglón 1 al tercero

-3R1+ R3

.

271130

17720

9211

−−

−−

−−

−−

271130

2/172/710

9211

Súmese –3 veces el

Segundo renglón al

Tercero para obtener.

−−

−−

2/32/100

2/172/710

9211

−−

3100

2/172/710

9211

Súmese –1 veces el

segundo renglón al

primero para obtener.

Súmese –11/2 veces el

tercer renglón al

primero.

Multiplíquese el tercer

renglón –1/2 para

obtener

Multiplíquese el tercer

renglón -2 para obtener.

−−

3100

2/172/710

2/352/1101

Al haber reducido el sistema aumentado (matriz aumentada, hacia la forma escalonada) llegamos a la solución la cual nos arroja el siguiente resultado. X = 1, Y = 2 y Z = 3. I.6.- Subespacios lineales del espacio Euclidiano. Tema de investigación II.7.- Definición.- Espacio vectorial.

Un espacio vectorial complejo (Real) V es un conjunto no vació de elementos, que se llaman vectores, junto con dos operaciones, que se llaman adición de vectores y multiplicación por escalares, que satisfacen los siguientes postulados:

II.8.- propiedades básicas,

(1) Los vectores de V constituyen un grupo abeliano con respecto a la adición de vectores.

(2) El producto escalar de un numero complejo (real), c y un vector v,

que se denota por cv, es un vector de V;

(3) Si c, c1 y c2 son números complejos (reales) y v, v1 y v2 son vectores de V, entonces

(c1 + c2) v = c1v + c2v, c(v1+ v2) = cv1 + cv2, c1 (c2v) = (c1c2)v,

1v = v

En el contexto de los espacios vectoriales complejos (reales), los números complejos (reales ) se llaman escalares. El elemento de identidad en el grupo aditivo de los vectores se llama vector cero y se le denota por Ō, o sencillamente por 0 cuando no haya posibilidad de que

Súmese 7/2 veces el

tercer renglón al segundo

para obtener

−−

3100

2/172/710

1001

3100

2010

1001

se confunda con el numero cero. También, si v1 y v2 son vectores, escribiremos, para mayor simplicidad, v1 - v2 en lugar de v1 + (-v2).

II.9.- Ejemplos, Los siguientes son algunos ejemplos de espacios vectoriales complejos o reales: a).- Vn(G), Ee un espacio vectorial. b).- El conjunto de las matrices n x m constituye con respecto a la adición y multiplicación escalar matriciales un espacio vectorial. c).- Los números complejos forman un espacio vectorial real con respecto a la adición y multiplicación ordinarias; forman un espacio vectorial complejo. d).- El conjunto de todas las matrices simétricas y cuadradas de orden n[una matriz cuadrada A = (ai j) será simétrica si ai j = aji para todo i, j] forma un espacio vectorial real con respecto a la adición y multiplicación escalar de matrices; e).- El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales constituye un espaci o vectorial real. f).- El conjunto de todas las soluciones reales de

realvectorialespaciounFormaydx

dy

dx

yd................032

2

2

=++

II.10.- Independencia lineal, Definición; los vectores v1, v2, ...., vn ; Son linealmente dependientes si:

X1v1 + x2v2+..........+xnvn = 0 Implica que existe algún x ≠ 0. Los vectores v1, v2, ...., vn ; son linealmente independientes si: X1v1 + x2v2+..........+xnvn = 0 Implica que xi = 0 ; ∀ = 1.........n Nota: Si un termino de la ecuación ≠ 0, entonces se puede poner en función de los demás. X1v1 + x2v2+ x3v3 +..........+xnvn = 0

11

33

1

221 ..............

x

vx

x

vx

x

vxx nn−−−−=

Ejemplo: Hallar si existe dependencia o independencia lineal en los siguientes vectores: v1 = (1, -2 ,1) v2 = (2, 1, -1) v3 = (7, -4, 1) x1(1, -2, 1) + x2(2, 1, -1) + x3(7, -4, 1) = 0 (1 x1, -2 x1, 1 x1) + (2 x2, 1 x2, -1 x2) + (7 x3, -4 x3, 1 x3) = 0 y /o = 0, 0, 0

Sistema de ecuaciones resultante:

)3.........(0

)2........(042

)1.......(07

321

321

321

=+−

=−−

=++

xxx

xxx

xxx

Si |D| = 0; Existe solución diferente a la trivial. Si |D| ≠ 0; La única solución es la trivial.

|D| = 077)447()1481(

111

412

721

=−=−+−+−=

−

−−

|D| = 0; Si existe dependencia lineal. Si multiplicamos la ecuación (1) por 2, y le sumamos la ecuación (2), tenemos que: 2x1 + 4x2 +14x3 = 0 -2x1+ x2 – 4x3 = 0

0 5x2 + 10x3 = 0 ; sacándole quinta resulta: x2 + 2x3

Si multiplicamos la ecuación (3) por –1, y sumándola con la ecuación (1) tenemos que: x1 + 2x2 +7x3 = 0 -x1 + x2 – x3 = 0 0 3x2 +6x3 = 0;sacándole tercera, resulta: x2 + 2x3

Obtenemos la misma ecuación.

Ejemplo 2.- Determinar si son linealmente dependientes o dependientes, los siguientes vectores: v1, v2 y v3 V1 = (1, 2, 3) V2 = (0, 1, 2) V3 = (0, 0, 1)

xv1 + yv2 + zv3 = 0 Si x = y = z = 0; entonces; v1, v2, v3 son linealmente independientes. Si x ≠ 0, o y ≠ 0, o z ≠ 0; entonces v1, v2, v3 son linealmente

dependientes. X (1, 2, 3) + y (0, 1, 2) + z (0, 0, 1) = 0 (x, 2x, 3x)+ (0, y, 2y) + (0, 0, z) = 0 x = 0 2x + y = 0; 2(0) + y = 0; y = 0 3x + 2y + z = ; 3(0) + 2(0) + z = 0; z = 0

01;101)0()001(

123

012

001

≠=−=−++==D

Es linealmente independiente, ya que x = y = z = 0.

II.11.- base y dimensión,

Se llama dimensión de un espacio vectorial V al máximo numero de vectores linealmente independientes, o lo que es igual, al mínimo numero de vectores linealmente necesarios para generar V. En geometría elemental se considera el espacio ordinario como un espacio tridimensional de puntos (a, b, c) Aquí, lo trataremos como un espacio de vectores [a, b, c]’ de tercer

orden. Un espacio vectorial de dimensión “r” formado por dos- vectores de orden “n” definidos sobre un cuerpo F se representa por: )(FV r

n . Cuando

r = n, en lugar de )(FV r

n , escribiremos simplemente: Vn(F).

Se denomina base de un espacio vectorial )(FV r

n todo conjunto de r

vectores linealmente independientes. Cada vector del espacio se puede expresar mediante una combinación lineal única de los vectores de esta base. Todas las bases )(FV r

n , tienen exactamente, el mismo numero de

vectores, pero cada una de ellas puede estar formada por r vectores cualesquiera que sean linealmente independientes.

II.12.- Suma directas de subespacios.

Sean )(FV h

n y )(FV k

n dos espacios vectoriales. Se denominan unión o

reunión de ambos el conjunto total de vectores X + Y, siendo X un vector de

)(FV h

n & Y un vector de )(FV k

n . Es evidente que, de esta forma se

obtiene un nuevo espacio vectorial que se llama unión o suma, que se representa por )(FV s

n . La dimensión “s” del espacio unión de dos

espacios vectoriales no puede ser mayor que la suma de sus dimensiones.

III.13.- Definición.- Transformación lineal.-

Sea U y V espacios vectoriales complejos (o sean ambos espacios vectoriales reales), sin que sea necesario que sean diferentes entre si. La función T : U → V se llama transformación lineal si:

T (c1u1 + c2v2) = c1 T (u1) + c2 T (u2) Para vectores cualesquiera u1 y u2 en U y escalares cualesquiera en c1 y c2 . III.14.- Matrices como transformaciones,

Características de una matriz.- La característica o rango de una matriz no nula A es igual a “r” si el determinante de al menos de uno de sus menores cuadrados de orden r es distinto de cero, siendo nulos los correspondientes a todos los menores cuadrados de orden (r-1), si es que existen.

La característica de una matriz nula es 0. Ejemplo 1.- la característica de A:

0..0132

21..,..2....

753

432

321

=≠−==

= AsiendoqueyaesrA

Una matriz cuadrada de A de orden n se llama regular si su característica r = n, es decir, si su determinante es distinto de cero, |A| ≠ 0. En caso contrario, A recibe el nombre de singular. La matriz del ejemplo 1 es singular. De la igualdad |AB| = |A| . |B| , se deduce: 1.- El producto de dos o mas matrices cuadradas regulares de orden n es una matriz singular si al menos una de ellas es singular.

III.15.- Operaciones con transformaciones lineales. III.16.- Representación matricial, III.17.- Cambio de base,

Si los vectores v1, --------,vn-1 , generan un subespacio de V de VN(C) y son linealmente independientes, se dicen que forman una base de V . Cambio de base.- Respecto de la base Z, sea YZ = A XZ sea una transformada lineal de Vn(F). Supongamos que se cambia de base y llamemos XW e YW las coordenadas de Xz e Yz, respectivamente, en la nueva base. Por el teorema; La matriz conjugada del producto de dos matrices es igual al producto de de las conjugadas consideradas en el mismo orden, esto es:

( ) BAAB ⋅=

La conjugada de A , se representa por A ’ (transpuesta de la conjugada de A). Algunas veces se emplea la notación a*.

III.18.- Valores y vectores propios, Definición: Sea A una matriz n x n con elementos complejos (reales) . Si vt es una n-ada compleja (real) distinta de cero para la que se cumple:

Avt = λ t vt Donde: λt = es un escalar

vt = se llama vector característico de A. Y se dice que corresponde a la raíz característica λt de A. Los vectores característicos y las raíces características también se les llaman vectores propios y raíces propias, Vectores latentes y raíces latentes o autovectores y autovalores.

Ejemplo, Mediante cálculo directo, encuéntrese las raíces características y los vectores característicos correspondientes de la matriz.

=

13

22A

El sistema que queremos resolver:

=

2

1

2

1.

13

22

x

x

x

xλ ..............................(4)

para x1, x2 y λ , el aserto (4) equivale a:

221

121

3

22

xxx

xxx

λλ

=

=

Es decir:

0)1(3

02)1(

21

21

=−−

=−−

xx

xx

λλ

................................(5)

Ahora bien, una condición necesaria y suficiente para que el sistema (5) tenga una solución (x1, x2) distinto de cero es que:

013

22det =

−−

−−

λλ

Teorema; Sea una matriz n x n. El sistema homogéneo de la ecuación Aλ= 0 tendrá una solución distinta de cero, si det (A) = 0

( )( )[ ] [ ] 43623)2)(3(1213

22det 22 −−=−+−=−−−−−=

−−

−−λλλλλλ

λλ

O sea (λ – 4) (λ + 1) = 0 Por lo tanto (5) tiene solución distinta de cero (x1, x2) si y solo si λ = 4 o λ = -1 Si λ = 4, entonces el sistema (5) equivale: x1 – x2 = 0 Y por ejemplo, (1, 1) será un vector característico que corresponderá a la raíz característica 4. Si λ = .1, entonces el sistema (5) se convierte en: 3x1 + 2x2 = 0 Y (2, -3) será un vector característico en correspondencia con la raíz característica -1. Nota: Nos encontramos preparados para enunciar nuestro primer resultado, diremos que una matriz cuadrada es diagonizable (triangularizacion) cuando sea semejante a una matriz diagonal (triangular).

III.19.- Polinomio característico. Sea A = (aij) una matriz n x n real o compleja. La matriz

nnnn

n

n

n

aaa

aaa

aaa

AI

−−−

−−−

−−−

=−

λλ

λ

λ.........

...........

.........

.

21

22221

11211

Se llama matriz característica o “modal” de A (También llamada por algunos “matriz –λ”), el determinante de la matriz característica de A det

(λIn –A) se llama polinomio característico, Ejemplo: Determinar las raíces características y los vectores característicos correspondientes de la matriz:

−

−

−

=

244

354

332

A

La matriz característica de A es:

−

−+−

−−

=−Ι

244

354

332

3

λλ

λ

λ A

Calcularemos a continuación el polinomio característico de A:

{

( ) ( )

44

1612104108

4836201624122460

48362016241224126012

}4836)]5)(2)(2{[(

)]2(12[)]2(12[)5(12

244

354

332

)det(

23

23

23

23

3

−−+=

+−+−−=

−−−++−+−+=

+++−−−+−+−+=

+++−−

−−−+−−++=

−

−+−

−−

=−

λλλ

λλλλ

λλλλ

λλλ

λλλ

λλλλ

λλ

λ

xxx

AI

Según el teorema del álgebra afirma que las raíces racionales de un polinomio

λn + an-1λ

n-1+………………..+a1λ + a0

Con coeficientes a0,.............,an-1 , son enteros que dividen a a0, por tanto las únicas raíces racionales e:

λ 3 + λ2 -4 λ - 4

Son divisores de , -4. Al hacer las pruebas con; 1, -1, 2, -2, 4 & -4, encontramos que –1, 2 & -2 son las raíces de la ecuación característica, es decir la raíz característica de A. Sustituimos λ = -1 en la matriz característica:

−−

−−

−−

=

−−−

−+−−

−−−

=−

344

344

333

2144

3514

3321

).( 3 AIλ

Resol vemos el sistema

0.

344

344

333

3

2

1

=

−−

−−

−−

x

x

x

3x1 + 3x2 – 3x3 -4x1 + 4x2 – 3x3

Por lo tanto (1, 1, 0) es un vector característico que corresponde a λ = -1,encontrar el vector característico para: λ = 2 Donde tenemos que : x1 = x2 ; x3 = 0

IV.20.- Introducción.

Hemos visto como los artistas representan rectas paralelas mediante rectas que se cortan en puntos de fuga en el horizonte. La línea del horizonte es una línea ideal o una línea en el infinito en el sentido de que no es una línea de nuestro universo físico ni tampoco es una línea del plano Euclideo. Así pues la geometría proyectiva se ha añadido una nueva línea al plano Euclideo de tal forma que dos rectas coplanares cualesquiera se cortan. En otras palabras, dado que las rectas que se consideran paralelas en la geometría Euclidea ahora se cortan en esa nueva línea del horizonte, en la geometría proyectiva no existen rectas paralelas. Esto significa que la proposición:

Dos puntos cualesquiera del plano determinan una recta. Tiene ahora una proposición correspondiente: Dos rectas cualesquiera del plano determinan un punto. IV.21.- Principio de dualidad

En general, cualquier proposición valida acerca de puntos y rectas en un plano en geometría proyectiva puede emplearse para obtener una proposición valida acerca de las rectas y puntos bastando para ello intercambiar las palabras “puntos” y “rectas”. Esta propiedad de la geometría proyectiva se conoce como el principio de dualidad en el plano. Hay un correspondiente principio de dualidad en el espacio en el que se establece que en la geometría proyectiva cualquier proposición valida acerca de puntos, rectas y planos, puede usarse para obtenerse una proposición valida acerca de planos, rectas y puntos intercambiando simplemente las palabras “punto” y “plano” y dejando en su lugar la palabra “recta” dado que la geometría proyectiva no existen paralelas.

Dos puntos cualesquiera están sobre una recta. Dos planos cualesquiera están sobre una recta

Así mismo: Tres puntos cualesquiera están al menos sobre un plano. Tres planos cualesquiera determinan el menos un punto.

Ejemplo:

Dos figuras son perspectivas respecto a un punto P. Si las rectas que pasan por los vértices correspondientes de las figuras, todas pasan por el punto P, por ejemplo; E triangulo ABC es perspectivo respecto a P con el triangulo A’B’C’, dado que las rectas: AA’, BB’ & CC’, pasan por todas ellas por P.

B’ B P C’ C A’ A

Ahora aplicaremos, el principio de dualidad en el plano y la definición de figuras perspectivas respecto a un punto, para definir figuras en perspectivas respecto a una recta. Dos figuras son perspectivas respecto a una recta “m” si los puntos de intersección de los lados correspondientes de la figuras están todos sobre “m”, el triangulo ABC es perspectivo respecto a “m” con el triangulo A’B’C’, dado que los puntos AB∩A’B’, BC∩B’C’ & AC∩A’C’, están dados sobre “m”.

m B’ B C’ C A’ A IV.22.- Espacio dual IV.23.- Productos interiores y sistemas de ecuaciones. IV.24.- Bases duales IV.25.- Pares duales. IV.26.- Representación de funcionales lineales V.27.- Introducción:

Con los temas desarrollados en La Lógica de Proposiciones y teoría de conjuntos, y sabiendo que tienen propiedades similares como se muestran en sus respectivas tablas, podemos definir una estructura matemática conocida como Álgebra de Boole.

V.28.- Constantes Y Variables Booleanas.

Ya hemos visto que el álgebra booleana solo acepta dos constantes las cuales hemos representado por “0” y “1”. Como nuestro enfoque es hacia las computadoras esto es, vamos a trabajar con circuitos lógicos, estoe valores de 0 y 1 representan los dos niveles de voltaje binario. Una variable Booleana es una cantidad que en diferentes ocasiones pueden ser igual a cualquiera de las dos cantidades booleanas. Antes de analizar el álgebra de boole desde el punto de vista abstracto de las matemáticas, continuaremos nuestro desarrollo en base a lo que ya hemos descrito esto es, estudiaremos algo mas acerca de las componentes de un circuito lógico. Estos circuitos los podemos considerar como artefactos que contienen uno o más dispositivos de entrada y solo uno de salida. En cada momento cada dispositivo de entrada tiene exactamente un bit de información. Estos bits se representan por las constantes booleanas, esto es, por 0 y 1 y recuerde que son considerados como dos niveles de voltaje binario que van a través de un dispositivo de entrada / salida. Por otra parte, ya hemos visto que los elementos de un conjunto se pueden representar por medio de una sucesión de valores 0 & 1. Los datos que se tienen de ceros y unos, son procesados por el circuito para dar un bit de salida esto es, obtendremos un cero o un 1 en el dispositivo de salida. Generalizando podemos decir: a los dispositivos de entrada se le pueden asignar sucesiones de bits (todas las sucesiones con el mismo numero de bits) que son procesados por el circuito de bit por bit para producir una sucesión con el mismo numero de bits. Regularmente el circuito siempre procesa la sucesión de izquierda a derecha. Quizá los ordenadores aun no sepan “pensar” ; pero saben seguir las leyes de la lógica. Acerca de la CPU (Unidad Central de Proceso) suele decirse que es el corazón del ordenador. Es el lugar donde se efectúan todos los cálculos y donde se toman todas las decisiones lógicas. Los ordenadores efectúan sus funciones haciendo pasar una serie de voltajes por los circuitos electrónicos. Estos voltajes los representamos por los bits 1 & 0. El álgebra de Boole es la base teórica a partir de la cual se realiza físicamente la arquitectura del ordenador. En esta sección veremos con detalle los aspectos teóricos y prácticos del diseño de circuitos lógicos. Con ejemplos de circuitos básicos que son los que trabajan dentro de un ordenador personal.

V.29.- Operaciones Booleanas

Las leyes del Álgebra Booleana se basan en tres operaciones lógicas simples:

AND, OR y NOT Relacionadas con tres circuitos simples que reciben el nombre de COMPUERTAS LOGICAS. De hecho ya tenemos buena parte de estos circuitos elementales los cuales los tratamos al final del primer capitulo

Los dispositivos electrónicos que componen los circuitos lógicos de un ordenador se denominan compuertas lógicas o bien, puertas lógicas. Las tres compuertas lógicas mas simples, imitan la función de las operaciones lógicas “y”, “o” y “no”. Estas compuertas funcionan representando una condición verdadero mediante el digito binario 1, y la condición falso mediante el digito binario 0.

V.30.- Circuitos Lógicos Basados en Compuertas. Ahora veamos algo acerca de sus operaciones: COMPUERTA “AND” Y = A . B

A B A.B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

A AND Y = A . B B COMPUERTA “OR” Y = A + B

A B A+B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

A OR Y = A + B B COMPUERTA “NOT” Y = A

A Ā 1 0 0 1

A NOT Y = Ā

AND

El álgebra booleana es de gran valor para el diseño de circuitos de ordenador porque permite la simplificación matemática de los circuitos lógicos. Esto significa que para realizar una función determinada se requiere menos compuertas lógicas, lo que a su ves aumenta la velocidad de operación de la maquina. Ya nos hemos encontrado con la notación para la salida de las tres compuertas lógicas básicas: AND (A. B), OR (A + B) Y NOT (Ā). Utilizando estas tres expresiones se pueden representar circuitos más complejos. Veamos el siguiente caso.

A X C B

Todo circuito lógico se puede representar mediante una tabla de verdad que describa que salida se puede esperar para cualquier posible combinación de entradas. En el circuito anterior hay dos entradas A y B y una salida C. Para ayudar a construir la tabla de verdad para el circuito, hemos llamado X a la salida de la primera compuerta. Como hay dos entradas para el circuito ello significa que hay cuatros posibles combinaciones de entradas (o sea 22 ) .

La salida de la puerta AND, X, se hace pasar por la compuerta

NOTA: para producir la salida final C. Para construir la tabla de verdad correspondiente tomamos en consideración las tablas de la pagina anterior.

A B X C 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1

La utilización de tablas de verdad no se limita a circuitos de dos entradas y una salida, sino que se pueden ampliar para cualquier circuito. Para definir las dos operaciones booleanas (multiplicar y sumar) y describir (resta) empleamos las tablas que construimos para AND, OR, y NOT. Las dos columnas de las primeras dos tablas nos indican las 4 combinaciones posibles de las variables booleanas A y B, y la ultima nos da el valor de A.B y de A+B respectivamente para cada combinación. Las operaciones que se ejecutan en la tercera tabla nos muestran que Ā es 1 si A es 0, y que es 0 si A es 1. Puesto que esta operación invierte los valores se le conoce como operación de inversión. Veamos unos ejemplos del manejo de estas tres tablas de: Supongamos que A y B se les asignan las siguientes sucesiones de BITS:

AND NOT

A = 1 1 0 0 0 1 1 0 B = 0 1 1 0 1 1 0 1 Determinemos que sucesiones producen las compuertas AND y la compuerta OR. A.B = 0 1 0 0 0 1 0 0 A+B = 1 1 1 0 1 1 1 1 Para aplicar las operaciones de la tabla 3 supongamos que a A se le asigna la sucesión de BITS. A = 1 1 0 0 1 0 1 0 La compuerta NOT produce la sucesión. Ā = 0 0 1 1 0 1 0 1 La función de la compuerta AND se puede describir en palabras como: “la salida sera 1 si ambas entradas son 1; si no, sera 0 “ La función de la compuerta OR se puede describir en palabras como: “la salida sera 1 si alguna de las entradas, o ambas es 1” . La función de la compuerta NOT se puede describir en palabras como: “la salida sera lo contrario de la entrada”. Las tablas de verdad para las tres compuertas AND, OR y NOT. Son respectivamente idénticas a las correspondientes de las proposiciones: p ^ q (conjunción “p y q”) p v q (disyunción, “p o q”) Y ~ p (negación, “no p”) . Por lo tanto los circuitos lógicos, de los cuales estas compuertas son los circuitos elementos, satisfacen las mismas leyes de las proposiciones, y así forman un ALGEBRA DE BOOLE. EJEMPLO: Aplicaremos la conjunción a un circuito eléctrico sencillo el cual tiene un foco

foco A B

Para encender el foco es necesario que los dos contactos estén cerrados, si uno solo esta cerrado el foco no enciende. Para analizar todo lo que puede suceder en este circuito usamos una tabla de verdad.

CONTACTO CONTACTO FOCO

A B Cerrado cerrado Enciende Cerrado abierto No enciende Abierto Cerrado No enciende Abierto Abierto No enciende

Si contacto cerrado = 1 Contacto abierto = 0 Foco encendido = 1 Foco apagado = 0, Entonces la tabla anterior se convierte en:

CONTACTO A

CONTACTO B

FOCO

1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0

De la tabla podemos concluir que el foco encenderá si y solo si los dos contactos cerrados. Ahora analizaremos con detalle el conectivo lógico conocido como el nombre de DISYUNCIÓN. También para la disyunción en lógica es posible unir dos proposiciones sin ninguna relación mediante el conectivo “o”. Hay que tener cuidado en la interpretación de “o”, puesto que en el idioma español se comporta de dos maneras diferentes. Por, ejemplo si tenemos “fui en avión a México o tome el tren para ir a México”. En esta proposición compuesta tenemos la disyunción de las proposiciones; p: fui en avión a México. Y q: tome el tren para ir a México. Esto es imposible de suceder al mismo tiempo por lo que este conectivo se usa de modo exclusivo. Algunos autores emplean el símbolo v , cuando se trata de estos casos y la proposición compuesta p v q se lee de la siguiente manera ; “p o q pero no ambos p y q” , y tienen la misma tabla de verdad como pVq , excepto cuando p y q son ambos verdaderos en cuyo caso p v q es falso. Para evitar posibles confusiones veamos algo mas acerca de esto. Si consideramos la disyunción “camine rápido o me fui despacio”, al menos una de las dos posibilidades sucedió. Sin embargo, ambas cosas podían ocurrir, por lo cual El conectivo “o” se emplea en sentido INCLUSIVO. En matemáticas y en computación se emplea el conectivo “o” en forma

de la forma INCLUSIVA. Ahora apliquemos estos conceptos al siguiente circuito eléctrico.

B foco A

Para que nuestro foco encienda es necesario que cuando menos uno de los dos contactos estén cerrados. Para analizar ampliamente todo lo que puede suceder en este circuito empleamos una tabla de verdad.

CONTACTO A

CONTACTO B

FOCO

Cerrado Cerrado Enciende cerrado abierto Enciende abierto cerrado Enciende abierto abierto No enciende

Ahora demos el valor de 1 a cada contacto cerrado y un valor de 0 a cada abierto; y al foco se el da el valor de 1 si esta encendido y el valor de 0 si esta apagado, entonces la tabla de verdad queda de la siguiente forma.

CONTACTO

A CONTACTO

B FOCO

1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Des esta tabla podemos establecer que para el foco encienda basta con que un contacto este cerrado.

V.31.- Obtención de funciones booleanas a partir de especificaciones lógicas.

Saber como se simplifican expresiones complejas de ÁLGEBRA BOOLEANA, reduciéndolas a un mínimo de operadores (AND, OR, NOT) , será de especial importancia cuando se apliquen a los circuitos lógicos. En otras palabras, hemos llegado ahora a la aplicación mas

importante del ÁLGEBRA BOOLEANA que es la simplificación de circuito lógicos. Básicamente la simplificación tiene por objeto disminuir el costo de un circuito lógico mediante eliminación de bloques lógicos innecesarios, o mediante la sustitución de un bloque por otro que tenga menos entradas. Para lograr este propósito primero describiremos parte del álgebra de boole desde el punto de vista formal de las matemáticas, posteriormente veremos el orden en que se trabajan para la simplificación de circuitos lógicos y daremos un ejemplo para ilustrar estos conceptos.

ÁLGEBRA DE BOOLE Sea un conjunto en el cual se han definido dos operaciones binarias + (suma) y * (multiplicación) y una operación unitaria, representada por ‘; sean 0 y 1 dos elementos diferentes de A. Entonces la séxtupla.

< a, +, *, ‘, 0, 1> Se le conoce como ÁLGEBRA DE BOOLE si se cumplen los siguientes axiomas para elementos a, b, c cualesquiera en el conjunto A.

LEYES CONMUTATIVAS

1a.- a + b = b + a 1b.- a * b = b * a

LEYES DISTRIBUTIVAS 2a.- a + (b * c) = (a + b) * (a + c) 2b.- a * (b + c) = (a * b) + (a * c)

LEYES DE INDENTIDAD 3a.- a + 0 = a 3b.- a * 1 = a

LEYES DE COMPLEMENTO 4a.- a + a’ = 1 4b.- a * a’ = 0

LEYES DE IDEMPOTENCIA 5a.- a + a = a 5b.- a * a = a

LEYES DE ACOTAMIENTO 6ª.- a + 1 = a 6b.- a * o = 0

LEYES DE ABSORCIÓN 7a.- a + (a * b) = a 7b.- a * (a + b) = a

LEYES ASOCIATIVAS 8a.- (a + b) + c = a + (b + c) 8b.- (a * b) * c = a * (b * c)

UNICIDAD DEL COMPLEMENTO

8c.- Si a + x = 1 & a * x = 0, entonces, x = a’

LEY DE INVOLUCIÓN 8d.- (a’)’ = a 9a.- o’ = 1; 9b.- 1’ = 0

LEYES DE MORGAN 10a.- (a + b)’ = a’ * b’ 10b.- (a * b)’ = a’ * b’

La anterior álgebra de Boole se representa sencillamente A cuando se tiene pleno conocimiento cuales son las operaciones. Al elemento cero se le conoce como ELEMENTO CERO. Al elemento 1 se le conoce como UNIDAD. A los resultados de las operaciones + & * reciben el nombre de SUMA y PRODUCTO respectivamente. Para evitar posibles confusiones se aclara que en muchas ocasiones se omite el símbolo * y se emplea como en el álgebra ordinaria, esto es: 2a.- a + bc = (a + b) (a + c) 2b.- a (b +c) = ab + ac Obsérvese que la primera identidad no es una identidad del álgebra ordinaria mientras que la segunda si lo es. Ahora pasemos a circuitos lógicos. Las leyes que se emplean para simplificar circuitos lógicos se escriben en el siguiente orden el cual es mas adecuado:

TEOREMAS DE UNA SOLA VARIABLE (1) a . 0 = 0

(2) a . 1 = a

(3) a . a = a

(4) a . ā = 0

(5) a + 0 = a

(6) a + 1 = 1

(7) a + a = a

(8) a + ā = 1

(9) aa =

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES Y o 0

(10) a . b = b . a

(11) a + b = b + a

(12) a . (b . c) = a . b . c

(13) a + (b + c) = a + b + c

DESCOMPOSICION EN FACTORES Y EXPANSION

(14) a . b + a . c = a . (b + c)

TEOREMAS DE SIMPLIFICACIÓN

(15) a . b + a .b = a

(16) a + a . b = a

(17) a + a . b = a + b

(18) a . b + a . c + b . c = a . b + a . c

(19) baba +=.

(20) baba •=+ .

Los primeros cuatro teoremas se pueden comprobar sin dificultad basta considerar a = 0 o a = 1. Los teoremas (5) y (7) expresan que si una variable se une con 0 o consigo misma no sufre cambio. El teorema (6) nos indica que un 1 unido a cualquier cosa da por resultado 1, y el teorema (8) nos indica que una variable unida con su inversa debe ser 1, Así como en los primeros cuatro teoremas, estos pueden comprobarse si sustituimos el valor de 1. El teorema (9) confirma la doble inversión de una variable. Un punto importante que hay que recordar cuando se aplican estos teoremas es que la variable “a” puede representar no solo unas variables aisladas sino también una expresión algebraica completa. Por ejemplo, podemos simplificar A . B. C . 0, si hacemos a igual la expresión A. B. C sustituyendo a por esto en el teorema (1), a . 0 = 0, tenemos que, (A. B. C). 0 = 0. Ahora demostraremos otro teorema, como por ejemplo el (15).

a . b + a .b = a . (b + b ) --------------------------------- (14) = a . 1 ------------------------------------ ( 8 ) = a -------------------------------------( 2 )

Un método practico para realizar las demostraciones de os teoremas es mediante las tablas de verdad involucrando todas las combinaciones posibles y por ultimo comparar los valores de ambos lados de una ecuación para cada posible combinación de valores de a y b. La aplicación de estos teoremas no siempre puede ser evidente. El problema principal consiste en decidir cuales teoremas hay que aplicar y en que orden, porque existen varios caminos que pueden seguirse. En general si esos caminos se siguen en forma adecuada llevaran al circuito mas sencillo.

Ejemplo, Simplificar el circuito:

A B C A.B.C+A.B.(C+D) A B C D A.B.C+A.B.(C+D) = A.B.C+B.C+A.B.D -------------------------------(14) = A.B+A.B.D --------------------------------(15) = A.B ---------------------------------(16) El circuito simplificado es: A A.B

B Es importante observar que el orden en que se efectúan las operaciones AND y OR es decisivo. El circuito anterior se puede simplificar de otra forma . Una regla sencilla dice que AND tiene prioridad sobre OR (así como sobre NOT).

V.31.- Mapas de Karnaugh

Hasta estos momentos hemos empleado el álgebra booleana para describir y simplificar circuitos lógicos. Cabe aclarar que no hicimos un estudio muy a fondo sobre estos aspectos puesto que nuestra intención es dar a conocer la existencia importante de los operadores lógicos AND, OR y NOT y por otro lado, este apunte no esta orientado a analizar el funcionamiento interno de una computadora en su totalidad sino simplemente a conocer parcialmente como queda integrada. De hecho, las personas que se dedican al diseño de circuitos lógicos emplean ciertos diagramas especiales para simplificarlos en una forma inmediata. Estos diagramas son conocidos como DIAGRAMAS DE KARNAUGH. La forma especial de estos diagramas permiten al que los emplea, determina visualmente todas las simplificaciones posibles sin emplear teoremas booléanos.

LOGICA DEL PROGRAMADOR Los operadores lógicos AND y OR son valiosas herramientas que se emplean tanto en las instrucciones de lenguaje de maquina como en la mayor parte de las versiones de BASIC.

AND

OR

OR

AND

AND

Un ejemplo conocido del uso de AND y OR es la relacion de dos instrucciones dentro de una sentencia condicionada. Por ejemplo, mencionar cual será el resultado de este programa en BASIC.

10 FOR I = 1 TO 5 20 FOR J = 1 TO 5 30 IF 1 = 3 AND J = 2 THEN PRINT I, J 40 NEXT J 50 NEXT I 60 END

El programa ejecutara el par de bucles anidados pero solo imprimirá los valores de I y J si I = 3, y J = 2. Por consiguiente, este programa imprimiría en pantalla el resultado: 3 2. OR se pude utilizar en forma similar. Si corregimos la línea 30 para que se lea:

30 IF I = 3 AND J = 2 OR J = 4 THEN PRINT I, J Se produciría la siguiente salida:

1 4

2 4

3 2 3 4

4 4

5 4 EL ordenador lleva a cabo la operación AND con prioridad sobre la operación OR. I y J se imprimirían si I = 3 y J = 2, o bien siempre que J = 4. El orden de prioridad se puede modificar mediante la utilización de paréntesis. La línea 30 estaría como:

30 IF I = 3 AND (J = 2 OR J = 4) THEN PRINT I, J Para completar nuestro estudio acerca de los circuitos lógicos importantes escribiremos algo acerca de otro operador lógico que se emplea con frecuencia. Este nuevo operador se representa por XOR, conocido también como OR EXCLUSIVO. En ingles la partícula OR (como en castellano, o) tiene dos posibles connotaciones. De la primera ya hemos hablado: Este OR (o) ese OR (o) ambos. La segunda acepción tiene importantes consecuencias para el diseño de circuitos lógicos: este OR (o) ese, pero no ambos. Por ejemplo, si le dicen que un hermano esta siguiendo un partido de beis-bool. por televisión OR (O) por radio, puede entender que lo esta siguiendo por ambos medios a la vez (caso de uso inclusivo). Por otra parte, su hermano puede ser alto OR (o) pero no ambas cosas (uso exclusivo). En los circuitos lógicos, la operación excluyente de OR se indica por XOR, y puede construirse a partir de las compuertas AND, OR y NOT. Este operador tiene el mismo significado que OR excepto en el caso A = 1 y B = 1, en el que su resultado es 0 (al contrario de OR, que da 1). En otras palabras, XOR vale 1 cuando solamente uno de los elementos A y B vale 1. La tabla de verdad correspondiente a este operador es:

A B A XOR B

1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0

Resumiendo, Los principales operadores lógicos son: AND, OR, XOR y NOT. Su tabla de verdad es:

A B AND OR XOR NOT A NOT B 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1

INTEGRACIÓN CONCEPTUAL: (El Titular Académico, conocerá las respuestas), Conocimiento de opciones, en las posiciones doctrinales de la filosofía. Juicio crítico sobre el papel de la ciencia y argumentos suficientes para discernir lo factible o no de la dualidad de la ciencia (social y física, concretas y abstractas, duras y blandas). Competencia para definir los niveles de comprensión en la Lógica. Diferenciación entre lógica formal y lógica dialéctica. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------- REPORTES CRÍTICOS O SUGERENTES A: Ing. Manuel de Jesús Valdez Acosta, Secretario General. Universidad Autónoma Indígena de México (Correo electrónico ingvaldez@uaim.edu.mx ); MC Ernesto Guerra García, Coordinador General Educativo. (Correo electrónico: eguerra@uaim.edu.mx ) Benito Juárez No. 39, Mochicahui, El Fuerte, Sinaloa, México. C.P. 81890, Tel. 01 (698) 8 92 00 42. ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA INDÍGENA DE MÉXICO

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