Tema 2. Espacios vectoriales, aplicacioneslineales, diagonalizacion

Asignatura: Matematicas IGrado en Ingenierıa Electronica Industrial

Universidad de Granada

Prof. Rafael Lopez CaminoUniversidad de Granada

3 de septiembre de 2017

Indice1. Espacios vectoriales 2

1.1. Sistema de generadores y dependencia lineal . . . . . . . . . . . . 51.2. Base en un espacio vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Rango de matrices y espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Aplicaciones lineales 122.1. Definicion y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2. Nucleo e imagen de una aplicacion lineal . . . . . . . . . . . . . 142.3. Expresion matricial de una aplicacion lineal . . . . . . . . . . . . 15

3. Diagonalizacion de matrices 173.1. Vectores y valores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2. El teorema de diagonalizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

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En este tema abordamos el estudio de los espacios euclıdeos Rn desde el puntode vista vectorial, las aplicaciones ‘buenas’ que hay entre ellos, llamadas aplica-ciones lineales, y la busqueda de expresiones ‘sencillas’ de estas aplicaciones,cuando sea posible.

1. Espacios vectorialesDefinicion 1.1 El espacio euclıdeo Rn (n ∈ N) es el conjunto

Rn = {(x1, . . . ,xn) : xi ∈ R,1≤ i≤ n}.

A sus elementos se llaman vectores y se definen las siguientes dos operaciones:

1. Suma de dos vectores. Si x = (x1, . . . ,xn), y = (y1, . . . ,yn), entonces

x+ y = (x1 + y1, . . . ,xn + yn).

2. Producto de un escalar por un vector. Si λ ∈ R, entonces

λx = (λx1, . . . ,λxn).

Se dice que (Rn,+, ·) es el espacio vectorial euclıdeo de dimension n.

Si n = 1, entonces R1 = R. Usaremos habitualmente n = 2,3,4.La suma de vectores y el producto por escalares tienen las siguiente propieda-

des, las cuales son sencillas de ver:

1. u+(v+w) = (u+ v)+w, ∀u,v,w ∈ Rn (asociativa).

2. u+ v = v+u, ∀u,v ∈ Rn (conmutativa).

3. Si 0 = (0, . . . ,0), entonces 0+ v = v, ∀v ∈ Rn (elemento neutro).

4. Para cada v ∈ Rn existe w tal que v + w = 0, que no es mas que w =(−v1, . . . ,−vn) (elemento opuesto).

5. λ (u+ v) = λu+λv y (λ +µ)v = λv+µv, ∀u,v ∈ Rn y ∀λ ,µ ∈ R (distri-butiva).

Con algo mas de esfuerzo, tenemos:

Proposicion 1.2 En Rn se tiene las siguientes propiedades:

1. λ0 = 0, λ ∈ R.

2

2. 0v = 0, v ∈ Rn.

3. (−λ )v =−(λv) = λ (−v), λ ∈ R,v ∈ Rn.

4. Si λv = 0, entonces λ = 0 o v = 0.

5. Si λu = λv y λ 6= 0, entonces u = v.

6. Si λv = µv y v 6= 0, entonces λ = µ .

En matematicas, una vez definida una estructura matematica en un conjunto,es natural ‘trasladar’ dicha estructura a subconjuntos suyos, o dicho de otra ma-nera, dado un subconjunto, nos preguntamos cual es la forma ‘natural’ de definirel mismo tipo de estructura en dicho subconjunto y que este relacionada con laexistente en el espacio ambiente. En el caso que estamos considerando aquı, la es-tructura es la de espacio vectorial. Sea U ⊂ Rn un subconjunto ¿que condicionestiene que satisfacer U para que tenga las mismas propiedades de suma y productopor escalares que ya tiene ya Rn? Si fuera ası, diremos que U es un subespaciovectorial de Rn.

Veamos varios ejemplos. Sea la recta A = {(x,y) : y = x+ 1}. Entonces losvectores x = (0,1) e y = (1,2) pertenecen a A pero x + y = (1,3) no esta enA. Tambien podemos observar que 2x = (0,2) 6∈ A. Este conjunto no nos in-teresa. Otro ejemplo de conjunto que tampoco nos interesa es la circunferenciaA = {(x,y) : x2 + y2 = 1}. Entonces (1,0),(−1,0) ∈ A, pero x+ y = (0,0) 6∈ A.

Otro ejemplo mas. Sea P la parabola P= {(x,y)∈R2 : y= x2}, donde (1,1),(2,4)∈P, pero (1,1)+ (2,4) = (3,6) 6∈ P. Lo mismo sucede con el producto por esca-lares: 2(1,1) = (2,2) 6∈ P. Dicho de otra manera, sean las aplicaciones suma devectores y el producto por escalares, vistos en A satisfacen:

+ : A×A→ Rn, · : R×A→ Rn,

pero lo que pedimos es

+ : A×A→ A, · : R×A→ A.

Definicion 1.3 Un subconjunto U de Rn es un subespacio vectorial si satisfacelas siguientes propiedades:

1. Si u,v ∈U, entonces u+ v ∈U.

2. Si λ ∈ R y u ∈U, entonces λu ∈U.

Como consecuencia, se tiene:

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1. El elemento neutro 0 de Rn pertenece a todos los subespacios vectoriales deRn.

2. Si U es un subespacio vectorial de Rn y u∈U , entonces el elemento opuestode u pertenece a U .

Esto nos sirve para saber que todos aquellos subconjuntos de Rn que no contie-nen al (0, . . . ,0), el origen de coordenadas, no pueden ser subespacios vectoriales(cuidado: el conjunto puede tener al origen y no ser subespacio vectorial, comosucedıa con la parabola). Ası, conjuntos ‘famosos’ no son subespacios vectoriales:en R2, el cırculo x2 + y2 = 1 o la recta y = x+1 no son subespacios vectoriales.

Es facil probar que la definicion de subespacio vectorial es equivalente a lasiguiente: un conjunto U ⊂ Rn es un subespacio vectorial si y solamente si paracada u,v ∈U , λ ,µ ∈ R, λu+µv ∈U .

El siguiente ejemplo de subespacio vectorial es sencillo, pero importante.

Proposicion 1.4 Sea A ∈Mm×n(R). En Rn se define el conjunto

U = {x = (x1, . . . ,xn) ∈ Rn : Ax = 0}.

Entonces U es un subespacio vectorial de Rn.

Proposicion 1.5 Sea Rn un espacio vectorial.

1. Los conjuntos {0} y Rn son subespacios vectoriales.

2. Si U y W son subespacios vectoriales, entonces U ∩W tambien es subespa-cio vectorial.

3. Si U y W son subespacios vectoriales, entonces U+W = {u+w : u∈U,w∈W} es un subespacio vectorial. Algunas propiedades de la suma de subes-pacios vectoriales son U +U =U y U ⊂U +W, W ⊂U +W.

La primera propiedad nos dice que al menos hay dos subespacios vectorialesen Rn. La segunda y tercera nos dice que el concepto de subespacio vectorialse ‘lleva bien’ con la interseccion y con la suma. Observemos que si U es unsubespacio vectorial, entonces λU = {λu : λ ∈ R,u ∈U}=U .

Ejemplo 1.6 Sea U = {(x,y) ∈ R2 : x− y = 0} y W = {(x,0) ∈ R2 : x ∈ R}.Entonces

U +W = {(x,y)+(x′,y′) : (x,y) ∈U,(x′,y′) ∈W}= {(x,x)+(x′,0) : x,x′ ∈ R}= {(x+ x′,x) : x,x′ ∈ R}.

Es facil probar que U +W = R2, pues si (x,y) ∈ R2, podemos escribir

(x,y) = (y,y)+(x− y,0) ∈U +W.

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Observemos que hay otras operaciones donde la propiedad de subespacio vec-torial no se traslada. Por ejemplo:

1. La union de subespacios vectoriales no tiene porque ser subespacio vecto-rial. Ası, en R2, los conjuntos U = {(x,0) : x ∈ R} y W = {(0,y) : y ∈ R}son subespacios vectoriales, pero U∪W no lo es, pues (1,0),(0,1)∈U∪W ,pero (1,0)+(0,1) = (1,1) 6∈U ∪W .

2. El conjunto complementario de un subespacio vectorial nunca es subespa-cio vectorial: si U es un subespacio vectorial, Rn−U no lo es porque elelemento neutro esta en U , y por tanto, no en Rn−U .

Importante: A partir de ahora, cuando digamos ‘espacio vectorial’nos estaremos refiriendo al espacio vectorial Rn o a un subespaciosuyo.

1.1. Sistema de generadores y dependencia linealDamos ahora dos conceptos fundamentales en la teorıa de espacios vectoria-

les: sistema de generadores y vectores linealmente independientes.

Definicion 1.7 Sean X = {v1, . . . ,vn} un conjunto de vectores de un espacio vec-torial V . Una combinacion lineal de X es una suma del tipo

λ1v1 + . . .+λnvn, λi ∈ R,1≤ i≤ n.

Se llama subespacio vectorial generado por X al conjunto de dichas combinacio-nes lineales:

< X >=< v1, . . . ,vn >= L(X) = L({v1, . . . ,vn}) = {n

∑i=1

λivi : λi ∈ R,1≤ i≤ n}.

Proposicion 1.8 Se tiene las siguientes propiedades:

1. < X > es un subespacio vectorial.

2. Si X ⊂U y U es un subespacio vectorial, entonces < X >⊂U.

3. Si X ⊂ Y , entonces < X >⊂< Y >.

4. Si X ,Y ⊂V , entonces < X ∪Y >=< X >+< Y >.

Definicion 1.9 Un conjunto de vectores X = {v1, . . . ,vm} es sistema de genera-dores de V si < X >=V , es decir, cuando todo vector de V es combinacion linealde los vectores de X. Lo mismo se puede definir para subespacios vectoriales.

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1. Un sistema de generadores de Rn es {e1, . . . ,en} donde e1 =(1,0, . . . ,0),e2 =(0,1, . . . ,0), . . . ,en = (0,0, . . . ,1).

2. Los vectores {(1,0),(1,1)} es un sistema de generadores de R2, pero no ası{(1,0)}.

3. Los vectores {(1,0,1),(1,1,0)} es un sistema de generadores del subespa-cio U = {(x,y,z) ∈ R3 : x− y− z = 0}.

Proposicion 1.10 Sea V un espacio vectorial y X, Y subconjuntos finitos de V .

1. Si X es un sistema de generadores de V y X ⊂ Y , entonces Y tambien es unsistema de generadores.

2. Si {v1, . . . ,vn} es un sistema de generadores y v1 es combinacion lineal delos demas, entonces {v2, . . . ,vn} es un sistema de generadores de V .

3. Si {v1, . . . ,vn} es un sistema de generadores y v = a1v1 + . . .+ anvn, cona1 6= 0, entonces {v,v2, . . . ,vn} es un sistema de generadores de V .

Definicion 1.11 Un conjunto de vectores {v1, . . . ,vn} se dice que es linealmenteindependiente (o que forman un conjunto de vectores libre) si la unica combina-cion lineal nula de ellos es la trivial. De otra forma:

si λ1v1 + . . .+λnvn = 0, entonces λi = 0 para cada 1≤ i≤ n.

Un conjunto de vectores que no es linealmente independiente se llama linealmentedependiente.

Expresamos que quiere decir que {v1, . . . ,vn} son linealmente dependientes:existen escalares, λ1, . . . ,λn, no todos nulos, tales que 0 = λ1v1 + . . .+λnvn. Si,por ejemplo, λ1 6= 0, podemos despejar v1, a saber,

v1 =−λ2

λ1v2− . . .− λn

λ1vn

probando que v1 es combinacion lineal de los demas vectores. Por tanto, si un con-junto de vectores es linealmente dependiente, uno de los vectores es combinacionlineal de los demas.

El concepto de dependencia lineal generaliza el concepto de vectores propor-cionales. Concretamente, sean u,v ∈V . Se dice que u es proporcional a v si exis-te λ ∈ R tal que u = λv. Observese que si λ 6= 0, entonces podemos escribirv = (1/λ )u, es decir, v es tambien proporcional a u. Por tanto, ‘ser proporcional’no es recıproco en general. Por ejemplo, el vector 0 es proporcional a todos losvectores, pero el unico vector proporcional al 0 es el propio 0. En particular, nopodemos decir que dos vectores ‘son proporcionales’, a no ser que los dos no seannulos.

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Proposicion 1.12 1. {v} es linealmente independiente si y y solo si es no nulo.

2. Dos vectores son linealmente independientes si y solamente si uno de losdos es proporcional al otro.

3. Si X ⊂Y e Y es linealmente independiente, entonces X es linealmente inde-pendiente.

4. Si X ⊂Y y X es linealmente dependiente, entonces Y es linealmente depen-diente.

5. El conjunto X es linealmente dependiente si y solo si un vector de X escombinacion lineal de los demas.

6. Si 0 ∈ X, entonces X es linealmente dependiente.

7. Si {v1, . . . ,vn} es linealmente independiente y v = a1v1 + . . .+ anvn, cona1 6= 0, entonces {v,v2, . . . ,vn} es linealmente independiente.

No hay relacion entre los conceptos de sistema de generadores y dependencialineal. Veamoslo en el plano euclıdeo R2.

1. Los vectores {(1,0),(0,1)} son linealmente independientes y son un siste-ma de generadores.

2. El vector {(1,0)} es linealmente independiente y no es un sistema de gene-radores.

3. Los vectores {(1,0),(0,1),(1,1)} no son linealmente independientes y sonun sistema de generadores.

4. Los vectores {(1,0),(2,0)} no son linealmente independientes ni son unsistema de generadores.

1.2. Base en un espacio vectorialDefinicion 1.13 Una base de un espacio vectorial es un sistema de generadoresque es linealmente independiente.

Veamos ejemplos de bases en espacios vectoriales conocidos:

1. En Rn, B = {e1, . . . ,en} con ei = (0, . . . ,i^1 , . . . ,0) es base de Rn y se llama

la base usual de Rn.

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2. El conjunto B = {(1,0, . . .),(1,1, . . . ,0), . . . ,(1, . . . ,1)} es base de Rn.

3. Sea el subespacio vectorial U = {(x,y) ∈ R2,x− y = 0}. Una base de U es{(1,1)}.

4. Sean {v1, . . . ,vn} vectores linealmente independientes en un espacio vecto-rial V . Entonces {v1, . . . ,vn} es base de < v1, . . . ,vn >.

5. En el espacio trivial V = {0} no hay bases, pues {0} es linealmente depen-diente.

Teorema 1.14 Sea V un espacio vectorial y B = {v1, . . . ,vn} un conjunto de vec-tores. Son equivalentes los siguientes enunciados:

1. B es base de V .

2. Para cada v ∈V , existen unicos xi ∈ R tales que v = ∑ni=1 xivi.

Se llaman coordenadas de un vector v a la n-upla (x1, . . . ,xn) tal que v=∑ni=1 xivi.

De esta forma, fijada una base en un espacio vectorial V , existe una corres-pondencia biunıvoca entre V y Rn, a saber, la aplicacion fB : V → Rn dada por

fB(v) = (x1, . . . ,xn),

donde (x1, . . . ,xn) son las coordenadas de v respecto de B: v = ∑ni=1 xiei.

Volvemos al ejemplo de V =Rn. Si (x1, . . . ,xn)∈Rn, entonces las coordenadasde este vector respecto de la base usual coincide justamente con (x1, . . . ,xn).

Ademas,

1. Sean X e Y dos conjuntos finitos de un espacio vectorial, tales que X ⊂ Y ,X es linealmente independiente e Y es un sistema de generadores. Entoncesexiste una base B de V tal que X ⊂ B⊂ Y .

2. Dado un conjunto de vectores linealmente independientes de un espaciovectorial, siempre es posible anadir vectores hasta obtener una base del mis-mo (ampliacion a una base).

3. Dado un sistema de generadores, siempre es posible quitar vectores hastaobtener una base del espacio.

Teorema 1.15 (de la base) Todas las bases de un mismo espacio vectorial tienenel mismo cardinal. A dicho numero se llama la dimension del espacio vectorial

Ademas, sea X = {e1, . . . ,em} ⊂V . Entonces

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1. Si X es un conjunto de vectores linealmente independiente, entonces m ≤dim(V ). Ademas se da la igualdad si X es base.

2. Si X es un sistema de generadores de V , entonces m ≥ dim(V ). Ademas seda la igualdad si X es base.

Relacionamos la dimension de un espacio vectorial con la de un subespaciosuyo.

Corolario 1.16 Si U y W son subespacios vectoriales de V con U ⊂W, entoncesdim(U)≤ dim(W ) y la igualdad se tiene si y solamente U =W.

Un subespacio vectorial de dimension 1 se llama recta vectorial, si es 2, planovectorial, y si es dim(V )−1, hiperplano vectorial.

Ahora relacionamos la dimension de U +W con las de U y W .

Teorema 1.17 Sea U y W subespacios vectoriales de V . Entonces:

1. Si B1 es un sistema de generadores de U y B2 de W, entonces B1∪B2 es unsistema de generadores de U +W.

2. dim(U +W ) = dim(U)+dim(W )−dim(U ∩W ).

1.3. Rango de matrices y espacios vectorialesPara acabar con esta seccion, vamos a relacionar el tema 1 con este de espacios

vectoriales. Ası daremos un metodo sencillo para saber si un conjunto de vectoreses linealmente independiente, sistema de generadores o base. La clave se encuen-tra en relacionar este problema con el rango de una matriz y las soluciones de unsistema de ecuaciones lineales.

Proposicion 1.18 Sea B = {e1, . . . ,en} una base de un espacio vectorial V e Y ={v1 . . . ,vm} ⊂V un conjunto finito de vectores. Escribimos

v j =n

∑i=1

ai jei, 1≤ j ≤ m.

Sea Z = {w1, . . . ,wm} el conjunto de vectores de Rn dado por

w j = (a1 j,a2 j, . . . ,an j), 1≤ j ≤ m.

Entonces Y es linealmente independiente (resp. sistema de generadores, base) si ysolamente si Z es linealmente independiente (resp. sistema de generadores, base).

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Por tanto, para estudiar la naturaleza de un conjunto de vectores en un espaciovectorial, fijamos una base, la que sea, y trabajamos con las coordenadas de dichosvectores, como vectores de Rn.

Corolario 1.19 Sea Z = {v1, . . . ,vm} un conjunto de vectores de Rn. Sea A =(v1 . . . vm) la matriz que, por columnas, son las coordenadas de v j respecto de labase usual.

1. dim(< Z >) = r(A).

2. Z es linealmente independiente si y solo si r(A) = m,

3. {v1, . . . ,vn} es base de Rn si y solamente si det(A) 6= 0.

Este resultado puede reinterpretar el concepto de rango de una matriz dado enel tema 1.

Corolario 1.20 El rango de una matriz es el numero de columnas linealmenteindependientes.

Como sabemos que el rango de una matriz es igual al de su traspuesta, podemoscambiar la palabra ‘columna’ por ‘fila’.

Teorema 1.21 Sea un subespacio vectorial U de Rn dado por U = {(x ∈ Rn :Ax = 0}. Entonces dim(U) = n− r(A). Ya que A ∈Mm×n(R), si r(A) = m, deci-mos que Ax = 0 son las ecuaciones cartesianas del subespacio.

Observese que:

1. El numero de filas de A coincide con el rango de A.

2. Las filas de A, como vectores de Rn, son linealmente independientes.

3. Un metodo para hallar una base de un subespacio vectorial que viene dadocomo Ax = 0: la base se obtiene al resolver dicho sistema homogeneo.

4. Un metodo para hallar las ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorialque viene dado por Ax= 0: se calcula el rango de A y se toma las ecuaciones(filas) correspondientes a un menor que nos determina el rando de A.

Hacemos ahora el recıproco del teorema anterior, es decir, como obtener lasecuaciones cartesianas cuando uno conoce una base del subespacio vectorial.

Teorema 1.22 Sea un subespacio vectorial U de Rn de dimension m. Entoncesexiste una matriz A∈M(n−m)×n(R) de rango n−m tal que U = {x∈Rn : Ax= 0}.

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El metodo para hallar A es el siguiente. Sea B = {v1, . . . ,vm} una base de U yescribimos dicha base en coordenadas respecto de la base usual: v j = ∑

ni=1 ai jei.

Entonces la matriz A ∈Mm×n(R) tiene rango m. Sea v = (x1, . . . ,xn) ∈ Rn. En-tonces v ∈U si y solo si v ∈< v1, . . . ,vm >, es decir, si y solo si,

rango(A|x) = m.

Como el rango de A es m, existe en A una submatriz m×m don determinanteno nulo. Por tanto, es equivalente a decir, que todos los menores que resultande anadir filas y (unica) ultima columna a esta submatriz, son nulos. El nume-ro de menores es exactamente, n−m, obteniendo las ecuaciones cartesianas delsubespacio. Observese que cada uno de los menores es una combinacion lineal dex1, . . . ,xn, obteniendo ası, ecuaciones lineales.

Observemos que el subespacio vectorial U = {x ∈ Rn : Ax = 0} puede versecomo el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales Ax = 0. Sa-bemos que este sistema es compatible, o dicho en terminos de este tema, todosubespacio vectorial es no vacıo, y al menos contiene al elemento neutro del espa-cio vectorial. Si el sistema es determinado, quiere decir que r(A) = n y U = {0},que es el unico subespacio de dimension 0 en Rn. En caso contrario, el sistemaes indeterminado, y el conjunto de soluciones, el subespacio U , tiene, por defini-cion, dimension igual a n−r(A), es decir, la dimension del conjunto de solucionescoincide con la dimension del subespacio U .

Definicion 1.23 Sea U = {x ∈ Rn : Ax = 0}, donde A ∈Mm×n(R). Se dice queAx = 0 son las ecuaciones cartesianas (o implıcitas) de U (respecto de Bu) silas m ecuaciones son linealmente independientes, es decir, si r(A) = m. Comoconsecuencia, dim(U) = n−m.

Si U un subespacio vectorial viene dado por Ax = 0, para hallar las ecuacionescartesianas basta con quitar las filas linealmente dependientes, o dicho de otramanera, si calculamos el rango de A (por cualquier metodo), las filas que nosdan el rango, nos determina las ecuaciones cartesianas. Por ejemplo, si r(A) =m, quiere decir que hay un menor de orden m no nulo. Entonces las ecuacionescartesianas son las ecuaciones determinadas por las m filas que determinan elmenor anterior.

Recıprocamente, siempre es posible hallar las ecuaciones cartesianas. Quizasel metodo mas directo para hallarlas es el siguiente. Se toma {e1, . . . ,em} una ba-se de U y se toman las coordenadas de dichos vectores respecto de la base usualBu, y escribiremos de nuevo por e1, . . . ,em dichas coordenadas como matrices co-lumnas. Un vector x satisface x = (x1, . . . ,xn) ∈U si y solamente es combinacionlineal de {e1, . . . ,em}. Por tanto, el rango de la matriz (e1 e2 . . .em x), que es deorden n× (m+1) es m. Esto quiere decir que existe un menor de orden m no nulo

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y todos los menores de orden m+ 1 son cero. A la fuerza dicho menor no nuloesta en la matriz (e1 e2 . . .em). Luego los n−m menores de orden m+1 obtenidosal anadir la columna x son los que nos dan las ecuaciones cartesianas de U .

Para finalizar, vamos a dar el concepto de la matriz de cambio de base. SeaU un espacio vectorial de dimension n y sean B = {e1, . . . ,en} y B = {e′1, . . . ,e′n}dos bases. Tomamos v ∈U y hallamos las coordenadas de v respecto de B y B′:

v =n

∑j=1

x je j, v =n

∑j=1

x′je′j.

¿que relacion hay entre el vector (x1, . . . ,xn) y (x′1, . . . ,x′n)?

Expresamos la base B en coordenadas respecto de B′, escribiendo

e j =n

∑i=1

ai je′i, 1≤ j ≤ n.

Entonces

v =n

∑j=1

x j

n

∑i=1

ai je′i =n

∑i=1

(n

∑j=1

ai jx j)e′i

y como sabemos que tiene que ser ∑nj=1 x′je

′j, la unicidad de las coordenadas im-

plica x′1...

x′n

= A

x1...

xn

.

Definicion 1.24 La matriz A anterior se llama la matriz de cambio de base de Ba B′ y la denotamos por M(1U ,B,B′).

2. Aplicaciones linealesLa estructura de espacio vectorial ha girado en torno a la manera de trabajar

en un espacio vectorial usando el concepto de base. Tambien se han usado las he-rramientas que proporciona el tema 1, es decir, matrices y sistemas de ecuaciones,para hallar la dimension y ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorial.

Una vez dado el objeto matematico, el espacio vectorial, el siguiente pasonatural es como ‘relacionar’ dos espacios vectoriales. La pregunta natural quesurge es la siguiente:

Dados dos espacios vectoriales V y V ′ y una aplicacion f : V → V ′

entre ellos ¿hay algun tipo de aplicaciones ‘buenas’ respecto de laestructura vectorial que soportan V y V ′?

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La respuesta es sı, y a dichas aplicaciones se les llaman aplicacion lineales. Igualque sucedıa con el concepto de subespacio vectorial, no todas las aplicacionesentre espacios vectoriales son lineales, en verdad, ‘muy pocas’ lo son. En estaseccion nos dedicamos a su estudio y de nuevo sera importante el uso de matricespara el tratamiento de estos nuevos objetos.

2.1. Definicion y primeras propiedadesDefinicion 2.1 Una aplicacion f : V →V ′ entre dos espacios vectoriales se diceque es lineal si satisface las dos siguientes propiedades:

1. f (u+ v) = f (u)+ f (v), ∀u,v ∈V .

2. f (λv) = λ f (v), ∀λ ∈ R,v ∈V .

Si V =V ′, se dice que f es un endomorfismo.

Es evidente que esta definicion es equivalente a que

f (λu+µv) = λ f (u)+µ f (v), ∀λ ,µ ∈ R,u,v ∈V.

Veamos algunos ejemplos.

1. La aplicacion identidad 1V : V →V , 1V (v) = v, es lineal.

2. La aplicacion nula 0 : V →V ′, 0(v) = 0. Esta aplicacion puede verse comouna aplicacion constante y es la unica aplicacion constante que es lineal.Exactamente, sea v′0 ∈V ′ un vector fijo y definamos la aplicacion constantef : V →V ′, f (v) = v′0. Entonces f es lineal si y solamente si v′0 = 0.

3. Una homotecia de razon λ (6= 0,1) en un espacio vectorial es el endomor-fismo f : V →V dado por f (v) = λv. Esta aplicacion es lineal.

4. Se define la i-proyeccion como la aplicacion pi :Rn→R dada por pi(x1, . . . ,xn)=xi. Esta aplicacion es lineal.

5. La composicion de aplicaciones lineales: si f : V → V ′ y g : V ′→ V ′′ sonaplicaciones lineales, entonces g◦ f : V →V ′′ es lineal.

Las primeras propiedades de una aplicacion lineal reflejan que estas aplica-ciones son las mas adecuadas entre espacios vectoriales y las que llevan, en ciertomodo, la estructura vectorial de un espacio a otro, justificando el porque de sudefinicion.

Proposicion 2.2 Sea f : V →V ′ una aplicacion lineal.

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1. f (0) = 0.

2. f (−v) =− f (v), v ∈V .

3. f (∑ni=1 λivi) = ∑

ni=1 λi f (vi), λi ∈ R,vi ∈V .

4. Si {v1, . . . ,vn} ⊂V , entonces < f (v1), . . . , f (vn)>= f (< v1, . . . ,vn >).

5. Si U es un subespacio de V , entonces f (U) es un subespacio de V ′.

Siguiendo con la idea del tema anterior de que un espacio vectorial se conocesi se sabe una base, como indica el siguiente resultado:

Teorema 2.3 Sea B = {e1, . . . ,en} una base de un espacio vectorial V y f ,g :V →V ′ dos aplicaciones lineales. Si f (ei) = g(ei) para todo i, entonces f = g.

2.2. Nucleo e imagen de una aplicacion linealDefinicion 2.4 Sea una aplicacion lineal f : V → V ′. Se define el nucleo de f alconjunto

Ker( f ) = {v ∈V : f (v) = 0}.

Es un subespacio vectorial.

Si Ker( f ) = {0}, entonces si X es linealmente independiente, entonces f (X)es linealmente independiente.

Teorema 2.5 Sea una aplicacion lineal f : V →V ′. Entonces

dim(V ) = dim(Ker( f ))+dim(Im( f )). (1)

A la dimension del nucleo se llama nulidad de f , n( f ), y a la dimension de laimagen de f se llama rango de f , r( f ).

Corolario 2.6 Sea una aplicacion lineal f : V →V ′.

1. r( f )≤ dim(V ).

2. Si U es un subespacio de V , entonces dim( f (U))≤ dim(U).

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2.3. Expresion matricial de una aplicacion linealEn esta seccion usaremos las herramientas de matrices dadas en el tema 1 para

un mejor tratamiento de las aplicaciones lineales. Para ello asignaremos a cadaaplicacion lineal una matriz (fijadas bases en los dos espacios vectoriales). Conesto se entendera mejor las operaciones de suma y producto de matrices que sehicieron en el tema 1.

Sea f : V → V ′ una aplicacion lineal entre dos espacios vectoriales y B ={e1, . . . ,en} y B′ = {e′1, . . . ,e′m} bases de V y V ′ respectivamente. Sea v ∈ V yescribamos v = ∑

ni=1 xiei, con xi ∈ R. Entonces f (v) = ∑

ni=1 xi f (ei). Escribamos

f (e j) = ∑mi=1 ai je′i, para cada 1≤ j ≤ n. Entonces

f (v) =n

∑i=1

xi f (ei) =n

∑i=1

xi

n

∑j=1

a jie′j =n

∑j=1

(n

∑i=1

xia ji

)e′j.

Por tanto, las coordenadas de f (v) respecto de la base B′ son

(n

∑i=1

a1ixi,n

∑i=1

a2ixi, . . . ,n

∑i=1

anixi).

Este vector de Rm, es decir, las coordenadas de f (v), se puede escribir tambiencomo la siguiente matriz columna:

A

x1...

xn

∈Mm×1(R). (2)

Definicion 2.7 Sea f : V → V ′ una aplicacion lineal, B = {e1, . . . ,en} y B′ ={e′1, . . . ,e′m} bases de V y V ′ respectivamente. Supongamos que para cada 1 ≤j ≤ n se tiene

f (e j) =m

∑i=1

ai je′i.

Se llama expresion matricial de f respecto de las bases B y B′ a la matriz

M( f ,B,B′) = (ai j).

Por tanto:

Si x = (x1, . . . ,xn) son las coordenadas de v respecto de la base B, lascoordenadas de f (v) respecto de B′ son M( f ,B,B′)xt .

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Nota. En el caso particular que f sea un endomorfismo y si tomamos B′ = B,escribiremos la expresion matricial simplemente por M( f ,B).

La primera relacion con el tema 1 se refiere al rango. Con el termino rangohemos definido el rango de una matriz (numero de pivotes en su forma de Hermitepor filas) y el rango de una aplicacion lineal, que es la dimension de su imangen.

Teorema 2.8 Sea f :V→V ′ una aplicacion lineal, B= {e1, . . . ,en} y B′= {e′1, . . . ,e′m}bases de V y V ′ respectivamente. Entonces

r( f ) = r(M( f ,B,B′)).

Observemos que el resultado es independiente de las bases elegidas, ya que elmiembro de la izquierda de esta identidad no depende de bases.

De esta forma tenemos otra interpretacion del concepto de rango de una ma-triz:

Corolario 2.9 Sea A ∈Mm×n(R). Entonces el rango de A es el numero de co-lumnas linealmente independientes, vistas dichas columnas como vectores de Rm.

Sea A∈Mm×n(R). Entonces el rango de A es el rango de cualquier aplicacionlineal que la tenga por expresion matricial.

Metodo para hallar una base de la imagen. Damos dos maneras de obteneruna base de la imagen de una aplicacion lineal. Observemos previamente que unabase del nucleo se reduce a resolver la ecuacion Ax = 0. Para la imagen podemoshacer:

1. Si {e1, . . . ,en} es una base de V , entonces { f (e1), . . . , f (en)} es un siste-ma de generadores de Im( f ), luego basta con quitar los vectores que sonlinealmente dependientes.

2. Si {e1, . . . ,em} es una base del nucleo, ampliamos a una base {e1, . . . ,em,em+1, . . . ,en}de V . Entonces una base de la imagen es { f (em+1), . . . , f (en)}.

Para acabar con esta seccion, nos preguntamos como cambia la expresion ma-tricial de una aplicacion lineal al cambiar de bases. Concretamente, sea f : V →V ′

una aplicacion lineal y bases B1, B2 de V , B′1 y B′2 de V ′. Entonces tenemos lasmatrices M( f ,B1,B′1) y M( f ,B2,B′2) ¿cual es la relacion entre ambas matrices?Para ello tomamos el siguiente diagrama

V1V→V

f→V ′1V ′→V ′.

Tomamos en cada uno de los espacios vectoriales, las bases B1, B2, B′2 y B′1. Lacomposicion de las tres aplicaciones es f y

M( f ,B1,B′1) = M(1V ′,B′2,B′1)M( f ,B2,B′2)M(1V ,B1,B2).

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En el caso concreto que f sea un endomorfismo, y tomando B1 = B′1 y B2 = B′2

M( f ,B1) = M(1V ,B2,B1)M( f ,B2)M(1V ,B1,B2).

Por otro lado,

M(1V ,B2,B1)M(1V ,B1,B2) = M(1V ,B1,B1) = In,

es decir,M(1V ,B2,B1) = M(1V ,B1,B2)

−1.

3. Diagonalizacion de matricesEsta ultima parte del tema esta dedicada a encontrar expresiones matriciales

‘sencillas’ de endomorfismos, o de matrices cuadradasm concretamente, matricesque sean diagonales. Dada una aplicacion lineal, es natural buscar bases dondela expresion matricial sea sencilla, y ası facil de manipular. Podemos pensar, porejemplo, que la matriz tenga 0 y 1. Entre las matrices ‘sencillas’, nos centramosen el hecho de que sean diagonales, es decir, ai j = 0 si i 6= j.

3.1. Vectores y valores propiosDefinicion 3.1 Una matriz cuadrada A es diagonalizable si es semejante a unamatriz diagonal, es decir, si existe una matriz regular P tal que P−1AP es unamatriz diagonal.

Definicion 3.2 Si A ∈Mn(R), decimos que λ ∈ R es un valor propio (o autova-lor) de A si existe x∈Rn,x 6= 0 tal que Ax = λx. Al vector x lo llamamos un vectorpropio (o autovector) de λ .

Por tanto el trabajo a realizar consiste en lo siguiente:

1. Hallar vectores v ∈ Rn, con v 6= 0, y escalares λ tales que Av = λv.

2. De entre los vectores v, ser capaces de encontrar una base de Rn.

Veamos tres ejemplos que nos van a ilustrar los problemas que aparecen cuandoqueremos saber si una matriz es diagonalizable.

Ejemplo 3.3 Consideramos A =

(0 11 0

). Supongamos que existe v = (x,y) ∈

R2 y λ ∈R tales que Av = λv. Entonces (y,x) = (λx,λy). Esta igualdad la escri-bimos como el siguiente sistema homogeneo:

−λx+ y = 0

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x−λy = 0.

Ya que estamos buscando soluciones no triviales, entonces el determinante de lamatriz de los coeficientes es cero, es decir,∣∣∣∣ −λ 1

1 −λ

∣∣∣∣= 0,

es decir, λ 2−1 = 0, y ası, λ = 1 y λ = −1. Hallamos, para cada valor anteriorde λ , vectores (x,y) que satisfagan el sistema lineal de ecuaciones. Para λ = 1,tomamos e1 = (1,1) (o uno proporcional a el), y para λ = −1, e2 = (1,−1). Yaque B = {e1,e2} es una base de R2, entonces

M( f ,B) =(

1 00 −1

),

probando que f es diagonalizable.

Ejemplo 3.4 Consideramos A=

(1 11 0

). Si existe v= (x,y)∈R2 y λ ∈R tales

que Av = λv, entonces (x+ y,y) = (λx,λy). Esta igualdad la escribimos como

(1−λ )x+ y = 0

(1−λ )y = 0.

Habra soluciones no triviales si∣∣∣∣ 1−λ 10 1−λ

∣∣∣∣= 0,

es decir, (λ −1)2 = 0, y ası, λ = 1. Hallamos vectores (x,y) que satisfagan el sis-tema lineal de ecuaciones anterior para λ = 1. La ecuacion a resolver es y = 0,luego tomamos e1 = (1,0) (o uno proporcional a el). Ya que no existen mas vec-tores con la misma propiedad concluimos que, aunque hay vectores cuya imagenmediante f es proporcional a ellos mismos, no podemos encontrar una base delespacio formado por vectores de este tipo. Esto concluye que f no es diagonali-zable.

Ejemplo 3.5 Sea ahora A =

(0 −11 0

). Del mismo modo, existe v = (x,y)∈R2

y λ ∈ R tales que Av = λv si (−y,x) = (λx,λy). Esta igualdad la escribimoscomo:

−λx− y = 0

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x−λy = 0.

Habra soluciones no triviales si∣∣∣∣ −λ −11 −λ

∣∣∣∣= 0,

es decir, λ 2 +1 = 0. Ya que no hay raıces, el endomorfismo no es diagonalizable.

Si λ ∈ R, denotamos

Vλ = {v ∈V : Av = λv}.

Observemos que en dicho conjunto siempre esta el vector 0, pero no quiere decirque λ sea un valor propio: habrıa que tener que Vλ tiene mas vectores aparte del0. Por otro lado, si λ es un valor propio, Vλ esta formado por los vectores propiosde λ y el vector 0.

A continuacion detallamos algunas propiedades de los valores y vectores pro-pios.

Proposicion 3.6 Con la notacion anterior, tenemos:

1. Vλ es un subespacio propio.

2. λ es valor propio sii dim(Vλ )≥ 1. En tal caso, decimos que Vλ es el subes-pacio propio del valor λ .

3. Vλ = Ker(A−λ In).

4. dim(Vλ ) = n− r(A−λ1V ).

5. Si λ es valor propio, entonces det(A−λ In) = 0.

6. El numero de valores propios es menor o igual que la dimension de V .

7. Ker( f ) =V0 y λ = 0 es un valor propio sii la nulidad es al menos 1.

Para entender parte de las dificultades de saber cuando un endomorfismo esdiagonalizable, la encontramos en la propiedad 5 anterior. La ecuacion det(A−λ I) = 0 es una ecuacion polinomica en λ de orden n (ya que en cada elementode la diagonal principal de cualquier expresion matricial suya aparece el numero−λ ). Si A es diagonalizable tiene que haber n valores propios (que pueden estarrepetidos). Esto quiere decir que la ecuacion polinomica det(A−λ In) = 0 tieneque tener exactamente n raıces reales, lo cual no siempre es cierto. Ası, un po-linomio de orden 2 puede no tener ninguna raız (aunque si tiene una, tiene dos),

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como sucede en el primer ejemplo anterior. Si es de orden impar, sabemos que almenos tiene una, pero no sabemos si hay mas.

La segunda dificultad es que, aunque tengamos n raıces (que pueden estarrepetidas), cuando hallemos vectores propios de cada valor propio, no sabemossi al juntarlos obtenemos una base del espacio vectorial. En el segundo ejemploanterior, esto ha sido ası porque es evidente a simple vista; por contra, en el ter-cer ejemplo, solo encontramos un vector propio (linealmente independiente). Elsiguiente resultado responde en gran medida a esta cuestion.

Proposicion 3.7 Sean λ1, . . . ,λk valores propios de un endomorfismo y Bi basede Vλi , 1 ≤ i ≤ k. Entonces el conjunto de vectores B1 ∪ . . .∪Bk es linealmenteindependiente. En particular, si f tiene n valores propios diferentes, siendo n ladimension del espacio vectorial, entonces f es diagonalizable.

3.2. El teorema de diagonalizacionSi A es una matriz cuadrada, el polinomio caracterıstico es PA(λ ) = |A−λ I|.

Sea λ un valor propio.

1. Se llama multiplicidad algebraica de λ , la multiplicidad de λ como raız dePf (λ ). La denotamos por aλ

2. Se llama multiplicidad geometrica de λ a la dimension de Vλ . La denotamospor gλ .

Observemos que:

1. Pf (λ ) es un polinomio de orden n.

2. λ es un valor propio sii es una raız de Pf (λ ).

3. Si f es diagonalizable, entonces Pf (λ ) tiene n raıces (que pueden ser igua-les).

Proposicion 3.8 Si λ es un valor propio de f , entonces gλ ≤ aλ . En particular,si A tiene n valores propios diferentes, entonces es diagonalizable.

Teorema 3.9 Si A es una matriz cuadrada, entonces A es diagonalizable si

1. Pf (λ ) tiene n raıces (reales).

2. aλ = gλ para cualquier valor propio λ .

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Si consideramos ahora matrices cuadradas, el teorema anterior se aplica delmismo modo, obteniendo que existe una matriz diagonal D y una matriz regular Ptal que A=P−1DP. Nos preguntamos que matriz es P. Si B y B′ son bases tales queA = M( f ,B) y D = M( f ,B′), entonces P = M(1V ,B,B′). Ya que la base B (de Rn)puede ser cualquiera, tomamos la base usual B = Bu. Entonces P−1 no es mas queponer la base de los vectores propios en columnas (si B es otra base, la matriz P−1

es poner en coordenadas la base B′ en terminos de B, pero en el calculo explıcitode las bases de los subespacios propios, se trabaja en coordenadas respecto de B,luego al final dicha matriz es poner en columnas los vectores propios.

Acabamos con una ‘simple’ aplicacion de diagonalizacion. Sea A una matriz ynos preguntamos por calcular la potencia An, donde n es un numero anterior. Si Aes diagonalizable, esta operacion se puede computar del siguiente modo. Sabemosque A = P−1DP para cierta matriz regular P y matriz diagonal D. Entonces

An = (P−1DP) · · ·(P−1DP) = P−1DnP.

Pero la matriz Dn es sencilla de hallar: no es mas que elevar a n los elementos dela diagonal principal de D, es decir,

D =

λ1. . .

λk

⇒ λ n

1. . .

λ nk

.

Por tanto, la potencia n-esima de A se reduce a computar tres productos de matri-ces.

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