tema 2 aplicaciones lineales. diagonalizaciónidea clave: las aplicaciones lineales...

Tema 2Aplicaciones

lineales.Diagonalización

E. MuñozVelasco

Aplicaciones ala Ingeniería

AplicacioneslinealesDefinción ypropiedades

Núcleo e Imagen

Matriz de una AL

Cambio de base

DiagonalizaciónIdeas y definiciones

Diagonalizando

Teoremas

Tema 2Aplicaciones lineales.

Diagonalización

Emilio Muñoz Velasco

Universidad de MalagaDepartamento de Matemática Aplicada

Álgebra Lineal. Escuela Ing. Industriales

E. Muñoz Velasco Tema 2 Aplicaciones lineales. Diagonalización 1 / 23

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Ejemplo de motivaciónDiagonalización

La matriz de tensiones de una determinada pieza es

A =

−0.0196 0.0105 −0.00500.0105 0.0080 −0.0068−0.0050 −0.0068 0.0115

Calcula sus direcciones principales.


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Aplicación lineal

Definición

Dados dos espacios vectoriales V y W sobre un mismo cuerpo K,llamamos aplicación lineal, AL, de V en W a una función f : V → Wque verifica:

f (~u + ~v) = f (~u) + f (~v) ∀~u, ~v ∈ Vf (λ~v) = λf (~v) ∀λ ∈ K, ∀~v ∈ V

Si V = W entonces la aplicación lineal se llama endomorfismo.

Idea clave:

Las aplicaciones lineales son funciones entre espacios vectorialesque respetan la estructura de espacio vectorial, es decir, respetanla suma y producto por escalares. Por tanto, las AL respetan lascombinaciones lineales, es decir:

f (λ~u + µ~v) = λf (~u) + µf (~v) ∀λ, µ ∈ K, ∀~u, ~v ∈ V


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Ejemplos

• La función f : R2 → R3, definida porf (x , y) = (x − y ,0,2x + 5y) es una AL.

• f : R3 → R2 tal que f (x , y , z) = (x − y + 1,0) no esuna AL.

• f : R2 → R2 tal que f (x , y) = (x2,2x − y) no esuna AL.


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Propiedades de las AL

Teorema:

Dada una AL f : V → W , se verifica:

• f respeta los vectores nulos, es decir, transforma el vectornulo de V en el nulo de W .

• f respeta los subespacios, es decir, si K es SV de V ,entonces f (K ) es SV de W .

• f respeta los sistemas generadores, es decir, si {v1, . . . vk}es SG del subespacio K , entonces {f (v1), . . . f (vk )} es SGdel subespacio f (K ).

• f respeta la dependencia lineal, es decir, si {v1, . . . vk} es LD,entonces {f (v1), . . . f (vk )} es LD.

Ojo:

La aplicaciones lineales no respetan la independencia lineal.Por ejemplo, dada la AL f : R2 → R2 tal que f (x , y) = (x + y , 0),se tiene que {(1, 0), (0, 1)} es LI y, sin embargo, {f (1, 0), f (0, 1)} ={(1, 0), (1, 0)} no es LI.


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Núcleo e imagen de una ALDefinición

Sea f : V → W una AL. Llamamos núcleo de f , denotado por Ker f , alconjunto de vectores del espacio de partida V cuya imagen es el vectornulo del espacio de llegada W .

Ker f = {~v ∈ V | f (~v) = ~0W }

Llamamos imagen de f , denotada Im f , al conjunto de vectores del espaciode llegada W que son imagen de algún vector del espacio de partida V , esdecir:Im f = {~w ∈ W | ∃~v ∈ V verificando f (~v) = ~w}

Idea:

• Para obtener las cartesianas de Ker f utilizamos directamente ladefinición.

• Para calcular un SG de Im f calculamos la imagende cualquier SG del espacio de partida, por ejemplo,de la base canónica.

Ojo:

Para obtener las ecuaciones Ker f y de Im f necesitamos la fórmula de f .


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Ejemplo Ker f

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2


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Ejemplo Im f

Dada f : R3 → R2 definida por f (x , y , x) = (2x − z,0),vamos a calcular las ecuaciones de Im f :



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Definición

• Una AL se llama inyectiva si vectores distintos tienensiempre imágenes distintas.

• Una AL se dice sobreyectiva si Im f = W .

• Las AL inyectivas y sobreyectivas, se llaman biyectivas.También se dice que son isomorfismos.

Teorema:

Si f : V → W es una AL, se tiene que:

• Ker f es un subespacio vectorial de V .

• Im f es un subespacio vectorial de W .

• dim Ker f + dim Im f = dim V .

• f es inyectiva si y sólo si dim Ker f = 0.

• f es sobreyectiva si y sólo si dim Im f = dim W .

Idea clave:

Las AL inyectivas respetan la independencia lineal. Como conse-cuencia, un isomorfismo f : V → W transforma cualquier base delsubespacio U de V en una base del subespacio f (U) de W .


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Matriz de una AL

Ideas clave

• Las AL lineales se pueden representar mediante matrices.Para ello, necesitamos una base en el espacio de partida yuna base en el espacio de llegada.

• La matriz A de la AL f : V → W respecto de las bases B1 deV y B2 de W , nos da la ecuación Y = AX , donde X son lascoordenadas de cualquier vector ~v respecto de B1, mientrasque Y son las coordenadas de f (~v) respecto de B2.

• La matriz de f respecto de las bases B1 y B2 tiene porcolumnas las coordenadas de las imagenes de los vectoresde B1 respecto de B2.

• Si V tiene dimensión n y W tiene dimensión m, entonces Atiene tamaño m × n.


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Teoremas

¿Cómo obtener la matriz de una AL?



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Ejemplo



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Cambio de base para ALTeorema:

Sea f : V → W una AL. Supongamos que la matriz de f respectode las bases B1 (de V ) y B2 (de W ) es A. Entonces la matriz def respecto de las bases B3 (de V ) y B4 (de W ) es H = Q−1AP,siendo P la matriz de cambio de base de B3 a B1, y Q la matriz decambio de base de B4 a B2.

V f−→ W

B1A B2

↑P ↑Q

B3H=Q−1AP B4

Idea de la demostración:

Escribimos la ecuación matricial de f respecto de B1 y B2 comoY = AX (∗) y la ec. de f respecto de B3 y B4 como Z = HT (∗∗).Usando las ecuaciones de cambio de base tenemos que X = PTy que Y = QZ . Sustituyendo en (∗) tenemos que QZ = APT ydespejando obtenemos Z = (Q−1AP)T . Por tanto, comparandocon (∗∗), obtenemos H = Q−1AP.


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Ejemplo cambio de base ALSabiendo que la matriz de f : R3 → R2 respecto de las basesB1 = {(1, 1, 0), (0, 1, 3), (0, 4, 7)} y B2 = {(1, 3), (0, 5)} es

A =

(2 −3 −7− 6

595

215

), vamos a calcular la matriz de f respecto de

B3 = {(2, 1, 0), (0, 1, 3), (0, 0,−5)} y B4 = {(−1, 5), (0,−3)}.



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Teoremas

¿Qué significa diagonalizaruna matriz cuadrada o un endomorfismo?

Utilidad:

Una matriz diagonal es una matriz cuadrada que tiene ceros fuerade la diagonal principal.Las matrices diagonales son útiles porque es fácil operar con ellas:• Si D es una matriz diagonal, entonces la potencia Dn se

obtiene elevando a n los elementos de la diagonal.

• Si D es inversible, su inversa se obtiene haciendo losinversos de los elementos de la diagonal.

• El determinante de una matriz diagonal es el producto de loselementos de la diagonal.

Idea clave:

• Toda matriz cuadrada representa un endomorfismo, es decir,una AL de un espacio vectorial en sí mismo.

• Diagonalizar una matriz (endomorfismo) consiste enencontrar una base B adecuada respecto de la cual elendomorfismo f se representa por una matriz diagonal D.


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Teoremas

¿Cómo diagonalizar una matriz?Autovalores y autovectores

Idea clave:

Para que un vector ~v pertenezca a la base adecuada B que nos dela representación diagonal, tiene que cumplirse que f (~v) = λ~v , esdecir, A~v = λ~v .

Definición

Dado un endomorfismo f : V → V con matriz asociada A, un vectorno nulo ~v que verifica f (~v) = λ~v , o equivalentemente, A~v = λ~v , sellama autovector de f (o de A) asociado al autovalor λ.

Idea clave:

• Para encontrar los autovalores (y autovectores) de A,utilizamos que A~v = λ~v , que es equivalente a (A− λI)~v = ~0.

• Para que existan autovectores, el sistema homogéneo(A− λI)~v = ~0 tiene que ser CI, es decir, det(A− λI) = 0.

• Los autovalores de A son los valores de λ que hacen que elsistema sea CI, y los autovectores asociados a cadaautovalor son las soluciones no nulas de dicho sistema.


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Teoremas

Matrices (endomorfismos) diagonalizablesDefinición

Un endomorfismo f : V → V es diagonalizable si existe una baseB de todo V formada por autovectores.Si A es la matriz de f respecto de la base canónica BC , diremosque A es diagonalizable. En este caso, la matriz de f respecto dela base B es una matriz diagonal D. La matriz de cambio de baseP se llama también matriz de paso. Como hemos realizado uncambio de base, la relación entre A y D es D = P−1AP.

V f−→ V

BCA BC

↑P ↑P

BD=P−1AP B

Ojo:

Todas las matrices no son diagonalizables. Por ejemplo, la matriz

A =

(1 10 1

)no es diagonalizable, ya que no existe una base de

todo R2 formada por autovectores de esa matriz.


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Aplicaciones de la diagonalización

Utilidad:

• La potencia (y la inversa) An de una matriz diagonalizable A,se puede obtener utilizando que existen D diagonal y Pinversible tales que D = P−1AP. Despejando A, tenemosA = PDP−1. Por tanto:

An = PD(P−1P)DP−1 . . .PD(P−1P)DP−1 = PDnP−1

• La diagonalización se utiliza en Cálculo para obtenermáximos y mínimos de funciones de varias variables.

• Utilizaremos la diagonalización para representar, de unaforma más sencilla, las ecuaciones de las cónicas y lascuádricas.

• La diagonalización sirve para resolver un tipo especial deecuaciones diferenciales.


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¿Cuándo es diagonalizable una matriz?Definición

• Se llama ecuación característica a det(A− λI) = 0, mientrasque det(A− λI) se denomina polinomio característico.

• El subespacio vectorial no nulo Eλ formado por losautovectores asociados al autovalor λ se llama subespaciopropio asociado a λ.

• Se llama multiplicidad algebraica, ma(λ) de un autovalor λ ala multiplicidad de λ como solución de la ec. característica.

• Se llama multiplicidad geométrica, mg(λ) de un autovalor λ ala dimensión del subespacio propio Eλ.

Teorema:

Sea f : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial V dedimensión n. Si los autovalores distintos de f son λ1, λ2, . . . , λp ∈ Kentonces f es diagonalizable si y sólo si se verifican:

1 ma(λ1) + ma(λ2) + . . .+ ma(λp) = n

2 ma(λi) = mg(λi) i = 1, . . . , p


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Resultados interesantesTeorema:

Sea f : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial V dedimensión n. Entonces se tiene:

• Para todo autovalor λ de f , se tiene que 1 ≤ mg(λ) ≤ ma(λ).• Si {v1, v2, . . . , vk} es un conjunto de autovectores de f asociados,

respectivamente, a autovalores distintos {λ1, λ2, . . . , λk}, entoncesel conjunto de vectores {v1, v2, . . . , vk} es LI.

• Si f tiene n autovalores distintos, entonces es diagonalizable.• Las matrices simétricas son siempre diagonalizables.

Idea clave:

Para diagonalizar un endomorfismo f : V → V , calculamos una base decada uno de los subespacios propios asociados a sus autovalores. f esdiagonalizable si y sólo si uniendo los vectores de dichas bases obtenemosuna base de todo el espacio vectorial V . Al unir todas estas bases, hacemosla suma directa de todos los subespacios propios.

Ojo:

Existen matrices diagonalizables que no tienen todos los autovalores distintos.


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Ejemplo de matriz diagonalizableCálculo de autovalores y autovectores

Scann

ed wit

h Cam

Scann

er


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Ejemplo de matriz diagonalizableSolución y comprobación

Scan

ned

with

Cam

Scan

ner


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Ejemplo de matriz no diagonalizable

Sc

an

ned

wit

h C

am

Sca

nn

er


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