APLICACIONES FUNCIONES VECTORIALES

FUNCIONES VECTORIALES

• Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:

F : R → R3, definida como F(t) = (x(t), y(t), z(t)),

donde x(t), y(t) y z(t) son funciones reales de

variable real.

Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).

DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL

Reglas de derivación de funciones vectoriales relacionadas con las operaciones entre vectores

Movimiento en el espacio

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primeraderivada no se anula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector F(t) se le llama vector de posición de la curvaAl vector F´(t) se le llama vector velocidad .

Al vector F´´(t) se le llama vector aceleración. Demodo que la velocidad en un instante t es F´(t) y la aceleración es kF(t)k. .Al vector F´(t) también se le llama vector tangente a la curva F(t) en t.

Vector tangente unitario

Vector unitario normal

• Cuando los dos vectores unitarios T y N están trazados por el punto de la curva f(t), determinan un plano llamado osculador de la curva.

• El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.

Componentes Tangencial y Normal de la aceleración

• El vector velocidad v es tangente a la trayectoria.• El vector aceleración a puede descomponerse en

dos componentes (llamadas componentes intrínsecas)mutuamente perpendiculares: una componente tangencial (en la direcciónde la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).

o

• at=a.T=𝑣.𝑎

𝑣aN=a.n=

𝑣𝑥𝑎

𝑣=

𝑎 2 − 𝑎𝑡2

Vector Binormal unitario

• Es El producto cruz entre los vectores tangentes y normales unitarios.𝐵(𝑡) = 𝑇(𝑡)𝑥𝑁(𝑡)

• Este vector es ortogonal tanto a T´(t) como a N´(t).

Longitud de arco de curva

La longitud de un arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la formula.

Curvatura

Se define la curvatura como “la variación del vector tangente con respecto a la longitud del arco.

La curvatura viene a medir como se ”tuerce“ la curva respecto de su longitud. Para curvas, no necesariamente parame trizadas por el arco, se puede calcular como:

Componentes de la aceleración

• Componente normal

𝑎𝑁 = 𝑘 𝑣 2=𝑟´ 𝑡 𝑥 𝑟´´(𝑡)

𝑟´(𝑡)

• Componente tangencial

aT= 𝑣 ´=𝑣.𝑎

𝑣=

𝑟´ 𝑡 .𝑟´´(𝑡)

𝑟´(𝑡)• La componente tangencial de la aceleración es la responsable

de que cambie la rapidez, mientras que la componente normal es responsable por la curvatura de la trayectoria. 𝑎 =𝑎𝑡𝑇+𝑎𝑁𝑁

• Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto se define la torsión como: