APLICACIONES FUNCIONES VECTORIALES

FUNCIONES VECTORIALES

• Una función vectorial es una función que transforma un número real en un vector:

F : R → R3, definida como F(t) = (x(t), y(t), z(t)), donde x(t), y(t) y z(t) son funciones reales de variable real.Así, se dice que F es continua, derivable o integrable, si lo son x(t), y(t) y z(t).

DERIVADA E INTEGRAL DE UNA FUNCION VECTORIAL

Reglas de derivación de funciones vectoriales relacionadas con las operaciones entre vectores

Movimiento en el espacioCuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primeraderivada no se anula, decimos que se trata de una curva regular. Al vector F(t) se le llama vector de posición de la curva Al vector F´(t) se le llama vector velocidad .Al vector F´´(t) se le llama vector aceleración. Demodo que la velocidad en un instante t es F´(t) y la aceleración es kF(t)k. .Al vector F´(t) también se le llama vector tangente a la curva F(t) en t.

EJEMPLO 1

• Dibuje la curva plana con la siguiente ecuacion vectorial.

• Calcule • Dibuje el vector de posición y el vector

tangente para el valor dado t.

=(1+t)i+

EJEMPLO 2

Hallar bajo las condiciones que se especifican.´=2tj +

EJEMPLO 3

Hallar la velocidad, la rapidez y la aceleración de esa partícula.=ti+(2t-5)j+3tk

EJEMPLO 4

Hallar la posición en el instante t=2.

Vector tangente unitario

• Si es el vector de posición de una curva C en un punto P de C el vector tangente unitario de C en P, denotado por T(t), es el vector unitario en la dirección , si ≠.

==

Vector unitario normal

• Cuando los dos vectores unitarios T y N están trazados por el punto de la curva f(t), determinan un plano llamado osculador de la curva.

• El plano osculador es el plano que mejor se adapta a la curva en cada uno de sus puntos. Si la curva es plana, el plano osculador coincide con el plano de la curva.

Componentes Tangencial y Normal de la aceleración

• El vector velocidad v es tangente a la trayectoria.• El vector aceleración a puede descomponerse en dos

componentes (llamadas componentes intrínsecas)mutuamente perpendiculares: una componente tangencial (en la direcciónde la tangente a la trayectoria), llamada aceleración tangencial, y una componente normal (en la dirección de la normal principal a la trayectoria), llamada aceleración normal o centrípeta (este último nombre en razón a que siempre está dirigida hacia el centro de curvatura).

o

Vector Binormal unitario

• Es El producto cruz entre los vectores tangentes y normales unitarios.

• Este vector es ortogonal tanto a T´(t) como a N´(t).

Ejemplo

• Hallar , en el instante t dado, para la curva especial

=ti+2tj-3tk,t=1

Longitud de arco de curva

La longitud de un arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la formula.

Curvatura

Se define la curvatura como “la variación del vector tangente con respecto a la longitud del arco.La curvatura viene a medir como se ”tuerce“ la curva respecto de su longitud. Para curvas, no necesariamente parame trizadas por el arco, se puede calcular como:

Componentes de la aceleración

• Componente normal =

• Componente tangencial aT==• La componente tangencial de la aceleración es la

responsable de que cambie la rapidez, mientras que la componente normal es responsable por la curvatura de la trayectoria. +

• Si la curva está en el espacio, también se “retuerce” y para medir esto se define la torsión como: