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Tema 1Espacios

vectoriales.Sistemas deecuaciones

lineales

E. MuñozVelasco

Aplicaciones ala Ingeniería

Sistemas deecuaciones ymatricesMatriz de un sistema

Matricesescalonadas por filas

Métodos de Gauss

Teorema deRouché-Frobenius

Inversa de unamatriz

EspaciosvectorialesSubespaciosvectoriales

Base, coordenadas ydimesión

Ecuaciones de unsubespacio

Intersección y Sumade subespacios

Cambio de base

Tema 1Espacios vectoriales.

Sistemas de ecuaciones lineales

Emilio Muñoz Velasco

Universidad de MalagaDepartamento de Matemática Aplicada

Álgebra Lineal. Escuela Ing. Industriales

E. Muñoz Velasco Tema 1 Espacios vectoriales. Sistemas de ecuaciones lineales 1 / 47

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Métodos de Gauss







Cambio de base

Ejemplo de motivaciónEspacios vectoriales

• El campo gravitatorio o del campo eléctrico, que son camposvectoriales y se utilizan para asignar a cada elemento de unespacio vectorial (el plano, el espacio), un vector asociado conmagnitud vectorial: fuerza, intensidad de corriente, etc.

• En Mecánica de Fluidos, el fluido, bajo ciertas condiciones, semodeliza como un medio continuo y así se definen magnitudesvectoriales que dan lugar a campos vectoriales.

• En la Mecánica Estructural, se modelizan las tensiones en el senodel material utilizando los espacios vectoriales, como el tensor detensiones o el tensor de deformaciones.

• En los Sistemas de Control, utilizados, por ejemplo, para controlarel vuelo de un avión. Las señales de entrada y salida de unsistema de control son funciones, que deben poder sumarse ymultiplicarse por números, formando un espacio vectorial.


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Cambio de base

Ejemplo de motivaciónSubespacios vectoriales y bases

• Las vibraciones de un edificio pueden descomponerse en distintosmodos de vibración (vibraciones siguiendo una línea o un planodeterminados). En cada modo de vibración podemos operarvectorialmente obteniendo elementos del mismo modo de vibración(subespacio vectorial).

• Dada una determinada vibración, resulta interesante saber sipertenece a un determinado modo de vibración. Es decir, si escombinación lineal de elementos de ese modo de vibración.

• Puede ser importante obtener con algunos elementos básicos(bases), que nos permitan obtener todos los elementos de undeterminado modo de vibración a partir de ellos.


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Cambio de base

Ejemplo de motivaciónSistemas de ecuaciones lineales

• Explotación petrolera. Cuando un barco busca depósitossubmarinos de petróleo, diariamente sus ordenadores resuelvenmiles de sistemas de ecuaciones lineales por separado.

• Programación lineal. En la actualidad, muchas decisionesadministrativas importantes se toman con base en modelos deprogramación lineal que utilizan cientos de variables. (aerolíneas)

• Redes eléctricas. Los ingenieros utilizan programas para lasimulación y diseño de circuitos eléctricos y microchips. Estosprogramas utilizan los sistemas de ecuaciones lineales.

• El diseño de imágenes por ordenador, por ejemplo paravideojuegos, requiere la resolución de miles de sistemas deecuaciones lineales que representan la posición de cada pixel.


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Cambio de base

Ejemplo de motivaciónEjercicios de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales

Calcula las intensidades de corriente I1, I2 e I3 del siguientecircuito:

Prepared by: Dr. Mousa Hussein 2/22/2009

where R11, R12, . . . , Rmm and V1, V2, . . . , Vm are constants.

4. Solve the system of equations for the m loop currents I1, I2, . . . , Im using Gaussian elimination or some other method.

5. Reconstruct the branch currents from the loop currents.

Example 1:

Find the current flowing in each branch of this circuit.

Solution: The number of loop currents required is 3.

We will choose the loop currents shown to the right. In fact these loop currents are mesh currents.

Write down Kirchoff‟s Voltage Law for each loop. The result is the following system of equations:


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Cambio de base

Ejemplo de motivaciónEjercicios de aplicación de sistemas de ecuaciones lineales

Calcula el número de vehículos x1, . . . , x5 circulando enesta red de carreteras.

Prepared by: Dr. Mousa Hussein 2/22/2009

Problem 2

Find all the x‟s in the following traffic network

Solution

set up a linear system describing how many enter and exit at each intersection (A, B, C, D)

o A: 80 = x2 + x4 - x1 o B: 50 = x2 - x3 o C: 130 = x3 + x4 + x5 o D: 100 = x1 + x5


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Cambio de base

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

Una matriz (real) m × n es una tabla A = (aij)(i = 1,2, . . . ,m; j = 1,2, . . . ,n) formada por m filas y ncolumnas de números reales.

LlamamosMm×n(R) al conjunto de las matrices A = (aij)(i = 1,2, . . . ,m; j = 1,2, . . . ,n) donde los elementos aij ∈ R.

Dado un sistema de ecuaciones Ax = b, dondeA ∈Mm×n(K) y b ∈ Km, representaremos por (A|b) lamatriz ampliada obtenida añadiendo a la matriz A lacolumna formada por los elementos de b.


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Cambio de base

Ejemplos

Scanned with CamScanner


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Cambio de base

Operaciones con matrices

LlamamosMm×n(R) al conjunto de las matrices A = (aij)(i = 1,2, . . . ,m; j = 1,2, . . . ,n) donde los elementos aij ∈ R.Podemos definir las siguientes operaciones de matrices:

• Suma: A,B ∈Mm×n(R), entonces A + B = (aij + bij).• Producto de un número real por una matriz: Si

a ∈ R y A ∈Mm×n(R), entonces a · A = (a · aij).• Producto de Matrices: Si A ∈Mm×n(R) y

B ∈Mn×p(R) entonces

AB =

(n∑

k=1

aikbkj

)∈Mm×p(R)


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Cambio de base

Propiedades de las operaciones con matrices

1 A + (B + C) = (A + B) + C

2 A + 0 = 0 + A = A

3 A + (−A) = (−A) + A = 0

4 A + B = B + A

5 a · (A+B) = a ·A+ a ·B

6 (a + b) · A = a · A + b · A7 a · (b · A) = (a · b) · A8 1 · A = A

9 A(BC) = (AB)C

10 AI = IA = A

Ojo:

Para poder multiplicar dos matrices, el número de columnas de laprimera debe ser igual al número de filas de la segunda. Además,el resultado de la multiplicación tendrá tantas filas como la primeray tantas columnas como la segunda.

Ojo:

El producto de matrices no es conmutativo.


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Cambio de base

¿Cómo resolver un sistemade ecuaciones lineales?

Una idea consiste en sustituir el sistema dado por otrosistema equivalente al anterior y que sea más fácil deresolver.

Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, si tenen lasmismas soluciones.

El método de Gauss consiste en transformar la matrizampliada del sistema en una matriz escalonada por filas.

El método de Gauss-Jordan consiste en transformar lamatriz ampliada del sistema en una matriz escalonada porfilas reducida.


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Cambio de base

Matrices escalonadas por filas

Diremos que una matriz es escalonada por filas si cumple la siguientescondiciones:

• el primer elemento no nulo de cada fila tiene obligatoriamenteceros por debajo de él.

• cada cero a la izquierda del primer elemento no nulo tiene debajoceros.

0 . . . 0 k1 ∗ ∗ . . . . . . ∗0 . . . 0 . . . 0 k2 ∗ . . . . . . ∗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . . . 0 kj ∗ . . . ∗

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .0 . . . 0 . . . . . 0 . . . . 0

Diremos que una matriz es escalonada por filas reducida si esescalonada por filas y, además verifica:

• el primer elemento no nulo de cada fila es un 1.

• los elementos que están en la misma columna que el primer 1 decada fila son todos ceros.


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Cambio de base

Ejemplos

Las siguientes matrices son escalonadas por filas:1 2 1 30 −5 0 10 0 0 10 0 0 0

0 2 0 0 1 4

0 0 0 1 3 00 0 0 0 1 1

1 1 −10 1 00 0 00 0 0

Ninguna es escalonada por filas reducida.

Las siguientes matrices son escalonadas por filasreducidas:

1 0 −1 00 1 0 00 0 0 10 0 0 0

0 1 0 0 0 4

0 0 0 1 0 00 0 0 0 1 1

1 0 10 1 00 0 00 0 0


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Cambio de base

¿Cómo obtener matricesescalonadas por filas?

Transformaciones elementales

Transformaciones elementales

• Tipo I: Intercambiar dos filas.• Tipo II: Multiplicar una fila por un número distinto

de cero.• Tipo III: Sumar a una fila por otra fila multiplicada

por un número.

Definición

Dos matrices son equivalentes por filas si una de ellasse puede obtener a partir de la otra realizando transfor-maciones elementales.


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Cambio de base

Métodos de Gauss

Teorema:

Toda matriz es equivalente por filas a una matrizescalonada por filas. Además, siempre existe una ma-triz escalonada por filas reducida equivalente a ellaque, de hecho, es única.

Teorema:

Las matrices equivalentes representan sistemas equi-valentes, es decir, con las mismas soluciones.

Resumiendo:

El método de Gaus (Gauss-Jordan) consiste en encon-trar una matriz escalonda por filas (reducida) que seaequivalente por filas a la matriz ampliada del sistema.


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Cambio de base

Un método efectivo para conseguir la matrizescalonada por filas equivalente a una dada

Algoritmo:

1 En cada fila, los ceros a la izquierda del primerelemento no nulo tienen que tener ceros debajo.Si no lo tienen, hay que cambiar filas.

2 Empezando por la primera fila, con el primerelemento no nulo hacer ceros debajo de él,usando transformaciones elementales, dejando laprimera fila intacta.

3 Repetir los pasos 1 y 2 con la segunda, tercera,....filas hasta llegar a la última fila y obtener la matrizescalonada por filas.


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Cambio de base

Un método efectivo para conseguirla matriz escalonada por filas reducida

equivalente a una dadaAlgoritmo:

1 Aplicar el algoritmo anterior para conseguir lamatriz escalonada por filas.

2 Obtener en cada fila un 1 en el primer elementono nulo. Si es necesario, multiplicar la fila por elinverso del número.

3 Empezando por la primera fila, con el primer 1hacer ceros por encima de él, usandotransformaciones elementales, dejando la primerafila intacta.

4 Repetir los pasos 1 y 2 con la segunda, tercera,....filas hasta llegar a la última fila y obtener la matrizescalonada por fila reducida.


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Cambio de base

Ejemplo



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Cambio de base

Dependencia e Independencia lineal

Definición

Llamamos combinación lineal, CL, de filas (o columnas)F1,F2, . . . ,Fk de una matriz a una expresión de la forma

a1F1 + a2F2 + . . .+ akFk

donde los ai son números reales.

Definición

• Diremos que un conjunto de filas (o columnas) deuna matriz es linealmente independiente, LI, sininguna de ellas se puede expresar como CL delas restantes.

• En caso contrario, se dice que el conjunto de filas(o columnas) es linealmente dependiente, LD.


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Cambio de base

En el caso de sistemas...

Idea clave:

Si consideramos la matriz ampliada de un sistema, lasfilas LI son aquéllas que no se pueden obtener a partirde las demás haciendo transformaciones elementales.

Consecuencia:

Las filas LI de la matriz de un sistema representan lainformación relevante a la hora de resolver dicho sis-tema. El resto de filas puede ser eliminado sin afectar ala solución. Por ello, es interesante conocer el númeromáximo de filas LI de una matriz.


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Cambio de base

Rango de una matriz

Definición

Llamamos rango por filas (columnas) de una matriz al númeromáximo de filas (columnas) LI.

Teorema:

1 El rango por filas de cualquier matriz es igual a su rango porcolumnas. A dicho número le llamamos simplemente rango,r(A), de la matriz A.

2 Las matrices equivalentes tienen el mismo rango.

3 El rango de una matriz escalonada por filas es el número defilas distintas de cero.

Consecuencia:

Para calcular el rango de una matriz, haremos transformaciones el-ementales hasta conseguir una matriz escalonada por filas equiva-lente a ella. El rango de la matriz será el número de filas no nulasde la matriz escalonada por filas equivalente a ella.


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Cambio de base

Teorema de Rouché-FrobeniusTeorema:

Dado un sistema Ax = B de m ecuaciones con n incógnitas:

• Si r(A) 6= r(A|B), entonces el sistema es incompatible, esdecir, no tiene solución.

• Si r(A) = r(A|B) y, además:

I r(A) = n, el sistema es compatible determinado, CD,es decir, tiene solución única.

I r(A) < n, el sistema es compatible indeterminado, CI,es decir, tiene infinitas soluciones.

Observaciones:

• Los sistemas homogéneos Ax = 0, siempre tienen, comomínimo, la solución trivial. Tendrán soluciones distintas de latrivial si, y sólo si, son CI, es decir, si y sólo si r(A) < n.

• En los sistemas CI, la solución dependerá de parámetrosque toman valores en R. El número de parámetros se puedeobtener con la fórmula: no parám. = no incog.− r(A).


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Cambio de base

Idea de la demostración

Idea clave:

El sistema será compatible si y sólo si, la últimacolumna de la matriz ampliada es CL de las restantes.Es decir, el sistema será compatible si y sólo si, el rango(por columnas) de la matriz de los coeficientes es igualal rango de la matriz ampliada.



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Cambio de base

EjemploSistema Compatible Determinado



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Cambio de base

EjemploSistema Compatible Indeterminado

Scan

ned

with

Cam

Scan

ner


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Cambio de base

EjemploSistema Incompatible

Sc

an

ne

d w

ith

Ca

mS

ca

nn

er


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Cambio de base

Ejercicios para practicar

Estudia la compatibilidad y resuelve, cuando sea posible,los sistemas de ecuaciones siguientes utilizando losmétodos de Gauss y de Gauss-Jordan.

2x + 3y + z = 2x + z = 24x + 4y + z = 2

2x + 3y + z = 1x + 2y + 3z = 03x + 5y + 4z = 1

2x + 3y + z = 1x + 2y + 3z = 03x + 5y + 4z = −6


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Cambio de base

Ejercicios para practicar

Resuelve el sistema AX = B, para X =

(xy

), en los

casos siguientes:

• A =

(0 03 0

); B = ~0.

• A =

(0 03 0

); B =

(02

).

• A =

(0 03 0

); B =

(12

).


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Cambio de base

Inversa de una matriz

Definición:

Dada una matriz cuadrada A, llamamos inversa de A aotra matriz cuadrada del mismo tamaño A−1, queverifica AA−1 = A−1A = I, siendo I la matriz identidad.

Teorema:

Dada una matriz cuadrada A de tamaño n, lassiguientes condiciones son equivalentes:• A tiene inversa.• r(A) = n.• det(A) 6= 0.• A es equivalente por filas a la matriz identidad.


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Cambio de base

Desvelando la magia del método deGauss-Jordan para calcular la inversa

Scan

ned

with

Cam

Scan

ner

En realidad:

Al hacer transformaciones elementales, estamos mul-tiplicando por unas matrices llamadas elementalesEkEk−1 . . .E1. Por tanto:

EkEk−1 . . .E1A = I ⇒ A−1 = EkEk−1 . . .E1


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Cambio de base

Definición:

Llamamos espacio vectorial sobre un cuerpo K a unconjunto V con dos operaciones suma (+) (interna) yun producto (·) (externa) tales que:• + verifica las siguientes propiedades:

I (~u + ~v) + ~w = ~u + (~v + ~w) (Asociativa).I ~v + ~0 = ~0 + ~v = ~v (Elemento neutro).I ~v + (−~v) = (−~v) + ~v = ~0 (Elemento opuesto).I ~u + ~v = ~v + ~u (Conmutativa).

• · verifica las siguientes propiedades:I λ(~v + ~w) = λ~v + λ~w para λ ∈ K y ~v , ~w ∈ V .I (λ+ µ)~v = λ~v + µ~v para λ, µ ∈ K y ~v ∈ V .I (λµ)~v = λ(µ~v) para λ, µ ∈ K y ~v ∈ V .I 1 · ~v = ~v para ~v ∈ V (siendo 1 la unidad en K).

Representaremos por (V ,+, ·,K) al espacio vectorial yllamamos vectores a los elementos de V y escalares a loselementos de K.


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Cambio de base

Ejemplos de espacios vectoriales

• (Rn,+, ·,R) es el espacio vectorial real de dimensión n.• El conjunto (Mm×n,+, ·,R) de las matrices reales de

tamaño m × n forma un espacio vectorial de dimensiónm × n sobre R.

• El conjunto P de polinomios con coeficientes reales,entonces (P,+, ·,R) es un espacio vectorial dedimensión infinita.


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Cambio de base

Dependencia e Independencialineal de vectores

Definición

Llamamos combinación lineal, CL, de los vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vn acualquier expresión de la forma λ1~v1 + λ2~v2 + ... + λn~vn donde λi

son escalares.

Definición

• Diremos que un conjunto de vectores es linealmenteindependiente, LI, si ninguno de ellos se puede expresarcomo CL de los restantes.

• En caso contrario, se dice que el conjunto de vectores eslinealmente dependiente, LD.

Ojo:

El máximo número de vectores LI de un conjunto coincide con elrango de la matriz formada por dichos vectores.(Compara con la transparencia 19).


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Cambio de base

Teorema:

Sea V un espacio vectorial, entonces:1 Si ~v 6= ~0, entonces {~v} es LI.

2 Todo sistema de vectores que contenga el ~0 esLD.

3 Si S es un sistema de vectores LI. y S′ ⊆ S,entonces S′ es LI.

4 Si S es un sistema de vectores LD y S ⊆ S′,entonces S′ es LD.

5 Si S es un sistema de vectores LI y S ∪ {~v} es LD,entonces ~v es CL de los vectores de S.


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Cambio de base

Subespacio vectorial

Definición

Dado un espacio vectorial V , diremos W ⊆ V , W 6= ∅ es subespa-cio vectorial, SV, de V , si verifica:

• para cada ~v , ~w ∈ W se tiene ~v + ~w ∈ W .

• para cada ~v ∈ W y λ ∈ K se tiene λ~v ∈ W .

O, equivalentemente:

λ~v + µ~w ∈ W para cada λ, µ ∈ K y ~v , ~w ∈ W

Observaciones:

• En un subespacio vectorial, cualquier CL de sus vectorestiene que ser un elemento del subespacio.

• {~0} y V son subespacios vectoriales de V , llamadossubespacios triviales. El resto de subespacios se llamansubespacios propios.


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Cambio de base

Ejemplos

• Si V = R2, W = {(x , y) | y = mx}, siendo m unnúmero real, es un subespacio vectorial.

• Si V = R3, W = {(x , y , z) | ax + by + cz = 0}, siendoa,b, c números reales, es un subespacio vectorial.

• Si V = R2, W = {(x , y) | x + y = 1} no es unsubespacio vectorial.

• Si V = P es el espacio vectorial de los polinomios concoeficientes reales, entones W = Pn el conjunto depolinomios de grado menor o igual que n es unsubespacio vectorial.


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Cambio de base

Sistema generador de un subespacioTeorema:

Dado un conjunto de vectores S = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} del espacio vec-torial V , el conjunto L(S) = 〈~v1, ~v2, . . . , ~vn〉 formado por todas lascombinaciones lineales de dichos vectores forma un subespaciovectorial de V .

Definición

Se llama subespacio generado por el conjunto de vectores S alsubespacio formado por todas las combinaciones lineales de di-chos vectores. También decimos que {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es un sistemagenerador, SG, de dicho subespacio.

Ejemplo:

Si V = R4 y W = 〈(1, 2, 0, 0), (0, 3,−1, 0)〉, entonces los vectoresde W son de la forma:

(x , y , z, t) = λ(1, 2, 0, 0)+µ(0, 3,−1, 0), donde λ y µ son escalares.

obteniéndose la ecuación vectorial del subespacio W .


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Cambio de base

Base de un subespacio vectorial

Definición

Llamamos base de un subespacio vectorial W a un conjunto devectores B de W que es:

• linealmente independiente

• sistema generador de W

Ejemplos:

1 El conjunto de vectores

{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}

es una base de R3, a la que llamamos base canónica de R3.

2 En el subespacio de R4 siguiente

W = 〈(1, 2, 4, 3), (−2,−1, 1, 0), (3, 3, 3, 3)〉

una base de W estaría formada por cualesquiera dosvectores del sistema generador.


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Cambio de base

Coordenadas y dimensión

Teorema:

Todas las bases de un subespacio tienen el mismo número de vec-tores, llamado dimensión del subespacio.

Convenio:

Aceptamos que el subespacio trivial {~0} tiene dimensión 0.

Teorema:

Si B = {~v1, ~v2, . . . , ~vn} es una base de un subespacio vectorial,cada vector ~v del subespacio se puede expresar de forma únicacomo combinación lineal de los vectores de B.

~v = λ1~v1 + λ2~v2 + · · ·+ λn~vn

y se dice que (λ1, λ2, . . . , λn) son las coordenadas del vector ~v res-pecto de la base B.


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Cambio de base

Ecuaciones cartesianasde un subespacio vectorial

Las ecuaciones cartesianas de un subespacio vectorial forman unsistema de ecuaciones lineal y homogéneo que representan lascondiciones que tienen que verificar las coordenadas del vectorpara pertenecer al subespacio.

Ejemplo.

Las ecuaciones cartesianas del subespacio W de R4 son:

x + y + 2t − z = 0z − y − t = 0

}Esto significa que, por ejemplo, el vector (0, 2, 2, 0) pertenece a W ,ya que verifica las ecuaciones. Sin embargo, el vector (0, 0, 5,−2)no pertenece al subespacio.


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Cambio de base

Del SG a las paramétricas


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Cambio de base

De las cartesianas a las paramétricasEjemplo.

Las ecuaciones cartesianas del subespacio W de R4 son:

x + y + 2t − z = 0z − y − t = 0

}

Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos que:

x = −βy = α− βz = αt = β

que son las ecuaciones paramétricas de W . De ahí obtenemos laecuación vectorial: (x , y , z, t) = α(0, 1, 1, 0) + β(−1,−1, 0, 1), esdecir, que {(−1,−1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} es un SG de W .Además como el rango de la matriz formada por{(−1,−1, 0, 1), (0, 1, 1, 0)} es 2, tenemos que el conjunto esLI y SG, y por tanto una base de W . Como la base de W tiene 2elementos, se verifica dim W = 2.


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Cambio de base

De las paramétricas a las cartesianas

Dado el subespacio W de R4:

x = αy = 2α+ 3βz = −βt = 0


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Cambio de base

Intersección de subespacios

Definición

Dados dos subespacios V1 y V2 de V , se define su intersecciónV1 ∩ V2 como sigue:

V1 ∩ V2 = {~v ∈ V | ~v ∈ V1 y ~v ∈ V2}

que es también un subespacio vectorial de V .

Idea:

Una forma de calcular las ecuaciones cartesianas de la intersec-ción de dos subespacios es unir las ecuaciones cartesianas decada uno de ellos.


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Cambio de base

Suma de subespaciosDefinición

Dados dos subespacios V1 y V2 de V , se define su suma:

V1 + V2 = {~v1 + ~v2 | ~v1 ∈ V1 y ~v2 ∈ V2}

que es un el menor subespacio vectorial que contiene a V1 ∪ V2.Si V1 ∩ V2 = {~0}, a la suma de subespacios la llamamos sumadirecta y se representa por V1 ⊕ V2.

Ideas:

• La unión de subespacios no es subespacio vectorial.

• Una forma de calcular un sistema generador del subespaciosuma es unir los sistemas generadores de cada uno de lossubespacios.

Teorema:

Dados dos subespacios V1 y V2 de V , se tiene que:

dim (V1 + V2) = dim V1 + dim V2 − dim (V1 ∩ V2)


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Cambio de base

Cambio de base en R2

Si B1 = {~v1, ~v2} y B2 = {~w1, ~w2} son bases de R2, dado cualquier vector~v ∈ R2 sus coordenadas respecto de cada una de las bases serán:

~v = λ1~v1 + λ2~v2 (1)~v = µ1~w1 + µ2~w2 (2)

Para encontrar la relación entre ambas coordenadas, calculamos lascoordenadas de los vectores de B1 respecto de B2:

~v1 = a11~w1 + a21~w2~v2 = a12~w1 + a22~w2

Sustituyendo ~v1 y ~v2 en la ecuación (1) y operando:

~v = λ1(a11~w1 + a21~w2) + λ2(a12~w1 + a22~w2)~v = (λ1a11 + λ2a12)~w1 + (λ1a21 + λ2a22)~w2 (3)

Igualando (2) y (3) y utilizando que las coordenadas de un vectorrespecto de una base son únicas:(

a11 a12

a21 a22

)(λ1

λ2

)=

(µ1

µ2

)donde la matriz cuadrada e inversible P se denomina matriz del cambiode base de B1 a B2 y nos permite obtener las coordenadas de cualquiervector respecto de B2 conociendo sus coordenadas respecto de B1.


Tema 1Espacios


lineales

E. MuñozVelasco




Métodos de Gauss







Cambio de base

Ejemplo



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