1. Analizar el concepto de Vectores, y de 2 (dos) ejemplos. (10 pts)

Un Vector se trata de una magnitud, lo cual se puede interpretar como las diversas propiedades o valores asociados a una expresión mediante un número o una unidad como resultado arrojado de una medición o relación medidas, esto se encuentra definido en un sistema de referencia, el cual se identifica por contener módulo (longitud) y una dirección (orientación). La fuerza, la velocidad, la aceleración y una línea recta que van de la terminal positiva a la negativa de un acumulador son ejemplos de vectores.

2. Analizar y de 2 (dos) ejemplo de Suma, resta, multiplicación por escalares de los vectores. (15Pts)

La suma vectorial sigue la ley del paralelogramo, y ésta es fácil de realizar en forma gráfica, aunque resulta imprecisa. La regla para la sustracción de vectores se define fácilmente con respecto a la suma, dado que siempre se puede expresar A − B como A + (−B); el signo y la dirección del segundo vector se invierten, y entonces este vector se suma al primero siguiendo la regla de la adición vectorial.

Los vectores pueden multiplicarse por escalares. Cuando el escalar es positivo, la magnitud del vector cambia pero no su dirección. Sin embargo, la

dirección se invierte al multiplicarla por un escalar negativo. La multiplicación de un vector por un escalar también tiene las propiedades asociativa y distributiva del álgebra.

Ejemplo de suma:   Sumar el siguiente sistema de vectores a y b y obtener la resultante gráfica y analítica.

  Vector a módulo de 5 Vector b módulo de 3

 La solución Gráfica sería:

  Descomponemos los vectores:

 ax = a x coseno 30 = 5 x 0.86 = 4,33

   ay = a x seno 30 = 5 x 0,5 = 2,5 bx = 3; solo tiene componente X, no tiene Y.

  El vector suma será s = (ax + bx) (ay + by) = (4,33 + 3) (2,5 + 0) = (7.33, 2,5) También podríamos verlo expresado de esta forma s = 7,33j + 2,5i

Ejemplo de resta:

a) Tenemos las coordenadas del vector A que son (– 3, 4) y la del vector B que son (4,2). ¿Cuál será el vector resta de los dos?

   El vector AB = (-3 - 2) (4 - 2) = (-5, 2)  Hemos obtenido las coordenadas del vector suma de los dos anteriores el A y el B. AB = (-5, 2)

b) Supongamos que deseamos realizar la siguiente resta: AB – DE, siendo AB (-3, 4) y DE (5, -2) de acuerdo a la posición de los vectores en el plano cartesiano. Teniendo en cuenta lo dicho sobre la suma del opuesto, deberíamos plantear la operación de este modo:

(-3, 4) – (5, -2) (-3-5, 4+2) (-8, 6)

Como se puede apreciar, a -3 le sumamos el opuesto de 5 (es decir, -5), mientras que a 4 le sumamos el opuesto de -2 (o sea, 2). Así, el resultado de esta resta de vectores es (-8, 6).

Ejemplo de multiplicación

3. Analizar y ejemplifique con 2 (dos) ejemplos, que son los Sistemas de Coordenadas rectangulares. (15 pts)

Para describir con precisión un vector deben darse algunas longitudes específicas, direcciones, ángulos, proyecciones o componentes. Existen tres métodos sencillos para hacer esto, y cerca de otros ocho o diez métodos que resultan útiles en casos muy especiales. Se utilizarán únicamente los tres métodos sencillos, y el más sencillo de éstos es el del sistema de coordenadas cartesianas o rectangulares. En el sistema de coordenadas cartesianas se utilizan tres ejes coordenados perpendiculares entre sí, llamados eje x, y y z. Se acostumbra elegir un sistema de coordenadas de mano derecha en el cual una rotación (que describe un pequeño ángulo) del eje x hacia el eje y causaría que un tornillo derecho

avanzara en la dirección del eje z. Los dedos de la mano derecha, pulgar, índice y medio, pueden entonces identificar los ejes x, y y z, respectivamente.

Ejemplos:

4. Analizar que son Vectores Unitarios y dé 2 (dos) ejemplos. (15 pts)

Para describir un vector en un sistema de coordenadas cartesianas se considera primero un vector r que se extiende alejándose del origen. Una manera lógica de identificar este vector es proporcionar los tres componentes vectoriales, que se encuentran a lo largo de los tres ejes coordenados y cuya suma vectorial debe ser igual al vector dado. Si las componentes vectoriales de un vector r son x, y y z, entonces r = x + y + z. En otras palabras, las componentes vectoriales tienen una magnitud que depende del vector dado (tal como el r citado antes), pero cada una tiene una dirección constante conocida. Esto sugiere el uso de vectores unitarios, los cuales tienen magnitud unitaria por definición y se orientan a lo largo de los ejes coordenados en la dirección en la que crecen los valores de las coordenadas. Se reservará el símbolo a para un vector unitario y se identifica su dirección con un subíndice apropiado. Entonces ax ay y az son los vectores unitarios en el sistema de coordenadas cartesianas. Son dirigidos a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente

Ejemplo:

Especificar el vector unitario dirigido desde el origen hacia el punto G(2, −2, −1).

Solución. Como primer paso se construye un vector que se extienda desde el origen hasta el punto G, G = 2ax − 2ay – az

Entonces se encuentra la magnitud de G,

|G| = (2)2 + (−2)2 + (−1)2 = 3

Y, por último, se expresa el vector unitario deseado como el cociente,

aG = G|G|= 2/3 ax – 23 ay – 1/3 az = 0.667ax − 0.667ay − 0.333az

Es deseable escoger un símbolo que identifique un vector unitario de modo que su carácter sea inmediatamente captado. Los símbolos que se han utilizado son uB, aB, 1B, o incluso b. Se usará consistentemente la letra minúscula a con un subíndice apropiado.

Ejemplo:

¿Es unitario el vector   ? ¿Por qué?

Respuesta: Sí, porque su módulo vale 1

Solución

5. Explicar que es campo vectorial y de 2 (dos) ejemplos. (10 pts)

Se ha definido ya el campo vectorial como una función vectorial de un vector posición. En general, la magnitud y dirección de la función cambiarán conforme se esté moviendo a través de la región, y el valor de la función vectorial debe determinarse a partir de los valores de las coordenadas del punto en cuestión. Puesto que se ha considerado solamente un sistema de coordenadas cartesianas, se espera que el vector sea una función de las variables x, y y z.

Si se presenta nuevamente el vector posición como r, entonces el campo vectorial G se puede expresar en notación funcional como G(r); un campo escalar T se escribe T(r).

Ejemplos:

a) Con la finalidad de ilustrar estas definiciones y operaciones, considérese el campo vectorial

G = yax − 2.5xay + 3az

Y el punto Q(4, 5, 2). Se desea encontrar: G en Q; la componente escalar de G en Q en la dirección de aN= (2ax+ ay− 2az); la componente vectorial de G en Q en la dirección de aN; y, por último, el ángulo θGa entre G(rQ) y aN.Solución. Sustituyendo las coordenadas del punto Q en la expresión de G, se tiene

G(rQ) = 5ax − 10ay + 3az

Posteriormente se encuentra la componente escalar. Utilizando el producto punto se tiene

G· aN = (5ax − 10ay + 3az ) ・ 13 (2ax + ay − 2az ) = 13 (10 − 10 − 6) = −2

La componente vectorial se obtiene multiplicando la componente escalar por el vector unitario en la dirección aN,

(G· aN )aN = −(2)13 (2ax + ay − 2az ) = −1.333ax − 0.667ay + 1.333az

El ángulo entre G (rQ) y aN se obtiene de

G· aN = |G| cos θGa

−2 =√25 + 100 + 9 cos θGaθGa = cos−1−2 √134= 99.9◦

Ejemplo:

Determine el campo vectorial gradiente de la función f (x, y) =(x− y )2

Solución.

El gradiente, o el campo vectorial gradiente de la función f, viene dado por

∇F(x, y) = ( ∂ f∂ x , ∂ f∂ y ) = (2(x- y), -2(x – y))

Al representar este campo vectorial en R2, utilizando un sistema algebraico computarizado se obtiene la representación gráfica mostrada en la Figura.

6. Explique que es el Producto Punto y de 2 (dos) Ejemplos. (10pts)

Aquí se considera el primero de dos tipos de multiplicación vectorial. El segundo tipo se estudiará en la sección siguiente. Dados dos vectores A y B, el producto punto o producto escalar, se define como el producto de la magnitud de A, la magnitud de B y el coseno del ángulo entre ellos. El punto que aparece entre los dos vectores debe remarcarse para hacer hincapié en él. El producto escalar o producto punto, que es un escalar, como lo implica uno de sus nombres, obedece a la ley conmutativa puesto que el signo del ángulo no afecta el término del coseno. La expresión A · B se lee“A punto B”.

Ejemplo:

Hallar el producto punto de dos vectores cuyas coordenadas en una base ortonormal son: (1, 1/2, 3) y (4, −4, 1).

(1, 1/2, 3) · (4, −4, 1) = 1 · 4 + (1/2) · (−4) + 3 · 1 = 4 −2 + 3 = 5

Expresión analítica del módulo de un vector

Hallar el valor del módulo de un vector de coordenadas  = (−3, 2, 5) en una base ortonormal.

Expresión analítica del ángulo de dos vectores

Determinar el ángulo que forman los vectores  = (1, 2, −3) y  = (−2, 4, 1).

Ejemplo;

 Calcular el producto punto de los siguientes vectores, así como su magnitud y dirección.

U = (3,7)

V = (6,3)

U.V = 3.6 + 7.3 = 18 + 21 = 39|U.V| = √39^2=39Para la dirección usaremos ambas maneras para que vean que con las dos se puede llegar al mismo resultado

1) Hay que primero calcular las magnitudes de U y V que son:

|U| = √3^2 + 7^2 = √58

|V| = √6^2 + 3^2 = √45

Θ = Cos^-1 [39/ √58 .√45 = 40.23

2) Para la segunda manera hay que sacar alfa y beta y restarle a beta alfa. Tenemos:

β = Tan^-1 (7/3) = 66.8

∝ = Tan ^-1 (3/6) = 26.56

Θ = 66.8 – 26.56 = 40.23Y como se aprecia ambos resultados son iguales.

7. Explique que es Producto Vectorial Cruz y de 2 (dos) Ejemplos. (10pts)

Dados dos vectores A y B, se define el producto cruz o producto vectorial de A y B, que se indica por medio de una cruz entre estos vectores como A × B y se lee “A cruz B”. El producto cruz A × B es un vector; la magnitud de A × B es igual al producto de las magnitudes de A, B y el seno del ángulo más pequeño entre A y B; la dirección de A × B es perpendicular al plano que contiene a A y a B, y de las dos posibles perpendiculares, está a lo largo de aquella que apunta en la dirección en la que avanzaría un tornillo derecho si A se girara hacia B.

Ejemplo:

Calcular el producto cruz de los siguientes vectores:

U = 2i +3j + k

V = i + j + 2k

UxV = Det [i j k]   i j

[2 3 1] 2 3

[1 1 2] 1 1

Multiplicando y sumando las diagonales principales y restando le la multiplicación y suma de las otras diagonales Tenemos:  6i + j + 2k – (3k + i + 4j) = 5i – 3j – kEl producto cruz es 5i – 3j – kSu magnitud sería: |UXV|=√(5^2 + -3^2 + -1^2)=√35Su area: √35 u^2Su dirección: Para esta primero hay que sacar las magnitudes de los vectores

|U| = √6

|V| = √14

Θ = Sen ^-1 [√35 / √6.√14] = 40.20Simple y sencillo todo el método.

Ejemplo;

Calcular el  producto cruz  de los vectores   = (1, 2, 3)

y   = (−1, 1, 2).

Dados los vectores   y  , hallar

el producto cruz  de dichos vectores. Comprobar que el

vector hallado es ortogonal  a   y  .

El producto vectorial de   es ortogonal a los

vectores   y  .