1

M.R.U.A. Y

Caída Libre

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)

Un avión, cuando despega, va aumentando su velocidad. Tiene aceleración positiva. Cuando aterriza disminuye su velocidad hasta pararse. Tiene aceleración negativa.

Un M.R.U.A. tiene aceleración constante y su Trayectoria es una línea recta.

t

vva 0

Ecuaciones del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado:

tavv f 02

002

1tatvss savv f 22

0

2

Consideraremos + cuando la aceleración sea positiva y – cuando sea negativa (decelere o frene)

2

GRÁFICAS DEL M.R.U.A.

Gráfica e-t de un MRUA. Se obtiene una Parábola.

Gráfica v-t de un MRUA. Con velocidad inicial V0,, y sin velocidad inicial.

Gráfica a-t de un MRUA.

3

NINGÚN MOVIMIENTO

PUEDE PARTIR DEL REPOSO

SIN ACELERACIÓN

4

Problemas

Movimiento

Rectilíneo

Uniforme

5

MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE ACELERADO (M.R.U.A.)

Problema nº3.- Calcula la aceleración de una moto que pasa de 0 a 100 km/h. en 7 s. ¿Qué espacio ha recorrido mientras aceleraba?

tavv f 02

00 ta2

1tvss sa2vv 2

0

2

f

Lo primero que debéis tener en cuenta es el tipo de movimiento (en este caso M.R.U.A.) y las fórmulas que le corresponden

Es recomendable mientras realizáis los ejercicios en clase o casa tener las fórmulas de los movimientos en una hoja aparte (os ayudará a recordarlas)

6

Solución: Datos que tenemos:

.7

8,27777,271

10003600

1100

0

st

sm

kmm

sh

hkmv

smv

final

o

20

0 497,37

08,27

sm

t

vvatavv f

.98742

1700

2

1 22

00 mtatvss

.989742

08,27

22

222222 m

a

vvssavv o

of

Aplicamos las fórmulas

O también

7

Problema nº 4.- Un automóvil que circula a una velocidad de 80 km/h. Encuentra un obstáculo situado a 50 m. de distancia. ¿Cuál ha de ser la aceleración mínima y constante, necesaria para detener el coche antes de llegar al obstáculo?.

tavv f 0

2

002

1tatvss

savv of 222

De las fórmulas que tenemos, solamente podremos utilizar aquella en la que tengamos una única incógnita

Solución: Datos que tenemos:

.50

222222,221

10003600

180

0

0

ms

sm

kmm

sh

hkmv

smv final

8

No tenemos ni la aceleración ni el tiempo, por lo que vamos a utilizar la siguiente fórmula

5022202 2222 asavv of

¡OJO!, EL SIGNO NEGATIVO SIGNIFICA QUE EL COCHE DECELERA O FRENA

2

22

2222

84,4502

022

022502502220

sma

aa

Ahora podemos utilizar otra fórmula, ya que tenemos la aceleración que acabamos de calcular.

.6,4586,484,4

02,2200 s

a

vvttavv f

9

Problemas

Movimientos

Combinados

10

Problema nº 5.- Un tren de Metro arranca con una aceleración de 80 cm/s2. Al cabo de 50

segundos el conductor corta la corriente y el tren continúa moviéndose con velocidad constante.

•¿Cuál es esta velocidad?

•¿Qué espacio recorrió el tren en esos 50 segundos?

•¿Qué tiempo transcurrió hasta que el tren llega a otra estación distante de la primera 2500m?

PRIMERO, Y LO MÁS IMPORTANTE, es distinguir los tipos de movimiento en cada momento.

Un tren de Metro arranca… NOS DICE QUE PARTE DEL REPOSO Y POR LO TANTO NO PUEDE SER MÁS QUE UN M.R.U.A. POR DEFINICIÓN.

…y el tren continúa moviéndose con velocidad constante. NOS INDICA CLARAMENTE QUE ES UN MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME

TENEMOS DEFINIDO EL PROBLEMA, el tren parte del reposo con M.R.U.A. hasta alcanzar una velocidad que hemos de calcular. A continuación mantiene dicha velocidad constante en M.R.U. hasta llegar a la siguiente estación.

11

Calculamos los distintos movimientos por separado, primero el M.R.U.A.

Solución: (M.R.U.A.) Datos que tenemos:

.0

8,0.100

180

.50

?

0

0

22

0

ms

s

mcm

ms

cma

st

v

smv

acelerado

final

¡¡¡¡IMPORTANTE!!!! UNIDADES EN EL SISTEMA

INTERNACIONAL

Comenzamos smvtavv ff 40508,000

.1000508,02

15000

2

1 22

00 mtatvss

Hemos calculado la velocidad final en el M.R.U.A. y el espacio que recorrió mientras aceleraba. Por lo tanto, no le quedan los 2500 m. hasta la estación sino la diferencia.

12

Solución: (M.R.U.) Datos que tenemos:

.2500

.1000

?

40

0

._

ms

ms

t

smv

final

ctevelocidad

Consideramos que el espacio inicial es el que ha recorrido mientras ACELERABA.

Entonces

.5,3740

10002500st

40t10002500tvs

0final

0final

sv

s

s

.5,875,3750._ sttt ctevelocidadaceleradoTOTAL

13

Problema nº 6.- Un conductor ve un objeto en la carretera y debe detener el coche (circulando a 130 km/h.) para no impactar contra el. Calcula la distancia mínima a la que debe estar dicho objeto para que no se produzca el impacto sabiendo que el conductor tarda 0,4 s. en reaccionar desde que ve el objeto hasta que acciona el freno y la deceleración del coche es de 3,7.

CONSIDERACIONES PREVIAS, desde que el conductor ve el objeto hasta que acciona el freno, el vehículo circula a velocidad constante. M.R.U., es decir, tenemos dos movimientos, uno M.R.U. y otro M.R.U.A. (decelerado).

M.R.U.

0m.s

0,4s.t

sm36,1

3600s.

1h.

1km

1000mh

km130v

0

acelerado

14,44m.0,436,10stvss 0o_frenamientras_n

Mientras el conductor no acciona el freno ha recorrido 14,44 m. en M.R.U. 14

M.R.U.A.

14,4m.s

s

m3,7a

?t

sm0v

sm36,1v

0

2

acelerado

final

0

9,8s.3,7

36,1

a

vvttavv f

0f

00

Entonces el espacio mínimo será…

109,5m.9,83,72

19,836,114,4ta

2

1tvss 22

00

15

MOVIMIENTO VERTICAL o CAÍDA LIBRE

El movimiento vertical es un caso particular de M.R.U.A.

La aceleración a la que están sometidos los cuerpos con este movimiento es la de la gravedad, cuyo valor es aproximadamente g = 9,81 m/s2

Las ecuaciones del movimiento son las siguientes:

tgvv f 02

002

1tgtvhh

v0 y h0 son, respectivamente, la velocidad y la altura iniciales.

Si el cuerpo sube, la aceleración se opone al movimiento y se toma su valor con signo negativo.

Si el cuerpo baja, la aceleración tiene el sentido del movimiento y se toma su valor con signo positivo.

16

Problemas

Caída Libre

17

Problema nº7.- ¿Cuál es la velocidad con la que llega al suelo un cuerpo que se ha dejado caer

libremente desde una altura de 100 m.? ¿Qué tiempo empleó en la caída?.

100m.h

sm9,81g

?t

?.v

sm0v

2

acelerado

final

0

smtgvv

4,5s.9,81

2100tt9,81

2

1t00100

tg2

1tvhh

final

2

2

00

1,445,481,900

4,5s.9,81

044,3

g

vvttgvv

sm44,31009,8120vhg2vv

0f0f

2

f

2

0

2

f

O también se puede hacer así…

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer

18

Problema nº8.-¿Qué velocidad inicial hay que comunicar a una piedra para que, lanzándola

verticalmente hacia arriba, alcance una altura máxima de 20 m.? ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar

dicha altura?

m.h

sm9,81g

?t

?.v

sm0v

2

dodesacelera

final

20

0

2s.9,81

019,8

g

vvttgvv

sm19,8209,8120v

hg2vvhg2vv

f00f

2

0

2

f

2

0

2

0

2

f

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer

19

Problema nº 9.- Desde lo alto de un rascacielos de 300 m de altura se lanza verticalmente hacia

abajo una piedra con una velocidad inicial de 10 m/s. ¿Con qué velocidad llega al suelo? ¿Cuánto tiempo

tarda en caer?.

300m.h

sm9,81g

?t

sm10v

sm0v

2

0

final

6,9s.9,81

1077,4

g

vvttgvv

sm77,43009,81210vhg2vv

0f0f

2

f

2

0

2

f

Consideramos h inicial 0 porque no tiene movimiento anterior, y tenemos la h final porque sabemos lo que va a recorrer

20

Problema nº 10.- Se lanza verticalmente y hacia arriba un objeto que a los 7 s. tiene una rapidez de

50 m/s. Calcular la velocidad de lanzamiento y el tiempo que tarda en subir y bajar.

2

final

s

sm9,81g

v

smv

smv

?

0

50

0

.7 Con la velocidad a los 7 segundos calculamos la velocidad inicial que desconocemos

Una vez que tenemos la velocidad inicial, calculamos el tiempo que tarda en detenerse que será el tiempo en llegar al punto máximo.

smtgvvtgvv s0s 7,118781,950707

12,1s.9,81

0118,7

g

vvttgvv f0

0f

EN CAIDA LIBRE, UN OBJETO QUE ES LANZADO CARA ARRIBA TARDA LO MISMO EN ALCANZAR EL PUNTO DE ALTURA MÁXIMA COMO EN CAER DE ESTE AL PUNTO DE ORIGEN, POR LO TANTO…

24,2s.12,12t2t h_máximatotal

21

Problema nº 11.- Un cohete se dispara verticalmente hacia arriba, y asciende con una aceleración

de 2 m/s2 durante 1,2 min. En ese instante se agota el combustible y sigue subiendo como partícula

libre. Calcular cual es el tiempo transcurrido desde que despegó hasta caer al suelo.

Lo primero que tenemos que darnos cuenta es que tenemos 3 movimientos distintos y todos ellos M.R.U.A.

El PRIMER MOVIMIENTO es un movimiento acelerado, con aceleración positiva de 2 m/s2 Datos:

0m.h

s

m2a

s.mint

?.v

sm0v

0

2

acelerado

final

0

722,1

22

Calculamos la altura a la que llegó y la velocidad en el instante que se agota el combustible.

smtavv

m.22

100hta

2

1tvhh

final

22

00

1447220

51847272

0

El SEGUNDO MOVIMIENTO es decelerado, ya que el cohete se mueve como partícula libre y sigue ascendiendo después de que se agote el combustible hasta que la gravedad g=9,81 m/s2 lo acaba frenando.

6240,9m.9,812

114,71445184h

tg2

1tvhh

14,7s.9,81

0144

g

vvttgvv

2

00

final00final

27,14m.h

smg

t

.s

mv

smv

0

gravedad

decelerado

final

0

5184

81,9

?

0

144

2

23

El TERCER MOVIMIENTO es M.R.U.A. con aceleración positiva, es lógico, el cohete una vez que se le ha terminado el combustible asciende por la velocidad que tiene en ese momento. Pero esta se ve reducida por el efecto de la gravedad que acaba anulando. Tenemos el cohete en el punto más alto y parado (un instante). TODO CUERPO QUE SUBE TIENE QUE BAJAR, y como tal el cohete cae desde esa altura por efecto de la gravedad.

0m.h

6240,9m.h

sm9,81g

?t

?.v

sm0v

0

2gravedad

n_gravedadaceleracio

final

0

35,7s.9,81

26240,9tt9,81

2

1t006240,9

tg2

1tvhh

2

2

00

NOTA: LA ALTURA INICIAL ES CERO PORQUE CARA ABAJO EL COHETE NO SE HA DESPLAZADO NADA Y LA ALTURA FINAL QUE CAE, COMO ES LÓGICO, ES LA MISMA A LA QUE SE HA ELEVADO.

EL TIEMPO TOTAL DEL MOVIMIENTO SERÁ LA SUMA DE LOS 3 MOVIMIENTOS

122,4s.35,714,772ttttmovimiento3to2ºmovimienmovimiento1total erer

24

Problema nº 12.- Se deja caer una pelota desde la cornisa de un edificio y tarda 0,3 segundos en

pasar por delante de una ventana de 2,5 metros de alto. ¿A qué distancia de la cornisa se encuentra

el marco superior de la ventana? Este problema, aunque en principio parece fácil, tenemos que suponer varias cosas que complican su resolución

Solución: Antes de nada vamos a ver los datos que tenemos

2

ventana

ventana

81,9

.5,2

.3,0

?

?

smga

mh

st

v

v

final

o

LA CLAVE DEL PROBLEMA E MODIFICAR EL PUNTO DE REFERENCIA.

2,5

m.

?

Para empezar SITUAMOS EL PUNTO DE REFERENCIA EN LA VENTANA, donde sabemos el espacio que recorre y el tiempo que le lleva. Como es caída libre utilizaremos g.

25

CONSIDERACIONES PREVIAS.- Antes de llegar al marco superior recorrió una distancia, le llamaremos h inicial que no sabemos. Tampoco sabemos la h final que recorrerá, pero si sabemos…

.5,20 mhh Es decir, si al espacio final (hasta el marco inferior de la ventana), le quitamos el espacio que va desde la cornisa al marco superior (espacio inicial) me queda la altura de la ventana. Entonces…

smvvv

tgtvhhtgtvhh

87,63,0

44,05,244,03,05,23,081,9

2

13,05,2

2

1

2

1

00

2

0

2

00

2

00

Hemos calculado la velocidad con la que llega la pelota al marco superior de la venta a la que hemos llamado velocidad inicial puesto que solamente nos centramos en el paso por delante de la ventana.

26

CAMBIAMOS SISTEMA DE REFERENCIA: Ahora nos centramos en el espacio que hay desde la cornisa hasta el marco superior de la ventana. Consideramos que parte de 0 en la cornisa (velocidad inicial) y que la velocidad con la que llega al marco superior de la ventana es la velocidad con la que inicio el movimiento anterior como es lógico, pero ahora pasa a ser la VELOCIDAD FINAL.

.4,2281,9

87,681,92087,62

2222

0

2 mhhhgvv f

Sabemos la velocidad en el marco superior de la ventana, como el espacio anterior también fue en caída libre, consideramos ahora esta velocidad inicial como la velocidad final del movimiento anterior que parte desde la cornisa con velocidad 0 hasta el marco superior de la ventana, a donde llega con la velocidad que hemos calculado.

27

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