movimiento relativo de la tierra sistema de referencia no inercial

Movimiento relativo de la Tierra

Sistema de referencia no inercial

Depto. Física - USACH/mrm

Ecuaciones de MovimientoEcuaciones de Movimiento

Las ecuaciones de Newton para un sistema de Las ecuaciones de Newton para un sistema de partículas deben ser formuladas respecto a un partículas deben ser formuladas respecto a un sistema inercial de referencia. De ser necesario sistema inercial de referencia. De ser necesario utilizar un sistema no inercial, ya sea porque esté utilizar un sistema no inercial, ya sea porque esté acelerado o tenga rotaciones respecto al inercial.acelerado o tenga rotaciones respecto al inercial.

Podemos establecer las relaciones entre el Podemos establecer las relaciones entre el movimiento absoluto, respecto al sistema inercial, y movimiento absoluto, respecto al sistema inercial, y el movimiento relativo respecto al sistema no el movimiento relativo respecto al sistema no inercial en uso, como se explica a continuación. inercial en uso, como se explica a continuación.


Respecto a la figura (1): se indica el vector posición absoluto y se indica el vector posición relativo de una de las partículas del sistema, tenemos que:

Para relacionar velocidades y aceleraciones, debemos considerar que la velocidad relativa y

Ar r r '


aceleración relativas son las derivadas del vector posición relativo con vectores unitarios considerados constantes, entonces si:

ˆ ˆ ˆr ' x'x' y 'y ' z 'z '

la velocidad y aceleración relativas son:


2 2 2rel

2 2 2

d x' d y ' d z 'ˆ ˆ ˆa x' y ' z '

dt dt dt

rel dx' dy ' dz 'ˆ ˆ ˆv x' y ' z '

dt dt dt


Fig. (1): SISTEMA DE REFERENCIA NO INERCIAL


La existencia del denominado vector velocidad angular del sistema móvil, será justificada en el capítulo sobre rotaciones de cualquier texto de Mecánica, por ahora bastará aceptar que las derivadas de los vectores unitarios móviles están dadas por el respectivo vector unitario, de modo que se puede obtener:

relAv v r ' v


y rel rel

Aa a r ' 2 v r ' a

d

dt

• Aquí representa la aceleración angular o sea la derivada respecto al tiempo de la velocidad angular. En esta expresión los términos:

Esta expresión es conocida como teorema de Coriolis

En esta expresión los términos:En esta expresión los términos:

es conocido como la aceleración de Coriolises conocido como la aceleración de Coriolis

rel2 v


y Aa r ' r '

Considerando lo anterior, la Segunda Ley de Newton en el sistema no inercial de referencia tiene la

expresión:

Ec.(1)

es conocido como la aceleración de arrastreaceleración de arrastre de la partícula .

rel relAma F m a r ' 2 v r '


que puede interpretarse diciendo que la partícula obedece la segunda Ley en un sistema no inercial, pero a la fuerza real hay que agregarle fuerzas ficticias dadas por:

arrastreAF a r ' r '

coriolis relF 2 v


MOVIMIENTO RELATIVO A LA TIERRAMOVIMIENTO RELATIVO A LA TIERRA

Un ejemplo bastante cotidiano de sistema no inercial de referencia lo constituye la Tierra. Su no inercialidad se debe principalmente a la rotación terrestre respecto a su eje, que es muy aproximadamente constante y equiva lente a una vuelta completa en 24 horas. Su valor en consecuencia es bastante pequeño:

5 127,2722 10 s

24 3600


Ello justifica la denominada aproximación,

donde se desprecian los términos en . Si consideramos como modelo de la Tierra,como

perfectamente esférica de masa M y radio R,

Podemos elegir como sistema no inercial, un sistema fijo en la tierra con origen en la superficie terrestre en una latitud que denominaremos λ.

El eje z se elige vertical -no necesariamente radial . El eje x perpendicular a z dirigido hacia el Sur. el eje y perpendicular a los anteriores, o sea hacia el

Este, como se indica en la figura (2).

2 0 2


Fig. (2). Sistema de referencia fijo a la TierraFig. (2). Sistema de referencia fijo a la Tierra

La desviación entre la vertical del lugar y la dirección radial ε está exagerada en la figura. Su estimación la veremos luego.


.. Vertical y aceleración de gravedad del lugar

Un primer efecto de la no inercialidad del sistema de referencia terrestre es que:

la vertical del lugar se desvía de la dirección radial terrestre y que,

la aceleración de gravedad depende de la latitud.

En efecto, la definición de peso y de vertical se hacen de acuerdo a una plomada de masa m en situación estacionaria en la Tierra.


Así la vertical es la dirección de la plomada y el Así la vertical es la dirección de la plomada y el peso es de magnitud definida como la tensión en peso es de magnitud definida como la tensión en

el hilo de la plomada.el hilo de la plomada.

Para esa situación estacionaria, la aceleración y velocidad relativas son cero, por lo tanto una aplicación de la Ec.(1) a esta situación, implica:

A2

Mmˆ0 T G r ma

r


donde se ha considerado que además de la fuerza gravitacional actúa la tensión del hilo, la velocidad angular es constante y

De acuerdo a lo explicado:

la dirección de es el eje z y su magnitud se define como mg, el peso del cuerpo.

y gg la aceleración local de gravedad.Entonces tenemos que:

r ' 0

T

A2

Mmˆˆmgz G r ma

R


Además la aceleración del origen A está dada por:

2A o o o

ˆ ˆˆ ˆ ˆa z z rR R z sen r

Tomando el módulo de la Ec.2, tenemos:

2

2 2 2 4 22 2

GM 2GMg R cos R cos

R R

2

2 2 2 22

GM 2GMg R cos

R R

Depto. Física - USACH/mrm18

Que se reduce en el Polo a:Que se reduce en el Polo a:

y en el Ecuador a:y en el Ecuador a:

p 2

GMg

R

2e 2

GMg R

R

La razón entre la aceleración centrípeta en el ecuadorestá dada por:2R

y la aceleración de gravedad en el Polo, y la aceleración de gravedad en el Polo, usualmente designada porusualmente designada por


De modo que: Para el caso de nuestro planeta (Serway I), los valores numéricos,

para el radio promedio terrestre , masa de la Tierra ,

permiten estimar gp y ge

23

2

R3,4257 10

GM / R

e pg g (1 )

6R 6,37 10 m M 5,98 1024Kg

11 2 2G 6,67259 10 Nm Kg 12

s24 3600


2pg 9,833[m / s ] 2

eg 9,8[m / s ]

2

2 2 2 4 22 2

GM 2GMg R cos R cos

R R

2 2 2 4 2

2 22

2 4

GM 2R cos R cosg 1

GM G MRR R


2 2 2Pg g 1 2 cos cos

2 2Pg g 1 cos ge 1 sen

2g 9,8 1 0,0034257 sen 2

Sin embardo la Tierra no es esférica y de acuerdo a laSin embardo la Tierra no es esférica y de acuerdo a la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica de 1967, Unión Internacional de Geodesia y Geofísica de 1967, el valor de g al nivel del mar varía con la latitud, de el valor de g al nivel del mar varía con la latitud, de acuerdo a la expresión:acuerdo a la expresión:


2 2

2 2

1 0,00530238sen 0,000005850sen 2g 9,780309

0,0000032sen sen 2

Fig.(3) Gravedad local. Tierra esférica (a) y real (b)


Ambas expresiones (*) y (**)están graficadas en función de

Para propósitos prácticos las antiguas fórmulas todavía se usan, la llamada fórmula de Cassinis se cita como referencia:

var ía : de 0 1,57082

2 2g 9,780490 1 0,0052884sen 0,0000059sen 2

Los errores obtenidos con esta fórmula alcanzan los 1µm/s2 ó 0.1(mal).


2 4

6

1 0.0052790414sen 0.0000232718seng 978032.7 mgal

0.0000001262sen

La Asociación Internacional de Geodesia propuso en 1980 la fórmula para el cálculo de la gravedad teórica g basada en un elipsoide de revolución:

Esta fórmula reproduce valores de medidas absolutas de gravedad a nivel del mar dentro de un margen de error de 0.01µm/s2 ó 0.001(mgal).


Desviación de la vertical.Desviación de la vertical.

Una estimación del ángulo ε, entre la vertical y la dirección radial, puede obtenerse de las Ec(2) y de la Ec(3)

A2

Mmˆˆmgz G r ma

R

2A o

ˆˆa R z sen r

2o2

Mmˆ ˆ ˆˆ ˆmgz G r mR z sen r / r

R

2o2

Mmˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆmg z r G r r mR z r sen r r

R


2mgsen mR sen(90 ) sen

2mgsen mR cos sen 2R

sen cos seng


En el Ecuador desviación cero. En los Polos desviación cero. En latitud 45º desviación máxima, del orden 0,1º

De acuerdo a los valores señalados, la última expresión:

0,003sen cos


Corrección por Latitud.Corrección por Latitud.La corrección por latitud se hace en la

fórmula del g Teórico, reemplazando y transformando [rad] a Km.

g;

2 2

1g C 1 asen bsen 2

1

g dC a 2 sen cos 2 b sen2 cos2 2

d

lat

mgalg 5172,3sen2 2

rad

lat

mgalg 0,0816679sen2 x

100m


Estos Km. Son en la dirección N-S corresponde a una latitud conocida (base para el

trabajo que se hace, Estación considerada). En la fórmula de la anomalía de Bouguer:

1rad 57 57 111.111,00m 6333327m

63.333,27 100m

Boug obs h B TeoA g g g g

latTeo Teocorregido

g g g


En el hemisferio Sur:para mayor latitud se usa el signo (+), es

decir cuando el lugar considerado está más al sur de la estación de referencia.

Para menor latitud se usa el signo menos , es decir cuando el lugar considerado está más al norte de la estación de referencia.


En el hemisferio Norte: para mayor latitud se usa el signo (+), es decir,

cuando el lugar considerado está más al norte de la estación de referencia.

Para menor latitud se usa el signo menos, es decir, cuando el lugar considerado está más al sur de la estación de referencia.

Si el lugar de observación está mas cercano a los polos que la estación de referencia se suma al gTeo.. Esto es válido tanto en el hemisferio norte como en el Sur.


Boug obs h B Teo latA g g g g g

Boug obs h B Teo latA g g g g g

Lugar considerado se ubica más hacia los polos que la Estación.

Lugar considerado se ubica más hacia el Ecuador que la Estación.

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