cuerpo rigido movimiento relativo
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117
4. CINEMTICA DEL CUERPO RGIDO 4.1 Movimiento relativo de partculas
1. Un ferrocarril se mueve con velocidad constante de 25 km/h hacia el este. Uno de sus pasajeros, que originalmente est sentado en una ventanilla que mira al norte, se levanta y camina hacia la ventanilla del lado opuesto con un velocidad, relativa al ferrocarril, de 8 km/h. Cul es la velocidad absoluta del pasajero?
25 km/h
Resolucin
v P Velocidad absoluta del pasajero vT Velocidad absoluta del tren v P Velocidad relativa del pasajero respecto al tren.T
v P = v P + vTT
vT = 25 vP vP/T = 8
Dibujaremos un diagrama de vectores que represente la ecuacin anterior. La magnitud de la velocidad del pasajero es:
v P = 25 2 + 8 2Y su direccin 8 tan = 25v P = 26.2 km h 17.7
118
Cinemtica del cuerpo rgido
2. Un avin A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avin, B, viaja en lnea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razn de 30 ft/s2. Determine la velocidad y aceleracin relativas del avin A respecto al B.
500 ft/s
Resolucin La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B ms la velocidad absoluta de B.vA = 800 vB = 500
v A = v A + vBB
vA/B
Con el diagrama de vectores que representa la ecuacin anterior se muestra que:
v A = 1300 ft s BLa aceleracin de A es normal a la velocidad y su magnitud es: v2 a = A
a
A
=
800 2 ; 8000
a
A
= 80
y la de B es:aB = 30
a
B
= 30
Entonces: aA = 80 aA/B
a A = a A + aBB
De la figura que representa la ecuacin:a A = 30 2 + 80 2 B 80 30
tan =
a A = 85.4 ftB
s2
69.4
Cinemtica del cuerpo rgido
119
30 m/s
3. Un motociclista persigue a un automvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30. Cul es la velocidad relativa del automvil respecto al motociclista?
60
40 m/s 100 m
Resolucin
v A Velocidad absoluta del automvil vM Velocidad absoluta del motociclista v A Velocidad relativa del automvil respecto alM
motociclista
v A = v A + vMM
vA/M
vM = 40 60
Como se trata de slo tres vectores, dibujamos un diagrama que represente la ecuacin anterior. Por la ley de cosenos vA2 M M
= 30 2 + 40 2 2(30)40 cos 60
vA = 30
v A = 36.1 Por la ley de senos sen sen 60 = 30 vAM
= 46.0;vA
90 46.0 = 44.044
= 36 .1 mM
s
120
Cinemtica del cuerpo rgido
4. Un motociclista persigue a un automvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30; el motociclista aumenta su rapidez a razn de 8 ft/s2, mientras que el automvil la reduce 5 m/s cada s. Calcule la aceleracin relativa del automvil respecto al motociclista.
y
Resolucin Para determinar la aceleracin relativa del automvil respecto al motociclista, elegiremos un sistema de referencia como el de la figura; entonces: a A = (a A ) n + (a A ) t30 at = 5
x
=
30 2 ( isen30 j cos 30) + 5(i cos 30 jsen30) 100
= 4.5i 4.5 3 j + 2.5 3i 2.5 j a A = 0.1699i 10.29 j
a M = (a M ) n + (a M ) tat = 8
aM
40 2 i +8j 100 = 16i + 8 j =
Aceleracin relativa:15.83
a A = a A + aMM
0.1699i 10.29 j = a A 16i + 8 jM
18.29
aAaA
M
= 15.83i 18.29 j= 24.2 m 49.1
aA/M
M
s2
Cinemtica del cuerpo rgido
121
4.2
Rotacin puraB
5. El dimetro AB del volante de la figura se mueve segn la expresin = 2t3, donde si t est en s, resulta en rad. Cul es la aceleracin angular del volante cuando t = 5 s? Cuntas revoluciones gira el volante hasta alcanzar una rapidez de 2400 rpm?A
Resolucin
= 2t 3 = 6t 2Es la velocidad angular del dimetro AB.
= 12tque es la aceleracin angular del volante. Para t = 5
= 60 rad
s2
2400 rpm en rad
2 2400 = 80 60
s
son
El tiempo que tarda en alcanzar esa rapidez es: 80 = 6t 2 t=80 6
122
Cinemtica del cuerpo rgido
y la desviacin angular correspondiente es:
80 = 2 6
3
rad
que en revoluciones son:
80 2 6 = 86.3 rev 2
3
Cinemtica del cuerpo rgido
123
B
6. El dimetro AB del volante de la figura se desva segn la expresin = 2t3, donde si t est en s, resulta en rad. El volante tiene un radio de 20 cm en el instante mostrado, = 60, determine: a) el valor de t. b) la velocidad y aceleracin lineales del punto B.A
Resolucin:
a)
60 =
3
rad
3153.6 B 303.9
= 2t 3
t=3
6
t = 0.806 s
b)60
= = 6t 2 = 6(0.806) 2 = 3.898Como v = rv = 3.898(20)
v = 78.0 cm
s
30
La aceleracin normal del punto B es:a n = 2 r = (0.898) 2 20 = 303.9
124
Cinemtica del cuerpo rgido
Y la tangencial a t = r En donde = = 12t = 12(0.806) = 9.672 a t = 9.672(20) = 193.44 La magnitud de la aceleracin de B es: a = 303.9 2 + 193.44 2 = 360.2 Y el ngulo 193.44 tan = ; = 32.5 360.2 Por tanto, como 60 32.5 = 27.5
a = 360 cm 2 s
27.5
Cinemtica del cuerpo rgido
125
7. La banda de la figura es flexible, inextensible y no se desliza sobre ninguna de la poleas. La polea A, de 3 in de radio, gira a 120 rpm. Calcule la rapidez de una partcula cualquiera de la banda y la velocidad angular de la polea B, de 5 in de radio.
Resolucin
v = r 2 rad Donde = 120 = 4 rad s s 60 v = 4 (3)v = 37 .7 in
s
Como la expresin v = r puede emplearse con cualquiera de las poleas:
A r A = B rB 120 ( 3 ) r B = A A =rB 5
B = 72 rpm
126
Cinemtica del cuerpo rgido
4.3
Traslacin pura
8. La barra OA del mecanismo mostrado tiene una rapidez angular de 8 rad/s en sentido antihorario. Determine la velocidad y aceleracin lineales de las articulaciones A y B as como del extremo D de la barra CD.
vA
Resolucin
Como la barra OA se mueve con rotacin pura.30
v A = 8 ( 0 .4 ) = 3 .2 m0.4 m
8 rad/s O
s
30
Puesto que la barra AB se mueve con traslacin pura, todas sus partculas tienen la misma velocidad.
vB = vAvA30
vB30
v B = 3 .2 m
s
30
vD D30
La velocidad angular de la barra CD es:
CD =
v 3 .2 rad = =8 r 0 .4 s
8 rad/s
0.8 m C vA D30
Igual a la de la barra OA. Por tanto, la velocidad lineal del extremo D es:
v D = r = 8 ( 0 .8 )
v D = 6 .4 m
s
30
Como la velocidad angular es constante, la aceleracin de D no tiene componente tangencial.
0.8 m 8 rad/s a C
a = a n = 2 r = 8 2 ( 0 .8 )
a = 51 . 2 m
s2
60
Cinemtica del cuerpo rgido
127
4.4
Movimiento plano general
4.4.1 Velocidades9. La rueda de la figura pertenece a una locomotora que viaja hacia la derecha a 72 km/h. Sabiendo que la rueda no patina sobre los rieles, determine su velocidad angular y las velocidades lineales de los puntos O, A, B y C.
Resolucin
s 7 .2 m 72 km = = 20 m s h 3 .6 s Como el punto O se mueve junto con la locomotora. v O = 20 m s
Convertimos la velocidad a m
A
Y la velocidad angular de la rueda es: v 20 = O = r 0 .4
= 50O B
rad s
v 0 = 20i
Utilizamos la ecuacin de la velocidad relativa para determinar las velocidades de A, B y C, tomando O como punto base. Emplearemos el sistema de referencia de la figura:
C
y
vA = vA
O
+ vOO
v A = rA
+ vO
v A = 50 k 0 . 4 j + 20 ix
v A = 20 i + 20 i = 40 iv A = 40 m s
128
Cinemtica del cuerpo rgido
v B = rB
O
+ vO
v B = 50 k 0 . 4 i + 20 i v B = 20 j + 20 iv0
vB =
20 2 ( 2 ) = 20 20 =1 2045
2 = 28 . 3
tan =vB
= 45
vB/0
v B = 28.3 m
s
v C = rC
O
+ vO
v C = 50 k ( 0 . 4 j ) + 20 i v C = 20 i + 20 ivC = 0Lo cual es evidente porque C tiene la misma velocidad del punto del riel con el que est en contacto y dicho punto no se mueve.
Cinemtica del cuerpo rgido
129
10. El collarn A se desliza hacia abajo con una rapidez de 30 in/s en el instante mostrado en la figura. Diga cules son, en ese mismo instante, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarn B.
Resolucin
Como:vB = vB + v AA
v B = rB + v A v B i = k (12i 16 j ) 30 j v B i = 16i + 12j 30 jA
Reduciendo trminos semejantes v B i = 16i + (12 30) j
Que es una igualdad de vectores. Igualando las componentes verticales tenemos: 0 = 12 30
vA = 30 in/s vB
=
30 12
= 2 . 5 rad sE igualando las componentes horizontales: v B = 16(2.5)v B = 40 in s
130
Cinemtica del cuerpo rgido
11. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posicin mostrada en la figura, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarn B.
Resolucin
Como el disco se mueve con rotacin pura:
v A = r40 cm
v A = 12(40) = 480 cm
s
La barra AB tiene movimiento plano general y su geometra se muestra en la figura.12 rad/s vA
vB = vB + v AA
v B = 1 rB + v A v B = 1k (103.9i 60 j ) 480 j v B i = 601i + 103.91 j 480 jA
Reduciendo trminos semejantesA
160 cm vA 30 B vB 103.9 cm
v B i = 601i + (103.91 480) jQue es una igualdad de dos vectores. Igualando las componentes verticales se tiene:
0 = 103.91 480
1 = 4.62 rad sIgualando las componentes horizontales: v B = 60(4.66)
v B = 277 cm
s
Cinemtica del cuerpo rgido
131
12. En la posicin mostrada, la manivela OA tiene una rapidez angular de 10 rad/s en sentido antihorario. Calcule la rapidez angular de la biela AB y la velocidad lineal del mbolo B.
A 5 O 60 B 16
A 16 5 O60
Resolucin
B
Comenzamos investigando la geometra del mecanismo mediante la resolucin de los tringulos rectngulos de la figura. La manivela OA gira con rotacin pura.
A 16 5 O 2.5 15.40 4.33 B
vA = r
v A = 10k (2.5i + 4.33 j ) v A = 43.3i + 25 jLa biela AB tiene movimiento plano general.
vA A 5 10 rad/s O y 60
vB = vB + v AA
v B = 1 rB + v A v B = 1 k (15.40i 4.33 j ) 43.3i + 25 j v B i = 4.331i + 15.401 j 43.3i + 25 jAsociando las componentes respectivas:A
v B i = (4.331 43.3)i + (15.401 + 25) jx
Igualando las componentes verticales: 0 = 15.401 + 25 ; 1 = 1.623 Y las horizontales: v B = 4.33(1.623) 43.3 = 50.3
vA vB
Por tanto:
1 = 1 . 623 rad sy
v B = 50.3 inx
s
132
Cinemtica del cuerpo rgido
13. La barra AB del mecanismo de cuatro articulaciones de la figura gira con una velocidad angular 1 de 9 rad/s en sentido antihorario. Determine las velocidades angulares 2 y 3 de las barras BC y CD.
C 1.237 B 1.2 0.3 0.4 A 0.8 D y B vB x 9 rad/s A 0.3 0.3
Resolucin
Comenzaremos determinando la geometra del mecanismo en el instante de inters. Tanto la barra AB como la barra CD se mueven con rotacin pura. Observamos que C se mueve a la izquierda y que:v B = 1 r v B = 9k ( 0.4i + 0.3 j ) v B = 2 .7 i 3 .6 j
La barra BC tiene movimiento plano general.vC = vC + v BB
vC = 2 rC + v B
vC i = 2 k (1.2i + 0.3 j ) 2.7i 3.6 jvc B 2 y vB C
B
vC i = 0.3 2 i + 1.2 2 j 2.7i 3.6 j Asociando trminos vC i = ( 0.3 2 2.7 )i + (1.2 2 3.6 ) j Igualando las componentes en direccin de y:
0 = 1.2 2 3.6 ;x vc = 3.6 m/s C 0.6 3 D
2 = 3 rad s
Haciendo lo mismo en direccin de x: vC = 0.3(3) 2.7 ; vC = 3.6 De la barra CD obtenemos: 3 .6 vC = 3 rC ; 3 = D 0 .6 3 = 6 rad s
Cinemtica del cuerpo rgido
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4.4.2 Centro instantneo de rotacin
14. La rueda de la figura pertenece a una locomotora que viaja hacia la derecha a 72 km/h. Sabiendo que la rueda no patina sobre los rieles, determine su velocidad angular y las velocidades lineales de los puntos 0, A, B y C.
Resolucin
El centro instantneo de rotacin de la rueda es el punto de contacto con el riel, el punto C, puesto que su velocidad es nula.voO 0.4 m
El punto O, que une el eje de la rueda con la locomotora, tiene una velocidad de 72 km/h. 72 m vO = 72 km = = 20 m h 3.6 s s La velocidad angular de la rueda es por tanto: v 20 = o = r 0 .4
C (CIR)
vAA
= 50 rad sConociendo la posicin del centro de instantneo de rotacin (CIR) y la velocidad angular de la rueda, se puede calcular fcilmente la velocidad de cualquier punto de la rueda.v A = rA v A = 50(0.8)v A = 40 m s
rA = 0.8 m
C
v B = rBB 0.4 m rB90
v B = 50 0.4 2vB
(
)45
v B = 28.3 m
s
C 0.4 m
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Cinemtica del cuerpo rgido
15. El collarn A se desliza hacia abajo con una rapidez de 30 in/s en el instante mostrado en la figura. Diga cules son, en ese mismo instante, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarn B.
Resolucin
Para encontrar la posicin del centro instantneo de rotacin, hacemos tanto en A como en B rectas perpendiculares a las velocidades de esos puntos; su interseccin es el centro buscado. La velocidad angular de la barra es: v 30 = A = rA 12
rA
CIR
rB
= 2.5 rad sY la velocidad de B v B = rBv B = 2.5(16)vB
vA = 30 in/s
v B = 40 in
s
Cinemtica del cuerpo rgido
135
16. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posicin mostrada en la figura, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarn B.
Resolucin
La velocidad de A es vertical y se dirige hacia abajo, la de B, horizontal y hacia la derecha. El centro instantneo de rotacin se encuentra en la interseccin de las perpendiculares levantadas en A y B. Calculamos la magnitud de la velocidad de A.vA = r v A = 12(60) = 720
Por tanto, la velocidad angular de la barra AB es: v 720 AB = A = rA 60 3
AB = 6.93 rad sY la velocidad de B ser:
v B = AB rB
v B = 6.93(60 ) v B = 416 cm
s
136
Cinemtica del cuerpo rgido
17. En la posicin mostrada, la manivela OA tiene una rapidez angular de 10 rad/s en sentido antihorario. Calcule la rapidez angular de la biela AB y la velocidad lineal del mbolo B.
vA 30 10 rad/s 5 O 60 A
Resolucin
La velocidad de la articulacin A es perpendicular a la manivela OA y su magnitud es:
v A = OA rOA v A = 10(5) = 50La velocidad de B es horizontal y se dirige hacia la izquierda. La posicin del centro instantneo de rotacin (CIR) de la biela AB es la interseccin de las perpendiculares a las velocidades de A y B trazadas desde dichos puntos.rB
CIR
30 rA vA A
En la figura resolvemos la geometra del mecanismo. De ah:
B vB CIR
AB =
vA 50 = rA 30.8
AB = 1.623 rad sPor tanto: v B = AB rB
30 rB = 30.8 rB=31
v B = 1.697(31.1) v B = 50.3 in
s
A 5 O 2.5 16 15.4 B
Cinemtica del cuerpo rgido
137
C
18. La barra AB del mecanismo de cuatro articulaciones de la figura gira con una velocidad angular 1 de 9 rad/s en sentido antihorario. Determine las velocidades angulares 2 y 3 de las barras BC y CD, en la posicin mostrada.
B 9 rad/s A D 0.6 m
0.4 m
0.8 m
Resolucinvc C
B vB 0.54 3
Las articulaciones B y C tienen velocidades perpendiculares a las barras AB y CD, respectivamente, que se mueven con rotacin pura. Adems, la velocidad de B es:
v B = AB rAB0.8 D rc = 1.2 m 0.6 1.0 CIR
v B = 9(0.5) = 4.5Para hallar el centro instantneo de rotacin de la barra BC prolongamos las barras AB y CD y encontramos su interseccin. Puesto que la distancia de dicho centro al punto B es de 1.5 m, entonces:
A
2 =
v B 4 .5 = rB 1.5
2 = 3 rad sCuyo sentido se deduce de la observacin de la figuravC = 2 rc vC = 3(1.2) v = 3 .6 m s c
Por tanto: v 3 .6 3 = C = rC 0.6 3 = 6 rad s
138
Cinemtica del cuerpo rgido
4.4.3 Aceleraciones19. La rueda de la figura pertenece a una locomotora que viaja hacia la derecha a 72 km/h, aumentando su rapidez a razn de 4 m/s2. Sabiendo que la rueda no patina sobre los rieles, determine su aceleracin angular y las aceleraciones lineales de los puntos O, A , B y C .
Resolucin
vo =20 m/s O 0.4 m y x
Para obtener las aceleraciones lineales de los puntos de la rueda, se necesita conocer su velocidad angular. Sabiendo que la velocidad de O es de: = 20 m : s vO 20 = = = 50 r 0 .4 72 km h Como su sentido es horario, el vector velocidad angular en el sistema de referencia mostrado es:
C (CIR)
A
x rA/O
= 50kLa aceleracin lineal del punto O es igual a la de la locomotora. aO = 4 m 2 s a O = 4i La aceleracin angular de la rueda es: a 4 = O = r 0 .4x
0.4 m4 m/s2
y
2 rA/O
O 0.4 m B = 4 m/s2
= 10 rad
s2
El vector aceleracin angular es = 10k Para calcular las aceleraciones lineales de los puntos, emplearemos las ecuaciones de movimiento relativo.
C
Cinemtica del cuerpo rgido
139
a A = a A + aOO
A O
Es decir:
a A = rA 2 rA + a OO O
a A = 10k 0.4 j ( 50 ) 0.4 j + 4i2
a A = 4i 1000 j + 4i a A = 8i 1000 j a A = 8 2 + 1000 2A
1000
tan =
1000 8
a A = 1000 m
s2
89.5
996
O
rB/O
De modo semejante, determinaremos las aceleraciones de los puntos B y C.4
a B = rB 2 rB + a OO O
a B = 10k 0.4i ( 50 ) 0.4i + 4i2
B
a B = 4 j 1000i + 4i a B = 996i 4 j a B = 996 2 + 4 2 tan =O rC/O
C
4 996
a B = 996 m
s2
0.23
a C = rC 2 rC + a OO O
C
a C = 10k ( 0.4 j ) (50 ) ( 0.4 j ) + 4i2
a C = 4i + 1000 j + 4i a C = 1000 j a C = 1000 m s2
140
Cinemtica del cuerpo rgido
20. El collarn A se desliza, en el instante mostrado en la figura, hacia abajo con una rapidez de 30 in/s, que aumenta a razn de 140 in/s2. Diga cules son, en ese mismo instante, la aceleracin angular de la barra AB y la aceleracin lineal del collarn B.
Resolucin Para obtener las aceleraciones, tanto de la barra como del collarn B, emplearemos la ecuacin de movimiento relativo.
aB = aB + a AA
a B = rB 2 rB + a AO 0.4 m y xA A
En el sistema de referencia mostrado y sabiendo que la velocidad angular de la barra es = 2.5 rad s (ver problemas 10 y 15) a B i = k (12i 16 j ) 2.5 2 (12i 16 j ) 140 j a B i = (16 75)i + (12 40 ) j a B i = 16i + 12j 75i + 100 j 140 j
C (CIR)
A = 2.5 rad/s 16 aA = 140 m/s2 B aB 12 y
Igualando las componentes verticales: 0 = 12 40
=
40 12
= 3.33 rad
s2
Igualando las componentes horizontales a B = 16(3.33) 75 a B = 21.7 a B = 21.7 inx
s2
El signo negativo quiere decir que su sentido es contrario al que se supuso.
Cinemtica del cuerpo rgido
141
21. El disco de la figura gira con rapidez angular constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posicin mostrada en la figura, la aceleracin angular de la barra AB y la aceleracin lineal del collarn B.
Resolucin = 12 rad/s
Como la rapidez del disco es constante, la partcula A tiene una aceleracin igual a su componente normal.40 cm
a A = 2 r = 12 2 (40 ) a A = 5760 cm s2
0.4 m
A
Para calcular la aceleracin angular de la barra, que tiene movimiento plano general, y la aceleracin lineal del collarn, utilizamos la ecuacin del movimiento relativo.aB = aB + a AA
aA A
1 a1
a B = rB 1 rB + a A2
A
A
60 cm B aB 103.9 cm y
Sabiendo que 1, la velocidad angular de la barra, es de 4.62 rad y refirindonos al sistema cartes siano mostrado.
a B i = k (103.9i 60 j ) 4.62 2 (103.9i 60 j ) 5760i a B i = 60 i + 103.9 j 2218i + 1281 j 5760iReduciendo trminos semejantesx
a B i = (60 7978)i + (103.9 + 1281) jIgualando las componentes en direccin del eje de las yes.
142
Cinemtica del cuerpo rgido
0 = 103.9 + 1281
=
1281 = 12.33 103.9
= 12.33 rad
s2
E igualando las componentes en direccin xx a B = 60(12.33) 7978 = 8720
a B = 8720 cm
s2
Los signos negativos indican que los sentidos son opuestos a los que se supusieron.
Cinemtica del cuerpo rgido
143
22. En la posicin mostrada, la manivela OA tiene una rapidez angular de 10 rad/s en sentido antihorario y una aceleracin angular de 50 rad/s2 en sentido horario. Calcule la aceleracin angular de la biela AB y la aceleracin lineal del mbolo B.
Resolucin Para calcular la aceleracin angular de la biela AB, que tiene movimiento plano general, y la aceleracin lineal del mbolo B, usaremos la ecuacin del movimiento relativo.an 0 = 50 rad/s2 4.33 0 = 10 rad/s O 0.4 m 60
aA A
aB = aB + a AA
O sea: a B = rB 2 rB + a AA A
2.5 y
Por tanto, necesitamos conocer previamente la velocidad angular de la biela, la cual es de 1.623 rad s en sentido horario. (v. Probs. 12 y 17) A partir del estudio de la manivela OA, que gira con rotacin pura, determinaremos la aceleracin lineal del punto A, utilizando el sistema de referencia mostrado.x
a A = (a A )t + (a A )n a A = 50k (2.5i + 4.33 j ) 10 2 (2.5i + 4.33 j ) a A = O r O r2
33.5 in/s2 A = 1.397 rad/s 4.33 cm B 558 in/s2 aB
a A = 216.5i 125 j 250i 433 j a A = 33.5i 558 j Y la ecuacin del movimiento relativo queda as
aB = aB
A
+ aA
a B = r B 2 r + ( 33.5i 558 j )15.4 cm
a B i = k (15.4i 4.33 j ) 1.623 2 (15.4i 4.33 j ) 33.5i 558 j a B i = 4.33 i + 15 .4 j 40.5i + 8.45 j + 11.406i 33.5i 558 j a B i = (4.33 74 .07 )i + (15.4 546 .6 ) j
144
Cinemtica del cuerpo rgido
Igualando las componentes verticales: 0 = 15.4 546.6
=
546.6 15.4
= 35.5 rad
s2
e igualando las componentes horizontales a B = 4.33(35.5) 74.07 El signo negativo indica que el sentido de la aceleracin es contrario al supuesto. a B = 79.6 in s2
Cinemtica del cuerpo rgido
145
23. La barra AB del mecanismo de cuatro articulaciones de la figura gira con una velocidad angular 1 de 9 rad/s en sentido antihorario y una aceleracin angular 1 de 20 rad/s2 tambin en sentido antihorario. Determine las aceleraciones angulares 2 y 3 de las barras BC y CD.
y
Resolucin Las barras AB y CD tienen rotacin pura y la BC, movimiento plano general.x
B at 0.3 in
1 = 9 rad/s 1 = 20 rad/s2 an A
Para poder determinar las aceleraciones angulares de las barras es necesario conocer primero sus velocidades angulares. La velocidad angular de la barra BC es 2 = 3 rad y de la barra CD, 3 = 6 rad (ver problemas 13 y 18) s s
0.4 in
Empleamos la ecuacin del movimiento relativo para el estudio de la barra BC, tomando B como punto base; pues podemos conocer la aceleracin de dicho punto.
aC = aC + a BB
O sea:2 B 2 = 3 rad/s C 0.3 m
a C = 2 rC 2 rC + a BB B
La aceleracin de B la obtendremos estudiando la barra AB y utilizando el sistema de referencia mostrado. a B = 1 r1 1 r12
1.2 m
a B = 20k ( 0.4i + 0.3 j ) 9 2 ( 0.4i + 0.3 j )y
a B = 6i 8 j + 32.4i 24.3 j a B = 26.4i 32.3 jx
146
Cinemtica del cuerpo rgido
Sustituyendo en la ecuacin que escribimos arriba: a C = 2 k (1.2i + 0.3 j ) 3 2 (1.2i + 0.3 j ) + 26.4i 32.3 j Como puede verse, en la ecuacin anterior hay tres incgnitas: las dos componentes de a C y 2 . Como en esa ecuacin vectorial puede haber hasta un mximo de dos incgnitas, es imprescindible investigar alguna componente de a C . Para ello analizaremos la barra CD.
C at an a3 3 = 6 rad/s D 0.6 m
a C = 3 r3 3 r32
a C = 3 k 0.6 j 6 2 (0.6 j ) a C = 0.6 3 i 21.6 jy
Conocida la componente vertical, volvemos a la ecuacin que dejamos pendiente, en la que slo quedan dos incgnitas: 2 y 3 .x
0.6 3i 21.6 j = 2 k (1.2i + 0.3 j ) 3 2 (1.2i + 0.3 j ) + 26.4i 32.3 j Desarrollando y reduciendo trminos
0.6 3i 21.6 j = 0.3 2 i + 1.2 2 j 10.8i 2.7 j +26.4i 32.3 j 0.6 3i 21.6 j = ( 0.3 2 i + 15.6 )i + (1.2 2 35) j Igualando las componentes verticales 21.6 = 1.2 2 35 1.2 2 = 13.4
2 =
13.4 1 .2
2 = 11.17 rad
s2
Cinemtica del cuerpo rgido
147
Ahora, igualando las componentes horizontales 0.6 3 = 0.3(11.17 ) + 15.6
3 =
12.25 0 .6 s2
3 = 20.4 rad
La aceleracin 3 de la barra CD tiene sentido horario, pues el signo negativo indica que es contrario al que se supuso.