MOVIMIENTO RELATIVO EN UNA Y

DOS DIMENSIONES

1.3

Introduccin

La x, v y a de una partcula se especifican con

respecto a un sistema de referencia previamente

fijado. Pero, el sistema de coordenadas se puede

mover respecto a otro sistema de coordenadas, y

as sucesivamente.

Cuando se habla de la v de un automvil, nos referimos a su v respectoa un sistema de referencia fijo a la Tierra y que se desplaza con ella. Pero

la Tierra gira alrededor de su eje y recorre su rbita entorno al Sol; este a

su vez se mueve, respecto a las estrellas, y as sucesivamente.

Los principios de la relatividad, desarrollados por Albert Einstein y otros,

tratan del movimiento de una partcula respecto a dos sistemas de

referencia distintos, ellos mismo con movimiento uno del otro.

Las ecuaciones que relacionan las coordenadas de un movimiento en el

sistema A con las del mismo movimiento en el sistema B son las

denominadas ecuaciones de Transformacin de Galileo-Newton para

dos sistemas A y B en movimiento relativo uniforme.

Un auto que avanza lentamente parece moverse hacia atrs cuando selo rebasa.

Una bus en reposo parece en movimiento si otro junto a ella se mueve.

Un pasajero sentado en un vagn de ferrocarril se encuentra en reposocon respecto al vagn; pero como el tren se mueve con respecto a la

Tierra, el pasajero se encuentra en movimiento con respecto a los rboles

que observa desde el tren. A su vez, esos rboles estn en reposo

respecto de la Tierra, pero en movimiento respecto del pasajero del tren

Posibilidades en el movimiento relativo:

Movimiento relativo entre dos partculas respecto a unmismo sistema referencia.

Movimiento relativo de una partcula respecto a dos sistemas de referencia diferentes en movimiento relativo

entre s.

Primero consideramos la velocidad relativa en lnea recta, y luego la

generalizaremos a un plano.

Ejemplos del movimiento relativo:

Movimiento relativo unidimensional

Movimiento relativo unidimensional

= velocidad de la motocicleta A

respecto al tren de carga F

= velocidad del tren de carga F

respecto a la Tierra E./F Ev

/A Fv

Suponga un tren de carga con plataformas

identificado con F y con movimiento a la derecha

sobre un carril recto horizontal; y que un

conductor arriesgado conduce su motocicleta (A)

sobre las plataformas del tren, tambin hacia la

derecha, como se muestra en la Fig.

Se quiere determinar la velocidad de la

motocicleta respecto a Tierra ?

Aplicar la Regla del dominio:

EFFAEA vvv

El vector velocidad de la motocicleta respecto a la Tierra, es la suma vectorial dela velocidad de la motocicleta respecto al tren con la velocidad del tren de

plataformas respecto a Tierra.

Ejemplifiquemos este caso:

EFv = 13 m / s

FAv = 17 m / s

EAv = 13 + 17 = 30 m / s El observador en Tierra interpreta, como elalejamiento de la moto respecto a este con rapidez

de 30 m/s.= 13 m / sEFv

FAv = - 17 m / s

EAv = -17 + 13 = - 4 m / s

Un observador en Tierra interpreta este valor

como un acercamiento de la moto al observador

con rapidez de 4 m/s

Regla general de combinacin de velocidades relativas

Regla 1.- Escribir las velocidades relativas con doble subndice y el

orden adecuado. Por ejemplo se interpreta como la velocidad de A

respecto a B.

Regla 2.- Para sumar velocidades relativas, la primera letra del

subndice debe ser igual a la ltima letra del subndice anterior.

ABv

Regla 3.- La primer letra del subndice de la primer velocidad en la

suma, y la segunda letra del subndice de la ltima velocidad son los

subndices, de la velocidad relativa representada por la suma.

Regla 4.- Cualquiera de las velocidades de una ecuacin puede

transponerse de un miembro a otro, con el signo cambiado; es decir:

ABBA vv

Generalidad de la Regla del Domino:

La regla del dominio puede ampliarse para incluir un nmero cualquiera

de velocidades relativas. Por ejemplo: un insecto B se mueve por el

asiento de la motocicleta a una velocidad respecto a ste de v , su

velocidad respecto a Tierra es el vector suma dado por:

EFFAABEAABEB vvvvvv

Ejemplos de aplicacin: Movimiento relativo en una dimensin

1. Una banda mvil de un aeropuerto se mueve a 1.0 m/s y tiene 35.0 mde largo. Si una mujer entra en un extremo y camina a 1.5 m/s relativa a

la banda mvil, cunto tardar en llegar al otro extremo si camina a) en

la misma direccin en que se mueve la banda? b) En la direccin

opuesta?. Rta. (a) 14 s (b) 70 s

2. Dos muelles, A y B, estn situados en un ro; B est a 1500 m ro

debajo de A. Dos amigos deben ir de A a B y regresar. Uno rema un

bote con rapidez constante de 4.00 km/h relativa al agua; el otro

camina en tierra a 4.00 km/h (constante). La velocidad del ro es 2.80

km/h en la direccin de A a B, Cunto tarda cada persona en hacer el

viaje redondo? Rta.. 1.47 h y 0.76 h.

3. Imagine que viaja al norte en un camino recto de dos carriles a 88

km/h. Un camin que viaja a 104 km/h se acerca a usted (en el otro

carril, no se preocupe). (a) Qu velocidad tiene el camin relativa a

usted?. (b) Y usted relativa al camin?. (c) Cmo cambian las

velocidades relativas una vez que los dos vehculos se han pasado?

Rta.- (a) 16 km /h (b) 16 km/h

Movimiento relativo en dos dimensiones

El concepto de velocidad relativa puede ampliarse para incluir el

movimiento de un plano o el espacio.

Si suponemos nuevamente un tren de plataformas (F) movindose a

13 m/s respecto a Tierra y una motocicleta (A) avanzando en direccin

perpendicular al tren a 17 m/s.

La se calcula nuevamente a travs de la regla del dominio:

EAv

EFv

FAv EFv

FAv = 13 m/s

= 17 m/s

6.5213

17

/4.211317 2222

tgarc

smvvv EFFAEA

EFFAEA vvv

/A Ev

Movimiento relativo en dos dimensiones

Ejemplos de aplicacin: Movimiento relativo en 2 dimensiones

1. La brjula de un avin indica que va al norte, y su velocmetro indica que vuela a

240 km/h. Si hay un viento de 100 km/h de oeste a este, cul es la velocidad del

avin relativa a la Tierra? (260 km/h, 23 E de N)

2. En el ejemplo anterior, (a) qu rumbo debe tomar el piloto para viajar al

norte? (b) Cul ser su velocidad relativa a la tierra? ( Suponga que su rapidez

respecto al aire y la velocidad del viento son las del ejemplo anterior) Rta..- (a)

218 km/h, (b) 25

Un aeroplano A vuela hacia el Norte a 300 mi/h con respecto a la

tierra. Simultneamente otro avin B vuela en la direccin N60W a

200 mi/h con respecto a la tierra. Encontrar la velocidad de A con

respecto a B y B con respecto a A. Rta..- ( 264.6 mi/h, N 47.7 E y

264.6 mi/h, S 47.7 W)

Ejemplo de aplicacin 3: Movimiento

relativo en dos dimensiones

Ejemplos de aplicacin: Movimiento relativo combinado

1. Un elevador abierto est ascendiendo con una rapidez constante de 32

pie/s. Cuando est a una altura de 100 pie por encima del suelo, un nio

lanza una pelota respecto al elevador es 64 pie/s. a) Cul es la altura

mxima alcanzada por la pelota?, b) Cunto tiempo tardar la pelota en

volver a caer al elevador?. Rta.: a) 244 pie, b) 4.0 s.

2. Un hombre sobre un furgn plano que viaja con rapidez constante de 9.10

m/s quiere lanzar una pelota a travs de un aro estacionario de 4.90 m sobre

la altura de la mano, de modo que la bola se mueve horizontalmente al pasar

por el aro. El hombre lanza la bola con una rapidez de 10.8 m/s respecto a si

mismo. (a) Qu componente vertical debe tener la velocidad inicial de la

bola? (b) Cuntos segundos despus del lanzamiento la bola atravesar el

arco? (c)A qu distancia horizontal del aro se deber soltar la bola? (d)

Cuando la pelota deja la mano del hombre, qu direccin tiene su velocidad

relativa al marco de referencia del

vagn? Relativa al marco de

referencia de un observador

parado en el suelo?

Ejemplo de aplicacin 3: Movimiento

relativo combinado

3. Un helicptero vuela en lnea recta con una rapidez constante de

4.9 m/s a una altura constante de 4.9 m sobre un terreno plano.

Desde el helicptero se lanza horizontalmente un paquete con una

rapidez de 12 m/s respecto a ste y en direccin opuesta a la de su

movimiento. a) Determinar la velocidad inicial del paquete en relacin

al piso, b) Cul es la distancia horizontal entre el helicptero y el

paquete, cuando ste choca con el piso?, c) Cul es el ngulo que

forma el vector de la velocidad del paquete, respecto del piso, justo

antes del impacto?. Rta.: a) 7.1 m/s; b) 1 s c) 12 m y 54.08.