módulo ingreso matemática - universidad provincial de...

Matemática Módulo Ingreso

Febrero 2018

Fundamentación

La Matemática es una ciencia dinámica, siempre inserta en la historia de la

humanidad como ciencia autónoma y como instrumento para otras ciencias, unida al

desarrollo tecnológico e íntimamente ligada a la filosofía por su reflexión teórica.

La Matemática se ha incluido en toda propuesta curricular, no sólo por el valor

y finalidad de sus contenidos específicos, sino también por sus aportes para el

desarrollo del razonamiento lógico. En este sentido, cabe señalar que la educación

matemática tiene fundamental incidencia en el desarrollo intelectual de los estudiantes

tanto en forma individual como en grupos. "Es necesario que los alumnos adquieran habilidades sociales, que les

permitan trabajar y resolver dificultades en grupos heterogéneos, con personas de

diferentes capacidades que ellos. Debemos formar ciudadanos sanamente

escépticos, inquietos, con gran curiosidad y ganas de aprender, y con recursos

propios para poder hacerlo. El reto está ahí (…) es necesario saber afrontarlo..."1

En el intento de lograr alfabetizarlos académicamente, los estudiantes deberán

fortalecer procesos típicos del pensamiento matemático ya adquiridos o incorporar

otros nuevos, comunicarlos y compartirlos para lo cual se enfatizará el conocimiento y

el empleo de estrategias de resolución de problemas, es decir se promoverá que los

estudiantes aborden estrategias propias, utilicen las representaciones que consideren

adecuadas, discutan con sus pares, expliquen sus ideas, den razones de sus

procedimientos y resultados, confronten sus producciones con las de otros, acepten

críticas así como otros puntos de vista.

El Proceso de Aprendizaje de la Matemática, en el contexto de la Universidad,

debe constituir una instancia en la que el futuro profesional interactúe con el

conocimiento matemático de un modo constructivo que le permita apropiárselo y,

simultáneamente, le proporcione la vivencia de que él también es un productor -

generador de dicho conocimiento; es esta vivencia la que le permitirá revalorizarse

como sujeto activo de su propio proceso de formación.

Las competencias de resolución de problemas son el eje de la actividad

matemática. Estas competencias se desarrollan mediante el tratamiento de ciertos

contenidos por su valor instrumental ante las demandas científicas, tecnológicas,

sociales y éticas, de este tiempo.

En consecuencia, la formación del futuro profesional, la búsqueda de ejes de

articulación e integración entre contenidos y métodos, conocimientos y

procedimientos, saberes científicos y saberes de construcción posibilitan la evolución

de la estructura del pensamiento.

1Claudi Alsina en “El curriculum de matemática en los inicios del siglo XXI”, 2000

1

Presentación del módulo

Bienvenidos/as a esta joven casa de estudios que, a partir de hoy, esperamos que

sientan suya.

Entre otros preparativos que ya habrán advertido, pensamos en este módulo acorde

con la fundamentación del área, para que juntos comencemos a repasar algunos

contenidos que trabajaron en la escuela secundaria, pero además estas páginas

tienen otro objetivo: comenzar a prepararlos para el estilo de trabajo que se espera

que desarrollen en el ámbito académico superior.

Por supuesto que la asimilación del estilo de trabajo habitual en una Universidad no se

adquiere de la mañana a la noche y por eso este módulo y todo el trabajo que vamos a

desarrollar juntos durante el curso introductorio es una pequeña muestra del mismo (como para “empezar”) y esperamos continuar con esta tarea durante todo el primer

año en forma explícita y durante toda la carrera en la habitualidad de la vida

académica.

En este marco es conveniente contarles algunas características del material que

tienen en sus manos de manera que no se sorprendan al encontrarse con la propuesta

y puedan aprovecharla de la mejor manera.

Antes de empezar queremos que sepan que estamos conscientes de que la

Matemática suele considerarse una de las materias más difíciles y por ahí es cierto: es

una materia que necesita que le presten mucha atención. Pero históricamente es fruto

del trabajo sostenido de muchas personas. Personas como ustedes y como nosotros.

Es cierto que entre las personas algunas son capaces de lograr genialidades con lo

que todos manejamos cotidianamente pero también es verdad que no es necesario

ser un genio capaz de inventar un teléfono celular, para usarlo en forma competente.

Es decir: la Matemática es una creación humana y como tal es accesible a todos. Está

a su disposición para que la aprendan, la dominen y la apliquen cuando la necesiten.

Continuando con el módulo, en primer lugar se han pensado cuatro bloques que serán

los ejes de trabajo en cada encuentro:

Bloque 1: Números y operaciones

Bloque 2: Polinomios

Bloque 3: Funciones - Función lineal

Bloque 4: Funciones – Función lineal II

Bloque 5: Funciones - Función cuadrática

Bloque 6: Uso de Software Matemático

Los bloques tienen una estructura que progresivamente irán incentivando una forma

de trabajo autónomo.

2

En cada uno de ellos encontrarán multitud de actividades que les permitirán

- Recordar los contenidos involucrados

En este caso, se trató de secuenciar las actividades para que repases.

- Aplicar esos contenidos en la resolución de problemas

Existen tres tipos de estas actividades: ejercicios, desafíos y problemas. En cada tipo

de actividades tendrán la oportunidad de poner en juego sus conocimientos. Los

desafíos suelen ser problemas al interior de los contenidos trabajados, no son tan

difíciles, en todos se han incluidos algunas ayudas, pero lo importante es que se

“animen” con ellos y traten de lograr algo aunque tengan que realizar consultas entre

ustedes o con el profesor para lograr continuar. En el caso de los problemas es posible

que, además de conocer los contenidos necesarios para resolverlos, tengan que usar

una cuota de ingenio para poder interrelacionarlos y lograr una solución aunque sea

provisoria.

- Distinguir cuestiones que es importante que consulten y estudien

Permanentemente aparecen recuadros o señalamientos que es importante que tengan

en cuenta a la hora de estudiar.

Recuerden que este módulo es de ustedes y que resultará conveniente que se

adueñen de él para realizar anotaciones de cuestiones que les parezcan importantes y

que amplíen de forma personal lo que sugerimos que estudien.

Esta es una propuesta que esperamos mejorar después de ponerla en acción con su

ayuda, por lo que esperamos que lo utilicen lo mejor que puedan y realicen consultas

para que podamos hacer cambios para beneficio de quienes mañana serán tus

compañeros.

Les agradecemos su trabajo, el empeño que, estamos seguros, van a poner en esta

empresa y que nos hayan elegido para continuar sus estudios.

Los profesores de Matemática

3

BLOQUE 1: Números y Operaciones

Introducción

En este bloque recordaremos los distintos conjuntos numéricos, su representación en la recta numérica y la resolución de ecuaciones e inecuaciones. Ésta es una de las etapas en la que haremos un recorrido por conocimientos ya adquiridos, por lo tanto no se preocupen, todo esto ya lo vieron, tenemos ahora la oportunidad de revisar juntos todo lo que ya saben. La idea es que logren Interpretar enunciados coloquiales y pasarlos al “lenguaje matemático” para resolver situaciones problemáticas, es decir que repasen el trabajo de resolución de ecuaciones e inecuaciones logrando reconocer los tipos de números que estén involucrados en ese trabajo.

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Guía de lectura introductoria NÚMEROS1

Números grandes “¿Números grandes? Sí. Grandes. Difíciles de imaginar. Uno escucha que las deudas externas se manejan en miles de millones, que las estrellas en el cielo están a años luz de la Tierra, que la molécula de ADN contiene tres mil millones de nucleótidos, que la superficie del sol tiene una temperatura de seis mil grados centígrados. Estoy seguro de que cada uno que esté leyendo este párrafo tiene sus propios ejemplos para agregar. Lo que yo hago frente a estas magnitudes es compararlas, contrastarlas con algo que me sea más fácil representar. En el mundo hay más de seis mil quinientos millones de personas. En realidad ya somos (en agosto de 2005) más de seis mil trescientos millones. Parece mucho. Pero ¿qué es mucho?2 Veamos. ¿Qué diferencia hay entre un millón y mil millones? (aparte de que el último tiene tres ceros más). Para ponerlo en perspectiva, transformémoslos en segundos. Por ejemplo, supongamos que en un pueblo en donde el tiempo solo se mide en segundos, una persona está acusada de haber cometido un delito. Se enfrentan el fiscal y el abogado defensor delante del juez que interviene en la causa. El fiscal pide “mil millones de segundos para el reo”. El defensor lo tilda de “loco” y solo está dispuesto a aceptar “un millón de segundos, y solo como un hecho simbólico”. El juez, acostumbrado a medir el tiempo de esa forma, sabe que la diferencia es abismal. ¿Entienden las razones?3 Piénsenlo así: un millón de segundos son aproximadamente once días y medio. En cambio, mil millones de segundos significan casi… ¡32 años! Este ejemplo muestra que, en general, nosotros no tenemos idea de lo que representan los números, aun en nuestra vida cotidiana. Volvamos al tema de los habitantes de la Tierra. Si somos seis mil millones, y pusieran fotos de todos en un libro, de manera que las hojas fueran de una décima de milímetro de espesor, colocando diez personas por página y utilizando las dos caras de la hoja… el libro tendría, ¡30 kilómetros de alto! Además, si una persona estuviera muy ávida por mirar fotos, y tardara un segundo por página para recorrer las diez que hay allí, y le dedicara 16 horas diarias, le llevaría 28 años y medio mirarlas todas. Con todo, cuando llegara al final, en el año 2033, el libro ya habría aumentado de tamaño, porque ya seríamos dos mil millones de personas más, y el libro tendría otros diez kilómetros más de espesor. Pensemos ahora cuánto lugar nos haría falta para poder ponernos a todos juntos. El estado de Texas (el de mayor superficie en los Estados Unidos, exceptuando Alaska) podría albergar a toda la población mundial. Sí. Texas tiene una superficie habitable de aproximadamente 420.000 kilómetros cuadrados. Luego, nosotros, los humanos, podríamos juntarnos en Texas y tener cada uno una parcela de 70 metros cuadrados para vivir. ¿No está mal, no? Ahora pongámonos en fila, ocupando cada persona una baldosa de 30 centímetros cuadrados. En este caso la humanidad entera formaría una cola de 1.680.000 kilómetros. Eso nos permitiría dar 42 veces la vuelta al globo por el Ecuador. ¿Qué pasaría si todos quisiéramos transformar en artistas de cine y filmáramos una película con nosotros como estrellas? Si cada persona apareciera nada más que 15

1PAENZA, Adrian. (2005).¿Matemática estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades.

Buenos Aires. Siglo XXI Editores.

2 Cuando mencionamos cantidades grandes o pequeñas, debemos aclarar: grande con respecto a que o

pequeño con respecto a que. Es decir, debe existir un valor de referencia para poder comparar.

3 Para comprender esto, hay que profundizar en el tema de las unidades de medida y sus equivalencias.

Estamos midiendo Tiempo, entonces recordemos que: 1h=3600s; que 1 día=24hs; que 1año=365días.

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segundos (o sea, un poco menos de siete metros de celuloide por humano), se necesitarían unos ¡40 millones de kilómetros de negativo! Además, si alguien quisiera verla, se tendría que sentar en el cine por 23.333.333 horas, o sea, 972.222 días, lo que significan unos 2.663 años. Y esto sucedería siempre que decidamos no dormir, comer ni hacer ninguna otra cosa en la vida. Sugiero que nos distribuyamos para verla y después nos encontramos para contarnos lo mejor. ¿Qué es un año luz? Un año luz es una medida de distancia y no de tiempo. Mide la distancia que la luz tarda un año en recorrer. Para poner en perspectiva esto, digamos que la velocidad de la luz es de 300.000 kilómetros por segundo. El resultado de multiplicar este número por 60 (para transformarlo en minutos) es 18.000.000 km. por minuto. Luego, nuevamente multiplicando por 60, lo transforma en 1.080.000.000 kilómetros por hora (mil ochenta millones de kilómetros por hora). Multiplicando por 24 resulta que la luz viajó 25.920.000.000 (25 mil millones de kilómetros en un día). Finalmente, multiplicando por 365 días, un año luz (o sea, la distancia que la luz viaja por año) es de (aproximadamente) 9.460.000.000.000 (casi nueve billones y medio) de kilómetros. De manera tal que cada vez que les pregunten cuánto es un año luz, ustedes, convencidos, digan que es una manera de medir una distancia (grande, pero distancia al fin) y que es de casi nueve billones y medio de kilómetros. Es lejos, vean” Esta es la primera de una serie de lecturas que vamos a presentarles a lo largo del Módulo de Ingreso 2017. En este caso elegimos el libro: Matemática…¿Estás ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades, cuyo autor es el matemático y periodista Adrián Paenza. En esta hermosa obra, el profesor Paenza nos lleva a reflexionar sobre el hecho de que la matemática está presente en nuestra vida cotidiana y que, no quiere ser invisible sino que la descubramos. Hay algunos resultados numéricos en la lectura. En principio, los invitamos a verificar la veracidad de los mismos; o sea a que hagan las cuentas! Y a intercambiar pareceres con sus compañeros.

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Guía de trabajo nº 1

Conjuntos numéricos

Introducción

Desde que el hombre tiene memoria siempre se ha manejado con cantidades, siempre ha contado. Contando es como aparece el primer concepto de número, es así como surgen los números naturales (N).

En el conjunto de los números naturales pueden realizarse sin problemas operaciones como la adición y la multiplicación. Esto quiere decir que la suma de dos números naturales es siempre natural lo mismo sucede con los productos.

Pero no todas las operaciones son así. Por ejemplo la resta de dos números naturales da un número natural siempre que el minuendo sea mayor que el sustraendo, de lo contrario la sustracción no sería posible.

Es decir: 187 – 35 = 152

En este caso la sustracción es posible en el conjunto de los naturales ya que 182 > 35, pero si intercambiamos minuendo y sustraendo:

35 – 182 = ¿? No existe ningún número natural que sea resultado de esta sustracción. Para que la sustracción no quede “incompleta” (ya que son infinitos los casos

en los que puede suceder esto) se creó un nuevo conjunto numérico: el conjunto de los números enteros (Z) en el que se agrega a los naturales el cero y los números negativos. Cada número negativo es opuesto de uno positivo, es decir, la suma entre ambos es cero.

Ahora si: 35 – 182 = -

152 Esto tiene su aplicación en otras ciencias: Por ejemplo, en Física que asigna el “cero” para el punto de congelación del

agua. Las temperaturas superiores a este valor son las temperaturas positivas y las inferiores son las temperaturas negativas.

Del mismo modo se procede para “completar” la división: el cociente es entero siempre y cuando el dividendo sea múltiplo del divisor. Por esos infinitos casos en los que la división no es posible en el conjunto de los números enteros se creó un nuevo conjunto numérico que amplía el de los enteros agregando las fracciones: El conjunto de los números racionales (Q).

Ahora: -196 : 36 = -4 porque -196 es múltiplo de 36 y…

3 : -4 = - ¾ ya que 3 no es múltiplo de -4 Cuando en Física surge la necesidad de medir magnitudes, que no son

exactas, se usan números racionales. Un número racional es todo aquel número que se puede expresar como un

cociente de dos números enteros. Pero allí estamos en presencia de otro problema: hay algunos números que no pueden escribirse como fracciones (es verdad… aunque usted no lo crea)

Por ejemplo 2 :

Sabemos que 2 no es un número entero ya que no hay ningún entero

queelevado al cuadrado de 2.

Supongamos entonces que 2 es racional, es decir:

√2=𝑎

𝑏

7

Donde: 1. a y b son números enteros 2. b no es cero ¿por qué? 3. a no es múltiplo de b ¿por

qué? Entonces:

2𝑎2

𝑏2

y…

2.b2 a2

Con lo cual a2 debería ser múltiplo de b2 y para que eso suceda a debería ser múltiplo de b lo que contradice lo que dijimos en 3. Esta contradicción provino de suponer que 2 era racional, y por lo tanto no loes.

2 es un número irracional

Al querer medir ciertas longitudes (por ejemplo, la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles en el que los catetos miden una unidad) hallamos raíces como

2 que no son exactas, tienen infinitas cifras decimales no periódicas y, por lo tantono pueden expresarse como fracciones. Para esos casos se usan los números llamados irracionales. Los números irracionales se agregan a los racionales para formar el conjunto de los números reales (R)

Existen números irracionales muy conocidos en el mundo de la matemática como el número Pi, el número e y el número de Oro.

Hasta aquí ya hemos completado el conjunto de los números Reales, que está formado por los números Racionales y los números Irracionales.

Es así que a cada momento, cuando leemos algún artículo, cuando debemos realizar alguna compra o alguna medición siempre encontramos representantes de los diferentes conjuntos numéricos.

El cuadro que sigue resume el texto y agrega alguna información más:

Será conveniente que, después de leer, consulten las dudas que tengan sobre la información que brindan el texto y el cuadro. Ahora les proponemos algunas actividades:

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Actividad 1

Teniendo en cuenta los conjuntos numéricos, escriban V (verdadero) o F (falso) según corresponda en cada caso. Justifiquen sus respuestas.

(a) 1950 es un Número Real. (b) El número 11,68 es un número entero. (c) El número 3,5 se puede expresar como cociente de dos números enteros,

por eso se trata de un número racional. (d) -3 es un número natural. (e) Todo número natural es entero. (f) Todo número entero es natural. (g) Los múltiplos de 11 son números enteros. (h) La raíz cuadrada de de cinco es racional.

Actividad 2

Clasifiquen las siguientes expresiones en racionales o irracionales. Ayuda:

a veces resultará útil aplicar propiedades de la radicación

Intervalos numéricos

En el conjunto de los números reales se pueden definir intervalos como por ejemplo [-2; 5) que incluye todos los números que están entre el -2 y el 5 , incluyendo al 2 pero sin incluir al 5.

Actividad 3

Coloquen para cada raíz cuadrada los números enteros consecutivos entre los

cuales se encuentra el resultado de la misma.

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Actividad 4 Resuelvan las siguientes sumas algebráicas

a. 1

3+

2

5− 1 =

b. 3

8−

1

4−

5

2+ 1 =

c. 13

4+ 2

1

2−

7

8=

d. −7

20+ 1

4

5− 2

7

10+

5

2=

e. 1 − (5

8−

1

4) + 2

1

2=

f. 3

10− (−

1

5+ 4

3

10− 1) =

g. − (53

8+

11

4) + (−2 + 1

1

2) =

h. −25

6− (−

7

3+ 2

2

3) − (−4

1

2) =

Actividad 5

Traduzcan a lenguaje simbólico y resuelvan.

1. El siguiente del cuadrado de cinco:

2. El anterior del cubo de tres:

3. La tercera parte de quince, disminuida en dos:

4. El cuadrado del siguiente de seis:

5. La raíz cúbica del anterior de nueve:

6. La décima parte del cuádruplo de treinta:

7. La diferencia entre en cubo de cuatro y el cuadrado de siete:

Actividad 6 Planteen y resuelvan los siguientes problemas. a. Los tres séptimos de los alumnos del ingreso no realizan ningún deporte, la

mitad juega fútbol y los otros practican tenis. ¿Qué fracción del total practica tenis?

b. Joaquín utilizó 1/3 de su sueldo para comprar comida, ¼ del mismo para comprar ropa y el resto lo depositó en el banco. ¿Gasta más en ropa o en comida? ¿Qué fracción del sueldo depositó?

c. El asfalto de un camino se realizó en distintas etapas: las dos quintas partes, el primer día, un tercio, el segundo día, y se completó el trabajo el tercer día. ¿Qué fracción del trabajo se realizó el tercer día? ¿Qué día se asfaltó la mayor parte del camino?

d. Un automóvil necesita los 3/5 del tanque para recorrer la primera etapa de un camino, ¾ para la segunda y 5/8 para la tercera. ¿Le alcanza un tanque para recorrer las tres etapas? ¿En cuál de las etapas debe recargar combustible? ¿Llega a consumir dos tanques en toda la carrera?

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Guía de trabajo nº2

Ecuaciones En ocasiones necesitamos representar una situación problemática a través de una “expresión algebraica”. En una expresión algebraica relacionamos números reales y letras, llamadas

indeterminadas, a través de operaciones algebraicas como la suma, resta,

multiplicación y división.

Una expresión algebraica en la indeterminada x puede ser: x23.x4 2.x1

Otra expresión algebraica en la indeterminada x puede ser: x 2 Podemos tener más de una indeterminada, por ejemplo, sea la expresión:

3. x 2. y 5.z

En las actividades siguientes trabajaremos con expresiones algebraicas en una

indeterminada.

Cuando igualamos una expresión algebraica a un número (o a otra expresión

algebraica) tenemos una ecuación.

Una ecuación es un modo simbólico de plantear un problema a resolver. En ella suele

haber una incógnita que se puede representar con la letra x. Resolver una ecuación es encontrar el valor de x.

Actividad 1

(a) ¿Cuál es el número cuya tercera parte es 2

5 ?

(b) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es 9

5 ?

(c) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es

siete. ¿De qué número se trata?

(d) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es dos.

¿Cuál es el número?

(e) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a la

mitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son esos números?

(f) La quinta parte de un número es igual a la séptima parte de su consecutivo

aumentado en 1. ¿Cuál es el número?

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Actividad 2

Resuelvan las siguientes ecuaciones.

(a) 𝟑

𝟐x2,55

𝟏

𝟒x

(b) 4,33,2x5,2x7,3

(e) 𝟐

𝟓x1

𝒙−𝟐

𝟒

(g) x22104x6

(i) x1x15x

(b) 3 6x 4 1 2x 0,510

5

(d) 6x 4 x 1 1

10

3

(f) 3 24x 1 2x 1 3x 4

10

10 2

(h) 3x1x423x1

(j) Representen en la recta

numérica las soluciones de estas

ecuaciones

12


Inecuaciones

Actividad 1

Algunas preguntas para consultar:

- ¿Qué es una inecuación?

- ¿Qué diferencia existe entre una ecuación y una inecuación?

- ¿Cómo se representa en la recta numérica el conjunto solución?

Actividad 2

Resuelvan las siguientes inecuaciones y representen en la recta numérica

las soluciones que obtengan.

(a) 2 (x 4) 7 2x

(b) 2 32x 4 3 (2x1)

Actividad 3

Planteen la ecuación o inecuación correspondiente y resuelvan los siguientes problemas.

a. La suma entre un número y el doble de su consecutivo es igual a 35. ¿Cuál es el número?

b. El doble del anterior de un número sumado a su triplo es igual a 13. ¿Cuál es el número?

c. El triple de la suma entre dos números consecutivos es igual a 45. ¿Cuáles son los números?

d. El cuádruple de la edad que tenía Yolanda hace 2 años es igual al doble de la que tendrá dentro de 10. ¿Qué edad tiene Yolanda?

e. ¿Cuáles son los números que aumentados en 7 unidades son menores que el doble de 5?

f. Para un trabajo se pide que los postulantes tengan más que la mitad de la edad del jefe, que tiene 44 años, pero menos de 35. ¿Cuáles son las edades de loos posibles postulantes?

g. El peso de dos bolsas de manzanas no supera los 15 kg. Una de las bolsas pesa 4 kg. ¿Cuáles son los posibles pesos de la otra bolsa?

h. La edad de Aníbal es un múltiplo de 5 menor que 80 y mayor que 50. ¿Cuántos años puede tener Aníbal?

BLOQUE 2 – Polinomios

13


Introducción

En este bloque vamos a trabajar con un tema que será de utilidad para futuros

emprendimientos matemáticos.

El tema es el de los polinomios, y en particular los polinomios de una sola variable.

Seguramente al nombrarlo aparecen muchas anécdotas todas ellas con un punto en

común: “los polinomios son difíciles de entender porque tienen letras”

En parte es cierto: en cada término de un polinomio es posible que encontremos una

parte literal, pero no se nos debe escapar que esa parte literal representa números y

como tal deben ser tratados. ¿Qué significa esto?:

Seguramente recuerdes que en la escuela te enseñaron a descomponer los números.

En nuestro sistema de numeración se usan 10 dígitos para escribir los números: 1, 2,

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 0. Cada uno tiene un valor particular (absoluto) pero, además de

este valor “absoluto” puede adquirir otro según la posición que ocupen dentro de

determinado número (relativo):

En 1567 el 5 vale 500

En 1756 el 5 va le 50

En 5761 el 5 vale 5000 etcétera

Esto se debe a que el sistema numérico que usamos se llama decimal (porque usa

diez dígitos) y posicional (pues cada dígito tiene valor relativo dependiendo del lugar

que ocupa dentro de un número)

Es decir:

Luego 6571 = 6000 + 500 + 70 + 1

= 6 . 1000 + 5 . 100 + 7 . 10 + 1

= 6 . 103 + 5 . 102 + 7 . 101 + 1 . 100 (recordemos que todo número

elevado a la cero da uno). De a poquito fue apareciendo la base del sistema de numeración que usamos es decir

10.

Pero existen otros sistemas de numeración donde la base no es diez: las

computadoras usan un sistema en base 2, mi máquina filmadora usa un sistema en

base 16 (después de usar del 0 al 9 empieza a poner letras por ejemplo “1A” es 26)

14

Es decir que la base del sistema de numeración podría (si quisiéramos) ser un número

“x” cualquiera y lo anterior podría escribirse:

P(x)= 6 .x3 + 5 . x2 + 7 . x1 + 1 . x0

O de forma resumida:

P(x) = 6 .x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

¡Apareció un polinomio!

Esto quiere decir que un número es un polinomio, y esto a su vez quiere decir que

venimos trabajando con polinomios hace bastante sin darnos cuenta.

Ya sabemos que los números son polinomios pero nos convendría saber más

precisamente qué es un polinomio. Para eso vamos resolver algunas actividades con

polinomios de una sola variable: x, y , z o la que sea.

Vas a encontrar algo especial en las actividades de este bloque: inmediatamente

después de la actividad están las respuestas.

Para nada vayas a pensar que no es necesario resolver lo que pide el enunciado de

cada actividad, la idea no es que solamente tengas la respuesta correcta sino que

además la entiendas: ¿De qué valdría saber que esto o aquello es polinomio si

después, cuando los ejemplos fueran otros no lográramos distinguir si se trata de un

polinomio o de cualquier otra cosa?

Por eso preparamos unas indicaciones para la primera actividad y para las demás

será importante que trabajes del mismo modo. Y trabajar significa ponerse a tratar de

resolver las cosas con empeño y verdadera dedicación sin darse por vencido a la

primera dificultad. Para lograrlo es importante contar con alguien para trabajar juntos,

por eso te sugerimos que aproveches esta etapa para formar un grupo de trabajo para

Matemática y para otras materias.

Ahí vamos:

Actividad 1

Digan si las siguientes expresiones algebraicas son polinomios o no. En caso

afirmativo, señalen cuál es su grado y término independiente.

1) x 43. x 52. x25

2) √𝑥 + 7𝑥2 + 2

3) 1 − x4

4) 2

𝑥2 − 𝑥 − 7

5) x3 + x5 + x2

15

6) x − 2x−3 + 8

7) 𝑥3 − 𝑥 −7

2

Reflexionemos:

Así como están parece que todos son polinomios. Por ahí podríamos desconfiar de ese que tiene raíz cuadrada…

Veamos si las respuestas pueden brindarnos algo de ayuda:

Respuestas

1) x4 − 3x5 + 2x2 + 5 es un polinomio

Grado: 5, término independiente: 5.

Como se ve, conocer la respuesta no alcanza para entender todo lo que pide la actividad.

Resulta que el grado coincide con el valor del término independiente, así que lo podemos deducir que uno de los números 5 que aparecen en el polinomio es el grado. Como el otro es un “término” independiente debe ser el que está último y el grado debe ser la potencia mayor de x.

Si bien averiguamos algo del grado de un polinomio y del término independiente, todavía podemos no saber qué es un polinomio

2) + 7X2 + 2

No es un polinomio, porque la parte literal del primer término está dentro de una raíz.

En este caso aparece una razón por la que una expresión no es un polinomio. Teníamos razón en desconfiar: este no es polinomio

3) 1 − x4

Es un polinomio

Grado: 4, término independiente: 1. Otro polinomio.

Parece que el término independiente es el que no tiene x y aunque acá está primero sigue siendo el independiente.

El grado parece que es la potencia de la x, ¿pero cuál? Mirando el 1) parece ser la mayor

4)

16

No es un polinomio porque el exponente del primer término no es un número natural.

Otra razón para que una expresión algebraica no sea un polinomio. Pero ¿Cómo que el exponente del primer término no es un número natural? ¿El 2 no es un número natural?

Recordemos

Propiedades de las potencias:

a0= 1 (todo número a la cero da 1)

a1= a (todo número a la uno da el mismo número)

a-1= ( cuando el exponente es negativo se invierte la base y pasa a ser positivo)

a1/n= ( para pasar una raíz a exponente fraccionario se coloca en el numerador

an/m= el exponente de la potencia y en el denominador el índice de la raíz)

an. am= ( multiplicación de potencias de igual base se suman los exponentes)

an: am= (división de potencias de igual base se restan los exponentes)

(an)m = ( potencia de potencia se multiplica los exponentes)

a-2 = ……….

a1/2 =………..

Estas dos expresiones son potencias de exponente no natural porque -2 es un número ……………….. y 1/2 es un número …………………………. Como vimos en el bloque 1.

5) x3 + x5 + x2

Es un polinomio

Grado: 5, término independiente: 0.

Ahora ya sabemos

6) x − 2 x−3 + 8

No es un polinomio, porque el exponente de x en el 2º término no es un número natural.

Exacto, ya sabíamos: -3 es un número entero.

7)

Es un polinomio

Grado: 3, término independiente: −7/2.

17

Conclusión:

Para que una expresión algebraica de las que estamos estudiando sea un polinomio,

la x debe tener un exponente…………………………………..en cada término.

El grado de un polinomio es ……………………………………………………………………………………………………..

El término independiente es …………………………………………………………………………………………………….

Además:

Los números que acompañan a la x en cada término se llaman coeficientes. El

coeficiente del término que indica el grado del polinomio se llama “coeficiente

principal”

Actividad 2

En esta actividad traten de trabajar primero sin espiar las respuestas que figuran aquí, para después poder comparar su trabajo con esas respuestas.

Antes de empezar, recuerden que:

En todos los términos de un polinomio de variable x está la variable elevada a diferentes exponentes. El mayor es el que marca el grado del polinomio y el menor

que puede existir es “0” que está en el “término independiente” porque x0 = 1.

A veces un polinomio puede no tener algunas de las potencias desde el grado hasta 0, es decir el polinomio puede estar incompleto (como en 7 de la actividad 1)

Otras veces un polinomio puede estar desordenado( como el 1 de la actividad 1 que además está incompleto)

¿Trabajamos?

Escribir:

1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

2. Un polinomio no ordenado y completo.

3. Un polinomio completo sin término independiente.

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

A continuación, algunas respuestas para comparar con lo que hayas escrito o para

consultar si fuera necesario:

18

Posibles respuestas:

1. Un polinomio ordenado sin término independiente.

3x4 − 2x

(No dice que deba estar completo)

2. Un polinomio no ordenado y completo.

3x − x2 + 5 − 2x3

3. Un polinomio completo sin término independiente.

Imposible

(Para averiguar por qué revisen lo que significan las expresiones que están subrayadas)

4. Un polinomio de grado 4, completo y con coeficientes impares.

x4 − x3 − x2 + 3x + 5 ¿Cuáles son los coeficientes de los tres primeros términos? ¿Son números impares?

Guía de trabajo n° 2

En esta guía vamos a continuar trabajando con polinomios de una variable.

Como siempre vamos a trabajar en la resolución de actividades.

En los casos que sean convenientes se incluirán las respuestas para que puedan

consultar

En la Guía de trabajo nº 1 recordamos qué es un polinomio, cómo determinar su grado

y reconocimos sus coeficientes

Vimos que un número es un polinomio donde la “variable” (la parte litera l) toma el

valor de la base del sistema de numeración con el que estamos trabajando (si no se

acuerdan de qué se trata esto les sugerimos que relean la primera parte de la Guía de

trabajo nº 1).

Es decir: un polinomio P(x) (la x entre paréntesis es la variable) tiene un determinado “valor numérico” según el valor que se le asigne a su variable.

Recordemos que P(x) = 6 .x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

Tiene como “valor numérico” 6571 si x =10

Esto se expresa:

P(10) = 6571

19

Fíjense que ahora, entre paréntesis, en el lugar de la variable colocamos el valor de la

misma.

Pero si x toma otros valores el polinomio podría tener otros valores numéricos:

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Comprueben todos estos valores numéricos usando calculadora

Actividad 1

Dados los polinomios:

P(x) = 4x2 – 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x – 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(6) + Q (3) =

2) P(7) − U (7) =

3) [P(3) + R (2)]2 =

4) [S(4)]3 +2 T(8) + ½ U(6) =

5) [2 S(6)]2 – T(4) + ¼ [ U(2)]2 =

Respuestas

1) 159

2) 144

3) 3844

4) 1949

5) 1916

20

Como se ve hasta ahora trabajamos con números naturales pero la variable podría

tomar cualquier valor real.

Actividad 2


P(x) = x4 − 2x2 − 6x − 1

Q(x) = x3 − 6x2 + 4

R(x) = 2x4 − 2x – 2

Calcular:

1) P(1) + Q(1/2) − R(1) = 2) P(1) - 2 Q(1/2) − R(2) =

3) Q(2) + R(1) – [P(-1)]-2 =

Respuestas

1) - 27/8 2) -157/4 3) -225/16


En esta guía de trabajo continuamos con el trabajo con valores numéricos y

trabajamos con sumas y restas de polinomios

Actividad 1

Investigamos

Vamos a hacer una investigación:

Supongamos los polinomios P(x) y Q(x) de la actividad 1

P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

Y calculemos P(2) y Q(2)

P(2)= 15

Q(2)= 6

De aquí se desprende que P(2)+Q(2)= 21

Si sumáramos los polinomios en x y luego buscáramos el valor numérico del polinomio

resultante para x=2 ¿ese valor sería 21?

21

Seguro que ya están intuyendo la respuesta pero vamos a ver si la podemos

confirmar:

Para contestar esta pregunta vamos a tener que sumar P(x)+Q(x)

Es posible que ya sepan sumar polinomios, pero no vendría mal que repasáramos el

método.

Cada término de un polinomio es un monomio, la idea para sumar dos polinomios es

agrupar monomios homogéneos, es decir, con la variable a la misma potencia. Esto se

puede hacer juntándolos en un cálculo o haciendo “la cuenta”:

P(x) + Q(x) = (4x2 – 1) + (x3 – 3x2 + 6x – 2)

Pusimos paréntesis nada más que para que se note donde empieza y termina cada

polinomio, pero en realidad no hacen falta:

P(x) + Q(x) =4x2 – 1 + x3 – 3x2 + 6x – 2

Podemos agrupar términos (monomios) homogéneos:

P(x) + Q(x) =4x2− 3x2 + x3 + 6x – 2– 1 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Operando:

P(x) + Q(x) =x2 + x3 + 6x – 3 (debemos ser cuidadosos con los signos)

Cuando hacemos “la cuenta” lo que realizamos es lo mismo, solamente que

encolumnamos los monomios homogéneos:

Colocaremos arriba el P(X) …………..4x2 – 1 + 0x3+ 0x aquí completamos P(x) pero no hace falta

Colocaremos abajo el Q(x)………… −3x2–2 + x3 + 6x encolumnando

adecuadamente

Sumamos las columnas……………. x2 – 3 + x3 + 6x teniendo cuidado con los signos

Como podemos ver en ambos casos se obtiene el mismo resultado aunque ordenado

de manera diferente.

Si queremos podemos ordenar el resultado aunque no es necesario:

P(x) + Q(x) = x3+ x2 + 6x – 3

Y ahora lo que queríamos averiguar:

El valor numérico de este polinomio para x=2 es...: 21

¿Sospechabas que era así? ¿Por qué?

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ………………………………….

22

Obviamente lo mismo sucede con la resta

Vamos a hacer “la cuenta “ de Q(x) – P(x)

En este caso en vez de ser cuidadosos con los signos ¡hay que ser cuidadosísimos!:

− 3x2– 2+ x3+ 6x

-

4x2 – 1+0x3+0x

-7x2 – 1 +x3 + 6x

Hicimos “la cuenta” aunque también se podría hacer el cálculo horizontal como veremos en las respuestas de la actividad 1 de la siguiente guía


En esta guía de trabajo aplicamos lo que trabajamos en la guía de trabajo nº 2

Actividad nº 1


P(x) = 4x2 − 1

Q(x) = x3 − 3x2 + 6x − 2

R(x) = 6x2 + x + 1

S(x) = x2 + 4

T(x) = x2 + 5

U(x) = x2 + 2

Calcular:

1) P(x) + Q (x) =

2) P(x) − U (x) =

3) P(x) + R (x) =

4) 2P(x) − R (x) =

5) S(x) + T(x) + U(x) =

6) S(x) − T(x) + U(x) =

¡El primero ya está hecho!

23

Respuestas(con reflexiones incluidas):

1) P(x) + Q (x) =

= (4x2 − 1) + (x3 − 3x2 + 6x − 2) =

= x3 − 3x2 + 4x2 + 6x − 2 − 1 =

= x3 + x2 + 6x − 3

¿Se fijaron en que en cada renglón colocamos un “=” al principio y al final salvo en el último porque contiene el resultado? Esta es una manera convencional de escribir los cálculos que mostramos aquí para se acostumbren a hacerlo así. Como ven no solamente debemos preocuparnos por llegar al resultado final correcto sino también de la forma de expresar el modo en el que arribamos a ese resultado.

2) P(x) − U (x) =

Esta es una resta que vamos a resolver haciendo “el cálculo” en vez de “la cuenta”

= (4x2 − 1) − (x2 + 2) =

= 4x2 − 1 − x2 − 2 = (observen que al quitar el paréntesis se han producido cambios en los términos de U(x), esto se debe a que debe restarse)

= 3x2 − 3

3) P(x) + R (x) =

= (4x2 − 1) + (6x2 + x + 1) =

= 4x2 + 6x2 + x − 1 + 1 =

= 10x2 + x

4) 2P(x) − R (x) =

= 2 · (4x2 − 1) − (6x2 + x + 1) =

En este caso aparece una constante (el número 2) que multiplica a P(x). Igual que con los números, al operar con polinomios, se debe tener cuidado de separar en términos antes de empezar.

Esto quiere decir que primero se debe multiplicar P(x) por 2 y eso (como recordarán) se realiza haciendo uso de la propiedad distributiva:

= 8x2 − 2 − 6x2 − x − 1 =

Aquí hicimos dos pasos en uno:

- Multiplicamos P(x) por 2 y - Quitamos los paréntesis con lo cual cambian los signos en el segundo

polinomio debido a que estamos restando

24

= 2x2 − x − 3

5) S(x) + T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4 ) + (3/2 x2 + 5 ) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 3/2 x2 + x2 + 4 + 5 + 2 =3x2 + 11

6) S(x) − T(x) + U(x) =

= (1/2 x2 + 4) − (3/2 x2 + 5) + (x2 + 2) =

= 1/2 x2 + 4 − 3/2 x2 − 5 + x2 + 2 =

= 1


En la Guía de trabajo nº 2 calculamos el valor numérico de polinomios de una variable

para determinados valores de la variable x.

Además trabajamos con la adición y sustracción de polinomios en la Guía de trabajo

nº 3.

En esta guía cinco vamos a retomar algunas de esas cuestiones que venimos

trabajando para, a partir de ellas, avanzar algo más en temas que resultarán útiles en

la cursada de Matemática I

Consideremos el polinomio P(x) = 5x-2

Como ya sabemos el grado de P(x) es ............., su coeficiente principal es ........ y su término independiente es ..........

Como es fácil calcular P( ) = (compruébenlo)

En este momento están preparados para resolver un pequeño problema:

Actividad 1

Considerando P(x)= 5x-2

¿Para qué valor de x, P(x) tiene valor numérico 1?

Respuesta

El problema planteado supone averiguar un número que satisfaga:

1= 5x-2

Donde 1 es el valor numérico del polinomio P(x)

¡Es una ecuación!

Luego:

25

Sumando 2 en ambos miembros:

1 + 2 = 5x

Ahora dividimos ambos miembros por 5:

3

5= x

Respuesta:

El valor de x para el cual el valor numérico de P(x) es 1 es 3

5

Actividad 2

Calcula el valor de x para que el valor numérico de P(x) sea el indicado en cada caso:

a) P(x) = 3

x25

valor numérico de P: 29 2

b) P(x)= 1

x32

valor numérico de P: 7

3

c) P(x) = 5

x2

1 valor numérico de P:

9

7 7 28

d) P(x) = 3

1 x2

valor numérico de P: 7

4 4 4

Respuestas

Recuerden que las raíces de índice par tienen más de un resultado, esta es la razón por la que vamos a detallar la resolución de a), luego podrán trabajar en forma autónoma

a) La ecuación que se debe resolver es:

3

2x2529

Restando 5 a ambos miembros:

3

2x224

Dividiendo ambos miembros por 3

2:

x224 : 3

224.

2

3

(Porque dividir por 3

2 es lo mismo que multiplicar por

2

3)

Operando queda:

x216

26

Luego, aplicando a ambos miembros raíz cuadrada:

x√16De donde: x = 4 ó x = - 4

Ya que cualquiera de estos dos números elevados al cuadrado dan 16

b) x = 3 c) x = 1

2 ó x= −

1

2 d) x = 2 ó x= -2


Hasta ahora seguramente no tuviste problemas para resolver las ecuaciones que plantea cada ejercicio de la guía de trabajo nº 4 del Bloque 1, pero a veces las cosas pueden ser más complejas:

Actividad 1

Encuentren el valor de la variable x para que el valor numérico de R(x) = 6.x2 + x sea

1

Respuesta

Al principio procedemos de la manera habitual:

6.x2 + x = 1

Pero en seguida nos damos cuenta de que esta ecuación no puede resolverse fácilmente mediante la radicación.

Recordemos:

La fórmula

Permite encontrar las soluciones de una ecuación cuadrática en la que el segundo miembro es cero:

Una ecuación cuadrática puede llevarse a esta forma operando en ambos miembros convenientemente

Recordemos que las “raíces” o “ceros” son los valores de x para los que y se hace cero, en otras palabras las raíces son los valores de x para los que el valor numérico de un polinomio Y(x) de grado 2 es cero. Se trata de una fórmula para resolver “ecuaciones cuadráticas igualadas a cero”

¡Nosotros tenemos un polinomio de grado 2!

27

6.𝑥2+ x = 1

Lo único que pasa es que el valor numérico es 1 en vez de cero, pero eso se puede arreglar restando 1 a cada miembro:

6.𝑥2+ x - 1= 0

Ahora podemos usar la fórmula para averiguar los valores de x, solamente hay que recordar quiénes son a, b y c. Para ello les damos algunas pistas:

- a es el coeficiente del término cuadrático (con su correspondiente signo), en este caso: …………….

- b es el coeficiente del término lineal (con su correspondiente signo), en este caso: …………….

- c es el término independiente, en este caso: …………….

Una vez que hayan realizado los cálculos correspondientes van a obtener dos soluciones para esta ecuación:

x=

1 y x=

1

2 3

Esto quiere decir que el polinomio R(x) tiene como valor numérico 1 cuando x = 1

ó 2

x = 1

.

3

Compruébenlo reemplazando ambos valores en la expresión original de R(x)


Multiplicación de polinomios

Para multiplicar polinomios aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación

respecto a la adición y sustracción, además de la propiedad del producto de

potencias de la misma base.

Por ejemplo:

Dados P(x)= 2.x2 +x – 3 y Q(x)= x – 2

El producto P(x).Q(x)= (2.x2 +x- 3) . (x-2) lo hallamos aplicando la propiedad

distributiva de la multiplicación. Para ello multiplicamos cada término del

polinomio P(x) por cada uno de os términos de Q(x).

P(x).Q(x)= 2.x2.x + 2.x2.(-2)+x.x+x.(-2)-3.x-3.(-2)

P(x).Q(x)= 2.x3-4.x2+x2-2.x-3.x+6 (2.x2.x=2.x3 pues por producto de potencias de la

misma base los exponentes de la indeterminada x se suman y 2+1=3)

P(x).Q(x)= 2.x3-3.x2-5x+6 (los términos del mismo grado se suman entre sí)

Podemos observar que el grado del polinomio producto es igual a la suma de

los grados de los polinomios factores.

28

Es decir: gr[P(x).Q(x)]= gr(P(x))+gr(Q(x))

gr(P(x))= 2

gr(Q(x))= 1

gr[P(x).Q(x)]= 2+1 = 3

Otra forma de realizar la multiplicación es disponiendo los polinomios, ordenados y

completos, tal como lo hicimos para la suma y la resta:

2.x2 +x – 3

. x - 2

Según esta disposición comenzaremos a multiplicar por el término de grado cero

del polinomio escrito en el segundo renglón, es decir, multiplicamos por -2:

2.x2 +x – 3

.x - 2

-4.x2 -2.x+6

Ahora multiplicamos por el término de grado uno del segundo polinomio y vamos ubicando los productos obtenidos en columnas según su grado:

2.x2 +x – 3

. x-2

-4.x2 -2.x+6

2.x3+1.x

2 -3.x

A continuación sumamos los términos que se encuentran en una misma

columna: 2.x2 +x – 3

. x - 2

-4.x2 -2.x+6

+ 2.x3+1.x2 -3.x

2.x3-3.x2-5.x+6

Cualquiera de las dos formas dadas nos permite llegar al mismo resultado.

Actividad 1

Dados los siguientes polinomios:

A( x) x 44x 3 x 22x 1

B ( x)12 x 33x

13

29

C ( x)4x 52x 3 x23

D ( x) x 3 x 2 x 23

Se pide: a ) A( x ).B ( x)

b ) A( x ).C ( x)

c )C ( x ).D ( x)

Actividad 2

Teniendo en cuenta los polinomios de la actividad anterior, se pide:

a )A( x ) B ( x ).C ( x) b

)C ( x ) B ( x ).D ( x)

c )A( x ) D ( x ).B ( x) C ( x)


División de polinomios

Antes de comenzar a dividir polinomios debemos considerar algunas cuestiones: Para

llevar a cabo esta operación se deben ordenar y completar los polinomios dividendo y divisor. Recordemos que para ordenar un polinomio se tiene en cuenta el

grado de cada monomio que lo compone y se hace de mayor a menor grado. Recordemos también que para completar se agregan términos de coeficiente cero.

Por último: El grado del dividendo, debe ser mayor o igual que el grado del divisor. Si esto no se

cumple la división no se puede realizar. Ahora sí estamos en condiciones de comenzar a dividir.

Ejemplo 1:

Te proponemos la siguiente división:

Dividendo (2x4 + 3x3- x2 –1) : (x – 2) Divisor

También la podemos escribir de esta otra forma

2x 4 + 3x3 - x 2 -

1 x 2

Comencemos:

El polinomio dividendo ya está ordenado pero incompleto, lo completamos con

0x, entonces:

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1

x – 2

Ahora si estamos en condiciones de dividir.

30

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1

x – 2

1º) Tomamos el primer término del

dividendo y lo dividimos con el primer

término del divisor. Esto nos va a dar el

primer término del cociente.

Recuerden que cuando dividimos potencias de igual base se restan los exponentes, y

esto es lo que estamos haciendo al dividir x4 con x por lo tanto 2x4: x es igual a 2x3

2x4 + 3x3- x2 + 0x –1

x – 2

2x3

Ahora “bajamos” el término siguiente, y repetimos el procedimiento anterior.

Repetimos el procedimiento luego de bajar 0x.

2º) Tomamos el primer término del cociente y lo

multiplicamos con el primer término del divisor. El

resultado de esta multiplicación lo colocamos

debajo del término que tiene igual grado en el

dividendo, para luego restarlo. Lo mismo hacemos

con el segundo término del divisor (-2) y si hubiera

más términos repetiríamos el procedimiento.

Observen que ponemos los signos contrarios al

resultado de la multiplicación porque queremos

restar.

(Recuerden que restar una expresión es

equivalente a sumar la opuesta de esa expresión)

31

No podemos seguir dividiendo ya que el grado del resto es menor que el grado del divisor. A propósito ¿cuál es el grado del resto? ...........................................................................................

Por último el resultado de dividir

2x 4 + 3x3 - x 2 -1

x2

es 2x3 + 7x2 + 13x+26 con un resto de 51.

Ahora sabemos que x– 2 no es divisor de 2x4 + 3x3 – x2 – 1 ¿por qué?

...........................................................................................................................................

.............

...........................................................................................................................................

.............

...........................................................................................................................................

.............

Otra forma de hacer esta misma división

Las divisiones en las cuales el divisor es un BINOMIO DE PRIMER GRADO con el coeficiente principal igual a uno, se pueden resolver por la regla de RUFFINI.

Construimos un cuadro como el siguiente y en el cuadrante superior derecho vamos a colocar los coeficientes del dividendo, ORDENADO Y COMPLETO

32

Bien, ahora que sabemos cómo armar el tablero comenzamos a aplicar la regla.

33

ES CIERTO!!!!! No se equivocaron son los coeficientes del polinomio cociente y el último valor es el resto

La regla de Ruffini baja en una unidad el grado del polinomio dividendo (estamosdividiendo un polinomio de grado 4 con otro de grado 1), por lo tanto el

resultadoquedaría:

c(x) = 2x3 + 7x2 + 13x+26 con resto 51

¿Es más fácil no?, claro que si!!!!! Pero recuerden que la regla de Ruffini solo puede aplicarse cuando el divisor es de la forma x + aóx–a en donde “a” es un número real.

Ahora vamos a resolver algunos ejercicios en donde van a utilizar el algoritmo de la división y luego las van a verificar usando el método de Ruffini

Actividad 1

1) (3x3 + 4x2 + 15) : (x – 3) = Respuestas:

(–2x4 – 3x3 + 2x) : (x + 4) = 1) 3x2 + 13x + 39 R(x)= 132

2) 2) –2 x3 + 5x2 –20x + 82 R(x)= –328 3) x2 –3x - 6 R(x)=0

3) (x3 − 5x2 + 12) : (x −2) =

Ejemplo 2:

Sean los polinomios:

34

P(x) = 3x2 + 3x3 – 2 y Q(x) = 2x + 1

Realizar la siguiente división: P(x) : Q(x)

Listo!!!! C(x) = 3

x 2

3 x

3 con R(x)=

13

2 4 8 8

¿Van entendiendo el procedimiento?... DE A POCO Y CON MUCHA PRÁCTICA!!!!! No desesperéis. Vamos a hacer otro ejemplo, pero antes verifiquemos la división anterior…

¿Cómo lo harían?... No se apuren!!!!

¿Están tentados a hacerlo por la regla de Ruffini?

NO SE PUEDE…

Recuerden que para usar la regla de Ruffini el polinomio divisor debe ser de la forma x ± a

¿Cómo se hace entonces?

Simple…

Dividendo = cociente × divisor + resto

P(x) = C(x) . Q(x) + R(x)

Entonces reemplacemos los polinomios y operemos

P(x) = ( 3 x 2 3 x 3 ) . (2x + 1) + ( 13 )

2 4 8 8

Multiplicamos (debemos utilizar propiedad distributiva) y luego sumamos Ejemplo 3

Vamos a dividir M(x) con T(x)

M(x) = 4x42x

32x1 T(x) = 2x

31

El resto es cero!!!! ¿Qué significa? Verifiquemos:

M(x) = C(x) . T(x) + R(x) pero como R(x) = 0:

M(x) = C(x) . T(x)

Reemplacemos

35

M(x) = ( 2x31) .( 2x1 ) "Deja Vù"!!!!! ¿Dónde vimos esto antes? Convertimos una

suma algebraica en un producto... Clarooo…..es la forma factorizada del polinomio.

Ahora les dejamos unos ejercicios para que resuelvan ustedes solos (o en grupo).

Actividad 2

Dividir:

a) (-2x4 + 3x3 − 4x2 + 3x − 8) : (4x + 1) =

b) (3x5 – 2x4 − 2x2 + x − 6) : (3x – 2) =

c) ( 32x3 2x4 3x1) : (2x–5) =

d) (7x6 – 4x4 + 6x3 + 3x5 − 8) : (x2 + 2) =

e) (− 3 + 2x2 + 5x4 − 3x) : (x2 – 3) =

f) ( 32x5 2x2

12x3 3x 4) : (3x+2) =

No se olviden de verificar!!!!


Algunos Casos de Factoreo

Nota preliminar

En este momento tendríamos que ver cómo hacemos para que un polinomio quede

escrito como multiplicación con el objeto de intentar simplificar.

Esto es a lo que se llama “factorear” polinomios.

Unamanera de factorear es mediante los llamados “casos de factoreo” que a vecesse

presentan como seis y en un orden determinado.

Probablemente ya los han visto en la escuela secundaria y nuestra intención es

ayudarlos a reverlos e incluir alguna otra alternativa.

Brevísima introducción al tema

Hay números y expresiones algebraicas que no aparecen escritas como una

multiplicación y sin embargo es posible escribirlas como tales.

Por ejemplo:

29 + 7 = 36 =9 . 4

36

O sea partimos de una suma y obtuvimos una multiplicación (como 9 y 4 son los

factores decimos que este es un posible factoreode 36)

Del mismo modo, sabemos que

x.( 3x + 6)

es, aplicando propiedad “distributiva”

3x2 + 6x

pero si “pensamos al revés”

3x2 + x = x.( 3x + 6)

A este polinomio de grado 2 lo hemos escrito como una multiplicación y diremos por ello que lo hemos factoreado (pasamos de la forma aditiva a la forma multiplicativa) a) Factor común

Así como en los números

30 + 21 = 3 . 10 + 3 . 7 = 3 .( 10 + 7 )

(Observen que el factor 3 está presente en los dos términos, por eso se le dice factor

común)

Podemos escribir

2.x + 3.x4 =

Como

2.x + 3.x.x3 = x.( 2 + 3.x3 ) = x.(2 + 3x3 )

Ya factoreamos, nos quedó:

2.x + 3.x4 = x ( 2 + 3x3 )

(Si quisiéramos, podríamos verificar el resultado aplicando “distributiva”)

Otro ejemplo:

x3 + 2 x2 = x2. x + 2 . x2 = x2.( x + 2 ) Si usamos además propiedad conmutativa

y asociativa de la multiplicación

Luego:

x3 + 2 x2 = x2 (x +2)

Puede darse el caso de 2 ó más factores comunes, por ejemplo:

6 x2 – 10 x3 = 3.2x2 – 5 .2x2. x = 2x2.(3 – 5x)

6 x2 – 10 x3 = 2x2.(3 – 5x)

37

Ejemplo de un caso frecuente

-2x3 – 4x2 = -2x2.(x + 2)

También podríamos factorear de otra forma:

-2x3 – 4x2 = 2x2.(-x - 2) (¿Dudan?: distribuyan....)

Ambos resultados son correctos

Ejercicios

Expresar, si es posible, como multiplicación: a) 4x3 + 6x2 – 10x b) 2x4 – 2x3 + x2 c) 8m3 – 12m2 + 4m – 1

d) 18p4 + 12p3 – 12p2 + 6p

b) Diferencia de cuadrados

Este caso es muy sencillo y solamente veremos la forma en la que se realiza el

factoreo

a2 – b2 = (a – b). (a + b)

También pueden comprobar la validez de este caso mediante la propiedad distributiva.

(¡qué creatividad para darle nombre! “Diferencia de cuadrados”)

a2 – b2

“a – b” y “a + b” son binomios “conjugados”(como habrán advertido “a” y “b” son las bases de los cuadrados)

Así, por ejemplo:

x2 – 9 = (x – 3 ). (x + 3)

Otro ejemplo:

x2−1

4= ( x -

1

2 ) . ( x +

1

2 )

Otro más:

25 – x2= .......................

38

Actividad 1

Expresar, si es posible, como multiplicación:

a) x2 – t2

b) x4 – 81 c) 1 – x2 d) t2 + 4

e) x2 – 2

c) Trinomio cuadrado perfecto (tcp) / cuadrado de un binomio

Al elevar al cuadrado un binomio se obtiene una expresión llamada TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP):

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y (a - b)2= a2 – 2ab + b2

Observen las características de cada término de los trinomios obtenidos.

Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podríamos escribir el polinomio

x2 + 6 x + 9

Como:

x2 + 6 x + 9 = x2 + 2.3.x + 32

En la última expresión se advierte que el polinomio es un TRINOMIO CUADRADO

PERFECTO, es decir que proviene de elevar un binomio al cuadrado.

Luego:

x2 + 6 x + 9 = (x + 3)2

Como es muy sencillo pasemos a resolver algunos

Actividad 2


a) x2 + 10x + 25

b) x2 – 2x +1

c) x2 + x +1

4

d) x2 – 6x + 18

e) 9 + x2 – 6x d) Cuatrinomio cubo perfecto (ccp) / cubo de un binomio

Al elevar al cubo un binomio se obtiene un polinomio que se denomina CUATRINOMIO CUBO PERFECTO (CCP):

(a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 y (a - b)3 = a3 - 3 a2 b + 3 a b2 - b3

Observen las características de cada término de los trinomios obtenidos.

39

Intentando pasar de la forma aditiva a la multiplicativa podríamos escribir el

polinomio x3 – 3x2 + 3x – 1

Como:

x3 – 3x2 + 3x – 1 = x3 + 3.x2.(-1) + 3. x.(-1)2 + (-1)3

Que, como se ve, es un

ccp Luego:

x3 – 3x2 + 3x – 1 = (x –1)3

Actividad 3


a) x3 + 6x2 + 12x + 8

b) y3 – 3xy2 + 3x2y – x3 c) x3 – x2 +

1

3 x -

1

27

d) x3 + 3x2 + 3x – 1


Factoreo por raíces.

Todos los polinomios tienen – al menos – una raíz y pueden escribirse como el siguiente producto:

P (x) = (x – raíz) . Q (x)

Como se darán cuenta, Q(x) es el cociente de dividir

Q(x) = P(x) : (x – raíz) 2

Este cociente que se puede obtener mediante la regla de Ruffini (¿Por qué?)

Ejemplo 1

Supongamos que queremos factorear x3 – 1.

x= 1 es una raíz de ese polinomio (¿por qué?)

Entonces, según lo anterior

x3 – 1 = ( x – 1 ) . Q(x)

Siendo Q(x), como se dijo, el cociente de (x3 – 1) : (x – 1) (que, como también se dijo,

podría hacerse mediante la regla de Ruffini)

Realicen la división:

Obtendremos:

x3 – 1 = ( x – 1 ) . (x2 + x + 1) Como se ve, hemos podido

factorear x3 – 1

40

Nota: En rigor, todo polinomio puede escribirse como

P(x) = a .(x – r1) (x – r2) (x – r3) … (x –rn)

siendo “a” su coeficiente principal y r1, r2, r3,... rn las n raíces que admite un polinomio

de grado n. Nosotros trabajamos sólo con raíces reales.

Otro ejemplo: Ya sabemos cómo obtener las raíces de

x2 – 5x + 6

¿Cómo?

Si procedemos según lo anterior nos quedará...

¿ y si también lo hacen ustedes? (no sean tan confiados, pudimos equivocarnos)

x2 – 5x + 6 = (x-3).(x-2)

Fíjense que 2 y 3 son las dos raíces del polinomio.

Para hallar las raíces de un polinomio de grado n se usa el Teorema de Gauss.

Sea por ejemplo: P(x)= x32x211x12 Para hallar las raíces del polinomio usaremos el Teorema de Gauss, que expresa que

las raíces se encuentran entre los divisores del término independiente puesto que el

coeficiente principal del polinomio es 1, si así no fuese, deben hallarse los divisores

del coeficiente principal y formar las fracciones entre los divisores del término

independiente sobre los divisores del coeficiente principal. En nuestro ejemplo el

conjunto de divisores es 1,1, 2,2, 3,3, 4,4, 6,6,12,12 Utilizando el Teorema del resto buscaremos aquellos valores de x que anulan

el polinomio. Probaremos con x= 3 y x= 4

33 2.32 11.3 12 27 2.9 33

12 33 2.32 11.3 12 27 18 3

12 33 2.32 11.3 12 18 0

El valor x=3 no es raíz del polinomio asociado.

43 2.42 11.4 12 64 2.16 44

12 33 2.32 11.3 12 64 32 44

12 33 2.32 11.3 12 0

El valor x=4 es raíz del polinomio, entonces se puede usar la regla de Ruffini

para encontrar las otras raíces, si existen:

1 2 11 12

4 4 8 12

1 2 3 0

2 Por ejemplo en los números, si 28 = 4 .k tenemos que k = 7 = 28 : 4 comparen esto con lo

escrito para polinomios.

41

Obtenemos la siguiente igualdad: x32x211x12x4.x22x3 Seguimos factorizando el paréntesis que contiene un polinomio de segundo grado.

El conjunto de las posibles raíces de este polinomio es 1,1, 3,3 Elegimos x= 1 y utilizamos Ruffini:

1 2 3

1 1 3

1 3 0

La última igualdad obtenida es: x32x211x12x4.x1.x3 Hemos

hallado la expresión factorizada del polinomio dado.

Actividad 1


a) x2 + 3x – 4

b) –3x2 + 12 c) x3 + 8

d) x4 – 1

e) x5 + 1

32

Reflexiones interesantes

Si miramos bien, los casos de factoreo los podríamos haber omitido y habernos

quedado sólo con esto de las raíces porque, por ejemplo:

4 – x2 tiene a x=2 como raíz

Entonces

4 – x2 = (x – 2 ) . ......

O también:

x4 – 1 se puede pensar como una diferencia de cuadrados, ¿no?

En conclusión tienen la posibilidad de aplicar los casos de factoreoó esta propiedad de

las raíces de un polinomio para pasar de la forma aditiva a la multiplicativa. Manéjense como mejor les parezca. Quizá lo mejor sea hacer un “mix” según el polinomio a factorear.

42

Actividad 2

Ejercicios para ponerse a prueba

a) 2x3 – 18x

b) x3 - 6x2 + 12x - 8 c) x4 - 16 d) –x2 – 8x – 16 e) 3x2 + 3ax + ax2 + a2x

f) 1

2x2 + 2x -

21

2

g) 4x – 16x3


Actividad 1

Una lectura con poco para hacer

Como estuvimos viendo hasta ahora, un polinomio adquiere diferentes valores numéricos de acuerdo al valor que adquieren sus variables (hasta ahora no lo dijimos pero ustedes saben que un polinomio podría tener más de una variable, pero no se asusten que no es de eso de lo que queremos hablarles).

Se puede establecer una relación entre los valores de las variables y el valor numérico que adquiere el polinomio por ejemplo (ya lo hicimos en la propuesta de trabajo 2):

Si P(x) = 6 .x3 + 5 . x2 + 7 . x + 1

P(10)= 6571

P(2) = 83

P(7) = 2353

P(15) = 21481

Podemos construir una tabla en la que a cada valor de x le corresponde un único valor numérico de P(x):

x P(x)

10 6571

2 83

7 2553

15 21481

3

4

5

Completen la tabla.

Esto significa que existe una función que relaciona cada x con un único valor numérico

43

Si llamamos “y” a los valores numéricos del polinomio para cada x la tabla queda como habitualmente, solamente hay que considerar entre qué valores puede encontrarse el valor de x y el tipo de número que puede ser es decir el “dominio” de la función. Por ejemplo si x solamente puede tomar los valores que pusimos en la tabla, el dominio de la función sería el conjunto de números Naturales:

D = {2, 3, 4, 5, 7, 10,15}

Además el conjunto imagen está formado por los valores que puede adquirir la y, en este caso (complétenlo, sin olvidar las comas, y cierren la llave):

I = {83, .......................................................

En este Módulo curso de ingreso trabajaremos con funciones lineales y cuadráticas.

44

BLOQUE 3: Funciones - Función Lineal

Introducción:

En este bloque, trabajaremos en el estudio de las funciones en general y comenzaremos a recordar, en particular, a la función lineal. Se volverán a familiarizar con conceptos como dominio, imagen, conjuntos de ceros, de positividad y negatividad, intervalos de crecimiento y decrecimiento, ordenada al origen, pendiente así como también con el análisis e interpretación de gráficos, pero no se preocupen si les parece que no se acuerdan de nada, solamente ocúpense y recuerden que no están solo en este desafío.

I - Funciones

Las funciones son relaciones que nos permiten describir situaciones de la vida diaria y de diversas ciencias, incluyendo a la matemática, para luego poder analizarlas e interpretarlas. En la primera parte de este bloque trabajaremos con la noción de función y estudiaremos algunas de sus propiedades a partir de sus gráficas y tablas. En la segunda parte nos ocuparemos particularmente de la función lineal.


Pongamos en práctica nuestra capacidad para interpretar gráficos

Actividad 1

El gráfico muestra la evolución del peso medio de un varón y una mujer en los

primeros 15 años de su vida. Analizando el gráfico respondan:

(a) ¿Cuáles son las variables se relacionan?

(b) ¿Cuál fue el peso del varón a los 5 años?

(c) ¿Cuál fue el peso de la mujer a los 10 años?

(d) ¿A qué edad el varón peso 35 kg? (e) ¿A qué edad la mujer peso 45 kg? (f) ¿Entre qué edades la mujer pesó

más que el varón? (g) ¿Aproximadamente a qué edades

ambos pesaron lo mismo?

45

Actividad 2

Este gráfico muestra las variaciones en el nivel normal de un lago argentino durante un año. El eje de abscisas (¿cuál será?) representa el nivel considerado normal del lago

Observen el gráfico para responder:

(a) ¿En qué meses estuvo por encima de su nivel normal? (b) ¿En qué meses estuvo por debajo de su nivel normal? (c) ¿En qué mes/es mantuvo su nivel normal? (d) ¿Cuál fue la variación de nivel que tuvo en todo el año? Para calcularlo,

tengan en cuenta el pico máximo y el mínimo de altura alcanzada por el lago.

(e) Si el aumento del nivel fue producido por grandes lluvias, ¿en qué estación del año ocurrió?

(f) ¿En qué mes se produce el mayor aumento de nivel? (g) ¿En qué mes se produce la mayor disminución de nivel? (h) ¿Cuánto metros disminuyó el nivel entre abril y junio? (i) ¿Cuántos metros aumentó el nivel en febrero? (j) ¿Durante cuántos meses disminuyó el nivel? (k) ¿Durante cuántos meses aumentó el nivel? (l) ¿Durante cuántos meses se mantuvo igual el nivel?

Ahora empecemos a trabajar con funciones y sus características:

En este tema se han incluido algunas “claves” teóricas en recuadros como el siguiente, es importante que las tengan en cuenta a la hora de estudiar

Por si no se acuerdan, una función es una relación entre dos variables, en la

cual, a cada valor de la primera le corresponde un único valor de la segunda.

Para cada valor de x debe corresponderse un único valor de y.

46

Actividad 3

a) Indiquen cuáles de los siguientes gráficos representan funciones.

a. Indiquen si las siguientes tablas corresponden o no a una función. Justifiquen sus respuestas en cada caso.

c) Indiquen el dominio y la imagen de las siguientes funciones teniendo en cuenta que el lado de la cuadrícula representa una unidad.

Dominio: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variableindependiente, es decir x.

Imagen: es el conjunto formado por los valores que puede tomar la variabledependiente, es decir la y.

47

d) Observen el gráfico de la siguiente función y respondan (a) ¿Cuál es el dominio de la función? (b) ¿Cuál es la imagen? (c) ¿Cuál es la imagen de 8? (d) ¿El punto (-4;0) pertenece a la

función? (e) ¿Y el (3;2)?

(f) Completen:

f(-1)=_____ f(____)=-4

f(3)=_____ f(____)=2

f(0)=_____ f(____)=8

f(-7)=____ f(____)=0

e) Escriban el dominio y la imagen de las siguientes funciones.

Recuerden que: Un intervalo numérico es un conjunto de números que puede escribirse: [a,b] que

indica todos los valores entre a y b incluyendo los valores de a y de b [a,b) que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de a pero no el de

b (a,b] que indica todos los valores entre a y b incluyendo el valor de b pero no el de

Actividad 4

Escriban los conjuntos de ceros, positividad y negatividad de las siguientes funciones:

Recuerden:

Conjunto de ceros o raíces: son los valores de x para los cuales y vale 0. En el gráfico son los puntos de corte de la función con el eje x. Observen para qué valores de x la función está por debajo o por arriba del eje x. Conjunto de positividad: son los valores de x para los cuales la función es

positiva. Conjunto de negatividad: son los valores de x para los cuales la función es

48

Actividad 5

Observen el gráfico y escriban.

(a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

(b) El o los intervalos donde es constante la función.

(c) El o los puntos máximos y/o mínimos relativos.

Ayuda: Intervalo de crecimiento: son los valores de x para los cuales la función

crece. Intervalo de decrecimiento: son los valores de x para los cuales la

función decrece.

Tienen que observar, al tomar valores cada vez más grandes de x que pasa con y

, es decir si aumenta o disminuye.

Actividad 6: Para cada uno de los siguientes gráficos responder:

a) Cuál es el Dominio?

b) Cuál es el conjunto Imagen?

c) Tiene raíces? Cuáles?

d) Cuál es la ordenada al origen?

e) Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.

f) Escribe los conjuntos de positividad y de negatividad.

g) Escribe los máximos y los mínimos.

h) La función tiene extremos absolutos? Cuáles?

Gráfico I

49

Gráfico II

Gráfico III

Gráfico IV

50

II - Función Lineal

Las funciones lineales aparecen en muchas situaciones economía, la física, etc.; y suelen ser el punto de partida funciones.

de la vida cotidiana, la para el estudio de otras

En esta segunda parte del bloque analizaremos juntos los conocimientos adquiridos, específicamente sobre las características principales de dichas funciones y las propiedades que tienen sus representaciones, mediante gráficos, tablas de valores y fórmulas. También aquí se han colocado algunos recuadros con datos útiles para estudiar y guiar las consultas que necesiten realizar

A trabajar entonces…


Actividad 1

Un técnico aeronáutico, en el año 1995, cobraba por cada reparación que realizaba un valor fijo de $15 y un adicional proporcional al tiempo que le insumía su trabajo, que calculaba tomando como parámetro $10 la hora.

(a) Completen la tabla y encuentren la fórmula de la función que relaciona el

costo C de un trabajo y el tiempo t (en horas) que le demanda hacerlo

(c(t)).

Tiempo

0,5 1 1,5 2 3 4

(h)

Costo

($)

(b) Representen gráficamente la función c(t). (c) ¿Cuál será el costo de una reparación que le requirió 5 horas de trabajo? (d) ¿Cuántas horas trabajó en un arreglo que cobró $75?

51

Recordemos que:

Una función f es lineal si tiene una expresión de la forma:

f (x) = m x + b

Donde m y b son dos números fijos y si m = 0 nuestra función sería constante e igual a b

La gráfica de una función lineal es, por supuesto, un conjunto de puntos que están sobre una recta.

Sabemos que la gráfica de una función f son los puntos (x; y) del plano cartesiano que verifican y = f(x).

Por lo tanto los puntos de la gráfica de una función lineal verifican f (x) = m x + b

Actividad 2

Decidan si cada una de las siguientes fórmulas puede corresponder o no a una función lineal:

Función

¿Es función Función

¿Es función

Lineal?

Lineal?

y 3x 2 12y 3 x

y 4: (5x) 7y 2 8x

3x 2 y 3x 2

y 1 x y 3x 32

3

y 0,5x 3 3x2

Información útil:

Para obtener la pendiente `m´, es necesario utilizar la siguiente fòrmula:

Donde (x1;y1) y (x2;y2) son las coordenadas de dos puntos que pertenecen a la recta

Si m = 0,f es una función constante: f(x) =b

Si m ≠ 0, f es una función lineal: f(x) = mx + b

El término independiente `b´ es la ordenada al origen, siendo (0;b) el

punto de intersección con el eje de ordenadas.

52

Actividad 3

a) Completen la siguiente tabla:

Fórmula de la Función Pendiente

Ordenada al Origen

Lineal

f (x)0,5x 1

g ( x )3x

h(x) 1 0

h(x) 0 1

f (x)23x 5

g(x)

3x........

2

b) Completen la tabla de valores y representa en el plano cartesiano cada una de las siguientes funciones lineal

(a) y = x + 2 (b) y = -x +1 (c) y = 2/3x–1

X Y X Y X Y

-2 -4 -3

0 0 0

1 2 3

c) Marquen con una cruz los puntos que pertenecen a cada recta. Justifiquen sus

respuestas mediante cálculos.

Actividad 4

1) Observen la gráfica de la función f.

53

y

x

(a) Escriban las coordenadas de tres puntos que pertenezcan a la gráfica de f. (b) ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones representa la relación entre la

x y lay?

I. 2 y 3x 18 II. y 3 x 9

2

III. 6 y 9x 0 IV. y x 1

9 6

(c) ¿Cómo se podría obtener la pendiente de la recta graficada a partir de las

coordenadas de dos de sus puntos?

2) Calculen la pendiente de cada una de las siguientes rectas graficadas.

54


Otro tema “pendiente”

Recordemos que…

Si los puntos P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos

dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.

Para ello tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.

Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente. O sea

y

Luego, la ecuación de la recta que pasa por dos puntos es:

Actividad 1

55

a) En cada fila de la siguiente tabla se indican dos puntos A y B de una recta, y su

pendiente m. Completen la tabla y luego representen cada recta en el plano

cartesiano.

A = (x1; y1) B= (x2; y2) m

N (2;5) (-1;0)

R

(-3;2)

(0;-4)

T

(2;4)

(-3;…..) 1

Q (…..;1/2) (8;1) 3/2

S (-2;3) (2;5)

V (-8;…..) (1/2;5) 0

b) Completen teniendo en cuenta los ejercicios anteriores.

(a) Si la pendiente es un número………………….., la función es decreciente. (b) Si la pendiente es un número…………………., la función es creciente. (c) Si la pendiente es igual a………………………, la función es constante.

c) Usando la información que aparece en el último recuadro, encuentren la ecuación

de las rectas del punto 2) de la actividad 4 de la guía de trabajo nº2 de este bloque

Ejercicios de repaso del bloque:

1) Grafiquen una función que cumpla con las siguientes condiciones.

Crecimiento: Es constante: (¿se acuerdan lo que significa ^?)

Máximo:

2) Observen el gráfico y respondan.

¿Cuáles son las raíces? ¿Cuál es la imagen de -5? ¿Y cuál la de 0? ¿Para qué valor de x la imagen es 4? (preimagen de 4) ¿Cuál es la preimagen de -3? ¿Para qué valores de x la función vale 3? Den tres valores de x con la misma imagen.

3) Marquen sobre el eje X.

56

Con rojo: los intervalos de positividad

Con verde: los intervalos de negatividad

Con azul: el conjunto de ceros o raíces.

4) Realicen el gráfico de una función que cumpla con las condiciones pedidas en cada caso.

5) Observen el gráfico y escriban.

(a) Los conjuntos de ceros, positividad y

negatividad. (b) Los intervalos de crecimiento y

decrecimiento. (c) El o los intervalos donde es constante. (d) El o los puntos máximos y/o mínimos

relativos.

57

BLOQUE 4: Función Lineal II Introducción

En este bloque les proponemos continuar con el análisis de la función lineal, estudiando

su fórmula y gráfico, las posiciones relativas de dos rectas en el plano

Al principio aparece ejercitación para revisar lo trabajado anteriormente, para luego

continuar con actividades que les permitirán repasar algunos otros conocimientos.

Algunos de los ejercicios que pensamos, serán un desafío para esta etapa de revisión y

de volver a acercarse a la matemática. ¡Cuentan con nosotros para esto! Haremos

ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas que les

servirán para más adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el

gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden

tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.


Para una mejor interpretación de las siguientes consignas, diremos (como habitualmente se hace) que:

y = mx + b es la ecuación general de una recta en la que m es la................................... yb es la ................................................................. .

Actividad 1

a) Una recta contiene a los puntos e=(-2;-4) y f=(1;5). ¿Cuál es su

pendiente? Pueden representar los puntos e y f en un sistema de ejes

cartesianos para pensar tu respuesta desde el gráfico.

b) La recta H tiene pendiente 0,5.

1) ¿Puede contener a los puntos (7;3) y (-5;-3)? ¿Por qué? Ayuda: Recuerden la fórmula que trabajamos en el bloque anterior para calcular

la pendiente de una recta dados dos puntos que pertenezcan a ella.

2) Si su ordenada al origen es 2, ¿contiene al punto (4;5)? ¿Por qué?

3) La recta P tiene pendiente 2 y contiene al punto (1;1). ¿Cuál es su

ordenada al origen?

58

4) Escriban la ecuación de la recta D que tiene pendiente -0,5 y contiene al punto (0;5). Verifiquen la respuesta gráficamente.

5) Escriban la ecuación de la recta que contiene a los puntos (-2;-3) y

(4;-5). Verifiquen la respuesta gráficamente.

6) Calculen la pendiente y luego hallen la ecuación de la recta que pasa por lossiguientes puntos.

(a) p= (2;3) y q = (5;2) (b) p = (1/2;1/4) y q = (3/4;1/2)

(c) p = (-1;3) y q = (2;-5) (d) p = (-2/3;0) y q = (-1;4/5)

7) Representen cada una de las siguientes rectas en un sistema de

ejescartesianos, teniendo en cuenta valor de su pendiente y el de su

ordenada al origen.

(a) fx1

x 3 (b) gx1x (c) hxx2

(d) ix32x

2


A continuación, les proponemos trabajar sobre las posiciones relativas de dos rectas en

el plano y la relación que existe entre esas posiciones, las fórmulas de funciones

lineales y sus representaciones gráficas.

Actividad 1

Representen en un mismo sistema de ejes cartesianos las rectas que tienen las

ecuaciones indicadas. Deberán hacer un gráfico para las rectas del grupo (a) y otro

para las del (b).

(a) y1 x 4

y24 x

y32x 4

y4−1

2x 4

(b)

y12x 3

y22x

y32x 1

y42x 4

i) Observen el gráfico de las rectas (a) ¿Cuáles son las posiciones relativas de

las rectas y1 e y2? ¿Y cuál es para y3 e y4?

59

ii) Realicen el mismo análisis que hicieron con las funciones del punto anterior con las funciones del grupo (b).

iii) Comparen las ecuaciones de cada par de rectas tratando de establecer alguna relación entre su posición relativa y alguno de los valores de su fórmula.

¿Ya se acordaron? ¡Claro!

Anotemos para no olvidarnos:

Las rectas paralelas tienen.......................................................................................

En cambio las rectas perpendiculares tienen..................................................................

Actividad 2

En esta actividad tienen oportunidad de poner a prueba sus conocimientos

1) Encuentren rectas paralelas y rectas perpendiculares entre este grupo de

funciones lineales.

a(x)x 4 b(x)4x 2 c(x) 1 x 4 d (x) 3 x 5

3 2

e(x) 2 x 4 f (x)x g(x)0,25x 6 h(x) 1 x 1

3

2 3

2)Unan los pares de rectas perpendiculares entre ambas columnas.

A : y 0,5x 3 F : y 1 x 7

3

B : y 2x 5 G : y 5x 3

C : y 3x 8 A : y 1 x

3

D : y 1 x 7 I : y 5x

5

E : y 0,2x 3 J : y 2x

3)Hallen las ecuaciones de las rectas que cumplen con las condiciones pedidas en

cada caso.

60

(a) R es paralela ay2x3y pasa por8;3.

(b) S es paralela ay3x6y pasa por6;0.

(c) W es perpendicular a R y pasa por el origen de coordenadas.

(d) T es perpendicular ay−𝟑

𝟒x2y 2;0.

Ejercicios de repaso del bloque

1) La recta M contiene a los puntos f(0)1 y f(2)2 .

(a) Encuentren la ecuación de la recta M. (b) Encuentren la ecuación de una recta R que sea paralela a M y que pase por el

punto 1;0. (c) Hallen la fórmula de una recta D que sea perpendicular a M y que tenga la

misma ordenada al origen que R.

(d) Encuentren la ecuación de la recta H paralela a D y que f(0)0 . (e) Grafiquen las rectas M, R, D y H en un mismo plano cartesiano.

2) Dadas las siguientes funciones:

f(x ) x 4 g

(x )3x 3 p ( x

)2x

r( x )2

3x 2

(a) Representen las rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos, teniendo en cuenta el valor de la pendiente y el de la ordenada al origen.

(b) Indiquen, para cada una, si es una recta creciente, decreciente o constante. (c) Escriban la ordenada al origen, la raíz o cero y la pendiente de cada función.

Cuando trabajamos las raíces o ceros de una función, lo hicimos desde la lectura de sus coordenadas. Ahora les proponemos que las encuentren analíticamente: Calculen para qué valores de x, y vale cero, y qué valor toma y cuando x vale cero.

(d) Encuentren la fórmula de una recta paralela a f(x) y que pase por el origen de coordenadas. Represéntenla en el mismo sistema de ejes cartesianos.

(e) Encuentren la fórmula de una recta perpendicular a la recta r y que contenga al

punto 0;5. Represéntenla en el mismo sistema de ejes cartesianos.

3) Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen sus

respuestas describiendo con sus palabras cuál es la característica que

observan en ambas fórmulas y que fundamentan sus conclusiones.

(a) y 2x 1// y 2 (b) y x 1// y x 1

(c) y 1 x y 1 x (d) y 1 x y 3x 2

3

e) y 2 // y 5 (f) y 3 y 1

3

61

4) Escriban la ecuación de cada una de las rectas representadas, tomando como

referencia puntos sobre cada una.

5) Hallen la ecuación de cada una de las rectas representadas en el mismo

sistema de ejes cartesianos.

(a)

(b)

y y

x

x

(c) y

(d) y

x

x

62

BLOQUE 5 - Función cuadrática

Introducción

En este bloque les proponemos analizar la función cuadrática: sus elementos,

fórmulas y representación en el plano cartesiano.

Haremos ciertas paradas en este recorrido para recordar expresiones matemáticas

que les servirán para más adelante.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el

gráfico que le corresponde y además, que reconozcan las modificaciones que pueden

tener estas funciones en su gráfico y cómo repercuten en la expresión de su fórmula.


Función Cuadrática

“Las funciones cuadráticas permiten construir modelos de situaciones referidas a

distintas áreas como la Física, la Biología, la Economía, la Astronomía, la

Comunicación y la Geometría, entre otras. En la Antigüedad, los griegos, desde antes

de Euclides (330 – 275 a.C.), resolvían ecuaciones cuadráticas basándose en un

método geométrico donde hacían intervenir cuadrados y rectángulos. En el Siglo XVII,

luego Johannes Kepler (1571 – 1630) expusiera las leyes que rigen los movimientos

de los planetas, los astrónomos descubrieron que las órbitas de los planetas y

comentas respondían a modelos cuadráticos.”3

Actividad 1

En el cuadrado ABCD de 10 cm de lado, que muestra la figura

dibujado a escala, se marcan los puntos P, Q, R y S a 1 cm de

los vértices, como lo indica la figura.

3 Ma. Beatriz Camuyrano, Gabriela Net, Mariana Aragón. “Matemática I – Modelos matemáticos para interpretar la realidad”.

Estrada. Buenos Aires 2005.

63

Observen que queda determinado otro cuadrado PQRS y

además cuatro triángulos rectángulos en los que sus catetos

miden 9 cm y 1 cm. Si quisiéramos calcular su área, un posible planteo sería.

Área ABCD – 4. Área APS = Área PQRS

10.10 4.1.9

2 82

(a) Calculen el área del cuadrado interior si los puntos P,

Q, R y S están a 2 cm de A, B, C y D, respectivamente y

vuelquen su resultado en la tabla.

(b) Repitan el procedimiento para las distintas medidas

que figuran en la tabla y complétenla

(c) ¿Fue necesario realizar todos los cálculos o mientras

la completabas pensaste en alguna regla para calcularlos?

(d) Vuelquen la información en un sistema de ejes

cartesianos para obtener un gráfico. (e) Comparen el gráfico con los de otros compañeros.

Escriban aquello que consideren distinto o parecido a lo

que hicieron.

(f) A partir de las diferencias y similitudes que notaron,

elaboren una conclusión grupal.

Es importante que respondan las siguientes preguntas:

Distancia Área del

a

cuadrado

A, B, C y interior

D

0 100

1 82

2

3

4

5

6

7

8

9

10

i. ¿Se trata de una función lineal o es una curva? ii. ¿Cuál es el dominio de la función?

Si pensáramos al problema más allá de la distancia podríamos preguntarnos:

iii. ¿Si el dominio se extendiera al , las imágenes seguirían siendo positivas?

iv. ¿Qué ocurriría con el gráfico si el dominio se extendiera a ?

v. Realicen el gráfico considerando el dominio ( ; ).

La curva que queda representada que corresponde a la Función Cuadrática recibe

el nombre de ……………….. (g) Si pensamos en una fórmula que permita modelizar este problema. ¿Cuáles de las

siguientes fórmulas permiten calcular el área del cuadrado interior para cualquier

distancia x? pueden utilizar como referencia el planteo del principio del ejercicio.

64

Ax100 x2 Ex2x220x 100

Dx100 4.10 x.x f x1002.10 x

2

Cx1004x2

Formalizamos: La fórmula general de una función cuadrática es:

fx ax2bx c

Donde a,b y cson números reales (con la condición de que a sea distinto de cero

¿por qué?) a los que, como habitualmente lo hacemos, llamaremos

coeficientes.

Continuaremos con el estudio de esta función usando esta fórmula general. Para ello

resuelvan las siguiente actividad

Actividad 2

1) Completen los siguientes cuadros distinguiendo los distintos coeficientes.

Fórmula

a

b

c

f ( x)62x2 x

h(t)80t 5t 2

Fórmula a b c

g( x) -1 0 4

s(t) 2 1 -3

2) Consideren la función f(x)x2

(a) Calculen: f(-4), 𝑓 (1

3), 𝑓(√7)

(b) Indiquen, si es posible, los valores de x para los cuales:

I. f ( x)

II. f ( x)5

III. f ( x)4

3) Completen la siguiente tabla de valores reemplazando en la fórmula de la

función los distintos valores propuestos para x y luego ubiquen esos puntos en

un sistema de ejes cartesianos y únanlos para trazar una gráfica.

65

f(x) x22x 3

x f(x) -3 -2 -1 0 1

A partir del gráfico que realizaron, respondan las siguientes preguntas:

(a) ¿Qué curva representa el gráfico de dicha función? (b) ¿Cuáles son las coordenadas de sus raíces? (c) ¿Pueden identificar en el gráfico un “máximo” o “mínimo”?

Escriban sus coordenadas y distínganlo en el gráfico con un color. (d) ¿Cuáles son las coordenadas de la ordenada al origen?

Distíngala en el gráfico usando un color. Para lograrlo, recuerden que en este punto el valor de x siempre es cero.


Elementos de una parábola: Al punto que es máximo o mínimo de una función cuadrática lo denominaremos

Vértice de la Parábola. Por este punto que, reiteramos, será el máximo o mínimo

dela función, si trazamos una recta vertical que pase por su coordenada en x,

quedará definido un eje que denominamos Eje de Simetría.

Actividad 1

Tracen el eje de simetría de la parábola del ejercicio 3) de la actividad 2 de la gía de

trabajo anterior y escriban cómo debería ser la ecuación de esa recta

Información importante

Para continuar con el estudio de la Función Cuadrática necesitamos tener en cuenta

las siguientes fórmulas que nos ayudarán a encontrar los elementos de la función con

los que ya estuvimos trabajando.

Raíces de la parábola:

66

x1,2b b24a.c

2a

Esta fórmula les permitirá hallar las coordenadas x de las raíces de la función

cuadrática (es decir los puntos en los que corta al eje x). Esta fórmula ya la

utilizamos antes en la guía de trabajo nº 6 del bloque 2.

Recuerden: las raíces tendrán como coordenadas: x1;0y x2;0

Vértice de la parábola:

xv−𝑏

2.𝑎

Esta fórmula les permitirá calcular la coordenada x del vértice de una parábola.

Para hallar la coordenada sobre el eje de ordenadas (yv) del vértice, deberán

reemplazar el valor de xv en la fórmula de la función cuadrática dada.

Recuerden: el vértice tendrá como coordenadas: xv;yv.

Eje de simetría:

Es la recta que tiene por ecuación xxv .

Ordenada al origen:

Es el punto de intersección de la gráfica con el eje y. Decimos que es el punto

que tiene como coordenadas: (0;c) . ¿Qué coeficiente es c?

Concavidad:

Si el coeficiente “a” (coeficiente principal o cuadrático), es un número positivo,

la parábola tiene sus ramas orientadas

hacia…………………………………………………

Decimos entonces que la parábola tiene concavidad positiva.

Si la función tiene concavidad positiva, su vértice será su punto ………………………….

Si el coeficiente “a” es un número negativo, la parábola tiene sus ramas

orientadas hacia ………………………

Decimos entonces que la parábola tiene concavidad negativa.

Si la función tiene concavidad negativa, su vértice será su punto ………………………...

67

Actividad 2

Para poner en práctica las fórmulas anteriores, resuelvan los siguientes ejercicios.

Recuerden que, como ya lo destacamos, las fórmulas requieren que distingan los tres

coeficientes en cada función.

1) Completen el siguiente cuadro calculando los elementos pedidos:

Función

a

b

c

Raíces

Vértice

Eje de

Ordenada al

Simetría

Origen

f ( x)x22

g( x)2x24x 1

h( x) x24x 5

2) Para cada una de las siguientes funciones:

f ( x)x24x g( x)x24x h( x) x22x 1

m( x)x22x 3 t( x) x2 x 6 s( x)1

x 2

2

(a) Indiquen los valores de los coeficientes a, b y c. (b) Representen cada una de estas funciones en un sistema de ejes

cartesianos, calculando sus elementos: i. Raíces ii. Vértice

iii. Eje de simetría iv. Ordenada al origen

3) Tracen el gráfico aproximado de cada una de las siguientes funciones

cuadráticas. Calculen en cada caso: raíces, vértice, eje de simetría y ordenada

al origen de cada una de las parábolas. ¿Se comprueba lo recuadrado

respecto de la concavidad en cada una de ellas?

f ( x) x2 x 2

g( x)2x 24x 5

h( x)3x212x 12 2

i( x)51

x 2

7 x j( x)

3 x

11

1 x 2

2 2 2 4 4

68


A partir de ahora, estudiaremos las distintas modificaciones que puede sufrir una

parábola en su gráfico teniendo en cuenta las variaciones en su fórmula. Las

actividades que siguen, requieren atención para poder distinguir estas

modificaciones, aunque suponemos que las notarán ni bien se pongan a trabajar.

¡Buena suerte y buen ojo!

Actividad 1

Papel que cumple el coeficiente “a” en la función yax2

Realicen el gráfico, en un mismo sistema de ejes cartesianos, de las siguientes

funciones cuadráticas.

f ( x) x2 s( x)x2 t( x)

1 x 2

2

p( x)2x2 k( x)2x2

q( x) 3

x 2 4

Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores

de x para las seis fórmulas, así como ésta:

X f ( x) x 2 p( x)2x 2 s( x)x 2 k( x)2x 2

t( x)1

x 2 q( x)3

x 2

2 4

-2

-1

0

1

2

Para sacar sus conclusiones, pueden tener en cuenta:

La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás

gráficas. ¿Qué le sucedía a la parábola si a0 ? ¿Y si a0 ? (esto ya lo

sabemos) ¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o

cambia?

¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?

69

A medida que el valor de “a” aumenta (sin tener en cuenta el signo del número es decir

si aumenta el valor absoluto de a) ¿qué sucede con las curvas? ¿Se cierran o se

abren?

A medida que el valor absoluto de “a” disminuye (sin tener en cuenta el signo del

número es decir si aumenta el valor absoluto de a) ¿qué sucede con las curvas? ¿Se

cierran o se abren?

Creemos que las respuestas a estos interrogantes les permitirán escribir algunas

conclusiones, adelante:

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….......

Actividad 2

Gráficas de funciones cuadráticas de la forma yax2c .

En este tipo de fórmulas no está el término lineal (bx) (recuerden que cuando ocurre

esto, es porque b0 ).

Realicen el gráfico en un mismo sistema de ejes cartesianos de las siguientes

funciones cuadráticas. Posteriormente volveremos a pedirles que elaboren

conclusiones.

f( x) x2 g( x) x22 h( x) x21 i( x) x24

Para representar estas funciones, pueden hacer una tabla con los mismos valores de x

para las cuatro fórmulas, así como ésta:

x f ( x) x2 g( x) x22 h( x) x

21 i( x) x

24

-2

-1

0

1

2


La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.

¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?

¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica? ¿En qué sentido fue el desplazamiento? ¿Vertical u horizontal?

¿En cuántas unidades se desplazó?

70

Si c0 , ¿hacia dónde se desplaza?

Si c0 , ¿hacia dónde se desplaza?

Creemos que las respuestas a estos interrogantes les permitirán escribir su próxima

conclusión, adelante:

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….......

Actividad 3

Gráficas de funciones de la forma yax2 .

Aquí la letra griega representa un número real cualquiera, lo expresamos con una

letra griega para que no lo confundan con alguno de los coeficientes.

Realicen, en un mismo sistema de ejes cartesianos, el gráfico de las siguientes

funciones cuadráticas.

f( x) x2 g( x)x 22 h( x)x 12 i( x)x 22

Antes de continuar con la actividad propuesta, deberíamos preguntarnos si la fórmula

g( x)x 22corresponde a una función cuadrática, porque es algo distinta a lasque

veníamos trabajando.

Si pensamos que es x22x2x2 por definición de potencia, y aplicamos la

propiedad distributiva, resulta x22x2x2x24x4 , y como esta última

expresión es de la forma fxax2bxc , podemos afirmar que la función g(x) es una

función cuadrática.

Ahora que vimos que se trata de funciones cuadráticas, seguimos pensando.

Para representar estas funciones, pueden hacer otra tabla con los mismos valores de x para las cuatro fórmulas, así como ésta:

71

X 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)2 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)2

-3

-2

-1

0

1

2

3


La función f(x) como punto de partida, y comparar con ella las demás gráficas.

¿Cuál es el vértice en cada función? ¿Es el mismo para todas o cambia?

¿Las funciones son simétricas respecto del eje y? ¿O el eje de simetría se modifica?

Si el vértice y el eje de simetría se modificaron, ¿qué fue lo que sucedió en cada caso?

¿En qué sentido fue el desplazamiento? ¿Vertical u horizontal?

¿En cuántas unidades se desplazó?

Si 0 , ¿hacia dónde se desplaza?

Si 0 , ¿hacia dónde se desplaza?

Creemos que las respuestas a estos interrogantes les permitirán escribir su próxima

conclusión, adelante:

…………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….......

72


Distintas maneras de escribir la ecuación de una función cuadrática

Ahora que repasado las funciones cuadráticas les contamos que una misma función

se puede expresar de distintas maneras:

Ecuación Polinómica f x ax2bx c

Ecuación Canónica, si conocemos el vértice y el coeficiente principal:

f xax xx2yv

Ecuación Factorizada, si conocemos las raíces y el coeficiente principal:

f xa.x x1x x2

Para pasar de la fórmula canónica y/o factorizada a la polinómica debemos aplicar la

propiedad distributiva. No se olviden de tener cuidado con los signos cuando

distribuyan.

Pero si tienen que pasar de la expresión polinómica a, por ejemplo, la canónica, es

otra la tarea: aquí debemos buscar las coordenadas del vértice. ¡Por suerte

contamos con una fórmula para hacerlo! Y ya lo practicamos, ¿se acuerdan? Y el

coeficiente principal, o sea “a” siempre estará expresado en la fórmula que nos dan,

así que sólo queda copiarlo.

Si la propuesta es pasar de la expresión polinómica a la fórmula factorizada,

calculemos las raíces de la parábola (sí, ¡también practicamos la fórmula!) y no nos

olvidemos de copiar el coeficiente principal.

Actividad 1

1) Expresen cada una de las siguientes funciones en la forma que se pide:

(a) f ( x) x24x 3, en la formacanónica.

(b) f ( x)−1

2x 2x 3, en la formapolinómica.

(c) f ( x)2x 322, en la formapolinómica. (d) f ( x)x22x 3, en la formafactorizada.

2) Indiquen de qué manera esta expresada cada una de las siguientes

funciones. Realicen un gráfico aproximado de cada una de ellas sin construir

tabla de valores.

a. 𝑓(𝑥) =1

2(𝑥 − 3)2 − 2

b. 𝑓(𝑥) = 2(𝑥 + 3) (𝑥 −1

2)

c. 𝑓(𝑥) = −1

4(𝑥 + 5)(𝑥 − 2)

73

3) Escriban las siguientes funciones cuadráticas en la forma más conveniente de

acuerdo con los datos y luego hallen las expresiones polinómicas de cada una. (a) El vértice es (-3;-2) y el coeficiente principal es -2. (b) Las raíces son -4 y 2, el coeficiente principal es -1. (c) El vértice es (-3;-2) y pasa por el punto (0;1)

(d) Corta al eje en (-1; 0) y (4; 0) y pasa por el punto(−𝟒; −𝟓

𝟔)

4) Sabiendo que las gráficas corresponden a una función cuadrática,

relacionen cada gráfico con su fórmula.

f (x)(x 5)(x 2) gxx 123hxx 1x 4 ixx 32

(a) y

(b) y

x

x

(c)

y (d)

y

x

x

Actividad 2: Hallen la fórmula de la función cuadrática correspondiente al desplazamiento

def ( x) x2según se indica en cada caso:

(a) 3 unidades hacia arriba. (b) 2,5 unidades hacia la izquierda. (c) 1,5 unidades hacia abajo y 1 unidad hacia la derecha

Actividad 3:

Indiquen cuál será el desplazamiento de la función f(x)x2 que coincidiría con cada

una de las siguientes fórmulas:

g( x)x 52 t( x) x22,5 f ( x)x 427

2

74

Actividad 4

Grafiquen cada una de las funciones del punto anterior aplicando los

desplazamientos correspondientes al gráfico f(x)x2 , señalen en cada gráfico el

vértice y el eje de simetría.

75

BLOQUE 6 - Geogebra

Introducción

En este bloque les proponemos analizar las funciones con el uso de una herramienta

informática: sus elementos, fórmulas y representación en el plano cartesiano.

Nuestra idea es que logren estudiar estas funciones relacionando su fórmula con el gráfico

que le corresponde y además, que puedan utilizar el software matemático como herramienta

para el estudio de las mismas y su potencial uso para la cursada de Matemática I.

MANUAL DE GEOGEBRA:

A continuación, les ofrecemos un manual breve de las funciones más relevantes que pueden

utilizar en Geogebra.

Al abrir el programa Geogebra, te aparecerá una página como esta:

Dibujo 1

76

En la barra que aparece en la parte superior, están situados unos “cuadraditos”, que son las

funciones que podremos utilizar más adelante, cuando tengamos conocimiento del uso de

cada una de ellas.

Al final de la lista de estas funciones, nos aparece siempre la función del cuadrado que

hemos seleccionado (con el mouse). En el dibujo 1, por ejemplo, aparece nuevo punto.

Veamos cada una de las operaciones que podemos hacer en este programa:

Recta que pasa por dos puntos: Fijamos dos puntos cualesquiera en el plano. Seguidamente

accedemos a la función: Recta que pasa por dos puntos, situada en la parte superior de la

página. A continuación, pinchamos con el botón izquierdo del ratón el primer punto, y

seguidamente, el segundo. Se forma una recta que pasa por dichos puntos.

Segmento entre dos puntos: Fijamos dos puntos en el plano. A continuación, accedemos a la

función: Segmento entre dos puntos.

Pinchamos el primer punto, luego el segundo y obtenemos un segmento.

77

Recta paralela: Construyo una recta. Seguidamente, fijo un punto que no esté en esa recta.

Accedo a la función: recta paralela. Pincho la recta inicial y el punto fijado, y obtenemos la

recta paralela a la original.

78

Recta perpendicular: Construyo una recta. Fijo un punto y accedo a la función recta

perpendicular. A continuación, pincho la recta y el punto y obtenemos la recta perpendicular

a la original.

Mediatriz: Construyo un segmento AB. Seguidamente, accedo a la función mediatriz. Pincho

en A y, luego, en B. Obtenemos la mediatriz del segmento original.

79

Circunferencia dados su centro y uno de sus puntos:

Fijo dos puntos. Unos de ellos hará el papel de centro y el otro, será un punto por el que

pase la circunferencia. Una vez accedido a la función: Circunferencia dados su centro y uno

de sus puntos, pincho en el punto que será el centro y voy llevando la circunferencia

resultante hasta el otro punto, por el que quiero que pase.

Circunferencia dados su centro y radio:

Fijo un punto. Accedo a la función: Circunferencia dados su centro y radio. Pincho el punto

que he fijado. A continuación, sale un cuadro en el que debo introducir la medida del radio de

la circunferencia. Obtenemos la circunferencia de centro el punto fijado inicialmente, y radio

la cantidad que hayamos escrito.

80

Circunferencias dados tres de sus puntos:

Fijo tres puntos del plano. Accedo al comando: Circunferencia dados tres de sus puntos y

pincho en los tres puntos. Obtenemos una circunferencia que pasa por los tres puntos fijados

inicialmente.

Punto medio o centro:

81

Dados dos puntos, puedo calcular el punto medio de ambos, accediendo al comando: punto

medio. Lo mismo ocurre para un segmento.

En el caso de las circunferencias y cónicas, si accedemos a este comando obtendremos su

centro.

Arco de circunferencia dados su centro y dos extremos:

82

Fijamos tres puntos del plano. Accedemos al comando: Arco de circunferencia dados su

centro y dos extremos. Pinchamos primero al punto que hará el papel de centro, y, a

continuación, a los otros dos puntos. Obtenemos el arco deseado.

Ángulo:

Se puede calcular el ángulo dados tres puntos, o bien, dadas dos rectas. Haremos el

ejemplo del ángulo entre dos rectas.

Construimos dos rectas. Seguidamente, accedemos al comando ángulo. Pinchamos la

primera recta y la segunda. Obtenemos finalmente el ángulo deseado.

Refleja objeto en recta:

83

Haremos el ejemplo de reflejar un punto en una recta. Construimos, en primer lugar, una

recta. Fijamos un punto fuera de la recta y accedemos a la función: refleja objeto en recta.

Seguidamente, pinchamos el punto y la recta y obtenemos el punto reflejado en la recta.

Intersección de dos objetos: Haremos, por ejemplo, la intersección de una recta y una

circunferencia:

Construyo una recta y una circunferencia. Accedo al comando intersección de dos objetos.

Pincho en la recta y, seguidamente, en la circunferencia. Obtengo los dos puntos de corte.

Elige y mueve:

84

Para cualquier objeto construido en Geogebra, si accedemos al primer comando situado en

la barra superior de la página (el cuadradito en el que se sitúa tiene forma de flecha),

podremos moverlo.

Atividad 1

85

1) Sigan estos pasos para representar la función f(x)= x

En la barra de entrada colocar x, luego enter.

2) a. En el mismo gráfico que hicieron f(x) y con distintos colores grafiquen las funciones

h(x) = x + 2; t(x) = x – 8; g(x) = x + 4; m(x) = x + 6

b. Determinen si las variaciones que sufre el gráfico de f(x) en relación con los

valores que se restan o se suman.

3) a. Encuentren la fórmula de una función que corresponda a cada gráfico

b. A partir del gráfico de f(x) = x ¿Qué corrimientos se hicieron para llegar a los gráficos anteriores?

4) Grafiquen estas funciones y determinen las variaciones que sufre el gráfico f(x) = x en

relación con los valores que se multiplican.

a. h(x) = 2x

b. t(x) = -3x

c. g(x) = 1/2x

d. m(x) = 2/3x

e. n(x) = -2x

f. s(x) = - 1/2x

g. p(x) = -x

Atividad 2

86

1) a. Utilizando el geogebra grafiquen la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 𝑥 − 3.

b. Hagan clic en el ícono y luego el sector del gráfico (clic sobre la

curva). Se les abrirá una pantalla.

Cambien la letra a por m y el intervalo de -10 a 10.

c. Grafiquen la recta y = mx – 2.

d. ¿Qué característica común tienen las rectas dibujadas al mover el

deslizador?

e. Hagan clic en la flecha y luego muevan el punto del deslizador. ¿Hay algún

valor de x para el que la recta y la parábola se intersequen en un solo

punto? ¿Y para que no se intersequen? ¿Cómo se dan cuenta?

2) a. Grafiquen la función 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 5𝑥 + 6.

b. Pongan dos veces el deslizador. Uno con el nombre m y otro con el nombre

b

c. Grafiquen la ecuación y = mx + b.

d. ¿Para qué valores de m y de b el sistema formado por la función cuadrática

y la lineal tiene dos soluciones? ¿Para qué valores tiene solución única?

¿Para qué valores no tiene solución? Expliquen todas sus respuestas.

Ahora haremos una breve presentación del graficador en un celular tal como usaremos en

las clases.

Esta es la pantalla que se presenta cuando ingresamos al programa:

87

Cuando cliqueamos en el ícono ① se despliega el menú de herramientas que se muestra en

la siguiente imagen:

Cuando cliqueamos en el ícono ② se despliega el menú del programa que se muestra en la

siguiente imagen:

1 2

3

4

5

1: Menú de herramientas

2: Menú del programa

3: Vista gráfica

4: Vista algebraica

5: Entrada

88

En el sector marcado con ③ llamado vista gráfica, aparecerán los gráficos de las funciones

que hemos escrito en la sección ⑤ llamada Entrada. Por ejemplo, si ingresamos la función:

89

En la vista gráfica veremos:

En sector marcado con ④ llamado vista algebraica aparecerá la función que hemos escrito

en la entrada:

90

Para trazar rectas que pasen por dos puntos, primero ingresamos las coordenadas de los

puntos que queremos, por ejemplo ingresamos primero el punto A:

Una vez que pulsamos enter nos queda señalado el punto en la vista gráfica:

91

A continuación ingresamos las coordenadas del punto B:

92

Una vez que pulsamos enter nos queda en la vista gráfica el punto marcado, como muestra

la figura:

Ahora pulsamos en la herramienta Recta:

Se despliega un submenú de opciones

93

Pulsamos en la primera opción del menú (una recta que pasa por dos puntos) y aparece la

siguiente pantalla:

Pulsamos sobre cada uno de los puntos y nos queda dibujada la recta que pasa por ellos en la Vista Gráfica. En la Vista Algebraica aparece la ecuación de la recta en forma implícita, para obtener la ecuación de la recta con la forma y= m.x+b debemos despejar y.

94

Se sugiere explorar las otras opciones de esta herramienta.

Para seguir usando deslizadores, les proponemos las siguientes actividades:

1) Ingresen la función f(x)= x2+c. Observen los gráficos que se obtienen y escriban las

conclusiones a las que lleguen.

2) Ingresen la función f(x)= x2+bx. Observen los gráficos que se obtienen y escriban las

conclusiones a las que lleguen.

3) Idem para f(x)= ax2+bx+c.

95

Bibliografía

Abdala C. – Real M. Turano C. (2000)."Colección libros y +. Carpeta de matemática", Aique.

Laurito Liliana, Stisin Laura B. de, Trama Eduardo, Ziger Dora y Sidelsky Estela. (2001) "Matemática Activa 9", (1° Ed.). Puerto de Palos S.A.

de Guzmán M, Colera J y Salvador Adela. (1990). “Matemáticas: Bachillerato 1”,Madrid: Anaya.

de Guzmán M, Colera J y Salvador Adela. (1990). “Matemáticas: Bachillerato 2”,Madrid: Anaya.

Altman Silvia V., Comparatore Claudia R. y Kurzrok Liliana. (2002)“Matemática Polimodal” Libro Temático. (1°Ed.). Editorial Longseller.

Effenberger Pablo. (2011) “Matemática 3” Programa Kapelusz ParaPensar. (1° Ed.). Kapelusz Editora S.A.

Berio A., Colombo Ma. L., D´Albano C., Sardelia O. y Zapico I. (2001).“Matemática I – Polimodal”. (1° Ed.). Puerto de Palos S.A.

Kaczor Pablo J., Schaposchnik Ruth A., Franco Eleonora, Cicala RosaA. y Díaz Bibiana. (1999). “Matemática I” (1° Ed.). Ediciones Santillana S.A.

Camoyrano Ma. B., Net G. y Aragón M. (2005). “Matemática I: Modelos Matemáticos para interpretar la realidad” Angel Estrada y Cía.

Paenza, Adrián. (2005). “Matemática…¿Estás Ahí? Sobre números, personajes, problemas y curiosidades. Siglo XXI Ediciones S.A.

Echegoyen Susana N., Fagale Enrique D., Rodríguez Silvia A., Ávila deKalan Marta I. y Alonso Ma. Rosario. (2005). “Matemática I”. Kapelusz Editora S.A.

Bibliografía para el Docente

Kaczor Pablo J., Schaposchnik Ruth A., Franco Eleonora, Cicala RosaA. y Díaz Bibiana. (1999). “Matemática I” (1° Ed.). Ediciones Santillana S.A.

Buschiazzo N. B., Fongi E. D., González Ma. Inés y Lagreca L., (2000)“Matemática II” (1° Ed.). Ediciones Santillana S.A.

Bibliografía para el Alumno



Altman Silvia V., Comparatore Claudia R. y Kurzrok Liliana. (2002)“Matemática Polimodal” Libro Temático. (1°Ed.). Editorial Longseller.

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Bibliografía Opcional

Álvarez Areces, Santiago y Fernández Flórez, Manuel (2001). “2000 Problemas de Matemáticas”. (3° Ed.). León (España): Editorial EverestS. A.

Rayner, David y Cabrillo, Ezequiel (1998). “Repasa con Ejercicios: Gráficas y Álgebra 2”. Oxford UniversityPress España S. A.

de Guzmán M. y Colera J. (1989). “Matemáticas I: C. O. U. Opciones A y B”, Madrid: Anaya

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