mÓdulo: enseñanza de la geometría los criterios de...

Especialización Docente de Nivel Superior en Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria

MÓDULO: Enseñanza de la Geometría

Los criterios de congruencia de figuras

Clase 6

En esta clase retomaremos el problema de la construcción de un cuadrilátero que cumple

determinadas condiciones. En la clase 5 comenzamos a estudiar esta problemática y

presentamos algunas actividades posibles para el aula a propósito de la construcción de

trapecios.

En esta clase profundizaremos el estudio de los criterios de congruencia de cuadriláteros

a partir de los criterios de congruencia de triángulos.

1. Las construcciones y establecimiento de los criterios de

congruencia de triángulos en el aula

Las tareas de construcción suelen estar presentes en diferentes momentos de la

escolaridad y obedecen a distintos propósitos: explorar propiedades, poner en juego

otras ya conocidas, buscar condiciones para que la figura construida tenga ciertas

características, poner en marcha mecanismos de argumentación para validar que cierta

construcción no es posible, etc. Algunas de estas instancias las hemos recorrido en las

cuatro clases anteriores.

Queremos detenernos ahora en los comienzos de la escolaridad secundaria, momento en

el cual las construcciones de triángulos a partir de datos de sus lados y/o de sus ángulos

suelen presentarse en relación con la formulación de criterios de congruencia de

triángulos.

Al respecto, en los NAP, primero/segundo año (2011), se explicita (pág. 19):

“EN RELACIÓN CON LA GEOMETRÍA Y LA MEDIDA

El análisis y construcción de figuras, argumentando en base a propiedades, en

situaciones problemáticas que requieran:

-explorar diferentes construcciones de triángulos y argumentar sobre condiciones

necesarias y suficientes para su congruencia (…)”


También se hace referencia a ello en los diseños curriculares de diferentes jurisdicciones

y en los libros de texto de circulación actual.

La tarea de construcción se presenta en el aula como exploratoria y es frecuente aceptar

argumentos visuales y no muy formalizados para decidir acerca de la unicidad de la

solución, en términos de que se construyen figuras congruentes a partir de los datos.

Por ejemplo, se suele plantear a los estudiantes la tarea de construir un triángulo a

partir de la medida de sus lados, haciendo uso del compás para transportar medidas: es

una construcción clásica en la cual se pueden obtener cuatro triángulos congruentes, sea

cual sea el lado a partir del cual ésta se realice.

Figura 1

En la Figura 1 se muestra la construcción que se realizó a partir de los tres segmentos

datos: a, b y c. La construcción se comenzó considerando el segmento c fijo, y se

trazaron en cada extremo dos circunferencias, una de longitud a y otra de longitud b.

Los cuatro triángulos que se muestran tienen el tercer vértice en la intersección de dos

de esas circunferencias, de manera de asegurar que los otros dos lados sean

congruentes a los segmentos a y b.


Hagamos una digresión…

La discusión que puede desplegarse en el aula para acreditar que estos cuatro triángulos

son congruentes se debe apoyar necesariamente en una explicitación previa, a cargo del

docente, acerca de la idea de congruencia en geometría. No es “natural” que triángulos

ubicados en posiciones tan diferentes sean considerados “iguales”. De hecho, en

contextos reales, puede tener mucho sentido distinguirlos. Por ejemplo, para una

bandera con un triángulo en el medio, o para un diseño de un friso decorativo, tiene

mucho sentido diferenciar y considerar por separado triángulos con las mismas medidas

pero en diferente posición.

Decimos entonces que debe quedar a cargo del docente hacer explícito que, en

geometría, consideramos que dos figuras son congruentes si

1- tienen la misma forma y tamaño, independientemente de la posición en que se

encuentren.

O, de manera alternativa, esta primera formulación puede derivar en otras dos:

2- todos los lados de una tienen la misma medida que todos los lados de la otra y los

ángulos comprendidos entre los lados con igual medida son también congruentes.

3- si se pudiera recortar una de ellas y se la apoyara sobre la otra, se las puede hacer

coincidir sin que sobre ni falte nada.

Para el caso de los triángulos se puede aligerar la formulación 2, pidiendo solamente

lados y ángulos congruentes.

En todos los casos planteamos la necesidad de discutir con los estudiantes estas

formulaciones de la noción de congruencia y plantear explícitamente en el aula que no

va a interesarnos la posición de las figuras en el trabajo en geometría. Es una

“regla del juego” que puede requerir ser reiterada en el aula para lograr que todos los

estudiantes la incorporen efectivamente al trabajo.


Volviendo entonces a nuestra Figura 1, habrá que dar argumentos en el aula que

permitan arribar a que los cuatro triángulos dibujados son congruentes. Se tratará, sin

duda, de argumentos incompletos y enunciados brindados informalmente por los

estudiantes, probablemente apelando a una idea estética de simetría. Son argumentos

que estarán muy apoyados en la experiencia de haber realizado las construcciones, lo

cual les otorga un valor importante en estos primeros tramos de la escolaridad.

Desde nuestra posición no es posible ni conveniente exigir una argumentación más

rigurosa de la unicidad de la solución a este problema y, en general, a los otros

problemas de construcción que permitan arribar a los criterios clásicos de congruencia de

triángulos (LAL) y (ALA).

Un caso para el análisis…

En un documento elaborado en 2007 en el marco de la Dirección de Currícula de CABA

se presenta, en el capítulo 2, una secuencia de construcciones de triángulos y una

posible gestión en el aula para la formulación de los criterios clásicos de congruencia de

triángulos (LLL, LAL, ALA). Les proponemos analizar esa propuesta desplegada entre las

páginas 33 a 44, problemas 1 al 8, del documento que puede encontrarse en:

http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/geometria

_media.pdf

(1) Para reflexionar

- ¿Cuáles creen que pueden ser las dificultades de sus estudiantes para

encarar estas tareas?

- ¿Qué complejidad ven en la gestión que se propone para el docente?

- ¿Qué modificaciones/adaptaciones le harían para poder llevarlas

adelante en sus aulas?

http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/geometria_media.pdf



2. Los criterios de congruencia como herramientas para

argumentar

En el apartado anterior hemos sostenido la posibilidad de encarar la formulación de los

criterios de igualdad de triángulos como resultado de tareas de construcción en las

cuales la figura obtenida es única (salvo congruencia).

Estos criterios ahora pueden convertirse en herramientas para resolver problemas o

construir argumentos. Por ejemplo, los siguientes problemas que podríamos plantear a

los estudiantes:

En el apartado anterior hemos sostenido la posibilidad de encarar la formulación de los

criterios de igualdad de triángulos como resultado de tareas de construcción en las

cuales la figura obtenida es única (salvo congruencia).

Estos criterios ahora pueden convertirse en herramientas para resolver problemas o

construir argumentos. Por ejemplo, los siguientes problemas que podríamos plantear a

los estudiantes:

Problema 1

En un ángulo α cualquiera, se traza la bisectriz k y se marca un punto E sobre ella.

A partir de ese punto se trazan los segmentos DE y EF perpendiculares a los lados del

ángulo.

En la figura se muestra un ejemplo de esta construcción.

Investigar si los segmentos DE y EF resultarán siempre iguales. Justifiquen su


respuesta.

Problema 2

ABCD es un cuadrilátero que cumple que AB es congruente a BC y CD es congruente a

DA.

Se trazan las diagonales AC y BD.

a) ¿Es verdad que el ángulo A y el ángulo C quedan partidos en dos ángulos iguales

por la diagonal AC? Justifiquen sus respuestas.

b) ¿Es verdad que el ángulo B y el ángulo D quedan partidos en dos ángulos iguales

por la diagonal BD? Justifiquen sus respuestas.

Tanto en el Problema 1 como en el inciso b) del Problema 2 los datos que se dan

implican la congruencia de ciertos segmentos y/o ángulos en cada figura. Los

estudiantes deben considerar estos elementos como partes de triángulos que, en

principio, no están dados en el enunciado del problema y, para esos triángulos,

identificar que los datos dados permiten la aplicación de algún criterio de congruencia.

Recién entonces podrán deducir la igualdad de los otros elementos (lados o ángulos) de

los triángulos considerados que sirvan para dar respuesta a las preguntas.

(2) Para resolver

Imaginen posibles resoluciones de los estudiantes a los problemas 1 y 2.

Invitamos a compartir las resoluciones que imaginaron en el foro de

consultas.

3. Los criterios de congruencia ¿son axiomas o teoremas?

Queremos ahora detenernos a reflexionar con ustedes acerca del estatuto de los criterios

de congruencia de triángulos. Hemos discutido en el apartado 1 que la validación de la

unicidad de las construcciones probablemente se despliega en el aula de manera

bastante informal, es decir, no propusimos la demostración de los criterios de

congruencia (aunque sí propusimos que a posteriori de su formulación se constituyan en

herramientas para demostrar).


Y esto se debe a que estamos pensando en un proceso de entrada en la demostración

en geometría considerando un conjunto amplio de propiedades que conformen “la caja

de herramientas para demostrar” de los estudiantes, caja que se irá enriqueciendo con

las nuevas propiedades estudiadas en el aula.

En ese sentido es que proponemos que los criterios de congruencia se incorporen

bastante tempranamente a esa caja de herramientas de los estudiantes. Algunos

problemas como los dos que planteamos en el apartado anterior –posibles para un

aula de primero/segundo año– son un buen ejemplo de cómo los criterios pueden ser

herramientas para validar respuestas.

Pero…

¿cuál es el estatuto de los criterios de congruencia de triángulos en el corpus

de conocimientos de la geometría?

Es una pregunta para reflexionar entre colegas, más allá de las necesidades y

posibilidades del aula.

Los criterios de congruencia aparecen en la primera gran obra de matemática que nos

llega de la antigüedad: Los elementos, de Euclides. En esa monumental obra, en el

Libro 1, se formulan y se demuestran varios teoremas clásicos de la geometría plana,

incluyendo el teorema de Pitágoras y su recíproco, como proposiciones 47 y 48, las

últimas del Libro 1. Y, como es sabido, todo este corpus de propiedades se demuestra

a partir de solo cinco postulados. En la dirección


http://www.euclides.org/menu/elements_esp/01/proposicioneslibro1.htm

se presentan las definiciones, nociones comunes y postulados que dan inicio al Libro 1

y los enunciados de las 48 proposiciones que lo conforman. Recorriendo esos

enunciados podemos reconocer los criterios de congruencia de triángulos: el criterio

LAL está probado a partir de la proposición 4; el criterio LLL surge a partir de la

proposición 22 y el criterio ALA puede deducirse a partir de la proposición 26. Esto

pone en evidencia que se necesitó todo un entramado de proposiciones para poder

demostrar estos criterios.

4. La formulación de nuevos criterios: la inclusión de la altura de

un triángulo como dato

En la escuela suelen tener presencia los tres criterios clásicos de congruencia de

triángulos: tres lados, dos lados y el ángulo comprendido, dos ángulos y el lado entre

ellos; y, con menor frecuencia, se llegan a establecer otros criterios de congruencia,

ligados a otros elementos del triángulo. Queremos detenernos a analizar la pertinencia y

la riqueza de internarse por esos caminos.

Presentamos a continuación dos problemas que podrían plantearse a estudiantes de

primero y/o segundo año, que incorporan la noción de altura, que se supone ya

estudiada por los alumnos al encarar estos problemas que les podríamos plantear:

Problema 3

Construyan un triángulo ABC teniendo como dato:

- la medida de AB, la altura h correspondiente al lado AB y la medida del ángulo Â =

60.





¿Pueden construir otro triángulo no congruente con estos datos?

Problema 4

Construyan un triángulo de forma tal que dos de sus lados sean congruentes al

segmento r y al segmento s, y la altura correspondiente al lado congruente a r sea h.

¿Pueden construir otro triángulo no congruente con estos datos?

Ahora, como docentes, imaginemos posibilidades en el aula a partir de estos problemas…

(3) Para resolver

1. Analicen estos problemas imaginando el trabajo que podrían desplegar

los estudiantes, en “lápiz y papel” y trabajando con GeoGebra.

2. ¿Se podría arribar a un nuevo criterio de congruencia para triángulos, a


partir de estos problemas?

Compartan y comenten la resolución de esta tarea en el foro "Consultas

generales del módulo"…

Otro ejemplo de formulación de nuevos criterios podría darse a partir del problema

estudiado en la Clase 1: la construcción de un triángulo dados un lado, la altura y la

mediana correspondientes a ese lado. La unicidad de la construcción cuando esta existe

–que, como vimos, es cuando la medida del segmento que será la altura es menor o

igual que la del segmento que debe ser mediana– permite la formulación de otro criterio

de congruencia de triángulos:

Criterio: “Dos triángulos serán congruentes si tienen congruentes un lado y la altura y

la mediana correspondientes a ese lado”.

Por el contrario, el problema estudiado en la Clase 3 nos permitió concluir que,

conociendo las medidas de un lado, de la mediana de ese lado y de la altura

correspondiente a otro lado, no se puede terminar de identificar el triángulo. Para casi

todos los juegos de datos se pueden construir dos no congruentes. De este modo, esta

colección de datos no permite arribar a la formulación de un nuevo criterio de

congruencia.

(4) Para resolver

Investiguen la posibilidad de establecer otros criterios de congruencia a

partir de las medidas de lados, medianas, alturas y/o ángulos. Compartan

y comenten la resolución de esta tarea en el foro "Consultas generales del

módulo".


5. Construcciones de cuadriláteros y criterios de congruencia

Las actividades de construcción de cuadriláteros, en particular los “especiales” –rombo,

paralelogramo, rectángulo, cuadrado– suelen estar presentes en la clase de matemática

desde la escuela primaria, con diferente grado de complejidad y con una mayor

demanda de fundamentación, a medida que se avanza en la escolaridad. Los diseños

curriculares y los libros de textos dan cuenta de este tipo de tareas.

Lo que es bastante menos frecuente es que se avance en el establecimiento de criterios

de congruencia para cuadriláteros. Les proponemos internarnos por ese camino en lo

que resta de esta Clase 6.

Un recorrido posible podría ser tratar de extender los criterios para triángulos al caso de

cuadriláteros. Por ejemplo, podríamos proponer a los estudiantes estudiar si la condición

de que dos cuadriláteros tengan los cuatros lados de uno respectivamente congruentes a

los cuatro lados del otro alcanzaría para decidir la congruencia de los dos cuadriláteros.

Un detalle que aparece al tratarse de cuadriláteros es que hay que decir también que los

lados congruentes entre sí aparezcan en el mismo orden en los dos cuadriláteros (este

detalle del orden no es necesario cuando se trata de triángulos). Del mismo modo que

hicimos para el caso de triángulos, el estudio de un criterio podría estar ligado a un

problema de construcción. Un posible enunciado para comenzar a estudiar el problema

puede ser entonces:

Problema 5

Construir, si es posible, un cuadrilátero de manera que cada lado sea congruente a los

segmentos dados, dispuestos consecutivamente en el orden a b c d.

-¿Pueden construir dos cuadriláteros no congruentes con estas condiciones?


Antes de seguir leyendo, les proponemos realizar la siguiente actividad…

(5) Para resolver

- Planteen y analicen diferentes posibilidades que podrían desplegar los

estudiantes para resolver el Problema 5.

- Anticipen procedimientos de construcción que pueden derivar en que los

estudiantes contesten que la solución es única.

Con mayor o menor intervención docente, los estudiantes deberían enfrentarse con la

novedad de que se puede elegir el ángulo de, por ejemplo, el primer lado con el

segundo, dando lugar a cuadriláteros no congruentes.

Recién a posteriori de esa indagación se puede dar a los alumnos el archivo ggb los 4

lados de un cuadrilátero para que exploren moviendo con el puntero los vértices libres

del cuadrilátero. Invitamos a los profesores a hacerlo. Notarán que hemos fijado los

segmentos –para que no se modifiquen en longitud durante la manipulación– y que no

todos los vértices del cuadrilátero se pueden mover. Esto se debe a que el vértice L fue

construido como punto de intersección de dos circunferencias, para garantizar al

http://postitulo.matematica.infd.edu.ar/correlativas.cgi?wid_unidad=15581&wseccion=MO&wid_item=418153&wAccion=L&esMicrositio=no&obligatorio=&id_curso=1735

http://postitulo.matematica.infd.edu.ar/correlativas.cgi?wid_unidad=15581&wseccion=MO&wid_item=418153&wAccion=L&esMicrositio=no&obligatorio=&id_curso=1735


mismo tiempo la medida de los dos lados que convergen a él. Estudiar esta figura

dinámica podría dar lugar en el aula a otro tipo de preguntas, como por ejemplo ¿se

puede lograr que uno de los ángulos sea recto? ¿y dos de los ángulos?

El Problema 5 y la manipulación de este cuadrilátero dinámico permitirían concluir que la

congruencia de los cuatro lados no alcanza para determinar que dos cuadriláteros serán

congruentes. Será un momento oportuno para volver a reflexionar en el aula en torno al

criterio de congruencia para triángulos: quizás en su momento se tomó como “natural”

que tener lados congruentes era lo mismo que ser congruentes. Recién ahora se puede

ver eso como una propiedad muy particular de los triángulos.

Una vez establecido que la condición de cuatro lados congruentes no da un

criterio, se puede restringir el estudio a una clase particular de

cuadriláteros, estudiando el problema si se trata de dos paralelogramos, de

dos rectángulos, de dos rombos o de dos cuadrados.

Hasta acá hemos considerado el estudio de una posible extensión del criterio de

congruencia de triángulos LLL.

(6) Para resolver

- Analicen diferentes posibilidades para extender el criterio de congruencia

para triángulos LAL y que resulte un criterio de congruencia para

cuadriláteros.

- Realicen el mismo estudio para el criterio ALA.

Resultado de todo este estudio surge el hecho de que los criterios que se pueden

establecer para determinar la congruencia de dos cuadriláteros son bastante más

complejos que aquellos para triángulos. Esa puede ser una causa para que no tengan

tanta visibilidad, ni en la matemática ni en la escuela. Por otro lado, algunos criterios

para cuadriláteros especiales, como los que vamos a estudiar a continuación, pueden


“reducirse” a los de los triángulos, es decir, los conocimientos sobre los triángulos se

reinvierten para estudiar los cuadriláteros y otras figuras.

Veamos entonces cómo se podría estudiar el tema de los criterios de congruencia si se

trata de cuadriláteros especiales, analizando posibles actividades que podríamos plantear

a los estudiantes de primero y/o segundo año de la escuela secundaria:

Problema 6

a)

Decidan si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifiquen

la respuesta.

- Si dos paralelogramos tienen los lados congruentes entonces son

congruentes.

- Si dos rombos tienen lados y una diagonal congruente entonces son

congruentes.

- Si dos rectángulos tienen la diagonal congruente son congruentes.

- Si dos paralelogramos tienen dos lados adyacentes de uno congruentes

a dos lados adyacentes del otro y el ángulo comprendido también

congruente, son congruentes.

b)

Inventen un criterio de congruencia para paralelogramos y uno para

rombos. No debe ser un criterio enunciado en el problema 6.a.

Estos problemas podrían dar lugar a interesantes justificaciones de los estudiantes en el

espacio colectivo: seguramente se pondrían en juego todo tipo de conocimientos sobre

cuadriláteros y triángulos y los estudiantes estarían en todo momento trabajando con la

diferencia entre “condición necesaria” y “condición suficiente”, trabajo que sin duda

enriquecería la construcción de herramientas para argumentar y demostrar en geometría

y en matemática en general.


Para resolver 7

- Anticipen posibles resoluciones de los estudiantes al Problema 6.

- Identifiquen cómo entrarían en juego en la resolución los criterios de

congruencia de triángulos en la justificación de las veracidad o no de las

afirmaciones.

- Ensayen formulaciones de criterios como se solicita en el Problema 7.

Analicen posibles argumentaciones o justificaciones de los alumnos.

Lo que intentamos mostrar en este apartado es que enfrentar a los estudiantes con

estos problemas tiene valor por el proceso de producción que pone en marcha, tanto

en sus aspectos de genuina exploración como en el ejercicio de argumentos para

validar lo que se encuentra en la exploración. No los traemos a reflexión sólo por el

valor que pueden tener los criterios de congruencia para cuadriláteros como eventual

producto al que se llegue, sino por la riqueza del proceso de producción que puede

tener lugar en aula.

En síntesis

En esta clase estudiamos juntos diferentes cuestiones ligadas a los criterios de

congruencia de figuras. En el primer apartado pusimos en relación las construcciones de

triángulos con la elaboración de criterios de congruencia en el aula de secundario.

Asimismo, pusimos a disposición de ustedes una propuesta detallada para poner en

marcha esto, elaborada hace años en la dirección de currícula de una jurisdicción.


En los dos apartados siguientes abordamos cuestiones ligadas a la demostración: los

criterios como herramientas para demostrar propiedades en los primeros años de la

escuela secundaria y los criterios mismos como teoremas que se demuestran en la obra

de Euclides.

En los últimos apartados reflexionamos sobre la fertilidad didáctica de actividades del

estilo “inventar nuevos criterios”, tanto para triángulos como para cuadriláteros.

Seguimos construyendo juntos en los espacios de intercambio…

Lectura obligatoria

● Sessa C. y otros (2007). Geometría. Aportes para la enseñanza en el nivel medio.

Dirección de currícula. Ministerio de Educación G.C.B.A, Capítulo 2. Accesible en:

http://www.buenosaires.gob.ar/areas/educacion/curricula/media/matematica/geo

metria_media.pdf

Lectura complementaria

● Las definiciones, nociones comunes y postulados que dan inicio al Libro 1 de Los

elementos, de Euclides, y los enunciados de las 48 proposiciones que lo

conforman. Accesible en:

● http://www.euclides.org/menu/elements_esp/01/proposicioneslibro1.htm[C25]

● Euclides (s III A.C). Los elementos.

Bibliografía de referencia

● Euclides (s III A.C). Los elementos.

Actividad obligatoria

Actividad grupal

Foro y Wiki : "Avanzando hacia el TF"

En esta clase resolvemos en forma colaborativa en el foro y en la wiki el

ítem para resolver 7 que formará parte del Trabajo Final.







Actividad optativa

Para resolver

A lo largo de la clase se proponen algunas tareas o problemas “Para

resolver” y que no están indicadas como actividades de entrega

obligatoria. Recomendamos la resolución de los ejercicios 1, 2, 3 y 4

para poder avanzar con el abordaje que propone el módulo.

Foro de consultas generales del módulo

Como en las clases anteriores, cuentan con un foro de consultas

generales del módulo en el cual podrán presentar inquietudes,

problemas o dudas en relación con la propuesta de trabajo. En

particular, con el texto de esta clase y con las diferentes preguntas y

problemas que quedaron para que ustedes trabajen.

¡Los esperamos!


Cómo citar este texto:

Instituto Nacional de Formación Docente. Clase 6: Los criterios de congruencia de

figurass. Enseñanza de la Geometría. Especialización docente de Nivel Superior en

Enseñanza de la Matemática en la Educación Secundaria. Buenos Aires: Ministerio de

Educación y Deportes de la Nación.

Esta obra está bajo una licencia Creative Commons

Atribución-NoComercial-CompartirIgual 3.0

Autores del material:

El diseño y escritura de las clases del módulo fue realizado por Carmen Sessa y Daniel

Arias

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.es_AR

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