MODULO 2.

Teoría del Interés y Anualidades

2.1 Interés Simple 2.1.1 Introducción y Conceptos Básicos

El interés simple es el que se obtiene únicamente del capital inicial durante un período de tiempo dado.

Consideraciones: • A medida que se generan los intereses no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro. • Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial, al tipo de interés vigente en ese período. El interés que produce un capital es directamente proporcional al capital inicial, al tiempo que dure la inversión, y a la tasa de interés: I = C i t

A tener en cuenta: El interés simple exacto se calcula sobre la base del año de 365 días (366 en años bisiestos), llamado año civil.

El interés simple ordinario se calcula con base en un año de 360 días (año comercial o bancario). El uso del año de 360 días simplifica algunos cálculos, sin embargo aumenta el interés cobrado por el acreedor.

El tiempo (n) indica el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, siempre debe estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea).

2.1.2 Monto El monto es igual al capital más los intereses: M = C + I Y dado que el Interés es: I = C i t Entonces reemplazando: M = C + Cit Sacando factor común: M = C (1 + it) El factor (1+it) se lo denomina “factor de acumulación de interés simple”

2.1.3 Valor Actual o Presente Para determinar el valor actual, que equivale al capital, despejamos C, de la fórmula respectiva del monto: C = M 1 + it 2.1.4 Tasa y tipo de interés, plazo y tiempo La tasa de interés, es la razón del interés devengado al capital en una unidad de tiempo. Está dada como un porcentaje o su equivalente (generalmente se toma el año como unidad de tiempo de referencia)

Los elementos que forman normalmente la tasa de interés son: El interés per se

El riesgo de la operación: que refleja la probabilidad estimada o conocida de incobrabilidad. Es lo que usualmente se conoce como riesgo crediticio.

Los gastos administrativos: de forma común para el acreedor se encuentra evidenciado por la administración del crédito, para el deudor por el costo de la gestión de la operación, comisiones, impuestos, entre otros.

La pérdida del valor de la moneda: debido a la presencia del aumento general en el nivel de precios de la economía (inflación).

Amplitud de tiempo: por lo general las tasas de interés a largo plazo son mayores que las referidas de corto plazo.

2.2 Descuento En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido, cuyo vencimiento se pretende adelantar.

2.2.2 Descuento Simple y Comercial El descuento simple es la operación financiera que tiene por objeto la sustitución de un capital futuro por otro equivalente con vencimiento presente. Es una operación inversa a la de capitalización. D = M – C

El descuento comercial ó bancario es una operación de crédito que se lleva a cabo en instituciones bancarias y consiste en que estas adquieren letras de cambio o documentos (pagares), de cuyo valor nominal descuentan una suma equivalente a los intereses que devengaría el documento entre la fecha en que se recibe y la fecha de vencimiento (con esto se anticipa el valor actual del documento).

2.2.3 Relación con la tasa de interés, equivalencias. La relación de equivalencia entre tasas de interés y descuento, en régimen de capitalización simple, es una función temporal, es decir, que una tasa de descuento es equivalente a tantos tipos de interés como valores tome la duración (n) de la operación y al revés (no hay una relación de equivalencia única entre un i y un d).

n n iCC ) 1(

2.3 Interés Compuesto 2.3.1 Introducción y Conceptos Básicos

Es la forma de calcular el interés, en la que cada período de cálculo, el interés se acumula al capital. Esta cifra sirve como base para calcular los intereses en el siguiente período. Financieramente, el interés compuesto es el originado por la suma periódica del interés simple al principal, formando esta nueva base, el capital principal para el cálculo de los intereses en los períodos posteriores.

El capital inicial C invertido bajo la modalidad de interés compuesto se convertirá en un capital final dado por la fórmula:

La tasa de interés i se obtiene despejando en la fórmula anterior: Es importante conocer la diferencia entre el Interés Simple y el Interés Compuesto.

Cuando utilizamos el interés simple, sólo se calcula el interés sobre el capital original y con el interés compuesto se calcula sobre el capital original, más los intereses generados en el período anterior.

2.3.3 Tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente

La tasa de interés nominal, representa la ganancia que genera un capital en un período de tiempo dado, sin tomar en cuenta el aumento en el nivel general de precios de una economía. Las operaciones en los mercados usualmente fijan un tipo de interés anual que es nominal. Es la tasa que enuncia, por ejemplo, una entidad para sus operaciones, lo cual no implica que ese sea el costo o precio real de la operación que se realiza.

La tasa de interés efectiva, es la tasa de interés que genera un capital unitario en un período y está en función de la tasa de interés nominal de la operación y de la oportunidad y forma de pago de los intereses. La tasa efectiva es aquella a la que efectivamente está colocado el capital. La capitalización del interés en determinado número de veces por año, da lugar a una tasa efectiva mayor que la nominal. Esta tasa representa globalmente el pago de intereses, impuestos, comisiones y cualquier otro tipo de gastos que la operación financiera implique.

La fórmula para encontrar una tasa de interés efectiva es: i= (1+j/m)m -1 donde: i= Tasa de interés anual j= tasa de interés nominal m = Número de periodos de capitalización en el año

Determinar tasas de interés equivalentes en Excel

El programa de cálculo Excel trae incorporado en sus diferentes versiones gran cantidad de funciones financieras, pero no incluye una función que permita encontrar una tasa de interés trimestral por ejemplo, equivalente a una tasa de interés mensual, por lo que debemos construirla por nuestros propios medios.

Supongamos que nos dan una tasa de interés del 18% efectivo anual, y queremos saber cuál sería la tasa equivalente mensual.

Como se trata de interés compuesto y no simple, no podemos dividir 18 entre 12, dado que el interés compuesto, por corresponder a una progresión geométrica y no lineal como el interés simple, no se puede dividir de esa forma.

En consecuencia, si queremos determinar una tasa equivalente, deberemos aplicar una formula del tipo: TE = ((1+i) ^ (P1/P2)) -1 Donde: TE es la tasa equivalente que se quiere encontrar i es la tasa de interés que se nos da [18% en el ejemplo expuesto] P1 es el periodo de pago actual [18% anual en el ejemplo] P2 es el periodo de pago a que se quiere llegar

Cuando expresamos anual, se refiere a que se paga 1 vez al año, cuando decimos semestral, se paga dos veces al año, cuando decimos trimestral, se paga 4 veces al año, cuando decimos bimestral se paga 6 veces al año y cuando decimos mensual, se paga 12 veces al año.

2.3.4 Valor Actual, tiempo y tasa

El valor actual nos indica cuál es el valor en un momento determinado de una cantidad que se recibirá o pagará en un tiempo futuro.

Por lo tanto su expresión es igual a: C = M /(1 + i)n C: capital M: monto n: tiempo i: tasa de interés

2.4 Anualidades Simples, Ciertas y Vencidas

2.4.1 Introducción y Conceptos Básicos La anualidad es la serie de pagos realizados a intervalos similares de tiempo. A cada pago, se le llama renta de la anualidad, y la suma acumulada en el plazo convenido se denomina monto de la anualidad.

Clasificación

De acuerdo con el autor Mora Zambrano1 (2004), las anualidades se pueden clasificar del siguiente modo: - Según el tiempo:

a) Anualidades eventuales o contingentes: son aquellas en las que el comienzo y el fin de la serie de pagos dependen de un acontecimiento externo. Ejemplo: seguros de vida, de accidentes, incendios.

b) Anualidades ciertas: son aquellas en las que sus fechas de inicio y término se conocen por estar establecidas en forma concreta. Ejemplo: cuotas de préstamos hipotecarios, pago de intereses de bonos, otros.

- Según la forma de pago:

a) Anualidades vencidas: aquellas en que los pagos o ingresos periódicos se efectúan o se producen al final de cada período. Ejemplo: pago de cuotas mensuales.

b) Anualidades anticipadas: son aquellas en que los ingresos o pagos periódicos se producen al comienzo de cada uno de los periodos de renta. Ejemplo: pago de cuotas por adelantado.

c) Anualidades diferidas: son aquellas cuyo plazo comienza después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo. Ejemplo: préstamos con período de gracia.

d) Anualidades simples: son aquellas cuyo periodo de pago coincide con el período de capitalización. Ejemplo: si la capitalización es cuatrimestral, los pagos serán cuatrimestrales.

e) Anualidades generales: son aquellas cuyos períodos de pago o de depósito y capitalización, no coinciden. Ejemplo: se realizan depósitos cuatrimestrales y la capitalización de intereses es semestral.

2.4.2 Valor actual, renta y plazo

El valor actual de una anualidad es aquel capital que colocado a una tasa de interés, por un lapso de tiempo igual al que existe entre la fecha del valor actual y la fecha del vencimiento de la renta futura, ascenderá exactamente a esa suma futura. Es decir corresponde al valor equivalente en la fecha del valor actual, de la suma de cada una de las cuotas de la anualidad.

A = R (1 - (1 + i) - n) / i

Sólo se puede usar la fórmula si las cuotas y los períodos de pago iguales son iguales. La tasa de interés debe estar expresada en el mismo tiempo del periodo de pago.

2.5 Anualidades Anticipadas

Las anualidades anticipadas, son aquellas en que los ingresos o pagos periódicos se producen al comienzo de cada uno de los periodos de renta. Ejemplo: pago de cuotas por adelantado. En su caso simple, en las anualidades anticipadas el periodo de pago coincide con el periodo de capitalización. M = R (1+i)n – 1 / i C = R 1- (1+i)-n / i

2.6 Anualidades Diferidas

2.6.1 Introducción, monto y valor actual Las Anualidades diferidas, son aquellas cuyo plazo comienza después de transcurrido un cierto intervalo de tiempo. Ejemplo: préstamos con período de gracia. Otra manera de definirlas, es expresar que las anualidades diferidas son aquellas en las que el inicio de los cobros o depósitos se pospone para un periodo posterior a la formalización de la operación.

2.6.3 Casos Generales de Anualidades

Las Anualidades generales, son aquellas cuyos períodos de pago o de depósito y capitalización, no coinciden. Ejemplo: se realizan depósitos cuatrimestrales y la capitalización de intereses es semestral.

Anualidades indexadas y anualidades ajustadas al valor de mercado Según el Insurance Information Institute, podemos también referir a otros tipos de anualidades tales como: Anualidades indexadas (equity-indexed annuity), acreditan como lo haría una anualidad fija cualquiera, solo que además provee de un monto de ganancias derivadas de inversiones en acciones invertidas en un índice del mercado específico con las que se indexa, y esta porción está considerada como parte de su desempeño y las ganancias totales de la anualidad.

Aparte, está la anualidad que en inglés se conoce como market-value-adjusted annuity que se traduciría como una anualidad ajustada al valor de mercado. En esta se combinan dos características deseables: la posibilidad de seleccionar y fijar la tasa de interés y el tiempo durante el cual esta se aplicará a la inversión para que crezca y de paso permite la flexibilidad de retirar dinero de la misma antes de que se cumpla dicho período.

Para permitir la flexibilidad de retirar dinero d la anualidad, se ajustan los ingresos adaptando la tasa de interés desde el momento que se comenzó la anualidad hasta el momento del retiro del dinero.

Una anualidad se puede adquirir haciendo una sola contribución o varias contribuciones durante un período de tiempo extendido.

Si se hace una sola contribución (o prima), en inglés se le llama single premium annuity. Esto puede hacerse para invertir el dinero por un largo período de tiempo o para crear una anualidad diferida de una sola contribución, o se puede hacer una sola contribución para sacar el dinero de a poco pero que estas distribuciones (pagos) comiencen de inmediato.

Las anualidades de una sola contribución muchas veces se realizan con fondos que se transfieren de otras inversiones (rollovers) o también se usa dinero que se obtiene de otras inversiones que hayan crecido en valor sustancialmente.

Pero si no se cuenta con un monto de dinero para hacer una anualidad de una sola contribución se puede elegir un plan de contribuciones flexibles que en realidad son varios pagos en serie, como pagos a plazos.

En este caso, la anualidad solo puede ser una anualidad diferida porque hasta que no se termina de acumular fondos no se pueden comenzar a hacer retiros.

Las anualidades de contribuciones flexibles (flexible premium annuity) están diseñadas para acumularse durante un período largo de tiempo y maximizar también el tiempo para que las inversiones crezcan simultáneamente, antes de comenzar a disponer o retirar el dinero en pagos.

Otro tipo de anualidades

Split Funded Ésta es combinación de una anualidad inmediata y una diferida. Este acercamiento prevé una porción de la anualidad para invertir de nuevo al dueño como renta inmediata por un período de tiempo fijo, o para la vida.

Single Premium Estas anualidades se compran con un pago, más bien que en un cierto plazo. El premio se puede pagar apenas antes de los desembolsos de la anualidad (para una anualidad inmediata), o puede ser pagado mucho antes (para una anualidad diferida). La prima única inmediata y las anualidades diferidas de la prima única se pueden pagar en cantidades fijas o variables. Si necesita ampliar y clarificar los diferentes casos y tipos de anualidades en el anexo, encontrará una información ampliatoria.

Anexo

Monto Si nos interesa saber la cantidad de dinero que se acumulará dentro de determinado tiempo en una cuenta que paga i% de interés después de estar depositando periódicamente cierta renta al inicio de cada periodo, una opción sería obtener el valor de cada uno de esos pagos a la fecha establecida (montos), y su suma sería el monto de la anualidad.

Algebraicamente tenemos lo siguiente:

Donde R es la renta. Esta expresión está escrita desde el último hasta el primer depósito efectuado.

En este caso, el último depósito se realiza un periodo anterior al del vencimiento de la operación, por lo tanto dicho pago sí genera intereses.

Claramente nos enfrentamos a la suma de una progresión geométrica. Sustituyendo en la fórmula que ya conocemos para los valores de nuestro problema tenemos lo siguiente:

Factorizando y simplificando

Valor Actual Supón que se te pide obtener el valor actual de una renta depositada anticipadamente cada cierto tiempo durante determinado plazo en una cuenta que paga i% de interés; con los conocimientos adquiridos hasta la fecha decidiríamos resolver el problema obteniendo los valores actuales de todos los depósitos, y su suma es el valor actual de la anualidad. La ecuación tiene la forma siguiente:

Renta

Plazo Cuando se deba resolver problemas cuya incógnita sea n, es recomendable sustituir los datos directamente en las fórmulas de monto o valor actual, según corresponda, e ir paso a paso, y al mismo tiempo, despejando para n y efectuando operaciones.

Tasa de Interés Al igual que en el caso de las fórmulas de una anualidad vencida, no podemos despejar i en éstas de anualidades anticipadas.