Estudios Matemáticos Argentera

Comprender las cosas que nos rodean es la mejor preparación para comprender las cosas que hay más allá. (Hipatia)

Módulo 1.

Operaciones

Aritméticas

Algebraicas

Hypatia: Nació en el 370 D.C. Eminente mujer griega,

célebre por su elocuencia, belleza y conocimiento. Enseñó la doctrina de platón y Aristóteles. Se destacó en los campos de las Matemáticas y la Astronomía. Miembro y líder de la Escuela neoplatónica de Alejandría, se centró en estudios lógicos y ciencias exactas, llevando una vida ascética.La acusaron de hechicera por tener influencia científica, literaria y matemática. Creó el Canón Astronómico de Diofanto, el astrolabio y la esfera plana. Inventó el aerómetro o hidroscopio. Murió quemada en el 415.

EL TANGRAM

EEss uunn rroommppeeccaabbeezzaass qquuee ccoonnssttaa ddee 77 ppiieezzaass oo ttaannss.. jjuueeggoo

cchhiinnoo ddee llooss ssiieettee eelleemmeennttooss oo ttaammbbiiéénn ““llaa ttaabbllaa ddee llaa

ssaabbiidduurrííaa”” oo ""ttaabbllaa ddee ssaaggaacciiddaadd"" hhaacciieennddoo rreeffeerreenncciiaa aa

llaass ccuuaalliiddaaddeess qquuee eell jjuueeggoo ccoonnlllleevvaa.. RReeqquuiieerree ddee iinnggeenniioo,,

iimmaaggiinnaacciióónn yy,, ssoobbrree ttooddoo,, ppaacciieenncciiaa..

EEnn llaa eennsseeññaannzzaa ddee llaa mmaatteemmááttiiccaa,, uuttiilliizzaa ccoommoo mmaatteerriiaall

ddiiddááccttiiccoo qquuee ffaavvoorreecceerráá eell ddeessaarrrroolllloo ddee hhaabbiilliiddaaddeess ddeell

ppeennssaammiieennttoo aabbssttrraaccttoo,, ddee rreellaacciioonneess eessppaacciiaalleess,, llóóggiiccaa,,

iimmaaggiinnaacciióónn,, eessttrraatteeggiiaass ppaarraa rreessoollvveerr pprroobblleemmaass,, eennttrree

mmuucchhaass oottrraass,, aassíí ccoommoo uunn mmeeddiioo qquuee ppeerrmmiittee iinnttrroodduucciirr

ccoonncceeppttooss ggeeoommééttrriiccooss.. EEss uunn ggrraann eessttíímmuulloo ppaarraa llaa

ccrreeaattiivviiddaadd.. PPrroommuueevvee eell ddeessaarrrroolllloo ddee ccaappaacciiddaaddeess

ppssiiccoommoottrriicceess ee iinntteelleeccttuuaalleess ddee llooss nniiññooss.. SSee uuttiilliizzaa eenn

ppssiiccoollooggííaa,, eenn ddiisseeññoo,, eenn ffiilloossooffííaa yy ppaarrttiiccuullaarrmmeennttee eenn llaa

ppeeddaaggooggííaa.. SSee ppuueeddeenn rreeaalliizzaarr aallrreeddeeddoorr ddee 1166,,000000

ffiigguurraass ddiissttiinnttaass..

1

Leyes de los signos

Ley de los signos para la Suma y Resta

Se aplican los siguientes criterios:

1. Cuando las cantidades son del mismo signo, Se suman las cantidades

y se conserva el mismo signo.

Ejemplos: 2 + 5=7; -8-4=-12

2. Cuando las cantidades son de signos diferentes, Se restan los

números y se conserva el signo de la de mayor valor absoluto.

Ejemplos: 9-3=6, -8+3=-5

Ley de los signos para la multiplicación y división

Tanto la multiplicación como la división de expresiones con signos iguales

darán como resultado un valor positivo, mientras que la multiplicación de

expresiones con signos contrarios dará como resultado un valor negativo, es

decir,

Multiplicación División

(+) (+) = (+) (+) ÷ (+) = (+)

(+) (-) = (-) (+)÷ (-) = (-)

(-) (+) = (-) (-)÷ (+) =(-)

(-) (-) = (+) (-)÷ (-) =(+)

Ejemplos: (-2) (-3) = 6, -30 ÷ -15 = 2;

(2)(-3) =-6; -27 ÷ 9 = -3

2

FRACCIONES

Fracción: Es cada una de las partes en que se divide la unidad.

Clasificación de las fracciones

Según la relación ente el numerador y el denominador:

Fracción propia: Fracción que tiene su numerador menor que su

denominador. 2/7, 4/5.

Fracción impropia: Fracción en donde el numerador es mayor que

el denominador. 13/6, 18/8, 4/2.

Según la relación entre los denominadores:

Fracción homogénea: Fracciones que tienen el mismo denominador. Ejemplos: 5/4; 7/4.

Fracción heterogénea: Fracciones que tienen diferentes

denominadores. Ejemplos: 3/5, 7/8, 9/11

Reductibles: Fracciones en las que el numerador y el denominador

no son primos entre sí y puede ser simplificada.

Ejemplos: 20/40, 4/20, 5/10

Irreductibles: Fracciones en las que el numerador y el denominador

son primos entre sí. No pueden ser simplificadas. Ejemplos: 3/7,

17/11, 33/15

2 41

6 6

3

Operaciones con fracciones.

Multiplicación

Para multiplicar dos fracciones numéricas o algebraicas se multiplican sus numeradores y sus denominadores, por separado, teniendo así el numerador

y el denominador de la fracción producto.

Ejemplos: a c ac

b d bd

2 3 2*3 6

5 7 5*7 35

División

Para dividir dos o más fracciones, se multiplican el numerador de la primera

fracción por el denominador de la segunda fracción (así tenemos el

numerador) y el denominador de la primera fracción por el numerador de la

segunda fracción (denominador).

Ejemplos: a c ad

b d bc

2 3 2*7 14

5 7 5*3 15

También podemos dividir de la siguiente forma, simplemente invirtiendo la

segunda fracción para convertirla en un producto.,

Ejemplo: a c a d ad

b d b c bc

Suma y resta de fracciones homogéneas y heterogéneas

Para sumar o restar dos o más fracciones homogéneas, se suman los

numeradores y se deja el denominador común.

Ejemplo: Realiza las siguientes operaciones a c a c

b b b

a) 3 5 3 5 8

18 8 8 8

; b)

4

Para sumar fracciones heterogéneas se siguen estos procesos:

1. Se calcula el mínimo común múltiplo (M.C.M.), por lo que se tiene que

a) 3 5 9 10 19 1

16 9 18 18 18

b) 5 3 15 6 9 1

6 9 18 18 2

2. También se puede desarrollar convirtiéndola en homogénea

3. Se procede como en la resta de fracciones de igual denominador (dado que las fracciones tienen el mismo denominador)

FÓRMULAS

Una fórmula es una expresión general de una ley o mandato. Ejemplos de fórmulas son:

A = L*L (fórmula de un cuadrado)

.

2

b hA (Formula de un triangulo)

2 4

2

b b acx

a

(Fórmula para resolver una ecuación de segundo grado)

dv

t (Fórmula para la velocidad)

5

Regla para despeje de fórmulas:

Aplicando directamente las operaciones inversas tales como:

1- La operación inversa de la suma es la resta y viceversa. 2- La operación inversa de la multiplicación es la división y

viceversa. 3- La operación inversa de la potenciación es la radicación y

también la logaritmación.

4- Y de la derivación es la integración.

Ejemplos:

a) De la ecuación x + b = c, si queremos despejar a x solo debemos pasar a b con signo contrario para el otro lado x = c-b.

b) De la ecuación a · b = c, b pasa dividiendo al lado contrario de la igualdad, a = c/b

c) pv nrt despejar v.

En esta fórmula solo hay multiplicandos, si quiero pasar un término de un

lado al otro pasarlo dividiendo. Al pasar P el resultado será: nrt

vp

En la fórmula5( 32)

9

Fc

despejar por F.

Es igual poner 5( 32)

9

Fc

y empezar a transferir términos

9( ) 325( 32) 9( )

5

cF c F

Lenguaje algebraico

Es a través del cual podemos escribir simbólicamente, pues las matemáticas

tienen su propio lenguaje, Se combinan números y letras a través de

operaciones aritmética algebraica.

El lenguaje algebraico nos ayuda a traducir expresiones desde el lenguaje

coloquial al lenguaje algebraico.

6

Ejemplos: Traducir al lenguaje algebraico o simbólico.

*El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma del cuadrado de los catetos.

*El cuádruple del cubo de un número disminuido en 78.

*La edad de Pedro es el triplo aumentado en 4 de la edad de flete.

Flete= x Pedro: 3x+4

Ejemplo: Traducir al lenguaje coloquial:

4(x-y)= Cuatro veces al producto de la diferencia de dos cantidades.

Cinco veces el cubo de un numero por el cuadrado de otro.

Monomios Y Polinomios:

Monomio: Es una expresión algebraica que consta de un solo termino.

a. b.

Polinomio: Es una expresión algebraica que consta de más de un término.

Pueden clasificarse en Binomio Y Trinomio.

Binomio: Es cuando un polinomio tiene dos términos.

Ejemplos:

Trinomio: Es cuando el potencial tiene tres términos.

Ejemplos: 5x-Y+4

Cuando hay más de tres términos se le llama normalmente polinomio.

Ejemplos:

2 2 2h c c

34 78x

3 25x y

24x3 4 76m n w

2 3 62AX Y M3 2

5x

xy

26 3 20x y

4 3 23 2 8x x x x 39 2 5m n x a

7

Valor numérico de expresiones algebraicas:

Consiste en sustituir la expresión por su valor y luego realizar las

expresiones indicadas.

Ejemplos: Buscar el valor numérico de las siguientes expresiones sabiendo que:

a=3 b=1 c=-2

A) = -2(1)+4(-2)-5 = 27-2-8-5 = 12

B)

Signos de agrupación:

Para eliminar los signos de agrupación tanto en operaciones algebraicas

como aritmética, debemos ir operando desde adentro hacia afuera.

Ejemplos: Eliminar los signos de agrupación en:

a. -{2-[3+5(-2+4)-8]+7}=

-{2-[3-10+20-8]+7}

-{2-[5]+7}=-{4}=-4

b. 6[-4+ (3+1)-8+ (4-6)-2]

6[-4+4-8-2-2]=6[-12]=-72

Términos semejantes:

Dos o más términos serán semejantes cuando tengan la misma parte

literal afectadas por iguales exponentes.

Ejemplos: ; ;

3 2 4 5a b c 3(3)

25 12 4a b c 25(3) 12(1) 4( 2) 45 12 8 25

23x y 25x y 27x y

8

Operaciones Matemáticas con monomios

a. Suma de Monomios: Para sumar dos o más monomios se operara

con aquellos términos semejantes.

3 2 3 2 3 2

2 3 2 3 2 3

a) 3x+5x=8x

2 1 13 b)

3 5 15

c)

Ejemplo

10a b 6

s

a b

:

a b 4

m n m n m n

b. Producto de monomio: Se multiplican los coeficientes y se suman

los exponentes.

Ejemplos:

a) 1 2 111 3

6 63 5 154 41

) 6 23

b m n x m n y m nx y

c) 2 5 1

3

162 8a b a b

a

d) 2

3 3 5 4

75 10 50

mm x m x

x

c. División de monomios: Se dividen los coeficientes y se restan

algebraicamente los exponentes.

1)

2) 2 5 3

8 7 3

6 2

3 3= m n p

7 7

m n p

m n

3)

8 6 46 9 4 2

2 3 2

102

5

x y zx y z w

x y w

2 5 7(3 )(4 ) 12m m m

6 34 4

2

82

4

x yx y

x y

9

Operaciones de polinomios:

Suma y resta de polinomios:

Solo se operan con aquellos términos que sean semejantes, tomando en

cuenta que signos iguales se suma y se pone el mismo signo y que si son

diferentes se restan y se pone el que tenga mayor valor absoluto.

Ejemplo: Operar

3 2 5 7 3 2 5 7 3 2 5 74 2 9 7 13 5x y x y x y x y x y x y

Producto de Polinomios:

Para multiplicar dos polinomios basta con multiplicar cada monomio del

primer factor por todos y cada uno de los términos del segundo factor y así

sucesivamente y luego y luego se reducen los términos semejantes.

Ejemplo 1: a c a c  

Ejemplo 2: Resolver

División de polinomio por monomio:

Para dividir un polinomio por un monomio basta con dividir cada término del

polinomio entre el monomio.

a)

8 7 2 6 144 2 3 1 2 11

4 3

9 6 5 5) 3 2

3 3

w v w v w v zb w v w v w v z

w v

2 2 2 22a ac ca c a ac c

3 5(2 5)(2 1)m m 8 3 54 2 10 5m m m 8 5 34 10 2 5m m m

2 5 6 7 82 2 2 4 8

4 3

8 104 5

2

a b a b ca b a b c

a b

10

División de Polinomios:

Para dividir polinomios se ordena el dividiendo y el divisor con relación a una

misma letra. Para obtener el primer término del cociente dividimos el

primer término del divisor; luego se multiplica el término obtenido por el

divisor y se pasa con signo contrario y luego se realizan las operaciones

indicadas.

2

2

2

3 x

x 6

6

3

   2 6

2 6

0

1: Resolver 3

2

xx

x x

xEjemplo

x

x

x

x

5

5

3 2

 

1

  

:x

Ejemplo Dividirx

x

3 2

5

                                3 3 1x x x

x

4 3 2 2

4

3 3        3 6

           3

x x x x x

x

3 2

4

3  

         3

x x

x

3 2

3

  9 9          

                  6

x x

x

2

3

8 3

                 6

x x

x

2

2

18 18 6

                             1  0   15 6

x x

x x

11

3 2 2

a)

) Realiza las sigui

f) 95 7 4

1 2 1 1 2) 3 5 g) .

7

entes operaciones y s

3 2 3

implifica:

7

ACTIVIDADES

I

b

+ 5=

6 1 2 1 1) h)

7 4 5 3 9

1 2 2 3 1) 7 3 i)

8 5 5 2 5

1 5) 6

2 3

c

d

e

2 2

2

4 2 1 j)

7 3 2

) 2x+3y=6 Despejar a X.

) Sen Cos 1 Despejar el Co

) Despeje de fórmulas

seno.

1c) Ec=

2

:I

a

mv

I

b

1 222

1 2 122

Despejar a V.

) Despejar q .

e) Despejar W

Kq qd Fe

r

w w R

nk

12

2 2

2 3 3 2 2 3

3 2 2 2 3 2 4 2

2 3 3 5 4

3

2 3

2 6 9 20

2 5

2

a) 3m 4m

1) 6a 2

2

) 5 4 3 4 5

) 5m 4 3

) 2 4

) Realiza las siguintes operac

2

) 3 2 1

ione

8 6)

2

) m 2 3 entr

s

e

:

1

b b a b a b

c m n m m m n m n p

d n m n z mn

e x x

II

f x x x

x y x y zg

x y z

h m m

i

I

8 5 10 4 8 12 12 3

4 7

4

9 30m 12n)

6

) b b entre 1

m n x n x x

m n

j b

III) Reduce los signos de agrupación y reduce términos .

) 2 8 3 9 4

) 4 2 6 2 4 9 5 23 =

sem jante

e s

a x x

b x x x x

"Una persona no puede directamente escoger sus circunstancias, pero si puede escoger sus

pensamientos e indirectamente -y con seguridad- darle forma a sus circunstancias."

James Allen)

13

Bibliografía

Morel Roberto, Ventura Eduardo (2008); Matemática Superior I. Santo Domingo

Rep. Dom: Universidad Católica de santo Domingo.

Sobel Max; Lerner Norbert, (2006). Precálculo. 6ta edición, México: editora Pearson Educación.

Baldor Aurelio, (1994). Algebra. Undécima edición, México: editora Codice

América, S.A. Santillana I. serie umbral, (educación media).

(2001), 1ra ediccion, Rep.Dom: Editora Santillana

Imagen del tangram rojo propiedad de http://www.google.com.doi

imgurl=http://nuvolo.files.wordpress.com/2006/10/tangram-red.j

Wikipedia “Las fracciones” http://es.wikipedia.org/wiki/Fracci%C3%B3n

Revisado el 24 de abril 2012.

Prof. Wilton Oltmanns