1. 1. LGEBRA, TRIGONMETRIA YGEOMETRA ANALTICAIntegrantes del grupoJessica Marcela AcostaJhon Alexander SalazarGloria Anglica RodrguezYeniseth PalaciosDiego Fernando OrtegaGrupo 551108_4TutorJos Vicente QUIMBAYATORRES
2. 2. lgebraEs la rama de las matemticasque trata a las cantidades demanera general.
3. 3. DefinicionesTrmino algebraicoEs la relacin entre nmeros y letras dondeintervienen operaciones como la multiplicacin,divisin, potencias y/o races.Consta de un factor numrico, denominadocoeficiente y un factor literal.Ejemplos:15a3b5,ab2c, 5x2y, 2z3w
4. 4. Expresin algebraicaEs la relacin entre trminos algebraicos,mediante la suma y/o resta.Ejemplos:1) 4x2 3 5y2) 8a3 + 7xy2 3x + 10y3) 2a3b2 + 5ab 3a 2
5. 5. Clasificacin:MonomioExpresin algebraica que consta de un trminoalgebraico.Ejemplos:25a3, 9xy2, 45x2z5PolinomioExpresin algebraica que consta de dos o mstrminos algebraicos.
6. 6. 1) Binomio: Polinomio que consta de dos trminos.Ejemplo:4x7y2 + 5xy2) Trinomio: Polinomio que consta de trestrminos algebraicos.Ejemplo: 2a3b2 + 5ab 3a2
7. 7. Trminos SemejantesSon aquellos trminos algebraicos, omonomios que tienen los mismos factoresliterales.Ejemplo:6a2b 5a2b2x4 7x2- Los trminos y son semejantes.- Los trminos y no son semejantes.
8. 8. Operaciones algebraicasSuma y RestaSlo pueden ser sumados o restados loscoeficientes numricos de los trminossemejantes.Ejemplo:ab2c + 3ab2c 5ab2c = (1 + 3 5) ab2c= (4 5) ab2c= ( 1) ab2c= ab2c
9. 9. En la suma de polinomios, se escribe cadapolinomio uno detrs de otro y se reducen lostrminos semejantes.Sumar lossiguientespolinomios:Suma de polinomios
10. 10. En la suma, los polinomios se escriben unoseguido del otro y se reducen los trminossemejantes:
11. 11. En esta operacin, es importante identificarel minuendo y el substraendo, paraposteriormente realizar la reduccin detrminos semejantes.Realizar lasiguiente operacin:Resta de polinomios
12. 12. Para realizar la resta, primero seeliminan los parntesis.Para hacerlo, debemos recordar que el signo menosfuera del parntesis, afecta a todos los monomios queestn dentro de los parntesis.Por lo tanto, debemos invertir elsigno de cada monomio en el segundoparntesis, es decir, debemos cambiarlos signos positivos por negativos ylos negativos por positivos:Posteriormente se reducen los trminos semejantes:
13. 13. Multiplicacin Monomio por monomio:Se multiplican los coeficientes numricosy los factores literales entre s.3x 2xy =Ejemplo: Monomio por polinomio:Se multiplica el monomio por cada trminodel polinomio.Ejemplo:6x2y3ab4 (5a2b + 2ab2 - 4ab) == 15a3b5 + 6a2b6 12a2b5
14. 14. Polinomio por Polinomio:Se multiplica cada trmino del primerpolinomio por cada trmino del segundopolinomio.Ejemplo:(2x + y)(3x + 2y)=6x2 + 4xy + 3xy + 2y2= 6x2 + 7xy + 2y2
15. 15. Productos NotablesSon aquellos cuyos factores cumplen conciertas caractersticas que permiten llegar alresultado, sin realizar todos los pasos de lamultiplicacin. Cuadrado de Binomio:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
16. 16. Ejemplo:(5x 3y)2=(5x)2- 2(5x3y)+ (3y)2= 25x2 - 30xy + 9y2La frmula del Cuadrado de Binomio se puedeobtener geomtricamente:a ab 2ab b2a baba bab
17. 17. Cubo de binomio:(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
18. 18. Suma por su diferencia:(a + b)(a b) = a2 b2Ejemplo:Aplicando la frmula...(5x + 6y)(5x 6y) =(5x)2 (6y)2= 25x2 36y2
19. 19. Producto de binomio:(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + abEjemplo 1:Aplicando la frmula...(x + 4)(x + 2) =x2 + (4 + 2)x + 42Desarrollando...= x2 + 6x + 8Esta propiedad slo se cumple cuando losbinomios tienen un trmino en comn.
20. 20. Ejemplo 2:Aplicando la frmula...(y - 4)(y + 2) =y2 + (-4 + 2)y - 42Desarrollando...= y2 2y - 8
21. 21. Cuadrado de trinomio:(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bcEjemplo:(2x + 3y + 4z)2 = ?Aplicando la frmula...= (2x)2 + (3y)2 + (4z)2 + 2(2x3y) + 2(2x4z) + 2(3y4z)Desarrollando...= 4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy + 16xz + 24yz
22. 22. Diferencia de cubos:a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2)Ejemplo:8x3 64y3 =(2x)3 (4y)3Aplicando la frmula...= (2x 4y)((2x)2 + 2x 4y + (4y)2 )Desarrollando...= (2x 4y)(4x2 + 8xy + 16y2 )
23. 23. Suma de cubos:Ejemplo:a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)27x3 + 8y3 = (3x)3 + (2y)3Aplicando la frmula...= (3x + 2y)((3x)2 3x 2y + (2y)2)Desarrollando...= (3x + 2y)( 9x2 6xy + 4y2)
24. 24. (x + 5)(x 4)(x + 5)(x 5)DivisinPara dividir expresiones algebraicas esnecesario expresarlas mediante productos, esdecir, factorizar.Ejemplos:1)Factorizando...= x2 + x - 20Simplificando...x2 - 25(x 4)(x 5)=Recuerda que NO se puede realizar losiguiente:(x 4)(x 5)
25. 25. (a + b)(a + b) 1(a + b)(a b)(a + b)a - b= (a b) 1:a - b2)Factorizando y simplificandoDividiendo:(a + b)2a2 - b2:1a - b=(a + b)(a b)1a - b= := (a + b)
26. 26. Mnimo comn mltiplo (m.c.m.) Entre monomios:Corresponde a todos los factores con su mayorexponente.Ejemplo 1:El m.c.m.entre:3x5y2, 18x2yz6 y 9y3es: 18x5y3z6Ejemplo 2:El m.c.m.entre:x4y2z3 , x2y , xy6zes: x4y6z3
27. 27. El concepto es igual al anterior, pero en estecaso se debe factorizar previamente.x2 + 2x+1Entre polinomios:x2 +xEjemplo:Determinar el m.c.m.entre:yFactorizando... x(x +1) (x +1)2m.c.m. :x(x +1)2
28. 28. Mximo comn divisor(M.C.D.)Entre monomios:Corresponde a los factores comunes con sumenor exponente.Ejemplo 1:El M.C.D. entre: 3x5y2, 18x2yz6 y 9y3es: 3yEjemplo 2:El M.C.D. entre: a4b2, a5bc y a6b3c2es: a4b
29. 29. x2 + x x2 + 2x +1Entre polinomios:El concepto es igual al anterior, pero en estecaso se debe factorizar previamente.Ejemplo:Determinar el M.C.D. entre:yFactorizando... x(x +1) (x +1)2M.C.D. :(x +1)