modulo 1 aspectos didacticos y curriculares
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Competencia Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de
cantidad
- Números Enteros
- Números Racionales
- Proporcionalidad
MÓDULO 1
ASPECTOS DIDACTICOS-CURRICULARES
Dirección Regional de Educación
de Lima Metropolitana
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MODULO 1
ASPECTOS CURRICULARES-
DIDACTICOS
SESIÓN 1
Se plantea actividades para la reflexión de la resolución de
problemas y el reconocimiento de la práctica didáctica en relación a
la competencia matemática asociada a la cantidad, planteado desde
las rutas de aprendizaje. Asimismo se plantea lectura y situaciones
de casos que enfatizan la comprensión de la cantidad y magnitud, el
significado del signo en los números enteros y el reconocimiento de
errores o dificultades las que podrían estar incurriendo los
estudiantes al resolver estas situaciones.
SESIÓN 02
Se plantea actividades para la resolución de problemas relacionados
al número racional con sus diferentes significados, asimismo los
participantes reflexionarán a través de casos para plantear
supuestos sobre cuáles serían las dificultades o errores en la
resolución de problemas. Por otro lado se plantea el análisis de
casos y de mapas mentales para poder reconocer cuanto
comprenden el estudiante respecto al número racional.
SESIÓN 03
Se plantea actividades orientadas a la comprensión de la
proporcionalidad que involucra en cierta medida el entendimiento de
la razón. En esta sesión se analizará las diferentes concepciones de
la razón que afectan la producción y conducción de secuencias
didácticas, que muchas veces es visto como una expresión numérica
racional. Asimismo, se reconocerán estrategias de enseñanza que
se pueden plantear a partir de las diferentes expresiones de la
proporcionalidad.
Dirección Regional de Educación de Lima Metropolitana Jr. Julián Arce N° 412 (Ref. cdra. 4 de Av. Canadá) - Santa Catalina, La Victoria. http://www.drelm.gob.pe/
Equipo de elaboración:
Pedro David Collanqui Diaz
Jaime Luis Soto Castro
Kasper Michael Gutierrez Ibaceta
Colaborador:
Carlos Baca Lima, Perú
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El Modulo de formación curricular y didáctica para docentes organizado de la siguiente manera:
Temas a trabajar por sesión:
Productos esperados:
Duración del Módulo:
15 horas presencial
15 horas no presencial
Total de sesiones
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Sesión 01
CONTENIDO
Lectura: Hablar de cantidades y magnitudes es hablar de números?
Caso: Significado del número entero
Análisis: Algunas dificultades reconocidas en el aprendizaje del número entero.
Estrategias de aprendizaje y enseñanza para con los numero enteros.
Actividades considerando sesiones JEC y ítems tipo PISA
COMPETENCIAS A DESARROLLAR EN EL DOCENTE
Expresa ideas y conceptos relacionados a la cantidad y magnitud, comprendiendo las diferencias y relaciones entre ambos términos.
Aporta puntos de vista respecto al sentido y significado del signo en los números enteros.
Plantea supuestos respecto a las posibles dificultades en el aprendizaje de los números enteros.
Elige la fuente de información más coherente y relevante para reconocer y plantear situaciones de enseñanza y aprendizaje con los números enteros.
Propone maneras de solucionar un problema y los desarrolla en equipos de trabajo definiendo planteamientos didácticos específicos.
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1.1 Cantidad y magnitud
LECTURA
En el planteamiento de las competencias propuestas en la educación
básica regular, reconocemos la competencia
“Actúa y piensa matemáticamente en situaciones de cantidad”
A continuación te presentamos una lectura que pretende propiciar la reflexión en el equipo de
trabajo y aproximarnos al sentido de situaciones de cantidad.
“Desde un punto de vista genérico se dice que la cantidad es la propiedad de lo que puede
medirse o numerarse; de que todo lo que es capaz de aumento o disminución. Si queremos
especificar algo más, hemos de tener en cuenta la definición que se adopta para el concepto de
magnitud.
Así, en matemáticas, se llama cantidad de magnitud a cada uno de los elementos del semi grupo
(o grupo) que constituye la magnitud; cada cantidad es por tanto, una clase de equivalencia
formada por todos los elementos de un grupo homogéneo que verifican la identidad respecto de
la característica sobre la que se define la relación de equivalencia.
En ciencias experimentales se dirá, alternativamente que presenta en el mismo grado la
propiedad o característica que define la magnitud (o que son elementos “iguales” desde el punto
de vista de la magnitud), lo que también suele expresar diciendo que una cantidad es un “estado”
determinado de una magnitud.
Por tanto, el concepto de cantidad en las ciencias experimentales es, igualmente, un concepto
abstracto, ya que se refiere a la propiedad común de un conjunto de objetos o entes
pertenecientes al “mundo sensible”. Pero, además de que esta propiedad se refiere al “mundo
físico” y, por tanto, está sujeta a las condiciones y limitaciones empíricas que la realidad impone,
la diferencia con respecto a las matemáticas radica en el hecho de que existen cantidades
numerables o medibles experimentalmente que no son consideradas como tales desde el punto
de vista de la teoría matemática de magnitudes (ejemplo: temperatura, otras magnitudes
intensivas y no aditivas). Se puede decir, por tanto, que esta teoría proporciona modelos
abstractos que son aplicables a una parte de las magnitudes y cantidades del “mundo sensible”.
En matemáticas “las medidas es un isomorfismo entre semi modulos que conservan el orden”
(Chamorro, C; Belmonte, J.M. 1988) de manera que lo que se establece realmente es una
identificación entre el conjunto de cantidades y un subconjunto de los números reales. Según que
este subconjunto sea N, Z, Q o R, la medida será natural, entera, racional o real. Asimismo, como
consecuencia de la propia definición de magnitud, cualquier medida de una cantidad de magnitud
viene expresada por un número y por una unidad de medida que se toma como referencia.
Con independencia de las limitaciones empíricas de la medición, que conduce a la necesidad de
trabajar en algunos casos con valores aproximados, el concepto de la medida en ciencias
experimentales es más general y será el que adoptaremos “medir supone asignar un número a
una cantidad de magnitud” definición que se adapta a cualquier enfoque, puesto que está
supeditada a lo que se entienda por magnitud y por cantidad de una magnitud”
El concepto de cantidad, pág. 174, José Luis Gonzales Mari, Números naturales relativos, 1988.
Haciendo uso de revistas y periódicos elabora un mapa mental que aborde las comprensiones respecto a la cantidad y las magnitudes, en ella no olvidar expresar aspectos de la matemática de cómo son interpretados y tratados.
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1.2 Número entero
ESTUDIO DE CASOS
Se reconoce situaciones que se pueden modelizar recurriendo a una estructura ordinal (Z, )
ejemplo: temperaturas, cronología ordinaria, y otras. Como aquellos que se modelizan en
mediante el grupo aditivo y ordenado (Z, +, ≤ ) ejemplo: saldos, bancarios, golf, y otras.
El estudio de los números enteros implica la interpretación y aplicación del concepto y su
significado como número relativo en diferentes contextos (físicos, geográficos) de medida
(absolutos) y su ubicación en la recta numérica.
A continuación se presenta casos en los que es necesario reconocer el valor
de los signos para el desarrollo de aprendizajes con los números enteros.
Responde cada caso y marca las alternativas que consideres.
Atribución de significados, signos y adjetivos duales a las regiones. Completa las siguientes
frases para que tengan sentido:
Caso 01
Las temperaturas sobre cero son ……. y las temperaturas bajo cero son ……….
No lo sé
no es posible completar la frase
depende de
Caso 02
Subir escalones es ……..…… y bajar escalones es ………………………..……
No lo sé
No es posible completar la frase
Depende de
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Caso 03
En cada uno de los siguientes casos, señala el tipo de número que se debe utilizar para que
la frase sea correcta y tenga sentido:
Caso 04
Subraya las opciones que consideres ciertas
-5 puede representar Un ingreso negativo
Una subida negativa
Una ganancia negativa
Una variación de temperatura
Un saldo deudor
Una temperatura negativa
+ 5 puede representar Un ingreso positivo
Una subida positiva
Una ganancia positiva
Una variación de temperatura
Un saldo deudor
Una temperatura negativa
5 puede representar Un ingreso
Una subida
Una ganancia
Una variación de temperatura
Un saldo
Una temperatura
Caso 05
Decir si es posible o no posible que ocurran las siguientes cosas
Si No No sé Depende
Una subida de temperatura menor que
cero
Una pérdida económica mayor que cero
Un ingreso mayor que cero
Una deuda menor que cero
Un saldo mayor que cero
Sin signo
(natural)
Signo (entero)
Una temperatura de …
Una ganancia de ….
Un saldo bancario de ….
Una bajada de temperatura de …
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Caso 06
¿Cuál es en teoría el menor valor disponible? (si no existe, no se conoce o no lo sabes,
ponlo a continuación)
De un saldo bancario ……………………………………………………………..
De un aumento de temperatura …………………………………………………
En un ascensor, de una planta que está por debajo de la planta baja ……..
De una temperatura ………………………………………………………………
De una perdida en un juego de canicas ………………………………………..
De una fecha dada en años (calendario)………………………………………
De un reintegro en el banco (sacar dinero) ……………………………………
Caso 07
Dos personas han estado hablando en una mesa y se han marchado dejando un papel con
la siguiente nota: -2+4-(-1). ¿de que pueden haber estado hablando? Inventa dos historias
diferentes:
Con gastar y perder en un juego
Con ingresos y reintegros bancarios
Caso 08
En una jugada, Juan ha pasado de ir perdiendo 3 a ir ganando 2. ¿Qué ha pasado en esa
jugada? Simboliza aritméticamente y explica el significado de cada símbolo numérico que
utilices.
Caso 09
En una jugada juan ha perdido 3 y en la siguiente jugada ha ganado 2. ¿Qué ha pasado
entre las dos jugadas? Simboliza con números y operaciones y explica el significado de
cada uno de ellos.
Caso 10
Hacia 6 grados bajo cero y la temperatura ha subido 5 grados, luego hace ……
Debo 3 y pago 1, luego …………………………………………………………………
Tengo 5 y gasto 7, luego …………………………………..…………………………..
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1.3 Algunas dificultades reconocidas en el aprendizaje del
número entero.
ANALISIS
En algunos problemas de diversos contextos se reconoce las limitaciones que tiene el
campo de los números naturales.
Con el campo de los números enteros, tenemos la oportunidad de ampliar la
interpretación y solución de problemas que no tienen solución en el conjunto de los
números naturales y aplicarlos en la resolución de situaciones de la vida diaria que se
relacionan con variaciones de temperatura ambiental, el orden cronológico, ganancias
y pérdidas, desplazamientos en busca de una dirección, el manejo de una cuenta de
ahorros, etc., haciendo corresponder a determinadas expresiones los signos +
(positivo) ó – (negativo).
Es de conocimiento que los estudiantes tienen dificultades en la comprensión de los
naturales a los enteros, esta dificultad tiene un antecedente histórico. Han
transcurrido muchos años para que los números negativos dejaran de ser una simple
especulación teórica y se los admitiera como parte del campo matemático.
Resolver las situaciones de la página 14, analizar en entre los miembros del
equipo los errores o posibles respuestas de como hubieran resuelto los
estudiantes reconociendo 5 dificultades o problemas que tendrían los
estudiantes.
Situación para análisis 01
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Situación para análisis 02
Situación para análisis 03
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Situación para análisis 04
Situación para análisis 05
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Situación para análisis 06
Situación para análisis 07
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Situación para análisis 08
A continuación, se presenta algunas dificultades que los estudiantes podrían manifestar frente a
cuestiones o problemas relacionados a los números enteros.
o Los números enteros se manejan como si se tratasen de naturales; lo que significa que
el signo “ – “ se interpreta como símbolo de la resta entre números naturales o bien se
ignora, lo que producen muchas respuestas erróneas.
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o El número está considerado como la medida de una cantidad y no puede ser más que
positiva es decir, se reconoce que los enteros negativos son menores que los positivos,
pero la relación de orden entre los negativos se establece en el mismo sentido que sus
valores absolutos.
o Se resuelve correctamente los problemas que ponen en juego la estructura aditiva de,
pero se utiliza, siempre que sea posible y permita obtener la respuesta correcta; si no se
trabaja separando a los positivos de los negativos. No se produce la unificación del
conjunto de los enteros, pero los unos se definen por oposición de los otros.
o Las estrategias de resolución en ponen de manifiesto su homogenización: positivos y
negativos son tratados como un todo, es decir no se manejan por separado. La relación
de orden entre enteros negativos se establece correctamente y empiezan a utilizarse las
relaciones de compatibilidad entre el orden y la suma de enteros.
Coquin -Vienot (citado por Cid, 1985)
o Los estudiantes tienen la idea de que no existen números menores que cero, es decir,
los significados más familiares que han trabajado en la escolaridad sobre los números
positivos y de las operaciones con ellos conducen a que los estudiantes tengan la idea
de que no hay otros números menores que los positivos.
o Los cambios que se producen en la simbología ( +a = a ), lo que indica que la
presentación a los estudiantes de los números enteros positivos con una escritura y una
denominación diferentes a las que ya se conocían (antes: 1, 2, 3, … naturales; ahora:
+1, +2, +3 … enteros positivos) conduce a que sea muy difícil la consideración del
antiguo sistema numérico como parte del nuevo.
o El surgimiento de nuevas reglas operatorias, como la de los signos para la suma y el
producto, es decir, en los problemas de combinación de variaciones, cuando las dos
variaciones tienen signos opuestos son más complejos que cuando tiene el mismo
signo. Bruno (1997)
o El enseñar el número entero, buscando situaciones concretas para justificar
propiedades de estos números; pero por otro lado, el situarlos de entrada en el plano
formal, también tiene el peligro de reducirlos a un formalismo vacío, presto a ser
olvidado y causar errores y confusiones.
o La creencia arraigada en la experiencia de cada cual, que identifica el número con
cantidad, lo que indica que al no abandonar el plano de lo real, es difícil concebir los
números negativos, porque, simplemente no son necesarios, ejemplo: Nadie dice,
“tengo puntos” ni “tengo metro”.
o La suma como aumento, es decir, si un número se identifica con cantidad, la adición se
asocia con la acción de añadir una cantidad a otra, por lo que conlleva siempre a un
aumento; por lo que al hacerles la pregunta: “¿Puedes encontrar un número que
sumado a dé ?” responden que no es posible.
o La sustracción como disminución, también permanece ligada al plano de la acción y la
identifican con quitar y por tanto, con disminución, por lo cual donde no hay no se puede
quitar.
o El orden entre los negativos es el mismo que el orden natural, es decir, en la serie
natural los números van aumentando a medida que van estando más alejados del
origen, pero el trasladar esta secuencia a los negativos es la causa de que los
estudiantes al preguntarles “¿Cuál es el número mayor a unidades?” respondan , por lo
que se refleja el obstáculo de identificar número con cantidad.
González (1999)
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1.4 Orientaciones para la enseñanza y aprendizaje
relacionadas a los números número entero.
Resolver los problemas planteados, y a continuación:
Identificar qué situación se reconoce.
Reconocer el modelo didáctico planteado en cada problema.
Evaluar qué tipo de extensión matemática a partir del número natural
se está planteando para cada problema.
PLANTEAMIENTO 01
“GRANDES INVENTOS DE LA HUMANIDAD”
Desde siempre el ser humano ha buscado por todos los medios a su alcance, la forma de mejorar su
calidad de vida, con su gran inteligencia ha desarrollado herramientas que le han hecho la vida más
fácil y sencilla. Los siguientes, son algunos de los inventos que han cambiado para siempre la historia
de la humanidad. Los primeros hombres median el tiempo en días. Sabían aproximadamente la
duración del año observando las estaciones y podían medir el tiempo en meses, mirando la luna. Los
primeros instrumentos para medir el tiempo fueron los relojes de sol y de agua, inventados hacia el
año 1500 antes de Cristo; se cree que el primer reloj mecánico se hizo en China en el año después de
Cristo, medía unos 10m de altura y estaba accionado por agua.
Así como el hombre empezó a medir el tiempo observando estaciones y mirando la luna, los viajeros
tuvieron la necesidad de indicar su rumbo para orientarse, un instrumento que ayudó a esto
fue la brújula, que se inventó en China hacia el año 1000 después de Cristo y llegó a Europa
100 años después. La primera brújula fue una aguja de hierro sobre un trozo de corcho o caña que
flotaba en un vaso de agua.
Otro aspecto por el cual se preocupó el hombre, fue por medir las masas, en el año 4500 antes de
Cristo, el hombre logró pesar objetos con el primer instrumento creado como fue la balanza, en
Siria se usó para pesar oro en polvo con pesas de piedra pulidas con gran precisión.
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La inexactitud en los diversos sistemas de medición rudimentarios, fue una de las causas
más frecuentes de polémicas o disputas entre comerciantes, funcionarios de instituciones y
ciudadanos, en Europa. En el año 1971 después de Cristo, tras el derrocamiento de la
monarquía, la Asamblea Nacional Francesa abolió el sistema tradicional de pesas y medidas por
uno denominado “métrico” (medida) en múltiplos de diez.
El primer instrumento para ayudar a contar fue el ábaco, consistía en bolas perforadas que se
desplazaban sobre alambres sujetos a un marco, con las que se conseguía operar para
representar números; se construyó en Babilonia hacia el año 3000 antes de Cristo, otro instrumento
que se inventó para hacer cálculos fue la primera máquina calculadora creada en Francia en 1642
después de Cristo.
Por otra parte, la primera evidencia de que el hombre ha tenido la necesidad de comunicarse
por escrito son los petroglifos dejados en cavernas prehistóricas, pero fue hasta el año 1300 años
antes de Cristo, donde apareció el primer alfabeto en Siria. Los primeros libros que se
imprimieron fueron pergaminos impresos con moldes de madera, creados en China y Corea, hacia
el año 700 después de Cristo
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En el año 1500 después de Cristo se inventó la imprenta, fue la máquina responsable de una de las
revoluciones sociales y tecnológicas más importantes para la época, el primer libro elaborado
mediante este sistema fue La Biblia de 42 líneas.
Por otro lado se cree
que las gafas se usaron por primera vez en Italia hacia el año 1285 después de Cristo y su uso
se incrementó , debido a que estas mejoraban la visión de las personas para leer o seguir
trabajando en labores delicadas.
Otro invento importante del hombre fue el descubrimiento de la pólvora, los chinos descubrieron
como mezclar salitre, azufre y carbón de encina para hacer pólvora. La usaron por primera vez en el
año 850 después de Cristo, la pólvora se empleaba sólo para cohetes y juegos de artificio sin ninguna
intención de guerra.
Otros inventos significativos para tener presente son: En el año 3500 antes de Cristo se inventó la
rueda en la ciudad de Ur Mesopotamia. En el año 4000 antes de Cristo la primera teoría atómica de
Demócrito, que afirma que la materia es discontinua y estaba formada por partículas indivisibles
llamadas átomos. En el año 450 antes de Cristo se inventó la polea en Grecia y en el año 100 antes
de Cristo el descubrimiento de la cuchara de mineral magnética eran mágicas, se detenían siempre
con el mango apuntando hacia la misma dirección.
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Elaboren fichas , como las siguientes, que contienen fechas y nombres de inventos, establezcan correspondencia entre cada fecha y el invento asociado a ella.
Elabora una tira cuadriculada, tracen una línea horizontal y divídanla en una escala de 100 en 100. Ubiquen en uno de los puntos de la escala al CERO (0) que corresponde al nacimiento de Cristo. Ubiquen las fechas que elaboraron en sus fichas en la escala que han diseñado.
- A las fechas que quedaron a la izquierda del cero anteceda el signo menos y a las fechas que
quedaron a la derecha del cero anteceda el signo más. ¿Por qué se puede asignar el
signo más y el signo menos a una cantidad ubicada en la escala de hechos históricos?
- Expliquen la razón por la cual se puede tomar la fecha del nacimiento de Cristo,
como punto de referencia (cero) para diferenciar las fechas de los inventos.
- Entre los números ubicados a la derecha del cero ¿Cuál es mayor? Justifica tu respuesta. Y
entre uno ubicado a la derecha y a la izquierda del cero ¿Cuál es mayor? Justifica tu
respuesta.
- Entre los números ubicados a la izquierda del cero ¿Cuál es menor? Justifica tu respuesta.
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PLANTEAMIENTO 02
UN JUEGO DE CARRERAS
A continuación se muestra un juego que involucra la aplicación de la adición y sustracción de números enteros.
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Tablero pista de las medidas, fichas de diferente color, 2 dados (1 dado verde con
valores positivos, 1 dado rosado con valores negativos).
Utilizando una ficha de diferente color para cada jugador. Se ubican en la salida.
El grupo decide el orden de los turnos para jugar.
El juego se empieza, lanzando los dos dados (verde y rosado), y para llegar a la meta se
procede de la siguiente manera:
o El dado verde marcado con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5 (positivos), hará correr la ficha
en la dirección de avance positivo y el dado marcado con los números -0, -1, -2, -3, -4,
-5 (negativos), hará correr la ficha en la dirección de avance negativo en sentido
contrario a la flecha del tablero.(Cuando sale el 0 , no hay avances).
Cuando un jugador cae en un espacio marcado con X, debe retroceder espacios.
Cuando un jugador cae en un espacio marcado con A, debe adelantar espacios.
El primer jugador que llegue a cualquiera de las dos metas será el ganador del juego.
1. Si un jugador tiene los dos dados y saca +5 y -5 en el primer lanzamiento, ¿Dónde
queda ubicada la ficha?
2. Si un jugador tiene dos dados verdes (positivos) y en el primer lanzamiento saca
4 y 1, ¿Dónde queda ubicada la ficha? ¿Se obtiene un avance o retroceso?
¿Cómo se puede calcular operativamente el avance o retroceso en este caso?
3. Si un jugador tiene dos dados rosados (negativos) y en el primer lanzamiento
saca -4 y -2, ¿Dónde queda ubicada la ficha? ¿Se obtiene un avance o
retroceso? ¿Cómo se puede calcular operativamente el avance o retroceso en
este caso?
4. Si un jugador tiene dos dados uno verde (positivo) y uno rosado (negativo) y en
el primer lanzamiento saca -9 y 4 ¿Dónde queda ubicada la ficha? ¿Se
obtiene un avance o retroceso? ¿Cómo se puede calcular operativamente el
avance o retroceso en este caso?
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PLANTEAMIENTO 03
DOMINA EL DOMINO
Formen grupos de estudiantes y mediante el empleo del dominó jueguen uniendo la operación indicada con su resultado y luego escriban las operaciones que realizaron.
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PLANTEAMIENTO 04
PLANTEAMIENTO 05
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PLANTEAMIENTO 06
ORIENTACIONES PARA LA ENSEÑANZA
Este breve examen de la evolución histórica de los números negativos muestra que
los negativos y las operaciones de algunos de ellos fueron reconocidos y empleados
muy pronto en situaciones de contexto de deudas, dirección, etc y se exigió, también,
a los matemáticos profesionales, formar un sistema coherente de operaciones
algebraicas y geométricas.
Sin embargo, la extensión de los números positivos a una nueva clase, que incluyera
a los números negativos se resistió hasta el siglo XIX. Esta extensión tuvo que
permitir la construcción de los números negativos por la ampliación de la comprensión
previa de los números positivos (es decir, la aritmética).
La comprensión de la aritmética implica muchos aspectos: los sentidos de los
conceptos que tiene la aritmética (por ejemplo, los diferentes sentidos que tiene el
número, "el número como posición" y "el número como acción"), el lenguaje, las
formas de expresión, los procedimientos y principios. Para entender a los números
negativos, cada uno de estos aspectos tuvo que ser extendido a partir de los números
naturales.
Freudenthal (1983) propone cuatro tipos de extensiones:
1. Ampliación del número para referirse a un conjunto (imaginario) de cantidades
iguales en magnitud pero de sentido opuesto (es decir, la dirección o el valor) a la
cantidad de objetos físicos. El término matemático para la estructura que contiene
tanto positivos como los números negativos es un sistema de magnitud
dirigido.
2. La extensión del dominio de aplicación para operaciones binarias para incluir operaciones en pares de positivos o negativos y mixtos, negativo-positivo.
3. Extensión de las operaciones unarias para incluir los cambios (es decir, la suma y resta), en ambos, números positivos y negativos.
4. Extensión de la relación de orden a un número de la recta continua que incluye tanto negativos como positivos: por ejemplo, (-3) < (-2) < (0) < (1).
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Estas cuatro extensiones las denotaremos como “Extensión 01”, “Extensión 02”,”Extension 03”, “Extensión 04” y son descritas a continuación:
Extensión 01: Las magnitudes dirigidas son objetos que tienen una magnitud y dos posibles estados (2 direcciones, 2 colores posibles, o cargas). Pueden ser representadas por números de la forma +a o –a, donde “a” es la magnitud del objeto, y (+/-) indica una de los 2 estados. Este sentido de magnitudes dirigidas confiere a los números negativos un nivel de objeto matemático. Extensión 02: La adición y sustracción binaria puede ser extendida a un conjunto de magnitudes dirigidas. En otras palabras, es posible combinarlas o separarlas. Así estas acciones llevan a numerosas reglas. Aquí adición y sustracción se refieren como operación binaria porque tienen 2 entradas y una salida. Extensión 03: Sumar puede ser interpretado como un operador unario. La suma cambia un valor de una magnitud dirigida dada. La entrada de una operación unaria es una magnitud dirigida sencilla/simple/sola, y la salida es una nueva magnitud que fue incrementada por un operador de adición. Por ejemplo, la adición +3 transforma a +4 en +7 y -2 a +1, en este sentido la adición “es una acción”. Con esta nueva definición de adición es posible reformular las reglas anteriores reemplazando +/-b (magnitud dirigida) por +/-b (adición). Ejemplo: La regla -a + (-b) = -(a + b) Esta regla sería interpretada como sigue: Si el número –a es aumentado por (-b), el resultado será el número –(a + b). La sustracción también puede ser interpretada como una operación unaria. La acción “-(a)” es el inverso de la acción “+(a)”. Esta regla modificada se refiere a ésta: +a - (-b) = +(a + b) Así una regla puede ser expresada con la operación “- -“que es idéntica a la operación “+ +” porque el resultado de estas dos acciones en cualquier número serían idénticas. Similarmente, otras reglas pueden ser expresadas con la operación “- +” como en la operación “+ -“. Extensión 4: La adición unaria definida en todas las magnitudes dirigidas induce a una relación de orden: Una magnitud “x” se puede decir que es más grande que una magnitud “y” (es decir x>y) si existe una adición (unaria) +a (con a positivo) transforma a “y” en “x” (es decir, x = y + a); “a” expresa la diferencia entre 2 magnitudes.
Por otro lado, Resnick (1991) y Greeno (1992) afirman que partes importantes del
conocimiento matemático tienen su origen en la experiencia diaria dada por
cantidades de material físico. Los niños empiezan con modelos didácticos de
actividad cognitiva en la cual comparan y razonan acerca de cambios, combinaciones
y descomposición de cantidades de material físico sin una cuantificación.
La divulgación de modelos didácticos concretos propuestos para la enseñanza de los
números enteros es tanta que cualquier identificación del modelo conlleva a recurrir a
algún tipo de clasificación que simplifique la tarea. A continuación se presentan
algunos modelos didácticos reconocidos:
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Personajes u objetos que avanzan o retroceden a lo largo de un camino (Puig
Adam, 1956, pp.45-46; Malpas, y otros)
Ejércitos que se enfrentan cuerpo a cuerpo (Papy, 1968, pp. 112-148; Rowland,
1982),
Cargas eléctricas positivas o negativas (Cotter, 1969; Peterson, 1972; Kohn,
1978, Battista, 1983),
Sumandos y sustraendos, acciones de añadir o quitar u operadores aditivos
(Spagnolo, 1986; Davidson, 1987; Souza y otros).
Peldaños que se suben o bajan (Skemp, 1980, pp. 210-216; González Alba y
otros, 1989).
Termómetros o escalas de diversas magnitudes (Cable, 1971; Grup Cero, 1980;
Bell, 1986; Sasaki, 1993; Strefland, 1996),
Ascensores que bajan a los garajes o suben a los pisos (Puig Adam, 1956, pp.
46-47; Alsina y otros, 1980; Grup Cero, 1980; Gadanidis, 1994),
Globos que se elevan o que se hunden por debajo del nivel del mar (Petri, 1986),
Cintas de video que se proyectan o rebobinan (Peterson, 1972; Cooke, 1993),
Variaciones en el nivel de agua de un depósito (Alsina y otros, 1980), etc.
Los modelos que pueden ser abordados de forma efectiva para una de las
extensiones a los números enteros.
Situaciones de deudas:
Los números negativos pueden ser representados como cantidades de deuda. Estas
cantidades pueden ser consideradas ficticias, pero el dinero o canica de deuda
también pueden ser pensadas como objetos concretos que cambiarán de manos en
algún momento en el futuro.
Un sistema de deudas e ingresos parece ser natural para la “extensión 03”, el
cual tiene reglas que incluyen adición y sustracción como acciones (agregando
y quitando). La naturaleza de un sistema de deudas e ingresos puede llegar a ser
tenso cuando es usado como una base para enseñar las otras extensiones.
Situaciones de deudas con mayor representación física:
Freudenthal (1983) hace referencia a un posible modelo de enseñanza de números
negativos que envuelven un sistema de fichas. De acuerdo a este modelo, las fichas
de color blanco y negro podrían usarse para representar 2 tipos diferente de
cantidades (“extensión 01”).
Situaciones con Elevadores (o distancias):
Son modelos que se pueden relacionar toda la recta numérica con acciones que
permiten pasar de un punto a otro. En el sistema de elevadores, los números pueden
ser usados para representar tanto posiciones (es decir, el tercer piso) como acciones
(es decir, subir esos tres pisos) pero no para representar cantidades. Estas acciones
de subir y bajar serían fáciles de distinguir para la “extensión 3”. Por definición,
este modelo es adecuado para darle un sentido completo a la recta numérica
negativa (Extensión 4).
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Situaciones de tiempo:
Un modelo que usa al tiempo, con la escala de A.C. a D.C., puede también ser usado
en un esfuerzo por transmitir la información sobre los números negativos. Tal modelo
puede tener limitantes similares en el conjunto relevante de reglas como los modelos
antes mencionados. La “extensión 01” puede ser difícil de entender por las
mismas razones del modelo de elevador. La “extensión 03” pueden ser
demostradas por agregar o quitar duraciones para y de fechas. La “extensión
04” puede también ser naturalmente entendido en términos de fecha y duración.
Situaciones de temperatura:
Un modelo usando temperatura para enseñar las reglas de los números negativos
tiene particulares ventajas y desventajas. Por un lado, los niños pueden estar
familiarizados con la terminología de: “grados bajo cero”. Esto puede ser una
ventaja para la comprensión de las “extensiones 01 y 04”. Los niños pueden
pensar en grados negativos como un tipo diferente de cantidad y tener una imagen
mental, como un termómetro, para representar el orden y una métrica.
Situaciones matemáticas (formales):
Un modelo formal para enseñar los números negativos recae en la manipulación de
símbolos. Los símbolos menos son utilizados para distinguir un nuevo y diferente tipo
de cantidad. Las reglas son pensadas para que los niños puedan aprender y
memorizar porque no pueden verificarlas directamente. Por ejemplo, no pueden
verificar que la operación de sustracción es un equivalente a la operación de adición.
Se espera que los niños aprendan las reglas que aún no pueden entender. Todas las
extensiones presentadas previamente están sostenidas con este modelo.
Nota:
Algunos investigadores manifiestan críticas a los modelos concretos
- Bruno y Martinón, 1994; Ernest, 1985; Liebeck, 1990; Mukhopadhyay, 1997 y
otros, han puesto de manifiesto que los estudiantes tienen dificultades para
interpretar la suma y resta de números naturales o enteros usando el modelo de
la recta numérica. Básicamente, se observa que tienden a representar los
números y el resultado de la operación como puntos aislados en la recta, no
como desplazamientos (vectores), lo que no les permite dar una interpretación de
las operaciones en el modelo.
- Lytle (1994), Gallardo (1994) dice que en el modelo de fichas de dos colores
surgen dificultades de interpretación de la resta de números enteros.
- Bell (1986) muestra que hay estudiantes que no saben dibujar correctamente la
escala de un termómetro, que cuando tienen que calcular la diferencia entre dos
temperaturas efectúan siempre una resta independientemente de los signos de
las mismas, que no interpretan adecuadamente la expresión “más abajo” o “más
arriba”.
Orientaciones para el aprendizaje
Además de los artículos que recogen los errores y dificultades, existen otros que
tratan de relacionar los distintos comportamientos de los estudiantes, tanto correctos
como incorrectos, agrupándolos en ‘estados de conocimiento’, ‘perfiles’,
‘concepciones’, etc., en un intento de dar una visión coherente de los mismos y
encontrar las causas últimas que los producen. En este sentido, nos encontramos los
trabajos de Peled (1991) quien define, en función de las estrategias que utilizan los
26
estudiantes en las sumas y restas de dos números enteros, unos ‘niveles de
conocimiento’ de la estructura aditiva de Z. Se trata de niveles teóricos, es decir, no
son el resultado del estudio estadístico de un cuestionario, sino un “a priori” que el
autor propone como instrumento facilitador del análisis de observaciones posteriores.
Niveles de dominio de conocimiento
Nivel 1
o Se acepta la existencia de los números negativos y se sitúan en la recta
numérica a la izquierda del cero.
o Un número entero negativo es un número natural precedido del signo
menos.
o Dados dos números enteros es mayor el que está situado a la derecha
del otro en la recta numérica.
o Los números negativos representan cantidades que tienen alguna
característica desfavorable, cuya existencia se marca con el signo
menos.
o Debido a esta connotación negativa la relación de orden en estos
números se invierte respecto a los naturales: una cantidad negativa es
menor cuanto mayor es su valor absoluto porque representa una
situación “peor”.
Nivel 2
o Se interpreta la suma y la recta de los números naturales como
movimientos en la recta numérica a derecha o izquierda del primer
término, respectivamente.
o Se extiende la operación de resta entre números naturales al caso de
sustraendo mayor que el minuendo, efectuando la resta del menor
respecto al mayor y añadiendo al resultado el signo menos para indicar
que el resultado es una “deuda” o “deficiencia”.
Nivel 3
o Las operaciones se extienden a pares de números que tienen el mismo
signo. Se asume que hay un sentido positivo: hacia la derecha, y un
sentido negativo: hacia la izquierda, y que sumar números positivos
significa avanzar en el sentido positivo y sumar negativos avanzar en el
sentido negativo.
o Restar positivos significa ir hacia los negativos y restar negativos ir hacia
los positivos.
o Se asumen las sumas y restas de números del mismo signo entendiendo
que sumar significa añadir y restar significa quitar. No se manejan
correctamente las restas de números negativos con minuendo mayor
que el sustraendo, ni las sumas y restas de números de distinto signo.
Nivel 4
o Se efectúan sumas y restas de números enteros cualesquiera sin más
que fijarse en el segundo término de la operación, avanzando en el
sentido que indica su signo si se trata de una suma y en el sentido
contrario si es una resta.
o Se realizan sumas y restas con cantidades de signos cualesquiera. El
examen conjunto de la operación implicada y del signo de la segunda
cantidad permite decidir si la cantidad inicial “mejora” o “empeora”.
27
Sesión 02
CONTENIDO
• Lectura: Número racional, un número con varios significados.
• Caso: Organización de ideas entorno a número racional (mapas mentales).
• Análisis: Algunas dificultades reconocidas en el aprendizaje del número racional.
• Estrategias de aprendizaje y enseñanza para con los números racionales.
• Actividades considerando sesiones JEC y ítems tipo PISA
COMPETENCIAS A DESARROLLAR EN EL DOCENTE
Reconoce ideas y conceptos relacionados a los diferentes significados del número racional.
Evalúa el sentido, significado, pertinencia y enlace de ideas entorno al número racional.
Plantea supuestos respecto a las posibles dificultades en el aprendizaje de los números racionales.
Elige la fuente de información más coherente y relevante para reconocer y plantear situaciones de enseñanza y aprendizaje con los números racionales.
Propone maneras de soluciones un problema y los desarrolla en equipos de trabajo definiendo planteamientos didácticos específicos.
28
2.1 Número racional, un número con varios significados
LECTURA
Los conceptos del número racional están dentro de los conceptos matemáticos más complejos y
más importantes para los niños y adolescentes que se encuentran durante los años escolares de
la primaria y la secundaria. Evaluaciones han demostrado que los niños experimentan
dificultades significativas de aprendizaje y la aplicación de los números racionales.
Estos bajos niveles pueden verse sorprendentes a la luz de los hechos a los programas
escolares que tienden dar más énfasis a las destrezas procedimentales y calculo algorítmicos
para los números racionales.
El análisis de los componentes del concepto de número racional (Kieren, 1981; Novillis, 1976;
Rappaport, 1962; Riess, 1964; Usiskin. 1979) sugiere una razón obvia por la que la comprensión
completa de números racionales es una tarea de aprendizaje compleja. Los números racionales
se pueden interpretar (Kieren, 1981; Freudenthal, 1983, Llinares y Sanches, 1988; Fandiño 2009,
Morales 2011)1:
- Una comparación parte-todo. - Una división indicada (cociente).
- Una medida. - Un operador.
- Una razón.
Esto contenidos de la comprensión completa de los números racionales requiere no sólo una
comprensión de cada uno de estos sub constructos por separados, sino también de cómo están
interrelacionados. Los análisis teóricos y las evidencias empíricas recientes sugieren que
diversas estructuras cognoscitivas puedan ser necesarias para enfrentarse con varios sub
constructos del número racional.
A continuación mostramos las características de los números racionales entendido como fracción
y que pretende describir con que conceptos matemáticos (por ejemplo: fracciones equivalentes,
razón, proporcionalidad etc) permiten el tratamiento en profundidad de desarrollo y comprensión.
a) Fracción como parte-todo La fracción parte–todo se considera como un todo “continuo o discreto” que se divide en partes iguales indicando esencialmente la relación existente entre el todo y un número designado de partes. La fracción, por tanto, es la parte en sí misma y no, una relación entre dos cantidades: la medida de la parte con respecto a la medida del todo. (Obando, 2006) La relación parte-todo es un camino natural para la conceptualización de algunas propiedades (como la que conduce a la denominación “fracción propia” e “impropia”), algunas relaciones (como la de equivalencia), y algunas operaciones (como la suma y la resta).
1 Las interpretaciones planteadas se precisan de algunos planteamientos de Fandiño y Freudenthal.
29
b) Fracción como cociente La fracción como cociente indicado es el resultado de dividir uno o varios objetos entre un número de personas o partes. También, se puede definir como el valor numérico de la fracción a/b. En este caso, la fracción es el resultado de una situación de reparto donde se busca conocer el tamaño de cada una de las partes resultantes al distribuir a unidades en b partes iguales. “De esta manera, cuando la fracción es interpretada como el resultado de una división, esta fracción tendrá un significado y no será un símbolo muerto, sin sentido para quien lo utiliza”. (Obando 2006). El significado de la fracción como cociente es importante, porque permite preparar el camino para entender los números racionales como un campo de cocientes, teniendo de esta manera una construcción formal de éstos.
c) Fracción como operador
Un número racional actuando sobre una parte, un grupo o un número modificándolo. Así, la fracción a/b empleada como operador es el número que modifica un valor particular n multiplicándolo por a y dividiéndolo por b. La fracción como operador actúa sobre los números puros más que sobre los conjuntos o sobre los objetos. La comprensión de este significado les permitirá a los estudiantes resolver con mayor habilidad multiplicaciones de fracciones.
d) La fracción como razón
Es una comparación entre dos cantidades o conjuntos de unidades (de igual o diferente magnitud). Las razones pueden ser comparaciones parte-parte en un conjunto (magnitud discreta) o comparaciones parte todo (magnitud continua y discreta). La generalidad de la interpretación de la fracción como razón consiste en que nos permite comparar cantidades de magnitudes diferentes, mientras que en la interpretación parte – todo en un contexto de medida sólo permite comparar cantidades de la mismo tipo. La comprensión del fracción como razón orienta a una comprensión más clara para el posterior desarrollo del razonamiento proporcional en los estudiantes de la EBR.
e) La fracción como medida La fracción a/b aparece cuando se desea medir una determinada magnitud, en la cual la unidad no está contenida un número entero de veces en la magnitud que se quiere medir. Para obtener la medida exacta se deben:
o Medir utilizando múltiplos y submúltiplos de la unidad. o Realizar comparaciones con la unidad.
La conceptualización de fracción como medida permite al estudiante ser capaz de identificar que una fracción a/b es a veces, es decir, que si repite 3 veces obtendrá, y si lo repite 4 veces, obtendrá.
La comprensión de este significado les permitirá a los estudiantes resolver con mayor habilidad sumas y restas de fracciones y relacionarlos con otras representaciones como lo son los números como expresión decimal y porcentaje.
Tomando como insumos revistas y periódicos, elabora un Collage que exprese los diversos significados del número racional en su expresión fraccionaria.
30
2.2 Comprensión de los números racionales a través
de mapas conceptuales
ESTUDIO DE CASOS
Analiza cada situación y reconocer semejanzas y diferencias manifestadas entre ellas, ¿Cuál sería aquel que da más sentido al número racional?. Asimismo muestra una propuesta de organizador visual para la comprensión del número racional
Caso 01
Caso 02
31
Caso 03
Caso 04
32
En los últimos años se han utilizado diversos procedimientos para reconocer los saberes previos, el que y como están adquiriendo y desarrollando los conocimientos matemáticos los estudiantes en sus aprendizajes. Esto permitiría ilustrar de alguna manera los cambios cognoscitivos que se están produciendo en sus prácticas de aprendizajes. De entre los métodos empleados de forma muy recurrente de reconocen: - El dialogo y la discusión entre los estudiantes. - Las pruebas tipo test de «lápiz y papel», este último, se reconoce que existe un
consenso sobre la ineficacia, que tan sólo parece poner de relieve en torno al 10% de los conocimientos previos de los estudiantes (Novak,1988b).
Por otro lado, trabajos de investigación han mostrado que el diseño de mapas conceptuales se manifestaba de forma útil como instrumento para explicitar los esquemas conceptuales de los estudiantes van dominando y relacionando a sus experiencias en el proceso de enseñanza y aprendizaje. A continuación a partir del trabajo de Contreras. Presentaremos situaciones que se presentan respecto a la organización de mapas conceptuales caracterizando el numero racional. - Se eligen los números racionales con representación decimal finita o periódica.
Considerando también a los números inconmensurables, parece determinarlo como uno de los más complejos, que de hecho prácticamente demolía las bases de la fe pitagórica en los números enteros (Boyer, 1968, p. 106).
- Identificación del conjunto de números naturales, aunque no se sabe muy bien por qué unas veces se incluye el cero y otras no.
- Identificación del conjunto de números enteros y asunción de que (e incluso
que N = Z+ ). A veces suelen ignorar la necesidad de la construcción de Z. - Reconocimiento de Q como el conjunto de números fraccionarios. Aquí, el hecho
de que Q sea un conjunto de representantes puede plantear problemas para
identificar la relación Además no justifican la necesidad de construir Q.
- De manera memorística reconocen la relación , a veces se dan
cuenta de que en realidad hay más números como , , o el número ,que
recuerdan que no eran racionales, pero no saben muy bien por qué.
En el contexto escolar es frecuente observar que el paso de decimal a fracción a través de la fracción generatriz se limita al uso (de forma memorística) de las reglas de conversión, sin haber justificado el procedimiento que nos lleva a ellas. Por último, una correcta caracterización de los racionales, en la línea de lo expuesto anteriormente, debe traducirse en aplicaciones concretas, entre las que queremos resaltar la capacidad de representación de cualquier número en la recta real y la resolución de problemas aritmético-geométricos donde el número racional esté presente, asimismo los significados que tendrán la fracción en diversos contextos y situaciones. A continuación se muestra el desarrollo de mapas conceptuales recogidos de un trabajo de investigación con un estudiante en el nivel secundario.
33
2.3 Algunas dificultades reconocidas en el aprendizaje del
número racional.
A continuación se muestra una situación y los razonamientos manifestados por los
estudiantes. La actividad es sencilla, la complejidad está en la interpretación de las
actividades que realiza cada estudiantes. El objetivo de esta actividad es analizar
cuáles son los errores que posiblemente están teniendo los estudiantes. Esto nos
permitirá inferir las dificultades a los cuales se enfrentan.
Situación de análisis 1
Don Luis tiene 7 pastelitos, los cuales desea repartir entre sus cinco hijos. ¿Qué porción de
pastelito le corresponde a cada hijo?
Situación de análisis 2
Doña Teresa desea repartir un pastel que compro entre ella y sus cuatro hijos. ¿Qué fracción del pastel
le corresponde a cada uno?
34
Situación de análisis 3
Por trabajar seis horas diarias, Leonardo recibe un salario mensual de S/. 5000. ¿Cuántas horas debe
trabajar, para recibir un salario de S/. 6000?
Situación de análisis 4
Don Luis tiene 7 pastelitos, los cuales desea repartir entre sus cinco hijos. ¿Qué
porción de pastelito le corresponde a cada hijo?
Situación de análisis 5
El siguiente diagrama representa las preferencias de un grupo de estudiantes con relación a los helados.
Con relación a la información ¿Qué fracción de estudiantes prefieren las paletas?
Situación de análisis 5
Cuando Jorge camina normalmente, sus pasos tienen una longitud en promedio de tres quintos de
metro. En un día normal, Jorge camina 4Km. ¿Cuántos pasos da Jorge en un día normal?
35
A decir verdad, son pocos los estudiantes que en la clase de matemáticas levantan la mano y afirman con marcada preocupación -profesor, no entiendo-. Esto no debe halagarnos, sino más bien inquietarnos, especialmente si estamos conscientes que el resto de los estudiantes no han externado esta preocupación por el temor al ridículo o la vergüenza, al poner en evidencia su aparente ignorancia obligándolo a permanecer inmóvil esperando que algún compañero cuestione por él, o en su defecto, que el profesor, por mera casualidad, haga una exposición aclarando sus dudas sobre el tema trabajado. Ojalá cada vez sean menos los estudiantes que presenten esas interrogantes dentro de nuestras aulas. Esto garantiza que las clases consideran al menos dos elementos sustantivos: - La oportunidad que le estamos dando al niño para que construya por sí mismo el conocimiento
matemático, lo cual aseguraría que nuestros niños cada vez tendrían menos dudas respecto a lo que están creando.
- El abandono de las “exposiciones magistrales” que por mucho tiempo han caracterizado las prácticas del docente.
Pocas veces reflexionamos sobre esta situación pues pensamos que un planteamiento de este tipo es producto de la misma curiosidad natural de los estudiantes cuando en la mayoría de las ocasiones, esto es consecuencia de nuestras propias imprecisiones al estar trabajando con una asignatura cuyo elemento sustantivo es precisamente lo contrario: la precisión. Nuestros estudiantes no escuchan lo que estamos pensando y los errores no siempre son producto de su incapacidad para resolver los planteamientos que les presentamos, sino más bien, de las imprecisiones que hacemos al presentar las matemáticas.
1.1 Existe desconexión entre los distintos significados de fracción. El significado de la fracción
depende de la clase de problema y de la forma de presentación del mismo. (Haseman, 1987). Por
ejemplo: Problemas para identificar la unidad o todo, la división exhaustiva del todo, o la división
igualitaria del todo.
1.2 Investigaciones reconocen que entre los escolares hay un sentido prioritario de la fracción como
la relación parte-todo, en contextos discretos y continuos; mientras que otro grupo de
investigadores identificó ideas de razón y proporción como constructos de fracción prioritarios
en los jóvenes (Pitkethly y Hunting, 1996).
1.3 Las notaciones: fraccionaria y decimal, son sistemas simbólicos paralelos que representan los
mismos conceptos; para el estudiante es una idea difícil de asimilar el que cualquier concepto,
especialmente un número, pueda tener más de un símbolo (Owens y Super, 1993).
1.4 La mayoría de los estudiantes no establecen conexiones entre el conocimiento conceptual que
tienen de los números racionales y los procedimientos que utilizan en la manipulación de
símbolos, sobre todo con las expresiones decimales (Hiebert y Wearne, 1986).
1.5 Los estudiantes generalizan el significado de las representaciones simbólicas de los números
naturales a fracciones, y viceversa (Marck, 1995).
1.6 Las expresiones decimales no se significan en el contexto de magnitudes medibles.
1.7 Los errores en el orden de las expresiones decimales están asociados a la aparente simetría
alrededor de la coma decimal y las dificultades de distinción de los nombres de los números
naturales y decimales (Owens y Super, 1993).
1.8 Errores al extrapolar procedimientos relacionados con los números naturales para realizar
sumas y restas de fracciones. Olvidar algún paso del algoritmo (aditivo, comparación o
equivalencia), u aplicar la simplificación del producto a la suma o resta de fracciones.
36
2.4 Orientaciones para la enseñanza y aprendizaje
relacionadas a los números número racional.
A continuación te mostramos varias situaciones, resuélvelas, analízalas y muestra: - El significado de la fracción que se está tratando. - El tipo de problema propuesto para la dinámica de enseñanza y
aprendizaje. - Y los razonamientos y resultados planteados.
PLANTEAMIENTO 01
DISEÑOS Y CONSTRUCCIONES
Un grupo de estudiantes diseñaron y construyeron el diseño de la siguiente maqueta de una casa. ¿Qué recursos se necesitaran para construir una casa de tales características?¿Cuantas puertas y ventanas se necesitaran?¿Cómo están distribuidas las dimensiones de la casa?
NÚMERO DE PUERTAS
Para reconocer el número de puertas que requerirá cada ambiente se propone observar la información disponible y registrar en una tabla o cuadro de doble entrada lo que reconoce el grupo:
Sala Dormitorio Vestíbulo Baño Comedor Cocina
Puertas
para …
Total de
puertas
¿Qué ambiente tiene más puertas respecto al total en el diseño?
En otros diseños de acuerdo a la presentación distribuyen el número de puertas
Diseño A Diseño B Diseño C Diseño D Diseño E
Puertas para
comedor 1 2 3 6 2
Total de puertas 5
8
10
8
10
¿Existen diseños que tienen la misma distribución de puertas respecto al total?
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Si expresamos que un diseño adecuado es aquel que muestra una relación
donde N° P ambiente = Número de puertas para un ambiente N° P total = Número de puertas total del diseño
¿Quién sería el mejor diseño?
PLANTEAMIENTO 02
COMPLETANDO DISEÑOS DE FIGURAS
En el plano del diseño se reconoce los interiores que la componen, ¿el sector de la sala que parte expresa de todo el diseño de la casa?.
A continuación, se muestran diseños de uno de los ambientes de los planos, con los datos mostrados completa los planos de las casas planteadas.
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PLANTEAMIENTO 03
REPARTIMOS MATERIALES PARA LA MAQUETA
La madera de balsa (por otros nombres científicos: Ochroma lagopus y Ochroma bicolor) es la madera más ligera que se conoce, con una densidad de 0.10 a 0.15 gramos por centímetro cúbico, lo que la hace más liviana que el corcho. Este material se utiliza, en aeromodelismo y maquetas de arquitectura.
4 estudiantes se van a repartir 24 planchas de madera balsa. Cómo deben hacer la repartición si todos quieren comer la misma cantidad. Y si los estudiantes siguen siendo 4 y solo hubieran 6 planchas de madera?
PLANTEAMIENTO 04
MEDIDAS DE ZÓCALOS
A continuación se muestra una ficha técnica de zócalos de madera
FICHA TECNICA DEL PRODUCTO • Producto: piso flotante lamina de madera • especie de madera: guatambu • sistema de encastre: encolado en las juntas • diseño tabla: 1 lama (visualmente se ve como un piso entablonado)
a) espesor total: 7 mm. b) lamina superior: 0,6 mm. De madera natural c) largo tabla: fijo 1220 mm. d) 4 tablas cubren 3 metros
Se requiere cubrir 18 metros, sabiendo que otro tipo de tabla (llamemos “B”) tiene una medida más pequeña. Se realizan las medidas con los dos tipos de zócalos desde la posición “0”, en ocasiones los bordes del ancho de los zócalos coinciden o se encuentran exactamente. ¿Cuál puede ser la longitud del zócalo “B”? ¿Hay más de una posibilidad? ¿Cuántos zócalos de cada tipo serán necesarios considerar”? (considerar las posiciones equidistantes y en una línea recta).
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PLANTEAMIENTO 05 VALIDANDO MEDIDAS
Para los diseños de las maquetas se ha realizado con medidas
referenciales que aparecen a continuación. Un grupo de estudiantes han reconocido que en ella se expresan escalas que respetan o no las medidas consideradas. Explicar cómo es posible saberlo. Recuerda anotar otros puntos sobre las rectas si te ayudan para averiguarlo.
PROBLEMAS EN OTROS CONTEXTOS
UN RAZONAMIENTO DIFERENTE
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ALGO MÁS QUE MARCAS DEPORTIVAS
El salto de longitud o salto largo es una prueba actual del atletismo que consiste en recorrer la máxima distancia posible en el plano horizontal a partir de un salto tras una carrera. La siguiente tabla muestra las mejores marcas de la prueba de salto de longitud en la categoría varonil.
Marca mundial de
atletismo
(1991)
Marca mundial de juegos
olímpicos (1968)
Mejor marca en los juegos
olímpicos de Atenas
(2004)
Mike Powell (EEUU)
8.95 m
Bob Beamon (EEUU)
8.9 m
Dwight Phillips (EEUU)
8.59 m
Localizar en la siguiente recta cada una de estas marcas:
¿Supero Dwight Phillips la marca de Bob Beamon?___________________________________ ¿Supero Dwight Phillips la marca de Mike Powell?___________________________________ En las rondas eliminatorias para el campeonato mundial del 2012 hubo cinco competidores con mejores marcas que Beamon, pero no igualaron la marca de Powell. Estos competidores tuvieron marcas distintas. ¿Cuánto pudieron haber saltado estos competidores?
HACIENDO ESPACIO EN EL USB
Una memoria USB es un dispositivo pequeño y portátil de
almacenamiento de datos informáticos. Iván tiene una memoria USB en la que almacena música y fotos. La memoria USB tiene una capacidad de 1 GB (1000 MB). El siguiente gráfico muestra la distribución actual del disco de su memoria USB.
Iván quiere pasar un álbum de fotos de 350 MB a su memoria USB, pero no hay suficiente espacio disponible. Si bien no quiere eliminar ninguna de las fotos, no le importaría eliminar hasta dos álbumes de música. El tamaño de los álbumes de fotos que Iván tiene almacenados en su memoria USB están en el cuadro adjunto: Eliminando dos álbumes de música como máximo, ¿tendría Iván suficiente espacio en su memoria USB para añadir el álbum de fotos? Rodea con un círculo «Sí» o «No» y escribe tus cálculos para justificar tu respuesta.
8.5 9
41
EL RAZONAMIENTO DE ANABEL
Anabel dice: “Para saber cuántos lugares después de la coma tiene un número, hace lo siguiente:
por ejemplo, es equivalente a porque 4 x 25 = 100, y 4 x 7 = 28; entonces, ” ¿Lo que
señala Anabel se puede hacer para cualquier fracción?
DECISIONES PARA ALQUILAR DVD
Jimena trabaja en una tienda que alquila DVD y juegos de ordenador. En dicha tienda, la cuota anual
de socio es de S/. 10. El precio de alquiler de los DVD para los socios es inferior al precio para los no socios, tal y como se muestra en la siguiente tabla:
Precio de alquiler de un DVD
para los no socios
Precio de alquiler de un DVD
para los socios
S/. 3.2 S/. 2.5
¿Cuál es el número mínimo de DVD que tiene que alquilar un socio para cubrir el coste de su cuota? Escribe tus cálculos.
UN DESAYUNO SALUDABLE
En la tabla se muestra la cantidad de calorías que contiene cada uno de los alimentos incluidos en el desayuno americano, así como los porcentajes correspondientes de proteínas, carbohidratos y grasas que contienen. Considera la información de la tabla 1, así como los alimentos y las cantidades designadas para el desayuno de la pregunta 1, y usa las tablas 2 y 3 para responder las preguntas:
Tabla 1
Alimento Cantidad de
alimento
Calorías
(kcal)
Porcentajes del total de calorías
Proteínas Carbohidratos Grasas
Fruta 1 porción de 120
g
48 6% 91% 3%
Pan 1 unidad 78 13% 77% 10%
Tostada 1 unidad 61 5% 53% 42%
Mantequilla 1 trozo de 5 g 36 1% 0% 99%
Mermelada 1 cucharada 55 1% 99% 0%
Huevo revuelto 1 porción 199 28% 4% 68%
Leche 1 vaso de 240 ml 146 21% 30% 49%
Café 1 taza de 240 ml 2 58% 20% 22%
Té 1 taza de 240 ml 2 0% 100% 0%
Jugo de fruta 1 vaso de 240 ml 112 6% 90% 4%
¿Cuántas calorías de proteínas, carbohidratos y grasas se consumieron por cada uno de los alimentos de este desayuno?
42
UN MEJOR PAGO UNA BUENA ENTIDAD FINANCIERA
Considera la información relacionada a la tasa de interés de los bancos, cajas municipales y financieras a través de la siguiente infografía. En ella, podemos notar que las entidades con mayor Tasa de Rendimiento Efectivo Anual (tasa de interés) son el banco 1 con 8%, la caja municipal 1 con 7% y la financiera 1 con 9%. De igual modo, se observa las tasas de las otras entidades. Según ello, establezca la comparación de las fracciones porcentuales completando la tabla 3.
BANCO CAJAS MUNICIPALES
Empresa *TREA
(%)
Monto a
retirar (s/.) Empresa TREA (%)
Monto a
retirar (s/.)
Banco 1 8.00 5 400.0 Caja 1 7.0 5 350
Banco 2 6.75 5 337.5 Caja 2 6.8 5 340
Banco 3 6.50 5 325.0 Caja 3 6.5 5 325
Banco 4 5.20 5 250.0 Caja 4 6.5 5 325
Banco 5 5.00 5 250.0 Caja 5 6.3 5 315
Banco 6 4.95 5 247.5 Caja 6 6.0 5 300
Banco 7 4.95 5 247.5 Caja 7 6.0 5 300
Banco 8 3.15 5 175.5 Caja 8 5.7 5 285
Banco 9 3.50 5 175.5 Caja 9 5.6 5 280
Banco 10 3.50 5 175.5 Caja 10 5.5 5 275
Banco 11 1.75 5 087.5 Caja 11 5.0 5 250
Banco 12 1.35 5 067.5 Caja 12 5.0 5 250
Banco 13 1.30 5 065.0 Caja 13 4.0 5 200
Banco 14 1.25 5 062.5 *Tasa de Rendimiento Efectivo Anual
FINANCIERAS
Empresa TREA
(%)
Monto a
retirar (s/.)
Financiera 1 9.00 5450.0
Financiera 2 6.25 5312.5
Financiera 3 3.75 5187.5
Tabla 3
Entidades
financieras con
mayor TREA
TREA (%) Equivalente
en fracciones
Equivalente en
potencias de
base 10
Comparación de las
fracciones obtenidas
Banco 1
Caja municipal 1
Financiera 1
Entidades
financieras TREA (%)
Equivalente
en fracciones
Equivalente en
potencias de
base 10
Comparación de las
fracciones obtenidas
Banco 5
Caja municipal 9
Financiera 3
>
<
>
<
>
>
43
POBLACIÓN ECONÓMICAMENTE ACTIVA
La siguiente infografía presenta a 12 personas pertenecientes a la población económicamente activa que tienen todo el derecho de pertenecer al Sistema Nacional de Pensiones para garantizar su pensión de jubilación.
¿Qué fracción del total de personas representa el número de asalariados informales? ¿Qué fracción del total de personas representa el número de independientes informales? ¿Qué fracción del total de personas representa el número de desempleados? ¿Cuál es la suma de los asalariados formales con los asalariados informales?
POBLACIÓN ECONÓMICAMENTE ACTIVA
Una de las características de las AFP es que los aportes que realiza cada persona van a su cuenta individual generando rentabilidad por cada periodo de tiempo. Además, en las AFP no existe monto mínimo, ni monto máximo para la pensión. Según esta información, resuelve las siguientes situaciones problemáticas: El Sr. Carlos recibe su pensión de jubilación de la AFP s/. 1 260, de los cuales los 2/3 lo destina para el pago de su departamento 1/5 lo destina para la alimentación y 1/20 para las entradas al estadio. ¿Qué fracción del total representa los gastos? y ¿Qué fracción del total representa el monto que no gastó?
El señor Jaime recibe su pensión de la AFP y la suma a la ganancia obtenida por su microempresa. Del monto total, destina ½ para el pago de su carro, 1/3 para regalar a sus hijos y 1/10 para la alimentación. Sabiendo que el gasto total es de S/. 5 600, ¿cuál es monto total que obtiene Pedro cada mes? ¿Cuál es la relación entre el monto que le sobra y el monto que gasta?
44
LECTURA Para el proceso de enseñanza y aprendizaje se recomienda el desarrollo de problemas en variadas características, las mismas que deberán de ser coherentes con los indicadores mostrados en las rutas de aprendizaje:
a. Plantear problemas de proporcionalidad directa en los que la constante tiene la característica de una expresión fraccionaria
Esta tipo de problemas promueve la vinculación con los que involucran la proporcionalidad directa, en el marco de la multiplicación y la división con números naturales, distinguiendo que aquí la constante es una fracción. Por ejemplo: Si con 2 litros de agua toman 5 chicos, y todos toman la misma cantidad, ¿cuánto toma cada chico? En este caso, cada chico toma 2/5 que es la constante de proporcionalidad.
b. Plantear problemas que requieren considerar a la fracción como una proporción El docente promoverá la resolución de situaciones que permitan a los estudiantes identificar que si, por ejemplo, se habla de 3 de cada 4 alumnos, equivale a considerar ¾ partes del total de estudiantes. También es posible proponer problemas en los que se deba comparar dos proporciones y determinar cuál es mayor: En un grupo, 3 de cada 5 personas son de un club “los águilas”. En otro grupo, 4 de cada 6 personas son del club deportivo “los águilas”. ¿En cuál de los dos grupos hay más cantidad de hinchas de “Los águilas” en proporción a la cantidad de personas? Las fracciones 3/5 y 4/6 permiten identificar la proporción de fanáticos del club en cada grupo. Compararlas será uno de los recursos que posibilitará responder el problema y en este caso, se podrá identificar que a 3/5 le faltan 2/5 para llegar al entero en tanto que a 4/6 le faltan 2/6 para llegar al entero. Es decir, le falta menos, por lo tanto, 4/6 es más grande que 3/5. De allí que en el segundo grupo hay más cantidad de personas de “los águilas”, en relación al total.
c. Plantear problemas de medida en los cuales las relaciones entre partes o entre partes y el todo pueden expresarse usando fracciones
Algunos problemas involucran comparar unidades de medida diferentes, a partir de las relaciones entre estas unidades y una expresión entera. El docente deberá proponer estos problemas para favorecer el establecimiento de relaciones entre longitudes que son fracciones de un mismas cantidad entera. Por ejemplo, si la tira A entra 4 veces en un entero y la tira B entra 3 veces en el entero, ¿cuántas veces entra la tira A en la tira B?
Mediante diferentes recursos se espera que los estudiantes establezcan que la tira A es ¾ de la tira B, por comparación entre las tiras o apelando a la cantidad entera, que será una tira como la siguiente:
d. Elaborar recursos que permiten encontrar al menos una fracción entre dos fracciones dadas Será tarea del docente iniciar a los alumnos en la idea de densidad del conjunto de números racionales.
Se proponen situaciones que muestren que, entre dos fracciones, es posible encontrar alguna otra fracción. Por ejemplo: Encontrar una fracción entre 1/4 y 1/5. Para resolver este problema, será necesario que los estudiantes identifiquen que, así escritas, se hace más difícil imaginar cuál fracción estará entre ellas. La idea de equivalencia nuevamente vuelve a ser pertinente: 1/5 = 2/10 = 20/100 en tanto que 1/4 =25/100. Luego, entre 20/100 y 25/100 es más fácil encontrar “muchas” fracciones, por ejemplo 21/100.
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e. Plantear problemas que demandan comparar fracciones y encontrar fracciones entre números dados usando la recta numérica
La recta numérica es un recurso que sirve como soporte para tratar problemas de orden de fracciones. El trabajo con este soporte permite tratar los números fraccionarios como números en sí mismos, sin tener en cuenta un contexto. En un caso donde “A” es el punto medio de 14/3 y 15/3. Conviene entonces pensarlo en sextos: 28/6 y 30/6, luego A = 29/6. Otra situación seria comparar 12/5 y 13/7 Tanto para ubicar números fraccionarios en la recta, como para comparar fracciones, un recurso posible es considerar fracciones equivalentes para determinar nuevas subdivisiones en cada intervalo entre números.
f. Plantear problemas que demandan realizar sumas y restas entre fracciones utilizando diferentes recursos de cálculo.
Se propone recuperar lo realizado en años anteriores, afianzando los recursos de cálculo. Será necesario que los niños reconozcan, por ejemplo, que para sumar quintos y décimos es conveniente usar décimos, que para sumar octavos y séptimos es posible multiplicar ambos denominadores para encontrar uno común, y en cambio para sumar cuartos, medios y doceavos es suficiente con recurrir a equivalencias con doceavos. El docente deberá de promover que los estudiantes elijan diferentes recursos de cálculo según los números involucrados, de manera tal de ejercer un cierto grado de control sobre sus propios recursos. También propiciará el análisis de las equivalencias entre las diferentes escrituras que circulen en la clase, tanto propuestas por los estudiantes como por él mismo.
g. Resolver problemas que involucran la multiplicación entre una fracción y un entero y la multiplicación entre fracciones
El docente presentará problemas de proporcionalidad directa en los que la constante sea una fracción y los valores de las magnitudes sean enteros y fracciones. Por ejemplo: Completar la siguiente tabla de proporcionalidad directa:
Cantidad de mezcla de baldes
1 ¼ 2 3/4
Cantidad de agua
½
Se espera que los estudiantes reconozcan que, en este caso, la constante es ½ y, por lo tanto, identifiquen que, para ¼ corresponde 1/8 litro de agua. Esta información, proveniente de las relaciones entre fracciones, permitirá analizar que ¼ × ½ debe ser 1/8 y elaborar un modo de multiplicar para que el resultado sea lo que se anticipó. Los alumnos podrán reconocer, por ejemplo, que multiplicar por ½ es equivalente a dividir por 2, o bien que la cuarta parte de ½ es también 1/8, ya que se multiplican los denominadores para obtener el resultado.
h. Plantear problemas de división entre una fracción y un entero El docente podrá proponer el mismo tipo de análisis que para situaciones que involucran multiplicaciones, para problemas como el siguiente: Se quiere repartir ¾ kilos de helado entre 5 personas, en partes iguales. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? El cálculo que representa el problema es ¾ : 5. Para tratarlo, los alumnos podrán comenzar partiendo en 5 la cantidad ¼, obteniendo 1/20, para luego establecer que cada uno recibirá 3 de 1/20, es decir, 3/20. Este abordaje permitirá identificar que ¾ : 5 = 3/20. Pero a su vez, vinculará a los alumnos con la idea de que ¾ : 5 equivale a buscar la quinta parte de ¾, que es lo mismo que escribir 1/5 × ¾ = 3/20. De allí, podrán avanzar en el reconocimiento de que ¾ : 5 = 1/5 × ¾ = ¾ × 1/5.
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i. Plantear problemas que exigen analizar las relaciones entre fracciones decimales y expresiones decimales Se trata de proponer problemas que favorezcan la comprensión del funcionamiento en términos de décimos, centésimos, milésimos, etc., de las expresiones decimales. Por ejemplo: ¿Cuántas tarjetas de 1/10, de 1/100 y de 1/1000 se necesitarían para formar el número 0,352? ¿Y para formar el 2,95? Los alumnos deberán identificar que cada cifra decimal informa la cantidad de décimos, centésimos y milésimos que constituyen el número. A su vez, requiere determinar que hacen falta 20 cartas de 1/10 para armar el 2 de la segunda pregunta.
j. Explorar equivalencias entre expresiones fraccionarias y decimales, considerando la posibilidad de buscar fracciones a partir de cualquier expresión decimal y los problemas que surgen al buscar expresiones decimales para algunas fracciones Se plantearán situaciones que permitan analizar las características de los números involucrados de manera de establecer relaciones, apelando a las fracciones decimales, a fracciones equivalentes, al valor posicional de la cifras decimales, a la multiplicación por la unidad seguida de ceros, entre otros recursos. Por ejemplo: Encontrar las expresiones decimales de 4/5, 3/8 y 4/25; Analizar cuáles de estas fracciones pueden expresarse con centésimos 5/6, 5/8 y 6/15; ¿Es verdad que la fracción 3/8 puede expresarse con milésimos pero no con centésimos?; ¿Cuáles de estas expresiones son equivalentes a 4,25? 425/100 4 y 25/10 4 y 25/100 42/10 y 5/100 850/200 No se espera que los alumnos utilicen un algoritmo para pasar de fracción a decimal o de decimal a fracción sino que desplieguen un trabajo exploratorio.
Adaptación Documento “¿Qué abarca el trabajo con números racionales en el Segundo Ciclo?”(pag 3-14) Números racionales y Geometría
Claudia Broitman
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Sesión 03
CONTENIDO
Lectura: La razón como cuantificador, significado del número racional o una relación de equivalencia.
Caso: La fracción como parte todo y la compresión de la razón.
Análisis: De las razones a la proporcionalidad y el razonamiento proporcional.
Estrategias de aprendizaje y enseñanza para la enseñanza de la proporcionalidad.
Actividades considerando sesiones JEC y ítems tipo PISA
COMPETENCIAS A DESARROLLAR EN EL DOCENTE
Reconoce ideas y conceptos relacionados a los diferentes significados de la razón.
Evalúa el sentido, significado, pertinencia de la fracción como parte todo y la razón.
Plantea supuestos respecto a las posibles dificultades en el aprendizaje de los números racionales.
Elige la fuente de información más coherente y relevante para reconocer y plantear situaciones de enseñanza y aprendizaje con los números racionales.
Propone maneras de soluciones un problema y los desarrolla en equipos de trabajo definiendo planteamientos didácticos específicos.
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3.1 La razón como cuantificador, significado del número
racional o una relación de equivalencia
LECTURA
La importancia de desarrollar las fracciones, números decimales, porcentajes, razón y proporción
de manera relacionada, constituye el hecho de que forman una estructura que comparte ciertos
aspectos relacionados en el practicas socio culturales, en lo matemático y lo psicológico.
En esta sección vamos a realizar una aproximación a los significados de la razón y la proporción como contenido asociado a los procesos de aprendizaje de las matemáticas escolares en la Educación Básica Regular, las características del aprendizaje de estas nociones desde el punto de vista de la manera en la que parece que los estudiantes construyen sus significados y las implicaciones que se pueden derivar sobre la enseñanza.
Respecto a la noción de razón, se tener una varias concepciones o definiciones, como un: Concepción 01 La razón es la relación entre dos cantidades de magnitud, expresada en el cociente de las medidas, en la misma unidad, de tales cantidades; tomando como dividendo la mayor de las medidas (F. Fernández, 2001; García y Bertran, 1987; Grupo Beta, 1990). Dos implicaciones de este posicionamiento se refieren a que las cantidades han de ser homogéneas, es decir pertenecer a la misma magnitud y que la razón, en este caso, corresponde a un número real mayor que 1. Concepción 02 La razón es una de las posibles interpretaciones o significados del número racional (Bermejo, 2004; F. Fernández, 2001; Godino, 2004; Llinares, 2003b, Llinares y Sánchez, 1988). Tales autores plantean que en algunas ocasiones las fracciones son usadas como “índice comparativo” entre dos cantidades de igual o diferente magnitud. No obstante existen diferencias entre una fracción y una razón, que surgen del hecho de que las fracciones son cualquier par ordenado de números enteros cuya segunda componente es distinta de cero, mientras que una razón es un par ordenado de cantidades de magnitud, cada una de las cuales vienen expresadas mediante un número real y una unidad de medida (Godino, 2004). Concepción 03 Según A. Fernández (2001), el estatuto lógico de la razón, desde el punto de vista fenomenológico, ha de escribirse entonces en términos de una relación de igualdad “tener la misma razón”, señala que este punto de vista guarda relación con la visión de Euclides, ya que en el libro V de los Elementos lo que define no es “razón” sino “guardar razón” y cuando se refiere a cantidades proporcionales dice “tener una misma razón”.
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Concepción 04 Según A. Fernández (2001), el estatuto lógico de la razón, desde el punto de vista fenomenológico, ha de escribirse entonces en términos de una relación de igualdad “tener la misma razón”, señala que este punto de vista guarda relación con la visión de Euclides, ya que en el libro V de los Elementos lo que define no es “razón” sino “guardar razón” y cuando se refiere a cantidades proporcionales dice “tener una misma razón”. Concepción 05 “La razón es la cuantificación de una relación multiplicativa que se puede calcular dividiendo (o multiplicando) una cantidad por otra. El cuantificador multiplicativo se determina dividiendo (o multiplicando) dos magnitudes”. (p. 25) Ben-Chaim, Keret e Ilany (2012). Concepción 06 Por su lado Freudenthal considera que la razón es una relación de equivalencia en el conjunto de pares ordenados de números (o valores de magnitud), indicada formalmente por a:b = c:d si el par (a, b) es equivalente al par (c,d). La consideración de razón como “relación de equivalencia” con lleva, según Freudenthal, implicaciones relativas al estatuto lógico de tal noción pues afirma que “el significado propio de la razón es hablar sobre igualdad (o desigualdad) de razones sin conocer el tamaño de la razón, ser capaz de decir con sentido “a es a b” como “c es a d” sin anticipar que “a es a b” puede reducirse a un número o valor de magnitud que es el mismo al que puede reducirse “c es a d”. Es evidente que tal perspectiva se opone a aquellas que consideran a la razón como un cociente, es decir como un número que se obtiene como resultado de hacer la división entre dos cantidades. Elaborar un cuadro comparativo con ejemplos de tareas que estén comprendiendo las concepciones de la razón, para ello puedes utilizar también diversos textos de matemática que aborden la razón estos pueden ser de primaria y secundaria.
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3.2 La fracción como parte todo y la compresión de
la razón
ESTUDIO DE CASO
Qué opinas respecto a la secuencia didáctica planteada por el docente. En qué aspectos estás de acuerdo y en desacuerdo. Comparte las ideas con el equipo y planteen una secuencia didáctica que supere los aspectos en que reconoció mejorar el equipo.
Docente: En un examen de 10 preguntas, Jorge contestó sólo 5. La razón de respuesta correcta es 1 de cada ------- preguntas […] ¿Qué fracción contestó correctamente?
Análisis: La relación en juego es parte-todo. En el problema se pregunta directamente por una razón expresada como "1 por cada x". La relación es muy sencilla, lo que permite a la mayoría de los alumnos encontrar la respuesta: "una pregunta de cada dos".
Algunos se apoyan en gráficos para dar la respuesta: Sin embargo el razonamiento no puede ser correcto. Estudiante 1: […] contestó 5. [En el cuaderno tenían lo siguiente:] Estudiante 2: Que de dos preguntas sacó una buena, de 3 sacó dos, de 4 sacó 3 y de 5 sacó 4… [Escribió en el pizarrón lo siguiente:]
2 – 1 3 – 2 4 – 3 5 – 4
Asimismo, a la segunda pregunta los estudiantes contestan sin dificultad: ¿qué fracción contestó correctamente? 5 /10 El maestro prosigue
Docente: […] le ponemos un medio, que sería lo que tenemos acá de la razón, una de cada dos preguntas[…]. El maestro propone ejercicios para pasar de una notación a otra (razones a fracciones) y simplificar (razones). Docente: […] Bien, me van a escribir ahora [anota en el pizarrón:] Convierte razones a fracciones. Es muy sencillo, lo que acabamos de hacer… [escribe:] 1 de cada 2, ¿cómo
convierto la fracción? [escribe ] y lee "uno de cada dos" […] En tu equipo hay una niña de
chamarra verde […] Son seis, y entonces eso… ésa es la razón y ahora convertida a fracción, pues quiere decir que de todo el entero, pues sólo hay un sexto que trae chamarra verde, ¿uno de cada cuántos de tu equipo? Estudiante 1: Seis… Docente: Son seis, y entonces, eso es la razón y ahora convertida a fracción pues quiere decir que de todo el entero, pues sólo hay un sexto que trae chamarra verde […] Análisis: “Los contextos ya no están presentes, se trata de números abstractos. Los estudiantes
se van apropiando de una nueva manera de oralizar una fracción: se lee "tres
octavos" y también "3 de cada 8". El problema "fuerte" de expresar una relación entre dos cantidades en la forma de razón simplificada y en la forma de fracción ya no se
plantea aquí (por ejemplo, encontrar que 3 de 8 o es la razón simplificada que
subyace en "15 juegos ganados de 40")”
Fragmento del articulo “La razón y la fracción: un vínculo difícil en las matemáticas escolares”
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El hecho de que en las razones se refieran a cantidades de magnitudes, medibles cada una
con sus respectivas unidades, implica las siguientes diferencias con las fracciones:
Las razones comparan entre sí objetos heterogéneos, o sea, objetos que se miden con unidades diferentes. Por ejemplo, 3 jamones por S/. 145. Las fracción es, por el contrario, se usan para comparar el mismo tipo de objetos como “dos de tres partes”, lo que se indica con 2/3. Según esto la razón 3 jamones/145 soles no es una fracción.
Algunas razones no se representan con la notación fraccional. Por ejemplo, 10 litros por metro cuadrado. En este caso no se necesita, ni se usa, la notación de fracción para informar de la relación entre dichas cantidades.
Las razones se pueden designar mediante símbolos distintos de las fracciones. La razón
4 a 7 se puede poner como 4:7, o 4 7.
En las razones, el segundo componente puede ser cero. En una bolsa de caramelos la razón de caramelos verdes a rojos puede ser 10:5, pero también se puede decir que puede ser 10:0, si es que todos son verdes (no se trata de hacer ninguna división por 0).
Las razones no son siempre números racionales. Por ejemplo, la razón de la longitud de
una circunferencia a su diámetro C/D es el número , que sabemos no es racional, o la
razón de la longitud de la diagonal de un cuadrado a la longitud de su lado ( ). Esta es
una diferencia esencial entre “razón” y “fracción”, ya que como vimos las fracciones son siempre interpretables como cociente de enteros.
Las operaciones con razones no se realizan, en general, de igual manera que las fracciones. Por ejemplo, 2 aciertos sobre 5 intentos (2:5), seguidos de 3 aciertos sobre 7 intentos (3:7) se combinan para producir 5 aciertos en un total de 12 intentos, o sea, con estas fracciones se puede definir una “suma” de razones del siguiente modo. 2:5+ 3:7 = 5:12. Evidentemente esta suma no es la misma que la suma de fracciones.
Proporcionalidad. Juan D. Godino Carmen Batanero
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3.3 De las razones a la proporcionalidad y el razonamiento
proporcional
ANALISIS
Los procedimientos y razonamientos mostrados a continuación fueron tomados de una investigación realizada en Francia por Graciela Rico en 1982, sobre la noción de proporcionalidad.
¿Cuáles de los razonamientos son correctos?
¿Cuáles llevan a la solución del problema?
¿Cómo podría interpretar el razonamiento realizado por los estudiantes?
Complete la tabla siguiente muestra algunas respuestas que estudiantes dieron a un problema de precios de un cuaderno.
Número de
cuadernos
comprados
Selene
(7,3)
Eric
(7,8)
Xavier
(8,9)
Paul
(8,1)
Emmanuel
(7,1)
Sandrine
(7,2)
Anne
(9,0)
1 3 10 9 3 4 4 4
2 8 11 10 6 8 8 8
3 12 12 12 12 12 12 12
4 13 13 16 12 16 16 16
5 20 20 20 20 20 20 20
6 32 21 26 18 24 24 24
8 38 22 34 24 32 28 28
10 100 23 44 30 36 32 32
A continuación se muestran las explicaciones que dieron los niños
Selene: Un cuaderno costara S/. 3 (¿Cómo los sabes?) porque un cuaderno no es mucho, comparado con los otros. 2 cuadernos costar S/. 8; 1 es más chico que 2. Cuatro cuadernos, un poco más caro que 3 cuadernos. Pongamos 13. Seis cuadernos, S/. 32 (¿Cómo supiste?) yo digo asi al zar. Ocho cuadernos todavía más caro, S/. 38.
Eric: 4 cuadernos costara S/. 13 (como lo sabes?) Yo sé que 4 cuadernos son más caros que 3 cuadernos. Seis cuadernos costara S/. 21, porque es lo que sigue. 8 Cuadernos S/. 22. Diez cuadernos todavía más caro!... S/. 23.
Xavier: … por 4 cuadernos pagara S/. 16 (como los supiste). A los S/. 12, le agrego 4 cuadernos. 6 cuadernos costaran S/. 26. A los S/. 20 que costaban 5, les agrego 6. Ocho cuadernos … S/. 34. Hago 26 + 8. Diez cuadernos … S/. 44. 34 + 10 = 44. Ahora hago 2 cuadernos. Entonces, 12 – 2 = S/.10. Un cuaderno cuesta S/. 9: 10-1 = 9.
Paul: Un cuaderno cuesta S/. 3 (como lo sabes) porque veo que 3 cuestan 13, entonces un cuaderno cuesta 3.
Emmanuel: 4 cuadernos cuestan S/. 16 (como los supiste). Porque hay S/. 4 de diferencia entre 12 y 16, y entre 20 y 16. Seis cuadernos … S/. 24. Sumo 4. Ocho costaran S/. 28. ¡Ah no!, falta el 7= S/. 28. Ocho cuadernos … S/. 32. Diez cuadernos … S/. 36 (como lo sabes) sumo 4.
Sandrine: ¿Cuánto cuesta un cuaderno? (¿no puedes calcular cuánto cuesta un cuaderno? Sabes que 3 cuadernos valen S/. 12) Supongamos que un cuaderno cuesta S/. 1, entonces 1 + 1+ 1 no resulta. Pongamos que 3 + 3 + 3 ¡tampoco resulta!. Pongamos 4 + 4 + 4, son 12 ¡ahí esta! Ahora funciona; un cuaderno cuesta S/. 4.
Ane: Como veo que 3 veces 4 son 12, y 5 veces 4 son 20, 4 cuadernos es igual a 4 x 4 (que es el 4) es el número que multiplica las cifras, es el precio de un cuaderno.
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Desde la Didáctica de la Matemática, la proporción se define como la igualdad de dos razones
(Linares, 2003b; F. Fernández, 2001; García y Bertran, 1987; Grupo Beta, 1990), en cada caso
se guarda coherencia con la postura que sobre la noción de razón se ha asumido.
Por ejemplo según F. Fernández (2001) cuando dos razones son equivalentes, es decir cuando
representan al mismo número abstracto, se pueden igualar los cocientes indicados por ellas y
obtener una relación entre las medidas de cuatro o más cantidades homogéneas dos a dos.
Simbólicamente lo enuncia diciendo que si entonces se puede expresar la
igualdad e indica que esta igualdad recibe el nombre de proporción, la cual se define
como la igualdad entre dos razones equivalentes. Además se hace referencia al nombre de
los términos de la proporción, extremos y medios así como a la lectura y representación usual
de la noción mediante la expresión a:b :: c:d .
De forma más general Godino (2004) indica que dos series de números, igual cantidad de
elementos, son proporcionales entre sí, si existe un número real fijo llamado constante de
proporcionalidad, que permite escribir cada valor de la segunda serie como el producto
por k de los valores correspondientes de la primera serie y que cuando en una situación
sólo intervienen dos pares de números que se corresponden se establece una proporción.
Desde esta perspectiva la proporción es un caso particular de una función de
proporcionalidad directa en la que sólo intervienen dos pares de cantidades.
Lamon (2007) propone que el razonamiento proporcional significa aportar razonamientos que
sustenten afirmaciones hechas sobre las relaciones estructurales entre cuatro cantidades (a, b,
c y d) en un contexto que simultáneamente implica co variación de cantidades e in variación de
razones o productos; esto podría consistir en la habilidad de identificar una relación
multiplicativa entre dos cantidades así como en la habilidad de extender la misma relación a
otros pares de cantidades.
Ejemplo 01: Si María puede coser 5 camisetas de fútbol con 217 metros de tela, ¿cuántos
metros de tela necesitará para hacer una camiseta para cada uno de los 15 chicos del equipo
de fútbol?
Ejemplo 02: Una situación inversamente proporcional típica es “Si tres personas pueden cortar el césped de un terreno en 2 horas ¿Cuánto tiempo le tomará a 2 personas hacer el mismo trabajo?”, la estructura de ésta puede representarse como en la Figura 4.12.
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De acuerdo con Lamon (2007) una relación funcional lineal existe entre elementos correspondientes
de los espacios de medida, en este caso la función lineal cuyo criterio es relaciona el
número de camisetas y la cantidad de metros de tela; y desde esta perspectiva un operador escalar transforma cantidades del mismo tipo, en este ejemplo en el espacio de medida correspondiente al número de camisetas la relación entre 5 camisetas y 15 camisetas está dada por el operador escalar tres. En el caso de la relación inversamente proporcional el reconocimiento de aspectos estructurales de la situación consiste en comprender que hay dos operadores escalares, uno de los cuales es el inverso multiplicativo del otro y que el producto de medidas correspondientes es constante.
En este sentido, Llinares (2003b)describe el razonamiento proporcional como aquel que se desencadena al resolver situaciones que se pueden caracterizar mediante dos tipos de relaciones:
La funcional que vincula magnitudes diferentes y que refleja el sentido de la unidad de la razón
La relación escalar que vincula cantidades de la misma magnitud; de modo que el razonar usando estas relaciones tanto de manera cualitativa como cuantitativa caracteriza el razonamiento proporcional.
Asimismo, subraya que no es una manifestación de razonamiento proporcional el solo uso de la
técnica de la regla de tres o resolver expresiones como multiplicado en cruz.
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3.4 Orientaciones para la enseñanza y aprendizaje
relacionadas a los números número racional.
A continuación te mostramos varias situaciones, resuélvelas, analízalas y muestra: - El significado de la fracción que se está tratando. - El tipo de problema propuesto para la dinámica de enseñanza y
aprendizaje. - Y los razonamientos y resultados planteados.
PLANTEAMIENTO 01 ALIMENTOS NUTRITIVOS Y EN PROPORCIÓN
Teniendo en cuenta los alimentos y las cantidades tomadas para un desayuno, según lo escogido en la tabla 1 responde: ¿Cuántas calorías se consumirán en ese desayuno? Para responder, considera la información de la tabla 2. En ella, se muestra la cantidad de calorías que contiene cada uno de los alimentos presentados anteriormente.
Tabla 2
Alimento Cantidad Calorías
(kcal)
Plátano 1 unidad 105
Manzana 1 unidad 72
Papaya 1 porción de 120 g 47
Piña 1 porción de 100 g 48
Sandía 1 tajada de 150 g 45
Palta 1 porción de 100 g 160
Pan 1 unidad 78
Tostada 1 unidad 61
Galleta 1 unidad 24
Mantequilla 1 trocito de 5 g 36
Mermelada 1 cucharada 55
Queso 1 tajada de 30 g 37
Jamonada 1 tajada de 10 g 31
Huevo frito 1 unidad 89
Leche 1 vaso de 240 ml 146
Té 1 taza de 240 ml 2
Jugo de fruta 1 vaso de 240 ml 112
Yogurt de fruta 1 vaso de 240 ml 121
En su desayuno Mónica consumió: Un vaso de leche, medio vaso de jugo de fruta, un huevo frito, cuatro tostadas, dos tajadas y media de queso, la tercera parte de una manzana, tres cucharadas de mermelada, dos cucharadas de mantequilla, 150 g de papaya y 80 g sandía. ¿Cuántas calorías consumió Mónica en su desayuno?
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El almuerzo de Alejo, un adolescente de 11 años, consistió de ¼ de pollo a la brasa acompañado de una porción de 200 gr de papas fritas. No pidió ensalada, pero si dos sobres de mayonesa, tres sobres de kétchup y una gaseosa de 350 ml.
Tabla 1
Alimento Calorías
(kcal)
Porcentajes del total de calorías
Proteínas Carbohidratos Grasas
1/ 4 pollo a la brasa 659 47% 1% 52%
100 g papas fritas 273 45% 50% 5%
1 gaseosa (350 ml) 147 0% 100% 0%
1 sobre de mayonesa 90 98% 1% 1%
1 sobre de kétchup 20 0% 100% 0%
A partir de la información mostrada en la tabla 1, calcula la cantidad de kilocalorías de los macronutrientes consumidas por Alejo en este almuerzo. Registra tus cálculos en la tabla 2.
Tabla 2
Proteínas
(kcal)
Carbohidratos
(kcal)
Grasas
(kcal)
Total del almuerzo
(kcal)
Considera la siguiente información: - Las niñas deben consumir entre 1600 a 2200 kilocalorías al día. - Los niños deben consumir entre 1800 a 2600 kilocalorías al día. - Las proteínas deben representar entre el 10% y el 30% del total de calorías
consumidas. - Los carbohidratos deben representar entre el 45% y 65% del total de calorías
consumidas. - Las grasas deben representar entre el 25% y 35% del total de calorías
consumidas. Toma en cuenta tus resultados y responde: ¿Se puede considerar que Alejo tomó un almuerzo saludable? ¿Por qué?
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PLANTEAMIENTO 02 CUESTIÓN DE BALANCE ENERGETICO (SITUACIÓN 02)
Las fórmulas de Harriz-Benedict permite estimar la TMB de una persona. Estas
fórmulas se aplican según el sexo de la persona y dependen de la edad en años (e ),
estatura en centímetros (h ) y peso en kilogramos (w ) de cada persona.
Para los hombres: 5525610 eh.wTMB
Para las mujeres: 161525610 eh.wTMB
Use las fórmulas de Harriz-Benedict para estimar la TMB de cada uno de los integrantes del grupo. Complete la tabla 2, interprete los resultados y socialícelos con sus compañeros del grupo. Gina, integrante del equipo de vóley del colegio, tiene 13 años de edad, pesa 46 kg y mide 154 cm. La dieta diaria de Gina durante la semana fue: lunes 1732,4 kcal; martes 1697,5 kcal; miércoles 1786,1 kcal; jueves 1613,6 kcal y viernes 1748,9 kcal. Gina estima que debido a su actividad física cada día quema el 30% de la energía aportada por sus alimentos. Tome en cuenta lo información anterior para hacer el balance energético de Gina durante estos días.
Día
Calorías
consumidas
(kcal)
TMB (kcal)
Calorías
quemadas
(kcal)
Balance
energético
(kcal)
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
¿Qué podría decir del balance energético de Gina del día martes? ¿Y del día jueves? ¿Y de la semana?
PLANTEAMIENTO 03 AGUA Y ECONOMIA (SITUACIÓN 03)
La familia Huertas, integrada por 3 personas, ha decido -para economizar gastos- contar con un tanque de agua que tiene una capacidad de 2800 litros y que se alimenta cada 7 días. Sin embargo, ha recibido la visita de 2 familiares por una semana. ¿Cuál era el consumo por persona y por día? ¿Cuál será el consumo por persona y por día desde que llegaron los familiares? ¿Cuánto será el consumo el día 1, día 2, día 3, día 4, día 5, día 6 y día 7? ¿Cómo expresarías de forma ordenada el consumo dado? El gobierno desea construir un tanque de agua de 500 m3 de capacidad para un pueblo joven ubicado en las afueras de la ciudad de Cajamarca donde hay 2500 personas; este tanque debe durar 10 días para luego de ese plazo volverlo a llenar. Los pobladores -enterados del hecho- pidieron que se les construya otro tanque que les dure 15 días y corrigieron la cantidad de habitantes, que son realmente 3000 personas. ¿Qué capacidad debe tener dicho tanque si debe cubrir las mismas necesidades del anterior?
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Lectura
Reconocer situaciones en la que hay y no hay proporcionalidad
Es una situación de proporcionalidad No es una situación de proporcionalidad
- La longitud de cualquier circunferencia con su diámetro (o su radio).
- El volumen de líquido introducido en un recipiente con una sección regular (prisma, cilindro, ...) y la altura del líquido en el recipiente. (Esto permite la lectura del volumen graduando la altura).
- La distancia medida sobre un plano o mapa realizado a una escala dada y la distancia real.
- El precio que pagamos al comprar un producto (por ejemplo, al llenar el depósito de gasolina) y la cantidad comprada (litros, en el ejemplo).
- Relacionada a la mezcla de pinturas u otros productos, que se necesitan para obtener un determinado resultado.
- Resultados del trabajo realizados por un número variable de personas o tiempo.
- Número de habitantes de un país y Producto Nacional Bruto.
- La edad y la altura de un niño. - El espacio recorrido por un cuerpo en
caída libre en el vacío y el tiempo transcurrido.
- Las magnitudes que varían por tramos, como las tarifas de envió de encomiendas y el peso respectivo.
- Los impuestos pagados y los ingresos. - Las situaciones en las que los precios
aumentan proporcionalmente a la duración o distancia, pero a partir de un valor inicial no nulo (precio de un recorrido en taxi, ya que la bajada de bandera se debe pagar aunque el tiempo o la distancia sea mínima).
Plantear actividades que involucren pasar de una representación a otra.
Desde una perspectiva funcional, la descripción de lun proporcionalidad puede realizarse
dando diferentes modos de representación así como los procesos de traslación de un modo
a otro. En el cuadro de la página siguiente se esquematizan dichos procesos de
representación.
(1) De a (2) Descripción
verbal (2)
Esquemas
tabulares (2)
Esquemas
gráficos (2)
Expresiones
simbólicas (2) Ejemplos
Descripción
verbal (1)
Analogía
Redacción
Mediciones
Particularizar
Concretar
Esbozar
Visualizar
Algebrizar
Obtener un
modelo
Un tren ha recorrido 240 km en tres
horas. Si mantiene la misma velocidad,
¿cuántos kilómetros recorrerá en las
próximas dos horas?
Esquemas
tabulares (1)
Reflexiones
Describir
Interpretar
Extrapolar Señalizar
Generalizar
Relacionar
Ajustar
Tiempo (1 hora) Recorrido (km)
1 80
2 160
3 240
4 320
Esquemas
gráficos (1) Interpretar
Seleccionar
Lectura por
puntos
Cambio de
sistema de
referencia
Cambio de
escala
Ajustar
Clasificar
Expresiones
simbólicas (1)
Explicar
Reconocimiento
de parámetros
Calcular
Tabular
Esbozar
Representar
Transformación
algebraica
Operaciones
y = 80 x