UNIVERSIDAD FERMIN TORO

VICE-RECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA

ESCUELA DE TELECOMUNICACIONES

Métodos de Conteo y

Relación de

Recurrencia

Valentina Denis

Ibeth Lozada

Estructura Discreta I SAIA C

Hay dos principios básicos en combinatoria:

Si se desea escoger un objeto que puede tener r tipos distintos, y para el primer tipo hay t1 opciones, para el segundo tipo hay t2 opciones, para el tercer tipo t3 opciones, y así sucesivamente hasta tr opciones para el ultimo tipo, entonces el objeto puede escogerse de t1 +t2 ...+tr maneras. Lo que el principio anterior dice, es que el total de opciones es la suma del número de opciones en cada tipo.

La Multiplicación. Si una tarea se ha de realizar en n etapas, y si la primera etapa tiene k1 maneras de realizarse, la segunda tiene k2 maneras, y así sucesivamente hasta kn , maneras de realizar la ultima, entonces el numero de formas de realizar la tara es k 1× k2 ×...×kn.

Supongamos que hay que escoger un libro de entre

tres materias: matemáticas, historia y biología. Hay

seis libros de matemáticas, 9 de historia y 4 de

biología . Entonces tenemos

Si una persona ha de escoger como vestirse, teniendo 4 camisas, 6

pantalones, 5 pares de calcetines y 2 pares de zapatos, entonces

tiene 4 × 6 × 5 ×2 = 240 formas de vestirse, ya que cada elección

de la camisa (4 opciones) tiene 6 opciones para el pantalón, lo que

da 4 × 6 = 24 opciones para la camisa y pantalón. Para cada una

de esas 24 tiene 5 pares de calcetines, totalizando 120 formas, y

para cada una de esas tiene dos opciones de los zapatos, de modo

que se duplica el total y al final tiene

Calcula las posibles agrupaciones que se pueden

establecer con todos los elementos de un grupo, por lo tanto, lo que diferencia a

cada subgrupo del resto es el orden de los elementos.

Calcula el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden

establecer con los "n" elementos de una muestra.

Cada subgrupo se diferencia del resto en los elementos que lo componen o en el orden de dichos elementos (es lo que le

diferencia de las combinaciones).

Determina el número de subgrupos de 1, 2, 3, etc. elementos que se pueden

formar con los "n" elementos de una nuestra. Cada subgrupo

se diferencia del resto en los elementos que lo componen,

sin que influya el orden.

Combinaciones Calcular las posibles combinaciones

de 2 elementos que se pueden

formar con los números 1, 2 y 3

El termino " n ! " se denomina

"factorial de n" y es la

multiplicación de todos los

números que van desde "n" hasta

1.

Se pueden establecer 3 parejas diferentes: (1,2), (1,3) y

(2,3). En el cálculo de combinaciones las parejas (1,2) y

(2,1) se consideran idénticas, por lo que sólo se cuentan una

vez. Para calcular el número de combinaciones se aplica la

siguiente fórmula:

Por ejemplo: 4 ! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24

Variaciones Calcular las posibles variaciones de 2 elementos

que se pueden establecer con los número 1, 2 y 3.

Ahora tendríamos 6 posibles parejas: (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1) y

(3,3). En este caso los subgrupos (1,2) y (2,1) se consideran distintos.

Para calcular el número de variaciones se aplica la siguiente fórmula:

La expresión "Vm,n" representa las variaciones

de "m" elementos, formando subgrupos de "n"

elementos. En este caso, como vimos en la

lección anterior, un subgrupo se diferenciará del

resto, bien por los elementos que lo forman, o

bien por el orden de dichos elementos.

Permutaciones Calcular las posibles formas en que se pueden

ordenar los número 1, 2 y 3.

Hay 6 posibles agrupaciones: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1,

2) y (3, 2, 1)

Para calcular el número de permutaciones se aplica la siguiente fórmula:

La expresión "Pm" representa las

permutaciones de "m" elementos,

tomando todos los elementos. Los

subgrupos se diferenciaran únicamente

por el orden de los elementos.

Es una lista ordenada de objetos,

cada uno de ellos denominado término

(también elemento o miembro) de la sucesión

y al número de elementos ordenados

(posiblemente infinitos) se le denomina la

longitud de la sucesión.

A diferencia de un conjunto, el

orden en que aparecen los términos sí es

relevante y un mismo término puede

aparecer en más de una posición. De

manera formal, una sucesión puede

definirse como una función sobre el

conjunto de los números naturales (o un

subconjunto del mismo) y es por tanto una

función discreta.

Una sucesión infinita de

números reales en azul (imagen). La

sucesión no es ni creciente, ni

decreciente, ni convergente, ni es una

sucesión de Cauchy. Sin embargo, sí

es una sucesión acotada.

Sucesión monótona

creciente

Una sucesión es monótona

creciente si se cumple que

para todo n natural an <=

an+1 (a1 <= a2 <= a3 <= ...

<= an).

Ejemplo:

an = n es monótona

creciente.

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 =

4, ...

Sucesión monótona

decreciente

Una sucesión es monótona

decreciente si se cumple que

para todo n natural an >= an+1

(a1 >= a2 >= a3 >= ... >=

an).

Ejemplo:

an = 1/n es monótona

decreciente.

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4

= 1/4, ...

Límite finito de una

sucesión

Consideremos la sucesión an

= 1/n.

a1 = 1

a2 = 1/2 = 0.5

a3 = 1/3 ≈ 0.33

a4 = 1/4 = 0.25

a5 = 1/5 = 0.2

a6 = 1/6 ≈ 0.17

a7 = 1/7 ≈ 0.14

a8 = 1/8 ≈ 0.12

a9 = 1/9 ≈ 0.11

a10 = 1/10 = 0.1

A medida que aumenta n,

los términos de la sucesión

son cada vez más cercanos a

0

Límite infinito de una sucesión

Consideremos la sucesión an = n2.

a1 = 1

a2 = 4

a3 = 9

a4 = 16

...

a10 = 100

...

a100 = 10.000

Al crecer n, an no tiende a un límite

definido, sino que crece más allá de

toda cota. Se dice que an tiende a

infinito.

|

La sucesión (A, B,

C) es una sucesión

de letras que

difiere de la

sucesión (C, A, B).

En este caso se

habla de

sucesiones finitas

(de longitud igual

a 3). Un ejemplo

de sucesión

infinita sería la

sucesión de

números positivos

pares: 2, 4, 6, 8, ...

En ocasiones se identifica a las

sucesiones finitas con

palabras sobre un conjunto.

Puede considerarse

también el caso de una

sucesión vacía (sin

elementos), pero este caso

puede excluirse

dependiendo del contexto.

Ejemplo:

an = 1/n

a1 = 1, a2 = 1/2, a3 =

1/3, a4 = 1/4, ...

Definición:

((an),(bn)) es un par de sucesiones monótonas convergentes si a) an es creciente y bn decreciente. b) Para todo n natural an <= bn c) Para todo ε>0 existe h natural / bh - ah < ε

Ejemplo:

an = -1/n, bn = 1/n

an es creciente.

Debemos probar que an+1 >= an, o sea an+1 - an >= 0

-1/ n +1 - -1/n = -n + n + 1/ n (n +1) = 1/ n2 + n } 0

·

bn es decreciente.

Debemos probar que bn+1 <= bn, o sea bn - bn+1 >= 0

1/n - 1/n + 1= n+1 –n/n(n+1)= 1/n2 + n }0

Para todo n an < bn

-1/n < 1/n + 1 pues -n < n para todo n.

Dado ε>0, existe h / bh - ah < ε

1/h - -1/h= 2/h < ε

Para que se cumpla basta tomar un h > 2/ε

Es una ecuación que define

una secuencia recursiva; cada término de

la secuencia es definido como una función

de términos anteriores

Una relación de recurrencia para la

sucesión es una ecuación que relaciona

con alguno de sus predecesores .

Las condiciones iniciales para

la sucesión son valores dados en forma

explícita para un número finito de

términos de la sucesión.

Resolver una

relación de recurrencia

consiste en determinar

una fórmula explícita

(cerrada) para el término

general , es decir una

función no recursiva de

n.

Iteración

Para resolver una relación de recurrencia asociada a la sucesión: por iteración, utilizamos la relación de

recurrencia para escribir el n-ésimo término en términos

de algunos de sus predecesores. Luego

utilizamos de manera sucesiva la relación de

recurrencia para reemplazar cada uno de los términos por algunos de sus predecesores. Continuamos hasta llegar a

alguno de los casos base.

Recurrencias Lineales

El adjetivo lineal indica que cada término de la secuencia

está definido como una función lineal de sus

términos anteriores. El orden de una relación de

recurrencia lineal es el número de términos

anteriores exigidos por la definición.

En la relación el orden es dos, porque debe haber al menos dos términos anteriores (ya

sean usados o no).