Mtodo N2 ACI-318 1963Cmo ocupar el mtodo en las losas?

Ayudante: Charbel Chapana

Breve introduccin

El Cdigo ACI 1963 (ACI 318-63) trataba a los mtodos de las tensiones de trabajo y de la resistencia ltima sobreuna base igualitaria. Sin embargo, se modific gran parte del mtodo de las tensiones de trabajo a fin de reflejar elcomportamiento en resistencia ltima. Los requisitos para tensiones de trabajo del Cdigo 1963 relacionados con laadherencia, el corte y la traccin diagonal, y la combinacin de compresin axial y flexin, se basaban en la resistencialtima.

De ah, nace un mtodo basado en anlisis elasto-plsticos que permiten que los diagramas de momento en ambasdirecciones se comporten simplemente como coeficientes con ciertas cargas, interpretadas bajo coeficientes.

Supuestos tericos

La losa de por s, no posee esfuerzos al corte, debido a su bajo espesor. Esto permite analizar desde el punto de vistade la flexin solamente.

a

b

-Mm

x

M(+

)

-Mmx

M(+)

Apoyo Simple

Apoyo Empotrado

x

y

Figura 1: Diagramas de momento representados en una faja.

Ante ello, solo queda analizar desde un punto devista ms estricto sobre las fajas de diseo en tr-minos de clculos.

Bajo estos preceptos, la idea de analizar esto me-diante coeficientes es importante, siempre pen-sando en las siguientes condiciones:

El grosor de la losa fuese lo bastante delga-da como para asumir que no existe corte.

Los vanos (o dimensiones de la losa, co-mo largo y ancho), en comparacin a losespesores, sean demasiado grandes.

La losa contenga material del tipo elasto-plstico.

Est condicionada por bordes suficientescomo para producir un mecanismo de co-lapso o falla.

1

Procedimiento de clculo

Condiciones de borde y tipos de borde

En primer lugar, toda losa puede dividirse en pa-os de losa, que son una especie de subdivisin de la losa misma. Estos paos tendrn distintas dimensiones, sinembargo, deben estar identificados para lograr las condiciones de borde.Para proceder a usar el mtodo, es necesario primero identificar un borde contnuo de uno discontnuo:

Borde contnuo: es aquel borde de una losa que presenta continuidad hacia otro panel de losa u otra losa.Independiente si existe o no una presencia de un muro u algn otro objeto que genere una condicin de borde.

Borde discontnuo: es lo contrario al borde contnuo. En este caso, este borde carece de algn pao de losa olosa, realizando la continuacin, independiente si existe o no un muro en ese borde.

Este grfico muestra ms claramente el ejemplo de bordes contnuos y discontnuos.

Borde Contnuo

Bo

rde

Dis

contnuo

Borde Discontnuo Borde Discontnuo

Muro

Bo

rde

Dis

contnuo

Muro

Bo

rde

Dis

contnuo

Bo

rde

Dis

contnuo

Bo

rde

Co

ntnuo

Pao de Losa

Pao de Losa

Pao de Losa

Muro

Apoyo Simple

Borde Discontnuo

Figura 2: Ejemplo de bordes contnuos y discontnuos.

Ahora, es necesario destacar que algunos bordes pueden representar condiciones de borde. En este caso, se destacaque los muros son apoyos de tipo empotrado, en tanto que un borde contnuo sin muros o en ciertas ocasiones, unborde donde solo hay una existencia de una viga puede ser representado como un apoyo simple o un apoyo libre

2

OJO: A veces, no siempre un pao puede estar cubierto netamente de un muro o libre. Puede estar un porcentajedel borde cubierto con un muro. Por otro lado, un borde contnuo sin muro puede presentar momento negativo,dependiendo de las cargas usadas. El criterio a aplicar el coeficiente en este mtodo ser netamente del ingenieroo estudiante de ingeniera.

Solicitaciones de carga

Es sumamente necesario que las cargas a ocupar sern de tipo distribudas por rea. En este caso, en particular enChile, se habla de la NCh1517 of. 2009, la cual, determina la carga dependiendo del tipo de estructura a construir. Enparticular, la tabla n4 de esa normativa muestra datos importantes de este tipo de situaciones.

Figura 3: Extracto Tabla N4 NCh1537 of. 2009.

Si eventualmente, existiera un problema y solo pudiera modelarse una carga como si fuera puntual, es necesario generaruna carga distribuda por rea promedio con respecto al rea en que se aplica.

Es criterio del ingeniero o estudiante de ingeniera tambin identificar el tipo de carga distribuda. Sin embargo, es usualtrabajar con dos tipos de cargas: peso propio (PP ) y sobrecarga (SC).

Como es normal, en una combinacin de cargas, la ACI318-08 o ACI318-11 puede usar la siguiente combinacin:

U = 1,2PP + 1,6SC

Lo que permite determinar el uso del mtodo.

Nomenclatura dentro de un plano

En particular, siempre se est en presencia de distintos elementos. Como ingeniero, puede dibujar una nomenclatura,siempre que se entienda las dimensiones de ste. Sin embargo, hay ciertas nomenclaturas que pueden llevarse a caboy que son relativamente universales.

Para ello, se dispone de una tabla donde pudiera darse algunas normas genricas respecto al tipo de elementos quepudiera encontrarse.

3

L101

e=15

V30/60

Elemento Descripcin

Nomenclatura de un pao de losa. L101corresponde a la losa n101 (clasificacin),mientras que e=15 corresponde al espesorde la losa, con 15 [cm].

Corresponde principalmente a la presenciade una viga rectangular, de dimensiones debase 30 [cm] y altura de 60[cm]

Corresponde a un espacio de losa que nocontiene nada. En principal, es una aberturay por lo tanto, los bordes aledaos de laslosas son del tipo discontinuo.

a

b

Corresponde a una columna que se puedeencontrar dentro de un pao de losas. Paraello, es necesario revisar el contenido delACI para limitar el espacio, dado que puedeconsiderarse una discontinuidad en la losa.

Figura 4: Tipos de smbolos a usar para identificar elementos dentro de dibujo tcnico de una losa.

Notar que el muro se presenta de forma aparte, dependiendo del dibujante y no poseen altura, pues, el detalle de stesuele aparecer en las vistas de perfil entrepisos. Ahora, el muro tambin suele no presentar altura, dado que es continuoentre pisos.

Uso de los coeficientes

El uso de los coeficientes depender netamente de las condiciones de borde presentes en la losa. Para ello, se intentarplantear en el siguiente ejemplo.

b

a

qu

x

yz

Muros

e

Figura 5: Ejemplo de losa a calcular

Este mtodo es especial, pues, solo necesita de que la losa est co-nectada o no, por lo que depende netamente de los bordes. Ahorabien, el clculo del momento se representa por unidades de momentopor longitud, esto es

[Tnfmm

]o[kgfcmcm

], segn se estime conve-

niente.

Luego, la frmula de momento por unidad de longitud se establece atravs de la lnea ms corta como:

mu = (coef f ) qu s2

Siendo qu la carga por rea de la losa, s la dimensin ms cortade la losa. El coeficiente (coef f ) depender necesariamente de lascondiciones de borde del problema. Supongamos que qu, que est ya

4

calculado bajo las combinaciones de carga ltima (usualmente U = 1,2PP + 1,6SC), debe distribuirse a lo largo yancho de la losa. Supongamos adems que se tiene las siguientes dimensiones y valores para esta losa.

Elemento Dimensin (en [Tnf , [m])

qu 3,00l 6,00s 3,00

Primero, se calcula el cuociente entre la dimensin corta respecto a la dimensin larga:

cuociente =s

l=

3

6= 0,5

Entendiendo esto, los valores que pudiera tomar las cargas en estos casos, tratndose de los posibles diagramas demomento en este ejemplo corresponden al Caso N5 de la tabla anexada al final del ejemplo.

Los clculos seran en este caso:

Clculo de momento por unidad de longitud

Direccin Borde empotrado A mitad de la luz Borde apoyo simpleDireccin x muxi = 0,033 qus2 muxc = 0,050 qus2 muxd = 0 qus2Direccin y muy i = 0,055 qus2 muyc = 0,083 qus2 muyd = 0 qus2

Los resultados seran:

Momento por unidad de longitud, [Tnf-m/m]

Direccin Borde empotrado A mitad de la luz Borde apoyo simpleDireccin x 0,8910 1,3500 0,0000Direccin y 1,4850 2,2410 0,0000

Clculo de armadura

Como es sabido, es necesario implementar un valor rpido para calcular el valor a armadura mnima. Para ello, esnecesario entender que puede explicarse para armadura positiva o negativa como si el anlisis fuese por separado, esdecir, como si solo existiera el anlisis en sentido negativo y otro anlisis en sentido positivo. De ah, es posibleestablecer lo siguiente:

1. Primero, es necesario verificar un rango posible de valores, para los cuales debe entenderse como valor mnimo ymximo de acero. Para ello, se tiene que:

Asmin = max{0,8f c ; 14}

bd

fy

As(s=0,005) = 0,31875fc1

bd

f y

Notar que:

Estas frmulas deben ser puestas en [kgf ] y en [cm].

Entender que la dimensin en este caso debe ser el equivalente a b = 1[m], dependiendo de las unidadesque se estn ocupando. Si se usa [cm], entonces b = 100[cm].

El rango de valores de rea de acero asegura que la deformacin de acero sea mayor que 0.005.

5

2. Luego, se calcula el valor de momento, escrito como:

Mn = As fy

(d 1c

2

)Usando la siguiente frmula para reemplazar el valor de c :

c =fy

0,85f c1bAs

Y usando esta ecuacin en la de momento nominal, se tiene que:

Mn =As fyb

(bd fy

1,7f cAs

)3. Finalmente, teniendo la ecuacin modificada de momento nominal, se busca el valor de As tal que cumpla con el

rango de Asmin y As(s=0,005) usando la ecuacin:

Mu MnUsando el valor de = 0,9.

En este ejemplo, se asumir un valor de f c = 200[kgfcm2

]; fy = 4200

[kgfcm2

]. El espesor se considerar e = h =

15[cm], con recubrimiento de rec = d = 3[cm], por lo que d = h d = 12[cm]. Como se dijo anteriormente,b = 100[cm] y dado el valor de f c , 1 = 0,85.En base a ello, se tiene que:

Asmin = max{0,8f c ; 14}

bd

fy= 4[cm2]

As(s=0,005) = 0,31875fc1

bd

f y= 15,48[cm2]

Por lo tanto, As [4,00; 15,48][cm2].

Ahora, usando un ejemplo de clculo para evaluar, se tiene que:

Mn =As fyb

(bd fy

1,7f cAs

)= 42As(1200 12,35As) = 50400As 518,7A2s

Segn condicin, y usando el momento positivo en direccin x :

mu = 2,2410

[Tnf m

m

]= 2241

[kgf cm

cm

]Mu = b mu = 224100[kgf cm]

Por lo tanto, se tiene que:

224100 45360As 466,83A2s0 466,83A2s 45360As + 224100

Resolviendo la ecuacin cuadrtica se tiene que:

As =

{5,22[cm2]

91,94[cm2]

Como el valor mayor supera el rango que se ha impuesto para el rango de valores de reas de acero, entonces,As [5,22; 15,48][cm2].

Como las dimensiones de la losa suelen ser relativamente largas, entonces, se tiene que buscar una cantidad de barrasde acero que van a una distancia de s entre barras y una distancia de d entre la primera barra y la cara de la losa, setiene la siguiente figura.

6

s s s s s ss s s s s s s s s ss s

b = (n+1)s

"n" barras de dimetro db

Figura 6: Representacin de separaciones entre barras de la losa.

Asumiendo esa separacin, entonces, el valor de n es:

n =b

s 1

Notar que el valor de n debe ser truncado y no aproximado. Dado que se necesita n barras de una barra de dimetrodb con rea A, entonces se tiene que:

A n AsreqEsto nos permite obtener una expresin para obtener una distribucin uniforme de dimetro db a separacin s entrebarras. Esta tabla nos permite obtener el rea necesaria dado la informacin anterior.

Dimetro [mm] 8 10 12 16 18 20 22 25 28 32 36

rea [cm2] 0,50 0,79 1,13 2,01 2,54 3,14 3,80 4,91 6,16 8,04 10,18

Separacin [cm] rea total de acero en 1 [m] de bando de losa, en [cm2]

5 9,55 14,92 21,49 38,20 48,35 59,69 72,23 93,27 116,99 152,81 193,406 7,54 11,78 16,96 30,16 38,17 47,12 57,02 73,63 92,36 120,64 152,687 6,53 10,21 14,70 26,14 33,08 40,84 49,42 63,81 80,05 104,55 132,328 5,53 8,64 12,44 22,12 27,99 34,56 41,81 54,00 67,73 88,47 111,979 5,03 7,85 11,31 20,11 25,45 31,42 38,01 49,09 61,58 80,42 101,7910 4,52 7,07 10,18 18,10 22,90 28,27 34,21 44,18 55,42 72,38 91,6111 4,02 6,28 9,05 16,08 20,36 25,13 30,41 39,27 49,26 64,34 81,4312 3,52 5,50 7,92 14,07 17,81 21,99 26,61 34,36 43,10 56,30 71,2513 3,02 4,71 6,79 12,06 15,27 18,85 22,81 29,45 36,95 48,25 61,0714 3,02 4,71 6,79 12,06 15,27 18,85 22,81 29,45 36,95 48,25 61,0715 2,51 3,93 5,65 10,05 12,72 15,71 19,01 24,54 30,79 40,21 50,8916 2,51 3,93 5,65 10,05 12,72 15,71 19,01 24,54 30,79 40,21 50,8917 2,01 3,14 4,52 8,04 10,18 12,57 15,21 19,63 24,63 32,17 40,7218 2,01 3,14 4,52 8,04 10,18 12,57 15,21 19,63 24,63 32,17 40,7219 2,01 3,14 4,52 8,04 10,18 12,57 15,21 19,63 24,63 32,17 40,7220 2,01 3,14 4,52 8,04 10,18 12,57 15,21 19,63 24,63 32,17 40,72

De acuerdo a esta tabla, entonces solo queda por analizar qu separaciones y dimetros nos convendra. Por conve-niencia, es posible ocupar 10@10, lo que nos dara una rea total de 7,07[cm2], lo que est dentro del rango de reasde acero y adems, nos asegura que la deformacin proporcionada es mayor al 5 h.Constructivamente, puede ser necesario a veces usar ciertas separaciones de tipo mltiplo par o mltiplos de 5. En estecaso, es criterio del ingeniero o estudiante usar las separaciones para obtener un resultado acorde.

7

Ahora bien, los resultados de la losa completa, considerando los momentos positivos y negativos en cada direccin esla siguiente:

rea requerida en un bando de 1[m], en [cm2] sin comparar con rea mnima a flexin.

Direccin Borde empotrado (Arm. Sup.) A mitad de la luz (Arm. Inf.) Borde apoyo simpleDireccin x 2,01 3,07 0Direccin y 3,39 5,22 0

rea proporcionada a separacin determinada

Direccin Borde empotrado (Arm. Sup.) A mitad de la luz (Arm. Inf.) Borde apoyo simpleDireccin x 10@10 10@10 0Direccin y 10@10 10@10 0

Sobre la armadura en losas

Segn 13.3.1 del ACI318-08, la armadura a flexin no debe ser menor que lo acordado en 7.12.2.1. De ello, se puedecontar con que:

Aprop {0,0020bd fy = 2800[kgf /cm

2]

0,0018bd fy = 4200[kgf /cm2]

Pero Aprop no puede ser menor que 0,0014bd . Las razones principales tienen que ver con que hay que asegurar flexinpor diferencias de temperatura. En este ejemplo: Aprop = 7,07[cm2] por cada metro de ancho de losa. Al respecto:Aprop 0,018bd = 0,01812100[cm2] = 2,16[cm2]. Con ello, se cumple las condiciones de diferencial de temperatura.

NOTA: Usualmente no es necesario verificar esta condicin, dado que con la armadura mnima puede cubrir lamayora de los casos con diferencial de temperatura mnima.

Ahora, segn 13.2.2, el espaciamiento entre dos barras no debe superar 2 veces el espesor de la losa. Es decir, laseparacin de barras en este ejemplo no debe separarse ms all de 2 e = 2 15[cm] = 30[cm] como mximo. Eneste caso, la armadura proporcionada cumple con las restricciones, dado que cada barra est separada a 10 [cm] unarespecto de la otra.

8

Detallamiento de la losa: Recomendaciones del ACI respecto al detallamientode losas

Largo de desarrollo

Es claro que no es necesario agregar toda la armadura negativa a lo largo de la losa, dado que solo requiere en laszonas donde la losa se encuentra con el muro. Es distinto el caso en que debe armarse con armadura positiva. Para elloy para mayor exactitud, uno puede calcular el valor exacto en donde se produce el valor cero o derechamente, ocuparalgn criterio de distancia.

-m1

-m3

l/2

m2

l/2

X01

X02

Figura 7: Diagrama de momento general,basado en los extremos y a la mitad.

Para un sistema con un diagrama de momento de esas caractersticas,se tiene que los puntos donde el momento se hace cero se ubica a unadistancia x0:

x0 =

(3m1 4m2 +m3

(m1 4m2)2 2(m1 + 4m2)m3 +m23

4(m1 2m2 +m3)

) l

Con valores de m1, m2 y m3 con sus correspondientes valores. Ahora,usando los valores en cada direccin para el ejemplo que estamos calcu-lando:

Para direccin x , m1 = 0,8910, m2 = 1,35000, m3 = 0,0000y l = 6[m] se tiene que el valor x01 = 0,744361[m] 0,75[m] yx02 = 6[m].

Para direccin y , m1 = 1,4850, m2 = 2,2410, m3 = 0,0000 ys = 3[m] se tiene que el valor y0 = 0,373303[m] 0,40[m] ey02 = 3[m].

Usando los artculos del ACI318-08 o ACI318-11, es posible obtener los largos de desarrollo en armadura negativa opositiva.De acuerdo a ello, es posible disear usando la siguiente frmula, basado en el hecho de que las reglas cumplen con lassiguientes condiciones:

Figura 8: Seccin 12.2.2 ACI318-08 o ACI318-11.

9

Notar que estos valores estn en [kgf ] y [cm]. Adems, en la norma ACI, podemos encontrar que las barras N19 ymenores corresponden en normativa chilena a dimetros 18 y menores a ella.

Usando valores de hormign de densidad normal ( = 1,0), coeficientes e = t = 1,0, db = 1,0[cm], fy = 4200[kgfcm2

]y f c = 200

[kgfcm2

], se tiene finalmente que:

ldt = 44,99[cm] 45[cm]Notar que no se calcula longitud de desarrollo para armadura en compresin, pues esta tiende a ser de menor valor queel largo de desarrollo ldt , por lo que se tiende a igualar ldt = ldc .

Dimensiones de gancho de anclaje

En caso de que ldt no cumpla con una condicin de borde (es decir, la geometra no puede sugerir usar completamenteel largo de desarrollo), ser necesario calcular el largo de gancho de anclaje, ldh.

Por artculos 12.5.1 y 12.5.2, se tiene que:

ldh = max

{(0,075e fy

f c

)db; 8db; 15[cm]

}; en [kgf] y [cm].

ldh = max {22,27[cm]; 8[cm]; 15[cm]} = 22,27[cm] 25[cm]La configuracin siguiente permite verificar el gancho a dibujar. Recordar que en todo caso, los ganchos deben estaren 180 y no en 90.

Figura 9: Confeccin de gancho para anclaje, segn comentario R12.5.

Esto nos da un gancho de las siguientes caractersticas, dependiendo de la condicin de borde. Como se habr notado,se ha dado mayor dimensin a los ganchos, para asegurar mejor constructividad y para asegurar un poco ms de largosde ganchos.

10

250

90

150

30

30

30250

30

90

30

160

Armadura Inferior

250

90

150

30

30

30250

30

90

30

160

Armadura Superior

Figura 10: Ganchos de anclaje superior e inferior, dependiendo del borde, en [mm].

Sobre distribucin espacial de los refuerzos

Es necesario establecer lo siguiente para el detallamiento de una losa:

1. Sobre muchas concepciones de estas recomendaciones, se necesita saber la definicin del ACI318-08 o ACI318-11sobre las generalidades. Notar el concepto de faja de columna y faja central, definidas en 13.2.

2. En particular, la seccin 13.3 del ACI318-08 o ACI318-11 es la seccin ideal para poder saber la distribucinespacial de las barras de refuerzo negativo y positivo. Se recomienda encarecidamente que se respete lascondiciones de esta seccin.

3. Sobre las aberturas, condiciones de borde discontnuas, se recomienda leer el artculo 13.4.2 para el procedimientoa armar.

En particular, para este ejemplo, debe usarse las condiciones puestas en 13.3 y en particular, se implementarn losartculos y referencias siguientes.

11

(a) Artculos generales (b) Figura R13.3.6

Figura 11: Recomendaciones para detallamiento en losas en general.

Figura 12: Recomendaciones para detallamiento en losas sin vigas.

12

Sobre dibujo en plano

Sobre el dibujo en plano, ha de recomendarse varias cosas:

1. Definir la escala a ocupar.

2. Orientar los ejes de acuerdo al anlisis.

3. Definir dos dibujos: uno solo para armadura positiva y otro para armadura negativa.

4. Seguir las recomendaciones de la seccin anterior.

En base a ello, es posible definir un siguiente dibujo esquemtico el que lograr aclarar ciertas dudas. Notar lasterminaciones de las armaduras cuando se trata de armaduras inferiores o superiores.

13

600

300

45

45

INF10@10LT = 667 [cm]

INF

10@

10

LT

= 3

67 [cm

]

Detalle A

Detalle A

Armadura Inferior

Detalle A [en mm]

30250

30

90

30

x

y

160

14

600

30

0

Detalle A

Armadura Superior

100

SUP10@10LT = 150 [cm]

50

SU

P

10

@10

LT

= 1

00

[cm

]

SUP10@10LT = 125 [cm]

SU

P

10

@10

LT

= 7

5 [

cm]

Detalle B

Detalle B

Detalle A

250

90

150

30

30

Detalle A [en mm] Detalle B en [mm]

x

y

30250

30

90

30

160

15

Cas

o 1

- P

ane

les

inte

rio

res

Mo

me

nto

ne

gati

vo e

n-

Bo

rde

co

nt

nu

o0,033

0,04

0,048

0,055

0,063

0,083

0,033

Bo

rde

dis

con

tn

uo

--

--

--

-

Mo

me

nto

po

siti

vo e

n m

itad

de

la lu

z0,025

0,03

0,036

0,041

0,047

0,062

0,025

Cas

o 2

- U

n b

ord

e d

isco

nt

nu

o

Mo

me

nto

ne

gati

vo e

n-

Bo

rde

co

nt

nu

o0,041

0,048

0,055

0,062

0,069

0,085

0,041

Bo

rde

dis

con

tn

uo

0,021

0,024

0,027

0,031

0,035

0,042

0,021

Mo

me

nto

po

siti

vo e

n m

itad

de

la lu

z0,031

0,036

0,041

0,047

0,052

0,064

0,031

Cas

o 3

- D

os

bo

rde

s d

isco

nt

nu

os

Mo

me

nto

ne

gati

vo e

n-

Bo

rde

co

nt

nu

o0,049

0,057

0,064

0,071

0,078

0,090

0,049

Bo

rde

dis

con

tn

uo

0,025

0,028

0,032

0,036

0,039

0,045

0,025

Mo

me

nto

po

siti

vo e

n m

itad

de

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