metodo da transformada diferencial generalizada´ no modelo ...€¦ · segundo zill e cullen...

ISSN 2316-9664Volume 10, dez. 2017

Edicao Ermac

Lucas Kenjy Bazaglia KurodaUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MesquitaFilho” , Instituto de Biocienciasde [email protected]

Alexys Bruno-AlfonsoUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MesquitaFilho” , Faculdade de Cienciasde [email protected]

Paulo Fernando de ArrudaManceraUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MesquitaFilho” , Instituto de Biocienciasde [email protected]

Rubens de FigueiredoCamargoUNESP - Universidade EstadualPaulista “Julio de MesquitaFilho” , Faculdade de Cienciasde [email protected]

Metodo da transformada diferencial generalizadano modelo fracionario de Malthus

Generalized differential transform method in the Malthusfractional model

ResumoO metodo da transformada diferencial generalizada e aplicadopara resolver a generalizacao fracionaria do problema de Malthus.Para facilitar a compreensao do metodo, e apresentada uma formaalternativa de calcular a transformada de cada funcao, sem uso daderivada fracionaria. Na primeira etapa do metodo, representa-sea funcao incognita como serie de potencias em que os expoentessao multiplos da ordem de derivacao. Em seguida, a equac¸ao di-ferencial e reduzida a um sistema de equacoes algebricas paraos termos da transformada diferencial. Mediante a solucaoalgebrica sao obtidos os termos da serie que representa asolucaoda equacao diferencial. No modelo de Malthus, o sistema deequacoes algebricas e linear e simples de resolver. Neste caso,e recuperada a solucao exata analıtica, que e usualmente obtidamediante a metodologia da transformada de Laplace.Palavras-chave:Calculo Fracionario e Aplicacoes. Modelo deMalthus. Modelagem Fracionaria. Metodo da Transformada Di-ferencial Generalizada

AbstractThe generalized differential transform method is applied to solvethe fractional generalization of Malthus problem. To better ex-plain the method, it is given an alternative and simpler way to cal-culate the transform without using fractional derivatives. Initially,the unknown function is represented as a power series in whichthe exponents are multiples of the derivative order. Then, the dif-ferential equation is reduced into a system of algebraic equationsfor the terms of the differential transform. The algebraic solutiongive the terms of the series that represent de solution of thediffe-rential equation. In the Malthus model, the system of equations islinear and easy to solve. In this case, one recovers the analyticalsolution that is usually obtained using the Laplace Transform.Keywords: Fractional Calculus and Applications. Malthus Mo-del. Fractional Modeling. Generalized Differential TransformMethod.

1 Introducao

A modelagem matematica e a area do conhecimento que estuda a simulacao de sistemasreais a fim de prever o comportamento dos mesmos, ou seja, consiste em descrever matemati-camente um fenomeno. Segundo Zill e Cullen (2001), esta descricao compreende as etapas deidentificacao das variaveis do problema e de um conjunto de hipoteses razoaveis sobre o sistema.Assim, quanto mais variaveis essa equacao possuir, maior sera a dificuldade em encontrar suasolucao.

A obtencao de uma equacao diferencial cuja solucao descreve bem a realidade traz con-sigo grande dificuldade. Normalmente, quanto mais proximos estamos de descrever um problemareal, maior sera o numero de variaveis envolvidas e a complexidade das equacoes. Com o obje-tivo de descrever um fenomeno com maior precisao, o Calculo Fracionario, conhecido tambemcomo calculo de ordem nao-inteira, assume um papel de destaque. Diversos problemas descritosem termos de equacoes diferenciais fracionarias fornecem uma descricao mais apropriada do quea respectiva equacao de ordem inteira, como visto em Camargo e Oliveira (2015) e Kuroda etal. (2017). Um dos modelos matematicos mais conhecidos e omodelo apresentado por Malthus,chamado tambem de modelo malthusiano, pode ser utilizado na modelagem de crescimento po-pulacional sem agentes influenciando na mortalidade dos indivıduos (competicao, alimento,...).Nessas condicoes, a populacao cresce proporcionalmente ao numero de indivıduos presentes na-quele instante.

Considerando a equacao diferencial proposta por Malthus, uma maneira comum de usar amodelagem fracionaria e substituir a derivada de ordem inteira por uma derivada de ordem nao-inteira, geralmente menor que ou igual a 1. Assim, a derivadaordinaria pode ser recuperada comoum caso particular (KURODA et al., 2017). O principal desafiopassa ser o desenvolvimento detecnicas e metodos de resolucao, tanto analıticos quanto numericos. Por exemplo, se tratando deequacoes lineares de ordem fracionaria, como o Modelo Malthusiano original, pode-se utilizar ametodologia da transformada de Laplace. No entanto, e dif´ıcil estender esse metodo para umaampla classe de equacoes nao lineares.

Dentre os metodos disponıveis para o tratamento de equacoes nao lineares de ordem fra-cionaria esta o “Metodo da Transformada Diferencial Generalizada” (GDTM, em Ingles). Ometodo e uma generalizacao do Metodo da Transformada Diferencial, diretamente relacionadocom a serie de Taylor (KURODA, 2016). E tem sido aplicado em tratamentos numericos com-putacionais por varios autores, dentre eles, Abdel-HalimHassan (2008), Odibat et al. (2010),Mirzaee (2011), Freihat e Momani (2012), Arshad; Sohail e Javed (2015) e Kuroda (2016).

Neste trabalho, resolveremos o modelo de Malthus de ordem fracionaria, com a derivadadefinida por Caputo. Faremos isto mediante o GDTM e mostraremos que a solucao coincide coma usualmente obtida mediante a transformada de Laplace.

2 Conceitos preliminares

Os conceitos preliminares sao baseados em Camargo e Oliveira (2015), Camargo (2009) eKuroda (2016). O operadorI produz a integral de 0 at de cada funcao de t. O operadorIn, comn∈ N, representa an-esima repeticao da operacaoI1. De forma explıcita, temos

1DefinimosI0 f (t) = f (t).

KURODA, L. K. B. et al. Método da transformada diferencial generalizada no modelo fracionário de Malthus. C.Q.D.– Revista Eletrônica Paulista de

Matemática, Bauru, v. 10, p. 68-78, dez. 2017. Edição Ermac.

DOI: 10.21167/cqdvol10ermac201723169664lkbkabapfamrfc6878 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

69

I f (t) =∫ t

0f (t1)dt1,

I2 f (t) = I [I f (t)]∫ t

0

∫ t1

0f (t2)dt2dt1

e

In f (t) =∫ t

0

∫ t1

0

∫ t2

0. . .

∫ tn−2

0

∫ tn−1

0f (tn)dtndtn−1 . . .dt3dt2dt1.

Definicao 1 Sejaν 6∈ Z a funcao de Gel’fand-Shilove definida como:

φν(t) :=

tν−1

Γ(ν)se t≥ 0

0 se t< 0.

Teorema 2 Seja f : R→R integravel. A integral de ordem n∈ N e dada por,

In f (t) = φn(t)∗ f (t) =∫ t

0φn(t− τ) f (τ)dτ =

∫ t

0

(t− τ)n−1

(n−1)!f (τ)dτ, (1)

sendoφn(t) ∗ f (t) o produto de convolucao da funcao Gel’fand-Shilov com afuncao f (t) (CA-MARGO; OLIVEIRA, 2015).

Definicao 3 A integral fracionaria de Riemann-Liouville de ordemν de uma funcao f edefinida como,

Iν f (t) = φν(t)∗ f (t) =1

Γ(ν)

∫ t

0f (τ)(t− τ)ν−1dτ, (2)

sendo Re(ν)> 0 e t> 0.

Definicao 4 Neste trabalho, as derivadas fracionarias serao calculadas segundo Caputo,como visto em Camargo (2009), com limite de integracao inferior igual a t0. Para cada funcao udefinida em[t0,+∞), a derivada de ordemβ ∈ C de u, em cada t com t> t0, e dada por

Dβt0u(t) = In−β [Dnu(t)] = φn−β (t)∗ [Dnu(t)] =

1Γ(n−β )

∫ t

t0

u(n)(τ)(t − τ)β−n+1

dτ, (3)

em que Re(β )> 0 e n o menor inteiro maior que ou igual a Re(β ), istoe, n−1< Re(β )≤ n.

Observacao: Pela definicao acima de derivada fracionaria segundo Caputo, segue que seβ = n, comn natural, temos,

Dβt0u(t) = In−β [Dnu(t)] = In−n[Dnu(t)] = Dnu(t).




70

3 Transformada diferencial generalizada

Considerando uma funcaou da variavel realt, definida parat ≥ t0, ha situacoes em queconvem representaru(t) mediante uma serie de potencias det − t0 em que os expoentes saomultiplos de um numero realβ , comβ > 0. Nesse caso, temos

u(t) =∞

∑k=0

U (β )k (t − t0)

βk. (4)

Os coeficientesU (β )k formam uma sequencia que e chamada de Transformada Diferencial

Generalizada de ordemβ , com centro emt0, da funcaou. Esses coeficientes sao definidos daseguinte maneira, segundo Odibat e Shawagfeh (2007),

U (β )k =

1Γ(kβ +1)

limt→t+0

(Dβt0)

ku(t), (5)

em que(Dβt0)

k = Dβt0.D

βt0 . . .D

βt0, k vezes.

Considerando a ordemβ = 1/2 e a funcaou(t) = et+√

t centrada emt0 = 0, vamos encontrar

U (1/2)1 , o primeiro coeficiente da transformada diferencial generalizada. De acordo com (3) e (5),

temos

U (1/2)1 =

1

Γ(12 +1)

[D120u(t)]

=1

Γ(32)

· 1

Γ(12)

· limt→0+

∫ t

0(t− τ)−1/2(1+

12

τ−1/2)eτ+√

τdτ.

Comoeτ+√

τ e crescente no intervalo[0, t], temos 1≤ eτ+√

τ ≤ et+√

t .Entao,

(t− τ)−1/2(1+τ−1/2

2)≤ (t− τ)−1/2(1+

τ−1/2

2)eτ+

√τ ≤ (t − τ)−1/2(1+

τ−1/2

2)et+

√t

e

∫ t

0(t − τ)−1/2(1+

τ−1/2

2)dτ ≤

∫ t

0(t − τ)−1/2(1+

τ−1/2

2)eτ+

√τdτ ≤ et+

√t∫ t

0(t − τ)−1/2(1+

τ−1/2

2)dτ. (6)

Logo,

1≤∫ t

0(t− τ)−1/2(1+ τ−1/2

2 )eτ+√

τdτ∫ t

0(t− τ)−1/2(1+ τ−1/2

2 )dτ≤ et+

√t .

Assim,

U (1/2)1 =

1

Γ(32)

· 1

Γ(12)

· limt→0+

[

∫ t

0

dτ√t − τ

+12

∫ t

0

dτ√

τ(t− τ)

]

.

Resolveremos as duas integrais separadamente. Para a primeira integral com substituicao devariavelv= t − τ,




71

∫ t

0

dτ√t − τ

=∫ 0

t

−dv

v1/2=

∫ t

0v−1/2dv= 2

√t.

Na segunda integral, fazendo a substituicaov=√

τt ,

∫ t

0

dτ√

τ(t − τ)=

∫ 1

0

2tvdv

tv√

1−v2= 2

∫ 1

0

dv√1−v2

= 2arcsin(v)|10 = π .

Assim,

U (1/2)1 =

1

Γ(32)

· 1

Γ(12)

· limt→0+

[

2√

t +12

π]

=2√π· 1√

π· π

2

= 1.

Para encontrarU (1/2)2 , devemos aplicar a derivada fracionaria de caputo duas vezes, ou seja,

U (1/2)2 =

1

Γ(32)

limt→0+

[

D120

(

D120u(t)

)]

.

Nota-se que para encontrar os coeficientesU (1/2)k utilizando a definicao da derivada fra-

cionaria de Caputo e um processo trabalhoso e em alguns casos complicado. Mostraremos, aseguir, outra maneira de encontrar os coeficientes da transformada diferencial generalizada.

Pela definicao (4), se introduzirmos a variavelr = (t− t0)β , temos que

u(t0+ r1/β ) =∞

∑k=0

U (β )k rk. (7)

Como o lado direto dessa equacao e a serie de Taylor deg(r) = u(t0+ r1/β ) com centro emr = 0, concluımos que

U (β )k =

g(k)(0)k!

. (8)

Isto garante a unicidade, uma vez garantida a existencia, da transformada generalizada. Paratanto, e necessario determinar o conjunto de valores det nos quais a serie converge para a funcaou(t).

Retomemos o caso,β = 1/2 eu(t) = et+√

t , com centro emt0 = 0. A funcao auxiliar eg(r) = u(t0+ r1/β ) = u(r2) = er2+r e a transformada generalizada e dada por

U (1/2)k =

g(k)(0)k!

. (9)

Como

g(r) = er2+r =∞

∑n=0

(r2+ r)n

n!,



DOI: 10.21167/cqdvol10ermac201723169664lkbkabpfamrfc6878 Disponível em: http://www.fc.unesp.br/#!/departamentos/matematica/revista-cqd/

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pela formula do Binomio de Newton, temos

U (1/2)k =

[k/2]

∑q=0

1q! (k−2q)!

. (10)

Assim, em lugar de calcular as derivadas em (5), encontramosos coeficientes da transfor-mada diferencial generalizada pela expressao (10). Truncando a serie emk= 10, obtemos

u(t)≈ 1+√

t +3t2+

7t3/2

6+

25t2

24+

27t5/2

40+

331t3

720+

1303t7/2

5040+

1979t4

13440+

5357t9/2

72576+

19093t5

518400. (11)

A comparacao entre os graficos da funcao e da serie truncada pode ser feita com auxılioda Figura 1. Observa-se que ha excelente acordo parak = 5, quando 0≤ t ≤ 0.6 e parak= 10,desde que 0≤ t ≤ 1.2. O grafico inserido e uma ampliacao do principal, para 0≤ t ≤ 0.1. Aprimeira derivada tende a+∞ quandot → 0+.

A Tabela 1 apresenta as principais propriedades da transformada diferencial generalizada.As propriedades (i) e (ii) exprimem a linearidade da transformada. A (iii) diz que a transformadado produto e a convolucao discreta das transformadas dosfatores. A (iv) estabelece como calculara transformada da derivada de Caputo.

Tabela 1:Propriedades da Transformada Diferencial Generalizada. Considera-se queU (β)k eW(β)

k sao astransformadas deu(t) ew(t), enquantoα e uma constante.

Propriedade Funcao Original Transformada Diferencial Generalizada

i f (t) = α u(t) F(β )k = α U (β )

k

ii f (t) = u(t)±w(t) F(β )k =U (β )

k ±W(β )k

iii f (t) = u(t)w(t) F(β )k =

k

∑q=0

U (β )k W(β )

k−q

iv f (t) = Dβt0 u(t) F(β )

k = Γ(((k+1)β +1)

Γ(kβ +1)U (β )

k+1

4 Metodo da transformada diferencial generalizada (GDTM)

Consideremos o problema de condicao inicial dado poru(t0) = u0 e

Dβt0 u(t) = f (t,u(t)), (12)




73

parat > t0. A transformada diferencial generalizada def (t,u(t)) depende da transformadaU (β ).

Denotando-a porF(β )k (U (β )), a Equacao 12 transforma-se em

Γ((k+1)β +1)Γ(kβ +1)

U (β )k+1 = F(β )

k (U (β )), (13)

para todok ∈ N. Trata-se de um sistema de equacoes algebricas que pode ser muito difıcil de

resolver. No entanto, ha situacoes de interesse em queF(β )k (U (β )) depende apenas dos valores

dos termosU (β )q , com 0≤ q≤ k, ou seja,

F(β )k (U (β )) = F (β )

k (U (β )0 ,U (β )

1 , . . . ,U (β )k ). (14)

Entao, pode-se calcular cada valor da transformada a partir dos anteriores, de acordo com

U (β )k+1 =

Γ(kβ +1)Γ((k+1)β +1)

F(β )k (U (β )

0 ,U (β )1 , . . . ,U (β )

k ), (15)

para todo numero naturalk, comU (β )0 = u0. Isto estabelece uma relacao de recorrencia mediante

a qual podem ser gerados todos os valores da transformada. A solucao do problema sera dadapela Equacao 4.

5 Aplicacao do GDTM no modelo fracionario de Malthus

Consideramos o modelo fracionario de Malthus, com derivada de Caputo de ordemβ , sendo0< β ≤ 1 (CAMARGO; OLIVEIRA, 2015). O problema a resolver e dado por

Dβt0 u(t) = α u(t), (16)

eu(t0) = u0, sendoα eu0 certas constantes positivas.Para aplicar o metodo apresentado na secao anterior, identificamosf (t,u(t))= α u(t). De

acordo com a propriedade (i) da Tabela 1, a transformada dessa funcao e

F(β )k (U (β )

k ) = α U (β )k . (17)

Portanto, a relacao de recorrencia na Equacao 15 adotaa forma

U (β )k+1 =

Γ(kβ +1)Γ((k+1)β +1)

α U (β )k , (18)

enquanto a condicao inicial e

U (β )0 = u0. (19)

A Tabela 2 mostra os valores da transformada diferencial obtidos a partir da condicaoinicial e da relacao de recorrencia, parak de 0 a 4. Mediante a tabela, pode-se fazer a conjecturade que para todok≥ 0 vale

U (β )k =

αk u0

Γ(kβ +1). (20)




74

Tabela 2:Primeiros cinco valores da Transformada Diferencial Generalizada da solucao do modelo fra-cionario de Malthus.

k U (β )k

0 u0

1Γ(0β +1)

Γ((0+1)β +1)α U (β )

0 =α u0

Γ(β +1)

2Γ(1β +1)

Γ((1+1)β +1)α U (β )

1 =α2u0

Γ(2β +1)

3Γ(2β +1)

Γ((2+1)β +1)α U (β )

2 =α3u0

Γ(3β +1)

4Γ(3β +1)

Γ((3+1)β +1)α U (β )

3 =α4u0

Γ(4β +1)

A conjectura pode ser demonstrada pelo metodo de inducao. Primeiramente, a validadeparak=0 e garantida pela Equacao 19. Para finalizar, deve-se verificar que a validade da Equacao20 garante a validade de

U (β )k+1 =

αk+1 u0

Γ((k+1)β +1). (21)

A verificacao e simples com base na Equacao 18. De fato, se a proposicao na Equacao 20 forverdadeira, entao

U (β )k+1 =

Γ(kβ +1)Γ((k+1)β +1)

ααk u0

Γ(kβ +1)=

αk+1u0

Γ((k+1)β +1). (22)

Conclui-se, assim, que a conjectura e valida.A solucao de problema e obtida ao substituir a Equacao 20 na Equacao 4, isto e,

u(t) =∞

∑k=0

αk u0

Γ(kβ +1)(t − t0)

βk = u0

∞

∑k=0

(α(t − t0)β )k

Γ(kβ +1)= u0Eβ ((α(t− t0)

β ), (23)

em que

Eβ (x) =∞

∑k=0

xk

Γ(kβ +1)(24)

e a funcao de Mittag-Leffler, como visto em Camargo e Oliveira (2015). E muito importantesalientar que o resultado apresentado na Equacao 24 coincide com a solucao usualmente obtidapelo metodo da transformada de Laplace nos trabalhos de Camargo e Oliveira (2015) e Kuroda(2016). O mesmo resultado e obtido por Odibat e Shawagfeh (2007), calculando os coeficientesda transformada diferencial generalizada mediante a definicao da derivada fracionaria de Caputo,na equacao 5. Esta solucao recupera a forma exponencialno casoβ = 1.




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Agradecimentos

Os autores agradecem o grupo de pesquisa CF@FC - Calculo Fracionario, da Unesp, pordiscussoes uteis. RFC agradece tambem ao CNPq (Universal 455920-2014-1).

Conclusoes

Apresentamos brevemente algumas definicoes referentes ao Calculo Fracionario, em espe-cial a derivada fracionaria de Caputo, a transformada diferencial generalizada e o metodo deresolucao de equacoes diferenciais de ordem fracionaria baseado nessa transformada. Mostra-mos tambem uma formar alternativa de se calcular os coeficientes da transformada diferencialgeneralizada sem usar derivadas de ordem fracionaria. O m´etodo foi aplicado a resolucao domodelo fracionario de Malthus e a solucao obtida coincide com os resultados reportados na lite-ratura em que aplica-se o metodo da transformada de Laplace. O procedimento e analogo parasistemas de equacoes.

Deve-se ressaltar que os dois metodos sao igualmente eficientes na hora de tratar modelosfracionarios lineares como o de Malthus. No entanto, o Metodo da Transformada DiferencialGeneralizada tem sido aplicado com sucesso para resolver modelos nao lineares. Nesse caso, naoe simples obter uma formula explıcita para os termos da transformada, mas a serie de potenciaspode ser aproximada mediante truncamento. A aplicacao dometodo a equacao logıstica fra-cionaria, na sua versao nao linear, esta em andamento.

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77

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0t

10

20

30

40

uHtL

0 0.11

1.3

1.6

Figura 1:Graficos da funcaou(t) = et+√

t (linha contınua) e da sua serie generalizada. A serie foitruncadaemk= 5 (linha pontilhada) ek= 10 (linha tracejada), como na Equacao 11.

___________________________________________

Artigo recebido em jun. 2017 e aceito em nov. 2017.




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