mejoramiento de procesos por medio de toma de … · • anova es un método estadístico empleado...

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MINITAB y su logo pertenecen a MINITAB Inc., USABlackberry&Cross ha desarrollado este material para uso

complementario por parte del usuario de MINITAB

Mejoramiento de Procesospor medio de toma de decisiones

basada en datoscon MINITAB

(Complemento)




Simbología en este documento

En este documento se hará uso de diferente nomenclatura.

Por ejemplo:

FILE ►Print Setup en donde el símbolo “►” significa, que el usuario debe acceder a un submenú del menú FILE, según el ejemplo

MTB> en donde el símbolo “>” es parte de la nomenclatura de comandos de MINITAB

Ctrl + S, que implica que el símbolo “+” muestra la unión de secuencia de teclas, en este caso la tecla “Ctrl” seguida de la tecla “S”




Diseño Experimental BásicoEl diseño experimental, abreviado en

inglés como DEX, los analistas, deliberadamente cambia uno o más factores, variable de procesos, con el fin de observar si los efectos de los cambios tienen relación con las variables de respuesta.

Comúnmente cuando se habla de diseño experimental, la mayor parte de los analistas evoca técnicas como diseño factorial, diseño de Taguchi, Placket-Burman, Central Composite, Superficies de Respuesta, entre otros.

Y esto está bien.

No obstante, a manera de lograr un enfoque más integral de lo que es diseño experimental, se dirá que un buen analista debe manejar con propiedad al menos las siguientes herramientas estadísticas antes de ingresar en el diseño experimental:

• Tamaño de Muestra• Pruebas de Hipótesis• ANOVA• Análisis de Regresión y Correlación

Y conocedor de lo anterior, el estudio y aplicación del diseño experimental le resultará mucho más sencillo, que si asume que es un concepto separado, o independiente.




Diseño Experimental BásicoEn este documento se iniciar el tema

de diseño experimental por medio del estudio de ANOVA de una y dos vías.

Posteriormente, se trabajará el tema de diseño factorial de dos niveles, y otras variedades. Pero, no se pretende que esta explicación sea exhaustiva, si no más bien, introductoria.

No está dentro del alcance de este documento temas como diseño de mezclas, diseño de experimentos de Taguchi.

Si el lector requiere ahondar en los conocimientos sobre este tema, le recomendamos acudir a la bibliografía anotada al final de este documento.




ANOVA>Bases• ANOVA es un método estadístico

empleado para la comparación de medias de un determinado número de poblaciones.

• ANOVA es el acrónimo de Analysis of Variance.

• Normalmente la ANOVA y el Análisisde Regresión son consideradosaplicaciones estadísticas avanzadas.

Esta técnica fue originalmentdesarrollada por Ronald Fisher entre 1920 y 1930, y por esto algunas vecesse le llama Fisher's ANOVA Fisher'sanalysis of variance”




ANOVA>BasesEl acrónimo ANOVA puede crear algunas

confusiones, acerca del propósito del método.

Recuérde: ANOVA es un método quetrabaja con las medias de poblaciones.

ANOVA requiere el análisis de diferentesfuentes de variación, vinculadas con las muestras bajo estudio.




ANOVA>Modelos Conceptuales

• Fixed-effects model: el supuesto en este caso es que los datosmuestrales, de cada población bajoestudio, provienen de fenómenos quese comportan normalmente, y lasmedias no difieren.

• Random-effects models: en estecaso, el supuesto es que los datosdescriben una jerarquía de poblaciones disímiles cuyas diferencasson inhibidas por la jeraquía misma.

• Mixed models: son modelos de ANOVA que se pueden usar paraexplicar condiciones donde ambos casos anteriores, están presentes.

La distinción entre los tipos de ANOVA puede ser un tema complicado.

La mayor parte de los analistas sofisticados trabajan con ANOVA de efectos fijos.

En este documento, para todo caso, los efectos se asumirán como ANOVA de efectos fijos.




ANOVA>Parsimonia>Navaja de Ockham

En estadística, al igual que otras ramas de la ciencia, es posible, y necesario, aplicar el principio de economía o de parsimonia, también conocido como la Navaja de Ockham.

La premisa de este principio es que: en igualdad de condiciones la solución más sencilla es probablemente la correcta.

En latín: “Entia non sunt multiplicandapraeter necessitatem”, o «No ha de presumirse la existencia de más cosas que las absolutamente necesarias»(3)

Este principio de parsimonia, se puede ejemplificar de la siguiente forma:

Si una analista tiene que comparar el desempeño promedio de dos máquinas, cuyas varianzas se asumen y comprueba son iguales, entonces es mejor que use una prueba de hipótesis t-student, antes de usar una ANOVA de una vía.

Siempre debe preferirse el análisis más sencillo, que explica el fenómeno.




ANOVA>SupuestosSe tendrán dos supuestos básicos

para el uso de ANOVA:

1. Muestreo independiente y aleatorio de cada población “j”bajo estudio, se debe efectuar.

2. Las “j” poblaciones bajo estudio siguen un comportamiento normalmente distribuidos con media μ, que podría o no podría ser igual entre las poblaciones, pero cuyas varianzas σ² si lo son. (he aquíla esencia de la ANOVA).




ANOVA: Supuesto de Normalidad y Violaciones

Uno de los supuestos en el uso de ANOVA, es que las poblacionessiguen un comportamiento mejorexplicado por la distribución normal estándar.

Los efectos de violar u obviar estesupuesto, están vinculados con lossupuestos del estadístico de prueba F.

Varios autores señalan que el estadísticoF is impresionantemente robusto, y que variaciones del comportamientonormal no le afectan. Pero anotan quepodrían darse mal interpretacines si la curtosis de los datos es considerable.

Es decir, si los datos no son mesocurticos, o en otras palabras son platicurticos o leptocurticos, podría enfrentarse el analista a no poder rechazar la hipótesis nula de igualdad entre las medias, aun cuando sea incorrecta.

Por medio de las pruebas de bondad de ajuste (GOF, acrónimo en inglés), se puede verificar la normalidad de los datos.

MINITAB 15 ofrece diferentes menús para las pruebas de GOF.




ANOVA>Homogeneidad de Varianzas

La homogeneidad de varianzas es el supuesto que considera que la varianza dentro de cada poblaciónbajo estudio, es igual.

Resultaría contraproducente adicionar loselementos de dos o más poblacionescon diferentes varianzas, en un solo grupo, ya que no existiría variancia en común.

Existen diferentes pruebas para verificar la homogeneidad de varianzas.

MINITAB 15, ofrece dentro del menú de ANOVA, una prueba específica paraeste fin

Es importante que el lector considere que las pruebas de homogeneidad de varianzas pueden ser paramétricas, o no-paramétricas.

Sobre este aspecto se puntualizará más adelante.




ANOVA: Supuesto de Normalidad y Violaciones

Pruebas más detalladas:

Algunos especialistas en estadísticasugieren que la prueba F de Fisher es tan robusta quepequeñas diferencias en lasvarianzas de las poblaciones no le afectan.

Sin embargo, también se anota quela interpretación de los resultadosde la ANOVA si puedecomprometerse, si los promediosestán correlacionados con lasvarianzas en las celdas de la ANOVA. Se recomiendan gráficosde dispersión o análisis de correlación que permitanidentificar este fenómeno.

Si se parte del principio de parsimonia, la recomendación en este caso es:

1. Aplicar las pruebas paramétricas o no-paramétricas para homogeneidad de varianzas.

2. Determinar si se violenta o no el supuesto de homogeneidad

3. Si no se violenta continuar.4. Si se violenta, escoger otra técnica

que no suponga esta característica.




••

••

••

aaan

n

n

aa yyy

yyyyyy

yya

yyyy

MMM

L

LMMM

L

L

222

111

21

2221

1211

21

Tratamiento Observaciones Totales Promedios

••y ••y

ANOVA>Tabla y Ecuaciones




∑=

• =n

jiji yy

1nyy ii /•• = ai ,...,2,1=

∑∑= =

•• =a

i

n

jijyy

1 1Nyy /•••• = anN =

ANOVA>Tabla y Ecuaciones




01

=∑=

a

iiτ

aμμμ === L21

iHH

i

a

una menos al para 00

1

210

≠======

ττττ L

ANOVA>Tablas y EcuacionesLos efectos de los tratamiento son

generalmente definidos como desviaciones a partir de la media general, siendo:

La hipótesis nula que subyace es que las medias de las poblaciones bajo estudio, no difieren, es decir:

Postulando la prueba de hipótesis de forma general, se tiene:

Esto es que, el analista asume que las medias de las poblaciones son iguales, pero la hipotesis alternativa es que al menos una de las medias no es igual a las demás.




∑∑=

••

=

−=a

i

n

jijT N

yySS1

2

1

2

errorostratamientT SSSSSS +=

ANOVA>Tablas y EcuacionesEn el método de la ANOVA la variabilidad

se separa en dos componentes, que se expresan como parte de la variabilidad total.

Esto se puede expresar como:

El cálculo manual de los elementos de la variabilidad total, se escapa del alcance de este documento.

En la mayor parte de la nomenclatura utilizada en este documento, se emplean los símbolos usados en la mayor parte de los textos escritos en inglés, o bien empleados en MINITAB 15.




1)1(

1

−−

−

anSSMSnaSS

MSMSMSaSS

Total

EE

E

osTratamientosTratamientosTratamient

Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Cuadrado Medio

F0

Tratamientos

Error

Total

ANOVA>Tablas y Ecuaciones




ANOVA>Tablas y EcuacionesMS es el error cuadrado (Mean Square), y

en un estimados insesgado de la varianza.

Nótese que en tabla anterior, se calcula un MS para los tratamientos y un MS para el error.

Dado que

F = varianza de n1 / varianza de n2

Se cumple para:

E

osTratamient

MSMS

Por medio de ejemplos y ejercicios se procederá a retomar los principios de interpretaciones de las ANOVA de una y dos vías.




ANOVA de Una Vía>EjemploEste ejemplo pertenece a los datos ya

predefinidos para tal fin en el menú de ayuda de MINITAB 15.

Abra el archivo de muestra:

EXH_AOV.MTW.

Diríjase luego a

Stat►ANOVA ►One Way

Y oprima el botón de HELP

Junto con el facilitador, desarrollarán el ejemplo




)(,

,,

)(,

,,

)(,

,,

)(,

,,

)(,

,,

)(,

,,)(

,,,

)(,

,,

)(,

,,

21

2

2

2221

1

1

1211

22

2

2212

22

22

222221

21

21

212211

1

1

2111

12

12

122121

11

11

112111

•••

•

•••

ab

abn

abab

a

na

aa

a

na

aa

n

bn

bb

n

nn

b

bn

bb

nn

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yy

yyy

yyy

yy

yy

yy

yy

LLLL

MMMM

LLLL

LLLL

Factor A

Factor B

1

2

a

1 2 b

••1y

••2y

••ay

••1y ••2y ••by•••y

ANOVA de dos Vías>Tabla




∑∑= =

•• =b

j

n

kijki yy

1 1ai

bnyy i

i ,...,2,1 == ••••

∑∑= =

•• =a

i

n

kijkj yy

1 1b

any

y jj ,...,2,1j == ••••

∑=

• =n

kijkij yy

1 b1,2,...,j

,...,2,1i

=

== •• a

ny

y ijij

∑∑∑= = =

••• =a

i

b

j

n

kijkyy

1 1 1

abnyy •••

••• =

ANOVA de dos Vías>Ecuaciones




ANOVA de dos Vías>HipótesisEn el caso de la ANOVA de dos vías,

como se denota en la Tabla de ANOVA, se observan, estudian, dos factores.

La formulación de la hipótesis nula difiere de lo entendido para la ANOVA de una vía. Se tiene:

H0: No hay efecto significativo del factor A; no hay efecto significativo del factor B, no hay interacción significativa AB

Una de las grandes ventajas de la ANOVA de dos vías, es que además de permitir identificar si hay efectos de uno, o de los dos factores, también permite entender el efecto de la interacción entre ambos.




)1()1(

)1)(1()1)(1(

11

11

0

0

0

−=−

=−−

=−−

=−

=−

=−

=−

nabSSMSnabSS

MSMSF

baSSMSbaSS

MSMSF

bSSMSbSS

MSMSF

aSSMSaSS

EEE

E

ABABABAB

E

BBBB

E

AAAA

1−abnSST

Fuente de Variación

Suma de Cuadrados

Grados de Libertad

Error Cuadrado

F0

Factor A

Factor B

Interacción

Error

Total

ANOVA de dos vías>Tabla




ANOVA>Pasos estructurados para unamejor ejecución

1. Descripción del problema of the problem2. Determinación del esquema de análisis of the analysis scheme3. Declaración de la hipótesis nula4. Determinación del Tamaño de Muestra5. Verificación de la Igualdad de Varianzas6. Verificación del supuesto de Normalidad7. Configuración de la tabla de ANOVA8. Trabajo de campo9. Ejecución del cálculo de la ANOVA10. Análisis de residuos11. Prueba de Tukey’s, HSU’s y/o ANOM12. Interpretación y Conclusiones




ANOVA>Tamaño de Muestra

• Recuérdese que cuando se trabaja con el cálculo del tamañode muestra, éste es distinto paralas distintas pruebas estadística.

• Además, se tienen dos perspectivas sobr el tamaño de muestra:

– Prospectivo: antes de correr el experimento (recomendado)

– Retrospectivo: después de habercorrido el experimento.

MINITAB Stat Guide expone:

“The power of a test is theprobability of correctly rejectingH0 when it is false. In otherwords, power is the likelihoodthat you will identify a significant difference (effect) when one exists.” MINITAB Stat Guide




ANOVA>Igualdad de Varianzas

Esta prueba se puede ejecutar pormedio de MINITAB 15, siguiendolos siguientes pasos:

Stat ► ANOVA ► Test for EqualVariances.

MINITAB 15 arroja dos resultados, dado que se emplean dos métodos:

Bonferroni (paramétrico)Levene (no-paramétrico)

En general se puede decir que las pruebas de igualdad de varianza se agrupan en:

Pruebas estadísticas

– Barlett's (mejor con datos normales)

– F-test (bastante robusta. Podría afectarle un gran kurtosis)

– Levene‘s (menos poderosa, pero es no-paramétrica)

Mediciónes de varianza– Desviación Estándar– Varianza– Intervalos de Bonferroni




ANOVA>Igualdad de VarianzasP

ress

ure

95% Bonferroni Confidence Intervals for StDevs

41

25

12108642

Pre

ssur

e

Diameter

41

25

2520151050

F-Test

0.824

Test Statistic 0.68P-Value 0.598

Levene's Test

Test Statistic 0.05P-Value

Test for Equal Variances for DiameterEstafiguramuestraun ilustaciónde unaprueba de igualdadde varianzas, para unaANOVA de unavía, hechaen MINITAB 15




ANOVA>Normalidad y GOFEn MINITAB 15 se facilitan diferentes

pruebas de bondad de ajuste, dentro de las que se puedenmencionar:

1. Anderson Darling2. Kolmogorov-Smirnov (K-S)3. Ryan-Joiner4. P-Value5. Probability Plots

Algunas otras pruebas GOF son:

Lilliefors (una adaptación de K-S)Shapiro-Wilk test (similar a Ryan-Joiner)Jarque-Bera (baseda en la curtosis y

sesgo)

En MINITAB la prueba de normalidad se puede ejecutar con los menús:

Stat ► Normality Test

Stats ► Quality Tools ► Individual Distribution Indentification




ANOM• Significa Analysis of means y es considerada una “ANOVA” gráfica.

• En realidad es un método análogo a la ANOVA.

• Mientras la ANOVA prueba si hay diferencias entre los promedios de laspoblaciones, de los factores de las poblaciones, ANOM confronta los datos con el gran promedio del fenómeno




ANOM>¿por qué?Hay varios escenarios, pero las

principales razones son:

ANOM trabaja con datos que puedenprovenir de distribuciones:

• Normales• Poisson• Binomial

Además, ANOM es en algunas ocasionescapaz de detectar ciertasfluctuaciones en las medias, que la ANOVA no podría

Y por último, es un método gráfico, y quizás más sencillo de explicar a personal no especializado en el tema.




ANOM>Ilustración

Hardw

Mea

n

4321

22.5

20.0

17.5

15.0

12.5

10.0

13.54

18.38

15.96

One-Way ANOM for Streng by HardwAlpha = 0.05




Ejercicio 1>CatapultaJunto con su grupo, tome la catapulta y

diseñe una ANOVA de una vía, y aplique todos los pasos recomendados.

No omita ningún paso.

Consejo:

Para documentar la planificación de la ANOVA, utilice también MINITAB Quality Companion.

El facilitador le ayudará, grupo por grupo, para evaluar el progreso del ejercicio, y clarificar dudas.




Ejercicio 2>Su propia ANOVAEn grupo, evalúe el interior de sus

procesos, y diseñe el uso de ANOVA de una o dos vías, para un problema en específico.

Exponga los resultados.




References1. Aczel, Amir (1989). Complete Business Statistics, Richard D. Irwin INC.

2. Advanced Regression and ANOVA, MINITAB Inc. Training Material

3. Wikipedia. The free encyclopedia http://en.wikipedia.org/

4. Blackberry & Cross databases

5. MINITAB Stat Guide at MINITAB 14 software

6. CQE preparation material. Edwin Garro, 2000

7. Implementing Six Sigma. Smarter Solutions Using Statistical Methods. Forrest W. Breyfogle III

8. Design and Analysis of Experiments. Fifth Edition. Douglas Montgomery




Aclaraciones

Este documento utiliza material contenido en MINITAB 15. Todos esos ejemplos son propiedad de MINITAB Inc.

Esta obra pretende funcionar como un complemento didáctico para todos aquellos usuarios de MINITAB 15, que son hispano-parlantes, y como una guía para los representantes de MINITAB en América Latina.

Puede entonces catalogarse este documento como una guía ampliada a la ayuda (HELP) de MINITAB 15, para usuarios que recientemente se introducen al uso del software.

No es el propósito de este documento ser un libro en estadística, mejoramiento continuo o similar, ni tampoco pretende este material reemplazar el entrenamiento certificado de MINITAB Inc., el cual se recomienda grandemente.




Todas las figuras y datos, así como el logo y el nombre referentes a MINITAB 15, pertenecen a MINITAB Inc.

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Este documento fue preparado por Blackberry&Cross para uso en Centroamérica. Cualquier omisión o errata no corresponde a MINITAB Inc, y para uso exclusivo de Blackberry&Cross.

Este documento está en constante revisión y mejoramiento.

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