UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MECANICA

MECANISMO BIELA-MANIVELA

ANÁLISIS MEDIANTE NÚMEROS COMPLEJOS

Curso Mecánica de Máquinas

Por Carlos Garrido S.

MECANISMO: Biela-Manivela

Análisis Mediante Números Complejos

El mecanismo biela manivela es un mecanismo compuesto por un elemento giratorio llamado manivela, que va conectado a una barra rígida llamada biela, la cual se desplaza describiendo un movimiento de vaivén arrastrada por la manivela. Así el movimiento de giro que produce la manivela se transforma en el movimiento rectilíneo alternativo que produce la biela

El movimiento de rotación de una manivela o cigüeñal provoca el movimiento rectilíneo, alternativo, de un pistón o émbolo. La biela sirve para unir la manivela con el pistón. El movimiento rectilíneo es posible gracias a una guía o un cilindro, en el cual se mueve. Este es un mecanismo típico en motores de vehículos. El recorrido del pistón se llama carrera del pistón. En motores, el pistón completa dos carreras por cada vuelta de la manivela. El cálculo de la velocidad máxima que adquiere el pistón es complejo, y depende básicamente de la longitud de la biela. Cuando la biela es bastante mayor que el brazo de la manivela. Análisis Cinemático El problema consiste en conocer las posiciones, velocidades y aceleraciones de todas las barras

Posición El problema de posición lo resuelvo empleando las ecuaciones de lazos:

Separando en componentes real imaginaria se obtienen dos ecuaciones a resolver,

Despejando y considerando os 0=θ , se obtiene:

321 321321

θθθ iii eReReRRRR

+=

+=

)3sin(3)2sin(2)sin(1)3cos(3)2cos(2)cos(1

θθθθθθ

RRsRRRsR

+=+=

)3sin(3)2sin(20)3cos(3)2cos(21

θθθθ

RRRRR

+=+=

Por tanto las ecuaciones para incógnitas 3,1 θR , serán:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

)2sin(32sincos32cos21

)2sin(32sin3

θθ

θθ

RRacRRR

RRac

Si R2=2 y R3=5, se obtiene el siguiente diagrama de posición de las variables incógnitas:

0 2 4 6 80

2

4

6

Posición angular eslabón 2

Long

itud

esla

bón

1 5

1

R1 θ2( )

6.2830 θ2

Tiempo

Posición angular de la barra 3 (biela)

0 2 4 6 81

0.5

0

0.5

1

Posición angular eslabón 2

Posi

ción

ang

ular

esl

abón

3 0.73

0.73−

θ3 θ2( )

6.2830 θ2

Tiempo Posición del pistón S

Velocidades: Derivando la ecuación de velocidades, del caso anterior,

33233322

221 θθθθθθ ωωω iiiii

si eiReReiReReiSeR ss +++=+ &&

Separando en componentes real e imaginaria:

33333222

33333222

cossin2cos2sincos1sin1

sincos2sin2cossin1cos1

θωθθωθθωθ

θωθθωθθωθ

RRRRRR

RRRRRR

sss

sss

+++=+

−+−=−&&&

&&&

Aplicando condiciones, 0,0,0 32 ==== RRs s

o &&ωθ :

33322

33322

cos2cos0sin2sin1θωθωθωθω

RRRRR

+=−−=&

Despejando las incógnitas fundamentales,

333

22322

33

223

sincos

2cos2sin1

cos2cos

θθθω

θω

θθω

ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−−=

=

RRRRR

RR

&

Para la velocidad angular de la manivela es w2=2, se obtienen los siguientes diagramas de velocidades para la biela y el pistón:

0 2 4 6 82

0

21.333

1.333−

ω3 θ2( )

6.2830 θ2Tiempo

0 1.33 2.67 4 5.33 6.67 85

3.572.140.710.712.143.57

54.908

4.908−

V1 θ2( )

6.2830 θ2

Velocidad angular de la biela Velocidad lineal del pistón

Aceleraciones: Derivando las ecuaciones de velocidad obtenidas en el punto anterior, se obtiene:

333222 32

3333322

2222211 θθθθθθθθ ωαωωαωω iiiiiiis

i eReiReRieReiReRieReR ss −++−+=+ &&&&& Separando en componentes real e imaginaria:

32333333cos332

222222222

32333333332

22222222

sincossincoscossin1sin1

cossinsincossinsincos1cos1

θωθαθωθωθαθωθωθ

θωθαθωθωθαθωθωθ

RRRRRRRR

RRRRRRRR

sss

sss

−++−+=+

−−−−−−=+&&&&&

&&&&&

Aplicando condiciones 0,0,0,0,0 32232 ======= RRRRs s

o &&&&&&&& αωθ :

32333332

222222

32333332

222222

sincossincos0

cossincossin1

θωθαθωθα

θωθαθωθα

RRRR

RRRRR

−+−=

−−−−=&&

Despejando las variables incógnitas,

32333

33

32332

222222

32222222

33

32332

222222

3

cossincos

sinsincoscossin1

cossinsincos

θωθθ

θωθωθαθωθα

θθωθωθα

α

RR

RRRRRRR

RRRR

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++−−−−=

++−=

&&

Con velocidad angular de la manivela constante, la variación de las aceleraciones serán:

0 2 4 6 85

0

53.578

3.578−

α3 θ2( )

6.2830 θ2Tiempo

0 1.33 2.67 4 5.33 6.67 820

5

107.875

13.333−

a1 θ2( )

6.2830 θ2

Aceleración angular de la biela Aceleración lineal del pistón