mecanismo 4 barras

Universidad de Colima.

Facultad de Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Ingeniería Mecánica Eléctrica.

Análisis y diseño de mecanismos.

Alumno: Sayil Mendoza Trujillo.

5° H.

Profesor: Dr. Sergio Llamas Zamorano.

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras.

Coquimatlán, Colima. Noviembre de 2013.

Análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras

Índice.

1. Introducción. 1 2. Desarrollo. 2

2.1 Análisis de posición. 2 2.2 Análisis de velocidad. 8 2.3 Análisis de aceleración. 10 3. Caso de estudio. 12 3.1 Análisis primario. 12 3.2 Análisis velocidad. 15 3.3 Análisis de aceleración 18 4. Conclusiones 24 5. Bibliografía. 25 6. Anexos 26 6.1 Aceleración para el punto P 26 6.2 Disco de datos 29

1. Introducción.

Análisis y diseño de mecanismos Página 2


Un mecanismo se define como una combinación de cuerpos resistentes conectados por medio de articulaciones móviles para formar una cadena cinemática cerrada con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el movimiento. Ésta transformación de movimiento se lleva a cabo mediante distintas configuraciones de cuerpos rígidos, mejor conocidos como eslabones, y articulaciones móviles, también nombradas pares cinemáticos. Por ejemplo un mecanismo biela-manivela-corredera cuyo propósito es transformar el movimiento

rotacional de un motor en movimiento lineal. Otro caso es el del mecanismo de cuatro barras, el cual es utilizado, principalmente, para transformar un movimiento rotatorio en otro oscilatorio.

La imagen que se muestra a la izquierda, es un mecanismo de cuatro barras sencillo como el que se explicó en el ejemplo anterior, cuyo propósito es transformar el movimiento circular de la manivela “s” en movimiento oscilatorio del seguidor “p”.

Figura 1. Mecanismo de cuatro barras básico. Ahora analizaremos un mecanismo de cuatro barras cuyo acoplador, eslabón “l”, es un cuerpo rígido con forma de triángulo escaleno y sobre ese cuerpo rígido existe un punto P del cual queremos conocer su posición, velocidad y aceleración para cualquier posición de la manivela.



2. Desarrollo.

En esta sección se harán los siguientes análisis en el mecanismo de cuatro barras de la figura 2:

• Análisis de posición: Encontraremos los ángulos de inclinación del acoplador y seguidor, así como las coordenadas del punto P.

• Análisis de velocidad: Obtendremos las velocidades angulares del acoplador y seguidor, así como celeridades lineales del punto P.

• Análisis de aceleración: Por último, se encontrarán las expresiones para obtener las aceleraciones angulares tanto del acoplador como del seguidor, así como la aceleración lineal del punto P.

2.1 Análisis de posición. Para vida de hacer el desarrollo se esta sección, nos guiaremos en la siguiente imagen de un mecanismo de cuatro barras.



Figura 2. Mecanismo de cuatro barras en análisis.

Lo primero que se hace en el análisis algebraico de cualquier mecanismo, es escribir la ecuación de cierre del circuito.

Ahora escribimos la ecuación anterior en forma polar.

(a)

Aplicamos la fórmula de Euler en (a) y separamos las partes reales e imaginarias en dos ecuaciones.

(b)

(c)

A continuación reacomodamos (b) y (c) aislando los términos que involucren θ3.

Luego elevamos al cuadrado ambas expresiones y las sumamos.

(d)

Hacemos uso de las siguientes identidades trigonométricas.

(e)

(f)

Sustituimos (d) y (e) en (d) con su respectivos ángulos.

(g)



Para vida de facilitar los procedimientos siguientes, obtendremos las componentes en x y y de la diagonal s de la figura 2.

(h)

También podemos obtener el valor de gama para en los pasos siguientes facilitar el proceso algebraico, primero obtenemos el valor de s en función de r3, r4 y γ.

Ahora, en la ecuación anterior sustituimos el valor de s pero en función de r1, r2 y θ2, y despejamos γ.

(i)

Ahora podemos expresar (g) en términos de (h) e (i). Primero dividimos (g) entre 2r4, reducimos en lo posible y reacomodamos de manera conveniente utilizando la identidad trigonométrica (f).

Reacomodamos aún más y hacemos coincidir el primer término con cos γ.

Reducimos el primer término convenientemente y sustituimos las expresiones en (h) e (i).

(j)

Al manejar tanto seno como coseno de un mismo ángulo en (j), resulta conveniente sustituir esos valores por identidades trigonométricas de la mitad del ángulo.



(k)

Ahora sustituimos estas identidades con sus respectivos ángulos en (j) y reacomodamos.

Encontramos la solución del sistema de segundo orden, sustituimos los valores se sx y sy, y despejamos para θ4.

(1)

Para encontrar el θ3 tenemos que hacer un proceso totalmente análogo al anterior, por lo tanto no tiene caso desarrollarlo aquí, solamente se expresará el resultado.

(2)

Para encontrar la posición del punto P nos guiaremos de la figura siguiente.



Figura 3. Mismo mecanismo de 4 barras de la figura 2, pero ahora con el vector de posición del punto P, respecto al origen A.

De la figura 3 podemos deducir la distancia al punto P, el ángulo del vector y por consiguiente el vector de posición.

(3)

(4)

(5) 2.2 Análisis de velocidad Como se dijo al inicio de la sección, el propósito de esta subsección es encontrar las velocidades angulares de los eslabones 3 y 4, o acoplador y seguidos, es lo mismo. Después de esto, tenemos que encontrar las velocidades lineales del punto P, tanto en la coordenada x como y.



Primero, de la ecuación de cierre de circuito (a), obtenemos su derivada respecto del tiempo, sabiendo que r1, r2, r3 y r4 son constantes en el tiempo, y aplicamos la fórmula de Euler. También hay que tener en cuenta que la primera derivada del desplazamiento angular θ con respecto del tiempo se le conoce como velocidad angular.

Ahora separamos las partes real e imaginaria de la expresión anterior y formamos el siguiente sistema de ecuaciones.

(m)

(n) Aplicamos el método de Cramer al sistema anterior y haciendo uso de esta identidad trigonométrica sen (β-δ) = senβcosδ + cosβsenδ obtenemos los siguientes resultados ω3 y ω4.

(6)

(7) Los valores de θ3 y θ4 son obtenidos de (1) y (2), respectivamente, θ2 es nuestra variable independiente y ω2 es constante, ya que la manivela es movida por un motor de velocidad constante en la mayoría de los casos. Ahora podemos encontrar la velocidad del punto P valiéndonos de las siguientes expresiones.

(ñ)

(o)



Figura 4. Diagrama del mecanismo de 4 barra para análisis de la velocidad en el punto P. En la figura 4 observamos que el cuerpo rígido BCP gira a una misma velocidad angular ω3 en cualquier punto, por lo tanto, podemos encontrar la velocidad del punto P respecto a B con (ñ) y luego sustituirla en (o) para encontrar la velocidad absoluta en el punto P.

Sustituimos los valores de ω3 y r5.

(p)



Ahora encontramos la velocidad absoluta del punto B.

(q)

Finalmente sustituimos (p) y (q) en la expresión (o) y reacomodamos para las componentes en i y j. Estos valores serán las velocidades del punto P en x y y respectivamente.

(8)

No hay que confundir el ángulo α (alfa sin subíndice) entre los segmentos PB y BC con aceleración angular αn (alfa con algún número como subíndice). 2.3 Análisis de aceleración El análisis para encontrar la aceleración del punto P comienza con encontrar las aceleraciones angulares del acoplador y seguidor, de una manera similar al procedimiento en la subsección 2.2 utilizado para encontrar las velocidades angulares de los eslabones mencionados. Posteriormente, se hace un análisis del mecanismo utilizando álgebra vectorial para encontrar la aceleración total del punto B así dicha aceleración del punto P respecto del B. En esta sección solamente se mostrarán las ecuaciones que sirven para encontrar los parámetros buscados en este apartado, aceleraciones angulares del acoplador y seguidor, y aceleración total del punto P; sin embargo en el anexo al final del documento, se agregará el procedimiento utilizado para llegar a estas soluciones.

(9)



(11)

(12) De esta manera se concluye el análisis cinemático del mecanismo de cuatro barras de la figura 2.



3. Caso de estudio. Todo el desarrollo de ecuaciones anterior, fue hecho para hacer un análisis del siguiente mecanismo de cuatro barras.

Donde las dimensiones expresadas son:

r1 = 300 mm r2 = 150 mm r3 = 375 mm r4 = 450 mm r5 = 225 mm α = 50°

ω2 = 15 rad/s Anti-horario. α2 = 0 rad/s2

Figura 5. Mecanismo en estudio. Los análisis siguientes fueron evaluados con un código programa en Matlab R2010 versión 7.10. 3.1 Análisis de posición Los resultados arrojados en el análisis son los que se presentan a continuación.

θ2 θ3 θ4 γ rP rPx rPy

( °) (mm) 0 110.487 128.682 18.195 97.477 -62.078 75.153



20 87.837 108.783 20.946 203.974 -25.824 202.333

40 69.205 96.631 27.425 292.860 5.120 292.815

60 58.346 93.593 35.248 343.493 4.181 343.468

80 53.043 96.187 43.144 367.749 -24.732 366.916

100 51.339 101.768 50.430 374.975 -70.284 368.330

120 52.154 108.787 56.633 370.644 -122.370 349.861

140 54.938 116.315 61.376 358.296 -172.907 313.814

160 59.406 123.764 64.358 340.551 -215.712 263.520

180 65.376 130.751 65.376 319.456 -246.424 203.291

200 72.678 137.036 64.358 296.547 -262.437 138.083

220 81.103 142.480 61.376 272.809 -262.826 73.125

240 90.367 147.000 56.633 248.656 -248.283 13.617

260 100.086 150.516 50.430 223.906 -221.072 -35.514

280 109.712 152.856 43.144 197.691 -184.994 -69.705

θ2 θ3 θ4 γ rP rPx rPy

( °) (mm) 300 118.346 153.593 35.248 168.114 -145.362 -84.453

320 124.237 151.662 27.425 131.611 -108.956 -73.824

340 123.593 144.539 20.946 86.693 -82.641 -26.194

360 110.487 128.682 18.195 97.477 -62.078 75.153 Tabla 1. Resultados del análisis de posición.

Estos datos tabulados se expresan en las siguientes gráficas.

Gráfica 1. Aquí se muestra la variación del ángulo θ3 con respecto de θ2.



Gráfica 2. Observamos la variación del ángulo θ4 con respecto de θ2.

Gráfica 3. Observamos la variación del ángulo transmisión γ con respecto de θ2.



Gráfica 4. Observamos la trayectoria del punto P.

3.2 Análisis de velocidad A continuación se muestran los cálculos hechos por el algoritmo creado en Matlab.

θ2 ω3 ω4 VPx VPy VP

(°) (ra d/s) (mm/s) 0 -15.000 -15.000 1127.302 5431.166 5546.924

20 -16.780 -12.953 1764.743 4912.849 5220.192

40 -10.879 -5.297 690.364 2917.984 2998.538

60 -5.752 0.250 -720.051 1532.379 1693.121

80 -2.446 3.315 -1679.674 514.911 1756.826

100 -0.240 4.870 -2162.831 -380.083 2195.973

120 1.397 5.545 -2255.851 -1191.179 2551.033

140 2.746 5.675 -2043.215 -1882.861 2778.469

160 3.934 5.452 -1604.440 -2408.418 2893.908

180 5.000 5.000 -1016.457 -2732.121 2915.076

220 6.674 3.745 314.758 -2710.795 2729.007

240 7.174 3.027 918.888 -2368.192 2540.214



260 7.338 2.228 1392.449 -1821.790 2292.997 280 6.994 1.233 1670.173 -1085.313 1991.829 300 5.752 -0.250 1687.105 -142.607 1693.121 320 2.633 -2.949 1386.777 1134.122 1791.475 340 -4.474 -8.301 881.890 3114.748 3237.188 360 -15.000 -15.000 1127.302 5431.166 5546.924

Tabla 2. Resultados del análisis de velocidad.

Los valores de la gráfica anterior se observan gráficamente a continuación.



Gráfica 5. Velocidad del eslabón 3 para cada posición de la manivela.

Gráfica 6. Velocidad angular del eslabón 4.



Gráfica 7. Esta gráfica muestra la velocidad del punto P en dirección X.

Gráfica 8. Velocidad del punto P en dirección Y.



Gráfica 9. Velocidad absoluta del punto P.

3.3 Análisis de aceleración. A continuación se muestran los cálculos hechos por el algoritmo creado en Matlab.

θ2 α3 α4 APx APy AP

(°) (ra d/s2) (m/s2) 0 -360.288 -168.135 41.044 59.500 72.283

20 177.728 297.184 -11.597 -83.710 84.509

40 262.464 302.202 -64.407 -73.754 97.918

60 176.599 177.597 -52.247 -48.802 71.494

80 113.498 93.328 -30.435 -40.312 50.511

100 79.825 44.727 -11.747 -36.781 38.611

120 62.815 15.564 3.151 -32.633 32.785

140 53.981 -3.063 14.556 -26.464 30.203

160 48.392 -15.255 22.602 -18.445 29.173 180 43.085 -22.917 27.402 -9.237 28.917 180 43.085 -22.917 27.402 -9.237 28.917



200 36.354 -27.292 29.099 0.471 29.103 240 15.095 -32.156 29.099 0.471 29.103

θ2 α3 α4 APx APy AP

(°) (ra d/s2) (m/s2) 260 -2.171 -37.269 27.815 10.105 29.594 280 -29.947 -50.117 23.628 19.225 30.461 300 -83.208 -82.211 16.605 27.619 32.226 320 -200.663 -160.925 6.799 35.741 36.382 340 -421.665 -302.209 -5.801 46.060 46.424 360 -360.288 -168.135 -19.768 66.458 69.336

Tabla 3. Resultados del análisis de aceleración.

Gráfica 10. Aceleración angular del eslabón 3.



Gráfica 11. Aceleración angular del eslabón 4.



Gráfica 12. Aceleración del punto P en dirección X.

Gráfica 13. Aceleración del punto P en dirección Y.



Gráfica 14. Aceleración total del punto P. Además de que se realizó el programa en Matlab para encontrar las variables mostradas anteriormente, también se hizo una simulación en el programa Working Model. El mecanismo que se introdujo es el que se muestra a continuación.



Gráfica 15. Mecanismo realizado en la simulación y trayectoria del punto que se analiza.

En base a al mecanismo mostrado, cuyas dimensiones son las especificadas en el caso de estudio.

Gráfica16. Velocidades del punto P en sus componentes X (azul), Y (anaranjado) y total (verde).



Gráfica 17. Aceleración del punto P (verde) total, así como en componentes X (azul) y Y (anaranjado).

Gráfica 18. Velocidad angular del acoplador (azul) y del seguidor (anaranjado).



Gráfica 19. Aceleraciones angulares del acoplador (azul) y del seguidor (anaranjado).

Conclusiones. Haciendo comparaciones entre las gráficas realizadas en Matlbad y las generadas por Working model, todas son muy similares; en algunos casos, parecen cambiar de tamaño, pero esto es debido a que los ejes coordenados no siguen la misma escala. Lo anterior lo podemos observar mirando la gráfica 4 y la 15, en donde ambas representaciones de la trayectoria del punto P, en donde la gráfica 4 pareciera que está “inflada” respecto a la de la gráfica 15.

Hablando de las velocidades observamos en la gráfica 18, nos dice a simple vista que el acoplador se mueve en el mismo sentido que el seguidor. En las velocidades del punto P de la gráfica 16, se muestran los valores en los que la velocidad en X o en Y es cero, haciendo que converjan la velocidad total con la otra velocidad que no es nula. En el diagrama de aceleraciones se muestran valores en donde convergen la aceleración con alguna otra, cuando la contraria es nula, lo mismo que en las gráficas de velocidad. Ahora, analizando las gráficas de velocidad y aceleración del punto P, 16 y 17 respectivamente, observamos que cuando la velocidad lineal del punto P es positiva, la aceleración lineal es negativa, y viceversa, para alguna de las dos componentes cartesianas. Y bien, de esta manera de concluye el trabajo presente, agregando información adicional en los anexos al final del documento donde se encuentra el código fuente que generó las gráficas en Matlab y las gráficas generadas como imágenes, así como la simulación en Working Model.



Bibliografía.

1. SHIGLEY, Joseph E. y Josephuicker, John Jr. Teoría de máquinas y mecanismos. México, McGraw-Hill, 2001, 613p.

2. NORTON, Robert L. Design of machinery: an introduction to the synthesis and analysis of mechanisms and machines. Second edition. USA, WCB/McGraw-Hill, 1999, 806p.



Anexos. Análisis de aceleración del punto P. Primero debemos encontrar las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4 o acoplador y seguidor. Derivamos 2 veces la ecuación de cierre del circuito (a) respecto del tiempo 1ra derivada.

(1)

Para vida de hacer más sencilla las operaciones siguientes dividimos toda la ecuación (1) entre y aplicamos la fórmula de Euler.

…(2)

Observemos que en la parte real de la ecuación no se involucra a α3, por lo tanto si tomamos solamente la parte real de (2).

…(3) Despejamos de (2).

Para encontrar hacemos algo similar a lo anteriormente mostrado, sólo que para este caso, dividiremos (1) entre y aplicaremos la fórmula de Euler.

…(5)

Separamos la parte real de (5).

…(6)



Despejamos de la ecuación (6)

Con estas expresiones encontramos la aceleración del punto P.

… (8)

Primero encontramos la aceleración tangencial y normal en el punto B.

* Aceleración tangencial de B.

*Aceleración normal de B.

Sumamos las dos aceleraciones normal y tangencial de B para obtener la total

… (12)

Ahora encontraremos la velocidad relativa del punto P respecto de B.

*Encontramos la velocidad tangencial del punto P respecto del B.

)



*Encontramos la velocidad normal del punto P respecto del B.

(

Sumamos las componentes tangenciales y normales para obtener una aceleración total.

De (10) podemos obtener una expresión para la aceleración total del punto P:

… (14)

Así, sustituimos (12) y (13) en (14) y obtendremos la expresión deseada.

…(15) …(16)

Las fórmulas dadas en (15) y (16) contienen sin subíndice y con subíndice. Alfa con subíndice 2 ó 3 es la aceleración angular referente al eslabón del número de su subíndice. Mientras que alfa sin subíndice representa la magnitud del ángulo entre los segmentos y del acoplador del eslabón 3.



Disco de datos.

Se anexa al documento un disco compacto con lo que se utilizó para vida de desarrollar este documento. Dichos elemento se listan a continuación:

• Matlab

o Gráficas o mecanismo_4_barras.m

o mecanismo_4_barras.xlsx

• Working_Model

o aceleraciones_angulares.jpg o aceleraciones_P.jpg o imagen_simulación.jpg o mecanismo_4_barras.m o velocidades_angulares.jpg

o velocidades_P.jpg

• mecanismo-4-barras.docx

• mecanismo_4_barras.xlsx


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