instituto politÉcnico nacional · figura 3.22. diagrama de flujo del procedimiento para resolver...

.

MMééxxiiccoo DD..FF.. JJuunniioo 22001100

IINNSSTTIITTUUTTOO PPOOLLIITTÉÉCCNNIICCOO NNAACCIIOONNAALL EESSCCUUEELLAA SSUUPPEERRIIOORR DDEE IINNGGEENNIIEERRÍÍAA MMEECCÁÁNNIICCAA YY EELLÉÉCCTTRRIICCAA

SSEECCCCIIÓÓNN DDEE EESSTTUUDDIIOOSS DDEE PPOOSSGGRRAADDOO EE IINNVVEESSTTIIGGAACCIIÓÓNN

DISEÑO DE MECANISMOS UTILIZANDO ALGORITMOS GENÉTICOS CON APLICACIÓN EN PRÓTESIS PARA

MIEMBRO INFERIOR

TESIS QUE PARA OBTENER EL GRADO DE:

DOCTOR EN CIENCIAS CON LA ESPECIALIDAD EN

INGENIERÍA MECÁNICA

PPRREESSEENNTTAA::

MM.. EENN CC.. EESSTTHHEERR LLUUGGOO GGOONNZZÁÁLLEEZZ

DDIIRREECCTTOORR:: DDRR.. EEMMMMAANNUUEELL AALLEEJJAANNDDRROO MMEERRCCHHÁÁNN CCRRUUZZ

DDIIRREECCTTOORR:: DDRR.. LLUUIISS HHÉÉCCTTOORR HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ GGÓÓMMEEZZ

Agradecimientos

I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO

Agradecimientos Al:

Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica

Sección de Estudios de Posgrado e Investigación

Consejo Nacional de Ciencia y Tecnología

A mis asesores y amigos Dr. Guillermo Urriolagoita Calderón Dr. Luis Hector Hernández Gómez Dr. Emmanuel A. Merchán Cruz Dr. Guillermo Urriolagoita Sosa

Dr. Alexander Balankin Dr. Samuel Alcántara Montes.

De manera específica, a los apoyos derivados del Programa Institucional de Formación de Investigadores (PIFI), como Becario del programa y tesista en los proyectos:

SIP-20071298 “Análisis y síntesis de un mecanismo antropomórfico sub-actuado para el

desarrollo de una prótesis robótica, diseño y construcción del prototipo”

SIP-20082296 “Caracterización de la dinámica del cuerpo humano mediante un sistema basado en acelerómetros micro-electro-mecánicos (MEMS)”.

En particular, se agradece el apoyo otorgado por medio de los proyectos

SEP/CONACyT:

2005/49701 “Robótica y Microtecnología aplicada en la Ingeniera Biomecánica para el Desarrollo de Prótesis y Equipo con Tecnología Nacional”

2007/1298 “Análisis y síntesis de un mecanismo antropomórfico subactuado para el desarrollo de prótesis robótica, diseño y construcción del prototipo”.

Apoyo para la formación de Doctores en Ciencias en su modalidad a Tesis

Doctoral del CONACYT como becario doctoral con número de registro 204151 y CVU 47822.

ÍNDICE


i

ÍNDICE GENERAL Índice de figuras iiiÍndice de tablas viSimbología viiiObjetivo ixJustificación ixResumen xiAbstract xiiIntroducción xiii

I. Estado del arte. 11.1 Generalidades 21.2 Métodos para la síntesis de mecanismos. 21.3 Técnicas de computación inteligente. 41.3.1 Algoritmos genéticos. 51.3.2 Lógica difusa. 71.3.3 Redes neuronales. 81.4 Optimización en la síntesis de mecanismos. 91.5 Mecanismos utilizados en prótesis para miembro inferior. 101.5.1 Prótesis inteligentes. 141.6 Planteamiento del problema. 191.7 Objetivos del proyecto y organización de la tesis 211.8 Sumario 23

II. Fundamentos teóricos. 252.1 Generalidades. 262.2 Análisis y Síntesis de mecanismo 262.3 Clasificación de mecanismos 282.3.1 Mecanismos Planos 282.3.1.1 Mecanismo plano de 4 barras. 292.3.1.1.1 Grados de libertad 292.3.1.1.2 Ley de Grashof. 302.3.1.1.3 Análisis de posición, velocidad y aceleración 312.3.1.1.4 Espaciamiento de Chebychev 322.3.1.1.5 Síntesis de mecanismos manivela oscilador 332.3.1.1.6 Método de Newton Raphson para la solución de funciones no lineales. 342.3.1.1.7 Síntesis analítica con algebra compleja. 372.3.1.1.8 Centro Instantáneo de Rotación en un mecanismo policéntrico. 412.3.1.2 Implementación de los métodos en la síntesis de un mecanismo de 4 eslabones.

42

2.3.1.3 Mecanismos de seis barras. 442.3.2 Mecanismos espaciales. 452.4 Descripción de Algoritmo Genético. 472.5 Descripción de un sistema lógico difuso. 562.6 Sumario 58 III. Simulación y síntesis de mecanismos. 603.1 Generalidades de la síntesis de mecanismos 613.2 Síntesis de mecanismos con Algoritmos Genéticos. 62

ÍNDICE


ii

3.3 Análisis cinemático de un mecanismo plano para generación de trayectoria 723.3.1 Ejemplo de aplicación, mecanismo de 4 barras. 723.3.1.1 Trayectoria lineal 733.3.1.2 Trayectoria de la marcha. 78 3.3.2 Síntesis de mecanismos de seis barras. 823.3.2.1 Síntesis analítica para un mecanismo tipo Watt-1 823.3.2.2 Síntesis analítica para un mecanismo tipo Stephenson-III. 863.3.2.3 Ejemplos de aplicación, mecanismo tipo Watt-1. 883.3.2.4 Ejemplos de aplicación, mecanismo tipo Stephenson-III. 923.4 Sumario. 96

IV. Optimización de mecanismos. 984.1 Introducción a la optimización. 994.2 Optimización. 1004.3 Ajuste en el rendimiento de los parámetros del AG. 1014.4 Diseño óptimo en la síntesis de mecanismos. 1044.4.1 Optimización del mecanismo de cuatro eslabones. 1054.4.1.1 Trayectoria lineal con optimización de parámetros en el AG. 1064.4.1.2 Trayectoria elíptica con optimización de parámetros en el AG, 18 puntos de precisión

110

4.4.2 Optimización de un mecanismo de seis eslabones. 1134.4.2.1 Configuración tipo Watt-I 1144.4.1 Mecanismo de 6 eslabones para cubrir 18 puntos de precisión 1164.5 Sumario 120

V. Análisis de resultados. 1225.1Prótesis policéntricas 1235.2. Rangos de movimiento de la rodilla 1235.3 Características de mecanismos aplicados a prótesis policéntrica. 125

5.3.1 Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en una prótesis policéntrica 1265.3.2 Línea de carga 1265.4 Mecanismo policéntrico de 4 barras 1285.4.1 Síntesis de mecanismos policéntricos para prótesis de 4 barras de control voluntario.

131

5.5 Mecanismo policéntrico de 6 barras 1325.6 Sumario 135

Conclusiones. 137 Trabajos futuros. 141 Referencias. 142 Anexos. 154 Publicaciones derivadas de este trabajo. 165

.

ÍNDICE


iii

ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1.1. Prótesis de eje simple. El TKO 1500 Ossur 11Figura 1.2. Prótesis de rodilla con mecanismo de 4 barras 12Figura 1.3. Mecanismo de 4 barras cruzado 12Figura 1.4. Mecanismo de 4 barras con 2 barras intermedias y 3 topes 13Figura 1.5. Mecanismo policéntricos de OTTO BOCK 3R60 13Figura 1.6. Centro instantáneo de rotación (CIR) y centro mecánico de rotación (CMR) o el eje anterodistal de la rodilla, con una fuerza de reacción F aplicada al suelo

13

Figura 1.7. Configuraciones de los mecanismos de 6 barras para prótesis de rodilla 14Figura 1.8. Prótesis magnetoreológica Rheo Knee 15Figura 1.9. Prótesis inteligente Plus 15Figura 1.10. OTTO BOCK 3R60 16Figura 1.11. Prótesis policéntrica GEOFLEX 16Figura 1.12. Total Knee® 2000 17Figura 1.13. Prótesis Entegra SV Knee 17Figura 1.14. Rodilla Hidráulica HOSMER 18Figura 1.15. Rodilla de Nylon 802 19Figura 1.16. Prótesis inteligente “da Vinci Award Nominee” 19 Figura 2.1. Partes de un mecanismo de 4 eslabones. 30Figura 2.2. Tres inversiones del cuadrilátero de Grashof 31Figura 2.3. Ejemplo de Espaciamiento de Chebychev de 5 puntos de precisión. 33Figura 2.4. Síntesis de un eslabonamiento de 4 barras 34Figura 2.5. Modelo general del Método de Newton Raphson. 34Figura 2.6. Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en la Síntesis de Mecanismos.

36

Figura 2.7. Mecanismo de cuatro barras. 37Figura 2.8. Centros instantáneos de rotación en un mecanismo de 4 barras. 42Figura 2.9. Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Watt y Tipo Stephenson 44Figura 2.10. Plataforma Stewart 46Figura 2.11. Representación de un cromosoma binario 47Figura 2.12. Diagrama de flujo de un algoritmo genético 48Figura 2.13. Representación de la población. 49Figura 2.14. Selección por ruleta. 52Figura 2.15. Cruzamiento y Mutación. 54 Figura 3.1. Diagrama de flujo para la síntesis de mecanismos con algoritmos genéticos.

64

Figura 3.2. Estructura del cromosoma 65Figura 3.3. Longitud del cromosoma 65Figura 3.4. Población de 1000 individuos generada aleatoriamente 66Figura 3.5. Codificación y decodificación 67Figura 3.6. Decodificación. 67Figura 3.7. Elitismo y herencia forzada 69Figura 3.8. Mecanismo de 4 eslabones siguiendo una trayectoria lineal. 73Figura 3.9 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en síntesis de mecanismo de 4 eslabones

75

Figura 3.10. Diagrama de flujo para síntesis de mecanismo de 4 eslabones trayectoria 76

ÍNDICE


iv

lineal Figura. 3.11. Mecanismo de 4 barras obtenido por números complejos. 76Figura 3.12. Puntos de precisión en la marcha humana 78Figura 3.13. Trayectoria de la rodilla durante la marcha 78Figura 3.14. Estructura del cromosoma mecanismo de 4 eslabones 79Figura 3.15. Procedimiento para la síntesis del mecanismo de 4 eslabones para la trayectoria de la marcha humana

80

Figura 3.16. Seguimiento de trayectoria mecanismo cerrado con Algoritmos Genéticos

81

Figura 3.17. Mecanismo de seis barras tipo Watt-I 84Figura 3.18. Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en síntesis de mecanismo de 6eslabones tipo Watt-1

85

Figura 3.19. Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Stephenson-III 86Figura 3.20. Diagrama de flujo por el método de Newton Raphson para sintetizar un mecanismo de 6 eslabones tipo Stephenson III

88

Figura 3.21. Diagrama de flujo de un algoritmo genético para un mecanismo de 6 barras tipo watt-I

90

Figura 3.22. Diagrama de flujo del procedimiento para resolver un mecanismo de 6 barras tipo watt-I

90

Figura 3.23. Mecanismo de 6 barras tipo Watt-I para seguimiento de trayectoria especifica con Algoritmos Genéticos

91

Figura 3.24. Diagrama de flujo del algoritmo genético para un mecanismos de 6 barras tipo Stephenson III

93

Figura 3.25. Diagrama de flujo del procedimiento de análisis para un mecanismos de 6 barras tipo Stephenson III

93

Figura 3.26. Mecanismo de 6 barras tipo Stephenson-III para seguimiento de trayectoria específica con Algoritmos Genéticos.

94

Figura 4.1. Modificación de parámetros en una trayectoria lineal 107Figura 4.2. Evolución de un mecanismo de 4 eslabones. 109Figura 4.3. Trayectoria elíptica 110Figura 4.4. Modificación de parámetros en una trayectoria elíptica 112Figura 4.5. Ajuste de parámetros para una trayectoria curva 115Figura 4.6. Trayectoria de 20 puntos para un mecanismo de 6 eslabones tipo Watt-1 117Figura 4.7. Ajuste de parámetros para una trayectoria específica 118 Figura 5.1. Movimientos de la rodilla, traslación y rotación 124Figura 5.2 Movimientos de la rodilla 124Figura 5.3 Centro Instantáneo de Rotación (CIR) para distintas configuraciones 126Figura 5.4. Línea de carga y área para centros de la rodilla 127Figura 5.5. Trayectoria del CIR de una rodilla policéntrica d e4 barras 129Figura 5.6. Trayectoria del CIR de una prótesis de control voluntario para una rodilla de 4 barra

129

Figura 5.7. Diagrama de estabilidad para un mecanismo de 4 barras con CIR elevado 130Figura 5.8. Diagrama de estabilidad de un cuadrilátero articulado hiper-estabilizado 130Figura 5.9. Diagrama de estabilidad de prótesis control voluntario 131Figura 5.10. Trayectoria del mecanismo de 4 barras para prótesis policéntrica. 132Figura 5.11. Mecanismo policéntrico simulado por programación. 132Figura 5.12. Mecanismo creado en un programa de Simulación Dinámica 132

ÍNDICE


v

Figura 5.13. Configuraciones de mecanismos de 6 barras tipo Watt para prótesis policéntricas

133

Figura 5.14. Posición de los CIR de la rodilla de la prótesis policéntrica con referencia a la línea de carga a través de la unión de la pantorrilla y el centro de contacto del pie con la tierra en las diferentes fases de la caminata

133

Figura 5.15. Mecanismo tipo Watt para prótesis policéntrica. 134Figura 5.16. Mecanismo tipo Stephenson para prótesis policéntrica 134

ÍNDICE


vi

ÍNDICE DE TABLAS Tabla 1.1. Síntesis de mecanismos más comunes 3 Tabla 2.1. Clasificación de Grashof para mecanismos de 4 barras 31Tabla 2.2. Configuración de mecanismos 40 Tabla 3.1. Variables para mecanismo de 4 eslabones una posición 66Tabla 3.2. Restricciones para mecanismo plano, seguimiento de trayectoria lineal 74Tabla 3.3. Comparación de resultados por método numérico y aproximado 77Tabla 3.4. Restricciones para mecanismo de 4 barras trayectoria de la marcha 79Tabla 3.5. Resultados por distintos métodos de análisis mecanismo de 4 barras para 6 puntos de precisión

81

Tabla 3.6. Resultados del GA en la generación de trayectoria 82Tabla 3.7. Restricciones para un mecanismo de 6 barras. 89Tabla 3.8. Resultados por distintos métodos de análisis a un mecanismo tipo Watt-I para 5 puntos de precisión.

91

Tabla 3.9. Resultados del GA en la generación de trayectoria para mecanismo de 6 barras

92

Tabla 3.10. Resultados por distintos métodos de análisis a un mecanismo tipo Stephenson-III para 5 puntos de precisión

94

Tabla 3.11. Resultados del AG en la generación de trayectoria para un mecanismo tipo Stephenson-III.

95

Tabla 4.1. Parámetros básicos para desarrollar el algoritmo genético para un mecanismo de 4 eslabones.

106

Tabla 4.2. Parámetros de la Figura 4.1 trayectoria lineal 107Tabla 4.3. optimización de parámetros par a un mecanismo de 4 barras trayectoria lineal.

108

Tabla 4.1. Parámetros básicos para desarrollar el algoritmo genético para un mecanismo de 4 eslabones.

106

Tabla 4.2. Parámetros de la Figura 4.1 trayectoria lineal 107Tabla 4.3. optimización de parámetros par a un mecanismo de 4 barras trayectoria lineal.

108

Tabla 4.4. Puntos de precisión de la trayectoria elíptica deseada 110Tabla 4.5. Modificación de parámetros para una figura elíptica generada por un mecanismo de 4 eslabones

112

Tabla 4.6. Parámetros que definen dimensiones y ángulos para una trayectoria elíptica obtenida por varios autores.

113

Tabla4.7. Parámetros para síntesis de un mecanismo de 6 barras 114Tabla 4.8. Ajuste de parámetros mecanismo de 6 barras trayectoria curva 115Tabla 4.9. Comparación de longitudes y ángulos de un mecanismo de 4 eslabones trayectoria de la marcha

116

Tabla 4.10. Restricciones para un mecanismo de 6 barras. 116Tabla 4.11. Ajuste de parámetros mecanismo de 6 barras trayectoria específica. 118 Tabla 5.1. Parámetros para la construcción de una rodilla policéntrica 125Tabla 5.2. Restricciones para la síntesis de un mecanismo policéntrico de 4 131

ÍNDICE


vii

eslabones Tabla 5.3 Restricciones para un mecanismo policéntrico de 6 eslabones 135

SIMBOLOGÍA


viii

SIMBOLOGÍA

AG Algoritmo genético

m Grados de libertad

n Número de eslabones

j1 Número de pares de un solo grado de libertad

j2 Número de pares con dos grados de libertad

s longitud del eslabón más corto

l longitud del eslabón más corto

p longitud del eslabón restante

q longitud del eslabón restante

Posición angular de cualquier eslabón

f Cualquier relación funcional deseada

xj Puntos de precisión

r Eslabones

longcr Longitud del cromosoma

nbits Número de bits

pi Población inicial

w Grado de adaptación para la probabilidad de cruce

Pc Probabilidad de cruce

Pm Probabilidad de mutación idC Conjunto de puntos específicos indicados por el diseñador

Ci Es una serie de posiciones de los acoplamientos

Puntos generados por el acoplador del mecanismo

x0 Puntos de origen en el eje x

y0 Puntos de origen en el eje y

xd Puntos deseados en el eje x

yd Puntos deseados en el eje y

θ2 Ángulo de transmisión

θ n Cada uno de los ángulos utilizados en la programación del AG

CIR Centro instantáneo de rotación


ix

OBJETIVO.

El objetivo general de esta tesis, es desarrollar herramientas de computación evolutiva para la

síntesis de mecanismos policéntricos con aplicación en la biomecánica.

Derivados del objetivo general se plantean los siguientes objeticos específicos:

• Plantear una función objetivo que resuelva un problema de síntesis de optimización de

mecanismos necesarios para evaluar varias cantidades de puntos y trayectorias.

• Probar la viabilidad práctica de la estrategia planteada mediante la implementación de los

algoritmos genéticos capaz de resolver casos prácticos de síntesis.

• Diseñar un mecanismo que cubra las especificaciones impuestas para generar el

movimiento de una rodilla humana.

JUSTIFICACIÓN.

La síntesis de mecanismos es la base para la construcción de cualquier máquina. Sus

aplicaciones son numerosas y cada una de ellas responde a ciertos requisitos concretos y

específicos que hacen que no sea posible crear pautas de diseño generales en las posibles

soluciones para un mismo problema de síntesis de mecanismos, ya que existen diversas

tipologías que pueden cambiar según el caso. Esta falta de homogeneidad ha servido para la

creación de varios métodos para resolver problemas de síntesis, entre los que se encuentran los

métodos de optimización.

La etapa de síntesis dimensional es la más estudiada y existen numerosos métodos de

resolución, sin embargo y pese a que han existido varios planteamientos en los problemas,

ninguno ha sido concluyente porque todos presentan algún tipo de inconveniente. En el caso

de los métodos exactos, se tienen problemas como la exigencia de cumplir con los requisitos,

que pueden ser los puntos de precisión con total exactitud. Sin embargo, esta exigencia no es

tan práctica porque no es posible reproducir exactamente los modelos diseñados debido a

factores como las tolerancias de fabricación, holguras en los pares cinemáticos y

deformaciones de los elementos del mecanismo durante su funcionamiento. El número de

puntos de precisión es limitado y depende del tipo de mecanismo que se utilice.


x

De aquí el surgimiento de los métodos de síntesis aproximados que tiene dos objetivos

principales, dar al planteamiento una orientación hacia la resolución mediante herramientas de

programación y plantear estrategias de búsqueda del óptimo global dentro del espacio de

diseño, también busca una solución que usualmente no es única y el número de requerimientos

de diseño no es una limitación.

Por otro lado, durante años se han diseñado diversas configuraciones de mecanismos como los

de eje simple y eje policéntrico para las prótesis para miembro inferior, pero han sido en su

mayoría para gente con características antropomórficas distintas a las de este país, lo que

motiva a diseñar una prótesis que asemeje los movimientos lo más posible al cuerpo humano y

cubra las necesidades de la población mexicana.

Por dicha problemática, se plantea el desarrollo de una herramienta de optimización basados

en computación inteligente y en la síntesis aproximada para realizar síntesis de mecanismos,

que consuman poco tiempo y empleen algún método numérico para la evaluación de la

función objetivo. En este trabajo se busca una solución adecuada para tener una eficiencia

cinemática en un mecanismo generador de trayectorias cumpliendo con las restricciones

impuestas y variables como la longitud de los eslabones, el ángulo de transmisión y los

ángulos que dan la movilidad al mecanismo para prótesis de miembro inferior, ya que

pequeñas diferencias en las longitudes de los eslabones y en la posición de las articulaciones

que los unen puede generar grandes cambios en el comportamiento cinemático de los

mecanismos.

Sintetizando un mecanismo, el objetivo es controlar el movimiento realizado durante el

balanceo y la fase de reposo para dar un movimiento de cadencia óptimo, además de ofrecer

una mayor estabilidad al caminar a través de un mecanismo policéntrico, el cual posee una

biomecánica de desplazamiento y cadencia de paso distinta de la marcha normal de un

individuo con sus extremidades naturales, pero que se tendrá que mejorar para conseguir la

comodidad y funcionalidad en dicha prótesis.

RESUMEN


xi

RESUMEN

Esta tesis presenta como herramienta principal, para el análisis y la síntesis de mecanismos

planos, la técnica de los algoritmos genéticos, que por sus características, han sido utilizados

como métodos de búsqueda y optimización, en el que basta con encontrar la representación

adecuada para las soluciones y la función principal a optimizar. El objetivo de la investigación

es encontrar las longitudes de los eslabones y la medida de los ángulos para un mecanismo

óptimo con el que se reproduzca el proceso de marcha humana como caso de aplicación, pero

que también se pueda generar cualquier trayectoria específica, indicando solo las restricciones

más significativas.

|

La metodología empleada comprende etapas como la cinemática, el análisis y la síntesis para

diversas configuraciones de mecanismos, mostrando los fundamentos teóricos, el desarrollo

de los algoritmos genéticos, la aplicación de estos en la síntesis y la simulación en algunos

programas especializados para desarrollar dicho fin.

Se presenta el diseño de un mecanismo policéntrico específico para cubrir la trayectoria

generada por el humano en la fase de postura y en la marcha. Para esto se tomó como base la

antropometría de la población mexicana y las características impuestas como las dimensiones

de los eslabones, los ángulos permitidos para el movimiento de los mecanismos y todas las

consideraciones de la marcha.

ABSTRACT


xii

ABSTRACT

This thesis presents such as main tool, for the analysis and the synthesis of planar

mechanisms, the genetic algorithms technique, that by their characteristics, have been used

like methods search and optimization, in which it is enough with finding the adapted

representation for the solutions and the fitness function to optimize. The objective of the

investigation is to find the lengths of the links and the measurement of the angles for an

optimal mechanism with which the process of human march reproduces as case of application,

but that also any trajectory can be generated specific, indicating single the most significant

restrictions.

The used methodology includes stages like the kinematics, the analysis and the synthesis for

diverse configurations of mechanisms, showing the theoretical foundations, the development

of the genetic algorithms, the application of these in the synthesis and the simulation in some

specialized programs to develop this aim.

The design of a specific polycentric mechanism appears to cover the trajectory generated by

the human in the phase with position and the march. For this it was taken as it bases the

anthropometry of the Mexican population and the characteristics imposed like the dimensions

of the links, the angles allowed for the movement of the mechanisms and all the

considerations of the march.

INTRODUCCIÓN


xiii

INTRODUCCIÓN

Se han aplicado varios métodos de optimización a la síntesis de mecanismos planares para la

generación de trayectorias. Algunas de las técnicas usadas fueron difíciles y

computacionalmente costosas de aplicar, pero pese a esta problemática, se ha demostrado con

un gran número de trabajos, que es posible sintetizar un mecanismo policéntrico de varios

eslabones, con acoplamiento cinemático, capaz de emular el movimiento de la rodilla,

teniendo como inconveniente no cubrir completamente las necesidades del usuario.

Este trabajo se enfoca al diseño de algoritmos computacionales, empleando herramientas

evolutivas, para resolver y optimizar la síntesis de mecanismos de cadena cinemática cerrada.

Estas son una combinación de técnicas y estrategias de programación capaz de ser integrados

para obtener la generación de trayectorias de acuerdo a ciertas restricciones que cubrirán

tareas específicas según la rama de la ingeniería en la que sean empleados. Para esta tesis, la

aplicación es enfocada a la robótica, utilizando el análisis cinemático, dinámico y estructural

de mecanismos para generar el movimiento en una prótesis inteligente que reemplazará el

miembro inferior perdido.

Se presenta la metodología empleada para la obtención de mecanismos generadores de

trayectorias con base en sus parámetros y restricciones, la aplicación de métodos numéricos

para la síntesis del mecanismo y la utilización de técnicas como la lógica difusa y las redes

neuronales, en combinación con los algoritmos genéticos, para diseñar nuevas técnicas de

programación y optimización, en donde se establecerá la minimización de una función

objetivo formulada como una expresión de la diferencia entre la trayectoria generada y la

deseada.

La necesidad de utilizar técnicas computacionales surge por la complejidad que se crea en la

síntesis de mecanismos debido al gran número de variables que describen un espacio de

diseño, problemas en las uniones, flexibilidad de los cuerpos, tolerancias y manejo de los

ángulos de transmisión. Las ventajas que ofrecen estas técnicas sobre los métodos clásicos, es

que se pueden corregir y simplificar los inconvenientes antes referidos, resaltando que los

requerimientos de diseño no son tan grandes y que el error mínimo que genere está en función

de ellos.

INTRODUCCIÓN


xiv

Los mecanismos sintetizados serán aplicados al diseño de una prótesis policéntrica, ya que

con base en la revisión del estado del arte, se ha identificado la existencia de problemas que

no permiten que se tenga un movimiento natural en la fase de marcha, esto debido a que solo

se estudia el movimiento en el plano sagital, que presenta un rango de movimiento mucho

mayor que en el resto de los planos, sin considerar que la rodilla tiene 6 grados de libertad que

incluyen movimientos de rotación y traslación. Otro punto importante a resolver es la

localización del centro instantáneo de rotación en extensión completa y en flexión.

Con base en los objetivos obtenidos por la revisión y análisis del estado del arte, este trabajo

se ha organizado de la siguiente manera:

En el Capítulo 1, Estado del Arte, se presentan los métodos para la síntesis de mecanismos

más utilizados durante los últimos años, las principales técnicas de computación inteligente,

entre las que destacan los algoritmos genéticos, la lógica difusa y las redes neuronales.

También se presenta la optimización en la síntesis de mecanismos utilizando estas técnicas

para ser aplicados en las prótesis robóticas inteligentes para miembro inferior, caso de

aplicación de este trabajo. Se describe el planteamiento del problema y los objetivos

propuestos para resolver la problemática existente en fase de marcha utilizando una prótesis.

En el Capitulo 2, Fundamentos Teóricos, se da una introducción a los aspectos teórico-

prácticos, se presentan los fundamentos teóricos para el análisis y la síntesis de mecanismos

indicando métodos numéricos y de optimización, para el caso de estudio se presenta el rango

de movimiento de la rodilla como base para la simulación.

En el Capitulo 3, Simulación y síntesis de mecanismos, se presenta la síntesis y el análisis de

mecanismos planares para generar trayectorias predefinidas de mecanismos de 4 y 6 barras.

Para la síntesis de mecanismos se emplean los algoritmos genéticos como métodos de

optimización y búsqueda para las dimensiones de los eslabones y los ángulos de movimiento.

En el Capítulo 4, Diseño de mecanismos, se presenta el análisis de varias configuraciones de

mecanismos optimizados con algoritmos genéticos y lógica difusa, y la aplicación de estos en

el diseño de una prótesis policéntrica.

INTRODUCCIÓN


xv

En el Capítulo 5, Análisis y discusión de resultados, se presentan los resultados obtenidos al

aplicar algoritmos genéticos a diversas configuraciones de mecanismos aplicados a una

prótesis para miembro inferior.

El aporte científico de este trabajo se ubica en la solución de mecanismos policéntricos de

cadena cerrada por medio de algoritmos genéticos para cualquier número de eslabones,

corrigiendo posibles errores con lógica difusa, además de aplicar esta síntesis a prótesis para

miembro inferior, diseñada específicamente para población mexicana.

Capítulo I


1

ESTADO DEL ARTE

En este capítulo se describe la evolución de la síntesis de mecanismos empleando técnicas de computación inteligente como métodos de optimización. También se presenta una breve descripción de la aplicación de estos en prótesis inteligentes.

Capítulo I


2

1.1 Generalidades.

La síntesis de mecanismos se refiere a la proyección y diseño de estos de acuerdo a

propiedades tales como la estructura cinemática y dinámica para desarrollar una serie de

movimientos predefinidos. Para cubrir las restricciones y necesidades impuestas por el

diseñador, se han desarrollado métodos numéricos y gráficos que han resuelto hasta

cierto punto la problemática de precisión y posición, pero tienen como inconveniente

restringir el número de puntos de posición para permitir la solución por el sistema

matemático, como consecuencia de esto, se han diseñado métodos para resolver la

síntesis de múltiples puntos de precisión y posición, incluyendo propiedades como las

longitudes de los eslabones y los ángulos de transmisión de movimientos. El avance de

estos métodos parte de los gráficos y numéricos, hasta llegar a los de optimización,

como los métodos heurísticos y las técnicas de computación inteligente o flexible, entre

las que se encuentran los algoritmos genéticos, la lógica difusa y las redes neuronales y

que han mejorado la precisión de los resultados, la respuesta de convergencia y el error

que se genera en la función objetivo al obtener la distancia entre la trayectoria generada

y la deseada.

1.2 Métodos para la síntesis de mecanismos.

La síntesis de mecanismos de acuerdo a Ruleaux en 1875 (Gómez-Cristóbal, 2003) es el

proceso de transformación de las exigencias en algunos mecanismos. Ésta abarca

problemas no estructurados de gran complejidad matemática, donde es preciso alcanzar

un cierto grado de equilibrio entre los distintos objetivos, que son por lo general de

naturaleza diversa, llegando a una solución que satisfaga suficientemente las exigencias

de diseño impuestas.

Por las condiciones requeridas en la síntesis de mecanismos, se han desarrollado

métodos gráficos y analíticos (Freudenstein, 1954, Hartenberg & Denavit, 1964) como

la matriz de aproximaciones (Suh & Radcliffe, 1967), los mínimos cuadrados en la

síntesis finita de los mecanismos espaciales de cuatro barras (Levitskii & Shakvazian,

1960) o el modelo matemático y de simulación para la síntesis exacta de mecanismos

(Mallik et al., 1994, Tzong-Mou & Cha'o-Kuang, 2005) que han cubierto hasta cierto

punto las necesidades por las cuales fueron diseñados los mecanismos, pero estos

métodos tienen como inconveniente que restringen el número de puntos de posición

para permitir la solución por el sistema matemático. Como consecuencia de esta

Capítulo I


3

restricción, se han diseñado métodos para resolver la síntesis de múltiples puntos de

precisión y posición (Tabla 1.1), con técnicas como la optimización no lineal, la

optimización de la síntesis con diversos métodos (Sancibrian et al., 2004) y los

algoritmos genéticos (Roston & Sturges, 1996, Michalewicz, 1999, Cabrera et al., 2002,

Laribi et al., 2004, Quintero-R et al., 2004), redes neuronales(Walczak, 2006, Vasiliu &

Yannou, 2001, Starosta, 2006), métodos de Monte Carlo (Kalnas & Kota, 2001) o

método de desviación de control (R.-Bulatovic & S. R. Djordjevic, 2004). La mayor

parte de estos trabajos relacionados con la generación de trayectorias y de posición para

mecanismos de 4 eslabones.

Tabla 1.1. Síntesis de mecanismos más comunes. (Gómez-Cristóbal, 2003).

Tipo de síntesis Definición Gráfica Usa elementos puramente gráficos, está limitada a sistemas

simples, tiende a ser demasiado específico y difícil de usar. De tanteo gráfico Es una síntesis aproximada que se realiza por tanteo con la

ayuda de la superposición de gráficos. Como desventaja tiene que su convergencia es mala en la mayoría de las veces.

Por gráficos de diseño

Se obtiene a través de tablas o nomogramas a través del análisis de otros sistemas del mismo tipo

Analítica Son puramente analíticos, entre los más conocidos están los de Chebychev, el álgebra de números complejos, Grashof, de Bloch

Grafoanalítica Combinación de métodos analíticos y gráficos. Óptima Con base en técnicas de programación matemática, en la que se

trata de optimizar el valor de una función objetivo cuyas variables están sujetas a una determinada restricción.

Heurística Con base en algoritmos que pretenden alcanzar valores satisfactorios para una función objetivo.

Conceptual En una temprana fase de diseño establece el tipo de solución correspondiente a un problema en concreto a partir de un método sistemático de generación de conceptos

En (Dai & Kerr, 1991) se desarrolla una estrategia para minimizar los movimientos de

los centro instantáneos aplicados a los mecanismos de 6 barras de tipo Watt. Mc Largan

investigó un proceso analítico iterativo para la síntesis de mecanismos teniendo uniones

giratorias, para la generación de funciones (McLarnan, 1963). Dingrha y Mani

desarrollaron estrategias computacionales para resolver la función de precisión de

posición, trayectoria y generación de movimientos para mecanismos de 6 barras

(Dhingra & Mani, 1993). Subbían y Flugard investigaron el método de la síntesis de la

Capítulo I


4

triada de 5 puntos para la generación de funciones de mecanismos de 6 barras (Subbian

& Flugrad Jr, 1993).

1.3 Técnicas de Computación Inteligente.

La computación inteligente tiene su origen en la teoría de la inteligencia artificial, esta

engloba un conjunto de técnicas que tienen en común la robustez en el manejo de

información imprecisa e incierta. En algunos casos estas técnicas pueden ser

combinadas para aprovechar sus ventajas individuales, entre estas se encuentran la

lógica difusa, las redes neuronales y los algoritmos genéticos.

En la década de los noventa aparecieron varios métodos de búsqueda como los

Algoritmos de Metrópoli, Templado Simulado (Simulated Annealing SA), Búsqueda

Tabú (TS), Colonia de Hormigas (ACO) y GRASP, Algoritmos Genéticos (AG), que se

describen en base al trabajo de (Hincapié-Isaza et al., 2004) como sigue:

• Algoritmo de Metrópolis.- Genera una secuencia de estados de un sólido, o sea,

dado un sólido en un estado i con energía Ei, se genera el estado siguiente j

mediante la aplicación de un mecanismo que transforma al estado siguiente a

través de un pequeño disturbio. La energía del próximo estado es Ej; si la

diferencia de energía (Ej - Ei) es menor o igual a cero, el estado j es aceptado.

Si ocurre lo contrario, el estado j se acepta con cierta probabilidad.

• Templado simulado.- La metodología de Templado simulado ( Simulated

Annealing SA ), fue definida al inicio de los años 80, como una nueva

herramienta para ser empleada en la solución de problemas combinatoriales de

gran complejidad. Surgió del campo de la termodinámica como consecuencia de

la comparación de los problemas formulados en este campo con los de la

investigación de operaciones. Es una metodología simple y de gran

potencialidad para ser aplicada a una gran variedad de problemas.

• Colonia de hormigas.- En este método, las actividades de búsqueda son

distribuidas entre “hormigas”, esto es, agentes con capacidades simples, que

son similares al comportamiento de las hormigas verdaderas. Uno de los

problemas estudiados por los entomólogos es el de entender cómo unos insectos

Capítulo I


5

casi ciegos como las hormigas pueden establecer las rutas más cortas entre el

nido y una fuente de comida y viceversa.

• Búsqueda TABÚ (TS).- Es un procedimiento metaheurístico utilizado para

manejar un algoritmo heurístico de búsqueda local y así evitar que el proceso se

detenga en un óptimo local. Por lo tanto, TS realiza una exploración a través del

espacio de configuraciones delimitando adecuadamente los óptimos locales.

Para evitar que el proceso regrese a los óptimos locales y entre en un ciclo

repetitivo, la búsqueda tabú clasifica los movimientos más recientes como

“movimientos tabú”; estos prohíben que una configuración sea visitada

nuevamente.

• GRASP.- Es una evolución de los algoritmos heurísticos constructivos,

especialmente de aquellos que usan indicadores de sensibilidad. Con estos

indicadores se calcula la variación de la función objetivo con respecto a las

variables de interés del problema de optimización, y se usan para identificar los

tributos atractivos de tal problema. Emplea una propuesta intermedia entre

Simulated Annealing y Búsqueda Tabú para realizar la fase de exploración y ha

mostrado ser eficiente en la solución de problemas complejos de optimización.

• Algoritmos Genéticos.- Son herramientas matemáticas que imitan a la

naturaleza e intentan resolver problemas complejos empleando el concepto de la

evolución. El algoritmo ejecuta una búsqueda simultánea en diferentes regiones

del espacio factible, realiza una intensificación sobre algunas de ellas y explora

otros subespacios a través de un intercambio de información entre

configuraciones.

1.3.1 Algoritmos genéticos.

El término de algoritmo genético (AG) fue introducido por John Holland y sus

estudiantes (Holland, 1975), e implementado por (Goldberg, 1989), quién menciona que

los AG son diferentes métodos tradicionales de optimización por 6 cosas:

1. Trabajan con la codificación de un conjunto de parámetros, y no con los

parámetros mismos.

Capítulo I


6

2. Trabajan con una población de puntos, no un simple punto.

3. Utilizan una función objetivo.

4. Usan reglas de transición probabilística, no deterministicos.

5. No necesitan conocimientos específicos sobre el problema a resolver.

6. Cuando se usan para problemas de optimización resultan menos afectados por

los máximos locales

Los AG usan una población en la que los miembros son creados aleatoriamente, el

individuo de la población tiene que desarrollarse buscando ser de los mejores

individuos, y esto se hace a través de una selección natural, reproducción, mutación y

otros operadores genéticos (Goldberg, 1989):

• Reproducción: Un individuo es copiado de acuerdo al valor de la función

objetivo, de tal forma que los individuos de mejor comportamiento o

funcionamiento tienen mayor probabilidad de pertenecer a la siguiente

generación.

• Cruzamiento: Algunos genes de un individuo de la nueva población son

intercambiados con el gen de otro, generalmente con el más fuerte. La

reciprocidad es aleatoria y el porcentaje de los genes intercambiados puede ser

un proceso aleatorio o fijo.

• Mutación: Es la variación del valor de los genes de forma aleatoria.

Generalmente se define una operación entre [-valor, valor] para cada gen con

una distribución normal y de media igual a cero.

Este tipo de algoritmos genéticos simples se caracteriza por tener un tamaño de

población fijo en todas las generaciones, una selección proporcional, mutación uniforme

y selección no elitista.

Dado que un AG actúa como un método de búsqueda multidireccional sobre una

población de posibles soluciones en cada generación las soluciones relativamente

buenas que cubren las necesidades de la función objetivo se reproducen y las

relativamente malas mueren. Para distinguir las posibles soluciones se emplea una

función evaluadora llamada función de ajuste o función de aptitud y en el campo de la

Capítulo I


7

optimización funcional, es la función objetivo del problema en cuestión; es decir, la

función a optimizar (Iglesias-Otero, 2005).

El algoritmo finaliza cuando se ha ejecutado un número determinado de iteraciones

prefijado de antemano, cuando se ha encontrado el valor óptimo o bien cuando se ha

obtenido en la población un nivel de aptitud medio superior a un cierto nivel de control

(Buckles et al., 1992).

Existen una serie de puntos comunes a todos los algoritmos genéticos que los

caracterizan (Iglesias-Otero, 2005):

• La existencia de una representación genética de las posibles soluciones del

problema.

• La creación de una población inicial de posibles soluciones.

• El uso de una función evaluadora que es la encargada de medir la “bondad” de

las soluciones en términos de su adaptación al medio y permite seleccionar a los

mejores individuos.

• El empleo de operadores genéticos, que alteran la composición de los

descendientes durante la reproducción, mediante cruces, mutaciones o

inversiones.

• La existencia de diversos parámetros como son el tamaño de la población o la

probabilidad de aplicar los operadores genéticos. 1.3.2 Lógica difusa. Fue Propuesto por Zadeh (1965) y utilizado por primera vez por Mamdani (1974), la

lógica difusa es una extensión de la lógica booleana que permite el proceso "de la

información vaga" o incierta (Merchán-Cruz, 2005). Los sistemas lógicos difusos son

sistemas basados en reglas que son expresadas como implicaciones lógicas, estas

reflejan la relación que guarda un hecho derivado de otro. Una lógica consta de lo

siguiente(Russell & Norving, 1996):

• Un sistema para describir lo que está sucediendo en un momento determinado y que

consta de:

• La sintaxis del lenguaje que explica cómo construir oraciones.

Capítulo I


8

• La semántica del lenguaje a través de la cual cada oración expresa algo relacionado

con el mundo

• Una teoría de demostración que agrupe un conjunto de reglas para deducir las

implicaciones de un conjunto de oraciones y que especifique los pasos de

razonamiento.

Los sistemas lógicos difusos están en capacidad de simultáneamente manejar

información numérica y conocimiento lingüístico para efectuar una transformación no

lineal del vector de entrada (características) a una salida escalar (consecuencias). Las

especificaciones de la transformación no lineal las establece la teoría de subconjuntos

difusos y la lógica difusas(Mendel, 1995).

1.3.3 Redes neuronales. Las redes neuronales artificiales (RNA) son la implementación en hardware y/o

software de modelos matemáticos idealizados de las neuronas biológicas, estas son

interconectadas unas a otras y son distribuidas en capas de tal forma que emulan en

forma simple la estructura neuronal del cerebro. Cada modelo de neuronas es capaz de

realizar algún tipo de procesamiento a partir de estímulos de entrada y ofrecer una

respuesta por lo que las RNA en conjunto funcionan como redes de computación

paralelas y distribuidas similares a los sistemas cerebrales biológicos (Del Río &

Molina, 2002).

En términos generales una red neuronal es un procesador masivo, distribuido

paralelamente, constituido de unidades de procesamiento, las cuales tiene la capacidad

para almacenar conocimiento experimental y tenerlo disponible para su uso. Esta emula

al cerebro en los siguientes aspectos:

• El conocimiento es adquirido por la red desde su entorno a través de un

proceso de aprendizaje.

• Los pesos de las conexiones entre las neuronas, llamados pesos sinápticos,

son usados y modificados para almacenar conocimiento.

El poder de las redes neuronales radica básicamente en la capacidad de su estructura

para el procesamiento en paralelo (procesamiento de datos en masa) y al mismo tiempo,

Capítulo I


9

en la habilidad de aprender y generalizar. Esto se refiere a que la red neuronal es capaz

de generalizar reglas aprendidas de los casos en los que ha sido entrenada y

posteriormente aplicarlas a casos no aprendidos. Estas habilidades permiten a las redes

neuronales artificiales resolver problemas complejos de gran escala que actualmente

son inatacables (Bautista-Camino, 2008).

Las aplicaciones más exitosas en la actualidad de las RNA son:

• Procesamiento de imágenes y voz.

• Reconocimiento de patrones.

• Planeación y estrategia.

• Predicción.

• Control y optimización.

• Procesamiento de señales.

Para la síntesis de mecanismos las redes neuronales se emplean como herramienta de

control que consisten en un conjunto estados de condición lingüística que se deriva de

operadores humanos y los cuales representan un conocimiento experto sobre el sistema

a ser controlado u optimizado.

1.4 Optimización en la síntesis de mecanismos

La síntesis de mecanismos con algoritmos genéticos se ha presentado en trabajos de

(Roston & Sturges, 1996), en los que se presentan técnicas numéricas para la síntesis de

mecanismos de 4 barras empleando algoritmos genéticos como método de búsqueda, en

donde estos sirvieron para eliminar las limitaciones para tener una exactitud en los

puntos de precisión delimitados por el diseñador. En (Kunjur & Krishnamurty, 1997) se

muestra una técnica en la que los algoritmos genéticos se utilizan para hacer una síntesis

dimensional de mecanismos, con esta, se obtuvo una reducción de tiempo

computacional y derivaciones de las ecuaciones obligatorias de la función objetivo.

(Cabrera et al., 2002) diseño un procedimiento en el cuál se aplican los AG como

técnicas evolutivas aplicadas a una función objetivo específica. Utilizaba números

reales, y en la función objetivo, modificó el uso de un factor de corrección y operadores

genéticos especiales para acelerar el proceso y mejorar la exactitud de la solución final.

En (Pucheta & Cardona, 2003) se desarrolló una herramienta computacional aplicada a

Capítulo I


10

la metodología de síntesis de tipo y dimensional de mecanismos partiendo de partes

descritas por el usuario.

(Quintero-R et al., 2004) presentó un procedimiento para realizar la síntesis de un

mecanismo que siguiera una trayectoria predeterminada para múltiples puntos de

precisión, encontrando la aplicación para mecanismos de 4 y 6 barras. Por otro lado

(Laribi et al., 2004) diseñó una combinación de un algoritmo genético con un

controlador de lógica difusa. Este controlador tenía como principal función el

monitorear la variación de las variables de diseño durante el primer corrimiento de los

AG y modificar el límite inicial de los intervalos al iniciar el segundo corrimiento. Una

aproximación usando redes neuronales para la síntesis de mecanismos es la desarrollada

por (Vasiliu & Yannou, 2001, Walczak, 2006, Starosta, 2006), quienes utilizaron 9

variables para la síntesis de un mecanismos de 4 barras y entrenaron a la red neuronal

por medio de 3 etapas, en donde la primera consiste en la generación de un número

enorme de valores aleatorios propuestos para la simulaciones cinemáticas y obtener

valores al azar de las dimensiones y generar un proceso de aprendizaje de la red. En la

segunda etapa, la red obtuvo una solución aproximada del problema de la síntesis, que

es una interpolación de casos cercanos. Obteniendo con esto una buena calidad de las

soluciones sintetizadas, para un tamaño minúsculo de la red cuyas soluciones se pueden

utilizar como resultados iniciales para una optimización dimensional convencional.

1.5 Mecanismos utilizados en prótesis para miembro inferior.

Desde que se diseñaron las prótesis se han manejado dos tipos de mecanismos, las de un

solo eje y las policéntricas. En las de un solo eje de rotación se encuentran las de bisagra

sencilla, que son la opción más económica, duradera y ligera. Como limitaciones

presentan poca estabilidad mecánica no es posible tener buena postura, aquí debe

hacerse uso de la fuerza muscular para mantenerla lo más estable posible. Normalmente

se le agrega un control de fricción constante y un bloqueo manual, ya que la fricción no

permite que la pierna avance con rapidez al dar el siguiente paso. Se han utilizado desde

1970, pero los problemas con este diseño fueron: infección, aflojamiento, detritus

metálicos, rotura de vástagos femorales o tibiales, volumen excesivo de los implantes o

descementación, teniendo malos resultados del 80% a los 10 años de seguimiento (San

Juan-Cerveró et al., 2005). Las prótesis de un solo centro, o tipo bisagra (Fig.1.1) se

reemplazaron principalmente por el aflojamiento aséptico, debido a la falta de rotación

Capítulo I


11

de estas. Para resolver los problemas mencionados anteriormente se desarrollaron las

rodillas policéntricas.

Fig.1.1. Prótesis de eje simple. El TKO 1500 Ossur (Dupes, 2004).

Las rodillas policéntricas poseen un centro de rotación que varía con el ángulo de

flexión de la rodilla (Oberg & Kamwendo, 1988). Pueden ser mecanismos de cuatro o

seis barras principalmente (Fig. 1.2). Son muy estables durante la fase de apoyo, al

momento de flexionar o al sentarse. Son ideales para los amputados que no pueden

andar de forma segura con otro tipo de rodillas, para los que tienen una desarticulación

de la rodilla, amputación bilateral o para los que tienen muñones largos. Como

limitaciones tiene que la amplitud de rodilla puede quedar limitada a un cierto grado.

El tipo de prótesis que emplea estos mecanismos cuenta con dos ventajas: mayor

estabilidad en la fase de postura (Radcliffe, 1970, Radcliffe, 1977, Radcliffe, 1994) y

flexión de rodilla(Greene, 1983, Oberg & Kamwendo, 1988, Blumentritt & Werner-

Scherer, 1997). Sin embargo, como desventaja tiene que el rango de movimiento sobre

la rodilla puede ser restringido a algunos grados, también el incremento en el peso

debido al mayor número de piezas y el mantenimiento de la misma, que es mayor si se

compara con un mecanismo de una barra.

En(Rovetta et al., 2001), los ligamentos cruzados son sustituidos por cuatro barras

(Fig.1.3) que están dirigidas a dos estructuras que simulan el fémur y la tibia. Este

mecanismo que sustituye a la rodilla consiste en un sistema articulado con un

cuadrilátero cruzado.

Capítulo I


12

Fig.1.2. Prótesis de rodilla con mecanismo de 4 barras (Gard et al., 1996).

Fig.1.3 Mecanismo de 4 barras cruzado(Rovetta et al., 2001).

Los proyectos de (Kazutoshi et al., 2004) presentan un mecanismo de 4 barras, con un

par de éstas intermedias, e incluye microprocesadores, sensores, cilindros neumáticos e

hidráulicos, como principales componentes para el control de la prótesis, que ayudan a

examinar los parámetros biomecánicos de su prototipo, tales como la duración de la

postura, el ángulo máximo de la flexión de la rodilla en postura y la oscilación, el

ángulo máximo de la flexión de la cadera y de los momentos máximos de la extensión

de la cadera, que permiten mantener a la rodilla en una posición cerrada y prevén que la

rodilla se colapse (Fig. 1.4).

En (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997) se analiza la prótesis OTTO BOCK 3R60®,

que es una rodilla policéntrica de cinco barras, con dos grados de libertad. Tiene dos

centros mecánicos de rotación: el centro instantáneo de rotación (ICR), que se presenta

durante fase de oscilación, y el eje anterodistal, que es el centro de la fase de la postura

en la rotación (Fig. 1.5 y 1.6).

Capítulo I


13

Fig.1.4 Mecanismo de 4 barras con 2 barras intermedias y 3 topes (Kazutoshi et al., 2004).

Fig.1.5. Mecanismo policéntricos de OTTO BOCK 3R60 (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997).

Fig.1.6. Centro instantáneo de rotación (CIR) y centro mecánico de rotación (CMR) o el eje anterodistal

de la rodilla, con una fuerza de reacción F aplicada al suelo (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997).

Por otro lado los mecanismos de 6 barras (Fig. 1.7) también han sido utilizado en

uniones de rodillas, como la “Total Knee” y “3R60 Knee” fabricadas por Otto Bock

Company®(Patil & Chakraborty, 1991, Van de Veen, 1994). Chakraborty diseñó un

mecanismo pierna-rodilla de 6 barras para ofrecer un movimiento de coordinación entre

la unión de pierna rodilla durante la fase de avance y postura.

Capítulo I


14

Fig.1.7. Configuraciones de los mecanismos de 6 barras para prótesis de rodilla. (Dewen et al., 2003).

1.5.1 Prótesis inteligentes.

Actualmente en el mercado existen varios diseños de prótesis inteligentes, siendo de las

más representativas en cuanto al diseño y fabricación de estas, de las empresas

Endolite's®, Intelligent Plus®, Otto Bock's C-Leg®, Ossur® y Seattle's Power Knee ®

entre otras.

Ossur® (Ossur, 1991) diseñó una de las prótesis comerciales de tipo magnetoreológicas

en 1991, la Rheo Knee (Fig.1.8). Ésta se creó en colaboración con el laboratorio del

Instituto de Tecnología de Massachussets (MIT). Utilizaba actuadores

magnetoreológicos (MR), además de una dinámica para aprender los movimientos del

humano a través de matrices de algoritmos (DLMA). Su función principal era dominar

los movimientos realizados durante el balanceo y la fase de reposo. Los ajustaba en la

prótesis para dar un movimiento de cadencia óptimo, además de mayor estabilidad al

caminar.

(Zahedi, 1993) menciona que las primeras prótesis inteligentes fueron las “Prótesis

Plus”, Fig. (1.9), fabricadas por Chas A. Blatchford en 1993. Éstas contaban con un

microprocesador que controlaba localmente los mecanismos. Se creó con el objetivo de

disminuir el esfuerzo realizado por el paciente al realizar cualquier actividad como

caminar, correr, saltar, etc. y tenía la ventaja de que no se limitaba a una sola velocidad

al caminar. Cuando ésta detectaba que había un cambio de velocidad, el pistón

neumático se ajustaba para controlar la rodilla, permitiendo a la pierna un movimiento

más libre al caminar.

Capítulo I


15

Fig.1.8. Prótesis magnetoreológica Rheo Knee (Ossur, 1991).

Fig.1.9. Prótesis inteligente Plus (Zahedi, 1993).

En las publicaciones de (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997) se describe el diseño de

una prótesis inteligente creada en 1994. Ésta se llamó Otto Bock 3R60 (Fig.1.10), y

poseía estabilidad mecánica por el movimiento de los centros instantáneos de rotación.

Se consideró como una rodilla policéntrica de 5 barras con 2 grados de libertad, con dos

centros mecánicos de rotación. Se inventó para incrementar la estabilidad en la flexión

de la rodilla en la fase de postura previa (o inicio de la marcha), ya que permitía que la

persona caminara con un movimiento cinemático más normal.

Para 1999 se había creado la prótesis “GEOFLEX” (Fig.1.11), por Motion Technology

for Life™(White, 1999), con base en mecanismos policéntricos, su control era por

fricción. Su objetivo era evitar que algún tropiezo provocara una caída.

Capítulo I


16

Fig.1.10. OTTO BOCK 3R60 (Blumentritt & Werner-Scherer, 1997)

Fig.1.11. Prótesis policéntrica GEOFLEX (White, 1999)

Otro modelo creado en este año fue el “C-LEG” (Michael, 1999) en el que el uso de

microprocesadores combinados con cilindros hidráulicos, marcaron grandes avances

tecnológicos. También se agregaron sensores para adquirir datos como peso, cargas

verticales, movimientos en el plano sagital y movimientos en las uniones de la rodilla;

logrando así mejor control en la etapa de marcha. En el 2000 se creó la rodilla

policéntrica “Total Knee 2000” (Fig.1.12), de Ossur ® (Dupes, 2004), que tenía un

diseño de 7 ejes para un mejor movimiento; se componía de cojinetes de aguja, anillos

de retención, sistema de bloqueo geométrico, sistema hidráulico de 3 fases para cambios

de velocidad suave y flexión de apoyo. Para el 2002 Fillauer-Hosmer (Wiest, 2002)

ofrecía muchas rodillas de eje sencillo con diferentes características, incluyendo ajustes

de fricción y de estabilización, frenos activados mediante peso y ajustes por desgaste

(Fig.1.13).

Capítulo I


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Fig.1.12. Total Knee® 2000 (Dupes, 2004).

Fig.1.13. Prótesis Entegra SV Knee (Wiest, 2002).

En este mismo año, el Grupo de la Compañía Otto Bock® mejoró su articulación de

rodilla modular de eje sencillo “3R80”, que se controlaba mediante fluido y era activada

por peso, presentando más estabilidad en el apoyo. Por otra parte Jim Smith Sales, Inc.,

ofrecía la “Ultimate”, una rodilla hidráulica activada por peso que era ligera y durable, y

con mínimo entrenamiento, una persona amputada podía utilizarla como una de bloqueo

manual o una rodilla que cede a la fase de soporte. También en este contexto Blatchford

Endolite ® mostraba la unidad “Stance Flex ESK” de 4 barras, que tenía como

característica principal un alineamiento central con fricción para seguridad adicional

(Wiest, 2002). Ésta controlaba la fase de apoyo con una opción de bloqueo manual;

contaba con mecanismos activados por peso y una amplia variedad de opciones para el

control de la fase de oscilación.

Capítulo I


18

Ossur® tenía la “TKO 1500”, una rodilla que permitía al usuario iniciar la flexión

mientras el pie estaba todavía sobre el terreno. Estos diseños se apoyaban en un diseño

geométrico, con un sistema de bloqueo, que simulaba el movimiento de éstas y tenía

una variedad de características para diferentes actividades y niveles de movilidad,

incluyendo una característica de posición en flexión. Posteriormente Lord Corp® (Corp,

2003) creó una rodilla policéntrica que podía girar casi en cualquier dirección

(Fig.1.14). Ésta supone la emulación natural de la pierna, también puede trabajar bien

con personas con amputaciones transfemorales o por encima de la rodilla. El sistema

hidráulico con el que cuenta este diseño es ajustable, para cuando las partes bajas de la

pierna se adelantan.

En el 2006, se diseñó la prótesis “802 Nylon Knee” (Aulie Devices, 2006) que usaba

una combinación de cilindros con mecanismos de tipo sujeción para el manejo de la

extensión y flexión de la pierna, así como un control de fricción (Fig.1.15).

Otro diseño de prótesis creado en este año fue el “da Vinci Award Nominee” (Fig.1.16),

por C-Leg® (Pahl & Sedlmeier, 2006), que tenía un control remoto para los cambios de

velocidad si se querían dar al momento de caminar o hasta correr, también podía

manipularse el momento de oscilación al empezar a dar el paso. Ésta manejaba sistemas

hidráulicos controlados electrónicamente. Los materiales de construcción eran aluminio

y carbón, haciéndola más ligera. Al microprocesador que gobierna la prótesis le llegan

las señales de todos los sensores utilizados para el control de velocidad, posición,

esfuerzos, etc.

Fig.1.14. Rodilla Hidráulica HOSMER (Corp, 2003).

Capítulo I


19

Fig.1.15. Rodilla de Nylon 802 (Aulie Devices, 2006).

Fig.1.16. Prótesis inteligente “da Vinci Award Nominee” (Pahl & Sedlmeier, 2006).

Actualmente, en el ámbito nacional, se tienen propuestas de prótesis para miembro

inferior, como las desarrolladas por alumnos de la Unidad Profesional Interdisciplinaria

de Ingeniería y Tecnología Avanzada (UPIITA): “Construcción de un Mecanismo de

Rodilla tipo Policéntrica para personas con Amputación Femoral” (Moreno-Romero,

2003) y “Prótesis de rodilla con pistón magnetoreológico” (Alonso-Areguin, 2005),

entre otras; también hay diseños de prótesis para miembro superior, como el reportado

en “Caracterización cinemática e implementación de una mano robótica

multiarticulada“ (Velázquez-Sánchez, 2008). En la Universidad Autónoma de México

se han desarrollado trabajos como “Prótesis Inteligentes” (Dorador-González, 2005) y

“Diseño de un socket ajustable para prótesis de miembro inferior” (Farah-Simón et al.,

2006).

1.6 Planteamiento del problema.

La síntesis de mecanismos es la base para la construcción de cualquier máquina. Sus

aplicaciones son numerosas y cada una de ellas responde a ciertos requisitos concretos y

específicos que hacen que no sea posible crear pautas de diseño generales en las

posibles soluciones para un mismo problema de síntesis de mecanismos, ya que existen

Capítulo I


20

diversas tipologías que pueden cambiar según el caso. Esta falta de homogeneidad ha

servido para la creación de varios métodos para resolver problemas de síntesis, entre los

que se encuentran los métodos de optimización.

La etapa de síntesis dimensional es la más estudiada y existen numerosos métodos de

resolución, sin embargo y pese a que han existido varios planteamientos en los

problemas, ninguno ha sido concluyente porque todos presentan algún tipo de

inconveniente. En el caso de los métodos exactos, se tienen problemas como la

exigencia de cumplir con los requisitos, que pueden ser los puntos de precisión con total

exactitud. Sin embargo, esta exigencia no es tan práctica porque no es posible

reproducir exactamente los modelos diseñados debido a factores como las tolerancias de

fabricación, holguras en los pares cinemáticos y deformaciones de los elementos del

mecanismo durante su funcionamiento. El número de puntos de precisión es limitado y

depende del tipo de mecanismo que se utilice.

De aquí el surgimiento de los métodos de síntesis aproximados que tiene dos objetivos

principales: dar al planteamiento una orientación hacia la resolución mediante

herramientas de programación y plantear estrategias de búsqueda del óptimo global

dentro del espacio de diseño, también busca una solución que usualmente no es única y

el número de requerimientos de diseño no es una limitación.

Por otro lado, durante años se han diseñado diversas configuraciones de mecanismos

como los de eje simple y eje policéntrico para las prótesis para miembro inferior, pero

han sido en su mayoría para gente con características antropomórficas distintas a las de

este país, lo que motiva a diseñar una prótesis que asemeje los movimientos lo más

posible al cuerpo humano y cubra las necesidades de la población mexicana.

Por dicha problemática, se plantea el desarrollo de una herramienta de optimización

basada en computación inteligente y en la síntesis aproximada de mecanismos,

buscando consumir poco tiempo de cómputo y desarrollar la función objetivo óptima.

En este trabajo se busca una solución adecuada para tener una eficiencia cinemática en

un mecanismo generador de trayectorias cumpliendo con las restricciones impuestas y

variables como la longitud de los eslabones, el ángulo de transmisión y los ángulos que

dan la movilidad al mecanismo para prótesis de miembro inferior, ya que pequeñas

Capítulo I


21

diferencias en las longitudes de los eslabones y en la posición de las articulaciones que

los unen puede generar grandes cambios en el comportamiento cinemático de los

mecanismos.

Sintetizando un mecanismo, el objetivo es controlar el movimiento realizado durante el

balanceo y la fase de reposo para dar un movimiento de cadencia óptimo, además de

ofrecer una mayor estabilidad al caminar a través de un mecanismo policéntrico, el cual

posee una biomecánica de desplazamiento y cadencia de paso distinta de la marcha

normal de un individuo con sus extremidades naturales, pero que se tendrá que mejorar

para conseguir la comodidad y funcionalidad en dicha prótesis.

Este trabajo en conjunto con estudiantes de licenciatura, maestría y doctorado

participantes del proyecto CONACYT, proyecto 2005/49701 “Robótica y

Microtecnología aplicada en la Ingeniera Biomecánica para el Desarrollo de Prótesis y

Equipo con Tecnología Nacional” y los proyectos “Análisis y síntesis de un mecanismo

antropomórfico subactuado para el desarrollo de prótesis robótica, diseño y

construcción del prototipo” con número de registro 20071298 y “Caracterización de la

dinámica del cuerpo humano mediante un sistema basado en acelerómetros micro-

electro-mecánicos (MEMS)” con número de registro SIP20082296 , proyectos PIFI del

IPN, se creará una prótesis inteligente para miembro inferior, que tiene como principal

objetivo cubrir necesidades como flexión, extensión, control en el balance, y

seguimiento de trayectorias predefinidas por el movimiento natural de la pierna. El

diseño está dirigido para que sea fabricado con materiales de buena calidad y de más

fácil acceso en el mercado nacional, sencillo uso del dispositivo y sobre todo viable

económicamente, lo que permite considerar el impacto que habrá en la reducción de

costos al fabricar prótesis ortopédicas con tecnología nacional.

1.7 Objetivos del proyecto y organización de la tesis.

El objetivo general de esta tesis, es desarrollar herramientas de computación evolutiva

para la síntesis de mecanismos policéntricos con aplicación en la biomecánica.

Derivados del objetivo general y el análisis del estado del arte, se plantean los siguientes

objeticos específicos:

Capítulo I


22

• Plantear una función objetivo que resuelva un problema de síntesis de optimización

de mecanismos necesarios para evaluar varias cantidades de puntos y trayectorias.

• Diseñar un mecanismo que cubra las especificaciones impuestas para generar el

movimiento de una rodilla humana.

• Probar la viabilidad práctica de la estrategia planteada mediante la implementación

de los algoritmos genéticos capaz de resolver casos prácticos de síntesis.

Con base en los objetivos planteados, este trabajo se ha organizado de la siguiente

manera:

En el Capítulo 1, Estado del Arte, se presentan los métodos para la síntesis de

mecanismos más utilizados durante los últimos años, las principales técnicas de

computación inteligente, entre las que destacan los algoritmos genéticos, la lógica

difusa y las redes neuronales. También se presenta la optimización en la síntesis de

mecanismos utilizando estas técnicas para ser aplicados en las prótesis robóticas

inteligentes para miembro inferior, caso de aplicación de este trabajo. Se describe el

planteamiento del problema y los objetivos propuestos para resolver la problemática

existente en fase de marcha utilizando una prótesis.

En el Capitulo 2, Fundamentos Teóricos, se da una introducción a los aspectos teórico-

prácticos, se presentan los fundamentos teóricos para el análisis y la síntesis de

mecanismos indicando métodos numéricos y de optimización, para el caso de estudio se

presenta el rango de movimiento de la rodilla como base para la simulación.

En el Capitulo 3, Simulación y síntesis de mecanismos, se presenta la síntesis y el

análisis de mecanismos planares para generar trayectorias predefinidas de mecanismos

de 4 y 6 barras. Para la síntesis de mecanismos se emplean los algoritmos genéticos

como métodos de optimización y búsqueda para las dimensiones de los eslabones y los

ángulos de movimiento.

En el Capítulo 4, Diseño de mecanismos, se presenta el análisis de varias

configuraciones de mecanismos optimizados con algoritmos genéticos, y la aplicación

de estos en el diseño de una prótesis policéntrica.

Capítulo I


23

En el Capítulo 5, Análisis y discusión de resultados, se presentan los resultados

obtenidos al aplicar algoritmos genéticos a diversas configuraciones de mecanismos

aplicados a una prótesis para miembro inferior.

1.8 Sumario.

En este capítulo se presentaron los avances que han existido en la síntesis de

mecanismos. Se enumeraron los métodos más utilizados y las mejoras que han aportado

en esta rama de la mecánica. Se hizo un énfasis en la aportación que han tenido las

herramientas computacionales y las técnicas de computación inteligente como los

algoritmos genéticos y la lógica difusa, en la optimización de estos mecanismos para

obtener respuestas más viables y óptimas en cuanto a las diversas necesidades de los

usuarios, resaltando los algoritmos genéticos como método de búsqueda.

Se describió la importancia de los algoritmos genéticos para mejorar la síntesis de

mecanismos, ya que principalmente sirven para eliminar las limitaciones y ayudan a

tener una exactitud en los puntos de precisión delimitados por el diseñador, con lo que

se obtiene una reducción de tiempo computacional y derivaciones de las ecuaciones

obligatorias de una función objetivo específico. También se mostro que puede haber

combinación de los algoritmos genéticos con un controlador de lógica difusa para

monitorear el comportamiento de las variables de diseño durante el corrimiento de los

AG y poder modificar los resultados para una mejor optimización.

Por otro lado se mencionaron los tipos de mecanismos que se utilizan actualmente en la

fabricación de prótesis inteligentes, lo que sirve de base para determinar que

configuración de mecanismos se puede utilizar para mejorar el rendimiento de la

prótesis y asi poder cubrir las necesidades del usuario.

Por último se presentó una reseña historia de las prótesis inteligentes que han existido y

la forma como han mejorado para lograr un movimiento más cercano al del miembro

inferior perdido.

En el siguiente capítulo se presentarán los fundamentos teóricos para resolver la síntesis

de mecanismos con métodos numéricos y algoritmos genéticos, la clasificación de estos.

Capítulo II

I.P.N SEPI E.S.I.M.E UNIDAD ZACATENCO 25

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

En este capítulo se presentan los fundamentos teóricos para el análisis y la síntesis de mecanismos, indicando métodos numéricos y de optimización como los algoritmos genéticos y la lógica difusa. Para el caso de estudio se presenta el rango de movimiento de la rodilla como base para la simulación.

Capítulo II


2.1 Generalidades.

Para estudiar un mecanismo se tiene que hacer un análisis estructural, cinemático y dinámico, con el

cual se desarrollará la fase analítica, la construcción geométrica, las dimensiones significativas de

los eslabones y la posición inicial en la que el mecanismo debe trabajar para cubrir las necesidades

impuestas. El análisis cinemático se apoya en los requerimientos de movimientos relativos de los

eslabones y se expresa en términos de desplazamientos lineales, velocidades y aceleraciones. El

análisis dinámico está formado por la fuerza y el movimiento aplicado a las articulaciones del

mecanismo, considerándolo como un cuerpo rígido, partiendo del hecho que se conocen los

movimientos. El análisis estructural es en el que se determinan los esfuerzos y deformaciones que se

presentan en los mecanismos, en esta parte se establecerá el factor de seguridad que relaciona la

resistencia considerando las cargas y los materiales. Este capítulo se enfocará al análisis cinemático,

en el cuál, para plantear y dar solución al modelo, es necesario establecer una relación geométrica

entre los elementos que conforman la cadena cinemática, proponiendo algunos métodos de solución

como son Newton Raphson, Algebra Compleja y Algoritmos Genéticos para las diferentes

configuraciones de los mecanismos.

2.2 Análisis y Síntesis de mecanismo

Para desarrollar la síntesis de un mecanismos se tiene que realizar el análisis cinemático, dinámico y

estructural (Erdman & Sandor, 1998):

Cinemática:

• Generación de función: Es la que determina la coordinación de posición, velocidad y/o

aceleración de entrada/salida.

• Conducción de cuerpo rígido: Es la generación del movimiento.

• Generación de trayectoria: Es la generación de la curva acopladora, aquí se analiza la

posición, velocidad y/o aceleración en puntos a lo largo de una trayectoria puntual.

• Fuerzas estáticas: Se analiza el ángulo de transmisión y las ventajas mecánicas.

Capítulo II


Dinámica:

• Balanceo: Son las fuerzas y/o momento de sacudidas inerciales.

• Fuerza de inercia: Son las fuerzas de inercia, dinámica de máquinas o análisis

cinetoestático.

• Respuesta movimiento-tiempo: Está el balanceo entrada-par de torsión o la síntesis fuerza-

sistema.

• Efectos de holguras y tolerancias.

• Dinámica de cuerpo elástico: Eslabón flexible y cinetoelastodinámica.

Para describir la relación de rotación y traslación entre los elementos de una cadena cinemática,

(Denavit & Hartenberg, 1955) propusieron, un método matricial para establecer de forma

sistemática, un sistema de coordenadas ligado al cuerpo para cada elemento de la cadena articulada.

La convención propuesta por (Denavit & Hartenberg, 1955) llevada al área de manipuladores

robóticos considera cuatro parámetros importantes:

1. Se lleva al manipulador a una posición inicial, que servirá de referencia para medir los

desplazamientos del sistema.

2. Se numeran los eslabones del sistema, comenzando por 0 para la base del robot, hasta n para

el efector final.

3. Se numeran las articulaciones del sistema, comenzando por 1 para la primer articulación y n

para la última; donde n= número de grados de libertad.

4. Los sistemas de coordenadas se asignarán en donde se interceptan el eslabón i-1 con la

articulación i con base en lo siguiente:

Un eslabón puede ser considerado como un cuerpo rígido, el cuál es descrito por dos parámetros, la

longitud del eslabón y el giro de éste. Estos parámetros definen la localización relativa de los ejes de

articulaciones vecinas en el espacio. Estas también son descritas por dos parámetros, el

descentramiento del eslabón (la distancia de un eslabón a otro próximo a lo largo del eje de la

articulación) y el ángulo de la articulación, que es la rotación de un eslabón con respecto al

próximo, alrededor del eje de la articulación (Merchán, 2000, Velázquez, 2003).

Capítulo II


Para dar solución al modelo dinámico se tienen que tomar en cuenta el movimiento de rotación y el

de traslación para poder determinar las fuerzas que actúen sobre los eslabones al estar el mecanismo

en movimiento.

2.3 Clasificación de mecanismos.

Los mecanismos por sus similitudes y diferencias pueden ser planos, esféricos y espaciales (Shigley,

1988). En los planos todas las partículas describen curvas planas en el espacio y se encuentran en

planos paralelos, esto hace posible que el lugar geométrico de cualquier punto seleccionado se

represente con su verdadero tamaño y forma real en un solo dibujo. El movimiento plano requiere

también que los ejes de todos los pares prismáticos y todos los ejes de revolución sean normales al

plano de movimiento. En los mecanismos esféricos cada eslabón tiene algún punto que se mantiene

permanente conforme el eslabonamiento se mueve y los puntos estacionarios de todos ellos están en

una ubicación común. En el caso de este eslabonamiento, los ejes de todos los pares de revolución

se deben intersectar en algún punto. Los mecanismos espaciales no incluyen restricciones en los

movimientos relativos de las partículas. Debido a las características del objeto de estudio, lo más

adecuado es trabajar con mecanismos planos y posteriormente mecanismos espaciales.

2.3.1 Mecanismos Planos

Se le llama así cuando las trayectorias de los puntos móviles del mecanismo se encuentran en un

solo plano o en planos paralelos. Las posiciones sucesivas de un punto en movimiento definen una

recta o una curva, que representa las posiciones sucesivas de éste, conocido como trayectoria del

punto en movimiento en el sistema de coordenadas de referencia. En problemas en el plano,

conviene expresar un vector especificando su magnitud y dirección en notación polar. El lugar

geométrico de cualquier punto de un mecanismo plano se representa con su verdadero tamaño y

forma real, en un solo dibujo o figura. La transformación del movimiento de cualquier mecanismo

de esta índole se llama coplanar (Shigley, 1988).

Los mecanismos que sólo utilizan pares cinemáticos inferiores (eslabonamiento plano) únicamente

pueden incluir articulaciones de revolución y pares prismáticos.

Capítulo II


2.3.1.1 Mecanismo plano de 4 barras.

Para el análisis cinemático de un mecanismo plano de cuatro barras, se tienen que determinar ciertas

restricciones (Shigley, 1988):

• Determinación del número de grados de libertad: Éste se puede calcular a partir del número

de coordenadas dependientes y del número de ecuaciones de restricción independientes.

• El problema de posición inicial: Consiste en calcular la posición inicial del sistema

(coordenadas dependientes) a partir de los valores de los grados de libertad (coordenadas

independientes) y de las dimensiones de los distintos elementos. El problema del análisis de

posición es determinar los valores de todas las variables (posiciones de todos los puntos y

articulaciones) dadas las dimensiones de cada eslabón, y el valor o valores de las variables

independientes, es decir aquellas que se escogen para representar los grados de libertad del

mecanismo.

• El Problema de los desplazamientos finitos: sirve para calcular una nueva posición del

sistema a partir de unos incrementos finitos de las coordenadas independientes.

• Análisis de velocidades: Calcula las velocidades dependientes a partir de las independientes.

• Análisis de aceleraciones: Calcula las aceleraciones dependientes a partir de todas las

velocidades y de las aceleraciones independientes. 2.3.1.1.1 Grados de libertad.

En un sistema, los grados de libertad (GDL) son el número de parámetros independientes (medidas)

que se necesitan para definir unívocamente su posición en el espacio en cualquier instante. Para

determinar los GDL totales de un mecanismo se debe tener en cuenta el número de eslabones y

articulaciones, así como las interacciones entre ellos. De acuerdo a la condición de Kutzbach

(Shigley, 1988), un eslabón cualquiera en un plano tiene 3 GDL antes de conectarse entre sí, cuando

se mueven en relación al eslabón fijo. Sin contar este último, un mecanismo de n eslabones posee

3(n-1) grados de libertad antes de conectar cualquiera de las articulaciones. Cuando las restricciones

de todas las articulaciones se restan del total de grados de libertad de los eslabones no conectados,

se encuentra la movilidad resultante del mecanismo conectado. Este razonamiento conduce a la

ecuación de Kutzbach:

m= 3(n-1)-2j1-j2 (2.1)

Capítulo II


En donde:

m = Grados de libertad, n = Número de eslabones, j1= Numero de pares de un solo grado de

libertad, j2= Número de pares con dos grados de libertad.

Para un mecanismo de 4 barras, los grados de libertad son:

m= 3(4-1)-2(2)-0=1 (2.2)

Para un mecanismo de 6 barras los grados de libertad son:

m= 3(6-1)-2(7)-0=1 (2.3)

Si este criterio da m > 0, el mecanismo posee m grados de libertad. Si m=1, este se puede impulsar

con un solo movimiento de entrada, si m=2, se necesitan dos movimientos de entrada separados

para producir un movimiento restringido del mecanismo. Si m=0 el movimiento es imposible y

forma una estructura.

2.3.1.1.2 Ley de Grashof.

Esta ley afirma que para un eslabonamiento plano de cuatro barras (Figura 2.1), la suma de las

longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede ser mayor que la suma de las longitudes

de los eslabones restantes (Figura 2.2), si se desea que exista una rotación relativa continua entre

dos elementos (Tabla 2.1). Para el tipo de problema a resolver, el mecanismo con cambio de punto

es el más adecuado.

Figura 2.1 Partes de un mecanismo de 4 eslabones.

Capítulo II


Tabla 2.1 Clasificación de Grashof para mecanismos de 4 barras (Martin et al., 2007). Tipo de mecanismos Barra más

corta Relación entre la longitud de las barras

Eje inestable del balancín

Manivela s + l < p + q

Fricción en el acoplamiento

Tierra s + l < p + q

Doble balancín Acoplamiento s + l < p + q Cambio de punto Cualquiera s + l = p + q Triple eje de balancín Cualquiera s + l > p + q

Siendo s=longitud del eslabón más corto, l=longitud del eslabón más largo, p=longitud del eslabón restante y q=longitud del eslabón restante.

Figura 2.2. Tres inversiones del cuadrilátero de Grashof (Martin et al., 2007).

Esta ley aplica principalmente para mecanismos de cuatro eslabones, pero si se quiere analizar uno

de seis, como el tipo Watt, se puede considerar como dos eslabonamientos de cuatro barras

conectados en serie y que tienen dos eslabones en común. El tipo Stephenson puede considerarse

como dos eslabonamientos de cuatro barras conectados en paralelo y que tienen dos eslabones en

común.

2.3.1.1.3 Análisis de posición, velocidad y aceleración.

Una meta del análisis cinemático consiste en determinar las aceleraciones de todas las partes

móviles del conjunto. Se necesitan conocer las fuerzas dinámicas con el fin de calcular los esfuerzos

en los componentes. Para calcular los esfuerzos se necesitan conocer las fuerzas estáticas y

dinámicas en las partes, y con el fin de determinar tales fuerzas dinámicas es necesario conocer las

aceleraciones. Para calcular éstas, debemos hallar primero las posiciones de todos los eslabones del

mecanismo para cada incremento en el movimiento de entrada y luego derivar las ecuaciones de

Capítulo II


posición con respecto al tiempo para obtener velocidades; se derivan luego éstas con el fin de tener

las expresiones de aceleración (Norton, 1999).

2.3.1.1.4 Espaciamiento de Chebychev

Si θ2 es la posición angular del eslabón 2, en un eslabonamiento de cuatro barras, y θ4 es la posición

angular del eslabón 4, entonces uno de los problemas de la síntesis cinemática es encontrar las

dimensiones del eslabonamiento de tal manera que en donde f es cualquier relación

funcional deseada. Aunque el problema no sea resuelto, es posible especificar hasta 5 valores para

θ2 llamados puntos de precisión y encontrar un eslabonamiento que satisfaga la relación deseada

para la función y luego seleccionar de 2 a 5 puntos de precisión a partir de la gráfica para utilizarlos

en la síntesis (Freudenstein & Sandor, 1964). Si el proceso tiene éxito, la relación funcional se

satisface para estos puntos; pero ocurrirán desviaciones en otros. Uno de los principales problemas

de diseño de eslabonamiento consiste en seleccionar un conjunto de puntos de precisión para

utilizarlos en la síntesis, de tal modo que se minimice el error estructural o los puntos que se

presentan en las desviaciones.

Como primera aproximación, el mejor espaciamiento es el de Chebychev. Para n puntos en un

intervalo ,el espaciamiento según (Freudenstein & Sandor, 1964, Shigley, 1988) es:

donde j=1,2,…n y xj son los puntos de precisión.

Estos puntos se obtienen gráficamente construyendo primero un círculo cuyo diámetro es el

intervalo Δx dado por la ecuación:

∆ (2.4)

En este círculo se traza un polígono inscrito regular de n lados y se bajan perpendiculares en cada

vértice que intersectarán a Δx en los puntos de precisión como se muestra en la Figura 2.2. Este

espaciamiento se considera la aproximación inicial dependiendo de la necesidad de exactitud del

problema. Si se requiere de mayor exactitud entonces, mediante una curva del error estructural

Capítulo II


contra x, se pueden determinar visualmente los ajustes que se deben hacer en los puntos de precisión

para la aproximación siguiente. Ejemplo:

∆ 5 12

12

2 12 0.5 1 3 0.5 3 1 cos

2 1 12 5 1.0489

Figura 2.3 Ejemplo de Espaciamiento de Chebychev de 5 puntos de precisión.

2.3.1.1.5 Síntesis de mecanismos manivela oscilador

Las posiciones límites del oscilador en un mecanismos de manivela oscilador están identificadas

con A1, B1 y A2, B2 (Figura 2.4). En éste, la manivela y el acoplador quedan en una sola posición

en cada posición extrema. En este caso, la manivela recorre ψ el oscilador recorre φ y en el

retroceso, la manivela recorre 360-ψ el oscilador recorre φ (Shigley, 1988).Este mecanismo se

emplea en algunas ocasiones para definir una línea recta por el acoplador o biela. El eslabonamiento

de Watt es un mecanismo de cuatro barras que desarrolla una línea aproximadamente recta como

parte de la curva del acoplador. Aunque no describe una recta exacta, se logra una aproximación

aceptable sobre una distancia de recorrido considerable.

Capítulo II


Figura 2.4 Síntesis de un eslabonamiento de 4 barras (Shigley, 1988).

2.3.1.1.6 Método de Newton Raphson para la solución de funciones no lineales.

Es un método iterativo que se emplea para la obtención de raíces de una función. Este método no

trabaja sobre un intervalo específico, sino que basa su formulación en un proceso iterativo

(Velázquez-Sánchez, 2008). El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es derivable

sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una línea tangente

única en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f (x0)) es una aproximación a la

curva de f (x) cerca del punto (x0, f (x0)). En consecuencia, el cero de la línea tangente es una

aproximación del cero de f (x) o denominada raíz de f(x) (Figura 2.5).

Figura 2.5 Modelo general del Método de Newton Raphson.

Para el análisis de convergencia: sean x0, x1, x2,..., xn, xn+1 las aproximaciones en sucesivas

iteraciones, r el verdadero valor de la raíz. Si se toma como error en la n-esima iteración a en

entonces el error en estará dado por: en =xn −r y en consecuencia en+1=xn +1−r que es conocido

Capítulo II


como la diferencia de Newton (Trejo-Aguirre, 2008) y representa la cantidad de corrección a la

solución aproximada en la n-ésima iteración. El modelo matemático de este método es el

siguiente(Norton, 1995, Merchán-Cruz, 2005):

Para un conjunto de funciones no lineales se tiene:

1, 2, 3, … 0, 1,2, … , (2.5)

Donde fi es una función no lineal de las xj. Teniendo una estimación inicial de la solución, ésta se

puede escribir como:

∆ (2.6)

Donde es la estimación inicial y ∆ es una corrección desconocida. Si se expande la ecuación

2.6 para obtener un polinomio de Taylor truncado de primer orden alrededor de se obtiene:

∆ , , … (2.7)

Donde las derivadas parciales se evalúan con las condiciones iniciales. Escribiendo la ecuación

como matriz:

∆ (2.8)

Donde J es la matriz jacobiana dada por:

(2.9)

∆∆∆∆

(2.10)

, , , … … ., , , … … ., , , … … .

(2.11)

Las derivadas parciales pueden evaluarse con una aproximación de diferencia:

, … . , , … . , , …

(2.12)

Capítulo II


Donde es un valor pequeño elegido arbitrariamente.

Generalizando el método se tiene:

(2.13)

Siendo k el valor de la incógnita que indicara el numero de iteraciones para obtener el mejor valor a

la aproximación de la curva f(x).

La síntesis del método se presenta en la Figura 2.6.

Figura 2.6 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en la Síntesis de Mecanismos.

Capítulo II


2.3.1.1.7 Síntesis analítica con algebra compleja.

La posición de un punto en el plano se define mediante un vector de posición. La elección de ejes de

referencia es arbitraria y se puede expresar en forma polar para proporcionar la magnitud y la

dirección del vector o en forma cartesiana para aportar los componentes X y Y del mismo (Norton,

1995). La utilidad real de los números complejos en el análisis en el plano se debe a la facilidad con

que se pueden pasar a la forma polar, si se usa la notación compleja rectangular para un vector R se

puede describir:

/ cos sin (2.14)

Y si se emplea Euler se tiene:

(2.15)

El cuál también se puede escribir en la forma polar compleja como:

(2.16)

Utilizando estas ecuaciones se obtiene el movimiento complejo en un vector, el cuál es la suma de

los componentes de traslación y rotación. (Bloch, 1940) desarrolló un método para la síntesis de

mecanismos de 4 barras utilizando algebra compleja, para esto, reemplazan cada uno de los

elementos del mecanismo por un vector de posición, presentado en notación compleja polar.

Empleando este método para la Figura 2.7, cada vector que define a los eslabones se presenta de la

siguiente forma (Norton, 1995):

Figura2.7. Mecanismo de cuatro barras.

Capítulo II


Siendo xd y yd los valores del punto deseado, x0 y y0 los puntos para el origen, r2 la manivela, rcx y

rcy los eslabones que tocan el punto de precisión. Con base en la Figura 2.7 se tiene:

(2.17)

Al aplicar la notación polar:

Si se sabe que por Euler se tiene:

Al desarrollar (2.18) en forma cartesiana, aplicando Euler se tiene:

De (2.20) se puede agrupar la parte real y la parte imaginaria para formar ecuaciones simultáneas y

obtener las incógnitas de los ángulos , que se desarrollaran más adelante.

Real: (2.21)Imaginaria: (2.22)

Reacomodando estas ecuaciones para despejar y asumiendo que 0 y es un valor de

entrada que se puede manipular se obtiene:

(2.23)

(2.24)

Sumando y elevando al cuadrado ambas ecuaciones para simplificar se tiene:

2 2 2 cos (2.25) Esta ecuación debe normalizarse para reducir su complejidad, y para esto se utilizan las constantes

K1, K2 y K3 en términos de las longitudes de los eslabones:

, 2 (2.26)

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Capítulo II


Por lo tanto en notación simplificada la ecuación (2.27), conocida también como la ecuación de

(Freudenstein, 1956) se puede expresar como sigue:

cos (2.27) Para reducir más esta ecuación se emplean las identidades trigonométricas del ángulo mitad, que

convertirán los términos en y en términos de tan :

2 21 2

(2.28)

1 21 2

(2.29)

Conocida , de (2.27) se agrupan nuevamente las variables, teniéndose:

(2.30)2 (2.31)

1 (2.32)

2 20 (2.33)

Utilizando la ecuación cuadrática para obtener los valores de los ángulos se tiene:

, 2√ 4

2 (2.34)

Como se observa, (2.34) tiene soluciones que pueden ser reales iguales, reales distintas y complejas

conjugadas. Si estas son complejas conjugadas, los eslabones con esas longitudes no se conectan (no

forman una cadena cinemática cerrada) para el valor de seleccionado (Moreno-Pérez, 2006).

Para calcular el ángulo , se realiza un procedimiento similar al cálculo de . Hay que regresar a

(2.21 y 2.22) despejando ahora , resultando:

(2.35)

(2.36)

Elevando al cuadrado y sumando para eliminar se obtiene la ecuación:

Capítulo II


cos cos (2.37)

La constante es la misma que para , K4 y K5 son:

y (2.38)

Reduciendo a la forma cuadrática:

2 2 0 (2.39)

Donde:

(2.40)2 (2.41)

1 (2.42) Y la solución es:

, 2E √E 4DF

2D

(2.43)

Igual que para , hay dos soluciones correspondientes a las ramas cruzadas y abiertas del

eslabonamiento, que de acuerdo a la configuración para este mecanismo, deben elegirse los signos

de acuerdo a la Tabla 2.2:

Tabla 2.2. Configuración de mecanismos (Moreno-Pérez, 2006).

Configuración Abierta + √ - √ Cruzada - √ + √

La posición de un punto P sobre el eslabón acoplante (como el mostrado en la figura 2.7) se puede

calcular una vez que se tienen los ángulos y dado que el marco de referencia se encuentra

localizado en xo y yo:

(2.44)

Capítulo II


Una ventaja de utilizar la notación de números complejos para representar vectores planos (o en el

plano) proviene de la identidad de Euler y sirve para desarrollar y deducir las ecuaciones para la

posición, la velocidad y la aceleración del eslabonamiento(Norton, 1995).

2.3.1.1.8 Centro Instantáneo de Rotación en un mecanismo policéntrico.

El centro instantáneo es la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos

rígidos diferentes para los que las velocidades absolutas de los dos puntos son iguales. También se

puede definir como la ubicación de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos rígidos diferentes

para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero, tal y como la percibe un observador

situado en el otro cuerpo. En general, el centro instantáneo entre dos cuerpos no es un punto

estacionario, sino que su ubicación cambia en relación con ambos cuerpos, conforme se desarrolla el

movimiento y describe una trayectoria o lugar geométrico sobre cada unión de ellos. Estas

trayectorias son llamadas centrodas. Éste sirve para obtener la síntesis del mecanismo respecto a su

posición, velocidad y aceleración. En las prótesis policéntricas, éste varia con el ángulo de flexión

de la rodilla y determina el control mecánico de ésta (Oberg & Kamwendo, 1988).

Para un mecanismo de 4 barras, los centros instantáneos de rotación se muestran en la Figura 2.8,

los puntos P2.4,P2.3, P2.1, P3.1, P1.4 y P3.4, muestran la unión de los centros instantáneos, estos

son los que se pueden determinar a simple vista, aunque existe una fórmula para establecerlos ,

además del Teorema de Aronhold-Kennedy (Norton, 1995). La combinación para n objetos tomados

r en cada vez, es:

1 2 … 1!

(2.45)

Aplicando esta ecuación, para un mecanismo de 4 barras se tienen 6 CI, para uno de 6 barras 15 CI

y para uno de 8, 28 CI.

Capítulo II


Figura 2.8 Centros instantáneos de rotación en un mecanismo de 4 barras.

2.3.1.2 Implementación de los métodos en la síntesis de un mecanismo de 4 eslabones.

Se tiene un mecanismo plano de 4 eslabones, como el mostrado en la Figura 2.7, en el cuál se

requiere obtener la longitud de todos los eslabones y el valor de los ángulos de la biela y el seguidor,

aplicando el método de Newton Raphson, algebra compleja y los centro instantáneos de rotación.

Para hacer el análisis cinemático, se parte de obtener la ecuación que refleja el orden particular de

los vectores para formar una cadena cinemática cerrada y una cadena abierta , para esto se aplican

las ecuaciones 2.21 y 2.2.2, que son la base para obtener la Función de Freudenstain, que es la

relación entrada-salida del sistema, para cadena cerrada:

(2.46)

Y para la cadena cinemática abierta del mecanismo antes referido se tiene:

(2.47)

Si se toma la función correspondiente a la cadena abierta, como primer ejemplo, considerando como

variables, para este caso xo, r2, yo, rcx y rcy, y el número de puntos de precisión (5 por ejemplo), el

jacobiano respectivo es:

Capítulo II


1 1

5 5

(2.48)

Si se substituyen los valores propuestos para las variables correspondientes, los valores deseados

impuestos en la trayectoria para x y y, además del ángulo de entrada , además de substituir estos

en la ecuación 2.48, se obtendrán la primer aproximación de las raíces para la obtención de la curva

para cada variable.

Substituyendo los valores obtenidos de las variables en la función de posición correspondiente a los

puntos generados se tienen:

/2 (2.49)

/2 (2.50)

Para saber en qué momento debe terminar esta serie de iteraciones, es necesario definir una

restricción, para este caso se plantea la distancia euclidiana entre el valor deseado y el generado,

presentado por la ecuación 2.51:

(2.51)

Dos situaciones en las que el Método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el Método no

alcanza la convergencia y (b) el Método converge hacia un punto que no es un cero de la ecuación

(Luthe et al., 1982).

Con los valores de las dimensiones obtenidos para los eslabones y los ángulos y se

desarrollan las ecuaciones para algebra compleja, que para este ejemplo se representan por:

(2.52) (2.53)

Capítulo II


(2.54) (2.55) (2.56) (2.57) (2.58)/ (2.59)

Y por último los centros instantáneos de rotación vienen dados por: 4 4 1

2 6 (2.60)

2.3.1.3 Mecanismos de seis barras.

En ocasiones, en las que se halla una buena solución a un problema de síntesis de eslabonamiento,

que satisface las restricciones de generación de trayectoria, pero ésta tiene los pivotes fijos en

localizaciones impropias para la unión al plano o al armazón de fijación disponible, se presentan los

mecanismos cognados. Este término fue empleado por (Denavit & Hartenberg, 1955) para describir

un eslabonamiento de distinta configuración, que genera la misma curva que el acoplador.

De acuerdo al teorema de Roberts-Chebychev (Shigley, 1988), tres eslabonamientos planos de

cuatro barras articuladas, describirán curvas del acoplador idénticas. Al hacer arreglos entre los

mecanismos cognados de cuatro barras, se obtienen las configuraciones fundamentales de

mecanismos de 6 barras, el tipo Watt y el tipo Stephenson, como los mostrados en la Figura 2.9.

Figura 2.9. Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Watt y Tipo Stephenson.(Dewen et al., 2003).

Capítulo II


Dicha clasificación depende de los eslabones ternarios (miembros con tres articulaciones de

revolución). En la cadena Watt, los eslabones ternarios son adyacentes; en la cadena Stephenson, los

eslabones ternarios están separados por eslabones binarios.

La síntesis de mecanismos de 6 barras es estudiada para cubrir ciertas exigencias que no se pueden

cubrir con los mecanismos de 4 barras. Estos se emplean cuando se tienen requerimientos que

producen una detención (que es cuando existe un periodo inmóvil del acoplamiento de la salida para

el movimiento diferente a cero del acoplamiento de la entrada), en el acoplamiento de la salida

durante los periodos predefinidos del movimiento del acoplamiento de la entrada (Norton, 1999).

Aplicados a la prótesis de miembro inferior, ofrecen movimientos con mejor coordinación en la fase

de postura y avance.

En la síntesis de mecanismos de 6 barras, la optimización se formula generalmente como la

minimización del error en ángulos correlacionados de la entrada y la salida. Es decir, la posición del

error que se presenta entre la trayectoria obtenida y la trayectoria deseada.

A estos mecanismos también se les puede hacer la síntesis por medio del método de Newtón

Raphson y por algebra compleja siguiendo el mismo principio que para un mecanismo de cuatro

barras, ya que los de 6 eslabones se forman por la unión de 2 mecanismos de esta configuración.

2.3.2 Mecanismos espaciales.

El problema de la síntesis de mecanismos espaciales se puede dividir en brazos manipuladores,

mecanismos paralelos y mecanismos esféricos. Los mecanismos de cadena abierta, conocidos como

robots manipuladores están constituidos por una serie de barras dispuestas en serie y conectadas

mediante pares que en conjunto proporcionan una gran movilidad a un actuador final (Sanchéz-

Marín, 2000). Estos tienen como principal inconveniente el hecho de que debido a su configuración,

acumulan el error de posicionamiento de los diferentes pares cinemáticos desde la base hasta el

actuador final, creciendo este error con la fuerza aplicada en dicho actuador. La síntesis de este tipo

de mecanismos se centra en la elección de los pares y la determinación de la longitud de las barras

de forma que se obtenga una movilidad y precisión óptima. En los mecanismos paralelos los

Capítulo II


eslabones y pares forman parte de dos o más cadenas cinemáticas que están diseñadas para

funcionar en paralelo. De éstas existen muchas posibles configuraciones, siendo la más conocida la

plataforma de Stewart (Sanchéz-Marín, 2000). Sus seis grados de libertad le proporcionan una gran

movilidad y precisión (Figura 2.10). La síntesis se centra fundamentalmente en la búsqueda de

nuevas configuraciones o síntesis de tipo y en el dimensionamiento de los eslabones para el

cumplimiento de una serie de requisitos de movilidad.

Figura 2.10 Plataforma Stewart. (Sanchéz-Marín, 2000)

Los mecanismos esféricos se caracterizan porque generalmente poseen únicamente pares inferiores

y estos pares se mueven dentro de una superficie esférica (Sanchéz-Marín, 2000). La síntesis de

estos tiene características similares a la síntesis de mecanismos planos con pares inferiores en lo

referente a tipología, objetivos y requisitos.

En los mecanismos espaciales de un grado de libertad existe una Configuración de Insensitividad de

Posición (CIP) que se aplica cuando hay una configuración del mecanismo tal que, aunque se

introduzca un movimiento con una velocidad cualquiera en el eslabón de entrada, el eslabón de

salida permanezca inmóvil. De manera análoga, habrá una configuración de incertidumbre de

posición (CIN) cuando el eslabón de salida pueda realizar determinados movimientos estando

inmóvil el eslabón de entrada (Zabalza-Villava, 1999). Para algunos mecanismos espaciales de un

grado de libertad, con base en el cuadrilátero articulado, algunos autores (Freudenstein & Kiss,

1969, Freudenstein & Primrose, 1976, Gupta & Radcliffe, 1971, Söylemez & Freudenstein, 1982,

Tinubu & Gupta, 1984, Willians & Reinholtz, 1987, Rastegar & Tu, 1992, Zabalza-Villava, 1999)

Capítulo II


han estudiado, los límites de su espacio de trabajo, que son posiciones de los mecanismos en las que

se producen las CIP. En los mecanismos planos o espaciales de varios grados de libertad, se

presentará una CIP cuando el eslabón de salida permanezca inmóvil para una velocidad cualquiera

de uno o varios eslabones de entrada. Del mismo modo, se tendrá una CIN cuando el eslabón de

salida tenga algún movimiento estando inmóviles todos los eslabones de entrada.

En mecanismos de varios grados de libertad, un determinado punto del brazo del robot describe una

superficie que suele ser, de alguna manera, límite del espacio de trabajo. Mientras ese punto

determinado se encuentre en la superficie límite puede permanecer inmóvil independientemente del

movimiento de algún actuador, perdiendo el robot algún grado de libertad. A estas configuraciones,

normalmente las denominan como "configuraciones singulares" y las estudian como límites

negativos del espacio de trabajo, no habiendo ningún estudio que se conozca en el que las

consideren ventajosas: de manera formal, una singularidad tiene lugar cuando el inverso del

jacobiano del manipulador se indefine, esto es la velocidad de alguna articulación tiende

súbitamente al infinito (Craig, 1989).

2.4 Descripción de Algoritmo Genético.

Un algoritmo genético típico inicia con una población generada aleatoriamente. Los caracteres en la

cadena de solución son llamados genes. El valor y la posición en la cadena de un gen son llamados

lugar geométrico y alele respectivamente. Cada solución de la cadena es llamada cromosoma. El

código de las variables se llama genotipo, y las variables mismas se llaman fenotipo (Figura 2.11).

Figura 2.11 Representación de un cromosoma binario

Capítulo II


Los individuos son seleccionados probabilísticamente para ser evaluados por la función objetivo

(Chen, 2004). La población evolucionará, a lo largo de las generaciones sucesivas, de tal manera

que la adaptación media extendida a todos los individuos de la población, así como la adaptación

del mejor individuo se irán incrementando hacia la óptima global. A medida que el número de

generaciones aumenta, es más probable que la adaptación media se aproxime a la del mejor

individuo. De esta forma un gen ha convergido cuando al menos un 95% de los individuos de la

población comparten el mismo valor para dicho gen. Se dice entonces que la población converge

cuando todos los genes han convergido. Los pasos para hacer un algoritmo genético según se

establece en (Goldberg, 1989) se presentan en el diagrama de la Figura 2.12:

Figura 2.12 Diagrama de flujo de un algoritmo genético

Describiendo cada punto se tiene:

Capítulo II


Población inicial: Se crea aleatoriamente y es codificada dentro del cromosoma de un arreglo con

longitud variable (Figura 2.13). La codificación puede hacerse en una representación

binaria(Goldberg, 1989, Merchán-Cruz, 2005), en base al dominio de cada variable, para la síntesis

de mecanismos, la longitud de los eslabones y los ángulos de movimiento, se calcula el número de

bits y la longitud del cromosoma con (2.52) y (2.53) respectivamente, siendo p el número de dígitos

de precisión después del punto (Michalewicz, 1999). Para poder hacer la evaluación se tiene que

hacer la decodificación y obtener valores reales, por ejemplo para los ángulos de transmisión:

( )( )( )2log

10log minmaxp

iii

rrnbits

×Δ−Δ=

(2.61)

Donde

nbits Es el número de bits por variable

rmáx Límite máximo de la variable.

rmin Límite mínimo de la variable.

p Precisión en decimales.

∑=

=n

iinbitslongcr

1

(2.62)

Figura 2.13 Representación de la población.

El tamaño de una población ni de cromosomas de longitud longcr, con una codificación binaria,

compuesta por una serie de genes y aleles, debe ser suficiente para garantizar la diversidad de las

soluciones creadas por una notación mediante cadenas compuestas por 0 y 1, si se escoge una

representación binaria.

Capítulo II


⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

longcrnini

longcr

longcrnibb

bbs

,1,

,11,1

K

M

K

(2.63)

La población debe evaluarse decodificando los genes del cromosoma, para convertirse en una serie

de soluciones factibles al problema:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−

Δ−Δ⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+Δ= ∑

= 122 minmax

0min longcr

iinbits

j

iiii

i

bx θθθ

(2.64)

x La variable decodificada.

bi Bit de la cadena.


Evaluación: Durante ésta, se decodifica el gen, convirtiéndose en una serie de parámetros de un

problema. Se halla la solución de éste a partir de esos parámetros, y se le da una puntuación a esa

solución (llamada fitness) en función de lo cerca que esté del mejor resultado. Ésta debe reflejar el

valor del individuo de una manera real, pero en muchos problemas de optimización combinatoria,

donde existe una gran cantidad de restricciones, buena parte de los puntos del espacio de búsqueda

representan individuos no válidos.

aptitudfunciónxfitnessf ii == )( (2.65)

∑=

=j

iipop fF

1

(2.66)

Para resolver el gran número de restricciones se han propuesto soluciones como:

• Absolutista: Los individuos que no verifican las restricciones, no son considerados como

tales y se siguen efectuando cruces y mutaciones hasta obtener individuos válidos, o bien de

dichos individuos se les asigna una función objetivo igual a cero.

• Regenerador: Es un operador que reconstruye aquellos individuos que no verifican las

restricciones.

Capítulo II


• Penalización de la función objetivo: Consiste en dividir la función objetivo del individuo por

una cantidad (la penalización) que guarda relación con las restricciones que dicho individuo

viola. Esta cantidad puede tener en cuenta el número de restricciones violadas o el costo

esperado de reconstrucción, que es un coste asociado a la conversión de dicho individuo en

otro que no viole ninguna restricción.

• Evaluación aproximada de la función objetivo: La obtención de n funciones objetivo

aproximada puede resultar mejor que la evaluación exacta de una única función.

Selección: El proceso consiste en elegir individuos de acuerdo a su contribución de aptitud con

respecto al total de la población, existen varias técnicas, pero la más utilizada es la función de

selección proporcional a la función objetivo, con ésta, cada individuo tiene una probabilidad de ser

seleccionado como padre, que es proporcional al valor evaluado mediante la función objetivo.

(Baker, 1987) introdujo el muestreo universal estocástico, el cuál utiliza un único giro de ruleta,

siendo los sectores circulares proporcionales a la función objetivo. Los individuos son seleccionados

a partir de marcadores igualmente espaciados y con comienzo aleatorio. En este método, si se

determina una población de tamaño N de generación t, de un algoritmo, donde existen k individuos

del esquema H y que f1, f2 …fk son los valores de la función de adaptación. Si se selecciona

aleatoriamente un miembro de la población usando el mecanismo de la ruleta, la probabilidad de

que este sea el i-ésimo representante del esquema H es:

∑=

= N

ji

ii

f

fp

1

(2.67)

Con esta fórmula se calcula la población inicial, pero ésta sólo es válida para el tipo de selección

proporcional o de ruleta.

Capítulo II


Para la selección de la ruleta se necesita conocer el grado de adaptación de alguno de los individuos

Fi, y la suma de la población calificada de los individuos adaptados ∑=

N

iiF

1

y la circunferencia Ci, la

fórmula de la ruleta será ( 2.68 y 2.69) y se representa por la Figura 2.14:

pop

ii F

fw = (2.68)

∑−

=

+=1

0

p

kpkp wwL (2.69)

Figura 2.14 Selección por ruleta.

Algunas otras técnicas para la selección son las presentadas en los trabajos de (Holland, 1975,

Goldberg & Deb, 1991, Deb, 2004, Fleming & Purshouse, 2001, Whitley, 1994), algunas de estas

son:

Tipos de selección:

• Selección Proporcional: Seleccionado proporcionalmente a su valor de aptitud.

• Selección de Estado Uniforme. Algunos individuos menos aptos son reemplazados.

• Sobrante Estocástico. Es determinista con la parte entera de valores esperados y

proporcionales para la parte fraccionaria de cada individuo.

• Universal Estocástico. Distribución de los individuos en función de sus valores esperados.

• Muestreo Determinístico. Basado en el sobrante estocástico y un algoritmo de ordenación.

Capítulo II


• Escalamiento Sigma. Está en función de su aptitud, la media y la desviación estándar.

• Selección por Jerarquías. Clasifica a los individuos con base en su rango.

• Selección de Boltzmann. Se basa en el proceso del recocido simulado para seleccionar.

• Selección por torneos. Posibilidades de ganar en una competencia por comparaciones

directas de los individuos, ya sea en forma determinista o probabilística.

• Selección por truncamiento. Complejo en el tiempo y no se basa en la aptitud.

• La selección de rango lineal. Lineamiento de acuerdo a su rango y valores de aptitud.

• Selección de rango exponencial. Ponderación exponencial de probabilidades en los

individuos.

• Brecha Generacional. Los padres de una población no compiten contra sus hijos.

• Selección Disruptiva. Normaliza las aptitudes con respecto a un cierto valor moderado.

• Selección Competitiva. Es a través de las interacciones con miembros de la población, o con

otros miembros de una población separada que evoluciona concurrentemente.

Cruzamiento: La idea principal del cruce se basa en que, si se toman dos individuos correctamente

adaptados al medio y se obtiene una descendencia que comparta genes de ambos, existe la

posibilidad de que los genes heredados sean precisamente los causantes de la bondad de los padres.

Al compartir las características buenas de dos individuos, la descendencia, o al menos parte de ella,

debería tener una bondad mayor que cada uno de los padres por separado. Si el cruce no agrupa las

mejores características en uno de los hijos y la descendencia tiene un peor ajuste que los padres no

significan que se esté dando un paso atrás. Optando por una estrategia de cruce no destructiva

garantizamos que pasen a la siguiente generación los mejores individuos (Gestal-Pose, 2006) .

Si se aplica un cruzamiento con una probabilidad pc sobre los individuos seleccionados

previamente, algunas de las cadenas H se cruzarían con otras, de forma tal que la cadena resultante

ya no sería representante de la cadena original, es decir (Kuri-Morales & Galaviz-Casas, 2002):

( ) ( ) ( ) ( )rc ppfHftHmcruseltHm −≥++ 1,,

(2.70)

Donde:

Capítulo II


( )tHm , = k: Es el número de individuos del esquema en la población de generación t.

pr= Probabilidad de ruptura del esquema H bajo el tipo de cruzamiento que esté siendo utilizado.

Tipos de cruzamiento.

Ya que se tienen seleccionados los mejores individuos, el siguiente paso es hacer el cruce de estos

individuos, que puede ser por un punto, dos puntos o uniforme.

Estos se utilizan dependiendo del esquema que se analice, los cruzamientos más utilizados son,

según, (Kuri-Morales & J., 2002):

• Cruzamiento de punto: Se elige un punto de corte y se intercambian los segmentos análogos

de las dos cadenas.

• Cruzamiento de dos puntos: Se eligen dos puntos de corte y se intercambian los segmentos

medios de ambas cadenas, se considera a los extremos de la cadena como sitios contiguos,

como un anillo.

• Cruzamiento uniforme: Para cada posición de bit de una cadena a generar se elige

aleatoriamente el bit de la misma posición de alguna de las cadenas generadoras.

Mutación: Es un operador que se aplica con probabilidad pm y que tiene el efecto de invertir un bit

utilizando una probabilidad de mutación del bit l-1, siendo l la longitud de la cadena del cromosoma

(Figura 2.15). En esta hay una variación del valor de los genes en forma aleatoria, generalmente se

da en valores muy pequeños, ya que no es tan significativo como el cruce (Goldberg, 1989).

Figura2.15 Cruzamiento y Mutación.

El cruzamiento y la mutación son representados por:

Capítulo II


Pc= 1-(lgcr-1)*Rand (2.71)

Pm = 1-(1-(lgcr-1))*Rand (2.72)

Donde Pc es la probabilidad de cruce, Pm la probabilidad de mutación, lgcr, la longitud del

cromosoma y Rand, es una serie de números aleatorios.

(De Jong, 1975) recomienda el uso de una probabilidad de mutación del bit l-1, siendo l la longitud

de la cadena del cromosoma, aunque algunos autores(Michalewicz, 1999, Laribi et al., 2004,

Merchán-Cruz, 2005, Cabrera et al., 2007, Erkaya & Uzmay, 2008) han obtenido mejores resultados

experimentales modificando la probabilidad de mutación a medida que aumenta el número de

iteraciones. Posteriormente se hace una nueva evaluación para comprobar que se cumple la solución

más óptima. También existen varios tipos de mutación, entre los que se encuentran:

Tipos de mutación

• Mutación por Permutaciones. Útiles en problemas de optimización combinatoria.

• Mutación por Inserción. Se selecciona el valor de un individuo en forma aleatoria y se le

inserta en una posición arbitraria.

• Mutación por Desplazamiento. Cambian de posición en la cadena varios valores a la vez.

• Mutación por Intercambio Recíproco. Se seleccionan dos puntos al azar y se intercambian

estos valores de posición.

• Mutación por factor múltiple. Este incorpora dentro del a mutación un factor de

perturbación, un valor porcentual de qué numero de alelos en un cromosoma serán afectados

de manera aleatoria, permitiendo generar una mutación de un alelo o más de uno. Esta

modificación se observa claramente cuando el algoritmo genético tiene una convergencia

prematura, potencializando la exploración del espacio factible de búsqueda, sin embargo una

taza lata en el factor puede degenerar la solución.

La mutación es necesaria porque permite de algún modo actualizar valores que se pudieron haber

perdido en la búsqueda de la mejor solución.

Capítulo II


Condiciones de paro: Son las que van a determinar el número de iteraciones y generaciones que se

tendrán que crear en el proceso de análisis del algoritmo genético para encontrar el valor optimo que

resuelva la problemática presente o condiciones como repeticiones de buenos resultados, valor

mínimo de error, entre otros.

2.5 Descripción de un sistema lógico difuso.

Un sistema lógico difuso (SLD), es un mapeo no lineal de un vector de datos de entrada con una

salida escalar, es decir mapea números con números (Mathworks, 1999). Éste se forma de conjuntos

difusos, un conjunto difuso A en el universo del discurso U se puede definir como un conjunto de

pares ordenados:

( )( ) , AA x x x U= ∈μ (2.73)

y estando, 0,1

Siendo ( )A xμ la función de membresía, es decir el grado de pertenencia de x en A. Estando el

espacio de la membresía M en el universo [0,1]. El propósito de un conjunto difuso es representar la

ambigüedad e imprecisión que las cosas tienen en el mundo real, tratando de eliminar las fronteras

cerradas que separan a los miembros y no miembros de un grupo o conjunto. Un problema que se

presenta en los conjuntos difusos es la asignación de las funciones de membresía que los

representan, ya que depende del criterio del diseñador y de la naturaleza del problema. Una de las

soluciones que actualmente se proponen a este problema es la utilización de las redes neuronales

para aproximar estas funciones.

Algunas de las operaciones que se realizan entre conjuntos difusos son las siguientes:

Complemento: El complemento A−

de un elemento de un conjunto difuso A está dado por la

diferencia entre la unidad y su grado de membresía correspondiente ( )A xμ , siendo definido como:

( ) 1 ( )AA

x x x Uμ μ− = − ∀ ∈ (2.74)

Capítulo II


Intersección: La intersección entre dos conjuntos difusos A y B, se denota como:

[ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( )A B A B A BA B x mín x x x x x Uμ μ μ μ μ∩∩ → = = ∧ ∀ ∈ (2.75)

Unión: La unión de los conjuntos difusos A y B se define como:

[ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( )A B A B A BA B x máx x x x x x Uμ μ μ μ μ∪∪ → = = ∨ ∀ ∈ (2.76)

Igualdad: Dos conjuntos difusos A y B son iguales sí:

( ) ( )A BA B x x x Uμ μ= → = ∀ ∈

(2.77)

Subconjunto: A es un subconjunto de B, si y sólo si:

( ) ( )A BA B x x x Uμ μ⊆ → ≤ ∀ ∈

(2.78)

Producto cartesiano: El producto cartesiano de 1 2, ,..., nA A A es un conjunto difuso en el espacio del

producto 1 2 ... nU U U× × × , siendo las funciones de membresía:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... 1, 2 1 2 1 1 2 2,..., , ,..., , ,...,

n nA A A n A A A n n nx x x mín x x x x U x U x Uμ μ μ μ× × × ⎡ ⎤= ∈ ∈ ∈⎣ ⎦ (2.79)

Suma algebraica: La suma A+B de dos conjuntos difusos está dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A Bx x X x Xμ μ μ μ μ+ = + − ⋅ (2.80)

Producto algebraico: El producto algebraico A B⋅ se define como:

( ) ( ) ( )A B A Bx x xμ μ μ⋅ = ⋅ (2.81)

Con esta serie de ecuaciones se puede diseñar un control difuso con el cual se evita la compleja

tarea de realizar un modelado dinámico del proceso, que en la mayoría de los casos resulta muy

laborioso y difícil.

Capítulo II


2.6. Sumario

Este capítulo presentó los fundamentos necesarios para realizar el análisis y la síntesis de

mecanismos, iniciando por conocer las características y los tipos más usuales para cubrir las

necesidades especificas del cliente.

Se mostró una descripción de las ecuaciones y métodos para obtener la síntesis de mecanismos

planos para diseñar el número y tipo de eslabonamiento, los grados de libertad de movimiento y el

análisis de posición para generar la trayectoria. El desarrollo de éstas se enfocó a un mecanismo de

4 barras, configuración base para poder diseñar posteriormente mecanismos con un mayor número

de eslabones y grados de libertad. Dentro del análisis dinámico, se describió el manejo de los

centros instantáneos de rotación para calcular velocidades y aceleraciones.

Se desarrolló el método de Newton Raphson para optimizar las funciones de Freudenstain para

cadena abierta y cerrada, derivadas de la síntesis de mecanismos, este método por sus características

se empleará como método numérico para validar y comparar resultados del método metaheuristico

a emplear, como son los algoritmos genéticos. También se desarrolló un ejemplo ilustrando la forma

de combinar y aplicar este método con el algebra compleja, que se aplica en este tipo de análisis

para determinar las posiciones de los eslabones, que son una de las principales variables de los

mecanismos cuando se diseñan para el seguimiento de trayectorias. También es importante resaltar

que Newton-Raphson es un método que converge cuadráticamente, es decir, que el número de cifras

decimales correctos se duplica aproximadamente en cada iteración, o el error es aproximadamente

proporcional al cuadrado del error anterior, por lo que puede llegar a tener algunas desventajas,

como las presentadas en la teoría, pero que pueden ser mejoradas si se aplica en combinación de

otros métodos.

De los algoritmos genéticos se hizo una descripción de las etapas de que están formados, aquí se

demostró que la programación genética transforma iterativamente la población en una nueva

generación de población por aplicación análoga de operaciones genéticas que ocurren naturalmente.

Estas operaciones son aplicadas a individuos seleccionados desde la población. Se describió etapa

por etapa , señalando los tipos de acciones que hay para cada una y la forma en que se relacionan

Capítulo II


con la naturaleza, también se presento un gráfico que busca el facilitar el entendimiento del orden

que deben seguir cada una de las etapas para llegar al fin especifico, que es encontrar de un conjunto

de posibles soluciones, como es la población , el optimo resultado para cumplir con el problema en

específico, para este caso de estudio la síntesis de mecanismos, teniendo como principales variables

la longitud de cada eslabón y el valor de ángulos que generaran el mejor movimiento llegando a un

optimo local.

Otro método de optimización descrito es el de la lógica difusa que en forma general sirve para

representar la ambigüedad y la imprecisión que las cosas tienen en el mundo real.

Los fundamentos teóricos presentados en este capítulo servirán como base para el desarrollo del

capítulo tres, en el cual se describirá la simulación y la síntesis de mecanismos de 4 y seis eslabones.

Esto se realizara empleando los métodos matemáticos y los metaheuristicos, como son Newton

Raphson, Algebra compleja y Algoritmos genéticos, para poder observar y analizar el desempeño

que tienen cada uno de estos con un mismo problema y así determinar cuál es la herramienta más

viable para desarrollar y diseñar una prótesis policéntrica para miembro inferior.

Capítulo II


FUNDAMENTOS

TEÓRICOS

En este capítulo se presentan los fundamentos teóricos para el análisis y la síntesis de mecanismos, indicando métodos numéricos y de optimización como los algoritmos genéticos y la lógica difusa. Para el caso de estudio se presenta el rango de movimiento de la rodilla como base para la simulación.

Capítulo II


2.1 Generalidades.

Para estudiar un mecanismo se tiene que hacer un análisis estructural, cinemático y dinámico,

con el cual se desarrollará la fase analítica, la construcción geométrica, las dimensiones

significativas de los eslabones y la posición inicial en la que el mecanismo debe trabajar para

cubrir las necesidades impuestas. El análisis cinemático se apoya en los requerimientos de

movimientos relativos de los eslabones y se expresa en términos de desplazamientos lineales,

velocidades y aceleraciones. El análisis dinámico está formado por la fuerza y el movimiento

aplicado a las articulaciones del mecanismo, considerándolo como un cuerpo rígido, partiendo

del hecho que se conocen los movimientos. El análisis estructural es en el que se determinan los

esfuerzos y deformaciones que se presentan en los mecanismos, en esta parte se establecerá el

factor de seguridad que relaciona la resistencia considerando las cargas y los materiales. Este

capítulo se enfocará al análisis cinemático, en el cuál, para plantear y dar solución al modelo, es

necesario establecer una relación geométrica entre los elementos que conforman la cadena

cinemática, proponiendo algunos métodos de solución como son Newton Raphson, Algebra

Compleja y Algoritmos Genéticos para las diferentes configuraciones de los mecanismos.

2.2 Análisis y Síntesis de mecanismo

Para desarrollar la síntesis de un mecanismos se tiene que realizar el análisis cinemático,

dinámico y estructural (Erdman & Sandor, 1998):

Cinemática:

• Generación de función: Es la que determina la coordinación de posición, velocidad y/o

aceleración de entrada/salida.

• Conducción de cuerpo rígido: Es la generación del movimiento.

• Generación de trayectoria: Es la generación de la curva acopladora, aquí se analiza la

posición, velocidad y/o aceleración en puntos a lo largo de una trayectoria puntual.

• Fuerzas estáticas: Se analiza el ángulo de transmisión y las ventajas mecánicas.

Dinámica:

Capítulo II


• Balanceo: Son las fuerzas y/o momento de sacudidas inerciales.

• Fuerza de inercia: Son las fuerzas de inercia, dinámica de máquinas o análisis

cinetoestático.

• Respuesta movimiento-tiempo: Está el balanceo entrada-par de torsión o la síntesis

fuerza-sistema.

• Efectos de holguras y tolerancias.

• Dinámica de cuerpo elástico: Eslabón flexible y cinetoelastodinámica.

Para describir la relación de rotación y traslación entre los elementos de una cadena cinemática,

(Denavit & Hartenberg, 1955) propusieron, un método matricial para establecer de forma

sistemática, un sistema de coordenadas ligado al cuerpo para cada elemento de la cadena

articulada.

La convención propuesta por (Denavit & Hartenberg, 1955) llevada al área de manipuladores

robóticos considera cuatro parámetros importantes:

1. Se lleva al manipulador a una posición inicial, que servirá de referencia para medir los

desplazamientos del sistema.

2. Se numeran los eslabones del sistema, comenzando por 0 para la base del robot, hasta n

para el efector final.

3. Se numeran las articulaciones del sistema, comenzando por 1 para la primer articulación

y n para la última; donde n= número de grados de libertad.

4. Los sistemas de coordenadas se asignarán en donde se interceptan el eslabón i-1 con la

articulación i con base en lo siguiente:

Un eslabón puede ser considerado como un cuerpo rígido, el cuál es descrito por dos parámetros,

la longitud del eslabón y el giro de éste. Estos parámetros definen la localización relativa de los

ejes de articulaciones vecinas en el espacio. Estas también son descritas por dos parámetros, el

descentramiento del eslabón (la distancia de un eslabón a otro próximo a lo largo del eje de la

articulación) y el ángulo de la articulación, que es la rotación de un eslabón con respecto al

próximo, alrededor del eje de la articulación (Merchán, 2000, Velázquez, 2003).

Para dar solución al modelo dinámico se tienen que tomar en cuenta el movimiento de rotación y

el de traslación para poder determinar las fuerzas que actúen sobre los eslabones al estar el

mecanismo en movimiento.

Capítulo II


2.3 Clasificación de mecanismos.

Los mecanismos por sus similitudes y diferencias pueden ser planos, esféricos y espaciales

(Shigley, 1988). En los planos todas las partículas describen curvas planas en el espacio y se

encuentran en planos paralelos, esto hace posible que el lugar geométrico de cualquier punto

seleccionado se represente con su verdadero tamaño y forma real en un solo dibujo. El

movimiento plano requiere también que los ejes de todos los pares prismáticos y todos los ejes

de revolución sean normales al plano de movimiento. En los mecanismos esféricos cada eslabón

tiene algún punto que se mantiene permanente conforme el eslabonamiento se mueve y los

puntos estacionarios de todos ellos están en una ubicación común. En el caso de este

eslabonamiento, los ejes de todos los pares de revolución se deben intersectar en algún punto.

Los mecanismos espaciales no incluyen restricciones en los movimientos relativos de las

partículas. Debido a las características del objeto de estudio, lo más adecuado es trabajar con

mecanismos planos y posteriormente mecanismos espaciales.

2.3.1 Mecanismos Planos

Se le llama así cuando las trayectorias de los puntos móviles del mecanismo se encuentran en un

solo plano o en planos paralelos. Las posiciones sucesivas de un punto en movimiento definen

una recta o una curva, que representa las posiciones sucesivas de éste, conocido como trayectoria

del punto en movimiento en el sistema de coordenadas de referencia. En problemas en el plano,

conviene expresar un vector especificando su magnitud y dirección en notación polar. El lugar

geométrico de cualquier punto de un mecanismo plano se representa con su verdadero tamaño y

forma real, en un solo dibujo o figura. La transformación del movimiento de cualquier

mecanismo de esta índole se llama coplanar (Shigley, 1988).

Los mecanismos que sólo utilizan pares cinemáticos inferiores (eslabonamiento plano)

únicamente pueden incluir articulaciones de revolución y pares prismáticos.

2.3.1.1 Mecanismo plano de 4 barras.

Para el análisis cinemático de un mecanismo plano de cuatro barras, se tienen que determinar

ciertas restricciones (Shigley, 1988):

Capítulo II


• Determinación del número de grados de libertad: Éste se puede calcular a partir del

número de coordenadas dependientes y del número de ecuaciones de restricción

independientes.

• El problema de posición inicial: Consiste en calcular la posición inicial del sistema

(coordenadas dependientes) a partir de los valores de los grados de libertad (coordenadas

independientes) y de las dimensiones de los distintos elementos. El problema del análisis

de posición es determinar los valores de todas las variables (posiciones de todos los

puntos y articulaciones) dadas las dimensiones de cada eslabón, y el valor o valores de

las variables independientes, es decir aquellas que se escogen para representar los grados

de libertad del mecanismo.

• El Problema de los desplazamientos finitos: sirve para calcular una nueva posición del

sistema a partir de unos incrementos finitos de las coordenadas independientes.

• Análisis de velocidades: Calcula las velocidades dependientes a partir de las

independientes.

• Análisis de aceleraciones: Calcula las aceleraciones dependientes a partir de todas las

velocidades y de las aceleraciones independientes. 2.3.1.1.1 Grados de libertad.

En un sistema, los grados de libertad (GDL) son el número de parámetros independientes

(medidas) que se necesitan para definir unívocamente su posición en el espacio en cualquier

instante. Para determinar los GDL totales de un mecanismo se debe tener en cuenta el número de

eslabones y articulaciones, así como las interacciones entre ellos. De acuerdo a la condición de

Kutzbach (Shigley, 1988), un eslabón cualquiera en un plano tiene 3 GDL antes de conectarse

entre sí, cuando se mueven en relación al eslabón fijo. Sin contar este último, un mecanismo de n

eslabones posee 3(n-1) grados de libertad antes de conectar cualquiera de las articulaciones.

Cuando las restricciones de todas las articulaciones se restan del total de grados de libertad de

los eslabones no conectados, se encuentra la movilidad resultante del mecanismo conectado.

Este razonamiento conduce a la ecuación de Kutzbach:

m= 3(n-1)-2j1-j2 (2.1)

En donde:

m = Grados de libertad, n = Número de eslabones, j1= Numero de pares de un solo grado de

libertad, j2= Número de pares con dos grados de libertad.

Capítulo II


Para un mecanismo de 4 barras, los grados de libertad son:

m= 3(4-1)-2(2)-0=1 (2.2)

Para un mecanismo de 6 barras los grados de libertad son:

m= 3(6-1)-2(7)-0=1 (2.3)

Si este criterio da m > 0, el mecanismo posee m grados de libertad. Si m=1, este se puede

impulsar con un solo movimiento de entrada, si m=2, se necesitan dos movimientos de entrada

separados para producir un movimiento restringido del mecanismo. Si m=0 el movimiento es

imposible y forma una estructura.

2.3.1.1.2 Ley de Grashof.

Esta ley afirma que para un eslabonamiento plano de cuatro barras (Figura 2.1), la suma de las

longitudes más corta y más larga de los eslabones no puede ser mayor que la suma de las

longitudes de los eslabones restantes (Figura 2.2), si se desea que exista una rotación relativa

continua entre dos elementos (Tabla 2.1). Para el tipo de problema a resolver, el mecanismo con

cambio de punto es el más adecuado.

Figura 2.1 Partes de un mecanismo de 4 eslabones.

Tabla 2.1 Clasificación de Grashof para mecanismos de 4 barras (Martin et al., 2007).

Tipo de mecanismos Barra más corta

Relación entre la longitud de las barras

Eje inestable del balancín

Manivela s + l < p + q

Fricción en el acoplamiento

Tierra s + l < p + q

Doble balancín Acoplamiento s + l < p + q

Capítulo II


Cambio de punto Cualquiera s + l = p + q Triple eje de balancín Cualquiera s + l > p + q

Siendo s=longitud del eslabón más corto, l=longitud del eslabón más largo, p=longitud del eslabón restante y q=longitud del eslabón restante.

Figura 2.2. Tres inversiones del cuadrilátero de Grashof (Martin et al., 2007).

Esta ley aplica principalmente para mecanismos de cuatro eslabones, pero si se quiere analizar

uno de seis, como el tipo Watt, se puede considerar como dos eslabonamientos de cuatro barras

conectados en serie y que tienen dos eslabones en común. El tipo Stephenson puede considerarse

como dos eslabonamientos de cuatro barras conectados en paralelo y que tienen dos eslabones en

común.

2.3.1.1.3 Análisis de posición, velocidad y aceleración.

Una meta del análisis cinemático consiste en determinar las aceleraciones de todas las partes

móviles del conjunto. Se necesitan conocer las fuerzas dinámicas con el fin de calcular los

esfuerzos en los componentes. Para calcular los esfuerzos se necesitan conocer las fuerzas

estáticas y dinámicas en las partes, y con el fin de determinar tales fuerzas dinámicas es

necesario conocer las aceleraciones. Para calcular éstas, debemos hallar primero las posiciones

de todos los eslabones del mecanismo para cada incremento en el movimiento de entrada y luego

derivar las ecuaciones de posición con respecto al tiempo para obtener velocidades; se derivan

luego éstas con el fin de tener las expresiones de aceleración (Norton, 1999).

2.3.1.1.4 Espaciamiento de Chebychev

Si θ2 es la posición angular del eslabón 2, en un eslabonamiento de cuatro barras, y θ4 es la

posición angular del eslabón 4, entonces uno de los problemas de la síntesis cinemática es

encontrar las dimensiones del eslabonamiento de tal manera que en donde f es

Capítulo II


cualquier relación funcional deseada. Aunque el problema no sea resuelto, es posible especificar

hasta 5 valores para θ2 llamados puntos de precisión y encontrar un eslabonamiento que satisfaga

la relación deseada para la función y luego seleccionar de 2 a 5 puntos de precisión a partir de la

gráfica para utilizarlos en la síntesis (Freudenstein & Sandor, 1964). Si el proceso tiene éxito, la

relación funcional se satisface para estos puntos; pero ocurrirán desviaciones en otros. Uno de

los principales problemas de diseño de eslabonamiento consiste en seleccionar un conjunto de

puntos de precisión para utilizarlos en la síntesis, de tal modo que se minimice el error

estructural o los puntos que se presentan en las desviaciones.

Como primera aproximación, el mejor espaciamiento es el de Chebychev. Para n puntos en un

intervalo ,el espaciamiento según (Freudenstein & Sandor, 1964, Shigley, 1988)

es:

donde j=1,2,…n y xj son los puntos de

precisión.

Estos puntos se obtienen gráficamente construyendo primero un círculo cuyo diámetro es el

intervalo Δx dado por la ecuación:

∆ (2.4)

En este círculo se traza un polígono inscrito regular de n lados y se bajan perpendiculares en

cada vértice que intersectarán a Δx en los puntos de precisión como se muestra en la Figura 2.2.

Este espaciamiento se considera la aproximación inicial dependiendo de la necesidad de

exactitud del problema. Si se requiere de mayor exactitud entonces, mediante una curva del error

estructural contra x, se pueden determinar visualmente los ajustes que se deben hacer en los

puntos de precisión para la aproximación siguiente. Ejemplo:

∆ 5 12

12

2 12 0.5 1 3 0.5 3 1 cos

2 1 12 5 1.0489

Capítulo II


Figura 2.3 Ejemplo de Espaciamiento de Chebychev de 5 puntos de precisión.

2.3.1.1.5 Síntesis de mecanismos manivela oscilador

Las posiciones límites del oscilador en un mecanismos de manivela oscilador están identificadas

con A1, B1 y A2, B2 (Figura 2.4). En éste, la manivela y el acoplador quedan en una sola

posición en cada posición extrema. En este caso, la manivela recorre ψ el oscilador recorre φ y

en el retroceso, la manivela recorre 360-ψ el oscilador recorre φ (Shigley, 1988).Este mecanismo

se emplea en algunas ocasiones para definir una línea recta por el acoplador o biela. El

eslabonamiento de Watt es un mecanismo de cuatro barras que desarrolla una línea

aproximadamente recta como parte de la curva del acoplador. Aunque no describe una recta

exacta, se logra una aproximación aceptable sobre una distancia de recorrido considerable.

Figura 2.4 Síntesis de un eslabonamiento de 4 barras (Shigley, 1988).

Capítulo II


2.3.1.1.6 Método de Newton Raphson para la solución de funciones no lineales.

Es un método iterativo que se emplea para la obtención de raíces de una función. Este método no

trabaja sobre un intervalo específico, sino que basa su formulación en un proceso iterativo

(Velázquez-Sánchez, 2008). El Método de Newton-Raphson asume que la función f (x) es

derivable sobre un intervalo cerrado [a,b]. Entonces f (x) tiene una pendiente definida y una línea

tangente única en cada punto dentro del intervalo [a,b]. La tangente en (x0, f (x0)) es una

aproximación a la curva de f (x) cerca del punto (x0, f (x0)). En consecuencia, el cero de la línea

tangente es una aproximación del cero de f (x) o denominada raíz de f(x) (Figura 2.5).

Figura 2.5 Modelo general del Método de Newton Raphson.

Para el análisis de convergencia: sean x0, x1, x2,..., xn, xn+1 las aproximaciones en sucesivas

iteraciones, r el verdadero valor de la raíz. Si se toma como error en la n-esima iteración a en

entonces el error en estará dado por: en =xn −r y en consecuencia en+1=xn +1−r que es conocido

como la diferencia de Newton (Trejo-Aguirre, 2008) y representa la cantidad de corrección a la

solución aproximada en la n-ésima iteración. El modelo matemático de este método es el

siguiente(Norton, 1995, Merchán-Cruz, 2005):

Para un conjunto de funciones no lineales se tiene:

1, 2, 3, … 0, 1,2, … , (2.5)

Donde fi es una función no lineal de las xj. Teniendo una estimación inicial de la solución, ésta

se puede escribir como:

∆ (2.6)

Donde es la estimación inicial y ∆ es una corrección desconocida. Si se expande la ecuación

2.6 para obtener un polinomio de Taylor truncado de primer orden alrededor de se obtiene:

Capítulo II


∆ , , … (2.7)

Donde las derivadas parciales se evalúan con las condiciones iniciales. Escribiendo la ecuación

como matriz:

∆ (2.8)

Donde J es la matriz jacobiana dada por:

(2.9)

∆∆∆∆

(2.10)

, , , … … ., , , … … ., , , … … .

(2.11)

Las derivadas parciales pueden evaluarse con una aproximación de diferencia:

, … . , , … . , , …

(2.12)

Donde es un valor pequeño elegido arbitrariamente.

Generalizando el método se tiene:

(2.13)

Siendo k el valor de la incógnita que indicara el numero de iteraciones para obtener el mejor

valor a la aproximación de la curva f(x).

La síntesis del método se presenta en la Figura 2.6.

Capítulo II


Figura 2.6 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en la Síntesis de Mecanismos.

2.3.1.1.7 Síntesis analítica con algebra compleja.

La posición de un punto en el plano se define mediante un vector de posición. La elección de

ejes de referencia es arbitraria y se puede expresar en forma polar para proporcionar la magnitud

y la dirección del vector o en forma cartesiana para aportar los componentes X y Y del mismo

(Norton, 1995). La utilidad real de los números complejos en el análisis en el plano se debe a la

facilidad con que se pueden pasar a la forma polar, si se usa la notación compleja rectangular

para un vector R se puede describir:

/ cos sin (2.14)

Y si se emplea Euler se tiene:

(2.15)

Capítulo II


El cuál también se puede escribir en la forma polar compleja como:

(2.16)

Utilizando estas ecuaciones se obtiene el movimiento complejo en un vector, el cuál es la suma

de los componentes de traslación y rotación. (Bloch, 1940) desarrolló un método para la síntesis

de mecanismos de 4 barras utilizando algebra compleja, para esto, reemplazan cada uno de los

elementos del mecanismo por un vector de posición, presentado en notación compleja polar.

Empleando este método para la Figura 2.7, cada vector que define a los eslabones se presenta de

la siguiente forma (Norton, 1995):

Figura2.7. Mecanismo de cuatro barras.

Siendo xd y yd los valores del punto deseado, x0 y y0 los puntos para el origen, r2 la manivela, rcx

y rcy los eslabones que tocan el punto de precisión. Con base en la Figura 2.7 se tiene:

(2.17)

Al aplicar la notación polar:

Si se sabe que por Euler se tiene:

Al desarrollar (2.18) en forma cartesiana, aplicando Euler se tiene:

De (2.20) se puede agrupar la parte real y la parte imaginaria para formar ecuaciones simultáneas

y obtener las incógnitas de los ángulos , que se desarrollaran más adelante.

(2.18)

(2.19)

(2.20)

Capítulo II


Real: (2.21)Imaginaria: (2.22)

Reacomodando estas ecuaciones para despejar y asumiendo que 0 y es un valor de

entrada que se puede manipular se obtiene:

(2.23)

(2.24)

Sumando y elevando al cuadrado ambas ecuaciones para simplificar se tiene:

2 2 2 cos (2.25) Esta ecuación debe normalizarse para reducir su complejidad, y para esto se utilizan las

constantes K1, K2 y K3 en términos de las longitudes de los eslabones:

, 2 (2.26)

Por lo tanto en notación simplificada la ecuación (2.27), conocida también como la ecuación de

(Freudenstein, 1956) se puede expresar como sigue:

cos (2.27) Para reducir más esta ecuación se emplean las identidades trigonométricas del ángulo mitad, que

convertirán los términos en y en términos de tan :

2 21 2

(2.28)

1 21 2

(2.29)

Conocida , de (2.27) se agrupan nuevamente las variables, teniéndose:

(2.30)2 (2.31)

1 (2.32)

2 20 (2.33)

Capítulo II



, 2√ 4

2 (2.34)

Como se observa, (2.34) tiene soluciones que pueden ser reales iguales, reales distintas y

complejas conjugadas. Si estas son complejas conjugadas, los eslabones con esas longitudes no

se conectan (no forman una cadena cinemática cerrada) para el valor de seleccionado

(Moreno-Pérez, 2006).

Para calcular el ángulo , se realiza un procedimiento similar al cálculo de . Hay que

regresar a (2.21 y 2.22) despejando ahora , resultando:

(2.35)

(2.36)

Elevando al cuadrado y sumando para eliminar se obtiene la ecuación:

cos cos (2.37)

La constante es la misma que para , K4 y K5 son:

y (2.38)


2 2 0 (2.39)

Donde:

(2.40)2 (2.41)

1 (2.42) Y la solución es:

, 2E √E 4DF

2D

(2.43)

Capítulo II


Igual que para , hay dos soluciones correspondientes a las ramas cruzadas y abiertas del

eslabonamiento, que de acuerdo a la configuración para este mecanismo, deben elegirse los

signos de acuerdo a la Tabla 2.2:

Tabla 2.2. Configuración de mecanismos (Moreno-Pérez, 2006).

Configuración Abierta + √ - √ Cruzada - √ + √

La posición de un punto P sobre el eslabón acoplante (como el mostrado en la figura 2.7) se

puede calcular una vez que se tienen los ángulos y dado que el marco de referencia se

encuentra localizado en xo y yo:

(2.44)

Una ventaja de utilizar la notación de números complejos para representar vectores planos (o en

el plano) proviene de la identidad de Euler y sirve para desarrollar y deducir las ecuaciones para

la posición, la velocidad y la aceleración del eslabonamiento(Norton, 1995).

2.3.1.1.8 Centro Instantáneo de Rotación en un mecanismo policéntrico.

El centro instantáneo es la ubicación instantánea de un par de puntos coincidentes de dos

cuerpos rígidos diferentes para los que las velocidades absolutas de los dos puntos son iguales.

También se puede definir como la ubicación de un par de puntos coincidentes de dos cuerpos

rígidos diferentes para los que la velocidad aparente de uno de los puntos es cero, tal y como la

percibe un observador situado en el otro cuerpo. En general, el centro instantáneo entre dos

cuerpos no es un punto estacionario, sino que su ubicación cambia en relación con ambos

cuerpos, conforme se desarrolla el movimiento y describe una trayectoria o lugar geométrico

sobre cada unión de ellos. Estas trayectorias son llamadas centrodas. Éste sirve para obtener la

síntesis del mecanismo respecto a su posición, velocidad y aceleración. En las prótesis

policéntricas, éste varia con el ángulo de flexión de la rodilla y determina el control mecánico de

ésta (Oberg & Kamwendo, 1988).

Para un mecanismo de 4 barras, los centros instantáneos de rotación se muestran en la Figura

2.8, los puntos P2.4,P2.3, P2.1, P3.1, P1.4 y P3.4, muestran la unión de los centros instantáneos,

Capítulo II


estos son los que se pueden determinar a simple vista, aunque existe una fórmula para

establecerlos , además del Teorema de Aronhold-Kennedy (Norton, 1995). La combinación para

n objetos tomados r en cada vez, es:

1 2 … 1!

(2.45)

Aplicando esta ecuación, para un mecanismo de 4 barras se tienen 6 CI, para uno de 6 barras 15

CI y para uno de 8, 28 CI.

Figura 2.8 Centros instantáneos de rotación en un mecanismo de 4 barras.

2.3.1.2 Implementación de los métodos en la síntesis de un mecanismo de 4 eslabones.

Se tiene un mecanismo plano de 4 eslabones, como el mostrado en la Figura 2.7, en el cuál se

requiere obtener la longitud de todos los eslabones y el valor de los ángulos de la biela y el

seguidor, aplicando el método de Newton Raphson, algebra compleja y los centro instantáneos

de rotación.

Para hacer el análisis cinemático, se parte de obtener la ecuación que refleja el orden particular

de los vectores para formar una cadena cinemática cerrada y una cadena abierta , para esto se

aplican las ecuaciones 2.21 y 2.2.2, que son la base para obtener la Función de Freudenstain, que

es la relación entrada-salida del sistema, para cadena cerrada:

Capítulo II


(2.46)

Y para la cadena cinemática abierta del mecanismo antes referido se tiene:

(2.47)

Si se toma la función correspondiente a la cadena abierta, como primer ejemplo, considerando

como variables, para este caso xo, r2, yo, rcx y rcy, y el número de puntos de precisión (5 por

ejemplo), el jacobiano respectivo es:

1 1

5 5

(2.48)

Si se substituyen los valores propuestos para las variables correspondientes, los valores deseados

impuestos en la trayectoria para x y y, además del ángulo de entrada , además de substituir

estos en la ecuación 2.48, se obtendrán la primer aproximación de las raíces para la obtención de

la curva para cada variable.

Substituyendo los valores obtenidos de las variables en la función de posición correspondiente a

los puntos generados se tienen:

/2 (2.49)

/2 (2.50)

Para saber en qué momento debe terminar esta serie de iteraciones, es necesario definir una

restricción, para este caso se plantea la distancia euclidiana entre el valor deseado y el generado,

presentado por la ecuación 2.51:

(2.51)

Dos situaciones en las que el Método de Newton no funciona adecuadamente: (a) el Método no

alcanza la convergencia y (b) el Método converge hacia un punto que no es un cero de la

ecuación (Luthe et al., 1982).

Capítulo II


Con los valores de las dimensiones obtenidos para los eslabones y los ángulos y

se desarrollan las ecuaciones para algebra compleja, que para este ejemplo se representan por:

(2.52) (2.53)

(2.54) (2.55) (2.56) (2.57) (2.58)/ (2.59)

Y por último los centros instantáneos de rotación vienen dados por: 4 4 1

2 6 (2.60)

2.3.1.3 Mecanismos de seis barras.

En ocasiones, en las que se halla una buena solución a un problema de síntesis de

eslabonamiento, que satisface las restricciones de generación de trayectoria, pero ésta tiene los

pivotes fijos en localizaciones impropias para la unión al plano o al armazón de fijación

disponible, se presentan los mecanismos cognados. Este término fue empleado por (Denavit &

Hartenberg, 1955) para describir un eslabonamiento de distinta configuración, que genera la

misma curva que el acoplador.

De acuerdo al teorema de Roberts-Chebychev (Shigley, 1988), tres eslabonamientos planos de

cuatro barras articuladas, describirán curvas del acoplador idénticas. Al hacer arreglos entre los

mecanismos cognados de cuatro barras, se obtienen las configuraciones fundamentales de

mecanismos de 6 barras, el tipo Watt y el tipo Stephenson, como los mostrados en la Figura 2.9.

Capítulo II


Figura 2.9. Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Watt y Tipo Stephenson.(Dewen et al., 2003).

Dicha clasificación depende de los eslabones ternarios (miembros con tres articulaciones de

revolución). En la cadena Watt, los eslabones ternarios son adyacentes; en la cadena Stephenson,

los eslabones ternarios están separados por eslabones binarios.

La síntesis de mecanismos de 6 barras es estudiada para cubrir ciertas exigencias que no se

pueden cubrir con los mecanismos de 4 barras. Estos se emplean cuando se tienen

requerimientos que producen una detención (que es cuando existe un periodo inmóvil del

acoplamiento de la salida para el movimiento diferente a cero del acoplamiento de la entrada), en

el acoplamiento de la salida durante los periodos predefinidos del movimiento del acoplamiento

de la entrada (Norton, 1999). Aplicados a la prótesis de miembro inferior, ofrecen movimientos

con mejor coordinación en la fase de postura y avance.

En la síntesis de mecanismos de 6 barras, la optimización se formula generalmente como la

minimización del error en ángulos correlacionados de la entrada y la salida. Es decir, la posición

del error que se presenta entre la trayectoria obtenida y la trayectoria deseada.

A estos mecanismos también se les puede hacer la síntesis por medio del método de Newtón

Raphson y por algebra compleja siguiendo el mismo principio que para un mecanismo de cuatro

barras, ya que los de 6 eslabones se forman por la unión de 2 mecanismos de esta configuración.

2.3.2 Mecanismos espaciales.

Capítulo II


El problema de la síntesis de mecanismos espaciales se puede dividir en brazos manipuladores,

mecanismos paralelos y mecanismos esféricos. Los mecanismos de cadena abierta, conocidos

como robots manipuladores están constituidos por una serie de barras dispuestas en serie y

conectadas mediante pares que en conjunto proporcionan una gran movilidad a un actuador final

(Sanchéz-Marín, 2000). Estos tienen como principal inconveniente el hecho de que debido a su

configuración, acumulan el error de posicionamiento de los diferentes pares cinemáticos desde la

base hasta el actuador final, creciendo este error con la fuerza aplicada en dicho actuador. La

síntesis de este tipo de mecanismos se centra en la elección de los pares y la determinación de la

longitud de las barras de forma que se obtenga una movilidad y precisión óptima. En los

mecanismos paralelos los eslabones y pares forman parte de dos o más cadenas cinemáticas que

están diseñadas para funcionar en paralelo. De éstas existen muchas posibles configuraciones,

siendo la más conocida la plataforma de Stewart (Sanchéz-Marín, 2000). Sus seis grados de

libertad le proporcionan una gran movilidad y precisión (Figura 2.10). La síntesis se centra

fundamentalmente en la búsqueda de nuevas configuraciones o síntesis de tipo y en el

dimensionamiento de los eslabones para el cumplimiento de una serie de requisitos de

movilidad.

Figura 2.10 Plataforma Stewart. (Sanchéz-Marín, 2000)

Los mecanismos esféricos se caracterizan porque generalmente poseen únicamente pares

inferiores y estos pares se mueven dentro de una superficie esférica (Sanchéz-Marín, 2000). La

síntesis de estos tiene características similares a la síntesis de mecanismos planos con pares

inferiores en lo referente a tipología, objetivos y requisitos.

Capítulo II


En los mecanismos espaciales de un grado de libertad existe una Configuración de Insensitividad

de Posición (CIP) que se aplica cuando hay una configuración del mecanismo tal que, aunque se

introduzca un movimiento con una velocidad cualquiera en el eslabón de entrada, el eslabón de

salida permanezca inmóvil. De manera análoga, habrá una configuración de incertidumbre de

posición (CIN) cuando el eslabón de salida pueda realizar determinados movimientos estando

inmóvil el eslabón de entrada (Zabalza-Villava, 1999). Para algunos mecanismos espaciales de

un grado de libertad, con base en el cuadrilátero articulado, algunos autores (Freudenstein &

Kiss, 1969, Freudenstein & Primrose, 1976, Gupta & Radcliffe, 1971, Söylemez &

Freudenstein, 1982, Tinubu & Gupta, 1984, Willians & Reinholtz, 1987, Rastegar & Tu, 1992,

Zabalza-Villava, 1999) han estudiado, los límites de su espacio de trabajo, que son posiciones de

los mecanismos en las que se producen las CIP. En los mecanismos planos o espaciales de varios

grados de libertad, se presentará una CIP cuando el eslabón de salida permanezca inmóvil para

una velocidad cualquiera de uno o varios eslabones de entrada. Del mismo modo, se tendrá una

CIN cuando el eslabón de salida tenga algún movimiento estando inmóviles todos los eslabones

de entrada.

En mecanismos de varios grados de libertad, un determinado punto del brazo del robot describe

una superficie que suele ser, de alguna manera, límite del espacio de trabajo. Mientras ese punto

determinado se encuentre en la superficie límite puede permanecer inmóvil independientemente

del movimiento de algún actuador, perdiendo el robot algún grado de libertad. A estas

configuraciones, normalmente las denominan como "configuraciones singulares" y las estudian

como límites negativos del espacio de trabajo, no habiendo ningún estudio que se conozca en el

que las consideren ventajosas: de manera formal, una singularidad tiene lugar cuando el inverso

del jacobiano del manipulador se indefine, esto es la velocidad de alguna articulación tiende

súbitamente al infinito (Craig, 1989).

2.4 Descripción de Algoritmo Genético.

Un algoritmo genético típico inicia con una población generada aleatoriamente. Los caracteres

en la cadena de solución son llamados genes. El valor y la posición en la cadena de un gen son

llamados lugar geométrico y alele respectivamente. Cada solución de la cadena es llamada

cromosoma. El código de las variables se llama genotipo, y las variables mismas se llaman

fenotipo (Figura 2.11).

Capítulo II


Figura 2.11 Representación de un cromosoma binario

Los individuos son seleccionados probabilísticamente para ser evaluados por la función objetivo

(Chen, 2004). La población evolucionará, a lo largo de las generaciones sucesivas, de tal manera

que la adaptación media extendida a todos los individuos de la población, así como la adaptación

del mejor individuo se irán incrementando hacia la óptima global. A medida que el número de

generaciones aumenta, es más probable que la adaptación media se aproxime a la del mejor

individuo. De esta forma un gen ha convergido cuando al menos un 95% de los individuos de la

población comparten el mismo valor para dicho gen. Se dice entonces que la población converge

cuando todos los genes han convergido. Los pasos para hacer un algoritmo genético según se

establece en (Goldberg, 1989) se presentan en el diagrama de la Figura 2.12:

Capítulo II


Figura 2.12 Diagrama de flujo de un algoritmo genético

Describiendo cada punto se tiene:

Población inicial: Se crea aleatoriamente y es codificada dentro del cromosoma de un arreglo

con longitud variable (Figura 2.13). La codificación puede hacerse en una representación

binaria(Goldberg, 1989, Merchán-Cruz, 2005), en base al dominio de cada variable, para la

síntesis de mecanismos, la longitud de los eslabones y los ángulos de movimiento, se calcula el

número de bits y la longitud del cromosoma con (2.52) y (2.53) respectivamente, siendo p el

número de dígitos de precisión después del punto (Michalewicz, 1999). Para poder hacer la

evaluación se tiene que hacer la decodificación y obtener valores reales, por ejemplo para los

ángulos de transmisión:

( )( )( )2log

10log minmaxp

iii

rrnbits

×Δ−Δ=

(2.61)

Capítulo II


Donde

nbits Es el número de bits por variable

rmáx Límite máximo de la variable.

rmin Límite mínimo de la variable.

p Precisión en decimales.

∑=

=n

iinbitslongcr

1

(2.62)

Figura 2.13 Representación de la población.

El tamaño de una población ni de cromosomas de longitud longcr, con una codificación binaria,

compuesta por una serie de genes y aleles, debe ser suficiente para garantizar la diversidad de las

soluciones creadas por una notación mediante cadenas compuestas por 0 y 1, si se escoge una

representación binaria.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=×

longcrnini

longcr

longcrnibb

bbs

,1,

,11,1

K

M

K

(2.63)

La población debe evaluarse decodificando los genes del cromosoma, para convertirse en una

serie de soluciones factibles al problema:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

−

Δ−Δ⋅⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+Δ= ∑

= 122 minmax

0min longcr

iinbits

j

iiii

i

bx θθθ

(2.64)

x La variable decodificada.

bi Bit de la cadena.


Capítulo II


Evaluación: Durante ésta, se decodifica el gen, convirtiéndose en una serie de parámetros de un

problema. Se halla la solución de éste a partir de esos parámetros, y se le da una puntuación a

esa solución (llamada fitness) en función de lo cerca que esté del mejor resultado. Ésta debe

reflejar el valor del individuo de una manera real, pero en muchos problemas de optimización

combinatoria, donde existe una gran cantidad de restricciones, buena parte de los puntos del

espacio de búsqueda representan individuos no válidos.

aptitudfunciónxfitnessf ii == )( (2.65)

∑=

=j

iipop fF

1

(2.66)

Para resolver el gran número de restricciones se han propuesto soluciones como:

• Absolutista: Los individuos que no verifican las restricciones, no son considerados como

tales y se siguen efectuando cruces y mutaciones hasta obtener individuos válidos, o bien

de dichos individuos se les asigna una función objetivo igual a cero.

• Regenerador: Es un operador que reconstruye aquellos individuos que no verifican las

restricciones.

• Penalización de la función objetivo: Consiste en dividir la función objetivo del individuo

por una cantidad (la penalización) que guarda relación con las restricciones que dicho

individuo viola. Esta cantidad puede tener en cuenta el número de restricciones violadas

o el costo esperado de reconstrucción, que es un coste asociado a la conversión de dicho

individuo en otro que no viole ninguna restricción.

• Evaluación aproximada de la función objetivo: La obtención de n funciones objetivo

aproximada puede resultar mejor que la evaluación exacta de una única función.

Selección: El proceso consiste en elegir individuos de acuerdo a su contribución de aptitud con

respecto al total de la población, existen varias técnicas, pero la más utilizada es la función de

selección proporcional a la función objetivo, con ésta, cada individuo tiene una probabilidad de

ser seleccionado como padre, que es proporcional al valor evaluado mediante la función

objetivo.

Capítulo II


(Baker, 1987) introdujo el muestreo universal estocástico, el cuál utiliza un único giro de ruleta,

siendo los sectores circulares proporcionales a la función objetivo. Los individuos son

seleccionados a partir de marcadores igualmente espaciados y con comienzo aleatorio. En este

método, si se determina una población de tamaño N de generación t, de un algoritmo, donde

existen k individuos del esquema H y que f1, f2 …fk son los valores de la función de adaptación.

Si se selecciona aleatoriamente un miembro de la población usando el mecanismo de la ruleta, la

probabilidad de que este sea el i-ésimo representante del esquema H es:

∑=

= N

ji

ii

f

fp

1

(2.67)

Con esta fórmula se calcula la población inicial, pero ésta sólo es válida para el tipo de selección

proporcional o de ruleta.

Para la selección de la ruleta se necesita conocer el grado de adaptación de alguno de los

individuos Fi, y la suma de la población calificada de los individuos adaptados ∑=

N

iiF

1

y la

circunferencia Ci, la fórmula de la ruleta será ( 2.68 y 2.69) y se representa por la Figura 2.14:

pop

ii F

fw = (2.68)

∑−

=

+=1

0

p

kpkp wwL (2.69)

Capítulo II


Figura 2.14 Selección por ruleta.

Algunas otras técnicas para la selección son las presentadas en los trabajos de (Holland, 1975,

Goldberg & Deb, 1991, Deb, 2004, Fleming & Purshouse, 2001, Whitley, 1994), algunas de

estas son:

Tipos de selección:

• Selección Proporcional: Seleccionado proporcionalmente a su valor de aptitud.

• Selección de Estado Uniforme. Algunos individuos menos aptos son reemplazados.

• Sobrante Estocástico. Es determinista con la parte entera de valores esperados y

proporcionales para la parte fraccionaria de cada individuo.

• Universal Estocástico. Distribución de los individuos en función de sus valores

esperados.

• Muestreo Determinístico. Basado en el sobrante estocástico y un algoritmo de

ordenación.

• Escalamiento Sigma. Está en función de su aptitud, la media y la desviación estándar.

• Selección por Jerarquías. Clasifica a los individuos con base en su rango.

• Selección de Boltzmann. Se basa en el proceso del recocido simulado para seleccionar.

• Selección por torneos. Posibilidades de ganar en una competencia por comparaciones

directas de los individuos, ya sea en forma determinista o probabilística.

• Selección por truncamiento. Complejo en el tiempo y no se basa en la aptitud.

• La selección de rango lineal. Lineamiento de acuerdo a su rango y valores de aptitud.

• Selección de rango exponencial. Ponderación exponencial de probabilidades en los

individuos.

• Brecha Generacional. Los padres de una población no compiten contra sus hijos.

• Selección Disruptiva. Normaliza las aptitudes con respecto a un cierto valor moderado.

• Selección Competitiva. Es a través de las interacciones con miembros de la población, o

con otros miembros de una población separada que evoluciona concurrentemente.

Cruzamiento: La idea principal del cruce se basa en que, si se toman dos individuos

correctamente adaptados al medio y se obtiene una descendencia que comparta genes de ambos,

existe la posibilidad de que los genes heredados sean precisamente los causantes de la bondad de

los padres. Al compartir las características buenas de dos individuos, la descendencia, o al

Capítulo II


menos parte de ella, debería tener una bondad mayor que cada uno de los padres por separado. Si

el cruce no agrupa las mejores características en uno de los hijos y la descendencia tiene un peor

ajuste que los padres no significan que se esté dando un paso atrás. Optando por una estrategia

de cruce no destructiva garantizamos que pasen a la siguiente generación los mejores individuos

(Gestal-Pose, 2006) .

Si se aplica un cruzamiento con una probabilidad pc sobre los individuos seleccionados

previamente, algunas de las cadenas H se cruzarían con otras, de forma tal que la cadena

resultante ya no sería representante de la cadena original, es decir (Kuri-Morales & Galaviz-

Casas, 2002):

( ) ( ) ( ) ( )rc ppfHftHmcruseltHm −≥++ 1,,

(2.70)

Donde:

( )tHm , = k: Es el número de individuos del esquema en la población de generación t.

pr= Probabilidad de ruptura del esquema H bajo el tipo de cruzamiento que esté siendo

utilizado.

Tipos de cruzamiento.

Ya que se tienen seleccionados los mejores individuos, el siguiente paso es hacer el cruce de

estos individuos, que puede ser por un punto, dos puntos o uniforme.

Estos se utilizan dependiendo del esquema que se analice, los cruzamientos más utilizados son,

según, (Kuri-Morales & J., 2002):

• Cruzamiento de punto: Se elige un punto de corte y se intercambian los segmentos

análogos de las dos cadenas.

• Cruzamiento de dos puntos: Se eligen dos puntos de corte y se intercambian los

segmentos medios de ambas cadenas, se considera a los extremos de la cadena como

sitios contiguos, como un anillo.

• Cruzamiento uniforme: Para cada posición de bit de una cadena a generar se elige

aleatoriamente el bit de la misma posición de alguna de las cadenas generadoras.

Capítulo II


Mutación: Es un operador que se aplica con probabilidad pm y que tiene el efecto de invertir un

bit utilizando una probabilidad de mutación del bit l-1, siendo l la longitud de la cadena del

cromosoma (Figura 2.15). En esta hay una variación del valor de los genes en forma aleatoria,

generalmente se da en valores muy pequeños, ya que no es tan significativo como el cruce

(Goldberg, 1989).

Figura2.15 Cruzamiento y Mutación.

El cruzamiento y la mutación son representados por:

Pc= 1-(lgcr-1)*Rand (2.71)

Pm = 1-(1-(lgcr-1))*Rand (2.72)

Donde Pc es la probabilidad de cruce, Pm la probabilidad de mutación, lgcr, la longitud del

cromosoma y Rand, es una serie de números aleatorios.

(De Jong, 1975) recomienda el uso de una probabilidad de mutación del bit l-1, siendo l la

longitud de la cadena del cromosoma, aunque algunos autores(Michalewicz, 1999, Laribi et al.,

2004, Merchán-Cruz, 2005, Cabrera et al., 2007, Erkaya & Uzmay, 2008) han obtenido mejores

resultados experimentales modificando la probabilidad de mutación a medida que aumenta el

número de iteraciones. Posteriormente se hace una nueva evaluación para comprobar que se

cumple la solución más óptima. También existen varios tipos de mutación, entre los que se

encuentran:

Tipos de mutación

• Mutación por Permutaciones. Útiles en problemas de optimización combinatoria.

• Mutación por Inserción. Se selecciona el valor de un individuo en forma aleatoria y se le

inserta en una posición arbitraria.

Capítulo II


• Mutación por Desplazamiento. Cambian de posición en la cadena varios valores a la vez.

• Mutación por Intercambio Recíproco. Se seleccionan dos puntos al azar y se

intercambian estos valores de posición.

• Mutación por factor múltiple. Este incorpora dentro del a mutación un factor de

perturbación, un valor porcentual de qué numero de alelos en un cromosoma serán

afectados de manera aleatoria, permitiendo generar una mutación de un alelo o más de

uno. Esta modificación se observa claramente cuando el algoritmo genético tiene una

convergencia prematura, potencializando la exploración del espacio factible de búsqueda,

sin embargo una taza lata en el factor puede degenerar la solución.

La mutación es necesaria porque permite de algún modo actualizar valores que se pudieron

haber perdido en la búsqueda de la mejor solución.

Condiciones de paro: Son las que van a determinar el número de iteraciones y generaciones que

se tendrán que crear en el proceso de análisis del algoritmo genético para encontrar el valor

optimo que resuelva la problemática presente o condiciones como repeticiones de buenos

resultados, valor mínimo de error, entre otros.

2.5 Descripción de un sistema lógico difuso.

Un sistema lógico difuso (SLD), es un mapeo no lineal de un vector de datos de entrada con una

salida escalar, es decir mapea números con números (Mathworks, 1999). Éste se forma de

conjuntos difusos, un conjunto difuso A en el universo del discurso U se puede definir como un

conjunto de pares ordenados:

( )( ) , AA x x x U= ∈μ (2.73)

y estando, 0,1

Siendo ( )A xμ la función de membresía, es decir el grado de pertenencia de x en A. Estando el

espacio de la membresía M en el universo [0,1]. El propósito de un conjunto difuso es

representar la ambigüedad e imprecisión que las cosas tienen en el mundo real, tratando de

eliminar las fronteras cerradas que separan a los miembros y no miembros de un grupo o

conjunto. Un problema que se presenta en los conjuntos difusos es la asignación de las funciones

Capítulo II


de membresía que los representan, ya que depende del criterio del diseñador y de la naturaleza

del problema. Una de las soluciones que actualmente se proponen a este problema es la

utilización de las redes neuronales para aproximar estas funciones.

Algunas de las operaciones que se realizan entre conjuntos difusos son las siguientes:

Complemento: El complemento A−

de un elemento de un conjunto difuso A está dado por la

diferencia entre la unidad y su grado de membresía correspondiente ( )A xμ , siendo definido

como:

( ) 1 ( )AA

x x x Uμ μ− = − ∀ ∈ (2.74)

Intersección: La intersección entre dos conjuntos difusos A y B, se denota como:

[ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( )A B A B A BA B x mín x x x x x Uμ μ μ μ μ∩∩ → = = ∧ ∀ ∈ (2.75)

Unión: La unión de los conjuntos difusos A y B se define como:

[ ]( ) ( ), ( ) ( ) ( )A B A B A BA B x máx x x x x x Uμ μ μ μ μ∪∪ → = = ∨ ∀ ∈ (2.76)

Igualdad: Dos conjuntos difusos A y B son iguales sí:

( ) ( )A BA B x x x Uμ μ= → = ∀ ∈

(2.77)

Subconjunto: A es un subconjunto de B, si y sólo si:

( ) ( )A BA B x x x Uμ μ⊆ → ≤ ∀ ∈

(2.78)

Producto cartesiano: El producto cartesiano de 1 2, ,..., nA A A es un conjunto difuso en el espacio

del producto 1 2 ... nU U U× × × , siendo las funciones de membresía:

( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2... 1, 2 1 2 1 1 2 2,..., , ,..., , ,...,

n nA A A n A A A n n nx x x mín x x x x U x U x Uμ μ μ μ× × × ⎡ ⎤= ∈ ∈ ∈⎣ ⎦ (2.79)

Suma algebraica: La suma A+B de dos conjuntos difusos está dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )A B A B A Bx x X x Xμ μ μ μ μ+ = + − ⋅ (2.80)

Capítulo II


Producto algebraico: El producto algebraico A B⋅ se define como:

( ) ( ) ( )A B A Bx x xμ μ μ⋅ = ⋅ (2.81)

Con esta serie de ecuaciones se puede diseñar un control difuso con el cual se evita la compleja

tarea de realizar un modelado dinámico del proceso, que en la mayoría de los casos resulta muy

laborioso y difícil.

2.6. Sumario

Este capítulo presentó los fundamentos necesarios para realizar el análisis y la síntesis de


necesidades especificas del cliente.

Se mostró una descripción de las ecuaciones y métodos para obtener la síntesis de mecanismos

planos para diseñar el número y tipo de eslabonamiento, los grados de libertad de movimiento y

el análisis de posición para generar la trayectoria. El desarrollo de éstas se enfocó a un

mecanismo de 4 barras, configuración base para poder diseñar posteriormente mecanismos con

un mayor número de eslabones y grados de libertad. Dentro del análisis dinámico, se describió el

manejo de los centros instantáneos de rotación para calcular velocidades y aceleraciones.

Se desarrolló el método de Newton Raphson para optimizar las funciones de Freudenstain para

cadena abierta y cerrada, derivadas de la síntesis de mecanismos, este método por sus

características se empleará como método numérico para validar y comparar resultados del

método metaheuristico a emplear, como son los algoritmos genéticos. También se desarrolló un

ejemplo ilustrando la forma de combinar y aplicar este método con el algebra compleja, que se

aplica en este tipo de análisis para determinar las posiciones de los eslabones, que son una de las

principales variables de los mecanismos cuando se diseñan para el seguimiento de trayectorias.

También es importante resaltar que Newton-Raphson es un método que converge

cuadráticamente, es decir, que el número de cifras decimales correctos se duplica

aproximadamente en cada iteración, o el error es aproximadamente proporcional al cuadrado del

Capítulo II


error anterior, por lo que puede llegar a tener algunas desventajas, como las presentadas en la

teoría, pero que pueden ser mejoradas si se aplica en combinación de otros métodos.

De los algoritmos genéticos se hizo una descripción de las etapas de que están formados, aquí se


generación de población por aplicación análoga de operaciones genéticas que ocurren

naturalmente. Estas operaciones son aplicadas a individuos seleccionados desde la población. Se

describió etapa por etapa , señalando los tipos de acciones que hay para cada una y la forma en

que se relacionan con la naturaleza, también se presento un gráfico que busca el facilitar el

entendimiento del orden que deben seguir cada una de las etapas para llegar al fin especifico,

que es encontrar de un conjunto de posibles soluciones, como es la población , el optimo

resultado para cumplir con el problema en específico, para este caso de estudio la síntesis de

mecanismos, teniendo como principales variables la longitud de cada eslabón y el valor de

ángulos que generaran el mejor movimiento llegando a un optimo local.

Otro método de optimización descrito es el de la lógica difusa que en forma general sirve para

representar la ambigüedad y la imprecisión que las cosas tienen en el mundo real.

Los fundamentos teóricos presentados en este capítulo servirán como base para el desarrollo del

capítulo tres, en el cual se describirá la simulación y la síntesis de mecanismos de 4 y seis

eslabones. Esto se realizara empleando los métodos matemáticos y los metaheuristicos, como

son Newton Raphson, Algebra compleja y Algoritmos genéticos, para poder observar y analizar

el desempeño que tienen cada uno de estos con un mismo problema y así determinar cuál es la

herramienta más viable para desarrollar y diseñar una prótesis policéntrica para miembro

inferior.

Capítulo III


60

SIMULACIÓN Y SÍNTESIS

DE MECANISMOS

En este capítulo se presenta la síntesis y el análisis de mecanismos planares y policéntricos para generar trayectorias predefinidas de mecanismos de 4 y 6 barras. La síntesis se hace con métodos numéricos y metaheurísticos como son los algoritmos genéticos.

Capítulo III


61

3.1 Generalidades de la síntesis de mecanismos.

La síntesis dimensional aproximada de mecanismos planos para generación de trayectoria, tiene dos

objetivos principales, dar al planteamiento una orientación hacia la resolución mediante

herramientas de programación y plantear estrategias de búsqueda del óptimo global dentro del

espacio de diseño, también busca una solución que usualmente no es única y el número de

requerimientos de diseño no es una limitación. Su principal característica de análisis es que parte de

un tipo de mecanismo conocido y busca determinar las dimensiones ideales para cumplir los

requisitos pasando por todos los puntos de precisión durante el ciclo completo de movimiento. En

este modelo se pueden resolver las longitudes de los eslabones y el ángulo de transmisión en un

mecanismo. Se dice que existe un máximo en el número de puntos de precisión que un mecanismo

puede satisfacer de forma exacta, en tal caso, se pueden conocer las dimensiones del que mejor

cumple los requisitos, es decir el óptimo que pasa lo más cerca posible de todos los puntos, lo que

conlleva a tener un problema de optimización llamado síntesis aproximada Esta da solución a

problemas más generales ya que admite requisitos de cualquier tipo y se puede resolver empleando

métodos como los algoritmos genéticos que buscan dentro de un campo de búsqueda muy alto la

mejor solución al problema establecido y aseguran cada vez más la obtención de un óptimo global.

Aunque también es necesario conocer y manejar los métodos exactos, para validar y comprobar el

correcto funcionamiento de los métodos aproximados.

Como punto importante de los algoritmos genéticos, se tiene la función objetivo, que se encarga de

evaluar los puntos de precisión en el espacio de diseño y en la solución de la síntesis óptima, que es

la característica a ser optimizada y tiene como base de evaluación el cálculo del el error entre la

trayectoria generada y la deseada. Como se puede tener un gran número de evaluaciones de esta, es

necesario buscar una función computacionalmente económica que se compatible con las

restricciones impuestas por condiciones como las de Grashof y en general el espacio de diseño.

Contando con la síntesis de mecanismos combinando métodos exactos y aproximados, se puede

obtener la simulación de estos, aplicando varias herramientas en las que se podrá observar el

comportamiento de estos modificando variables y condiciones de operación.

Capítulo III


62

3.2 Síntesis de mecanismos con Algoritmos Genéticos.

Analizando la función para la síntesis de mecanismos, aplicando algoritmos genéticos (Holland,

1975) y el planteamiento de autores como (Roston & Sturges, 1996, Kunjur & Krishnamurty, 1997,

Cabrera et al., 2002, Quintero-R et al., 2004, Laribi et al., 2004, Cabrera et al., 2007) se tiene la

representación general de la función dada por (3.1):

( ) ( ) ( )( )1 2, ,... nf p X p X p X (3.1)

Y está sujeta a ( ) 0 0,1,2,.....,

,j

i i

g X j m

X li ls x X

≤ =

∈ ∀ ∈

(3.2)

En donde f es la función óptima y cada X es un valor individual obtenido, pn son las funciones más

aptas por las propiedades que muestran a los objetivos de los sistemas optimizados, gj es la

definición de la búsqueda del espacio y ,li ls son los rangos de longitud definido por valores

enteros o reales.

Como caso de estudio, el análisis y la síntesis se enfocan a la generación de trayectoria, la cual, se

refiere a la posición del error que se presenta entre la trayectoria generada y la deseada, que

normalmente se plantea como la suma de los cuadrados de la distancia Euclidiana entre cada idC y

el correspondiente Cix, donde i

dC es un conjunto de puntos específicos indicados por el diseñador

(Cabrera et al., 2002) y Cix son los puntos generados obtenidos por los acoplamientos o uniones de

los mecanismos de acuerdo a un conjunto de valores de los ángulos θ de entrada:

,Ti i i

d Xd YdC C C⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.3)

( ) ( )2 2,

Tii iC Cx Cyθ θ⎡ ⎤= ⎣ ⎦ (3.4)

En los trabajos de síntesis de trayectoria realizados hasta la fecha por autores como(Roston &

Sturges, 1996, Kunjur & Krishnamurty, 1997, Cabrera et al., 2002, Quintero-R et al., 2004, Laribi

et al., 2004, Cabrera et al., 2007, Erkaya & Uzmay, 2008). La forma de comparar curvas más

Capítulo III


63

utilizadas es la técnica de la mínima distancia entre puntos al cuadrado. Ésta consiste en la

obtención de una serie de puntos de cada una de las curvas que se van a comparar y en la estimación

de su diferencia mediante la suma de los cuadrados de las distancias entre puntos homólogos de

ambas curvas. Han propuesto una función objetivo general igual a la suma de los cuadrados de

diferencias entre características de las curvas generadas y requeridas, con base en esto la función

óptima es:

(3.5)

En donde N es el número de puntos a ser sintetizados, es un conjunto de puntos específicos

indicados por el diseñador y son los puntos generados por el acoplador del mecanismo,

establecidas por las ecuaciones de Freudenstein para la cadena cinemática abierta, mostradas en las

ecuaciones 2.46 y 2.47.

Para cubrir los requerimientos de la función objetivo, se deben cubrir ciertas restricciones:

1. Condiciones de Grashof.

2. La secuencia de los ángulos de entrada.

3. El rango para el diseño de las variables.

4. El rango de variación para la entrada de los ángulos.

5. La relación entre el aumento en la entrada de un ángulo y la posición adyacente del punto de

acoplamiento.

Tomando como base los puntos antes mencionados, la ecuación resultante es:

(3.6)

En donde v= r1, r2, r3, r4, rcx, rcy, θ0, x0, y0, 1 22 2 2, ,........., Nθ θ θ , los ángulos 1 2

2 2 2, ,........., Nθ θ θ son el

valor de la variable del ángulo θ2 que es la posición, las variables i. j son el resto del cociente. Para

optimizar esta función, con base en la ecuación propuesta en el trabajo de (Erkaya & Uzmay, 2008)

Capítulo III


64

(3.7)

Donde N es el número de puntos de precisión.

El diagrama de flujo de la Figura 3.1, representa la síntesis de mecanismos empleando algoritmos

genéticos como herramienta de optimización y posteriormente se explica la secuencia de

operaciones.

Figura 3.1 Diagrama de flujo para la síntesis de mecanismos con algoritmos genéticos (Shiakolas et al., 2005).

Definición de población inicial: El tamaño adecuado de la población está en función del número de

individuos y del espacio explorado. Se puede considerar un tamaño de población considerablemente

Capítulo III


65

grande. Sin embargo, el uso de una estrategia elitista y un porcentaje alto de cruza y mutación,

pueden mejorar el desempeño del algoritmo con una población no tan grande. Lo que se requiere es

determinar en qué espacio se encuentran las posibles soluciones al problema que se pretende

resolver.

Se inicia determinando el número de alelos que tiene cada gen para formar al cromosoma:

Dominio=[ -60 60 -60 60 0 60 0 360]

[ ] Figura 3.2 Estructura del cromosoma

Estos valores se asignan con base en un bosquejo del mecanismo o restricciones impuestas por el

diseñador para cubrir una trayectoria específica. Para el ejemplo se están asignando los valores

máximos y mínimos en los que se encuentran las posibles soluciones para los eslabones y los

ángulos que generarán el movimiento.

Cada gen se forma por los valores máximos y mínimos en los que se encontrará la posible solución,

y aplicando la ecuación 2.52 presentada en el capítulo 2, se tiene:

Figura 3.3 Longitud del cromosoma

Como se observa los puntos de origen tienen 27 alelos que forman cada gen y darán un valor real,

posteriormente se tienen 26 para cada eslabón, 27 para los eslabones que indican el punto objetivo y

29 para los valores que ocuparan el valor óptimo de grados necesarios para generar el movimiento

específico. Cabe mencionar que la longitud del cromosoma aumenta según el número de puntos de

precisión que se vayan a analizar y al número de eslabones que se necesiten en el mecanismo. La

Capítulo III


66

longitud y el número de individuos se emplean para crear la población, la cual se genera

aleatoriamente, quedando para este ejemplo una matriz de 1000 individuos con una longitud de 270

bits por cromosoma (Figura 3.4).

Diseño de variables: El número de variables en el análisis de mecanismos planos depende

principalmente del número de eslabones que se necesitan para cubrir una trayectoria o una función

específica. Por ejemplo la base de este trabajo, los mecanismos de cuatro barras, como variables

tienen los datos presentes en la Tabla 3.1.

Codificación: Para emplear los valores asignados a las variables en el algoritmo genético, es

necesario tener una representación del genotipo para asignar los parámetros dentro de una cadena de

símbolos conocidos como genes. La representación utilizada a menudo es la binaria, esta presenta

un alto grado de paralelismo implícito y aumenta la probabilidad en la formación de bloques

constructores que mejoran el desempeño del algoritmo con el paso del tiempo, esta ofrece un mayor

número de esquemas posibles por bit de información comparada con cualquier otra codificación

posible, debido a la relación que tiene con la abstracción del lenguaje de programación al

microprocesador(Goldberg, 1989, Coello-Coello, 2007).

Tabla 3.1 Variables para mecanismo de 4 eslabones una posición

x0 y0 r1 r2 r3 r4 rcx rcy Punto inicial en x

Punto inicial en y

Eslabón base, fijo en tierra

Manivela Biela Balancín Eslabón indicador en x

Eslabón indicador en y

Angulo origen

Angulo principal generador de movimiento

Capítulo III


67

Figura 3.4 Población de 1000 individuos generada aleatoriamente.

Figura 3.5 Codificación y decodificación

Para este diseño de algoritmo genético, el primer filtro de la población se hace en este punto, ya que

se verifica que la población generada cumpla con las condiciones de Grashof (Shigley, 1988), los

que aprueban continúan empleándose en el análisis del mecanismo, y los que no, son desechados. El

procedimiento para efectuar esta acción es:

1. Asignación de valores a cada variable r1=x(:,3); r2=x(:,4); r3=x(:,5); r4=x(:,6);

2. Aplicando la fórmula para un mecanismo de tipo eje inestable de balancín se tiene: G1=r1+r2; G2=r3+r4; G3=(r2<r3 & r3<r4 & r4<r1); GR1=(G1<G2), GR2=(GR1 y G3); GR3=(GR1 yGR2); [M,N]=encontrar (GR3==1);

3. Los valores que cumplen las condiciones especificadas permanecen en la población para efectuar todo el proceso de los algoritmos genéticos.

Con la población generada se hace la decodificación de binario a decimal (Figura 3.6), empleando la

ecuación 2.55 del capítulo 2.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−

⋅

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−=

4987324.24112349...

2463548.8843858 24695923.4944239 34908459.5536797-

5567351.56337501

12)60(60

1511216193614...

5381579152544 719979567387 8

49923447790839581058429180

60 2701x

Valor decimal a emplear en la evaluación

Figura 3.6 Decodificación.

Este cálculo se hace para el número total de individuos, que en este ejemplo es 1000.

Antes de hacer la evaluación correspondiente con la función objetivo, se requiere tener la síntesis de

mecanismos para cada eslabón, y repetir el procedimiento con cada punto de precisión necesario

para cubrir la trayectoria especificada, es decir:

Capítulo III


68

1. Cálculo de los ángulos para un mecanismo de cuatro barras, con las ecuaciones 2.34

y 2.43.

2. Calculó de la posición de cada eslabón con base en las ecuaciones de la 2.52 a la 2.59 por

algebra compleja.

3. Repetir el procedimiento para cada punto de precisión tomando como base el ángulo

generador de movimiento.

Para cada punto de precisión se hace este cálculo y posteriormente se evalúan con la ecuación 3.10,

teniendo como ejemplo:

(3.8)

En donde Rcy representa la posición del último eslabón, el cual va a “tocar” el punto deseado durante

el movimiento. Para optimizar se aplica la ecuación 3.7, considerando las funciones para cada punto

de precisión y el número de individuos:

(3.9)

En este caso se optimiza mediante el máximo conteo de la función objetivo para evitar un problema

de singularidad, y para esto, se modifica a través de una función exponencial inversa, así la función

crece de forma normalizada mientras el error de distancia se reduce.

(3.10)

Capítulo III


69

Para mejorar los resultados, se emplea el elitismo y se pueden insertar en el proceso de los

algoritmos las etapas de regeneración y la herencia forzada:

Elitismo: En este se fuerza a que el mejor individuo de la población en un determinado tiempo sea

seleccionado como padre (Figura 3.7). Esta se puede generalizar especificando que permanezcan en

la población los n mejores individuos de las pasadas k generaciones. Para generar el elitismo los

pasos son:

1. Suma total de la función.

2. Promedio de la función.

3. Función actual toma el valor máximo de la evaluación de la función.

4. Se busca la posición del mejor elemento dentro de la población.

5. Se reúnen los mejores individuos de cada análisis en la nueva población y se proponen

como nuevos padres.

Figura 3.7 Elitismo y herencia forzada

Mecanismo de Regeneración: Un pequeño porcentaje de la población se puede renovar, lo que

permite incrementar la formación de bloques constructores con mejores posibilidades de encontrar

un valor óptimo, pero como inconveniente de un algoritmo evolutivo se tiene el problema de

convergencia prematura. Sin embargo, el proceso de evolución biológica puede validar el empleo de

un factor de regeneración y su preservación fundamental en los operadores genéticos de selección,

cruce y mutación. Para este caso se establece en un inicio un porcentaje de la cantidad de individuos

que pueden renovarse, este valor se reinserta en la población original para ser considerada en la

nueva evaluación.

Mecanismo de Herencia Forzada: El mecanismo de herencia forzada, es complementario del

mecanismo de regeneración, como estrategia para introducir cromosomas especializados en base al

Capítulo III


70

elitismo durante el proceso de cruce y mutación. A diferencia del elitismo, donde los individuos más

aptos de una población pasan a la generación siguiente sin ninguna alteración, la herencia forzada es

introducida en el proceso de regeneración, selección, cruce y la mutación, garantizando que el

individuo más apto de la generación anterior sufra el mínimo cambio potencializando su valor

aptitud de manera consistente, este mecanismo es muy útil cuando el número de variables en el

problema a resolver es considerablemente grande (Merchán-Cruz, 2005). Las operaciones

necesarias para la regeneración y la herencia forzada son:

1. Porcentaje de la población a regenerar

2. Se retoma el número de individuos, la longitud del cromosoma y por lo tanto el tamaño de la

población

3. Regeneración toma el valor de los individuos por el porcentaje a ser regenerado

4. Se convierte a binario esta población

5. Se determina la posición que ocupara en la población original la regenerada, para no alterar el

número de individuos.

6. Se reinserta la población regenerada en un sector de la población original

7. Se introduce el mejor individuo en la población regenerada, buscando no alterar el número de

individuos.

Siguiendo el desarrollo del algoritmo genético, teniendo los mejores individuos en la población, se

hace la selección de los individuos que fungirán como padres de las nuevas generaciones.

Se eligió la selección por ruleta para resolver este problema, ya que cada individuo tiene una

probabilidad de ser seleccionado como padre, y esto es proporcional al valor evaluado mediante la

función objetivo. El procedimiento a seguir con este método es:

1. Suma total de la función.

2. Se da un rango de peso para cada individuo normalizado.

3. Calcular la suma de valores esperados:

• Repetir N veces (N es el tamaño de la población).

• Generar un número aleatorio r entre 0.0 y ni.

Capítulo III


71

4. Ciclar a través de los individuos de la población sumando los valores esperados hasta que la

suma sea mayor o igual a r.

5. Se determina la condición que tendrá cada uno de los padres elegidos proporcionalmente por

su aptitud.

6. El individuo que haga que esta suma exceda el límite o la condición es el seleccionado como

padre.

Una vez seleccionados los individuos, estos son recombinados para producirla descendencia que se

insertará en la siguiente generación. Para el cruzamiento de la población seleccionada como padre,

se eligió el simple de un punto de corte en el que se intercambian los segmentos análogos de las dos

cadenas, como se muestra en la Figura 2.15, del capítulo 2, es decir es un operador que forma un

nuevo cromosoma combinando partes de cada uno de sus cromosomas padres. El procedimiento a

seguir para este punto es:

1. Se determina la cantidad de individuos a ser cruzados.

2. Se toman las parejas seleccionadas.

3. Se determina el punto en el que se hará el cruce en el cromosoma correspondiente.

4. Se determina la posición en que se insertaran los hijos dentro de la población.

5. Se realiza el cruce a partir de esa posición.

La mutación de inserción (Michalewicz, 1999) será la aplicada en este trabajo, ya que se

selecciona un valor en forma aleatoria y se le inserta en una posición arbitraria.

Algunos investigadores como (Fogarty, 1989, Coello-Coello, 2007) han sugerido que el usar

porcentajes altos de mutación al inicio de la búsqueda, y luego decrementarlos exponencialmente,

favorece el desempeño de un AG. Si es 0.5, hay una alta probabilidad de alterar fuertemente el

esquema de un individuo. Se suelen recomendar porcentajes de mutación entre 0.001 y 0.01 para la

representación binaria (Goldberg, 1989) o en general valores mucho más pequeños que la

probabilidad de cruce(Cabrera et al., 2002). Con esto se concluye que se puede controlar el poder de

alteración de la mutación y su capacidad de exploración puede hacerse equivalente a la de la cruza.

1. Se escoge aleatoriamente un alele

Capítulo III


72

2. Se extrae del cromosoma

3. Se inserta en un lugar seleccionado al azar y afectado por la probabilidad de mutación.

Condiciones de convergencia: Son las que van a determinar cuántas veces se realizará la

evaluación de la población para llegar al resultado óptimo. Para este caso de estudio se tiene como

primera restricción la comparación entre las generaciones y el máximo de estas permitido. Como

segunda se tiene la diferencia del error generado contra el impuesto como mínimo en las

condiciones iniciales.

3.3 Análisis cinemático de un mecanismo plano para generación de trayectoria.

La síntesis de generación de trayectoria busca conseguir que un punto de un sólido rígido del

mecanismo describa una trayectoria predeterminada. Si en vez de exigir que un determinado punto

describa una trayectoria completa, se fija que este punto pase por un número de posiciones, se crea

una síntesis de puntos de precisión.

3.3.1 Ejemplo de aplicación, mecanismo de 4 barras.

Para la Figura 2.7, del capítulo 2, mecanismo de cuatro barras, se requiere que un punto del eslabón

acoplador describa una trayectoria curva definida por una serie de 6 puntos. En este caso, la síntesis

comprende la determinación de las dimensiones de los eslabones del mecanismo que hacen que se

cumplan las condiciones preestablecidas, como son el rango de valores en los que puede encontrarse

la dimensión de los eslabones, el valor de los ángulos de entrada y que se cumplan las

condiciones de Grashof, así como el cálculo del ángulo correspondiente al movimiento de la

biela y el ángulo que genera el movimiento de salida.

El análisis inicia empleando las coordenadas naturales (García de Jalón & Bayo, 1994), siguiendo el

método propuesto por (Jiménez et al., 1997) suponiendo que se pueden variar las longitudes de la

manivela y del eslabón seguidor, las dimensiones y la forma del eslabón acoplador.

Al determinas las ecuaciones de Freudenstain se observa que si la trayectoria a seguir por el punto

(xd,yd) pasa por cuatro puntos, resultaría que las 8 condiciones de restricción (longitud de los 6

eslabones y dos puntos x y y inicial ) se convertirían en 32 ecuaciones. En este caso, se tendría 32

Capítulo III


73

ecuaciones y 33 incógnitas resultando un problema no lineal indeterminado con infinitas soluciones,

por lo que es necesario plantear una optimización, para esto se debe predeterminar la longitud de

algún eslabón, para reducir el problema a un sistema de 32 ecuaciones con 32 incógnitas que, en

general, tendría una solución única. A medida que se aumente el número de puntos a seguir, crece el

número de ecuaciones de restricción y es necesario buscar una solución de manera que la suma de

los cuadrados de las distancias entre los puntos previstos y los puntos logrados sea mínima, lo que

supone optimizar una solución aproximada.

Para resolver esta problemática se propone la optimización con los Algoritmos Genéticos, que

servirán para simplificar el desarrollo matemático, además de dar soluciones aproximadas para cada

variable presente en la síntesis.

3.3.1.1 Trayectoria lineal

Como primer caso de estudio se tiene un mecanismo plano de 4 barras que tienen que seguir una

trayectoria lineal con 6 puntos de precisión.

El mecanismo de 4 barras a sintetizar (Figura 3.8) se compone de tres eslabones móviles y uno fijo,

de los que tienen movimiento, dos giran en relación a puntos fijos de pivoteo y su movimiento es

angular puro, el tercer eslabón conocido como conector une a los eslabones de rotación. Para la

conexión se usan pares cinemáticos de revolución. Este mecanismo incluye un punto de precisión en

el eslabón conector, que es el que seguirá la trayectoria deseada. Este mecanismo tiene un grado de

libertad y se numera con el r1 para indicar el eslabón tierra o fijo, r2 para el eslabón motriz, r3 el

eslabón conector y r4 el eslabón de salida, los ángulos son es el ángulo para ubicar al eslabón

base, θ2 el ángulo de entrada, θ3 el ángulo de movimiento del eslabón 3, θ4 el ángulo de salida, x0 y

y0 los puntos origen para obtener la trayectoria.

Capítulo III


74

Figura 3.8 Mecanismo de 4 eslabones siguiendo una trayectoria lineal.

El análisis y la síntesis de los mecanismos se realizaron siguiendo las estructuras presentadas en el

capítulo 2. El método de Newton Raphson se utilizó para encontrar la longitud de los eslabones y de

los ángulos para dar movimiento al balancín y a la biela. Para desarrollar este método se dieron

como valores de entrada valores similares a los obtenidos por algoritmos genéticos. El diagrama de

flujo que representa los cálculos realizados es el mostrado en la Figura 3.9.

Como valores de entrada se dieron los propuestos por (Cabrera et al., 2002), se realizó en un

programa de cómputo especializado en matemáticas, especificando como condiciones para terminar

el programa un número máximo de 50 iteraciones para obtener los mejores valores de las raíces, así

como un error mínimo de 10^-3 . Para hacer el análisis con algebra compleja se utilizaron las

ecuaciones de la 2.52 a la 2.59 del capítulo 2. Con estas se determinó la posición que tendrá cada

eslabón para cumplir con la trayectoria y para esto, se asignaron como valores de entrada, los

obtenidos por los algoritmos genéticos.

Para trabajar con los algoritmos genéticos es necesario dar condiciones iniciales que determinarán el

dominio para la generación de la población, así como el número de individuos, la probabilidad de

cruce y la de mutación y el número máximo de generaciones. Estos datos se tomaron de trabajo

propuesto por (Cabrera et al., 2002) y se presentan en la Tabla 3.2.

Capítulo III


75

Tabla 3.2 Restricciones para mecanismo plano, seguimiento de trayectoria lineal.

Mecanismo Descripción Característica

Puntos deseados Limites de las variables

Xd=[20 20 20 20 20 20]

Yd=[20 25 30 35 40 45]

Restricción para cada eslabón (dominio)

r1,r2,r3,r4∈ [0,60] en mm X0,y0,rcx, rcy∈ [−60,60] en mm

Rango para movimiento 0º a 360º grados Número de individuos ni individuo 1000 Probabilidad de cruce De tipo proporcional 0.6

Probabilidad de mutación Mutación solo en un punto 0.1 Precisión Dígitos después del punto 10

Número máximo de generaciones 1000 generaciones

Figura 3.9 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en síntesis de mecanismo de 4 eslabones.

Los límites de los ángulos se presentan en grados, pero por cuestiones prácticas y de exactitud, es

mejor trabajarlo en radianes. Para este caso de estudio el número de variables incrementa a 16

porque se tienen 6 puntos de precisión, con esto crece el número de ecuaciones a resolver. Para

Capítulo III


76

aplicar esta herramienta, se presenta el diagrama de flujo de la Figura 3.10, en el cuál se especifica

el dominio de variables a utilizar, en este caso se colocan los valores máximos y mínimos para cada

uno de los eslabones, los puntos de inicio, el ángulo de inicio, y los posibles ángulos de entrada que

se necesitan para generar el movimiento, así como la información presentada en la Tabla 3.2.

Posteriormente se presentan las operaciones correspondientes al algoritmo genético, cabe señalar

que estas tendrán que realizarse dentro de un ciclo hasta que se cumplan las condiciones de paro,

que para este caso son el cumplir con el número máximo de generaciones, y cubrir el mínimo error.

Para verificar visualmente que se cubra la trayectoria, los datos obtenidos por este método son

aplicados al análisis con algebra compleja. El gráfico que se obtiene variando el ángulo de entrada

θ2 es el mostrado en la Figura. 3.11.

Figura 3.10 Diagrama de flujo para síntesis de mecanismo de 4 eslabones trayectoria lineal

Capítulo III


77

0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

Val

ores

de

Y d

esea

da (m

m)

Valores de x deseada (mm) Figura. 3.11 Mecanismo de 4 barras obtenido por números complejos.

Siguiendo la secuencia de operaciones mostrados en los diagramas 3.9 y 3.10, para el cálculo de las

variables por el método de Newton Raphson y los algoritmos genéticos se obtuvieron los resultados

presentados en la Tabla 3.3

Tabla 3.3 Comparación de resultados por método numérico y aproximado.

Variables Newton Raphson

(Cabrera et al., 2002)

Algoritmo Genético

r1 39.64097 39.46629 39.375016 r2 8.562910 8.562912 13.124878 r3 19.10331 19.09486 39.851360 r4 47.86003 47.83886 32.576271 x0 29.72254 29.72255 22.851502 y0 23.45454 23.45454 7.5000309

Rcx 13.38555 13.38556 26.250259 Rcy 12.20928 12.21961 -2.813208 θ1 6.221949 6.201627 0.8835777

θ2 6.119371 6.119371 3.5579243

θ3 0.112782 2.491211 0.7295974

θ4 0.321494 2.900370 2.6772018 Precisión 6 6 6

Error 0.02617 0.021438

Para el método de Newton Raphson se utilizaron como valores aproximados de entrada los

propuestos por (Cabrera et al., 2002), facilitando obtener valores más cercanos a los propuestos por

el autor. Los valores presentados referentes al algoritmo genético son los obtenidos con el algoritmo

propio considerando las restricciones iniciales impuestas.

Capítulo III


78

Cabe señalar que los datos presentados fueron evaluados con la función objetivo original propuesta

por (Cabrera et al., 2002) para tener una convergencia en los resultados y poder aplicar un análisis

real. Como puede observarse existió una diferencia entre estos, pero esta la característica de que la

trayectoria se cumple, el objetivo a continuación es disminuir el error para obtener una trayectoria

más precisa. En cuanto a las ventajas del método se puede decir que es bueno ya que aunque no

disminuye en gran medida el tiempo de cómputo, si se obtienen buenos resultados a partir de los

parámetros impuestos y no es necesario aplicar una penalización tan grande en el sistema. Para

obtener mejores resultados es necesario considerar cambios en las principales variables, como son la

probabilidad de cruce y de mutación, además del número de individuos en la población y el valor

máximo de generaciones. Como se ha mencionado en la teoría el numero de generaciones debe ser

aproximadamente 100 o 200, pero con este ejemplo se muestra que no necesariamente tiene que ser

pequeña y que aunque se empleen mas evaluaciones y por consecuencia un mayor tiempo, también

se pueden obtener resultados óptimos y con un error mínimo.

3.3.1.2 Trayectoria de la marcha.

La posición o trayectoria que la rodilla realiza durante la caminata, permite comenzar el análisis

para el mecanismo, mostrado en las Figuras 3.12 y 3.13. Éstas presentan las fases de la caminata, así

como los puntos de posición de la rodilla en cada fase, que son los puntos deseados para el caso de

estudio II.

10 15 20 25 30 35 40 45 5060

65

70

75

80

85

90

95

Val

ores

de

Y d

esea

da (

mm

)

Valores de x deseada (mm) Figura 3.12 Puntos de precisión en la marcha humana (Campos-Padilla, 2009)

Capítulo III


79

Figura 3.13 Trayectoria de la rodilla durante la marcha (Radcliffe, 1977).

La síntesis se realizó con los métodos presentados en el caso I, y la metodología de solución es la

misma, la única diferencia que se presenta en este caso II son las restricciones en el dominio y los

valores para la trayectoria deseada y la generada. Las restricciones del domino se tomaron

considerando los posibles valores que pueden tener los ligamentos cruzados y las referencias que

dan autores como (Greene, 1983, Oberg & Kamwendo, 1988, Blumentritt & Werner-Scherer, 1997,

Dewen et al., 2003). De igual forma, los ángulos se establecieron con base en los que se generan al

dar movimiento en la rodilla principalmente al caminar. En la Tabla 3.4 se presentan cada de las

restricciones impuestas para este caso de estudio.

Tabla 3.4 Restricciones para mecanismo de 4 barras trayectoria de la marcha.

Se desarrolla primero el algoritmo genético siguiendo el procedimiento de la Figura 3.10 para

obtener los datos que se utilizarán como entradas en el método de Newton Raphson representado en

Mecanismo Policéntrico Descripción

Característica


xd=[10.32 10.59 11.82 14.69 19.06 24.35 30.61 40.73 45.63]

yd=[92.98 91.17 86.30 79.96 74.04 69.38 65.85 63.24 63.09]

Restricción para cada eslabón r1,r2,r3,r4∈[0,50] en mm X0,y0, rcx, rcy ∈[−50,50] en mm


Probabilidad de mutación Mutación solo en un punto

0.58

Precisión Dígitos después del punto 10 Número máximo de generaciones 1000 generaciones

Capítulo III


80

la Figura 3.9 y se realiza el gráfico con algebra compleja resolviendo las ecuaciones de la 2.52 a la

2.59 del capítulo 2. El procedimiento de solución se resume en la Figura 3.15.

Por el cambio de trayectoria, el dominio tendrá los siguientes valores:

Dominio=[ -50 50 0 50 0 50 0 135]

[ ]

Figura 3.14 Estructura del cromosoma mecanismo de 4 eslabones.

Figura 3.15 Procedimiento para la síntesis del mecanismo de 4 eslabones para la trayectoria de la marcha humana.

Capítulo III


81

Siguiendo este procedimiento los resultados obtenidos para cada método son los presentados en la

Tabla 3.5:

Tabla 3.5 Resultados por distintos métodos de análisis mecanismo de 4 barras para 6 puntos de precisión. Variables Newton

Raphson Algoritmos Genéticos

r1 56.0494733 56.049119 r2 13.1172628 13.117180 r3 45.3916090 45.391322 r4 45.7054680 45.705179 x0 -24.9849113 -24.984911 y0 -35.8913017 -35.891301

Rcx 29.2357835 29.2357835 Rcy -32.5773536 -32.577354 θ0 1.6491393 1.6491388

θt2 0.1458519 0.1458519

θt3 1.3967241 -0.194659

θ4 -0.3520018 2.9469332

En la Tabla 3.6 se presentan los resultados obtenidos al ampliar los puntos de precisión, ya que

inicialmente solo se hizo el cálculo para 4 puntos. Como puede observarse, es necesario aumentar la

población al incrementar el número de puntos de precisión, esto con el objeto de que exista un

mayor número de posibles soluciones para tener el mecanismo óptimo para que el error entre las

trayectorias generada y la impuesta sea mínima. En este, el tiempo de convergencia aumenta, pero

es directamente proporcional al número de individuos y de generaciones analizados para cubrir la

trayectoria, es decir, al aumentar la población, la convergencia aumentará y también la precisión, la

Figura 3.16 presenta el grafico del seguimiento de trayectoria con las dimensiones de los eslabones

y los ánguloscorrespondientes.

-50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 500

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

yd

xd

Figura 3.16. Seguimiento de trayectoria mecanismo cerrado con Algoritmos Genéticos.

Capítulo III


82

Tabla 3.6. Resultados del GA en la generación de trayectoria

Generaciones Error promedio

(mm)

Puntos de precisión

Población (No. de

individuos)

Tiempo (seg. )

667 0.1525 4 1000 102.077 987 0.4529 5 2000 530.901 929 0.4036 6 3000 1032.36 944 0.2354 8 3200 1054.83

3.3.2 Síntesis de mecanismos de seis barras.

Existen principalmente dos configuraciones , como se mencionó en la teoría presentada, de esta se

tomaron dos, los tipo Watt I y el Stephenson III, por la aplicación que se les han dado en prótesis

policéntricas, como el presentado en el trabajo de (Dewen et al., 2003).

3.3.2.1 Síntesis analítica para un mecanismo tipo Watt-1.

Éste se forma por dos mecanismos de 4 barras teniendo una articulación en común (Figura 3.17). Las

funciones obtenidas por el método de Freudenstein para este tipo de configuración, se presentan

haciendo el siguiente análisis:

Para la cadena abierta inferior se tiene 2

32

12202

12201 ))(())cos(( rsenryyrxxF dd −+−−++−−= θθθθ (3.11)

La cadena cerrada de la parte inferior parte de tener:

(3.12)

Aplicando Euler y simplificando se tiene:

24

211133122

2111331222

))()()((

))cos()cos()cos((

rsenrsenrsenr

rrrF

−−+++

+−+++=

θθθθθ

θθθθθ (3.13)

Para obtener la cadena abierta por la parte exterior del mecanismo se tiene:

26

23991220

239912203

))()((

))cos()(cos(

rsenrsenryy

rrxxdF

d −+−+−−+

+−+−−=

θθθθ

θθθθ

(3.14)

La cadena abierta analizada desde la parte interior del mecanismo es:

25

2661331220

26613312204

))()()((

))cos()cos()cos((

rsenrsenrsenry

rrrxF

−−+−+−

+−+−+−=

θθθθθ

θθθθθ

(3.15)

La cadena cerrada de la parte superior del sistema está dada por:

Capítulo III


83

(3.16)

27

2886645

28866455 ))()()(())cos()cos()cos(( rsenrsenrsenrrrrF −−++−+= θθθθθθ

(3.17)

La cadena cerrada de todo el sistema es:

(3.18)

210

211277661399122

2112776613991226

))()()()((

)cos)cos()cos()cos()cos((

rsenrsenrsenrsenrsenr

rrrrrF

−−−−+++++

+−−−+++++=

θθθθθθθθθ

θθθθθθθθθ

(3.19)

Los ángulos de la biela y de salida para parte inferior del mecanismo se calculan con el

procedimiento presentado con las ecuaciones de la 2.17 a la 2.43, y para la cadena cerrada superior

se tiene partiendo de la ecuación 3.18, aplicando Euler, sumando y simplificando estas ecuaciones e

tiene:

(3.20)

(3.21)

En notación simplificada la ecuación de (Freudenstein, 1956) se puede expresar como :

(3.22)

Para reducir más esta ecuación se emplean las identidades trigonométricas del ángulo mitad

presentas en las ecuaciones 2.28 y 2.29. Para simplificar las ecuaciones se agrupan nuevamente de

la siguiente forma:

(3.23)(3.24)

(3.25)

(3.26)


(3.27)

Capítulo III


84

Tomando nuevamente la ecuación 3.18, pero ahora buscando el ángulo , se vuelve a desarrollar,

elevar al cuadrado y sumar para simplificar, teniendo las siguientes ecuaciones:

(3.28)

La constante es la misma que para , K4s y K5s son:

y (3.29)


(3.30)

Donde:

(3.31)

(3.32)

(3.33)

Y la solución es:

(3.34)

Figura 3.17. Mecanismo de seis barras tipo Watt-I.

Capítulo III


85

El ángulo θ1 se especifica como la entrada de las barras del mecanismo y el ángulo θ2 es el que da el

movimiento a todo el mecanismo, los ángulos , representan variables para

generar el movimiento.

Con las variables determinadas y las funciones planteadas se resuelve el método de Newton

Raphson, siguiendo el procedimiento de la Figura 3.18:

Figura 3.18 Diagrama de flujo aplicando Newton Raphson en síntesis de mecanismo de 6eslabones tipo Watt-1.

Si se emplea álgebra compleja para visualizar el comportamiento del mecanismo, siguiendo las

ecuaciones 2.18 propuestas como base matemática, las ecuaciones para el mecanismo son:

(3.35)

(3.36)

(3.37)

(3.38)

Capítulo III


86

(3.39)

(3.40)

(3.41)

(3.42)

(3.43)

(3.44)

(3.45)

Para el desarrollo del algoritmo genético, se toma como base la Figura 2.12, diagrama de flujo de un

algoritmo genético.

3.3.2.2 Síntesis analítica para un mecanismo tipo Stephenson-III.

La cadena cinemática tipo Stephenson-III, se caracteriza por dos eslabones ternarios (eslabones con

3 articulaciones) que no están conectados directamente uno al otro (es decir, no poseen una

articulación en común, Figura 3.19).

Figura 3.19 Mecanismo básico de 6 barras: Tipo Stephenson-III.

Con base en la Figura 3.19 se obtienen las ecuaciones de Freudenstain para determinar los ángulos

de posición que tendrán los eslabones para cubrir la trayectoria, el análisis para determinar estas

variables es el siguiente:

Capítulo III


87

Para la cadena abierta inferior se tiene 2

32

12202

12201 ))(())cos(( rsenryyrxxF dd −+−−++−−= θθθθ (3.46)

La cadena cerrada de la parte inferior parte de tener:

(3.47)

Aplicando Euler y simplificando se tiene:

24

211133122

2111331222

))()()((

))cos()cos()cos((

rsenrsenrsenr

rrrF

−−+++

+−+++=

θθθθθ

θθθθθ (3.48)

Para obtener la cadena abierta por la parte exterior del mecanismo se tiene:

223663991220

236639912203

)())()()((

))cos()cos()(cos(

cycxd rrsenrsenrsenryy

rrrxxdF

+−+−+−+−−+

+−+−+−−=

θθθθθθ

θθθθθθ

(3.49)

La cadena abierta analizada desde la parte interior del mecanismo es:

25

273663991220

2736639912204

)())cos()()()()((

))cos()cos()cos()cos()(cos(

rrsenrsenrsenrsenryy

rrrrrxxdF

ycycxd

ycycx

−−−+−+−+−−+

+−+−+−+−−=

θθθθθθθθ

θθθθθθθθ

(3.50)

La cadena cerrada de la parte superior del sistema está dada por:

(3.51)

27

2886655133

28866551335

))cos()()()((

))cos()cos()cos()cos((

rrsenrsenrsenr

rrrrF

−−+++

+−+++=

θθθθθ

θθθθθ

(3.52)

La cadena cerrada de todo el sistema es:

(3.53)

210

211663771929

2116637719296

))()()()((

))cos()cos()cos()cos((

rsenrsenrsenrsenr

rrrrF

−−+++++

+−+++++=

θθθθθθθ

θθθθθθθ

(3.54)

Los ángulos de la biela y de salida para parte inferior del mecanismo se calculan con el

procedimiento presentado con las ecuaciones de la 2.17 a la 2.43.

De esta configuración se pueden obtener las ecuaciones por álgebra compleja, que sirven para

determinar el gráfico que muestra las posiciones del mecanismo siguiendo la trayectoria impuesta.

Capítulo III


88

(3.55)

(3.56)

(3.57)

(3.58)

(3.59)

(3.60)

(3.61)

(3.62)

(3.63)

(3.64)

(3.65)

(3.66)

(3.67)

Con las variables determinadas y las funciones planteadas se resuelve el método de Newton

Raphson, siguiendo el procedimiento de la Figura 3.19.

Capítulo III


89

Figura 3.20. Diagrama de flujo por el método de Newton Raphson para sintetizar un mecanismo de 6 eslabones tipo

Stephenson III.

3.3.2.3 Ejemplos de aplicación, mecanismo tipo Watt-1.

Aplicando el método de los algoritmos genéticos, se debe iniciar el proceso de análisis

determinando los valores de dominio a cada variable (Tabla 3.7), especificándose los rangos

máximos y mínimos en los que se podrá encontrar cada posible solución. También deben

especificarse los rangos de movimiento de para los ángulos, puntos de precisión, número de

generaciones y probabilidades de cruce y mutación.

La trayectoria que se plantea para este ejemplo es la realizada por el humano al iniciar la marcha.

Como punto de referencia para el seguimiento de la trayectoria, en este caso, se tomo la unión de los

eslabones r6 y r7.

Capítulo III


90

Tabla 3.7 Restricciones para un mecanismo de 6 barras.


Característica


xd=[10.32 10.59 11.82 14.69 19.06 24.35 30.61 40.73 45.63]

yd=[92.98 91.17 86.30 79.96 74.04 69.38 65.85 63.24 63.09]

Restricción para cada eslabón r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8 ∈ [0,60] en mm x0,y0∈ [−50,50] en mm

r9∈ [0,100] en mm r10∈ [0,50] en mm


Probabilidad de mutación Mutación solo en un punto 0.85 Precisión Dígitos después del punto 6


El procedimiento de análisis es el que se presenta en el diagrama de flujo de la Figura 3.22,

basándose en el procedimiento de algoritmos genéticos del diagrama 3.21.

Los datos obtenidos de los AG, se emplearon como datos de entrada para el programa de números

complejos y Newton Raphson. Por la configuración, el método numérico implicó un nuevo

planteamiento de las ecuaciones de Freudenstein, además del cálculo del Jacobiano en el método de

Newton Raphson. En la Tabla 3.8 se concentran los valores para cada una de las variables

involucradas en el mecanismo obtenido por cada uno de los métodos de análisis.

Capítulo III


91

Figura 3.21 Diagrama de flujo de un algoritmo genético para un mecanismo de 6 barras tipo watt-I

Figura 3.22 Diagrama de flujo del procedimiento para resolver un mecanismo de 6 barras tipo watt-I

Capítulo III


92

Tabla 3.8 Resultados por distintos métodos de análisis a un mecanismo tipo Watt-I para 5 puntos de precisión.


Algoritmos Genéticos

x0 46.87850 46.87842 y0 43.74950 43.74934 r1 59.75349 59.75323 r2 21.56183 21.56174 r3 29.06133 29.06114 r4 43.23854 43.23826 r5 28.59388 28.59206 r6 23.46078 23.44443 r7 55.50142 55.50118 r8 52.84101 52.84068 r9 22.60406 22.60396

r10 42.16937 42.16918 θ0 1.83156 1.83157 θ 2 0.78530 0.78530 θ 10 5.42879 5.42880 θ 5 0.03248 0.03248 θ 6 -0.02867 2.95401 θ 7 -0.88664 5.62482 θ 3 -1.27425 0.79126 θ 4 1.53131 2.16137

El mecanismo que sigue la trayectoria, empleando los resultados óptimos es la mostrada en la

Figura 3.23.

-20 -10 0 10 20 30 40 500

20

40

60

80

100

120

yd

xd Figura 3.23 Mecanismo de 6 barras tipo Watt-I para seguimiento de trayectoria especifica con Algoritmos Genéticos.

En la Tabla 3.9 se presentan los resultados obtenidos al analizar el mecanismo con 5 y 6 puntos de precisión.

Capítulo III


93

Tabla 3.9 Resultados del GA en la generación de trayectoria para mecanismo de 6 barras.


(mm)


Población (No. de individuos)

Tiempo (seg. )

986 0.68470 5 1000 160.362 965 0.2697 6 3000 1006.456 971 0.1668485 8 3200 1144.48221

Puede observarse que las variables siguen siendo dependientes de las restricciones impuestas en el

dominio como son las longitudes para cada uno de los eslabones y los valores de los ángulos que

darán el movimiento. El número de variables incremento casi al doble del mecanismo de 4 barras,

esto debido a la configuración tipo WATT-1, que es la unión de dos mecanismos de 4 barras. Con el

incremento de variables y el número de puntos de precisión, fue necesario aumentar la población y

el número de generaciones para la evaluación, con el objetivo de tener un mayor campo de

búsqueda y una disminución en el error de precisión.

Para la evaluación de las variables se empleo la función objetivo presente en la ecuación 3.7, para

optimizar los resultados.

Después de realizar algunas pruebas variando valores de la probabilidad de cruce, mutación y el

número de individuos, se concluye que para una menor población la convergencia se obtiene en un

menor tiempo, pero no se asegura que los valores obtenidos sean los más adecuados, ya que el error

puede ser mayor, al aumentar el valor de la población, el tiempo de ejecución aumenta, pero

también se puede observar que el error disminuye.

3.3.2.4 Ejemplos de aplicación, mecanismo tipo Stephenson-III.

Para analizar este mecanismo, se utilizan las mismas restricciones en el algoritmo genético que las

utilizadas en la configuración tipo Watt-I (Tabla 3.7). Los valores obtenidos para cada eslabón y

ángulo, por los algoritmos genéticos, para efectos de cálculo, se dieron como valores de entrada

aproximados para los cálculos por el método de Newton Raphson. Los resultados comparativos

finales se presentan en la Tabla 3.10. Los diagramas de flujo que presentan el procedimiento de

análisis se muestran en las Figuras 3.24 y 3.25

Capítulo III


94

Figura 3.24 Diagrama de flujo del algoritmo genético para un mecanismos de 6 barras tipo Stephenson III

Figura 3.25 Diagrama de flujo del procedimiento de análisis para un mecanismos de 6 barras tipo Stephenson III

Capítulo III


95

Tabla 3.10 Resultados por distintos métodos de análisis a un mecanismo tipo Stephenson-III para 5 puntos de precisión.


Algoritmos Genéticos

x0 -9.0811 -9.0802 y0 -49.79423 -49.7908 r1 60.2179 59.9929 r2 7.4699 7.4749 r3 21.0054 20.9997 r4 45.3014 45.1361 r5 3.0033 3.7314 r6 0.0100 0.0106 r7 25.2156 25.2318 r8 39.1987 39.2098 rcx 19.0033 19.9412 rcy 3.0033 3.1349 θ 0 2.899 2.9062 θ 2 5.0977 5.1057 θ 3 1.4390 0.8980924 θ 4 2.1710 2.42189 θ 6 3.1211 3.1114 θ 7 3.8698 4.3518 θ 8 1.3256 1.3648

Tomando los valores numéricos de los algoritmos genéticos, estos se utilizaron para obtener el

gráfico que muestra la trayectoria que siguió el mecanismo Figura 3.26. En esta gráfica, los

eslabones rcy y rcx, fueron los que se tomaron como referencia para seguir la trayectoria.

-30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 700

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

yd

xd Figura 3.26 Mecanismo de 6 barras tipo Stephenson-III para seguimiento de trayectoria específica con Algoritmos

Genéticos.

Capítulo III


96

Tabla 3.11 Resultados del AG en la generación de trayectoria para un mecanismo tipo Stephenson-III.


(mm)


Población (No. de individuos)

Tiempo (seg. )

997 0.36753 5 1000 188.6360

991 0.785265 6 3000 1061.039

825 0.2526 8 3500 1107.74196

En los casos de la Tabla 3.11 puede observarse el incremento en el número de generaciones, esto se

debió al aumento de población, pero también al incremento en la precisión y la disminución en el

error permitido. También existió un incremento en el tiempo de ejecución, esto debido al

incremento en el número de individuos en la población, esto se debió a que el numero de

restricciones incremento, es decir a medida que se aumente el número de puntos de precisión se

tendrá que incrementar el número de individuos para que el algoritmo genético tenga un mayor

espacio de búsqueda y pueda dar soluciones optimas al ejercicio propuesto.

Las probabilidades de cruce y de mutación se mantuvieron iguales, para ambos casos de estudio,

como puede observarse, para mejores resultados es necesario mutar gran parte de la población, pero

esto permite que se conserve el mismo tamaño de la población, tipo de cruce simple y que no exista

penalización en la función objetivo.

Capítulo III


97

3.4 Sumario.

Para que un procedimiento sea completo debe existir una combinación de métodos gráficos,

analíticos y heurísticos, ayudándose de herramientas computacionales que ya existen para resolver

problemas complejos.

Los métodos analíticos son muy precisos, pero normalmente son utilizados por personas

especializadas en el tema, para ayudar a resolver estos problemas se utilizan los métodos

metaheurísticos como los algoritmos genéticos, que como se observó, pueden manipular muchos

parámetros simultáneamente, lo que facilita poder manejar diversas variables para llegar a la

solución más óptima, en este caso las variables propuestas para los ángulos y las longitudes de las

barras en las diferentes configuraciones, para que los mecanismos puedan cubrir trayectorias

predeterminadas.

Se observa que es necesario hacer un análisis previo del problema, para poder generar las

restricciones y el dominio de diseño que debe tener el mecanismo, esto permitirá evitar encontrar

una solución que constructivamente no puede ser válida. Los algoritmos genéticos se utilizaron para

optimizar la posición del error entre los puntos deseados y los efectuados por el mecanismo

resultante sujeto a diferentes restricciones. La optimización con algoritmos genéticos permite tener

aproximaciones a la solución de la síntesis. La mejor solución depende del tipo de mecanismo y de

los requerimientos de diseño. Como ventajas los algoritmos tienen la convergencia cerca de la

solución óptima global La rápida convergencia se indica por un valor alto en la función y un bajo

número de generaciones. La solución depende en gran medida del tamaño de la población y de las

probabilidades de cruce y mutación. Para validar los resultados se hizo la comparación con los datos

obtenidos del autor que se tomo como referencia, además del método numérico de Newton

Raphson.

El generar trayectorias con la implementación de algoritmos genéticos ofrece ventajas por la

manipulación que se puede dar a las variables iniciales, para obtener una convergencia rápida. Se

evita el cálculo del método numérico, que es laborioso y tiene restricciones como el dar datos

aproximados para poder dar una solución, además del consumo de tiempo de cómputo.

Capítulo III


98

El algoritmo genético explora un espacio de soluciones, seleccionando la más factible a través de una

función aptitud que permitirá dirigir la búsqueda con un enfoque de optimización. La estrategia no

requiere el implemento de matemáticas complejas para la cinemática inversa debido a que las

ecuaciones de enlace geométrico se obtienen metódicamente para reducir la complejidad del problema.

En el siguiente capítulo se realizará la optimización de los mecanismos expuestos, realizando

cambios en las probabilidades de cruce y mutación, además del número de individuos existentes en

la población, para demostrar que pueden existir mejoras en la convergencia, en los resultados y en la

disminución del error.

Capítulo IV


98

OPTIMIZACIÓN DE

MECANISMOS

En este capítulo se presenta la optimización en la síntesis de mecanismos planos de 4 y 6 eslabones. Se muestra la aplicación de los algoritmos genéticos para obtener resultados aproximados en la síntesis de diferentes configuraciones de mecanismos.

Capítulo IV


99

4.1 Introducción a la optimización.

La optimización es un proceso en el que se busca encontrar la mejor solución posible para un

determinado problema en el que pueden existir diferentes soluciones, además de establecer un

criterio para discriminar entre ellas con el objetivo de encontrar la mejor. Estos problemas se pueden

expresar como la forma de encontrar el valor de variables de decisión para los que una determinada

función objetivo alcanza su valor máximo o mínimo, sujeto a ciertas restricciones. El proceso de

optimización es iterativo, ya que puede iniciar con el diseño a prueba y error, y aunque consiste en

analizar la influencia de distintos parámetros en el comportamiento del sistema, pueden ser

modificados hasta encontrar un sistema cuyo comportamiento satisfaga las expectativas del

diseñador. Desde el punto de vista matemático, la optimización constituye un problema de

programación no lineal que consta de variables que pertenecen a un espacio de diseño, una función

objetivo relacionada con los requisitos del problema, un algoritmo de optimización y restricciones

impuestas a las variables (Sanchéz-Marín, 2000).

Para optimización no lineal, como es el caso de la síntesis de mecanismos, hay métodos directos

como la búsqueda aleatoria y los no directos como del gradiente conjugado (Coello-Coello, 2007),

cabe mencionar que uno de los problemas de las técnicas clásicas de optimización es que suelen

requerir información que no siempre está disponible. Por ejemplo, métodos como el del gradiente

conjugado requieren de la primera derivada de la función objetivo, el de Newton, requieren además

de la segunda derivada. Si la función objetivo no es diferenciable, estos métodos no pueden

aplicarse. De estas necesidades surgieron los métodos metaheurísticos.

Como se ha mencionado en capítulos anteriores, la optimización con algoritmos genéticos permite

tener aproximaciones a la solución de diversos casos de estudio como por ejemplo la síntesis de

mecanismos, aunque la mejor solución depende del tipo y forma y de los requerimientos de diseño.

La solución óptima, para la eficiencia cinemática en la síntesis de un mecanismo, para generar una

trayectoria, se resuelve utilizando puntos reales en un Algoritmo Genético, ya que estos no necesitan

códigos para el diseño de parámetros, los cuales, introducen errores de aproximación, disminuyen el

esfuerzo de cómputo requerido por el método de optimización, emplean una función objetivo y

técnicas de reservación de restricciones.

Capítulo IV


100

4.2 Optimización.

Un problema de optimización dimensional se puede definir como la cuantificación de un grupo de

variables de diseño que permiten alcanzar un desempeño crítico en un sistema, este se expresa por

medio de una función objetivo y cumple con ciertas restricciones o requerimientos de diseño

(Galeano-Urueña et al., 2009).

En su forma más simple, el problema equivale a resolver una ecuación de este tipo es:

, Ω (4.1)

Donde x = (x1,…,xn) es un vector y representa variables de decisión, f(x) es la función objetivo y

representa o mide la calidad de las decisiones y Ω es el conjunto de decisiones factibles o

restricciones del problema.

La optimización involucra las siguientes fases:

1. Establecer el modelo matemático de la optimización del sistema.

2. Definir las especificaciones de diseño en el dominio físico.

3. Convertir las especificaciones de diseño en restricciones del modelo matemático

4. Resolver el problema matemático

5. Trasladar la solución del problema matemático al dominio físico.

6. Verificar el cumplimiento de las especificaciones de diseño y repetir el proceso.

Hasta el capítulo III ya se dio solución a los 4 primeros puntos, es decir, ya se dio una primer

solución al problema matemático para la síntesis de mecanismos de 4 y 6 eslabones por medio de

algoritmos genéticos, las ecuaciones de Freudenstain y algebra compleja; ahora se optimizará el

programa de los algoritmos genéticos manipulando los parámetros determinantes para obtener un

resultado óptimo, siendo estos: el número de individuos en la población, la probabilidad de cruce y

la de mutación, buscando disminuir el error y el número de generaciones evaluadas.

Se plantea como principal observación la no coincidencia total de los puntos de precisión en una

trayectoria a través de un mecanismo, ya que existen limitantes de manufactura que impedirán el

Capítulo IV


101

cumplimiento estricto de dicho requerimiento, pero si se darán los resultados más aproximados que

cumplan la trayectoria especificada.

4.3 Ajuste en el rendimiento de los parámetros del AG.

Los parámetros principales en los que se puede realizar un ajuste, por el grado de importancia que

tienen dentro del AG son:

• Tamaño de población

• Porcentaje de cruza

• Porcentaje de mutación

Durante los años 80 los algoritmos genéticos se basaron en la representación por bit, en el

cruzamiento por un punto, la mutación simple y la selección por ruleta. El diseño del algoritmo se

limitó a escoger y determinar el control o las estrategias de parámetros como los rangos y las

probabilidades de mutación, cruzamiento y medida de la población. Investigadores como (De Jong,

1975, Holland, 1975, Grefenstette, 1986, Goldberg, 1989, Coello-Coello, 2007) basaron sus

investigaciones en la determinación de los parámetros de control, experimentando con diferentes

valores y seleccionando los que dieron mejores resultados.

(De Jong, 1975) recomendó, después de determinar experimentalmente, valores para las

probabilidades del cruzamiento de simple punto y el movimiento de un bit en la mutación, los

siguientes parámetros: medida de la población de 50, probabilidad de cruzamiento de 0.6,

probabilidad de mutación de 0.001 y selección elitista, con la desventaja de que estos parámetros

solo funcionaron para un determinado problema con restricciones muy específicas.

(Grefenstette, 1986) usó los meta-algoritmos como método de optimización, para obtener valores

con parámetros similares para el funcionamiento en línea y fuera de línea del algoritmo. (De Jong,

1975) describió que el funcionamiento en línea se basa en el monitoreo de la mejor solución en cada

generación, mientras que el funcionamiento fuera de línea toma en cuenta todas las soluciones en la

población para obtener el valor óptimo. Para que un algoritmo de búsqueda tenga un buen

desempeño en línea, debe decidir rápidamente donde están las regiones más prometedoras de

búsqueda y concentrar ahí sus esfuerzos. El desempeño fuera de línea no penaliza al algoritmo de

búsqueda por explorar regiones pobres del espacio de búsqueda, siempre y cuando ello contribuya a

Capítulo IV


102

alcanzar las mejores soluciones posibles (en términos de aptitud). El mejor conjunto de parámetros

analizados dentro y fuera de línea fueron: población de 30 y 80, probabilidad de cruce 0.95 y 0.45,

probabilidad de mutación 0.01 para ambos, y como estrategia de selección elitista para línea y no

elitista para fuera de línea.

En general, existen algunas observaciones importantes realizadas por autores como (Holland, 1975,

Goldberg, 1989, Michalewicz, 1999, Coello-Coello, 2007) respecto a los algoritmos genéticos que

deben considerarse para el uso de esta herramienta, como son:

• Un alto intervalo generacional y el uso de una estrategia elitista también mejoran el

desempeño del AG.

• El uso de tamaños grandes de población (> 200) con porcentajes altos de mutación (> 0,05)

no mejora el desempeño de un AG.

• El uso de poblaciones pequeñas (< 20) con porcentajes bajos de mutación (< 0,002) no

mejora el desempeño de un AG.

• La mutación parece tener mayor importancia de lo que se cree en el desempeño de un AG.

• Conforme se incrementa el tamaño de la población, el efecto de la cruza parece diluirse.

Las desventajas técnicas del análisis de parámetros basados en la experimentación pueden ser

resumidos como (Endre Eiben et al., 1999):

• Los parámetros no son independientes, pero el querer tratar todas las combinaciones posibles

de estos sistemáticamente, es casi imposible.

• El proceso de sintonizar los parámetros es tiempo consumido, pero si los parámetros son

optimizados uno por uno, es posible manejar sus interacciones.

• Para un problema dado, los valores de los parámetros seleccionados no son necesariamente

los óptimos, pero si se trata de analizar uniformemente se obtendrán valores más

significativos. (Smith, 1993) propuso un algoritmo en el cual se ajusta la medida de la población con respecto a la

probabilidad del error. Esto va ligado con el número de generaciones, si en las condiciones de paro

se determina un valor pequeño para el número de evaluaciones, la convergencia será rápida, pero no

se asegura un resultado óptimo. En este trabajo se demuestra, por medio de experimentación, que el

Capítulo IV


103

límite máximo de individuos al que trabaja correctamente el algoritmo es de 3000, dependiendo

totalmente del caso de estudio, aunque con esta cantidad de individuos el proceso de análisis ya es

muy lento, pero esto funciona directamente con el tipo de mecanismo, la trayectoria y los puntos de

precisión que se requieren, además de las restricciones impuestas para obtener los ángulos y las

dimensiones de los eslabones.

Hablando de la mutación, se ha analizado mucho el valor de la probabilidad de esta, pero los

resultados varían con cada autor, por ejemplo (De Jong, 1975) recomienda pm=0.001, (Grefenstette,

1986, Goldberg, 1989) recomiendan 0.1, mientras (Schaffer et al., 1989) indica de 0.005 a 0.01.

También se han desarrollado algunas fórmulas para poder determinar la mutación (Fogarty, 1989),

en donde su principal contribución es considerar el tiempo y hacer un cambio de esta durante el

corrimiento del AG (Coello-Coello, 2007) .Si el porcentaje de mutación es 0, no hay alteración

alguna, si es 1, la mutación crea siempre complementos del individuo original, Si es 0.5, hay una

alta probabilidad de alterar fuertemente el esquema de un individuo. En otras palabras, se puede

controlar el poder de alteración de la mutación y su capacidad de exploración, logrando tener un

equivalente a la de la cruza.

Como se mencionó en capítulos anteriores, el cruce se realiza con un par de cromosomas que

dependerán de la probabilidad de cruce que se seleccione para efectuarlo. Algunos valores comunes

para esta son 0.6 (De Jong, 1975), 0.95(Grefenstette, 1986), 0.75 a 0.95(Schaffer et al., 1989). Estos

datos son más comunes de utilizar por los resultados obtenidos y rara vez se emplea un valor menor

a 0.6 (Endre Eiben et al., 1999).

Cuando se busca localizar el óptimo global de un problema, la mutación puede ser más útil que la

cruza. Si lo que interesa es ganancia acumulada (el objetivo original del AG), la cruza es entonces

preferible.

Se dice que existen necesidades de grandes poblaciones en el cruce, para combinar con eficacia la

información necesaria, pero en la mutación se tienen mejores resultados cuando se aplica a

poblaciones pequeñas en un gran número de generaciones. En las estrategias evolutivas, donde la

mutación es el operador de búsqueda principal se incluyen varios operadores de mutación, incluidas

las técnicas de adaptación, propuestas por (Lima et al., 2005, Rechenberg, 1973). (Spears &

Whitley, 1993) quienes hicieron estudios comparativos entre los operadores de cruce y mutación y

Capítulo IV


104

demostraron que existían características importantes de cada operador que no fueron capturados por

el otro. En términos de interrupción, la mutación puede proporcionar mayores niveles de

perturbación y la exploración, pero a expensas de los alelos comunes a preservar la definición de

determinados cargos.

Concluyendo y tomando como base el trabajo y las observaciones de (De Jong, 1975) respecto al

ajuste de parámetros se tiene:

a) Incrementar el tamaño de la población reduce los efectos estocásticos del muestreo aleatorio

en una población finita, por lo que mejora el desempeño del algoritmo a largo plazo, aunque

esto es a costa de una respuesta inicial más lenta.

b) Incrementar el porcentaje de mutación mejora el desempeño fuera de línea a costa de

sacrificar el desempeño en línea.

c) Reducir el porcentaje de cruza mejora la media de desempeño, lo que sugiere que producir

una generación de individuos completamente nuevos no es bueno.

d) Observando el desempeño de diferentes operadores de cruza, (De Jong, 1975) concluyo que,

aunque el incrementar el número de puntos de cruza afecta su disrupción de esquemas desde

una perspectiva teórica, esto no parece tener un impacto significativo en la práctica.

e) Cuando el espacio de búsqueda tiene más de un punto en la solución, es probable para los

AG quedarse varados dentro de un subespacio óptimo (después de la convergencia, los

operadores de cruzamiento y mutación no pueden generar muchos individuos aleatoriamente

para diversas poblaciones uniformes).

4.4 Diseño óptimo en la síntesis de mecanismos.

La formulación de este problema, exige la definición de varios aspectos como el espacio de diseño,

la función objetivo, el algoritmo de optimización y las restricciones.

Se desea minimizar el error entre las trayectorias y analizar los cambios en la respuesta del

algoritmo al cambiar parámetros como la probabilidad de mutación y de cruce, el número de

individuos y el máximo de generaciones, además de ser evaluados por la ecuación (4.2) que tiene

como característica el aplicar la evaluación aproximada de la función, que involucra la adición de la

penalización a la versión original presentada en trabajos como el de (Goldberg, 1989, Michalewicz,

1999, Cabrera et al., 2002 Laribi et al., 2004), con lo que se tiene:

Capítulo IV


105

La penalización tiene como objetivo recuperar de alguna forma los individuos que no cumplen con

las restricciones; consiste en aplicar una división sobre el número de individuos ni y se agrega un

factor de división después de la raíz por N, que es el número de puntos de precisión.

Para finalizar, el algoritmo empleado en la optimización utiliza tres criterios de convergencia los

cuales se definen como:

• reng= Es la primer restricción, esta es la primer evaluación en la cual se comprueba si la

población cumple con las restricciones de Grashof (capítulo 2).

• maximogen= Define el máximo número de veces que el algoritmo puede evaluar la función

objetivo. Un llamado adicional a esta implica la finalización de la búsqueda sin alcanzar una

solución.

• minimerror=Define el mínimo valor de error permitido en la función objetivo al ser

comparado con el valor de la función generada. Un error mínimo o cambio de valor en el

parámetro de error mínimo implica la finalización de la búsqueda sin alcanzar una solución.

• condrep=Define el número de veces que puede repetirse dentro de la evaluación el mismo

valor antes de pasar a la siguiente operación.

Cumpliéndose estas condiciones posteriores a la evaluación el algoritmo detendrá su búsqueda

presentando los valores óptimos que cubrieron lo mejor posible las restricciones y condiciones.

4.4.1 Optimización del mecanismo de cuatro eslabones.

Con base en el mecanismo de la Figura 3.8 del capítulo 3, se plantean nuevas condiciones para

optimizar la solución de la síntesis y de igual forma, demostrar que ajustando el rendimiento de los

parámetros como la probabilidad de mutación y de cruce, sugerida por autores como (Holland,

1975, Goldberg, 1989, Kunjur & Krishnamurty, 1997, Laribi et al., 2004), se pueden obtener buenos

resultados que satisfacen los requerimientos de diseño.

1 ∑

(4.2)

Capítulo IV


106

4.4.1.1 Trayectoria lineal con optimización de parámetros en el AG.

Los valores originales obtenidos por (Cabrera et al., 2002) y los generados por el algoritmo genético

de este trabajo, se presentaron en la Tabla 3.4 del capítulo 3, en donde se observó una convergencia

de resultados, pero que pueden ser mejorados. Se realizarán algunas modificaciones a los datos

iniciales de los parámetros para buscar una mejora en los resultados. Cabe señalar que aunque

existan cambios, hay ciertas condiciones iniciales que no deben variar, como son las expuestas en la

Tabla 4.1

Tabla 4.1 Parámetros básicos para desarrollar el algoritmo genético para un mecanismo de 4 eslabones.

Número de individuos ni=1000Precisión después del punto

p=6

Máximas generaciones

genmax=1000

Mínimo error miner=5e-3 Repetición rep=4 Puntos de precisión en trayectoria

6

El procedimiento de análisis es el mostrado en las Figuras 3.9 y 3.10 del capítulo 3, de estos, existirá

un cambio en los parámetros de cruce y mutación, además, de evaluar la función con la ecuación

4.2. Se mantendrá el número de generaciones máximas en esta prueba. Los gráficos que muestran la

variación de parámetros se presentan en la Figura 4.1 y en la Tabla 4.2:

a) b) c) d)

e) f) g) h)

10 15 20 25 30 35 40 45 5010

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd

10 15 20 25 30 35 40 45 5010

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd

Capítulo IV


107

i) j) k) l)

m) n) o) p)

Figura 4.1. Modificación de parámetros en una trayectoria lineal.

Nota: En color verde la trayectoria generada y en color rolo la trayectoria deseada

Tabla 4.2 Parámetros de la Figura 4.1 trayectoria lineal ni Pc Pm error

a) 200 0.2 0.01 0.199479 b) 500 0.4 0.01 0.091851 c) 1000 0.5 0.1 0.085486 d) 1000 0.6 0.1 0.058610 e) 1000 0.6 0.4 0.081068 f) 1000 0.6 0.7 0.080196 g) 1000 0.7 0.1 0.078702 h) 1000 0.8 0.1 0.065307 i) 1000 0.8 0.2 0.066227 j) 1000 0.8 0.5 0.055007 k) 1000 0.85 0.8 0.057113 l) 1000 0.85 0.85 0.02695869

m) 1500 0.5 0.1 0.035230 n) 1500 0.8 0.5 0.019759 o) 1500 0.85 0.85 0.003903

De aquí se obtienen las siguientes conclusiones:

1. Se cumple la primer condición que mencionan autores como (Endre Eiben et al., 1999) de

que la probabilidad de cruce funciona mejor cuando es mayor a 0.6.

2. El número de individuos si afecta la velocidad y la precisión en la convergencia, a mayor

número de individuos se tiene un mayor campo de búsqueda y por lo tanto una mejor opción

de encontrar el resultado óptimo.

10 15 20 25 30 35 40 45 5010

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd

10 15 20 25 30 35 40 45 5010

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd10 15 20 25 30 35 40 45 50

10

15

20

25

30

35

40

45

50

Yd

Xd

Capítulo IV


108

3. La probabilidad de mutación puede incrementarse consiguiendo una modificación en el

número de generaciones debido a la convergencia en los resultados, modificándose también

el tiempo de respuesta.

4. El error entre la trayectoria generada y la deseada va disminuyendo a medida que incrementa

la probabilidad de cruce, de mutación y de individuos.

Comparando los resultados de la Tabla 3.3 del capítulo 3, con los generados por la optimización en

el rendimiento de los parámetros Tabla 4.3, se observa una disminución en el error, justificando y

comprobando que una relajación en los parámetros principales puede beneficiar el rendimiento del

programa y optimizar resultados.

Tabla 4.3 optimización de parámetros par a un mecanismo de 4 barras trayectoria lineal.


(Cabrera et al., 2002)

Algoritmo Genético

Algoritmo optimizado

r1 39.64097 39.46629 39.375016 42.789810 r2 8.562910 8.562912 13.124878 10.185599 r3 19.10331 19.09486 39.851360 15.235273 r4 47.86003 47.83886 32.576271 36.488303 x0 29.72254 29.72255 22.851502 18.757366 y0 23.45454 23.45454 7.5000309 20.356338

Rcx 13.38555 13.38556 26.250259 14.020836 Rcy 12.20928 12.21961 -2.813208 2.769013 θ1 6.221949 6.201627 0.8835777 0.392756

θ2 6.119371 6.119371 3.5579243 3.496926

θ3 0.112782 2.491211 0.7295974 0.392750

θ4 0.321494 2.900370 2.6772018 2.516967 Precisión 5 6 6 6

Error 0.02617 0.021438 0.003903

Capítulo IV


109

Figura 4.2 Evolución de un mecanismo de 4 eslabones.

En la Figura 4.2 inciso a) se observa disminuye el error entre la trayectoria generada y la deseada a

medida que se va evaluando, en b) se puede ver la evolución que van teniendo los eslabones del

mecanismo para poder cubrir la trayectoria deseada, en c) se tiene la evolución de la trayectoria

generada a medida que se van teniendo las evaluaciones para llegar a ser igual a la trayectoria

deseada y en d) se tiene el mecanismo realizado en un programa especial para síntesis de

mecanismos, en el cuál se determina la factibilidad del mecanismo propuesto, ya que se puede

analizar, velocidad, posición y aceleración, necesarios para construirlo físicamente.

Con los análisis realizados en este programa, y las gráficas mostradas en la Figura 4.2, se observa

que el mecanismo puede ser construido físicamente para cubrir la trayectoria especifica, quedando

como trabajo futuro determinar la forma específica y el tipo de material , además de los dispositivos

que generarán el movimiento como son motores o cualquier tipo de actuador.

Capítulo IV


110

4.4.1.2 Trayectoria elíptica con optimización de parámetros en el AG, 18 puntos de precisión

Los resultados obtenidos en trabajos de autores como (Cabrera et al., 2002, Laribi et al., 2004,

Starosta, 2008) se toman como base para obtener una trayectoria elíptica con un mecanismo de 4

eslabones. El ejemplo fue propuesto por primera vez por (Kunjur & Krishnamurty, 1997). La

síntesis fue realizada usando algunas variantes de aplicación con algoritmos genéticos o de estos

combinándolos con controladores como la lógica difusa.

En la Tabla 4.4 se muestran los puntos deseados para cumplir por el mecanismo y la Figura 4.3

representa dichos puntos.

Tabla 4.4 Puntos de precisión de la trayectoria elíptica deseada (Kunjur & Krishnamurty, 1997)

Punto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.005 0.02 0.0 0.0 y 1.1 1.1 1.1 1.0 0.9 0.75 0.6 0.5 0.4 Punto 10 11 12 13 14 15 16 17 18 X 0.03 0.1 0.15 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.6 y 0.3 0.25 0.2 0.3 0.4 0.5 0.7 0.9 1.0

Figura 4.3 Trayectoria elíptica (Kunjur & Krishnamurty, 1997)

Los cambios de parámetros realizados se presentan en la Tabla 4.5 y los resultados obtenidos por

(Kunjur & Krishnamurty, 1997, Cabrera et al., 2002, Laribi et al., 2004, Starosta, 2008) y el

algoritmo propio se muestran en la Tabla 4.6.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.70.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

Val

ores

de

Y d

esea

da

Valores de X deseada

Capítulo IV


111

El procedimiento de análisis sigue siendo el mostrado en las Figuras 3.9 y 3.10 del capítulo 3, pero

de estos, se realizará un cambio en los parámetros de cruce y mutación, además de evaluar la

función con la ecuación 4.2.

Los cambios a realizar son en el número de individuos, probabilidad de cruce y de mutación,

afectando con esto, el tiempo y el número de generaciones para la convergencia. Se tiene un número

máximo de 1500 generaciones y una precisión de 6 dígitos (Figura 4.4 y la Tabla 4.5):

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada

Capítulo IV


112

j) k) l) Figura 4.4. Modificación de parámetros en una trayectoria elíptica

Nota: La curva roja representa la curva deseada y la azul la generada.

Tabla 4.5 Modificación de parámetros para una figura elíptica generada por un mecanismo de 4 eslabones

No. individuos

Pc Pm Error Generación Tiempo (seg)

a) 500 0.6 0.01 0.12607 974 124.70116 b) 1000 0.6 0.01 0.116874 992 200.83390 c) 1000 0.8 0.8 0.146653 994 281.61255 d) 1500 0.6 0.4 0.140036 992 318.54909 e) 1500 0.8 0.7 0.128140 992 499.81671 f) 1500 0.85 0.85 0.113155 979 384.667514 g) 2000 0.3 0.1 0.253548 992 416.934751 h) 2000 0.6 0.2 0.2020683 988 374.043950 i) 2000 0.6 0.4 0.1852588 991 431.125409 j) 2000 0.7 0.2 0.0986130 988 335.516387 k) 2000 0.7 0.4 0.0954537 995 402.078071 l) 2000 0.85 0.85 0.01522667 989 776.17100

De esta serie de pruebas se concluye que:

• El número de individuos es factor importante para la convergencia, ya que, aunque se tenga

un tiempo de respuesta con un número de individuos pequeño, no se asegura que el resultado

sea el optimo. Con un mayor número de individuos el tiempo de respuesta incrementa pero

también la posibilidad de obtener un mejor resultado. Como se ha mencionado anteriormente

el programa tendrá un rango óptimo de individuos para trabajar, pero esto se tienen que

comprobar mediante varias pruebas por ser un programa que tiene como base la generación

aleatoria de la población.

• Por otro lado se observa que no existe una regla para determinar el valor óptimo para la

probabilidad de cruce y la mutación, no siempre los valores máximos de estos dan los

mejores resultados, como se observa en la Tabla 4.5, el inciso k presento el error mínimo.

• Los resultados dependen mucho del problema y de las restricciones, ya que se tienen

condiciones y restricciones diferentes para cada caso de estudio, por ejemplo si se cambiara

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Y d

esea

da

X deseada

Capítulo IV


113

la restricción de algunos ángulos, cambia el valor en las longitudes de los eslabones y por

consecuencia el valor del error, ya que quizás las barras tengan que aumentar o disminuir su

tamaño para cubrir la trayectoria impuesta.

En la Tabla 4.6 se presenta la comparación de los autores antes referidos con el obtenido por el

algoritmo propuesto, y como se ve, existe correspondencia en los resultados y el error entre las

trayectorias generadas.

Tabla 4.6 Parámetros que definen dimensiones y ángulos para una trayectoria elíptica obtenida por varios autores.

Autor Xo Yo R2 R1 R4 R3 R5 Kunjur 1.132062 0.663433 0.274853 1.180253 2.138209 1.879660 0.91 Cabrera 1.776808 -0.641991 0.237803 4.828954 2.056456 3.057878 2 Laribi -3.06 -1.3 0.42 2.32 3.36 4.07 3.90 Starosta 0.074 0.191 0.28 0.36 0.98 1.01 0.36 A-G prop. 3.88548 0.907087 0.286753 4.52611 3.59121 4.29125 3.613847 Autor Error No.

Evaluaciones Kunjur 0.62 5000 Cabrera 0.029 5000 Laribi 0.20 Starosta 0.0377 200 A-G prop. 0.0152 1500 Como se observa a pesar de que se aplicaron más generaciones que las del último autor, se

obtuvieron buenos resultados, con lo que se comprueba que el algoritmo a pesar de consumir un

poco más de tiempo de cómputo ofrece menor error entre la trayectoria generada y la deseada y por

lo tanto una mayor precisión.

4.4.2 Optimización de un mecanismo de seis eslabones.

Como se mencionó en el capítulo 3, existen principalmente dos configuraciones de mecanismos de

6 eslabones, el tipo Watt y Stephenson, cada uno con sus respectivas variaciones, que por sus

características han sido empleadas en la fabricación de prótesis policéntricas (Radcliffe, 1977,

Dewen et al., 2003).

Para este caso de estudio la trayectoria que seguirán es la que se genera en el momento de la marcha

(Figura 3.12) y como una restricción se dará en rango de dimensiones que pueden tener los

eslabones para un primer análisis (Figura 3.22). De los casos de estudio analizados en el capítulo

Capítulo IV


114

tres, se realizará la optimización de parámetros para encontrar los resultados óptimos que podrán ser

empleados en el análisis previo de una prótesis policéntrica de 6 eslabones.

4.4.2.1 Configuración tipo Watt-I

Este análisis inicia por definir las restricciones que tendrá el algoritmo en el capítulo 3 en la Tabla

3.7, y como en los casos anteriores, se iniciará variando solo la probabilidad de cruce y en su

mayoría la de mutación, para minimizar el error entre la trayectoria generada y la deseada. Los

requerimientos se presentan en la Tabla4.7

Tabla4.7 Parámetros para síntesis de un mecanismo de 6 barras

Precisión después del punto

p=6

Máximas generaciones

genmax=1000

Mínimo error miner=1e-3 Repetición rep=4 Puntos de precisión

8

Las trayectorias generadas al variar los parámetros referidos anteriormente se muestran en la Figura

4.5 y en la Tabla 4.8 se describen los cambios que tuvo el mecanismo al cambiar los valores de las

probabilidades, reflejadas en el valor del error generado entre la trayectoria deseada y la generada.

a) b) c)

d) e) f)

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da

6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada

Error:0.080606 generación:1000 tiempo:116.1153seg

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da


g p g

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da


g p g

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da

6 eslabones tipo watt-1 Valores de x deseada -10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da


20

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da


g p g

Capítulo IV


115

g) h) i)

j) k) l)

Figura 4.5. Ajuste de parámetros para una trayectoria curva

Nota: la curva en color rojo representa la trayectoria generada y la de colores la curva deseada.

Tabla 4.8 Ajuste de parámetros mecanismo de 6 barras trayectoria curva No.

individuos Pc Pm Error

a) 1000 0.2 0.01 0.080605 b) 1000 0.25 0.01 0.087732 c) 1000 0.2 0.1 0.102937 d) 1000 0.4 0.1 0.063850 e) 1000 0.6 0.1 0.128121 f) 1000 0.6 0.2 0.074789 g) 1000 0.6 0.4 0.087210 h) 1000 0.6 0.6 0.056309 i) 1000 0.7 0.6 0.075086 j) 1000 0.8 0.6 0.065858 k) 1000 0.8 0.7 0.025907 l) 1000 0.85 0.85 0.075976

Donde se observa que la mejor solución se tiene en la opción k que cuenta con valor grande

probabilidad de cruce e igualmente un valor que supera lo propuesto por algunos autores, pero que a

pesar de esta condición, se obtienen valores óptimos y aproximados a la trayectoria deseada.

En la Tabla 4.9 se comparan los valores obtenidos antes de relajar los principales parámetros del

algoritmo con los que resultaron de cambiarlos, además de cambiar la función de evaluación. Como

puede observarse hay diferencias entre las dimensiones expuestas, que generan la disminución en el

error entre las trayectorias.

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da



-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da


20

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da


g p g

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da



-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da


g p g

-10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10020

30

40

50

60

70

80

90

100

Val

ores

de

Y d

esea

da


Capítulo IV


116

Tabla 4.9 Comparación de longitudes y ángulos de un mecanismo de 4 eslabones trayectoria de la marcha

Variables Algoritmos Genéticos

Parámetros nuevos

x0 46.87842 26.25138 y0 43.74934 48.74968 r1 59.75323 37.45732 r2 21.56174 11.17907 r3 29.06114 22.16762 r4 43.23826 26.38590 r5 28.59206 43.93468 r6 23.44443 16.18488 r7 55.50118 31.09559 r8 52.84068 14.72912 r9 22.60396 35.56108

r10 42.16918 0.850473 θ0 1.83157 0.981741 θ 2 0.78530 0.761210 θ 10 5.42880 4.711480 θ 5 0.03248 4.645838 θ 6 2.95401 3.878048 θ 7 5.62482 -2.037629 θ 3 0.79126 0.7523094 θ 4 2.16137 2.093775

error 0.16684 0.025907 4.4.1 Mecanismo de 6 eslabones para cubrir 18 puntos de precisión

Para corroborar la efectividad del mecanismo analizado, en este caso el de tipo Watt-I, se seguirá

una trayectoria propuesta arbitrariamente teniendo como restricciones iniciales el manejo de 18

puntos y las condiciones de la Tabla 4.10

Tabla 4.10 Restricciones para un mecanismo de 6 barras.


Característica


xd=[ 25 10 5 10 20 10 5 10 15 25 40 43 50 55 50 40 50 55 50 40 25]

yd=[[ 130 120 100 80 65 55 35 20 15 10 10 15 20 40 55 65 80 100 120 130 130]

Restricción para cada eslabón r1,r2,r3,r4,r5,r6,r7,r8,r9,r10 ∈ [−60,60] en mm

x0,y0∈ [−60,60] en mm Rango para movimiento 0º a 360º grados Número de individuos ni individuo 200 Probabilidad de cruce De tipo proporcional varia

Probabilidad de mutación Mutación solo en un punto varia Precisión Dígitos después del punto 6


Capítulo IV


117

La Figura 4.6 es la propuesta para generar la trayectoria por el mecanismo tipo Watt-I:

Figura 4.6 Trayectoria de 20 puntos para un mecanismo de 6 eslabones tipo Watt-1

Para esta propuesta se realizaran, igual que en los casos anteriores, ajustes en la población,

probabilidad de cruce y de mutación, agregando en este análisis el tiempo y el número de

generaciones, además del error para corroborar que los parámetros no son independientes. Los

gráficos obtenidos se muestran en la Figura 4.7 y los ajustes de parámetros en la Tabla 4.11.

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 550

20

40

60

80

100

120

140

Val

ores

de

Y d

esea

da


-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



Capítulo IV


118

j) k) l)

m n o

p q r Figura 4.7. Ajuste de parámetros para una trayectoria específica

Nota: la curva en color rojo representa la trayectoria deseada y la de color azul la curva generada.

Tabla 4.11 Ajuste de parámetros mecanismo de 6 barras trayectoria específica.

ni Pc Pm error tiempo generaciones a) 200 0.6 0.01 0.4530713342399 180.693674 978 b) 200 0.6 0.4 0.2088516234 162.480752 991 c) 200 0.8 0.8 0.1039548356200 168.681711 996 d) 500 0.6 0.01 0.1441113 250.446997 981 e) 500 0.6 0.4 0.07266868 282.191 960 f) 500 0.8 0.8 0.0558228894 290.697 987 g) 1000 0.6 0.01 0.059796068 468.693084 999 h) 1000 0.6 0.4 0.0532988776 480.819397 947 i) 1000 0.7 0.5 0.119467646451 457.490696 999 j) 1000 0.7 0.7 0.03260650948 524.067239 989 k) 1000 0.8 0.5 0.099396876739 536.369984 993 l) 1000 0.85 0.8 0.0311870033413 550.612374 972

m) 1500 0.6 0.1 0.1962062488 619.52535 981 n) 1500 0.6 0.4 0.090105144 672.77304 990 o) 1500 0.95 0.85 0.163192355 1046.2808 968 p) 2000 0.7 0.7 0.08380448 1116.16188 999 q) 2000 0.85 0.8 0.0114246856933 1295.874818 987 r) 2000 0.95 0.85 0.0277589482798 1306.641231 1000

De este análisis se concluye que:

-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150V

alor

es d

e Y

des

eada



-50 0 50 100 150-50

0

50

100

150

Val

ores

de

Y d

esea

da



Capítulo IV


119

• El incremento de puntos de precisión es directamente proporcional al número de individuos

en la población, ya que para obtener un menor error, es necesario tener un mayor campo de

búsqueda.

• Un pequeño número de individuos limita la búsqueda y no ofrece buenos resultados.

• Para obtener valores óptimos es necesario incrementar el valor de la probabilidad de cruce

por lo menos arriba de 0.6.

• El porcentaje de mutación puede variar hasta antes de 1, ya que si se incrementa a este valor

se estaría cambiando totalmente al individuo sin quedar esencia del mejor individuo para esa

evaluación que se obtuvo con el elitismo y la herencia forzada.

• Los valores altos de probabilidad de cruce y mutación no aseguran que se tenga el mejor

valor de convergencia.

Capítulo IV


120

4.5 Sumario

El proceso de optimización es iterativo, y se demostró con las pruebas que se hicieron variando los

parámetros del algoritmo genético para analizar el comportamiento del sistema, que pueden ser

modificados hasta encontrar un sistema cuyo comportamiento satisfaga las expectativas y los

requerimientos del diseñador.

Los parámetros del algoritmo genético normalmente interactúan entre sí de forma no lineal, por lo

que no pueden optimizarse de manera independiente, quedando demostrado en los casos de estudio

presentados.

Se demostró que la diversidad de los individuos en la población se obtiene y se mantiene con el

operador de cruce y la mutación genética, ya que en todo el análisis permiten encontrar mejores

soluciones y evitan la convergencia prematura a un máximo local. Aunque también debe

mencionarse que el elitismo y la herencia forzada ayudan a limitar el número de individuos que

cubrirán las restricciones impuestas. Por otro lado se vio que el algoritmo genético tiene pocas

posibilidades de realizar un numero de reproducciones considerable o necesario para la óptima

solución si se tiene una población insuficiente o pequeña, ya que solo se realizaría una búsqueda de

soluciones escasa o poco óptima, pero por otro lado, la población excesiva, hace que el algoritmo se

vuelva muy lento. De hecho hay un límite a partir del cual es ineficiente elevar el tamaño de la

población puesto que no se consigue una mayor velocidad en la resolución del problema ni se

asegura la convergencia, para los casos de estudio referidos en este capítulo, al incrementar la

población en 3000 individuos ya no arrojo ningún resultado aceptable y se volvió extremadamente

el programa. Si la población se trabaja en un tamaño medio, como 1000 individuos por ejemplo

pueden mejorar el desempeño del algoritmo a largo plazo, aunque esto se vea afectado por una

respuesta inicial más lenta.

También se observó que el incremento en el porcentaje de mutación mejora el desempeño fuera de

línea ya que se toman en cuenta todas las soluciones en la población para obtener el valor óptimo. El

desempeño fuera de línea no penaliza al algoritmo de búsqueda por explorar regiones pobres del

espacio de búsqueda, siempre y cuando ello contribuya a alcanzar las mejores soluciones posibles si

se habla en términos de aptitud.

Capítulo IV


121

Por otro lado se comprobó que para el cruzamiento se cumple la regla de que aplicando valores

menores a 0.6, el desempeño no es óptimo y no cambia el resultado esperado en el problema en

específico. Hablando de la mutación, se demostró que esta puede cambiarse un sin número de veces

e incrementar su valor para obtener resultados óptimos, llegando casi a la unidad, pero evitando

mutar totalmente todo el cromosoma borrando los beneficios en este creados por el elitismo y la

generación forzada.

Por medio de la experimentación, también se concluyo que los parámetros no son independientes, y

el querer tratar de obtener todas las combinaciones posibles de estos sistemáticamente, es casi

imposible, pero si los parámetros son optimizados uno por uno, es posible manejar sus interacciones

y para un problema dado, los valores de los parámetros seleccionados tal vez no sean

necesariamente los óptimos, pero si se tratan de analizar uniformemente se obtendrán valores más

significativos.

Con los casos analizados se comprueba que el algoritmo diseñado puede ser aplicado en la solución

del análisis y la síntesis de mecanismos de configuraciones de 4 y 6 eslabones para diversos tipos de

trayectorias, teniendo como principal requisito la función de evaluación y las restricciones para el

algoritmo.

Con la información obtenida mediante la experimentación en el ajuste de parámetros, ya se tienen

las bases para realizar el análisis y la síntesis de un mecanismo para una prótesis policéntrica, que

será la base para demostrar los resultados de la aplicación de los algoritmos genéticos en la síntesis

de mecanismos.

Por último cabe mencionar que puede existir la no coincidencia total de los puntos de precisión en

una trayectoria a través de un mecanismo, ya que, siendo más detallistas, existen limitantes de

manufactura que impedirán el cumplimiento estricto de dicho requerimiento, pero si se darán los

resultados más aproximados que cumplan la trayectoria especificada.

Capítulo V


122

ANÁLISIS DE RESULTADOS

En este capítulo se presenta el análisis de resultados de la síntesis de mecanismos con algoritmos genéticos, aplicado al diseño de una prótesis policéntrica para miembro inferior con un mecanismo de 6 eslabones.

Capítulo V


123

5.1Prótesis policéntricas

Con base en investigaciones realizadas para la construcción de prótesis inteligentes policéntricas, en

conjunto con información tomada sobre la biomecánica de la rodilla (Greene, 1983, Rovetta &

Frosi, 1984, Blumentritt & Werner-Scherer, 1997, Dewen et al., 2003, Dupes, 2004), para realizar

un correcto diseño, recomiendan partir de los parámetros propios de la población, los cuales, en

muchos casos no se han establecido explícitamente en la literatura disponible, pero se pueden

obtener a través de pruebas de marcha. Los parámetros generales tienen como objetivo primordial,

dar uniformidad a las posibles soluciones y crear una referencia para evaluar los diseños existentes

así como algunos nuevos; asegurando sistemas capaces de responder tanto a las exigencias

mecánicas como a las personales de alguien con una amputación, transfemoral.

Los mecanismos policéntricos comprenden múltiples centros de rotación con lo que su eje provee un

centro móvil de rotación, que es bloqueado por el grado de flexión de la rodilla. La gran ventaja del

arreglo policéntrico es que permite la estabilidad de la rodilla cuando se hace contacto con el talón y

reduce la estabilidad al momento del despegue de la punta del pie; con ello se incrementa la

distancia de contacto con el piso y se reduce la posibilidad de tropiezo. Muchas rodillas

policéntricas tienen su centro instantáneo de rotación lo suficientemente próximo y superior para

mayor estabilidad, la cual depende del diseño y no del control que debe tener. El centro instantáneo

de rotación se mueve rápidamente hacia adelante en la etapa de balanceo, de esta forma desbloquea

la articulación y facilita la flexión ofreciendo gran estabilidad.

5.2. Rangos de movimiento de la rodilla

La flexo-extensión de la rodilla resulta de la suma de 2 movimientos parciales que ejecutan los

cóndilos femorales: un movimiento de rodado, similar al que realizan las ruedas de un vehículo

sobre el suelo y un movimiento de deslizamiento de aquellos sobre las cavidades glenoideas; éste

último de mayor amplitud que el primero (Góngora-García et al., 2003). Este movimiento, de

extensión completa a flexión completa, va desde 0º hasta aproximadamente 120º (Figura 5.1 y 5.2).

La rotación interna y externa, en el plano transversal, está influenciada por la posición de la

articulación en el plano sagital. En extensión completa, la rotación está casi completamente

restringida por el bloqueo de los cóndilos femorales y tibiales, que ocurre principalmente porque el

cóndilo femoral medial es más grande que el cóndilo lateral.

Capítulo V


124

El rango de rotación se incrementa a medida que la rodilla se flexiona, alcanzando su valor máximo

a los 90º de flexión. Con la rodilla en esta posición, la rotación externa varía de 0º hasta

aproximadamente 45º, y la rotación interna, de 0º hasta 30º; después de los 90º de flexió. El rango

de rotación interna y externa disminuye, básicamente, porque los tejidos suaves restringen la

rotación.

En (Góngora-García et al., 2003) se explica que la rodilla puede realizar solamente movimientos de

rotación cuando se encuentra en posición de semiflexión, pues se producen en la cámara distal de la

articulación y consisten en un movimiento rotatorio de las tuberosidades de la tibia, por debajo del

conjunto meniscos-cóndilos femorales. En la extensión completa de la articulación, los movimientos

de rotación no pueden realizarse porque lo impide la gran tensión que adquieren los ligamentos

laterales y cruzados.

Figura 5.1. Movimientos de la rodilla, traslación y rotación (Freya et al., 2006).

Figura 5.2 Movimientos de la rodilla.(Gunston et al., 1971)

Capítulo V


125

5.3 Características de mecanismos aplicados a prótesis policéntrica.

Principalmente se utilizan las configuraciones de mecanismos de 4 y 6 eslabones para generar el

movimiento de la rodilla, pero en forma general, los mecanismos puede ser analizado considerando

los siguientes puntos para desarrollar una prótesis policéntrica:

Tabla 5.1 Parámetros para la construcción de una rodilla policéntrica (Maya et al., 2007)

Parámetros A B C

Peso unitario x x X

Edad usuario x x X

Altura usuario X

Sexo X

Geometría del muñón x X

Nivel de sensibilidad X

Recursos económicos X x x

Grado de movilidad X

Material X x x

Peso protésico x X

Estabilidad x X

Comercialización X x

Vida útil x

A Prototipo: “Estudio de mercadeo y procesos de manufactura de rodilla policéntrica” (Millán, 1996) B. Prototipo: “Diseño construcción y puesta a punto de una prótesis de rodilla policéntrica”(Cortés, 1988). C. Prototipo: “Construcción y pruebas del diseño de una prótesis de rodilla policéntrica para amputación

transfemoral”(Pinzón, 1995)

De los cuales primordialmente se consideran para el inicio del diseño de los mecanismos

policéntricos el grado de movilidad y la estabilidad.

Para determinar la estabilidad y el grado de movilidad se considera que el mecanismo de rodilla

policéntrica es un dispositivo en el que el centro instantáneo de rotación (CIR) cambia de posición

conforme el ángulo de flexión de la rodilla incrementa o decrementa (Radcliffe, 1977).

Cinematicamente todos los dispositivos policéntricos tienen la estabilidad controlada por la

localización del CIR y en su mayoría son de la misma clase (Figura 5.3):

Capítulo V


126

Figura 5.3 Centro Instantáneo de Rotación (CIR) para distintas configuraciones (Radcliffe, 1977)

Las características de una rodilla policéntrica se pueden describir en términos de la relación de 4

factores (Radcliffe, 1977): 1) El centro instantáneo de rotación del muslo, 2) La línea de carga, 3) El

momento de ruptura o torque generado por la prótesis de rodilla y 4) El momento en el cuál la

cadera puede moverse voluntariamente por el amputado.

5.3.1 Centro Instantáneo de Rotación (CIR) en una prótesis policéntrica

El CIR, en una prótesis policéntrica, es un punto donde por muy pequeños cambios en el ángulo de

flexión de la rodilla que haya, la sección del muslo rota sobre un punto en extensión con la

pantorrilla, la cual aparece temporalmente fija. Para pequeños ángulos, la rotación relativa de los

centros instantáneos podría imaginarse que es una bisagra que une una sección del muslo con la

pantorrilla(Radcliffe, 1977). Para grandes ángulos, los CIR cambiaran de ubicación y será necesario

imaginar una nueva posición.

5.3.2 Línea de carga

La línea de carga es a través de la cual la fuerza de carga equivalente actúa sobre el cojinete de

carga de la prótesis, rara vez, actúa a través de la línea directa que une la articulación de la cadera

con el tobillo, en general actúa desde un solo punto en el nivel del socket hacia un centro de presión

sobre la planta del pie.

Capítulo V


127

Si la línea de carga es anterior a la rodilla, esta tiende a ser estable, si esta es posterior al centro de

rotación del talón el sujeto debe dar un gran torque sobre la rodilla con los músculos de la cadera

para estabilizarlos. Para que la rodilla se flexione mientras el cojinete soporta el peso en el despegue

del pie, la línea de carga debe ser recorrida a una posición donde esta pase posterior al centro de la

rodilla(Wilkenfeld, 2000). Si la línea de carga se presenta en el pre-movimiento de pivoteo delante

del eje de la rodilla, se genera un esfuerzo de torsión extenso que hace el movimiento más difícil.

La Figura 5.4 muestra las fuerzas equivalentes y momentos que actúan en el pie y alrededor de la

articulación de la cadera en un amputado transfemoral típico. Los diagramas tanto al contacto como

al despegue del suelo se superponen en el esquema central (Radcliffe, 1977). Es de notar que las

líneas de reacción del piso no pasan por el centro de la articulación de la cadera al contacto del talón

con el piso o al elevarse el pie. Al golpear el talón el suelo la línea de carga debe pasar por atrás del

centro de la rodilla para hacerla estable, la estabilidad es controlada al aplicar un pequeño momento

con los músculos de la cadera. El mismo principio aplica para el sistema de fuerzas en la elevación

del pie.

Figura 5.4. Línea de carga y área para centros de la rodilla (Radcliffe, 1977)

Capítulo V


128

5.4 Mecanismo policéntrico de 4 barras

Mecanismos de 4 eslabones han sido aplicados para desarrollar prótesis transfemorales que pueden

dar el efecto de rotación de la rodilla que solo permite caminar. Para cubrir la trayectoria del

movimiento de la rodilla, se toman como base los trabajos de (Radcliffe, 1977, Enríquez Torres,

2007) sobre un mecanismo policéntrico de 4 barras como los mostrados en las Figuras 5.5 y 5.6.

Para la descripción cinemática de la rodilla en el plano sagital se utiliza regularmente el modelo de

mecanismo de cuatro barras. La curva que describe la trayectoria del centro instantáneo de rotación

se conoce como poloide. Esto es muy utilizado en el diseño de sustituciones de rodilla. Para prótesis

transfemorales que incluyen un mecanismo de rodilla de cuatro barras, el centro instantáneo en

cualquier posición de la rodilla en extensión puede ser localizado en la intersección de las

prolongaciones de las líneas de los enlaces anterior y posterior los cuales conectan la sección del

socket a la sección de la pierna en la prótesis. Como se incrementa el ángulo de flexión de la rodilla

el centro instantáneo toma una serie de posiciones que típicamente trazan una trayectoria con la

extensión de la pierna la cual avanza hacia adelante y hacia abajo hacia el centro anatómico de la

rodilla.

Capítulo V


129

Fig. 5.5 Trayectoria del CIR de una rodilla Fig. 5.6 Trayectoria del CIR de una prótesis de policéntrica d e4 barras (Radcliffe, 1994) control voluntario para una rodilla de 4 barras (Radcliffe, 1994)

De este arreglo de eslabones existen 3 configuraciones importantes:

a) Mecanismo de cuatro barras cuasi estable: Un centro instantáneo elevado y hacia atrás

incrementara la estabilidad de la rodilla. Para un mecanismo de cuatro barras con un centro

instantáneo elevado, que ha estado en el mercado por ya largo tiempo y que regularmente

está conformado por un enlace anterior largo y un enlace posterior corto, se obtiene una

buena estabilidad cuando el talón golpea el suelo, esto es de gran utilidad para personas con

una disminuida capacidad funcional en la cadera. El centro instantáneo en la extensión

completa de la pierna, se encuentra posterior a la línea de carga cuando el talón tiene el

primer contacto, lo que provoca que la rodilla sea forzada a mantenerse en extensión y

cinematicamente bloqueada, con esto no es necesario ejercer torque en la cadera para

mantener esta posición (Radcliffe, 1994).

Capítulo V


130

Figura 5.7 Diagrama de estabilidad para un mecanismo de 4 barras con CIR elevado (Radcliffe, 1994)

b) Mecanismo de cuatro barras hiper-estabilizado: El termino hiper-estabilizado se requiere a

una muy positiva alineación de estabilidad, el centro instantáneo en la extensión total se

localiza atrás de la línea de carga, con lo que no se requiere un torque en la cadera para

lograr la estabilidad, en relación con el arreglo anterior este centro instantáneo se encuentra

más abajo atrás de la línea que une la cadera con el talón (Radcliffe, 1994).

Figura 5.8 Diagrama de estabilidad de un cuadrilátero articulado hiper-estabilizado (Radcliffe, 1994)

c) Mecanismo de cuatro barras de control voluntario: El mecanismo de cuatro barras para el

control voluntario presenta un centro instantáneo que cae dentro de la zona de estabilidad

tanto en el momento del golpe del talón y el despegue del pie. En este caso la elevación

inicial del centro instantáneo no es tan alta como en el primer caso, además de que la

Capítulo V


131

trayectoria no corre rápidamente hacia abajo y permanece cerca de su elevación inicial y

dentro de la zona estable para los primeros cinco grados de flexión de la rodilla. Con esto se

da la habilidad al paciente de controlar voluntariamente la estabilidad de la pierna no solo al

contacto del talón con el suelo y al despegue del pie, sino también aun dentro de un rango

limitado en la flexión de la rodilla (Radcliffe, 1994). Figura 4.3.

Figura 5.9 Diagrama de estabilidad de prótesis control voluntario (Radcliffe, 1994)

Por las descripciones realizadas a cada configuración se tomo el mecanismo de control voluntario,

ya que el paciente tiene el total control de la prótesis, basándose en esta característica, se realiza el

análisis y la síntesis con los algoritmos genéticos.

5.4.1 Síntesis de mecanismos policéntricos para prótesis de 4 barras de control voluntario.

Se realizara la síntesis con algoritmos genéticos del mecanismo seleccionado, teniendo como

principales restricciones los señalados en la Tabla 5.2:

Tabla 5.2 Restricciones para la síntesis de un mecanismo policéntrico de 4 eslabones

De acuerdo a la síntesis se tiene la trayectoria, el mecanismo y la convergencia en la Figura (5.10,

5.11), el mecanismo en un programa de simulación dinámica (5.12).

Figura 5.10 Trayectoria del mecanismo de 4 barras para prótesis policéntrica.

Figura 5.11 Mecanismo policéntrico simulado por programación.

Capítulo V


132

Figura 5.12 Mecanismo creado en un programa de Simulación Dinámica

5.5 Mecanismo policéntrico de 6 barras

También se han desarrollado las prótesis transfemorales policéntricas de 6 eslabones para dar

movimiento a la rodilla aplicando las dos configuraciones, tipo watt (Figura 5.13 (Dewen et al.,

2003)) y Stephenson (Figura 5.14(Chakraborty & Path, 1994)),los cuales están diseñados para

transmitir el movimiento al muslo desde el pie, durante la acción de ponerse en cuclillas hasta la

fase de oscilación al caminar. Estos normalmente se generan de dos mecanismos de 4 eslabones,

para crear los CIR en extensión completa y que correspondan al eje simple del centro de la rodilla, y

posteriormente a la línea de carga que va del tobillo al muslo. Con este arreglo se consigue una

estabilidad de la prótesis en la flexión a 10º, ya que el CIR está mejor localizado en la unión simple

del eje de la rodilla, donde la persona con amputación podrá tener un mejor control en la extensión y

en la flexión voluntaria sobre los rangos críticos de movimiento. En la Figura 5.14 se muestra la

posición de acoplamientos en el mecanismo y el lugar geométrico del CIR de la rodilla para la

rotación de la unidad del muslo concerniente a la pantorrilla.

Figura 5.13 Configuraciones de mecanismos de 6 barras tipo Watt para prótesis policéntricas (Dewen et al., 2003)

Capítulo V


133

Figura 5.14 Posición de los CIR de la rodilla de la prótesis policéntrica con referencia a la línea de carga a través de la unión de la

pantorrilla y el centro de contacto del pie con la tierra en las diferentes fases de la caminata

Los mecanismos de 6 barras son empleados porque debe duplicarse el movimiento del centro de

rotación relativo entre el fémur y los huesos de la pierna (tibia y peroné) para mantener la

estabilidad al caminar.

Dos de los mecanismos de 6 barras propuestos , aplicando las configuraciones antes referidas son (Figura 15 y 16):

Capítulo V


134

Figura 5.15 Mecanismo tipo Watt para prótesis policéntrica. (Dewen et al., 2003)

Figura 5.16 Mecanismo tipo Stephenson para prótesis policéntrica (Jin et al., 2003)

Con base en estos ejemplos, se desarrollo la síntesis de un mecanismo de 6 barras tipo Watt-I por

ser más exactos en la determinación del CIR.

Capítulo V


135

En la Tabla 5.3 se presentan las restricciones para dicho mecanismo y en la figura 5.17 se tienen a

trayectoria, en la 5.18 el mecanismo y en la 5.19 el mecanismo en un programa de simulación

dinámica.

Capítulo V


136

5.6 Sumario

En este capítulo se concentro el resumen de toda la tesis, con lo que se demostró la efectividad del método para realizar la síntesis de mecanismos por medio de algoritmos genéticos. Se logro desarrollar el diseño de una prótesis policéntrica cubriendo todas las restricciones necesarias para este efecto. Se logro generar físicamente y simulado un mecanismo que partió de ser solo un diseño para cubrir una trayectoria.

CONCLUSIONES


137

CONCLUSIONES

Se hizo un énfasis en la aportación que han tenido las herramientas computacionales y las

técnicas de computación inteligente como los algoritmos genéticos y la lógica difusa, en la

optimización de estos mecanismos para obtener respuestas más viables y óptimas en cuanto a

las diversas necesidades de los usuarios, resaltando los algoritmos genéticos como método de

búsqueda.

Se describió la importancia de los algoritmos genéticos para mejorar la síntesis de

mecanismos, ya que principalmente sirven para eliminar las limitaciones y ayudan a tener una

exactitud en los puntos de precisión delimitados por el diseñador, con lo que se obtiene una

reducción de tiempo computacional y derivaciones de las ecuaciones obligatorias de una

función objetivo específico. Se mostró que puede haber combinación de los algoritmos

genéticos con un controlador de lógica difusa para monitorear el comportamiento de las

variables de diseño durante el corrimiento de los AG y poder modificar los resultados para una

mejor optimización.

Se presentaron los fundamentos necesarios para realizar el análisis y la síntesis de


necesidades especificas del cliente. Se mostró una descripción de las ecuaciones y métodos

para obtener la síntesis de mecanismos planos para diseñar el número y tipo de

eslabonamiento, los grados de libertad de movimiento y el análisis de posición para generar la

trayectoria. El desarrollo de éstas se enfocó a un mecanismo de 4 barras, configuración base

para poder diseñar posteriormente mecanismos con un mayor número de eslabones y grados

de libertad. Dentro del análisis dinámico, se describió el manejo de los centros instantáneos de

rotación para calcular velocidades y aceleraciones.

Se desarrolló el método de Newton Raphson para optimizar las funciones de Freudenstain

para cadena abierta y cerrada, derivada de la síntesis de mecanismos, este método por sus

características se empleará como método numérico para validar y comparar resultados del

método metaheuristico a emplear, como son los algoritmos genéticos. También se

desarrollaron ejemplos ilustrando la forma de combinar y aplicar este método con el algebra

compleja, que se aplica en este tipo de análisis para determinar las posiciones de los

CONCLUSIONES


138

eslabones, que son una de las principales variables de los mecanismos cuando se diseñan para

el seguimiento de trayectorias.

De los algoritmos genéticos se hizo una descripción de las etapas de que están formados, se


generación por aplicación análoga de operaciones genéticas que ocurren naturalmente. Estas

operaciones son aplicadas a individuos seleccionados desde la población. Para que un

procedimiento sea completo debe existir una combinación de métodos gráficos, analíticos y

heurísticos, ayudándose de herramientas computacionales que ya existen para resolver

problemas complejos. Los métodos analíticos son muy precisos, pero normalmente son

utilizados por personas especializadas en el tema, para ayudar a resolver estos problemas se

utilizan los métodos metaheurísticos como los algoritmos genéticos, que como se observó,

pueden manipular muchos parámetros simultáneamente, lo que facilita poder manejar diversas

variables para llegar a la solución más óptima, en este caso las variables propuestas para los

ángulos y las longitudes de las barras en las diferentes configuraciones, para que los

mecanismos puedan cubrir trayectorias predeterminadas.

Se observa que es necesario hacer un análisis previo del problema, para poder generar las

restricciones y el dominio de diseño que debe tener el mecanismo, esto permitirá evitar

encontrar una solución que constructivamente no puede ser válida. Los algoritmos genéticos

se utilizaron para optimizar la posición del error entre los puntos deseados y los efectuados

por el mecanismo resultante sujeto a diferentes restricciones. La optimización con algoritmos

genéticos permite tener aproximaciones a la solución de la síntesis. La mejor solución

depende del tipo de mecanismo y de los requerimientos de diseño. Como ventajas los

algoritmos tienen la convergencia cerca de la solución óptima global La rápida convergencia

se indica por un valor alto en la función y un bajo número de generaciones. La solución

depende en gran medida del tamaño de la población y de las probabilidades de cruce y

mutación. Para validar los resultados se hizo la comparación con los datos obtenidos del autor

que se tomo como referencia, además del método numérico de Newton Raphson.

El generar trayectorias con la implementación de algoritmos genéticos ofrece ventajas por la

manipulación que se puede dar a las variables iniciales, para obtener una convergencia rápida.

CONCLUSIONES


139

Se evita el cálculo del método numérico, que es laborioso y tiene restricciones como el dar

datos aproximados para poder dar una solución, además del consumo de tiempo de cómputo.

El algoritmo genético explora un espacio de soluciones, seleccionando la más factible a través de

una función aptitud que permitirá dirigir la búsqueda con un enfoque de optimización. La

estrategia no requiere el implemento de matemáticas complejas para la cinemática inversa debido

a que las ecuaciones de enlace geométrico se obtienen metódicamente para reducir la complejidad

del problema. Los parámetros del algoritmo genético normalmente interactúan entre sí de

forma no lineal, por lo que no pueden optimizarse de manera independiente, quedando

demostrado en los casos de estudio presentados.

El proceso de optimización es iterativo, y se demostró con las pruebas que se hicieron

variando los parámetros del algoritmo genético para analizar el comportamiento del sistema,

que pueden ser modificados hasta encontrar un sistema cuyo comportamiento satisfaga las

expectativas y los requerimientos del diseñador.

Se demostró que la diversidad de los individuos en la población se obtiene y se mantiene con

el operador de cruce y la mutación genética, ya que en todo el análisis permiten encontrar

mejores soluciones y evitan la convergencia prematura a un máximo local. Aunque también

debe mencionarse que el elitismo y la herencia forzada ayudan a limitar el número de

individuos que cubrirán las restricciones impuestas. Por otro lado se vio que el algoritmo

genético tiene pocas posibilidades de realizar un numero de reproducciones considerable o

necesario para la óptima solución si se tiene una población insuficiente o pequeña, ya que solo

se realizaría una búsqueda de soluciones escasa o poco óptima, pero por otro lado, la

población excesiva, hace que el algoritmo se vuelva muy lento. De hecho hay un límite a

partir del cual es ineficiente elevar el tamaño de la población puesto que no se consigue una

mayor velocidad en la resolución del problema ni se asegura la convergencia, para los casos

de estudio referidos en este capítulo, al incrementar la población en 3000 individuos ya no

arrojo ningún resultado aceptable y se volvió extremadamente el programa. Si la población se

trabaja en un tamaño medio, como 1000 individuos por ejemplo pueden mejorar el desempeño

del algoritmo a largo plazo, aunque esto se vea afectado por una respuesta inicial más lenta.

CONCLUSIONES


140

También se observó que el incremento en el porcentaje de mutación mejora el desempeño

fuera de línea ya que se toman en cuenta todas las soluciones en la población para obtener el

valor óptimo. El desempeño fuera de línea no penaliza al algoritmo de búsqueda por explorar

regiones pobres del espacio de búsqueda, siempre y cuando ello contribuya a alcanzar las

mejores soluciones posibles si se habla en términos de aptitud.

Por otro lado se comprobó que para el cruzamiento se cumple la regla de que aplicando

valores menores a 0.6, el desempeño no es óptimo y no cambia el resultado esperado en el

problema en específico. Hablando de la mutación, se demostró que esta puede cambiarse un

sin número de veces e incrementar su valor para obtener resultados óptimos, llegando casi a la

unidad, pero evitando mutar totalmente todo el cromosoma borrando los beneficios en este

creados por el elitismo y la generación forzada.

Por medio de la experimentación, también se concluyo que los parámetros no son

independientes, y el querer tratar de obtener todas las combinaciones posibles de estos

sistemáticamente, es casi imposible, pero si los parámetros son optimizados uno por uno, es

posible manejar sus interacciones y para un problema dado, los valores de los parámetros

seleccionados tal vez no sean necesariamente los óptimos, pero si se tratan de analizar

uniformemente se obtendrán valores más significativos. Con los casos analizados se

comprueba que el algoritmo diseñado puede ser aplicado en la solución del análisis y la

síntesis de mecanismos de configuraciones de 4 y 6 eslabones para diversos tipos de

trayectorias, teniendo como principal requisito la función de evaluación y las restricciones

para el algoritmo.

Con la información obtenida mediante la experimentación en el ajuste de parámetros, ya se

tienen las bases para realizar el análisis y la síntesis de un mecanismo para una prótesis

policéntrica, que será la base para demostrar los resultados de la aplicación de los algoritmos

genéticos en la síntesis de mecanismos.

Por último cabe mencionar que puede existir la no coincidencia total de los puntos de

precisión en una trayectoria a través de un mecanismo, ya que, siendo más detallistas, existen

limitantes de manufactura que impedirán el cumplimiento estricto de dicho requerimiento,

pero si se darán los resultados más aproximados que cumplan la trayectoria especificada.

TRABAJOS FUTUROS


141

Trabajos Futuros

Los alcances de este trabajo contemplan únicamente la síntesis de un mecanismo mediante

algoritmos genéticos simples, y con estos obtener el diseño optimo para generar la trayectoria

adecuada de una prótesis policéntrica transfemoral. Tomando en cuenta esto se proponen

como trabajos futuros a esta investigación los siguientes:

Manufactura de los mecanismos.

En este se plante realizar un análisis estructural de los elementos de la prótesis policéntrica

con la finalidad de: optimizar el diseño, asegurar que ninguno de los elementos fallará durante

el funcionamiento y poder determinar las limitaciones de esta.

Optimización de la programación de Algoritmos Genéticos

EL siguiente paso dentro de la programación con algoritmos genéticos es pasar a los multi-

objetivos y combinarlos con herramientas como las redes neuronales y lógica difusa para

obtener una mejor optimización dependiendo de la complejidad del caso de estudio.

Implementación de control

Complementar el diseño de los mecanismos policéntricos para la prótesis con el sistema de

control adecuado para generar el proceso de la marcha y la fase de estancia.

Implementación de sistemas basados en la micro y nano tecnologías.

Tomando en cuenta las tendencias y avances actuales en estas áreas de la ingeniería, que

incluyen el desarrollo de elementos y sensores mediante técnicas de nanotecnología, con la

cual se pueden desarrollar micro-motores, sensores y elementos de materiales biocompatibles;

se plantea la posibilidad de incluir en el diseño de la mano robótica elementos que permitan el

sensar y transmitir información al sistema de control, mediante la instrumentación adecuada

en espacios muy reducidos, que permita contar con los datos necesarios para que las

capacidades del sistema aumenten y éste pueda tener características reactivas basado en una

mayor capacidad sensorial para reaccionar a diversos estímulos.

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154

ANEXO

Anexo I


155

ANEXO I PROGRAMA DE ALGORITMOS GENETICOS PARA CALCULAR UN MECANISMO DE 4 BARRAS PARA UNA PROTESIS POLÍCENTRICA % PROGRAMA PRINCIPAL clear all;clc;format long g; close all; tic; j=0; global er gen %% Trayectoria deseada xd=[12.88 22.5 26.15 30 31.92 33.08 33.65 34.61 35.38 35.96 34.81 30 20]; yd=[53.57 55.68 58.18 63.17 67.40 70.66 74.89 80.46 89.30 98.33 112.35 125.41 133.09]; %% Restricciones y condiciones iniciales rad=(0*(pi/180)); rad1=(98*(pi/180)); rad3=(30*(pi/180)); rad4=(56*(pi/180)); x0=0.1; %[ y0 r1 r2 r3 r4 rcx rcy t1 t2 t21 t22 t23 t24 t25 t26 t27 ] restriccion=[30 40; 5 40; 5 45; 0 22; 5 30; 5 20; 0 128; rad3 rad4; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1; rad rad1]; ni=1400; % Numero de individuos Prbc=0.85; %Probabilidad de cruce Prbm=0.85; %Probabilidad de mutación p=5; %Presición de numeros maximogen=1000;% número máximo de generaciones minimerror=5e-3; % "mínimo valor de error" %paro3=0.0005; %condiciones de exactitud gen=1; f_anter=0; rep=1; er=1; %numero de generaciones, error % [Po,nbits]=genepob(restriccion,p,ni); %Generación de población seg=1;R=[];MB=[]; Ci=zeros(1,length(restriccion)); %configuracion inicial de los eslabones) reng; POB=[MB;POB]; Po=POB; %% Algoritmo genetico while (ne(gen,maximogen) && (minimerror<er))% && ne(rep,paro3)) %Comparativo para cada uno de los paros x=decodificacion(restriccion,Po,nbits); %decodificacion para evaluación

Anexo I


156

% evaluación de la función [evalfit,F]=funcionobjetivo(x,xd,yd); %Evaluación de la función error=F; %Error evalfunob=evalfit; %Operadores geneticos [f_actual,bestind,mm,fprom]=elitismo(evalfunob,ni,Po); %mejor individuo para la reinserciòn [R,seg,f_actual,f_anter,er,MB,Ci]=resultados(f_actual,f_anter,bestind,mm,Ci,seg,error,gen,R,x,er,MB); Regeneracion; Po=secruymu(nbits,Prbc,Prbm,Po,evalfunob); %Selección, cruce y mutación Po(floor(1+(ni-1)*rand),:)=MB; gen=gen+1; fprintf('\t%5d\t',gen) % generación fprintf('Error:%8.13f\t',er) % error fprintf('R:\t%.16f\t ',x(mm,:))% valor de las variables fprintf('\t%4.6f\t\n',toc)% tiempo de paro %% Grafico y0=Ci(:,1); %eje y inicial r1=Ci(:,2); % eslabon base r2=Ci(:,3); %eslabon mas corto manivela r3=Ci(:,4); %eslabon 3 r4=Ci(:,5); %eslabon 4 rcx=Ci(:,6); rcy=Ci(:,7); % toca el punto deseado t0=Ci(:,8); %ángulo de origen t2=Ci(:,9); %ángulo de transmisión t21=Ci(:,10); t22=Ci(:,11); t23=Ci(:,12); t24=Ci(:,13); t25=Ci(:,14); t26=Ci(:,15); t27=Ci(:,16); % j=j+1; grafica(x0,y0,r1,r2,r3,r4,rcx,rcy,t0,t2,t21,t22,t23,t24,t25,t26,t27); hold on; pause(0.01) end function [evalfit,F]=funcionobjetivo(x,xd,yd) xd=[12.88 22.5 26.15 30 31.92 33.08 33.65 34.61 35.38 35.96 34.81 30 20]; yd=[53.57 55.68 58.18 63.17 67.40 70.66 74.89 80.46 89.30 98.33 112.35 125.41 133.09]; % y0=x(:,1); %eje y inicial r1=x(:,2); % eslabon base r2=x(:,3); %eslabon mas corto manivela r3=x(:,4); %eslabon 3

Anexo I


157

r4=x(:,5); %eslabon 4 rcx=x(:,6); rcy=x(:,7); % toca el punto deseado t0=x(:,8); %ángulo de origen t2=x(:,9); %ángulo de transmisión t21=x(:,10); t22=x(:,11); t23=x(:,12); t24=x(:,13); t25=x(:,14); t26=x(:,15); t27=x(:,16); %% posicbarras; %% Evaluación de la función F1=(((((xd(1)-real(Rcy)).^2+(yd(1)-imag(Rcy)).^2)))); F2=((((xd(2)-real(Rcy1)).^2+(yd(2)-imag(Rcy1)).^2))); F3=((((xd(3)-real(Rcy2)).^2+(yd(3)-imag(Rcy2)).^2))); F4=((((xd(4)-real(Rcy3)).^2+(yd(4)-imag(Rcy3)).^2))); F5=((((xd(5)-real(Rcy4)).^2+(yd(5)-imag(Rcy4)).^2))); F6=((((xd(6)-real(Rcy5)).^2+(yd(6)-imag(Rcy5)).^2))); F=(1/6)*sqrt((F1+F2+F3+F4+F5+F6)/1400);%+F3+F4+F3+F4+F5 evalfit=1./F; end % Posición de cada eslabón %% Cálculo de coseno de t2 x0=0.1; Ct2=cos(t2); Ct21=cos(t21); Ct22=cos(t22); Ct23=cos(t23); Ct24=cos(t24); Ct25=cos(t25); Ct26=cos(t26); Ct27=cos(t27); %% Cálculo de ángulo t4 K=[r1./r2, r1./r4, (r2.^2-r3.^2+r4.^2+r1.^2)./(2.*r2.*r4), r1./r3, (r4.^2-r2.^2-r3.^2-r1.^2)./(2.*r2.*r3)]; a=[Ct2-K(:,1)-K(:,2).*Ct2+K(:,3), -2.*sin(t2), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct2+K(:,3)]; X4=[(-a(:,2)+sqrt(a(:,2).^2-(4.*a(:,1).*a(:,3))))./(2.*a(:,1)),(-a(:,2)-sqrt(a(:,2).^2-(4.*a(:,1).*a(:,3))))./(2.*a(:,1))]; t4=2*atan(X4); % a1=[Ct21-K(:,1)-K(:,2).*Ct21+K(:,3), -2.*sin(t21), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct21+K(:,3)];

Anexo I


158

X41=[(-a1(:,2)+sqrt(a1(:,2).^2-(4.*a1(:,1).*a1(:,3))))./(2.*a1(:,1)),(-a1(:,2)-sqrt(a1(:,2).^2-(4.*a1(:,1).*a1(:,3))))./(2.*a1(:,1))]; t41=2*atan(X41); % % % % a2=[Ct22-K(:,1)-K(:,2).*Ct22+K(:,3), -2.*sin(t22), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct22+K(:,3)]; X42=[(-a2(:,2)+sqrt(a2(:,2).^2-(4.*a2(:,1).*a2(:,3))))./(2.*a2(:,1)),(-a2(:,2)-sqrt(a2(:,2).^2-(4.*a2(:,1).*a2(:,3))))./(2.*a2(:,1))]; t42=2*atan(X42); % % a3=[Ct23-K(:,1)-K(:,2).*Ct23+K(:,3), -2.*sin(t23), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct23+K(:,3)]; X43=[(-a3(:,2)+sqrt(a3(:,2).^2-(4.*a3(:,1).*a3(:,3))))./(2.*a3(:,1)),(-a3(:,2)-sqrt(a3(:,2).^2-(4.*a3(:,1).*a3(:,3))))./(2.*a3(:,1))]; t43=2*atan(X43); % % a4=[Ct24-K(:,1)-K(:,2).*Ct24+K(:,3), -2.*sin(t24), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct24+K(:,3)]; X44=[(-a4(:,2)+sqrt(a4(:,2).^2-(4.*a4(:,1).*a4(:,3))))./(2.*a4(:,1)),(-a4(:,2)-sqrt(a4(:,2).^2-(4.*a4(:,1).*a4(:,3))))./(2.*a4(:,1))]; t44=2*atan(X44); % a5=[Ct25-K(:,1)-K(:,2).*Ct25+K(:,3), -2.*sin(t25), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct25+K(:,3)]; X45=[(-a5(:,2)+sqrt(a5(:,2).^2-(4.*a5(:,1).*a5(:,3))))./(2.*a5(:,1)),(-a5(:,2)-sqrt(a5(:,2).^2-(4.*a5(:,1).*a5(:,3))))./(2.*a5(:,1))]; t45=2*atan(X45); % % a6=[Ct26-K(:,1)-K(:,2).*Ct26+K(:,3), -2.*sin(t26), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct26+K(:,3)]; X46=[(-a6(:,2)+sqrt(a6(:,2).^2-(4.*a6(:,1).*a6(:,3))))./(2.*a6(:,1)),(-a6(:,2)-sqrt(a6(:,2).^2-(4.*a6(:,1).*a6(:,3))))./(2.*a6(:,1))]; t46=2*atan(X46); a7=[Ct27-K(:,1)-K(:,2).*Ct27+K(:,3), -2.*sin(t27), K(:,1)-(K(:,2)+1).*Ct27+K(:,3)]; X47=[(-a7(:,2)+sqrt(a7(:,2).^2-(4.*a7(:,1).*a7(:,3))))./(2.*a7(:,1)),(-a7(:,2)-sqrt(a7(:,2).^2-(4.*a7(:,1).*a7(:,3))))./(2.*a7(:,1))]; t47=2*atan(X47); %% b=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct2+K(:,5),a(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct2+K(:,5)]; Y3=[(-b(:,2)+sqrt(b(:,2).^2-(4.*b(:,1).*b(:,3))))./(2.*b(:,1)),(-b(:,2)-sqrt(b(:,2).^2-(4.*b(:,1).*b(:,3))))./(2.*b(:,1))]; t3=2*atan(Y3); % % b1=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct21+K(:,5),a1(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct21+K(:,5)]; Y31=[(-b1(:,2)+sqrt(b1(:,2).^2-(4.*b1(:,1).*b1(:,3))))./(2.*b1(:,1)),(-b1(:,2)-sqrt(b1(:,2).^2-(4.*b1(:,1).*b1(:,3))))./(2.*b1(:,1))]; t31=2*atan(Y31); % % % b2=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct22+K(:,5),a2(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct22+K(:,5)]; Y32=[(-b2(:,2)+sqrt(b2(:,2).^2-(4.*b2(:,1).*b2(:,3))))./(2.*b2(:,1)),(-b2(:,2)-sqrt(b2(:,2).^2-(4.*b2(:,1).*b2(:,3))))./(2.*b2(:,1))]; t32=2*atan(Y32);

Anexo I


159

% % % % % b3=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct23+K(:,5),a3(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct23+K(:,5)]; Y33=[(-b3(:,2)+sqrt(b3(:,2).^2-(4.*b3(:,1).*b3(:,3))))./(2.*b3(:,1)),(-b3(:,2)-sqrt(b3(:,2).^2-(4.*b3(:,1).*b3(:,3))))./(2.*b3(:,1))]; t33=2*atan(Y33); % % b4=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct24+K(:,5),a4(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct24+K(:,5)]; Y34=[(-b4(:,2)+sqrt(b4(:,2).^2-(4.*b4(:,1).*b4(:,3))))./(2.*b4(:,1)),(-b4(:,2)-sqrt(b4(:,2).^2-(4.*b4(:,1).*b4(:,3))))./(2.*b4(:,1))]; t34=2*atan(Y34); % % % % b5=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct25+K(:,5),a5(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct25+K(:,5)]; Y35=[(-b5(:,2)+sqrt(b5(:,2).^2-(4.*b5(:,1).*b5(:,3))))./(2.*b5(:,1)),(-b5(:,2)-sqrt(b5(:,2).^2-(4.*b5(:,1).*b5(:,3))))./(2.*b5(:,1))]; t35=2*atan(Y35); b6=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct26+K(:,5),a6(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct26+K(:,5)]; Y36=[(-b6(:,2)+sqrt(b6(:,2).^2-(4.*b6(:,1).*b6(:,3))))./(2.*b6(:,1)),(-b6(:,2)-sqrt(b6(:,2).^2-(4.*b6(:,1).*b6(:,3))))./(2.*b6(:,1))]; t36=2*atan(Y36); b7=[-K(:,1)+(1+K(:,4)).*Ct27+K(:,5),a7(:,2),K(:,1)+(-1+K(:,4)).*Ct27+K(:,5)]; Y37=[(-b7(:,2)+sqrt(b7(:,2).^2-(4.*b7(:,1).*b7(:,3))))./(2.*b7(:,1)),(-b7(:,2)-sqrt(b7(:,2).^2-(4.*b7(:,1).*b7(:,3))))./(2.*b7(:,1))]; t37=2*atan(Y37); %% Posición de barra 1 r0=sqrt((x0).^2+(y0).^2); t=atan(y0./x0); R0=r0.*exp(i*t); R1=R0+r1.*exp(i*t0); %% Posición de barra 2 R2=R0+r2.*exp(i*(t2+t0)); R21=R0+r2.*exp(i*(t21+t0)); R22=R0+r2.*exp(i*(t22+t0)); R23=R0+r2.*exp(i*(t23+t0)); R24=R0+r2.*exp(i*(t24+t0)); R25=R0+r2.*exp(i*(t25+t0)); R26=R0+r2.*exp(i*(t26+t0)); R27=R0+r2.*exp(i*(t27+t0)); %% Posición de barra 3 R3=R2+r3.*exp(i*(t3(:,2)+t0)); R31=R21+r3.*exp(i*(t31(:,2)+t0)); R32=R22+r3.*exp(i*(t32(:,2)+t0)); R33=R23+r3.*exp(i*(t33(:,2)+t0)); R34=R24+r3.*exp(i*(t34(:,2)+t0)); R35=R25+r3.*exp(i*(t35(:,2)+t0)); R36=R26+r3.*exp(i*(t36(:,2)+t0)); R37=R27+r3.*exp(i*(t37(:,2)+t0)); %% Posición de barra 4 R4=R1+r4.*exp(i*(t4(:,2)+t0));

Anexo I


160

R41=R1+r4.*exp(i*(t41(:,2)+t0)); R42=R1+r4.*exp(i*(t42(:,2)+t0)); R43=R1+r4.*exp(i*(t43(:,2)+t0)); R44=R1+r4.*exp(i*(t44(:,2)+t0)); R45=R1+r4.*exp(i*(t45(:,2)+t0)); R46=R1+r4.*exp(i*(t46(:,2)+t0)); R47=R1+r4.*exp(i*(t47(:,2)+t0)); %% Posición de barra rcx Rcx=R2+rcx.*exp(i*(t3(:,2)+t0)); Rcx1=R21+rcx.*exp(i*(t31(:,2)+t0)); Rcx2=R22+rcx.*exp(i*(t32(:,2)+t0)); Rcx3=R23+rcx.*exp(i*(t33(:,2)+t0)); Rcx4=R24+rcx.*exp(i*(t34(:,2)+t0)); Rcx5=R25+rcx.*exp(i*(t35(:,2)+t0)); Rcx6=R26+rcx.*exp(i*(t36(:,2)+t0)); Rcx7=R27+rcx.*exp(i*(t37(:,2)+t0)); % %% Posición de barra rcy Rcy=Rcx+rcy.*exp(i*(t0+t3(:,2)+(pi/2))); Rcy1=Rcx1+rcy.*exp(i*(t0+t31(:,2)+(pi/2))); Rcy2=Rcx2+rcy.*exp(i*(t0+t32(:,2)+(pi/2))); Rcy3=Rcx3+rcy.*exp(i*(t0+t33(:,2)+(pi/2))); Rcy4=Rcx4+rcy.*exp(i*(t0+t34(:,2)+(pi/2))); Rcy5=Rcx5+rcy.*exp(i*(t0+t35(:,2)+(pi/2))); Rcy6=Rcx6+rcy.*exp(i*(t0+t36(:,2)+(pi/2))); Rcy7=Rcx7+rcy.*exp(i*(t0+t37(:,2)+(pi/2))); function grafica(x0,y0,r1,r2,r3,r4,rcx,rcy,t0,t2,t21,t22,t23,t24,t25,t26,t27)% clf; axis([-10 150 -10 150]); global er gen % xd=[0 20 40]; % yd=[128 133.09 128]; xd=[12.88 22.5 26.15 30 31.92 33.08 33.65 34.61 35.38 35.96 34.81 30 20]; yd=[53.57 55.68 58.18 63.17 67.40 70.66 74.89 80.46 89.30 98.33 112.35 125.41 133.09]; % %% posicbarras; %% line(real([0 R0]),imag([0 R0]),'Color',[.08 .08 .08],'LineStyle','--','LineWidth',.3);%ok line(real([R0 R1]),imag([R0 R1]),'Color',[.7 .7 .7],'LineWidth',2);%ok line(real([Rcy Rcy]),imag([Rcy Rcy]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy Rcy1]),imag([Rcy Rcy1]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy1 Rcy2]),imag([Rcy1 Rcy2]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy2 Rcy3]),imag([Rcy2 Rcy3]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy3 Rcy4]),imag([Rcy3 Rcy4]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2);

Anexo I


161

line(real([Rcy4 Rcy5]),imag([Rcy4 Rcy5]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy5 Rcy6]),imag([Rcy5 Rcy6]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); line(real([Rcy6 Rcy7]),imag([Rcy5 Rcy7]),'Color','b','Marker','h','LineWidth',2); hold on; plot(xd,yd,'*'); line(xd,yd,'Color','r','Marker','o','LineWidth',1) ylabel('Valores de Y deseada') xlabel(' Cuatro Eslabones Valores de x deseada ') title(['Error:',num2str(min(er)),' generación:',num2str(gen),' tiempo:',num2str(toc),'seg' ]); drawnow %seleccion,cruce y mutación function Po=secruymu(nbits,Prbc,Prbm,Po,evalfunob,rege,MB) %% Selección por ruleta fsum=(sum(evalfunob)); %suma total de la función peso=evalfunob/fsum; %rango de peso para cada individuo normalizado sumacu=cumsum(peso); %suma acumulada de los pesos [ni,lgcr]=size(Po); % tamaño de la suma acumulada k=fix(ni/2); ma=ones(ni,1); % arreglo de uno del tamaño del numero de individuos %% for i = 1:k b=ni-i+1; ma(i,1)=find(sumacu>rand,1); ma(b,1)=find(sumacu>rand,1); end Padres(:,:)=Po(ma,:); %población seleccionada para cruce simple %% Reproducción %Cruce simple en un punto Hijos=Padres; %lgcr=sum(nbits); % d=floor(1+(ni-1)*Prbc); %cantidad de individuos a ser cruzados c=(floor(1+(ni-1)*rand(d,2))); %parejas seleccionadas m=length(c); pc=floor(1+(lgcr-1)*rand(m,1)); %punto de cruce de las parejas seleccionadas Hijos(c(:,1),:)=[Padres(c(:,1),1:pc), Padres(c(:,2),pc+1:lgcr)];%posicion de la poblacion a reinsercion de hijos %% Mutación hijosmutados=Hijos;mlmt=1; sm=length(c(:,1)); a=rand(sm,1); m=find(a<Prbm); b=floor(1+(lgcr-1)*rand(length(m),mlmt)); % hijosmutados(c(m,1),b)=char(abs(double(hijosmutados(c(m,1),b)-'0')-eye(length(m)))+'0');%opcion original

Anexo I


162

hijosmutados(c(m,1),b)=char(abs(double(hijosmutados(c(m,1),b)-'0')-repmat(eye(length(m)),1,mlmt))+'0');%opcion modificada Po=hijosmutados; function [R,seg,f_actual,f_anter,er,MB,Ci]=resultados(f_actual,f_anter,bestind,mm,Ci,seg,error,gen,R,x,er,MB) if f_actual>=f_anter f_anter=f_actual; %funcion anterior toma el valor defuncion actual MB=bestind; %MB toma el valor del mejor individuo Ci=x(mm,:);% Las condiciones iniciales toman la posición mm en cualquier columna R=[R;[gen seg error(mm) Ci] toc f_anter]; er=min(error(mm)); %vale el minimo del error seg=seg+1; end %Condiciones de grashof M=[]; si=0; ii=0; while ii < ni [Po,nbits]=genepob(restriccion,p,ni); x=decodificacion(restriccion,Po,nbits); %decodificacion r1=x(:,3); r2=x(:,4); r3=x(:,5); r4=x(:,6); G1=r1+r4; G2=r3+r2; G3=(r4<r3 & r3<r2 & r2<r1); GR1=(G1<G2); GR2=and(GR1,G3); GR3=and(GR1,GR2); [M,N]=find(GR3==1); POB(ii+1:ii+length(M),:)=Po(M,:); ii=ii+length(M); end M; %% Regeneracion rege=0.55; [ni,lgcr]=size(Po); regen=fix(ni*rege); Pora=char(fix(rand(regen,lgcr)*2)+'0'); c=(2:rege-1)'; Po(c,:)=Pora(c,:); Po(ni,:)=MB; Po(1,:)=MB; %end function [Po,nbits]=genepob(restriccion,p,ni) nbits=(ceil(log((restriccion(:,2)-restriccion(:,1)).*10.^p)/log(2))); %cálculo del #bits Michalewicz pg. 19 if (times((restriccion(:,2)-restriccion(:,1)),10.^p))>(power(2,nbits));

Anexo I


163

nbits=(nbits-1);end nbits=nbits';%numero de bits para cada variable lgcr=sum(nbits); %longitud del cromosoma Po=char(fix(rand(ni,lgcr)*2)+'0'); %generación aleatoria de la población end function [f_actual,bestind,mm,fprom]=elitismo(evalfunob,ni,Po) fsum=(sum(evalfunob)); %suma total de la función fprom=(fsum/ni); %promedio total de la función f_actual=(max(evalfunob));%funcion actual toma el valor maximo de la evaluacion de la función mm=find(f_actual==evalfunob,1); %mm busca el valor de la posición del mejor valor bestind=Po(mm,:); %bestind toma el valor de la posicion del mejor valor en la fila mm cualquier columna end function x=decodificacion(restriccion,Po,nbits) Pob=Po-'0'; %Poblacion decodificada, '0' para indicar que es un caracter nbits0=0; for i=1:length(nbits) x(:,i)=restriccion(i,1)+(Pob(:,nbits0+1:nbits0+nbits(1,i))*pow2(nbits(1,i)-1:-1:0)')*((restriccion(i,2)-restriccion(i,1))/(2^(nbits(1,i))-1)); nbits0=nbits0+nbits(1,i); end

Anexo I


164

ANEXO II EVOLUCION DEL MECANISMO DE 4 BARRAS PROTESIS ANEXO III EVLUCION DE LA TRAYECTORIA MECANISMO DE 4 BARRAS PROTESIS ANEXO IV EVOLUCION MECANISMO DE 6 BARRAS TIPO WATTP ROTESIS ANEXO VI EVOLUCION TRAYECTORIA MECANISMO 6 BARRAS TIPO WATT PROTESIS ANEXO VII PROGRAMA DINAMICO PARA ANALISIS DE MECANISMOS (ADAMS) ANEXO VIII SIMULACIONES DE LA PROTESIS, MATLAB, NASTRAN , FOTOS MECANISMO

Anexo I


165

ANEXO IX

PUBLICACIONES DERIVADAS DE ESTE TRABAJO

PUBLICACIONES


164

Autor. “Solución a funciones específicas aplicando algoritmos genéticos como método de

optimización”. VII encuentro participación de la mujer en la ciencia”. Del 26 al 28 de Mayo

2010. León Guanajuato, México.

Autor. “Síntesis de un mecanismos de 6 barras para varios puntos de precisión”. XI Congreso

Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. Del 9 al 13 de Noviembre 2009.

Distrito Federal, México.

Autor.”Aplicación de los algoritmos genéticos para el seguimiento y generación de

trayectorias en mecanismos articulados”. VII Congreso Internacional en Innovación y

Desarrollo Tecnológico. Del 7 al 9 de octubre de 2009. Cuernavaca, Morelos, México.

Autor. “Mecanismos articulados analizados con algoritmos genéticos”. XV Congreso

internacional anual de la SOMIM. Del 23 al 25 de septiembre 2009. Cd. Obregón, Sonora,

México.

Autor. “Aplicación de los algoritmos genéticos para el seguimiento y generación de

trayectorias en mecanismos articulados”. VI encuentro participación de la mujer en la

ciencia”. Del 13 al 15 de Mayo 2009. León Guanajuato, México.

Autor. “Algoritmos genéticos aplicados a síntesis de mecanismos” .V Congreso Cubano de

Ingeniería Mecánica (V CCIM), 14 Convención Científica de Ingeniería y Arquitectura,

(CCIA 2008) del Instituto Superior Politécnico José Antonio Echeverría (ISPJAE). Del 1 al 5

de Diciembre del 2008. La Habana, Cuba.

Autor. “Optimización para la síntesis de mecanismos”. 5° Congreso Internacional de

Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. Del 10 al 15 de Noviembre del 2008. México D.F.

Autor. “Mecanismos analizados con algoritmos genéticos y métodos analíticos”. XIV

Congreso Internacional Anual de la SOMIM y Congreso Internacional de Metal Mecánica,

ISBN: 978-968-9773-03-8. Del 17 al 19 de Septiembre de 2008, Cholula, Puebla, México.

Autor. “Síntesis de mecanismos de 4 barras con métodos tradicionales y algoritmos

genéticos”. Tercer Congreso Científico Tecnológico de la Carrera de IME de la UNAM-FES

Cuautitlán. Del 1 al 5 de Septiembre de 2008. Estado de México.

Autor. “Mecanismos con aplicación en prótesis de miembro inferior”. 1er. Congreso de

Investigación: la Nueva Era del Conocimiento. Universidad de Cuautitlán Izcalli. Del 28 al 30

de Mayo del 2008. Estado de México.

PUBLICACIONES


165

Autor. “Análisis y Síntesis de Mecanismos de 6 barras para una prótesis de miembro

inferior”. En el 10º Congreso Nacional de Ingeniería Electromecánica y de Sistemas. Del 19 al

23 de Noviembre 2007. México, D.F

Autor. “Síntesis de mecanismos para prótesis de mimbro inferior mediante algoritmos

genéticos”. En el XIII Congreso Internacional de la SOMIM y Congreso Internacional de

Metal Mecánica 2007. Sede SOMIM e Instituto Tecnológico de Durango. Del 19 al 21 de

Septiembre del 2007. Durango, Dgo. México.

Autor. “Algoritmos genéticos aplicados a la síntesis de mecanismos”. 2º Congreso Científico

Tecnológico IME. Sede Universidad Nacional Autónoma de México Facultad de Estudios

Superiores Cuautitlán. Septiembre del 2007. Estado de México.

Autor. “Diseño de un sistema de control para la fase de fermentación del mezcal”. 1er

Encuentro de investigadores y alumnos PIFI, participantes en proyectos de investigación.

Del 23 al 27 de mayo 2005. México D.F.

Publicaciones en revista.

Autor. “Syntesys optimization of planar mechanism”. Applied Mechanical and Materials.

Reino Unido. 2009. ISSN: 1660-9336. Vol. 15, No. 1, PP: 55-60.

instituto politÉcnico nacional · figura 3.22. diagrama de flujo del procedimiento para resolver...

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