rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras: ejemplos.¡lisis y síntesi… · 11+3 6+9 o 14...
TRANSCRIPT
-
Rotabilidad de mecanismos planos de cuatro barras:Ejemplos.
José Maŕıa Rico Mart́ınezDepartamento de Ingenieŕıa Mecánica
División de Ingenieŕıas, Campus Irapuato-Salamanca.Universidad de Guanajuato
CP 36730, Salamanca, Gto., MéxicoE-mail: [email protected].
Alejandro Tadeo Chávez.Instituto Tecnológico Superior de Irapuato.
Carretera Irapuato Silao K.M 12.5.CP 36821, Irapuato, Gto., México
Tel. (462) 60 67 900. E-mail: [email protected]
1 Introducción.
En estas notas se presentan algunos ejemplos de aplicación de las condiciones derotabilidad y del criterio de Grashoff para la determinación del tipo de mecanismosplanos de cuatro barras y sus, posibles, posiciones cŕıticas.
2 Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 2 cuyas longitudesson: a1 = 10; a2 = 2; a3 = 8; a4 = 6.Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición de Grashoff,esto es:
L+ s ≤ p+ q (1)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 10 = L; a2 = 2 = s; a3 = 8 = p; a4 = 6 = q. Por lo que, sustituyendolas dimensiones correspondientes, se obtiene
1
-
10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (2)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a2, se concluye
que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas.
En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones derotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones cŕıticas de loseslabones de entrada y de salida.
10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (2)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que s = a2, se concluye
que el mecanismo es rotatorio-oscilatorio y el eslabón 2 puede realizar rotaciones completas.
En una segunda etapa, se confirmará este resultado empleando las condiciones derotabilidad y, adicionalmente, se determinarán las, posibles, posiciones cŕıticas de loseslabones de entrada y de salida.
Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (3)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (4)
El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (5)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|2− 10| ≥ |6− 8| ó 8 ≥ 2. (6)
El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.
2
Figure 1: Mecanismo plano de cuatro barras
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exteriora1 + a2 ≤ a3 + a4 (3)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
10 + 2 ≤ 8 + 6 ó 12 ≤ 14 (4)El eslabón 2 satisface esta primera condición de rotabilidad.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (5)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|2− 10| ≥ |6− 8| ó 8 ≥ 2. (6)El eslabón 2 satisface esta segunda condición de rotabilidad.
2
-
Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360◦.
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 (7)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
10 + 6 � 2 + 8 ó 16 � 10 (8)
El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posición ĺımite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtienecomo
cosα =a21 + a
24 − (a2 + a3)22a1a4
(9)
Por lo tanto, se verifica que este eslabón 2 puede girar 360◦.
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 (7)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
10 + 6 � 2 + 8 ó 16 � 10 (8)
El eslabón 4 no cumple con esta condición de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posición ĺımite, vea la figura 2. El ángulo correspondiente se obtienecomo
cosα =a21 + a
24 − (a2 + a3)22a1a4
(9)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición ĺımite externa.
α = 72.5423◦
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 72.5423◦ = 107.4576◦
• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (10)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
3
Figure 2: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición ĺımite externa.
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 72.5423◦
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 72.5423◦ = 107.4576◦
3
-
• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (10)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6− 10| � |8− 2| ó 4 � 6. (11)Entonces el eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, porlo tanto tiene una posición ĺımite interior, vea la Figura 2. El ángulocorrespondiente se obtiene como
|6− 10| � |8− 2| ó 4 � 6. (11)
Entonces el eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, porlo tanto tiene una posición ĺımite interior, vea la Figura 3. El ángulocorrespondiente se obtiene como
cosβ =a21 + a
24 − (a3 − a2)22a1a4
(12)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
β = 33.5573◦
Entonces el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦
El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente,determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 4, que está definido como
φ4 = α− β (13)Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene
φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦ (14)
Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición de puntos muertos interior.
4
Figure 3: Mecanismo plano de cuatro barras en una posición de puntos muertos interior.
cosβ =a21 + a
24 − (a3 − a2)22a1a4
(12)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
β = 33.5573◦
Entonces el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 33.5573◦ = 146.4426◦
El paso final consiste en, dado que el eslabón 4 no puede rotar completamente,determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 2, que está definido como
φ4 = α− β (13)Sustituyendo los valores correspondientes, se obtiene
φ4 = 72.5423◦ − 33.5573◦ = 38.985◦ (14)
La figura 2 muestra una animación del movimiento del mecanismo.
4
-
Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del mecanismo.
3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:
L+ s ≤ p+ q (15)
Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras.
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios estádada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15 (16)
5
Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del eslabón motriz.
(VideoMecanismoUno.wmv)
Figure 5: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras.
3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 3, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:
L+ s ≤ p+ q (15)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene
5
VideoMecanismoUno.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)
-
Figure 4: Mecanismo plano de cuatro barras. Ángulo de oscilación del mecanismo.
3 Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.
Considere el mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 3; a2 = 6; a3 = 11; a4 = 9.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:
L+ s ≤ p+ q (15)
Figure 5: Mecanismo plano de cuatro barras.
Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios estádada por a1 = 3 = s; a3 = 11 = L; a2 = 6 = p; a4 = 9 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15 (16)
5
Figure 6: Mecanismo plano de cuatro barras
11 + 3 ≤ 6 + 9 ó 14 ≤ 15 (16)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I, más aún, puesto que y puesto que el
eslabón más pequeño es s = a1 = 3,el mecanismo es doble rotatorio.
En una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (17)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
3 + 6 ≤ 11 + 9 ó 9 ≤ 20 (18)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (19)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6− 3| ≥ |9− 11| ó 3 ≥ 2. (20)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 2, por lo tanto, esteeslabón puede rotar 360◦.
6
-
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 (21)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
3 + 9 ≤ 6 + 11 ó 12 ≤ 17 (22)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (23)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|9− 3| ≥ |11− 6| ó 6 ≥ 5. (24)
Se cumplen ambas condiciones de rotabilidad para el eslabón 4, por lo tanto eleslabón 4 puede rotar 360◦.
La figura 3 muestra una animación del movimiento del mecanismo.
(VideoMecanismoDos.wmv)
Figure 7: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras.
Con este resultado se verifica que el mecanismo es doble rotatorio. Por lo tanto, noes necesario calcular ángulo de oscilación alguno.
4 Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase I.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 4, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5.
7
VideoMecanismoDos.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)
-
4 Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase I.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 6, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 7; a2 = 6; a3 = 3; a4 = 5.
Figure 6: Mecanismo plano de cuatro barras.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:
L+ s ≤ p+ q (25)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensionescorrespondientes, se obtiene
7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11 (26)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo
es doble oscilatorio.
En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (27)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
7 + 6 � 3 + 5 ó 13 � 8 (28)
7
Figure 8: Mecanismo plano de cuatro barras.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:
L+ s ≤ p+ q (25)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 7 = L; a3 = 3 = s; a2 = 6 = p; a4 = 5 = q. Sustituyendo las dimensionescorrespondientes, se obtiene
7 + 3 ≤ 6 + 5 ó 10 ≤ 11 (26)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase I y puesto que s = a3 = 3,el mecanismo
es doble oscilatorio.
En una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (27)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
7 + 6 � 3 + 5 ó 13 � 8 (28)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 2 presenta una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 1,el ángulo θ2D1 está dado por:
8
-
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 2 presenta una posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 7,el ángulo θ2D1 está dado por:
cos θ2D1 =a21 + a
22 − (a3 + a4)22a1a2
(29)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D1 = 75.52◦ (30)
Figure 7: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (31)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6− 7| � |5− 3| ó 1 � 2. (32)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto sepresenta una posición de puntos muertos interior, vea la Figura 8, el ánguloθ2D2 está dado por:
cos θ2D2 =a21 + a
22 − (a4 − a3)22a1a2
(33)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D2 = 15.35◦ (34)
8
Figure 9: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
cos θ2D1 =a21 + a
22 − (a3 + a4)22a1a2
(29)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D1 = 75.52◦ (30)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (31)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|6− 7| � |5− 3| ó 1 � 2. (32)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto sepresenta una posición de puntos muertos interior, vea la Figura 1, el ánguloθ2D2 está dado por:
Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦. El paso final consisteen determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 9, que está definido como:
φ2 = θ2D1 − θ2D2 (35)
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦ (36)
Figure 9: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo planode cuatro barras.
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 (37)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
7 + 5 � 6 + 3 ó 12 � 9 (38)
9
Figure 10: Posición de puntos muertos interior en un mecanismo plano de cuatro barras.
9
-
cos θ2D2 =a21 + a
22 − (a4 − a3)22a1a2
(33)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D2 = 15.35◦ (34)
La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦. El paso final consisteen determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 1, que está definido como:
φ2 = θ2D1 − θ2D2 (35)
Figure 8: Posición de puntos muertos interior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
La conclusión es que el eslabón 2 es incapaz de rotar 360◦. El paso final consisteen determinar el ángulo de oscilación, vea la Figura 9, que está definido como:
φ2 = θ2D1 − θ2D2 (35)
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦ (36)
Figure 9: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo planode cuatro barras.
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 (37)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
7 + 5 � 6 + 3 ó 12 � 9 (38)
9
Figure 11: Determinación del ángulo de oscilación del eslabón 2 en un mecanismo planode cuatro barras.
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 75.52◦ − 15.35◦ = 60.17◦ (36)
La Figura 1 muestra el rango de movimiento del eslabón 2.
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 (37)Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
7 + 5 � 6 + 3 ó 12 � 9 (38)
El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tantoel eslabón 4 tiene una posición ĺımite exterior, vea la Figura 2, el ángulocorrespondiente está dado por:
10
-
(VideoMecanismoTresI.wmv)
Figure 12: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimientodel eslabón 2.
El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 4 tiene una posición ĺımite exterior, vea la Figura 10, el ángulocorrespondiente está dado por:
cosα =a21 + a
24 − (a2 + a3)22a1a4
(39)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 95.73◦ (40)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦ (41)
Figure 10: Posición ĺımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (42)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|5− 7| � |3− 6| ó 2 � 3. (43)
De acuerdo con este resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente;por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición ĺımite correspondiente, veala figura 11, el ángulo β está dado por:
cos β =a21 + a
24 − (a3 − a2)22a1a4
(44)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
β = 21.78◦ (45)
10
Figure 13: Posición ĺımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
cosα =a21 + a
24 − (a2 + a3)22a1a4
(39)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 95.73◦ (40)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 95.73◦ = 84.27◦ (41)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (42)Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11
VideoMecanismoTresI.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)
-
|5− 7| � |3− 6| ó 2 � 3. (43)
De acuerdo con este resultado el eslabón 4 no puede rotar completamente;por lo tanto, el eslabón 4 presenta una posición ĺımite correspondiente, veala figura 2, el ángulo β está dado por:
Figure 11: Posición ĺımite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.
y el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦ (46)
La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso finalconsiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 12, el ángulo φ4 estádado por
φ4 = α− β (47)Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48)
Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismoplano de cuatro barras.
5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase II.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 13, cuyaslongitudes están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.
11
Figure 14: Posición ĺımite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.
cos β =a21 + a
24 − (a3 − a2)22a1a4
(44)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
β = 21.78◦ (45)
y el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦ (46)
La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso finalconsiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 2, el ángulo φ4 estádado por
φ4 = α− β (47)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48)
La Figura 4 muestra el rango de movimiento del eslabón 4.
12
-
Figure 11: Posición ĺımite interior en un mecanismo plano de cuatro barras.
y el ángulo θ4L2 está dado por
θ4L2 = 180◦ − β = 180◦ − 21.78◦ = 158.21◦ (46)
La conclusión es que el eslabón 4 no puede rotar completamente. El paso finalconsiste en determinar el ángulo de oscilación, vea la figura 12, el ángulo φ4 estádado por
φ4 = α− β (47)Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 95.73◦ − 21.78◦ = 73.95◦ (48)
Figure 12: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismoplano de cuatro barras.
5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase II.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 13, cuyaslongitudes están dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.
11
Figure 15: Determinación del ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismoplano de cuatro barras.
(VideoMecanismoTresII.wmv)
Figure 16: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimientodel eslabón 4.
5 Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la
clase II.
Considere un mecanismo plano de cuatro barras mostrado en la Figura 5, cuyas longitudesestán dadas por a1 = 11; a2 = 6; a3 = 9; a4 = 7.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:
L+ s ≤ p+ q (49)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene
13
VideoMecanismoTresII.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)
-
Figure 13: Un Mecanismo plano de cuatro barras.
Primeramente se determinará la clase del mecanismo empleando la condición deGrashoff, esto es:
L+ s ≤ p+ q (49)Para este caso, la selección de los eslabones más largo, más corto e intermedios está
dada por a1 = 11 = L; a2 = 6 = s; a3 = 9 = p; a4 = 7 = q. Sustituyendo lasdimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 6 � 9 + 7 ó 17 � 16 (50)Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.
En una segunda etapa, este resultado se verificará empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (51)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 6 � 9 + 7 ó 17 � 16 (52)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1está dado por:
cos θ2D1 =a21 + a
22 − (a3 + a4)22a1a2
(53)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D1 = 138.59◦ (54)
12
Figure 17: Un Mecanismo plano de cuatro barras.
11 + 6 � 9 + 7 ó 17 � 16 (50)
Por lo tanto, el mecanismo es de la Clase II y por lo tanto es doble oscilatorio.
En una segunda etapa, se verificará este resultado empleando las condiciones derotabilidad para los eslabones de entrada y de salida.
1. Eslabón 2.
• Primera condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos exterior
a1 + a2 ≤ a3 + a4 (51)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes, se obtiene
11 + 6 � 9 + 7 ó 17 � 16 (52)
El eslabón 2 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto tieneuna posición de puntos muertos exterior, vea la Figura 14, el ángulo θ2D1está dado por:
cos θ2D1 =a21 + a
22 − (a3 + a4)22a1a2
(53)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
θ2D1 = 138.59◦ (54)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (55)
14
-
Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (55)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|11− 6| ≥ |7− 9| ó 5 ≥ 2. (56)
Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición derotabilidad.
Figure 15: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras
El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2, vea la Figura 15,el cual está definido como:
φ2 = 2θ2D1 (57)
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 2(138.59◦) = 277.18◦ (58)
2. Eslabón 4.
13
Figure 18: Posición de puntos muertos exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|11− 6| ≥ |7− 9| ó 5 ≥ 2. (56)
Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición derotabilidad.
El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2, vea la Figura 1, elcual está definido como:
φ2 = 2θ2D1 (57)
Figure 14: Posición de puntos muertos exterior en un Mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición de puntos muertos interior.
|a2 − a1| ≥ |a4 − a3| (55)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|11− 6| ≥ |7− 9| ó 5 ≥ 2. (56)
Por lo tanto, se verifica que el eslabón 2 cumple con ésta condición derotabilidad.
Figure 15: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras
El paso final consiste en determinar el ángulo de oscilación φ2, vea la Figura 15,el cual está definido como:
φ2 = 2θ2D1 (57)
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 2(138.59◦) = 277.18◦ (58)
2. Eslabón 4.
13
Figure 19: Ángulo de oscilación φ2 en un mecanismo plano de cuatro barras.
Sustituyendo los valores de los eslabones se obtiene
φ2 = 2(138.59◦) = 277.18◦ (58)
La Figura 1 muestra el rango de movimiento del eslabón 2.
15
-
(VideoMecanismoCuatroI.wmv)
Figure 20: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimientodel eslabón 2.
2. Eslabón 4.
• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 (59)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11 + 7 � 6 + 9 ó 18 � 15 (60)
El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 4 presenta una posición ĺımite exterior, vea la Figura 2, el ángulocorrespondiente α está dado por:
• Primera condición de rotabilidad. Posición ĺımite exterior.
a1 + a4 ≤ a2 + a3 (59)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
11 + 7 � 6 + 9 ó 18 � 15 (60)
El eslabón 4 no cumple con ésta condición de rotabilidad, por lo tanto eleslabón 4 presenta una posición ĺımite exterior, vea la Figura 16, el ángulocorrespondiente α está dado por:
cosα =a21 + a
24 − (a2 + a3)22a1a4
(61)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 110.92◦ (62)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦ (63)
Figure 16: Posición ĺımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (64)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|7− 11| ≥ |9− 6| ó 4 ≥ 3. (65)
Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con esta condición derotabilidad.
14
Figure 21: Posición ĺımite exterior en un mecanismo plano de cuatro barras.
16
VideoMecanismoCuatroI.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)
-
cosα =a21 + a
24 − (a2 + a3)22a1a4
(61)
Sustituyendo las longitudes de los eslabones se obtiene que
α = 110.92◦ (62)
Entonces el ángulo θ4L1 está dado por
θ4L1 = 180◦ − α = 180◦ − 110.92◦ = 69.07◦ (63)
• Segunda condición de rotabilidad. Posición ĺımite interior.
|a4 − a1| ≥ |a3 − a2| (64)
Sustituyendo las dimensiones correspondientes se obtiene
|7− 11| ≥ |9− 6| ó 4 ≥ 3. (65)
Este resultado muestra que el eslabón 4 si cumple con esta condición derotabilidad.
La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El pasofinal consiste en determinar el ángulo de oscilación φ4, vea la figura 2, el cual estádefinido como
φ4 = 2α (66)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 2(110.92◦) = 221.84◦ (67)
La Figura 2 muestra el rango de movimiento del eslabón 4.
17
-
La conclusión es que el eslabón 4 es incapaz de rotar completamente. El pasofinal consiste en determinar el ángulo de oscilación φ4, vea la figura 17,el cual estádefinido como
φ4 = 2α (66)
Sustituyendo los valores correspondiente se obtiene
φ4 = 2(110.92◦) = 221.84◦ (67)
Figure 17: Ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatrobarras.
15
Figure 22: Ángulo de oscilación φ4 del eslabón 4 en un mecanismo plano de cuatrobarras.
(VideoMecanismoCuatroII.wmv)
Figure 23: Movimiento del mecanismo plano de cuatro barras: Rango de movimientodel eslabón 4.
18
VideoMecanismoCuatroII.wmvMedia File (video/x-ms-wmv)
Introducción.Ejemplo 1: Mecanismo rotatorio-oscilatorio.Ejemplo 2: Mecanismo doble rotatorio.Ejemplo 3: Mecanismo doble oscilatorio de la clase I.Ejemplo 4: Mecanismo doble oscilatorio de la clase II.