SÍNTESIS DE MECANISMOS DE CUATRO BARRAS

Carolina Mejía Ortiz, Christian Benjamín Arroyo Ramírez, Ignacio Navarro Pérez.

Universidad de GuanajuatoDepartamento de Ingeniería Mecánica

ABSTRACT

La síntesis de mecanismos es una tarea perteneciente al diseño conceptual que vincula geometría, cinemática y análisis combinatorio para encontrar un mecanismo adecuado para un movimiento propuesto. Tiene especial aplicación cuando en un marco con restricciones espaciales severas, se debe hallar una alternativa inicial factible para su posterior análisis y optimización.

En este trabajo se presenta la metodología mediante la cual se sintetizo un mecanismo plano de cuatro barras para conducir cuerpos rígidos a través de una serie cinco de poses deseadas.

INTRODUCCIÓN

La síntesis de mecanismos consiste en hallar el mecanismo adecuado para un movimiento previamente especificado. Usualmente, las tareas de síntesis cinemática se clasifican en tres:

1. Generación de trayectoria: El objetivo es hallar las dimensiones de los elementos, de manera que uno o más puntos del mecanismo se muevan sobre una curva plana o espacial.

2. Guiado de un cuerpo rígido: Uno o más elementos del mecanismo deben moverse a lo largo de una curva plana o espacial conservando además una orientación prescripta.

3. Generación de función: El movimiento de un elemento o un punto debe estar funcionalmente coordinado con el movimiento del eslabón de entrada.

En vista de lo anterior, el proceso de síntesis de un determinado mecanismo puede incluir uno o varios de los siguientes tipos de síntesis:

Síntesis de tipo. Síntesis de número. Síntesis dimensional.

Tipos de síntesis.

Síntesis de tipo. Dado el requerimiento de funcionamiento de un mecanismo, esta síntesis consiste en seleccionar el tipo de mecanismo mediante el cual se puede generar el movimiento deseado (Mecanismo de engranajes, eslabones, levas, Poleas). En esta etapa conceptual, se considera todas las clases de mecanismos posibles y se decide qué tipo tiene el mayor potencial para satisfacer los objetivos propuestos.

Síntesis de número. Se ocupa del número de eslabones y de articulaciones o pares que se requieren para obtener una movilidad determinada del mecanismo deseado. La síntesis de número concierne con la enumeración de todas las estructuras cinemáticas posibles para un número determinado grado

de libertad, número de eslabones y tipo de pares.

Síntesis dimensional. La síntesis dimensional determina las dimensiones significativas y la posición de inicio de un mecanismo de un tipo preconcebido para una tarea específica y funcionamiento requerido. Las dimensiones significativas son la longitud de los eslabones ó distancia entre pivotes para eslabones, etc.

A continuación se presentan los fundamentos de la síntesis de mecanismos planos de cuatro barras para conducción de cuerpo rígido.

SÍNTESIS DIMENCIONAL PARA CONDUCCIÓN DE CUERPO RIGIDO.

Como fundamento para la solución del caso a estudiar, se consideró las dos configuraciones de un mecanismo plano de cuatro barras que se muestra en la Fig. 1

Fig. 1: Mecanismo plano de cuatro barras:(a)configuración arbitraria, (b) configuración inicial.

En la Fig. 1 se muestra también el cuerpo a conducir, cuerpo trapezoidal, el cual se ensambla sobre la barra conductora mediante un sujetador localizado en el punto R. De esta manera, en la configuración inicial, ver Fig. 1(b), el cuerpo tiene una pose 0,

representada mediante el punto y la

orientación . Posteriormente, en una configuración arbitraria, ver Fig. 1(b), el cuerpo adquiere una pose j, representada

mediante el punto y la orientación . Entonces, la orientación del cuerpo bajo conducción se representa mediante la orientación que adquiere la línea AR con respecto a un eje horizontal. Así, en la configuración inicial, la línea A0R0 forma un

ángulo con respecto a une eje horizontal. Por su parte, en una configuración arbitraria,

la línea forma un ángulo θ0 con respecto a une eje horizontal. Además, el

ángulo representa la orientación del cuerpo bajo conducción en una pose arbitraria, pose j, con respecto a la pose inicial, pose 0. Como consecuencia lógica, en la configuración inicial del mecanismo,

.Ahora sí, el proceso de síntesis inicia observando que en cualquier configuración del mecanismo, los puntos A, B y R forman un triángulo. Este triángulo se ha representado gráficamente—para una configuración arbitraria j—en la Fig. 2(a).

Figura 2: Triángulo ABR que caracteriza al mecanismo plano de cuatro barras: (a) en una configuración arbitraria, (b) en la configuración inicial.

En la Fig. 2(a), el sistema OXY es un sistema cartesiano utilizado como referencia.La primera etapa clave del proceso de síntesis consiste en visualizar que el vector

tiene una magnitud constante, ya que

une a los puntos y , los cuales pertenecen a la barra acopladora. Además,

debe observarse también que el vector tiene una orientación variable representada

por el ángulo , el cual representa la orientación del cuerpo rígido bajo conducción con respecto a la horizontal, o

bien, mediante el ángulo , el cual representa la orientación del cuerpo rígido bajo conducción con respecto a la configuración inicial, ver Fig. 1. En la configuración inicial, pose 0, este vector es

denotado como . Posteriormente, al alcanzar el cuerpo una pose arbitraria j, el

vector se transforma en el vector , ver

Fig. 3, debido a la rotación de un ángulo alrededor del eje Z.

Figura 3: Rotación asociada con el ángulo .

Para encontrar una relación entre los

vectores y , se sigue el siguiente procedimiento. Primeramente, de acuerdo a la geometría mostrada en la Fig. 3, se observa que:

(1) Por otro lado, también a partir de la Fig. 3 se pueden formular las siguientes ecuaciones:

(2)

(3)

Relacionando las ecuaciones (1), (2) y (3) se encuentra que:

(4)

(5)

ecuaciones que pueden arreglarse en forma matricial:

(6)

Donde R es una matriz de rotación que

transforma el vector en el vector al pasar el cuerpo de una pose inicial 0 a una pose arbitraria j, tal como se muestra gráficamente en la Fig. 3.

Para efectos de facilitar la obtención de la correspondiente matriz de rotación, en la Fig. 3 se ha hecho, imaginariamente, que los

puntos y coincidan. Sin embargo, debe observarse que en general, los puntos

y nunca coincidirán durante el movimiento del mecanismo, siempre y cuando las poses deseadas sean diferentes.

Si ahora se hace, sin perder generalidad, que

en la pose inicial, el punto coincida con el origen O del sistema de referencia OXY, ver Fig. 2(b), entonces:

y (7)

lo cual simplifica considerablemente el procedimiento matemático, ya que relacionando las ecuaciones (6) y (7) se

obtiene una expresión para en función

de , esto es:

(8)

Por otro lado, debe observarse que la distancia entre el punto B y cualquier punto,

bien sea o , representa la longitud del eslabón OA. Con lo anterior en mente, el

cuadrado de la longitud del eslabón OA, considerando la configuración inicial, ver Fig. 2(b), puede calcularse empleando el Teorema de Pitágoras en forma vectorial, esto es:

(9)

Por su parte, el cuadrado de la longitud del eslabón OA, considerando una configuración arbitraria, ver Fig. 2(a), puede calcularse empleando el Teorema de Pitágoras en forma vectorial, esto es:

(10)

Donde se ha utilizado la geometría mostrada en la Fig. 2(a), así como la ecuación (8).

Ahora, ya que la longitud del eslabón OA debe ser igual para cualquier configuración que adopte el mecanismo, entonces, de las ecuaciones (9) y (10) se obtiene que:

(11)

a la cual se le conoce como ecuación vectorial de síntesis.

Considerando que los vectores involucrados en la ecuación (11) vienen dados por:

Además de la forma simbólica de la matriz R, dada por la ecuación (6), entonces, la ecuación (11) se transforma en:

(12)

la cual se conoce como ecuación escalar de síntesis. Esta es una ecuación no lineal que

involucra cuatro incógnitas: , , y

. Por lo tanto, se requerirán cuatro ecuaciones para así poder resolver para las cuatro incógnitas.

Es importante ahora darse cuenta de que el proceso anterior se hizo involucrando únicamente a los puntos ABR, los cuales representan a dos de las cuatro uniones tipo revoluta que constituyen al mecanismo de cuatro barras. Dicho procedimiento también pudo haberse hecho considerando los puntos RCD, los cuales abarcan las dos articulaciones tipo revoluta restantes. Además, puede también visualizarse que el punto R divide al mecanismo en dos conjuntos de uniones tipo revoluta, AB y CD. De hecho, el proceso presentado anteriormente estuvo encaminado a encontrar la ubicación de la revoluta A,

representada mediante las incógnitas y

, así como de la revoluta B, representada

mediante las incógnitas y . De esta manera, los conjuntos de uniones tipo revoluta, AB y CD representan estructuras cinemáticas similares, en el sentido de que la revoluta A es equivalente con la revoluta C, mientras que la revoluta B es equivalente con la revoluta D. Por tal motivo, los

parámetros y pueden servir para localizar tanto a la revoluta A como a la

revoluta C, mientras que los parámetros

y pueden servir para localizar tanto a la revoluta B como a la revoluta D.

Así, basándose en las ideas anteriormente expuestas, se presenta a continuación un algoritmo computacional que permitirá diseñar un mecanismo de cuatro barras para que conduzca a un cuerpo rígido a través de cinco poses arbitrarias.

ALGORITMO SE SÍNTESIS PARA CONDUCIÓN DE CUERPO RÍGIDO.

El algoritmo de síntesis para conducción de un cuerpo rígido a través de 5 poses arbitrarias obtenido de las notas del profesor consta de las siguientes etapas.

1. Primera etapa. Revisar que las 5 poses deseadas estén correctamente especificadas. Cada pose debe incluir las coordenadas cartesianas

del punto , así como el ángulo de orientación

, medido con respecto a la horizontal y en el sentido indicado en la Fig. 1.

2. Segunda etapa. Tomando como origen las coordenadas cartesianas

, del punto , recalcular las coordenadas cartesianas de los puntos restantes, dadas por

así obteniendo un nuevo conjunto de coordenadas

cartesianas , en el cual

y .3. Tercera etapa. Calcular los ángulos

de orientación relativa, , donde cada uno viene dado por

, ver Fig. 1.

4. Cuarta etapa. Sustituir los valores numéricos que se obtuvieron para

y en la ecuación (12), obteniendo así cuatro ecuaciones no lineales que

involucran cuatro incógnitas: ,

, y .5. Quinta etapa. Resolver

numéricamente las ecuaciones obtenidas en la cuarta etapa. Dada la no linealidad de dichas ecuaciones, se obtendrán varias soluciones, las cuales pueden ser tanto soluciones reales (números reales), así como soluciones complejas (números complejos, involucrando al número imaginario i ≡√−1).

6. Sexta etapa. De entre las soluciones reales obtenidas en la quinta etapa, seleccionar arbitrariamente dos conjuntos de soluciones reales para

las incógnitas , , y . El primer conjunto de soluciones reales representará la ubicación de los puntos A y B, mientras que el segundo conjunto de soluciones servirá para localizar a los puntos C y D.

7. Séptima etapa. Graficar las coordenadas que se obtuvieron para localizar a los puntos A, B, C y D. Unirlos de tal manera que se obtenga un diagrama esquemático del mecanismo plano de cuatro barras sintetizado.

8. Octava etapa. Dibujar un diagrama esquemático del mecanismo de cuatro barras para cada pose deseada. Verificar gráficamente que el mecanismo alcance cada una de las 5 poses deseadas.

Como resultado del algoritmo presentado anteriormente se obtendrá un mecanismo plano de cuatro barras, articulado mediante

uniones tipo revoluta, que llevará a un cuerpo rígido a través de las cinco poses deseadas.

CASO DE ESTUDIO

En esta sección se presenta el ejercicio mediante la aplicación del algoritmo descrito anteriormente. Este ejercicio fue tomado de la referencia [Norton]. Problema 5.41.Sin tomar en cuenta los puntos fijos que tiene la imagen del problema, a este problema se le agregaron 2 posiciones más para que el sistema se trasladara a lo largo de las 5 posiciones .

Pose X j Y j θ j radianes

1 0 0 0 0

2 -0.8 1.998 37.6059 0.656346

3 -1.745 4.104 68.2958 1.1911139

4 -3.486 5.678 90 1.570796

5 -5.586 4.804 114 1.9896753

Cuadro 1: Cinco poses deseadas

Primera etapa. En la referencia [Ángeles-Max??] se propone diseñar un mecanismo plano tipo 4R para que conduzca a un cuerpo rígido a través de una serie de poses. Sin embargo,Las poses ahí mostradas conducirían directamente a iniciar el algoritmo anteriormente Propuesto hasta la cuarta

etapa. Por tal motivo, las poses se han reconstruido de una Manera tal que se pueda iniciar desde la primera etapa del algoritmo. De esta manera, las poses reconstruidas aparecen en la tabla 5.1 y se muestran gráficamente en la Fig. 5.4.

Segunda etapa.No aplica debido a que una de nuestras posiciones comienza en el origen

Tercera etapa.No aplica debido a que una de nuestras posiciones comienza en el origen en la dirección horizontal.Cuarta etapa.Se sustituyeron los valores del cuadro 1 en la ecuación (12) y obteniendo así 4 ecuaciones con 4 incógnitasEcuación 1:0.41554638*aox*bx-1.220453492*aox*by+1.170903182*aox+.41554638*aoy*by+1.220453492*aoy*bx+4.1421011126*aoy+1.6*bx-3.99*by+4.632004 = 0

Ecuación 2:1.260370269*aox*bx-1.85821093*aox*by+6.329962762*aox+1.26

60370269*aoy*dy+1.85821693*aoy*bx+6.284672357*aoy+3.49*bx-8.208*dy+19.882816 = 0

Ecuación 3:2*aox*bx-2*aox*dy+11.356*aox+2*aoy*dy+2*aoy*bx+6.978*aoy+6.978*bx-11.356*by+44.39188 = 0Ecuación 4:2.813473286*aox*bx-1.827090915*aox*by+13.32140653*aox+2.813473286*aoy*by+1.827090915*aoy*bx+6.298204186*aoy+11.172*bx-9.608*dy+54.281812 = 0

Quinta etapa.Las ecuaciones anteriores se resolvieron en el programa mapple obteniendo 6 resultados posibles de los cuales 4 son soluciones complejas y 2 reales por lo cual se tomaron las dos ecuaciones reales como única opción, se muestran a continuación:

Solución 1aox = -3.934047257aoy = -12.93304902bx = -3.385288591by = 0.001616702250

Solución 2aox = -5.049491639 aoy = 0.8846505475 bx = -4.940886910by = 0.1923672332

solucion 3aox = -4.330637733 - 0.3522337613 I aoy = 1.245364240 + 0.008509435001 Ibx = -4.833254032 - 0.07041420383 I by = 0.8487762237 - 0.3061306736 I

solucion 4aox = -159.2304646 - 31.09869986 I,

aoy = -31.06289837 + 155.0506691 I bx = -30.91861978 - 137.6634212 I by = -137.3017108 + 27.02703298 I

solucion 5aox = -159.2304646 + 31.09869986 I aoy = -31.06289837 - 155.0506691 I bx = -30.91861978 + 137.6634212 I by = -137.3017108 - 27.02703298 I

solucion 6aox = -4.330637733 + 0.3522337613 Iaoy = 1.245364240 - 0.008509435001 Ibx = -4.833254032 + 0.07041420383 Iby = 0.8487762237 + 0.3061306736 I

Sexta etapa: De las soluciones anteriores se seleccionaron las únicas 2 reales (solución 1 y 2) el primer par de soluciones se tomaron para el punto móvil 1, el segundo par de soluciones para el punto fijo 1, el tercer par de soluciones para el punto fijo 2 y el cuarto par de soluciones para el punto móvil 2.

Séptima etapa:Se graficaron los cuatro puntos que se obtuvieron y se unieron con barras.

Octava etapa:se graficó el sistema e idealizo un soporte en forma triangular para unir el sistema de 4 barras con el bloque a mover

Imagen del sistema:

Se verifico gráficamente que el sistema pasara por las 5 posiciones obteniendo un resultado satisfactorio con el sistema empleado.

Posición 1

Posición 2

Posición 3

Posición 4

Posición 5

Conclusión:Después de llegar a la solución de este mecanismo nos quedó muy claro como proponer un sistema de cuatro barras para lograr que un mecanismo pase por ciertos puntos. Al principio se presentaron diferentes dificultades debido a que la localización de los puntos nos quedaba encimado sobre los bloques después escogimos otro problema y nos dimos cuenta de nuestros errores y de esa manera fue que obtuvimos los puntos presentados después la decisión que tuvimos que tomar era la forma de unir las 4 barras con el bloque para que funcionara de una manera correcta. Al simular obtuvimos resultados satisfactorios lo cual nos demuestra que el método es confiable.