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Capıtulo 6

Matrices y determinantes

Las matrices son objetos que aparecen con frecuencia en la modelacion dediversos problemas. Sobre ellas se han desarrollado teorıas y tecnicas de granimportancia. Su manejo permite abordar y encontrar soluciones a numerososproblemas, ademas de apoyar a la organizacion de la informacion.

6.1 Matrices

Antes de continuar, recordemos la definicion de matriz vista en el capıtuloanterior: Una matriz A de m filas o renglones y n columnas es un arreglorectangular de la forma:

A =

a11 a12 . . . a1j · · · a1na21 a22 . . . a2j · · · a2n...

......

......

...ai1 ai2 . . . aij · · · ain...

......

......

...am1 am2 . . . amj · · · amn

El termino aij es llamada la entrada ij de A o el coeficiente ij de la

matriz A, lo denotamos tambien como aij = entij(A) o como entij cuandono hay posibilidad de confusion. Este es el termino que se encuentra en eli−esimo renglon y en la j−esima columna de la matriz, para i = 1, 2, . . . ,my j = 1, 2, . . . , n.

El numero de filas o renglones y el numero de columnas que tiene unamatriz determinan su tamano u orden. La matriz A descrita arriba tienem renglones, n columnas y mn entradas. Decimos que la matriz A es de

1

2 CAPITULO 6. MATRICES Y DETERMINANTES

tamano, o de orden, m×n (se lee “m por n”). Cuando m = n, decimos queA es una matriz cuadrada de orden o tamano n.

Con frecuencia utilizaremos letras mayusculas para denotar a las matri-ces: A,B. En ocasiones les pondremos subındices para distinguirlas, comoC1, C2, por ejemplo. Utilizamos tambien la notacion

A = [aij ]

donde, i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n.

Ejemplo 6.1.

1. A =

[1 23 5

]es una matriz cuadrada de orden 2 y

ent12(A) = 2, ent21(A) = 3.

2. B =

[1 2 34 5 6

]tiene orden 2× 3 y

ent12(B) = 2, ent23(B) = 6.

J

Definicion 6.1

Denotamos con Mm×n(R) al conjunto de todas las matrices deorden m × n si para cada pareja de ındices, la entrada aij ∈ R. Esdecir,

Mm×n(R) = {[aij ] ; aij ∈ R, i = 1, . . .m, j = 1, . . .m}

Cuando m = n diremos que A ∈Mm×m(R) es una matriz cuadradade orden o tamano m y denotaremos

Mm(R) := Mm×m(R)

6.1. MATRICES 3

Como ya el lector habra observado, los vectores que hemos estudiado encapıtulos anteriores pueden interpretarse como matrices, por ejemplo:

En R2, los vectores fila [1, 0], [0, 1] y [2,−1], son matrices de un renglonpor dos columnas, es decir son elementos de M1×2(R)

En R3, los vectores fila [1, 0, 0], [0, 1, 0] [0, 0, 1] y [2,−1, 3], son matricesde un renglon por tres columnas, es decir elementos de M1×3(R).

En general, un vector fila en Rn, representado x = [x1, x2, . . . , xn], esuna matriz de orden 1× n, es decir, es una matriz en M1×n(R).

En forma analoga, en R2, los vectores columna

[10

] [01

] [−1

2

]son

elementos de M2×1(R).

En R3, los vectores

100

, 0

10

, 0

01

, −1

2−2

, son elementos de

M3×1(R).

En general, un vector columna en Rn, representado como

y =

y1y2...yn

,es una matriz de tamano n× 1 es decir, es un elemento de Mn×1(R).

6.1.1 Notacion para matrices

Podemos expresar de maneras distintas una matriz A ∈Mm×n(R) :

• mediante sus entradas: A = [aij ] cada entrada de A es un numero real,entij(A) = aij ∈ R;

• mediante sus renglones: cada renglon de A es una matriz fila. Eli−esimo renglon, que denotaremos por Ri(A) ∈M1×n(R) es igual a

Ri(A) = [ai1 ai2 . . . aij . . . ain], i = 1, 2, · · · , n

contando los renglones de arriba hacia abajo;


• mediante sus columnas: cada columna de A es una matriz columna. Laj-esima columna, que denotaremos por Colj(A) ∈Mn×1(R) es igual a

Colj(A) =

a1ja2j...aij...

amj

, j = 1, 2, · · · ,m

contando las columnas de izquierda a derecha.

Cuando A ∈Mm×n se escribe mediante sus m renglones

A =

R1(A)

R2(A)...

Ri(A)...

Rm(A)

decimos que A esta matriz particionada por sus renglones o filas.

La matriz A tambien puede escribirse mediante sus columnas

A =[Col1(A) Col2(A) · · · Coln(A)

].

y decimos que A esta matriz particionada por sus columnas.

Observacion 6.1.

Si A ∈ Mm×n(R) podemos ver a los renglones o filas de la matrizcomo vectores renglon con n componentes, estan en M1×n(R); mien-tras que sus columnas tienen m componentes, son vectores columna enMm×1(R).

Ejemplo 6.2.

Sea A dada por

A =

1 3 41 0 26 1 4

6.1. MATRICES 5

I Tenemos que

R1(A) = [1, 3, 4], R2(A) = [1, 0, 2], R3(A) = [6, 1, 4].

Analogamente,

Col1(A) =

116

, Col2(A) =

301

, Col3(A) =

424

.Para

A =

1 1 42 1 2−1 5 8

0 3 1

tenemos que

R1(A) = [−1, 1, 4]R2(A) = [2, 1, 2],R3(A) = [1, 5, 8],R4(A) = [0, 3, 1],

mientras que

Col1(A) =

12−1

0

, Col2(A) =

1153

, Col3(A) =

4281

.J

6.1.2 Igualdad de matrices

Como se recordara, se dijo que los vectores ~v = [a, b] y ~w = [c, d] son igualessi y solamente si a = c y b = d, es decir, la primera entrada de cada uno deellos es igual y la segunda entrada tambien.

De manera analoga definimos la igualdad entre matrices:

Definicion 6.2: Igualdad entre matrices

Sean A y B dos matrices de orden m × n. Decimos que A y B soniguales y escribimos A = B, si para cada una de sus entradas secumple que

entij(A) = entij(B),


para cada i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . , n.

Ejemplo 6.3.

Encontrar el valor de a que hace que A sea igual a B, cuando

A =

[1 23 1

]; B =

[1 23 a− 6

]

Solucion IComo se puede ver,

ent11(A) = ent11(B)ent12(A) = ent12(B)ent21(A) = ent21(B).

Por lo tanto tendremos que A = B siempre y cuando ent22(A) = ent22(B),es decir cuando 1 = a− 6, por lo que a = 7. J

Ejemplo 6.4.

Encontrar el valor de a y b que hace que A = B:

A =

[1 2 a+ 13 7 1

]; B =

[1 2 3

3 b3 1

]Solucion I En este ejemplo, tenemos que

ent11(A) = ent11(B)ent12(A) = ent12(B)ent21(A) = ent21(B)ent23(A) = ent23(B)

Tendremos que A = B siempre y cuando se cumpla: ent13(A) = ent13(B)y ent23(A) = ent23(B), es decir, a + 1 = 3 y b

3 = 7, en forma equivalente,a = 2 y b = 21. J

Ejemplo 6.5.

Resolver la ecuacion:

A =

[x+ z y − zx− y z2 − 3

]=

[2− 2z 1 + zy − 7z z + 3

]= B

6.1. MATRICES 7

Solucion I Tenemos un sistema de 4 ecuaciones con 4 incognitas:

x+ z = 2− 2zy − z = 1 + zx− y = y − 7zz2 − 3 = z + 3

Las tres primeras ecuaciones dan lugar a un sistema de 3 ecuaciones linealescon 3 incognitas:

x+ 2y − 1 = y − z + 2x− 2y + 7z = 0y − 2z = 1

que es equivalente a

x+ y + z = 3x− 2y + 7z = 0y − 2z = 1

y que podemos resolver usando el metodo de eliminacion de Gauss: 1 1 1 31 −2 7 00 1 −2 1

−−−−−−−−→R2 → R2 −R1

1 1 1 30 −3 6 −30 1 −2 1

1 1 1 3

0 −3 6 −30 1 −2 1

−−−−−−−−→R2 → (−1/3)R2

1 1 1 30 1 −2 10 1 −2 1

Finalmente, el sistema original es equivalente al sistema con matriz aumen-tada 1 1 1 3

0 1 −2 10 0 0 0

del cual obtenemos,tomando z como parametro

x = −3z + 2y = 2z + 1.

La cuarta ecuacion dice que

z2 − 3 = z − 3, z2 − z − 6 = 0.


Esta ecuacion cuadratrica tiene dos soluciones z = 3 y z = −2. Para cadauno de estos valores obtenemos una solucion de la ecuacion A = B :

z = 3x = −9 + 2 = −7y = 6 + 1 = 7

yz = −2x = 6 + 2 = 8y = −4 + 1 = 3

Comprobemos la primera solucion:

A =

[x+ z y − zx− y z2 − 3

]=

[(−7) + 3 7− 3(−7)− 7 (3)2 − 3

]=

[−4 4−14 6

]mientras que

B =

[2− 2z 1 + zy − 7z z + 3

]=

[2− 2(3) 1 + 37− 7(3) 3 + 3

]=

[−4 4−14 6

].

El lector puede comprobar que A = B para la segunda solucion. J

Observe que para considerar una igualdad entre dos matrices A y B, sedebe ver primero que tengan el mismo tamano u orden. Posteriormente, sedebe verificar que las entradas correspondientes coincidan.

6.1.3 Algunas matrices especiales

Comenzamos con una matriz particular, que encontramos en los capıtulosanteriores:

Definicion 6.3: Matriz nula

Se llama la matriz cero o matriz nula a una matriz de cualquiertamano en la que todas sus entradas son igual a cero.

La matriz 0m×n ∈ Mm×n(R), es tal que 0m×n = [entij(0] conentij(0) = 0 para todos los valores i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . n.

Por ejemplo, la matriz cero de orden 4× 4 es

04×4 =

0 0 0 00 0 0 00 0 0 00 0 0 0

.

6.1. MATRICES 9

La matriz cero de orden 2× 3 es

02×3 =

[0 0 00 0 0

].

En general, escribiremos la matriz 0m×n = 0 si, en el contexto en el que setrabaja, esta claro el tamano que debe tener esta.

En el capıtulo anterior buscabamos transformar la matriz asociada a unsistema en una matriz escalonada. Recordemos la definicon de este tipo dematrices:

Definicion 6.4: Matriz escalonada

Se dice que una matriz en Mm×n(R) es matriz escalonada si se satis-facen las condiciones siguientes

• De haber reglones nulos, estos se encuentran en la parte inferiorde la matriz.

• Si el i-esimo renglon de la matriz no es nulo y el primer ele-mento no nulo de este renglon es el que se encuentra en la j-esimacolumna, entonces todos los reglones bajo este renglon tienen losprimeros j + 1 elementos nulos.

Los siguientes son ejemplos de matrices escalonadas

Ejemplo 6.6.

I 1 1 1 30 1 −2 10 0 0 0

, 1 0 1 0 −7

0 0 −2 1 00 0 0 1 3

J

A continuacion definiremos algunos tipos de matrices cuadradas:

Definicion 6.5: Matriz identidad

Para n cualquier numero natural, se llama matriz identidad de tamanon a la matriz cuadrada de tamano n, que se denota por In, cuyas en-


tradas son:

entsr(In) =

{1, s = r0, s 6= r

s, r = 1, . . . , n.

Son matrices identidad de tamano uno, dos, tres y n, las siguientes:

I1 = [1], I2 =

[1 00 1

], I3 =

1 0 00 1 00 0 1

,

In =

1 0 0 · · · 0 00 1 0 · · · 0 00 0 1 · · · 0 0...

......

...0 0 0 · · · 1 00 0 0 · · · 0 1

.

Otro tipo de matrices cuadradas son las matrices que se llaman matricesdiagonales, ejemplos de ellas son las que llamamos matrices identidad y lassiguientes:

A1 =

[4 00 3

], A2 =

3 0 00 4 00 0 0

, A3 =

2 0 00 3 00 0 4

A4 =

√

2 0 0 0

0 −√

3 0 00 0 0 00 0 0 4

.Definicion 6.6: Diagonal de una matriz cuadrada y Matrizdiagonal

La diagonal o diagonal principal de una matriz cuadrada de tamanon, son los elementos entii(A), i = 1, . . . , n.

Decimos queD es una matriz diagonal de tamano n si es cuadradade tamano n y entij(D) = 0 para i 6= j.

6.1. MATRICES 11

Observacion 6.2.

En una matriz diagonal todas las entradas entij con i 6= j deben sernulas. Algunos elementos de la diagonal tambien podrıan ser nulos,como 0n×n es una matriz diagonal.

Si una matriz diagonal de tamano n tiene en su diagonal los numerosλ1, λ2, . . . , λn, la escribimos como Dg[λ1, λ2, . . . , λn] y su forma es

Dg[λ1, λ2, . . . , λn] =

λ1 0 . . . 00 λ2 . . . 0...

......

...0 0 . . . λn

Definicion 6.7: Matriz triangular superior

Decimos que una matriz cuadrada T de tamano n es una matriz trian-gular superior si entij(T ) = 0 para i > j, i = 1, . . . n; j = 1, . . . n.

La siguiente matriz es triangular superior.a11 a12 . . . a1n0 a22 . . . a2n...

......

...0 0 0 ann

Las entradas en una matriz triangular superior que estan por debajo de ladiagonal principal de la matriz son iguales a cero.

Los siguientes son algunos ejemplos de matrices triangulares superiores

1 12 40 6 50 0 7

1 12 4 0 −10 6 5 1 00 0 0 1 00 0 0 0 00 0 0 0 0

Cuando en una matriz cuadrada, todas las entradas arriba de su diagonalson iguales a cero, la llamamos matriz triangular inferior:


Definicion 6.8: Matriz triangular inferior

Decimos que una matriz cuadrada T de tamano n es una matriz tri-angular inferior si entij(T ) = 0 para i > j, i = 1, . . . n; j = 1, . . . n.

La siguiente matriz es triangular inferior.a11 0 . . . 0a21 a22 . . . 0...

......

...an1 an2 . . . ann

Un ejemplo de matriz triangular inferior es,

1 0 012 6 04 5 7

En general las matrices triangulares inferiores de orden 3 son de la forma ∗ 0 0∗ ∗ 0∗ ∗ ∗

donde, en el lugar de las ∗, se puede poner cualquier numero, inclusive el 0.

6.1.4 Ejercicios

1. Para la matriz

A =

1 0 0 −12 2 3 5−1 3 0 9

0 1 0 −10

describa ent1,3, ent2,4, ent4,3, R2(A) y Col3(A).

2. Construya las matrices diagonales Dg[1, 2, 3, 4, 5, 6] y Dg[0, 1, 0,−1, 0].

6.2. ALGEBRA DE MATRICES: OPERACIONES LINEALES 13

3. Muestre que si A,B ∈ Mn×m(R) y A = B, entonces para cada i =1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . n,

Ri(A) = Ri(B)Colj(A) = Colj(B)

4. Resuelva la ecuacion[x+ 2y − 1 x− y + 1x+ y − 3 3x+ 2y

]=

[y − z + 1 −x+ z + 2−y + z − 3 −4x+ z

]5. Construya un ejemplo de las siguientes matrices:

(a) Una matriz triangular superior de orden 5 que tenga ent4,5 = 5;

(b) Una matriz triangular inferior de orden 4 que tenga ent2,1 = 3;

(c) La matriz nula de orden uno;

(d) La matriz nula de orden 3× 1.

6.2 Algebra de matrices: Operaciones lineales

En esta seccion estableceremos las operaciones lineales, que extienden lasuma de vectores y multiplicacion de un vector por un escalar, que vimosen los capıtulos 2, 3 y 4, y estudiaremos sus propiedades.

6.2.1 Suma de matrices

La suma de matrices esta definida cuando las matrices son del mismo tamanou orden. En los capıtulos 2 y 3 trabajamos con vectores fila. En el primercaso eran vectores en el plano que podemos identificar con los elementos deM1×2(R) y en el segundo de vectores en el espacio que podemos identificarcon elementos de M1×3(R). Definimos la suma de dos vectores, sumandocoordenada a coordenada. Eso mismo hicimos con los vectores columna conlos que trabajamos en el capıtulo 4. Definimos entonces

Definicion 6.9: Suma de matrices

Para m,n ∈ N, sean A, B ∈ Mm×n(R) i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . n. Lasuma de las matrices A y B es la matriz A+B ∈Mm×n(R), tal que

entij(A+B) = entijA+ entijB,

i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . n.


Explıcitamente, dadas A = [aij ], B = [bij ] ∈Mm×n(R),

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amn

B =

b11 b12 . . . b1nb21 b22 . . . b2n...

......

...bi1 bi2 . . . bin...

......

...bm1 bm2 . . . bmn

A+B =

a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1na21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n

......

......

ai1 + bi1 ai2 + bi2 . . . ain + bin...

......

...am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn

Ejemplo 6.7.

Sean A y B ∈M2×2.

A =

[2 −13 −6

]; B =

[1 03 2

]La matriz suma tiene como entradas a la suma de las entradas corres-

pondientes:

A+B =

[2 −13 −6

]+

[1 03 2

]=

[2 + 1 −1 + 03 + 3 −6 + 2

]=

[3 −16 −4

].

Ejemplo 6.8.

Sean A y B ∈M3×3.


A =

1 2 34 5 60 1 2

; B =

−1 0 2−4 3 2

2 3 9

La matriz suma tiene como entradas a la suma de las entradas corres-

pondientes:

A+B =

1 2 34 5 60 1 2

+

−1 0 2−4 3 2

2 3 9

=

1− 1 2 + 0 3 + 24− 4 5 + 3 6 + 20 + 2 1 + 3 2 + 9

=

0 2 50 8 82 4 11

.La siguiente proposicion enuncia las propiedades elementales de la suma dematrices en Mm×n(R) :

Proposicion 6.1.

Sean A,B y C ∈Mm×n(R). Entonces

• La suma de matrices es conmutativa: A+B = B +A.

• La suma de matrices es asociativa: A+ (B +C) = (A+B) +C.

• La matriz 0 ∈ Mm×m(R) es elemento neutro para la suma dematrices en Mm×n(R) : A+ 0 = A = 0 +A.

Mostraremos la primera y la ultima de las afirmaciones anteriores.

• Para mostrar que A + B = B + A debemos probar que las entradascorrespondientes de ambas expresiones son iguales. Es decir que

entij(A+B) = entij(B +A).

Recordemos que definimos la suma de matrices mediante las igualdades

entij(A+B) = entij(A) + entij(B), i = 1, . . . n, j = 1, . . .m.

Como la suma de numeros reales es conmutativa

entij(A) + entij(B) = entij(B) + entij(A), i = 1, . . . n, j = 1, . . .m.

El lado derecho es, por la definicion de la suma de matrices, igual a

entij(B +A), i = 1, . . . n, j = 1, . . .m.


Y, las correspondientes entradas de A + B y B + A coinciden, comoquerıamos probar.

• Veamos que A+ 0 = A. Para i = 1, . . . ,m y j = 1, . . . , n

entij(A+ 0) = entijA+ entij0 = entijA+ 0 = entijA.

6.2.2 Multiplicacion por un escalar

De manera analoga como hicimos para multiplicar un vector por un escalardefinimos la multiplicacion de una matriz en Mm×n(R) por un escalar yobtenemos de nuevo una matriz en Mm×n(R).

Definicion 6.10: Multiplicacion de una matriz por un escalar

Sean m,n ∈ N, A ∈ Mm×n(R) y λ ∈ R cualquier escalar. El productodel escalar λ por la matriz A, es la matriz λA ∈Mm×n(R) donde

entij(λA) = λentij(A), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . , n.

Explıcitamente, para λ ∈ R y A = [aij ] ∈Mm×n(R), donde i = 1, . . . ,my j = 1, . . . , n:

λA =

λa11 λa12 . . . λa1nλa21 λa22 . . . λa2n

......

......

λai1 λai2 . . . λain...

......

...λam1 λam2 . . . λamn

.

Ejemplo 6.9.

Para λ ∈ R, A ∈ Mn×1, (observe que A es un vector columna), el pro-ducto λA es un vector multiplo escalar del vector A, es decir λA es colinealal vector A.

Consideremos λ = −5 y A ∈M3×1 =

234

−5A = −5

234

=

−5 · 2−5 · 3−5 · 4

=

−10−15−20


Ejemplo 6.10.

Sea A ∈M2×2(R), A =

[−2 1

3 6

]y λ = −3 Calcular λA.

Solucion I

λ(A) = −3A = −3

[−2 1

3 6

]=

[(−3)(−2) (−3)(1)(−3)( 3) (−3)(6)

]=[

6 −3−9 −18

].

La matriz que resulta es aquella cuyas entradas, son las entradas de lamatriz multiplicadas por el numero λ. J

Ejemplo 6.11.

Sean A ∈M3×3(R), A =

−1 2 50 7 82 4 11

, calcular la matriz 5A.

Solucion I

5A = 5

−1 2 50 7 82 4 11

=

5(−1) 5(2) 5(5)5( 0) 5(7) 5(8)5( 2) 5(4) 5(11)

=

−5 10 250 35 4010 20 55

.J

Ejemplo 6.12.

Sea A ∈M2×2(R), A =

[−2 1

3 6

]. Calcular (−1)A y A+ (−1)A.

Solucion I

(−1)A = (−1)

[−2 1

3 6

]=

[(−1)(−2) (−1)(1)(−1)( 3) (−1)(6)

]=

[2 −1−3 −6

]


Entonces

A+ (−1)A =

[−2 1

3 6

]+

[2 −1−3 −6

]=

[−2 + 2 1 + (−1)3 + (−1) 6 + (−6)

]=

[0 00 0

]= 02×2

JLa siguiente proposicion enuncia las propiedades elementales del productode matrices en Mm×n(R) por un escalar

Proposicion 6.2.

Sean A ∈Mm×n(R) y α, β ∈ R. Entonces

• 1 ·A = A;

• α · (β ·A) = (αβ) ·A.

A continuacion mostraremos estas aserciones

• Dada A ∈Mm×n(R) estudiemos las entradas de 1 ·A :

entij(1 ·A) = (1) · entij(A) = entij(A),

De las igualdades anteriores se deduce que

1 ·A = A.

• Estudiemos ahora la segunda afirmacion. Con este proposito estudia-remos las entradas correspondientes de las matrices del enunciado.

entij(α · (β ·A)) = α (entij(β ·A))= α (βentij(A))= (αβ) entij(A)= entij((αβ) ·A)

Esta ultima igualdad se debe a que la multiplicacion de numeros realeses asociativa. Como las entradas correspondientes de α · (β · A) y de(αβ) ·A son iguales, las matrices lo son.


6.2.3 Propiedades que vinculan estas operaciones

Las siguientes propiedades de las operaciones lineales en Mm×n(R) debenrecordar al lector las que enunciamos y demostramos para vectores.

Proposicion 6.3.

Sean A,B ∈Mm×n(R) y α, β ∈ R. Entonces

• A+ (−1)A = 0m×n;

• α · (A+B) = α ·A+ α ·B;

• (α+ β) ·A = α ·A+ β ·B.

Haremos la demostracion de la primera afirmacion. Las otras dos sedejan como ejercicio para el lector.

Primera manera de hacerlo: Para A ∈Mm×n, verificar que A+(−1)A =0m×n. Primero calculemos (−1)A :

(−1)A = (−1)

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amn

=

−a11 −a12 . . . −a1n−a21 −a22 . . . −a2n

......

......

−ai1 −ai2 . . . −ain...

......

...−am1 −am2 . . . −amn

.

Por lo tanto

A+(−1)A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . ain...

......

...am1 am2 . . . amn

+

−a11 −a12 . . . −a1n−a21 −a22 . . . −a2n

......

......

−ai1 −ai2 . . . −ain...

......

...−am1 −am2 . . . −amn

=

=

a11 − a11 a12 − a12 . . . a1n − a1na21 − a21 a22 − a22 . . . a2n − a2n

......

......

ai1 − ai1 ai2 − ai2 . . . ain − ain...

......

...am1 − am1 am2 − am2 . . . am2 − amn

= 0m×n


JSegunda manera de hacerlo: Estudiemos las entradas de A + (−1)A,usando las propiedades de la suma de matrices y el producto de una matrizpor un escalar:

entij(A+ (−1)A) = entij(A) + entij((−1)A)= entij(A) + (−1)entij(A)= entij(A)− entij(A) = 0

Como las entradas de A+ (−1)A son iguales a las de 0m×n, las matrices soniguales. J

Notacion para la matriz (−1)A

Dada A ∈Mm×n(R), la matriz (−1)A es el inverso aditivo de la matrizA, puesto que (−1)A es lo que se debe sumar a A para obtener comoresultado la matriz nula de tamano m× n. Por esto se la denota por

(−1)A := −A

y se satisface que

A+ (−1)A = (−1)A+A = 0m×n.

6.2.4 Ejercicios

1. Sea A ∈Mm×n(R). Entonces (0)A = 0m×n.

2. Para las matrices A y B, siguientes, calcule 3A y 3B y 3(A+B).

A =

[−2 1

3 −36

]B =

[6 −3−9 −18

].

3. Resuelva la ecuacion en M3×3(R) :

3A+ 2X = B

donde

A =

1 0 23 5 −40 7 5

y B =

11 −5 7−3 12 223 −4 8

6.3. ALGEBRA DE MATRICES: PRODUCTO DE MATRICES 21

4. Muestre que, dadasA, B ∈Mm×n(R) se tiene que, para i = 1, 2, . . . ,m,j = 1, 2, . . . n, Ri(A), Ri(B) ∈M1×n(R) y Colj(A), Colj(B) ∈Mn×1(R),que

Ri(A+B) = Ri(A) +Ri(B)Colj(A+B) = Colj(A) + Colj(B)

y que , para cada α ∈ R,

Ri(αA) = αRi(A)Colj(αA) = αColj(A)

6.3 Algebra de matrices: Producto de matrices

Las operaciones lineales estudiadas en la seccion anterior para matrices gen-eralizan estas operaciones lineales entre vectores. De la misma manera elproducto de matrices generaliza el producto punto. El producto de matri-ces permite, entre otras cosas, interpretar un sistema de ecuaciones linealescomo una ecuacion entre matrices: AX = b.

Dado el sistema de ecuaciones lineales con tres incognitas siguiente

x1 + 2x2 + 4x3 = 243x1 + 4x2 + 8x3 = 506x1 + 6x2 + 6x3 = 48

Denotemos con A a su matriz asociada, y con [A | b] a su matriz aumen-tada,

A =

1 2 43 4 86 6 6

, [A | b] =

1 2 4 243 4 8 506 6 6 48

En esta manera de codificar el sistema lo que estan faltando son las

incognitas. Como los tres elementos del sistema son: la matriz del sistema,las incognitas y la columna de los terminos independientes, los ponemos dela manera siguiente 1 2 4

3 4 86 6 6

x1x2x3

245048


y lo que queremos es tener 1 2 43 4 86 6 6

· x1x2x3

=

245048

Hemos escrito el sistema como la ecuacion A ·X = b donde

X =

x1x2x3

.Para obtener la primera ecuacion del sistema realizamos el producto entredos vectores en R3 que son R1(A) ∈M1×3 con X ∈M3×1,

R1(A) ·X = x1 + 2x2 + 4x3 = 24.

Lo que hemos hecho es [1, 2, 4] ·

x1x2x3

= 24 es decir,

R1(A) ·X = [1, 2, 4] ·

x1x2x3

= 24.

Notemos que estamos definiendo un producto entre dos matrices: R1(A) ∈M1×3 con X ∈M3×1, que es analogo a realizar el producto punto entre dosvectores en R3.

Analogamente, podemos ver a la segunda y a la tercera ecuacion delsistema como

R2(A) ·X = [3, 4, 8] ·

x1x2x3

= 50.

R3(A) ·X = [6, 6, 6] ·

x1x2x3

= 48.

Unificamos las tres expresiones obtenidas como 1 2 43 4 86 6 6

· x1x2x3

=

245048


Podemos expresar el sistema como

A ·X = b

donde b ∈M3×1(R) es el vector columna de los terminos independientes.

6.3.1 Producto de una matriz por una matriz columna

Consideremos las matrices A = [aij ] ∈ Mm×n(R), i = 1, . . . ,m, j = 1, . . . ny C = [ci1] ∈ Mm×1(R), i = 1, . . . ,m que representan a un sistema deecuaciones lineales de m ecuaciones con n incognitas:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = c11. . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = cm1

Escribimos

X =

x1x2...xn

y definimos

Definicion 6.11: Producto de un elemento de Mm×n(R) por unelemento de Mn×1(R)

El producto de un elemento A de Mm×n(R) por un elemento X deMn×1(R) es el elemento de Mm×1(R), denotado por A ·X, cuyos ren-glones estan dados por

Ri(A ·X) = enti1(A)x1 + enti2(A)x2 + . . .+ entin(A)xn,

i = 1, 2, . . . ,m

En particular el producto de una matriz fila A = [a1j ] ∈ M1×n(R) poruna matriz columna B = [bi1] ∈ Mn×1(R) es una matriz en M1×1(R) que


identificamos con un elemento de R :

A ·B = [a11 a12 · · · a1n] ·

b11b21...bn1

= a11b11 + a12b21 + · · ·+ a1nbn1

=

n∑i=1

a1ibi1

= [a11, a12, . . . , a1n] • [b11, b21, . . . , bn1]

donde • representa el producto punto.De manera explıcita, la multiplicacion de A ∈ Mm×n(R) por X ∈

Mn×1(R), es a11 a12 . . . a1n...

......

ai1 ai2 . . . ain...

......

am1 am2 . . . amn

·x1x2...xn

=

=

a11x1 + a21x2 + . . . + a1nxn. . . . . . . . . . . .ai1x1 + ai2x2 + . . . + ainxn. . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn

=

R1(A) ·XR2(A) ·X

...

Rm(A) ·X

donde Ri(A) ·X es un producto de la matrix renglon Ri(A) ∈M1×n(R) conla matriz columna X ∈Mn×1(R), cuyo resultado, como dijimos antes, es unnumero real.

Recalquemos que, con esta definicion, el sistema dado antes se escribe como

A ·X = b.


Ejemplo 6.13.

Calcular A ·B para

A =[

1 −3], B =

[58

].

Solucion IA es de orden 1× 2 y B es de orden 2× 1.

A ·B =[

1 −3]·[

58

]=[

1 · 5 + (−3 · 8)]

=[−19

].

La matriz A ·B es de orden 1× 1. J

Ejemplo 6.14.

Calcular A ·B para

A =

[1 −32 −3

], B =

[58

].


A ·B =

[1 −32 −3

]·[

58

]=

[1 · 5 + (−3 · 8)2 · 5 + (−3 · 8)

]=

[−19−14

].

La matriz la matriz A ·B es de orden 2× 1. J

Ejemplo 6.15.

Calcular A ·B para

A =

1 −32 10 2

, B =

[58

].



A ·B =

1 −32 −30 2

· [ 58

]=

1 · 5 + (−3 · 8)2 · 5 + (−3 · 8)0 · 5 + 2 · 8

=

−19−14

16

.La matriz A ·B es de orden 3× 1. J

Ejemplo 6.16.

Calcular A ·B para

A =

2 0 −31 2 14 0 2

, B =

−2−1−4

.Solucion I

A es de orden 3× 3 y B es de orden 3× 1.

A =

2 0 −31 2 14 0 2

, B =

−2−1−4

.Solucion I

A·B =

2 0 −31 2 14 0 2

· −2−1−4

=

(2)(−2) + (0)(−1) + (−3)(−4)(1)(−2) + (2)(−1) + (1)(−4)(4)(−2) + (0)(−1) + (2)(−4)

=

−16−8−16

.La matriz A ·B es de orden 3× 1. J

Observacion 6.3.

En todos los casos hemos considerado que el numero de columnas deA es igual al numero de renglones de B.

A continuacion enunciamos algunas propiedades de este producto

Proposicion 6.4.

Sean A,B ∈Mm×n(R), X, Y ∈Mn×1(R) y α ∈ R. Entonces

• (A+B) ·X = A ·X +B ·X;


• A · (X + Y ) = A ·X +A · Y ;

• α(A ·X) = (αA) ·X = A · (αX).

Probaremos la primera asercion cuando A,B ∈ M1×n(R) es decir son ma-trices renglon y C ∈Mn×1(R). Calculemos A+B

A+B = [a11 a12 . . . a1n] + [b11 b12 . . . b1n]= [a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n]

Por lo tanto

(A+B) · C = (a11 + b11)c11 + (a12 + b12)c21 + . . .+ (a1n + b1n)cn1= (a11c11 + b11c11(a12c21 + b12c21) + . . .+ (a1ncn1 + b1ncn1).

Por otra parte

A · C +B · C = (a11c11 + a12c21 + . . .+ a1ncn1) + (b11c11 + b12c21 + . . .+ b1ncn1) .

La afirmacion se deduce de las propiedades de las operaciones de numerosreales.

6.3.2 Producto de matrices

Nos apoyaremos en la definicion del producto de una matriz A ∈Mm×n(R)por una matriz columna en Mn×1(R) para definir el producto de matrices.

Sean A ∈ Mm×n(R), B ∈ Mn×p(R). Consideremos a B particionada porcolumnas. Sabemos calcular el producto de A por cada una de las columnasde B. Vamos a definir el producto A ·B como la matriz cuyas columnas son:

Colj(A ·B) := A · Colj(B)

Por lo que vimos en la seccion anterior, la particion por renglones de lamatriz A · Colj(B) ∈Mn×1(R) esta dada por

Colj(A ·B) = A · Colj(B) =

R1(A) · Colj(B)

R2(A) · Colj(B)...

Rm(A) · Colj(B)

de lo que se desprende la siguiente definicion:


Definicion 6.12: Producto de una matriz en Mm×n(R) por unamatriz en Mn×p(R)

El producto de una matrizA enMm×n(R) por una matrizB enMn×p(R)es la matriz A ·B ∈Mm×p(R) cuyas columnas son

Colj(A ·B) := A · Colj(B), j = 1, 2, . . . , p.

Por lo que las entradas de la matriz A ·B estan dadas por

entij(A ·B) = Ri(A) · Colj(B)

i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , p.

De manera explıcita

entij(A ·B) = [ai1, ai2, . . . , ain] ·

b1jb2j...bnj

,o bien

entij(A ·B) = ai1b1j + ai2b2j + · · ·+ ainbnj =

n∑k=1

aikbkj .

Tambien escribimos A ·B en terminos de sus entradas:

R1(A) · Col1(B) R1(A) · Col2(B) · · · R1(A) · Colp(B)R2(A) · Col1(B) R2(A) · Col2(B) · · · R2(A) · Colp(B)

· · · · · · · · · · · ·Ri(A) · Col1(B) Ri(A) · Col2(B) · · · Ri(A) · Colp(B)

· · · · · · · · · · · ·Rm(A) · Col1(B) Rm(A) · Col2(B) · · · Rm(A) · Colp(B)

(6.1)

Es importante notar que:


Observacion 6.4.

• Para poder realizar el producto de la matriz A con la matriz B,requerimos que el numero de columnas de A sea igual al numerode renglones de B. Dicho de otra forma, debemos verificar que siA es de orden m × n, para poder multiplicarla por la matriz B,esta debe ser de orden n× p. Para m y p no hay restriccion.

• La matriz producto A · B resultante sera una matriz de ordenm× p.

Ejemplo 6.17.

Calcular A ·B para

A =

2 0 −31 2 14 0 2

, B =

−2 0−1 1−4 3

.Solucion I

A es de orden 3× 3 y B es de orden 3× 2. Para ayudarnos a desarrollarel producto particionamos las matrices

A ·B =

2 0 −3

1 2 1

4 0 2

· −2 0−1 1−4 3

Hacemos los calculos:

R1(A) · Col1(B) = (2)(−2) + (0)(−1) + (−3)(−4) = −16R1(A) · Col2(B) = (2)(0) + (0)(1) + (−3)(3) = −9R2(A) · Col1(B) = (1)(−2) + (2)(−1) + (1)(−4) = −8R2(A) · Col2(B) = (1)(0) + (2)(1) + (1)(3) = 5R3(A) · Col1(B) = (4)(−2) + (0)(−1) + (2)(−4) = −16R3(A) · Col2(B) = (4)(0) + (0)(1) + (2)(3) = 6

Por lo tanto

A·B =

(2)(−2) + (0)(−1) + (−3)(−4) (2)(0) + (0)(1) + (−3)(3)(1)(−2) + (2)(−1) + (1)(−4) (1)(0) + (2)(1) + (1)(3)(4)(−2) + (0)(−1) + (2)(−4) (4)(0) + (0)(1) + (2)(3)

=

−16 −9−8 5−16 6

.


La matriz A ·B es de orden 3× 2.

J

Ejemplo 6.18.

Calcular A ·B para

A =

1 0 −21 1 −13 1 2

, B =

−1 0 11 0 1−1 1 2

.Solucion I De nuevo particionamos las matrices:

A ·B =

1 0 −2

1 1 −1

3 1 2

· −1 0 1

1 0 1−1 1 2

=

1(−1) + 0(1) + (−2)(−1) 1(0) + 0(0) + (−2)(1) 1(1) + 0(1) + (−2)(2)1(−1) + 1(1) + (−1)(−1) 1(0) + 1(0) + (−1)(1) 1(1) + 1(1) + (−1)(2)3(−1) + 1(1) + 2(−1) 3(0) + 1(0) + 2(1) 3(1) + 1(1) + 2(2)

=

−3 2 51 −1 0−4 2 8

.J

Ejemplo 6.19.

Calcular A ·B para

A =

[1 −2 2 11 −1 3 1

], B =

−1 1 0 0

0 1 1 1−1 1 2 3−1 1 2 4

.

Solucion I

A ·B =

[1 −2 2 1

1 −1 3 1

]·

−1 1 0 0

0 1 1 1−1 1 2 3−1 1 2 4

=


[R1(A) · Col1(B) R1(A) · Col2(B) R1(A) · Col3(B) R1(A) · Col4(B)R2(A) · Col1(B) R2(A) · Col2(B) R2(A) · Col3(B) R2(A) · Col4(B)

]

=

[−4 2 4 8−5 4 7 12

].

J

Ejemplo 6.20.

Calcular los productos I3 ·A y A · I2 cuando A =

−2 10 −11 −1

.Solucion I

I3 ·A =

1 0 00 1 00 0 1

· −2 1

0 −11 −1

.Tenemos que para i = 1, 2, 3, se cumple Ri(I3 ·A) = Ri(I3) ·A.

De esta forma para i = 1,

R1(I3 ·A) = R1(I3) ·A =[

1 0 0]·

−2 10 −11 −1

=

[1(−2) + 0(0) + 0(1) 1(1) + 0(−1) + 0(−1)

]=

[−2 + 0 + 0 1 + 0 + 0

]=[−2 1

].

Para i = 2,

R2(I3 ·A) = R2(I3) ·A = [ 0 1 0 ] ·

−2 10 −11 −1

=[

0 −1].

Para i = 3,

R3(I3 ·A) = R3(I3) ·A = [ 0 0 1 ] ·

−2 10 −11 −1

=[

1 −1].


I3 ·A =

R1(I3 ·A)R2(I3 ·A)R3(I3 ·A)

=

−2 10 −11 −1

= A.

El lector puede verificar analogamente que A · I2 = A. JLos siguientes ejemplos nos ilustran ciertos casos en los que debemos

poner atencion al multiplicar matrices.

Ejemplo 6.21.

Calcular A ·B y B ·A cuando

A =

[2 −13 −6

]; B =

[1 03 2

]

Solucion I

AB =

[−1 −2−15 −12

], BA =

[2 −112 −15

]En este caso tenemos que AB 6= BA.

J

Ejemplo 6.22.

Calcular A ·B y B ·A cuando

A =

2 −10 −11 4

, B =

[−1 4 00 1 −1

]

Solucion I

AB =

−2 7 10 −1 1−1 8 −1

, BA =

[−2 −3−1 −5

]

En este caso tambien tenemos que AB 6= BA.

J


Ejemplo 6.23.

Calcular A ·B cuando

A =

2 −1 4 00 1 −1 41 2 3 4

, B =

2 −1 4 0 10 1 −1 4 11 2 3 4 51 1 2 1 2

Solucion I

Podemos calcular A · B ya que A tiene 4 columnas y B tiene 4 renglones yAB ∈M3×5(R).

AB =

8 7 21 12 213 3 4 4 49 11 19 24 26

En este ejemplo calculamos el producto AB, sin embargo no podemoscalcular el producto BA pues no esta definido, debido a que B tiene 5columnas y A tiene 4 renglones.

J

Ejemplo 6.24.

Resolver la ecuacion en M2×2(R)

AX = XA

cuando

A =

[0 −11 0

].

Solucion I

La ecuacion es la siguiente[0 −11 0

]·[x11 x12x21 x22

]=

[x11 x12x21 x22

]·[

0 −11 0

].

Calculemos los productos:[0 −11 0

]·[x11 x12x21 x22

]=

[−x21 −x22x11 x12

]


mientras que [x11 x12x21 x22

]·[

0 −11 0

]=

[x12 −x11x22 −x21

].

El ejercicio pide ver que condiciones debe satisfacer la matriz X ∈ M2×2para que [

−x21 −x22x11 x12

]=

[x12 −x11x22 −x21

].

Esto se tiene cuando se satisface el sistema de ecuaciones

−x21 = x12−x22 = −x11x11 = x22x12 = −x21

el cual en realidad es un sistema homogeneo de dos ecuaciones lineales condos incognitas:

x11 − x22 = 0x12 − x21 = 0.

Si llamamos a = x11 y b = x12, para que una matriz satisfaga la ecuaciondebe tener la forma [

x11 x12x21 x22

]=

[a b−b a

]J

Observacion 6.5.

• Es importante recordar que no siempre se puede realizar el pro-ducto de dos matrices A y B;

• Aun cuando el producto de matrices A · B este definido, el pro-ducto BA puede no estarlo.

• Sean A y B matrices para las cuales los productos A ·B y B ·Aestan definidos. En general, el producto de matrices no esconmutativo, A ·B 6= B ·A.

6.3.3 Particiones de una matriz producto

De la expresion para A ·B dada por la ecuacion (6.1) obtenemos la expresionpara sus filas y para sus columnas. Veamos la particion de A ·B en un casoparticular. Sean A y B dos matrices de 3× 3:


A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, B =

b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

De la definicion, la matriz A ·B particionada por sus columnas es

A ·B = [Col1(A ·B) | Col2(A ·B) | Col3(A ·B)]= [A · Col1(B) | A · Col2(A) | A · Col3(B)].

Al particionar A ·B por sus renglones

A ·B =

R1(A ·B)

R2(A ·B)

R3(A ·B)

.Tenemos que el primer renglon de A ·B es

R1(A ·B) =

[ent11(A ·B) ent12(A ·B) ent13(A ·B)] =[a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 a11b13 + a12b23 + a13b33

]=

[a11 a12 a13

] b11 b12 b13b21 b22 b23b31 b32 b33

= R1(A) ·B.

Analogamente podemos ver que:

R2(A ·B) = R2(A) ·B,

R3(A ·B) = R3(A) ·B.Nos queda

A ·B =

R1(A) ·BR2(A) ·BR3(A) ·B

.Volviendo al caso general cuando

A ·B =

R1(A) · Col1(B) R1(A) · Col2(B) · · · R1(A) · Colp(B)R2(A) · Col1(B) R2(A) · Col2(B) · · · R2(A) · Colp(B)

· · · · · · · · · · · ·Ri(A) · Col1(B) Ri(A) · Col2(B) · · · Ri(A) · Colp(B)

· · · · · · · · · · · ·Rm(A) · Col1(B) Rm(A) · Col2(B) · · · Rm(A) · Colp(B)


tenemos

Proposicion 6.5.

Sean A ∈Mm×n(R), B ∈Mn×p(R). Entonces

• Para i = 1, 2, . . . ,m,

Ri(A·B) = [Ri(A)·Col1(B) |Ri(A)·Col2(B) | · · · |Ri(A)·Colp(B)]

= Ri(A) ·B.

y

A ·B =

R1(A) ·BR2(A) ·B

...

Rm(A) ·B

.

• Para j = 1, 2, . . . , p,

Colj(A ·B) =

R1(A) · Colj(B)R2(A) · Colj(B)

. . .Ri(A) · Colj(B)

. . .Rm(A) · Colj(B)

= A · Colj(B)

yA ·B = [A · Col1(B) | A · Col2(A) | · · · | A · Colp(B)]

6.3.4 Propiedades que vinculan las operaciones lineales entrematrices y el producto

Dedicamos esta seccion para enlistar las propiedades distributivas y de aso-ciatividad que satisfacen las operaciones de producto, suma y multiplicacionpor un escalar. Algunas de ellas se ilustran o se justifican en los ejemplosque siguen. El lector encontrara las pruebas de las otras en el apendice deeste capıtulo.


Proposicion 6.6. [Distributividades]

Sean A,B ∈Mm×n(R), X, Y ∈Mn×p(R) y α, β ∈ R. Entonces

• (A+B) ·X = A ·X +B ·X;

• A · (X + Y ) = A ·X +A · Y ;

• α(A+B) = αA+ αB.

• (α+ β)A = αA+ βA.

Esta proposicion la enunciamos y demostramos cuando X,Y ∈Mn×1(R), esdecir son matrices columna (ver proposicion 6.4).

Proposicion 6.7. [Asociatividades]

Sean A ∈Mm×n(R), B ∈Mn×p(R), C ∈Mp×q(R), y λ ∈ R. Entonces

• λ(A ·B) = A · (λB) = (λA) ·B.

• (A ·B) · C = A · (B · C)

A continuacion demostramos la primera propiedad de asociatividad.

Para λ ∈ R, A ∈M2×3(R), y B ∈M3×2(R), verifiquemos que se cumple

λ(A ·B) = (λA) ·B = A · (λB).

Solucion I Verificaremos que las entradas correspondientes coinciden:Utilizando las entradas de la matriz producto, tenemos que:

entij (λ(A ·B)) = λentij(A ·B) = λ(Ri(A) · Colj(B))

= (λRi(A) · Colj(B)) = Ri(λA) · Colj(B)

= entij(λA) ·B

Por lo queλ(A ·B) = (λA) ·B.

La igualdad (λA) ·B = A · (λB) se muestra en forma similar utilizandolas propiedades de los numeros reales. J


La demostracion de que el producto de matrices es asociativo se encuentraen el apendice de este capıtulo.

6.3.5 Ejercicios

1. Calcule A ·B para A =

[1 3 −52 2 3

]y B =

3 2−1 4

2 4

.

2. Calcule A ·B y B ·A para A =

1 0 00 2 00 0 3

y B =

3 0 00 4 00 0 4

.3. Calcule A ·B y B ·A, encuentre ent23(A ·B) y ent23(B ·A) cuando

A =

2 −1 0 −1−1 2 −1 0

0 −1 2 1−1 0 −1 2

B =

−2 1 0 −1

3 −2 1 0−4 3 −2 1

5 −4 3 −2

4. Para la matriz A ·B que calculo en el ejercicio ??, describa R1(A ·B)

y R2(A ·B) en terminos de un renglon de una de las matrices A o B.

5. Para la matriz A ·B que calculo en el ejercicio ??, describa Col1(A ·B)y Col2(A ·B) en terminos de una columna de una de las matrices A oB.

6. Calcule E · B cuando B =

3 2−1 4

2 4

en cada uno de los casos sigu-

ientes

(a) E =

1 0 00 0 10 1 0

;

(b) E =

1 0 00 4 00 0 1

;

(c) E =

1 0 00 1 30 0 1

.


7. Sea A ∈ Mm×n Consideremos las matrices identidad de orden m y nrespectivamente, Im e In, Muestre que se cumple que:

Im ·A = A, A · In = A.

8. En cada uno de los ejercicios siguientes calcule A ·B y B ·A :

(a)

A =

[−2 1

3 −36

]B =

[6 −3−9 −18

].

(b)

A =

1 2 34 5 67 8 9

, B =

2 −3 65 −2 81 4 7

.(c)

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

, B =

1 0 00 0 10 1 0

.9. Sean A = Dg[λ1, λ2, . . . , λn] y B = Dg[µ1, µ2, . . . , µn]. Verifique que

A ·B = Dg[λ1µ1, λ2µ2, . . . , λnµn]

10. Calcule A ·B +A · C

A =

1 −4 8 7−3 2 5 −6−3 9 2 −1

, B =

−2 −4 11 −5−1 2 −5 12−6 11 42 −3

,

C =

1 0 0 44 −4 9 −1

−12 2 −2 −6

.11. Compruebe que el producto de las siguientes matrices es asociativo.

A =

1 0 0 11 2 2 −13 2 3 41 0 0 4

B =

1 0 −5 00 3 0 41 0 −5 01 3 −5 0

C =

2 13 31 11 3

.


12. Resuelva la ecuacion en M2×2(R)

AX = XA,

cuando

A =

[2 00 1

]13. Describa, mediante un sistema de ecuaciones lineales el conjunto

W = {A ∈ M2×2 ∈ R) | AB = BA}

cuando

B =

[2 1−1 3

].

¿Puede dar una descripcion explıcita del conjunto W?

6.4 Matriz transpuesta

A partir de una matriz A podemos construir otra matriz que llamamos lamatriz transpuesta de A y la denotamos con At. Esta matriz se obtienehaciendo que cada renglon de A se convierta en la correspondiente columnade At. Ası cuando A ∈Mm×n(R), At ∈Mn×m(R).

Definicion 6.13: Matriz transpuesta

Sea A ∈ Mm×n(R). La matriz transpuesta de A, denotada At, es lamatriz en Mn×m(R) cuyas entradas estan dadas por

entji(At) = entij(A), j = 1, . . . n, i = 1, . . .m.

Ejemplo 6.25.

I Comencemos por la situacion mas simple, una matriz renglon:

A = [a11, a12, . . . , a1n].

En este caso, At es la matriz columna:

At =

a11a12...a1n

.

6.4. MATRIZ TRANSPUESTA 41

Observemos que Col1(At) = (R1(A))t y R1(A) = (Col1(A

t))t.

En un ejemplo un poco mas complejo, tomemos A ∈M2×3(R)

A =

[a11 a12 a13a21 a22 a23

],

entonces

At =

a11 a21a12 a22a13 a23

.Se tiene que At ∈ M3×2(R). Observamos que sucede lo mismo que en elejemplo anterior es decir

Col1(At) = (R1(A))t R1(A

t) = (Col1(A))t

Col2(At) = (R2(A))t R2(A

t) = (Col2(A))t

R3(At) = (Col3(A))t

Cada renglon de A se convierte en una columna de At, respetando el orden.J

Ejemplo 6.26.

Para las matrices A y B siguientes, encontrar At y Bt.

A =

[1 2 34 5 6

], B =

1 2 3 42 1 0 33 6 7 80 1 0 1

Solucion I

At =

1 42 53 6

, Bt =

1 2 3 02 1 6 13 0 7 04 3 8 1

.J

Observacion 6.6.

Notemos que definimos formalmente transpuesta por medio de sus en-tradas, aun cuando la primera descripcion fue hecha a partir de losrenglones de la matriz. Si A esta particionada por sus renglones, en-tonces At esta particionada por sus columnas, y si A esta particionadapor sus columnas, entonces At esta particionada por sus renglones.


Esto se expresa tambien por la formula

Coli(At) = (Ri(A))t

A =

R1(A). . .

Ri(A). . .

Rm(A)

At =

[(R1(A))t | · · · | (Ri(A))t | · · · | (Rm(A))t

]=

[Col1(A

t) | · · · |Coli(At) | · · · |Colm(At)]

La siguiente proposicion enuncia algunas propiedades sobre la transpuesta.

Proposicion 6.8 (Propiedades de la transpuesta).

Sean A,B ∈Mm×n(R) y α, β ∈ R. Entonces

• (At)t = A;

• (αA)t = α(At);

• (A+B)t = At +Bt;

• (αA+ βB)t = α(At) + β(Bt).

Si A ∈Mm×n(R) y B ∈Mn×p(R), entonces

• (A ·B)t = Bt ·At.

Estas propiedades se ilustraran y algunas se demostraran en los ejemplossiguientes.

Ejemplo 6.27.

Calculemos (At)t, cuando

A =

[1 2 34 5 6

]

Solucion I


Tenıamos que:

At =

1 42 53 6

Si ahora describimos a (At)

t,

(At)t

=

[1 2 34 5 6

]= A

J

Ejemplo 6.28.

Verificar que α(At) = (αA)t cuando A ∈Mm×n(R) y α ∈ R.

Solucion IVeamos que cada una de las entradas de las matrices coinciden, si A ∈

Mm×n(R) tenemos que At ∈ Mn×m(R), y αAt tambien. Como αA ∈Mm×n(R), tenemos que (αA)t ∈Mn×m(R). Ambas son matrices del mismoorden.

Para i = 1, . . . , n y j = 1, . . .m

entij(αAt) = α(entijA

t) = α(entjiA).

entij(αA)t = entji(αA) = α(entjiA).

lo que verifica que cada una de las entradas de las matrices α(At) y (αA)t

son iguales. J

Ejemplo 6.29.

Verificar que si A,B ∈Mm×n(R), entonces (A+B)t = At +Bt.

Solucion ISi A,B ∈Mm×n(R), entonces At, Bt ∈Mn×m(R).

De la definicion, para i = 1, . . . , n y j = 1, . . .m

entij(A+B)t = entji(A+B) = entjiA+entjiB = entijAt+entijB

t = entij(At+Bt).

El siguiente ejemplo ilustra otra propiedad de la tranposicion de matri-ces.

Ejemplo 6.30.


Compruebe para las matrices siguientes que (AB)t = BtAt.

A =

[1 2 34 5 6

], B =

1 31 23 −1

Solucion I

Observe que A es de orden 2×3 y B es de orden 3×2, la matriz AB estadefinida y es de orden 2× 2 por lo que (AB)t tambiıen es de orden 2× 2.

Bt =

[1 1 33 2 −1

], At =

1 42 53 6

,Tenemos que Bt es de orden 2×3 y At es de orden 3×2, la matriz BtAt

esta definida y es de orden 2× 2.

AB =

[1(1) + 2(1) + 3(3) 1(3) + 2(2) + 3(−1)4(1) + 5(1) + 6(3) 4(3) + 5(2) + 6(−1)

]=

=

[1 + 2 + 9 3 + 4− 34 + 5 + 18 12 + 10− 6

]=

[12 426 16

]Por lo que

(AB)t =

[12 264 16

]Por otro lado:

BtAt =

[1(1) + 1(2) + 3(3) 1(4) + 1(5) + 3(6)

3(1) + 2(2) + (−1)(3) 3(4) + 2(5) + (−1)(6)

]=

[1 + 2 + 9 4 + 4 + 183 + 4− 3 12 + 10− 6

]=

[12 264 16

].

J

Ejemplo 6.31.

Verificar que si A ∈Mm×n(R) yB ∈Mn×p(R), entonces (A·B)t = Bt·At.

Solucion IComencemos por el caso mas simple que abrira la puerta al resultado

general. Es decir cuando A ∈ M1×n(R) y B ∈ Mn×1(R). El resultado de


este producto en una matriz cuadrada de orden 1, que podemos identificarcon un numero real.

Tenemos que

A ·B = [ent11(A), . . . , ent1n(A)] ·

ent11(B)...

entn1(B)

= ent11(A)ent11(B) + · · ·+ ent1n(A)entn1(B),

mientras que

Bt ·At = [ent11(B), . . . , entn1(B)] ·

ent11(A)...

ent1n(A)

= ent11(B)ent11(A) + · · ·+ entn1(B)ent1n(A).

Dado que la multiplicacion de numeros reales es conmutativa, obtenemos loque afirmamos.

Abordemos ahora el caso general. Primero vamos a garantizar que las ma-trices tienen el mismo orden. Como A ∈Mm×n(R) y B ∈Mn×p(R) entoncesAt ∈Mn×m(R) y Bt ∈Mp×n(R).

Por lo que A ·B ∈Mm×p(R) de donde, (A ·B)t ∈Mp×m(R).Ademas, (Bt) · (At) ∈Mp×m(R).Las matrices (A ·B)t y (Bt) · (At) tienen el mismo orden.

Veremos que cada una de las entradas de las matrices (A ·B)t y Bt ·Atcoinciden. Para i = 1, . . . , n y j = 1, . . . ,m

entij(A ·B)t = entji(A ·B) = Rj(A) · Coli(B) = (Colj(At))t · (Ri(Bt))t.

Por lo que vimos para matrices en el caso mas simple, observamos queColj(A

t)t ∈M1×n(R) y (Ri(Bt))t ∈Mn×1(R) por lo que

(Colj(At)t · (Ri(Bt))t = Ri(B

t) · Colj(At) = entij(BtAt).

Como cada una de las entradas correspondientes son iguales, hemos ter-minado.

J

Ya con la definicion de matriz transpuesta, veamos:


Relacion entre los espacios Rn, M1×n, y Mn×1

El lector recordara que hasta ahora hemos escrito a los vectores en Rnsin hacer mayor distincion al expresarlos.

Si X ∈ Rn, al escribirlo en forma horizontal, X = [x1, x2, . . . , xn],con esta notacion, formalmente X ∈M1×n(R).

Si X ∈ Rn, al escribirlo forma vertical, X =

x1x2...xn

, con esta

notacion, formalmente X ∈Mn×1(R).

Tenemos que M1×n(R) 6= Mn×1(R).Son conjuntos de matrices diferentes.

Lo que vemos es que existe una correspondencia uno a uno entrelas expresiones:

[x1, x2, . . . , xn]↔

x1x2...xn

.Con el concepto de matriz transpuesta que vimos, tenemos:

[x1, x2, . . . , xn]t =

x1x2...xn

.Ası como:

x1x2...xn

t

= [x1, x2, . . . , xn].


Teniendo siempre cuidado con la notacion, podemos escribir Rn delas dos formas siguientes.

Rn = {[x1, x2, . . . , xn] | xi ∈ R; i = 1, . . . , n}.

Rn =

x1x2...xn

| xi ∈ R; i = 1, . . . , n

.

6.4.1 Ejercicios

1. Sean A y B las matrices siguientes:

A =

2 1 4 23 −5 6 41 1 0 00 1 1 1

, B =

0 1 1 00 1 −5 17 2 1 83 1 1 2

.Calcule y verifique:

(a) (A+B)t = At +Bt.

(b) (AB)t = BtAt.

(c) (αA)t · (βB)t = (αβ)(BA)t, α, β ∈ R.

2. Se dice que una matriz es simetrica, si A = At. Muestre que

(a) si A es simetrica, entonces A es una matriz cuadrada;

(b) toda matriz diagonal es simetrica;

(c) si A y B son matrices cuadradas simetricas y α ∈ R, entoncesA+B y αA son matrices simetricas;

(d) la matriz A =

[3 11 1

]es simetrica;

(e) para A ∈Mm×n(R), tanto A ·At como At ·A son simetricas.

Ademas diga que forma tienen las matrices simetricas de orden 2.

3. Verifique que A es una matriz simetrica cuando

A =

3 1 21 −5 12 1 8

.


4. Verifique que A+At es una matriz simetrica cuando

A =

0 1 34 −1 22 2 0

.5. Se dice que una matriz es antisimetrica, si A = −At.

(a) Construya un ejemplo de matriz antisimetrica de orden 4.

(b) Para A antisimetrica de orden 2, calcule A ·At y At ·A.

6.5 Matrices cuadradas

En esta seccion trabajaremos con matrices cuadradas. Cuando trabajamosen Mn(R) tenemos, ademas de la suma de matrices y la multiplicacion porun escalar de una matriz, que el producto de matrices cuadradas de orden nes una matriz de orden n. En este caso podemos hablar de A ·A, (A ·A) ·Ay podremos interpretar p(A) cuando p(x) es un polinomio.

Definicion 6.14: Potencias de una matriz cuadrada

Sea A = [aij ] ∈ Mn×n(R) una matriz cuadrada. Definimos las poten-cias de A como:A0 = In,A1 = A,A2 = A ·A,A3 = A ·A2

A4 = A ·A3, en general,Si s es un numero natural, se define la s-esima potencia de A como:

As = A ·As−1.

Ejemplo 6.32.

Sea A =

[−2 1

0 −1

], calcular A2 y A3.

Solucion I

A2 = A ·A =

[−2 1

0 −1

]·[−2 1

0 −1

]=

[4 −30 1

].

6.5. MATRICES CUADRADAS 49

A3 = A ·A2 =

[−2 1

0 −1

]·[

4 −30 1

]=

[−8 7

0 −1

].

J

Ejemplo 6.33.

Sea D =

[−2 0

0 −1

], calcular D2 y D3

Solucion I

D2 = D ·D =

[−2 0

0 −1

]·[−2 0

0 −1

]=

[4 00 1

]=

[(−2)2 0

0 (−1)2

].

D3 = D ·D2 =

[−2 0

0 −1

]·[

4 00 1

]=

[−8 0

0 −1

]=

[(−2)3 0

0 (−1)3

].

Ejemplo 6.34.

Sea D =

1 0 00 −3 00 0 2

, calcular D2 y D3

Solucion I

D2 = D·D =

1 0 00 −3 00 0 2

· 1 0 0

0 −3 00 0 2

=

1 00 9 00 0 4

=

(1)2 0 0

0 (−3)2 0

0 0 (2)2

.

D3 = D·D2 =

1 0 00 −3 00 0 2

· (1)2 0 0

0 (−3)2 0

0 0 (2)2

=

(1)3 0 0

0 (−3)3 0

0 0 (2)3

.J

Observacion 6.7.

Si D ∈Mn×n(R) es una matriz diagonal, entonces:

La matriz Ds es la matriz diagonal cuyas entradas son las entradas


de D elevadas a su s-esima potencia.

entii(Ds) = (entiiD)s; i = 1, . . . , n.

En la seccion 6.3.2 vimos una diferencia entre el producto de numeros y elproducto de matrices. El primero es conmutativo y el producto de matricesen general no lo es. A continuacion veremos otra diferencia: la unica solucionen los numeros de la ecuacion xs = 0, s ∈ N, es x = 0. Esto no sucede parael producto de matrices cuadradas, como lo ilustran los ejemplos siguientes.

Ejemplo 6.35.

Para C =

[0 10 0

], calcular C2 y C3.

Solucion I

C2 = C · C =

[0 10 0

]·[

0 10 0

]=

[0 00 0

].

C3 = C · C2 =

[0 10 0

]·[

0 00 0

]=

[0 00 0

].

J

Ejemplo 6.36.

Sea E =

[0 01 0

], calcular E2 y E3.

Solucion I

E2 = E · E =

[0 01 0

]·[

0 01 0

]=

[0 00 0

].

E3 = E · E2 =

[0 01 0

]·[

0 00 0

]=

[0 00 0

].

J

Ejemplo 6.37.

Sea E =

0 1 10 0 10 0 0

, calcular E2 y E3.

Solucion I


E2 = E · E =

0 1 10 0 10 0 0

· 0 1 1

0 0 10 0 0

=

0 0 20 0 00 0 0

.

E3 = E · E2 =

0 1 10 0 10 0 0

· 0 0 2

0 0 00 0 0

=

0 0 00 0 00 0 0

.J

Los tres ultimos ejemplos nos dicen que existen matrices cuadradas A, talesque para algun s ∈ N, As es la matriz nula. Este tipo de matrices ameritanun nombre

Definicion 6.15: Matriz nilpotente

La matriz A ∈Mn(R) se dice matriz nilpotente, si para algunas ∈ N, la matriz As = 0n×n.

6.5.1 Matrices invertibles

En Mn(R) son de especial atencion las matrices A para las cuales la ecuacion

A ·X = X ·A = In.

tiene solucion.Veremos mas adelante la relacion entre esta propiedad y el hecho de que

un sistema de ecuaciones lineales tenga solucion unica.

Definicion 6.16: Matriz invertible

Se dice que A ∈Mn(R) es invertible si para alguna B ∈Mn(R) se tieneque

A ·B = B ·A = In.

Asociada con la definicion anterior tenemos la siguiente:


Definicion 6.17: Matriz inversa

Sean A ∈Mn(R) y B ∈Mn(R) tal que AB = In = BA.

• Se dice que la matriz B es matriz inversa de A.

• Se dice que la matriz A es matriz inversa de B.

Observacion 6.8.

Una matriz solo puede tener una matriz inversa. En efecto, si B y Cson matrices inversas de la matriz A ∈Mn(R), es decir, se tiene que

B ·A = In = A ·B, y C ·A = In = A · C.

Entonces,

B = In ·B = (C ·A) ·B = C · (A ·B) = C · In = C.

Cuando A es invertible denotamos a la matriz inversa de A por A−1,ası se tiene que

A ·A−1 = In = A−1 ·A.Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 6.38.

La matriz identidad In es invertible.

Solucion IRecordemos en ejercicios anteriores se pidio demostrar que si A ∈Mn(R),

entoncesIn ·A = A = A · In.

Por lo tantoIn · In = In = In · In

y se tiene queI−1n = In.

J

Ejemplo 6.39.


Verificar que si A = Dg[λ1, λ2, . . . , λn] con λi 6= 0, i = 1, 2, . . . , n, en-tonces A es invertible.

Ademas, A−1 = Dg[λ−11 , λ−12 , . . . , λ−1n ].

Solucion I Por el ejercicio ?? de la seccion 5.3.5 se tiene que

Dg[λ1, λ2, . . . , λn] ·Dg[λ−11 , λ−12 , . . . , λ−1n ] =

Dg[λ1λ−11 , λ2λ

−12 , . . . , λnλ

−1n ] = Dg[1, 1, . . . , 1] = In.

J

Ejemplo 6.40.

Veamos que la matriz A =

[1 2−1 1

]es invertible.

Solucion I

Deseamos mostrar que existe una matriz B =

[a bc d

], con AB =

BA = I2 :

A ·B =

[a+ 2c b+ 2d−a+ c −b+ d

]=

[1 00 1

]= I2.

Por lo que

a+ 2c = 1 b+ 2d = 0−a+ c = 0 −b+ d = 1

Al resolver ambos sistemas obtenemos que

a = c =1

3, b = −2

3y d = −1

3.

La matriz buscada es B =

1

3−2

3

1

3

1

3

.

A ·B =

[1 2−1 1

]·

1

3−2

3

1

3

1

3

=


1(

1

3) + 2(

1

3) 1(−2

3) + 2(

1

3)

(−1)(1

3) + 1(

1

3) (−1)(−2

3) + 1(

1

3)

=

1

3+

2

3−2

3+

2

3

−1

3+

1

3

2

3+

1

3

=

[1 00 1

]= I2.

En forma analoga se comprueba que B ·A = I2.

J

Proposicion 6.9.

Sean A,B ∈Mn(R) matrices invertibles, entonces la matriz AB esinvertible y

(AB)−1 = B−1A−1.

Veremos que (A · B) · (B−1A−1) = In, como la inversa de una matrizinvertible es unica, se tendra que (AB)−1 = B−1A−1. Ya que el productode matrices es asociativo, tenemos

(A ·B) · (B−1A−1) = A · (B ·B−1) ·A−1 = A · In ·A−1 = A ·A−1 = In.

Proposicion 6.10.

Si A ∈ Mn(R) es una matriz invertible, la matriz At es invertible,

ademas (At)−1

= (A−1)t.

Veremos que At · (A−1)t = In. Como sabemos que la matriz inversa esunica, tendremos que (At)−1 = (A−1)t.

De las propiedades de la transpuesta de un producto de matrices y quela matriz identidad es igual a su transpuesta, tenemos que

At(A−1)t = (A−1A)t = (In)t = In.


Ejemplo 6.41.

En el ejemplo 6.40 determinamos para una matriz A, su matriz inversaA−1. Determinemos la matriz inversa de la transpuesta de A.

Solucion I Del ejemplo 6.40

A =

[1 2−1 1

], A−1 =

1

3−2

3

1

3

1

3

De esta manera

At =

[1 −12 1

], (A−1)t =

1

3

1

3

−2

3

1

3

Efectuando el producto At · (A−1)t se comprueba que At · (A−1)t = I2.

J

6.5.2 Matriz inversa por Gauss Jordan

En esta seccion utilizaremos los algoritmos desarrollados en el Capıtulo 4para encontrar, de existir, la inversa de una matriz cuadrada. El mismoalgoritmo nos permitira decidir cuando la matriz es invertible.

Como notamos anteriormente, encontrar la inversa de A ∈ Mn(R) esequivalente a resolver la ecuacion en Mn(R)

A ·X = In,

donde X = [xij ] ∈Mn(R).Esta igualdad nos da la igualdad entre las columnas de la matriz A ·X

con las columnas de la matriz In. Por lo que, Expresemos esta ecuacion enterminos de columnas.

Coli(A ·X) = Coli(In)A · Coli(X) = Coli(In).

Denotamos con Bi a Coli(In), Bi es la matriz de Mn×1(R) cuyas entradasson

entj1(Bi) = 0 j 6= ienti1(Bi) = 1 j 6= i


La igualdad entre las n columnas nos dan n sistemas de ecuaciones linealespara los cuales la matriz A es la matriz asociada a cada uno de ellos.

Recordemos que el metodo de Gauss Jordan para resolver, en su caso,sistemas de ecuaciones lineales, consiste en aplicar operaciones elementalessucesivas a la matriz aumentada del sistema hasta que la matriz del sistemaequivalente que se obtiene sea una matriz reducida por filas.

Veremos que una matriz cuadrada de orden n sera invertible si mediantellevarla a una forma escalonada reducida por filas o renglones, es equivalentea la matriz identidad In, de orden n.

Ademas, en este proceso se obtendra, en forma simultanea, que la matrizidentidad es equivalente por filas o renglones a la matriz inversa A−1 y porende, se tendra que para una matriz cuadrada invertible A, las tres matricesA, In y A−1 son equivalentes por filas.

Primero veremos el proceso que se realiza para encontrar, dada unamatriz A, su matriz inversa A−1 cuando esta existe.

Trabajemos en un ejemplo.

Ejemplo 6.42.

Encontrar la inversa de la matriz A =

1 0 20 1 31 −2 0

.Solucion I Queremos encontrar la matriz X tal que A · X = I3. Estoequivale a resolver los tres sistemas

A · Col1(X) =

100

A · Col2(X) =

010

A · Col3(X) =

001

Esto lo podemos hacer simultaneamente, puesto que, como los sistemas

tienen la misma matriz asociada, a saber la matriz A, las operaciones ele-mentales que debemos hacer para resolverlos son las mismas.

Construyamos una matriz aumentada en donde se encuentren los tressistemas a resolver.

[A | I3] =

1 0 2 1 0 00 1 3 0 1 01 −2 0 0 0 1

La matriz A tiene ya un pivote en la posicion a11 = 1 correspondiente al

primer renglon y la primera columna. Se procede como siempre aplicando


las operaciones elementales en la primera columna para obtener ceros abajodel pivote en ella.

[A | I3]−−−−−−−−−−→R3 → R3 −R1

1 0 2 1 0 00 1 3 0 1 00 −2 −2 −1 0 1

Se continua el proceso de escalonamiento en las dos matrices obtenidas.

Produciremos un cero en el tercer renglon debajo del pivote en la segundacolumna de la matriz de la izquierda:

−−−−−−−−−−→R3 → R3 + 2R2

1 0 2 1 0 00 1 3 0 1 00 0 4 −1 2 1

Se observa que la primera y segunda columnas de la matriz del lado

izquierdo ya estan escalonadas y reducidas. El siguiente paso sera obtenerel pivote en la tercera fila y la tercera columna y proceder utilizando elpivote producido igual a 1 en el tercer renglon, para obtener ceros arriba deel:

−−−−−−−−→R3 → 1

4R3

1 0 2 1 0 00 1 3 0 1 00 0 1 −1

412

14

−−−−−−−−−−→R2 → R2 − 3R3

1 0 2 1 0 00 1 0 3

4 −12 −3

40 0 1 −1

412

14

−−−−−−−−−−→R1 → R1 − 2R3

1 0 0 32 −1 −1

20 1 0 3

4 −12 −3

40 0 1 −1

412

14

= [I3 | B]

Observemos que ya A es equivalente a la matriz escalonada reducida porfilas I3, y al mismo tiempo la matriz I3 es equivalente por filas a la matrizque hemos llamado B.

La matriz B cumple que B = A−1, la matriz inversa de A, lo que com-probamos al calcular su producto:


AB =

1 0 20 1 31 −2 0

· 3

2 −1 −12

34 −1

2 −34

−14

12

14

=

1 · 32 + 0 · 34 + 2 · −1

4 1 · −1 + 0 · −12 + 2 · 12 1 · −1

2 + 0 · −34 + 2 · 14

0 · 32 + 1 · 34 + 3 · −14 0 · −1 + 1 · −1

2 + 3 · 12 0 · −12 + 1 · −3

4 + 3 · 14

1 · 32 − 2 · 34 + 0 · −14 1 · −1− 2 · −1

2 + 0 · 12 1 · −12 − 2 · −3

4 + 0 · 14

=

1 0 00 1 00 0 1

= I3.

En forma analoga tenemos que B ·A = I3, ası B = A−1. J

Recapitulemos, dada A ∈ Mn(R), para encontrar su inversa, si estaexiste, colocamos a la matriz In a la derecha de la matriz A en la forma[A | In], procedemos llevando a A a una forma escalonada reducida por filasaplicando exactamente las mismas operaciones elementales en cada paso ala matriz In, para llegar si es posible, a lo que escribimos como

[In | A−1

].

Observacion 6.9.

Observe que en el metodo descrito las operaciones elementales que ha-cen a la matriz A equivalente por filas a la matriz I3 son las mismasque hacen a I3 equivalente por filas a la matriz A−1.

Proposicion 6.11.

• Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y solamente si esequivalente por filas a la matriz identidad de orden n.

• Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y solamente si alescalonarla tiene n pivotes.

• Una matriz cuadrada de orden n es invertible si y solamente si alescalonarla, la matriz escalonada que se obtiene tiene rango iguala n.

Observemos que, si al aplicar este algoritmo, no es posible establecer laequivalencia por filas entre la matriz A y la matriz In, entonces podremosconcluir que A no tiene inversa.


6.5.3 Operaciones y matrices elementales

Ya se sabe que las operaciones elementales que se realizan en los renglonesde una matriz A ∈Mn×m(R) son de tres tipos:

• Intercambiar el renglon i por el renglon j: Ri ↔ Rj (tipo 1).

• Multiplicar el i−esimo renglon por un escalar s 6= 0; sRi (tipo 2).

• Sustituir el renglon j−esimo por la suma del renglon Rj mas s vecesel renglon Ri; Rj + sRi (tipo 3).

A cada una de estas operaciones asociamos una matriz, lo que nos per-mitira ver las operaciones elementales como producto de ciertas matrices.

Definicion 6.18: Matriz elemental

Una matriz elemental es aquella que se obtiene de aplicar a la matrizidentidad In una operacion elemental a cualquiera de sus renglones.

Si la operacion elemental que se hace a In es del tipo i para i =1, 2, 3, llamamos a la matriz elemental obtenida matriz elemental deltipo i.

Ejemplo 6.43.

Sea I = I3 la matriz identidad de orden 3.

I =

1 0 00 1 00 0 1

Encontremos algunas matrices elementales de tamano 3× 3:

• A la matriz I se le aplica la operacion elemental del tipo 1: intercam-biar el tercer rengon por el primero: R1 ↔ R3. A la matriz elementalobtenida la llamamos E1 y es del tipo 1.

I =

1 0 00 1 00 0 1

−−−−−−−−−−→R1 ↔ R3

0 0 10 1 01 0 0

= E1


• A la matriz I se le aplica la operacion elemental del tipo 2: multi-plicar por 1

2 el primer renglon, 12R1, a la matriz elemental obtenida la

llamamos E2 y es del tipo 2.

I =

1 0 00 1 00 0 1

−−−−−−−→R1 → 1

2R1

12 0 00 1 00 0 1

= E2

• A la matriz I se le aplica la operacion elemental del tipo 3: remplazarel primer renglon por su suma mas −2 veces el tercer renglon, R1 →R1− 2R3, a la matriz elemental obtenida la llamamos E3 y es del tipo3.

I =

1 0 00 1 00 0 1

−−−−−−−→−2R3 +R1

0 0 −20 1 00 0 1

= E3

Para las matrices elementales E1, E2 y E3 obtenidas en el ejemplo an-terior, veamos que cambio producimos en una matriz A ∈M3×n(R) cuandorealizamos los productos E1 ·A, E2 ·A y E3 ·A.

Ejemplo 6.44.

Solucion I Sea A ∈M3×5(R),dada por

A =

2 −1 4 0 10 1 −1 4 11 2 3 4 5

1. A la matriz A se le aplica la operacion elemental del tipo 1: intercam-biar el tercer rengon por el primero: R1 ↔ R3

A =

2 −1 4 0 10 1 −1 4 11 2 3 4 5

−−−−−−−→R1 ↔ R3

1 2 3 4 50 1 −1 4 12 −1 4 0 1


Ahora calculemos E1 ·A :

E1·A =

0 0 10 1 01 0 0

· 2 −1 4 0 1

0 1 −1 4 11 2 3 4 5

=

1 2 3 4 50 1 −1 4 12 −1 4 0 1

.E1 es el resultado de aplicar la operacion elemental del tipo 1: inter-cambiar el tercer rengon por el primero: R1 ↔ R3 a la matriz I3.

El resultado de E1A es intercambiar el tercer rengon de A por elprimero: R1 ↔ R3.

2. A la matriz A se le aplica la operacion elemental del tipo 2: multiplicarpor 1

2 el primer renglon, 12R1

A =

2 −1 4 0 10 1 −1 4 11 2 3 4 5

−−−−−−−→R1 → 1

2R1

1 −12 2 0 5

20 1 −1 4 11 2 3 4 5

E2·A =

12 0 00 1 00 0 1

· 2 −1 4 0 1

0 1 −1 4 11 2 3 4 5

=

1 −12 2 0 5

20 1 −1 4 11 2 3 4 5

.E2 es el resultado de aplicar la operacion elemental del tipo 2: multi-plicar por 1

2 el primer renglon de I3.

El resultado de E2A es multiplicar por 12 el primer renglon de A.

3. A la matriz A se le aplica la operacion elemental del tipo 3: remplazarel primer renglon por −2 veces el tercer renglon. −2R3 +R1

A =

2 −1 4 0 10 1 −1 4 11 2 3 4 5

−−−−−−−→R1 → R1 − 2R3

0 −5 −2 −8 −90 1 −1 4 11 2 3 4 5

E3·A =

1 0 −20 1 00 0 1

· 2 −1 4 0 1

0 1 −1 4 11 2 3 4 5

=

0 −5 −2 −8 −90 1 −1 4 11 2 3 4 5

.


E3 es el resultado de aplicar la operacion elemental del tipo 3: rem-plazar el primer renglon de I por la suma del primero mas −2 vecesel tercer renglon, R1 − 2R3 a I3.

El resultado de E3A es remplazar el primer renglon de A por la sumadel primero mas −2 veces el tercer renglon, R1 − 2R3.

JObservacion 6.10.

Hacer una operacion elemental a una matriz A ∈Mn×m(R), es lo mismoque multiplicarla por la izquierda por la matriz elemental de tamanon× n obtenida al aplicarle a In la misma operacion elemental.

Como las operaciones elementales son reversibles, es decir, tienen suoperacion elemental inversa, veremos que las matrices elementales son in-vertibles. Comencemos con algunos ejemplos.

Ejemplo 6.45.

Solucion I

1. Sea E1 la matriz elemental resultado de aplicar la operacion elementaldel tipo 1 a I3: intercambiar el tercer rengon por el primero: R1 ↔ R3

a la matriz I3.

E1 =

0 0 10 1 01 0 0

Calculemos E1E1.

E1E1 =

0 0 10 1 01 0 0

0 0 10 1 01 0 0

=

1 0 00 1 00 0 1

= I3

Concluimos que E1 es invertible y la matriz E−11 es ella misma.

2. Sea E2 el resultado de aplicar la operacion elemental del tipo 2 a I3:multiplicar por α 6= 0 el segundo renglon de I3.

E2 =

1 0 00 α 00 0 1


Consideremos la matriz elemental:

B =

1 0 00 1

α 00 0 1

Calculemos E2B.

E2B =

1 0 00 α 00 0 1

1 0 00 1

α 00 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

= I3

Concluimos que E2 es invertible y B = E−12 es la matriz elemental delmismo tipo. Obtenemos E−12 al multiplicar el segundo rengon de I3,por el recıproco de α 6= 0, a saber, el numero 1

α .

3. Sea E3 el resultado de aplicar la operacion elemental del tipo 3 a I3:remplazar el primer renglon de I por la suma del primero mas −2veces el tercer renglon, R1 − 2R3 a I.

E3 =

1 0 −20 1 00 0 1

Consideremos la matriz elemental:

C =

1 0 20 1 00 0 1

Calculemos E3C.

E3C =

1 0 −20 1 00 0 1

1 0 20 1 00 0 1

=

1 0 00 1 00 0 1

= I3

Concluimos que E3 es invertible y C = E−13 es la matriz elemental delmismo tipo. La obtenemos al remplazar el primer rengon de I3 por lasuma del primero mas 2 veces el tercer renglon, R1 + 2R3.

J

Generalizamos estos ejemplos para establecer la siguiente:


Proposicion 6.12.

Para cualquier numero natural n, las matrices elementales de ordenn, son invertibles.

1. Si E1 es la matriz elemental que se produce al intercambiar el renglonRi con el renglon Rj en In, Ri ←→ Rj entonces E1 es invertible ysu matriz inversa es ella misma. E1 = (E1)

−1.

2. Si E2 es la matriz elemental que se produce al reemplazar el renglonRj por el renglon resultado de multiplicarlo por el numero α 6= 0,Rj → αRj , entonces E2 es invertible y su matriz inversa es la ma-

triz elemental obtenida por reemplazar el renglon Rj por el renglon

resultado de multiplicarlo por el numero 1α 6= 0, Rj →

1

αRj .

La matriz (E2)−1 queda determinada al aplicarle a In la operacion

elemental Rj →1

αRj , es decir, se multiplica el j-esimo renglon de

In por1

α, el recıproco de α.

3. Si E3 es la matriz elemental que se produce al reemplazar el renglon Rjpor la suma de el y α veces el renglon Ri, Rj → Rj + αRi , entoncesE3 es invertible y su matriz inversa es la matriz elemental obtenidapor reemplazar el renglon Rj por la suma de el y −α veces el renglonRi, Rj → Rj − αRiLa matriz (E3)

−1 queda determinada al aplicarle a In la operacionelemental Rj → Rj − αRi .

Posteriormente, identificaremos las operaciones elementales realizadasen A para escalonarla con multiplicar por la izquierda a A por las matriceselementales correspondientes que fueron utilizadas, de manera de esclarecerlo que sucede en el proceso cuando la matriz A es invertible.

6.5.4 Matriz inversa como producto de elementales

Tengamos en cuenta que aplicar una operacion elemental a una matriz eslo mismo que multiplicarla por la izquierda por la matriz elemental que lecorresponde. Lo que haremos es mostrar mediante un ejemplo como una


matriz invertible A y su inversa A−1 se descomponen como producto dematrices elementales. El metodo de Gauss Jordan para encontrar la matrizinversa de una matriz invertible nos dice como hacerlo.

En el ejemplo 6.42 consideramos la matriz A =

1 0 20 1 31 −2 0

.Vimos que

A−1 =

32 −1 −1

2

34 −1

2 −34

−14

12

14

.Para encontrar A−1 aplicamos cinco operaciones elementales para llevar

a [A | I3] a la forma [I3 | A−1], las operaciones elementales realizadas en elorden en las que las hicimos fueron

R3 → R3 −R1

R3 → R3 + 2R2

R3 → 14R3

R2 → R2 − 3R3

R1 → R1 − 2R3

Representemos a cada una de las operaciones elementales por las matri-ces elementales Ei para i = 1, . . . , 5 que aparecen a continuacion:

I3−−−−−−−−−−→R3 → R3 −R1

1 0 00 1 0−1 0 1

= E1

I3−−−−−−−−−−→R3 → R3 + 2R2

1 0 00 1 00 2 1

= E2

I3−−−−−−−−−→R3 → 1

4R3

1 0 00 1 00 0 1

4

= E3

I3−−−−−−−−−−→R2 → R2 − 3R3

1 0 00 1 −30 0 1

= E4


I3−−−−−−−−−−→R1 → R1 − 2R3

1 0 −20 1 00 0 1

= E5

Lo que hicimos en el metodo de Gauss-Jordan fue multiplicar en cadapaso por las matrices elementales correspondientes

[A | I3]−−−−→E1

[E1A|E1I3 = E1

][E1A|E1I3 = E1

] −−−−→E2

[E2E1A|E2E1

][E2E1A|E2E1

] −−−−→E3

[E3E2E1A|E3E2E1

]

[E3E2E1A|E3E2E1

] −−−−→E4

[E4E3E2E1A|E4E3E2E1

]

[E4E3E2E1A|E4E3E2E1

] −−−−→E5

[E5E4E3E2E1A|E5E4E3E2E1

]= [I3 | E5E4E3E2E1]

Es decir, para pasar

[A | I3]→→→→→ [I3 | A−1]

multiplicamos por la izquierda por cinco matrices elementales obteniendo

E5E4E3E2E1A = I3.

Como las matrices elementales son invertibles, multiplicamos por la izquierdala igualdad anterior, primero por E5

−1, luego por E4−1, ..., por ultimo por

E1−1, obtenemos,

A = E1−1E2

−1E3−1E4

−1E5−1.


Hemos expresado A como producto de matrices elementales.

Llamemos B = E5E4E3E2E1. Como el producto de matrices es asocia-tivo, podemos ver facilmente que

B ·A = I3, A ·B = I3.

Dado que la inversa de una matriz es unica, B = A−1 y

A−1 = E5E4E3E2E1.

Hemos expresado A−1 como producto de matrices elementales.

Generalizamos lo anterior.

Proposicion 6.13.

Sea A ∈Mn(R) invertible. Sabemos que podemos llevar a la matriz [A |In] a la forma [In | A−1] por el metodo de Gauss-Jordan. Supongamosque este proceso se realiza multiplicando a la izquierda por k matriceselementales E1, . . . Ek−1, Ek. Es decir,

[A | In]→ [E1 ·A | E1 · In] = [E1 ·A | E1]→→ · · ·→ [Ek · Ek−1 · · ·E1 ·A | EkEk−1 · · ·E1] = [In | EkEk−1 · · ·E1]

= [In | A−1].

Se tiene queA−1 = EkEk−1 · · ·E2E1

A = E−11 E−12 · · ·E−1k−1E

−1k .

Observacion 6.11.

Para expresar a la matriz A−1 o a la matriz A como producto de ma-trices elementales, el lector debe tener cuidado del orden en el que lasmultiplica ya que la multiplicacion de matrices no es conmutativa.

Ejemplo 6.46.

Veamos que sucede con el metodo de Gauss-Jordan cuando se aplica auna matriz que no es invertible.


Sea A =

[4 −8−3 6

].

[A|I2] =

[4 −8 1 0−3 6 0 1

]−−−−−−−→R2 + 3

4R1

[4 −8 1 00 0 3

4 1

]= [B|C] .

La matriz B tiene un solo pivote y una fila nula y, por consiguiente,ninguna operacion elemental que hagamos a B la hace equivalente a I2.

Veamos que significa haber obtenido el renglon nulo al escalonar. Lo queobtuvimos es

R2(A) +3

4R1(A) =

[−3 6

]+

3

4

[4 −8

]=

[0 0

]. (6.2)

De R2(A) + 34R1(A) =

[0 0

]obtenemos R2(A) = −3

4R1(A). Es decir,el segundo renglon de la matriz A es multiplo escalar del primer renglon deA.

En general, si A ∈ Mn(R) no es invertible, al escalonar se producenrenglones nulos y, como vimos en 6.2, esto significa que el vector nulo seexpresa como combinacion lineal de los vectores renglon de A.

6.5.5 Ejercicios

1. CalculeA2, A·B yB·A paraA =

1 0 0 11 2 2 −13 2 3 41 0 0 4

yB =

1 0 −5 00 3 0 41 0 −5 01 3 −5 0

.2. CalculeA·D paraA la matriz del ejercicio anterior yD = Dg[−1,−2,−3, 0].

3. Calcule A123 cuando

A =

[0 −11 0

].

4. Muestre que

A2 − 5A+ 7I2 = 02×2.

cuando

A =

[2 1−1 3

].


5. Calcule A2 − 2A, A2 − 4A+ 5I2 y (I2 +A)(I2 −A) cuando

A =

[1 −12 3

]

6. Calcule A ·B y B ·A para A =

1 0 00 2 00 0 3

y B = [bij ] ∈M3×4(R)

7. Suponga que A y B son matrices cuadradas de orden n con B inverti-ble. Calcule, usando las propiedades del producto de matrices

(BAB−1)2

8. Calcule B−1AB cuando A y B estan dadas por

A =

2 1 12 3 21 1 2

B =

1 −1 −12 1 01 0 1

9. Determine si cada una de las siguientes matrices son invertibles y si es

el caso, encuentre su inversa.

(a) 4 2 −1 00 4 −1 20 1 4 20 0 −2 4

(b)

1 2 3 40 3 −1 10 1 4 21 −1 0 1

(c) 1 2 3

0 3 −11 5 2


10. Determine para cuales valores de k la siguiente matriz es invertible 1 0 10 k −13 2 2

.

11. Dadas las matrices A =

2 −1 0−1 2 −1

0 −1 2

y B =

1 1 01 −1 −11 −1 0

¿Son A y B matrices invertibles? En su caso, determine la inversa de(AB)t.

12. Exprese a la matriz A y a la matriz A−1 como producto de matriceselementales para cada una de las matrices siguientes:

(a) A =

1 3 31 3 41 4 3

(b) A =

2 4 3 23 6 5 22 5 2 −34 5 14 14

13. Calcule mediante el metodo de Gauss-Jordan la inversa de cada una

de las matrices siguientes:

(a) A =

1 3 31 3 41 4 3

(b) A =

2 4 3 23 6 5 22 5 2 −34 5 14 14

14. Encuentre las matrices elementales que resultan de aplicar cada una

de las operaciones elementales a la matriz identidad I5.

(a) R4 ←→ R2.

(b) R3 −→ −2

5R3.

(c) R5 −→ R5 +4

3R3.

6.6. LOS SISTEMAS Y LAS OPERACIONES DE MATRICES 71

15. Para la matriz A siguiente

A =

1 2 36 5 48 7 9

.Encuentre en cada caso, la matriz elemental E que lleva a A a la matrizB. Compruebe su resultado haciendo el producto EA.

(a)

B =

1 2 34 1 −28 7 9

.(b)

B =

6 5 48 7 91 2 3

.(c)

B =

1 2 36 5 4−16 −14 −18

.16. Suponga que ad− bc 6= 0 y calcule la inversa de la matriz[

a bc d

]17. De ser posible, encuentre la inversa de la matriz 1 a b

0 1 c0 0 1

6.6 Los sistemas y las operaciones de matrices

Ver a un sistema de ecuaciones lineales utilizando la operacionproducto

En la seccion 5.2.1 vimos que un sistema de ecuaciones lineales se expresacomo una ecuacion que involucra un producto de matrices.


En efecto, dado el sistema

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1...

......

...am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

siendo A = [aij ]; i = 1, · · · ,m, j = 1, · · ·n, la matriz asociada del sistema,X = [xj ] la matriz columna de las incognitas y b = [bi], la matriz columnade los terminos independentes, entoces el sistema es AX = b.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas se representacomo AX = b, donde A ∈Mm×n(R), es la matriz asociada del sistema,X ∈Mn×1(R) es la matriz determinada por las incognitas del sistema yb ∈Mn×1(R) es la matriz determinada por los terminos independientesdel sistema.

Resolver el sistema AX = b, significa dar X en terminos de A y de b.

Conjunto solucion si la matriz asociada es invertible o no

1. Veamos el caso cuando m = n, es decir A es una matriz cuadrada y Aes invertible.

DeAX = b,multiplicando porA−1 a la izquierda obtenemosA−1AX =A−1b, por lo que el sistema tiene unica solucion, que es, X = A−1b.

Supongamos ahora que el sistemaAX = b tiene solucion unica. Recorde-mos que esto significa que A es equivalente por filas a In. De donde,A es invertible.

Teorema 6.1.

(a) Un sistema de n ecuaciones lineales con n incognitas repre-sentado por AX = b tiene solucion unica si y solamente si,la matriz asociada al sistema A es invertible.

(b) Una matriz A ∈ Mn(R) es invertible si y solamente si laecuacion AX = 0 tiene como unica solucion X = 0.


2. Estudiemos el caso general.

Utilizando el metodo de Gauss Jordan, interpretando cada operacionelemental como multiplicar a la izquierda por una matriz elemental,encontramos que hay una matriz invertible B, tal que que BA es unamatriz reducida por filas. (La matriz B es el producto de todas lasmatrices elementales necesarias para reducir a A por filas, como lovimos en la seccion 5.5.3).

Si el sistema es consistente la solucion b debe satisfacer, como en elejemplo 4.33, lo que se llamo las condiciones de consistencia.

Veamos el sistema cuya matriz es la del ejemlo 6.46 en donde la matrizno es invertible.

4x1 −8x2 = b1−3x1 +6x2 = b2

.

La matriz B al la que nos hemos referido antes es

B =

1

40

3

41

,y tenemos que

BA =

[1 −20 0

].

Por lo que

BAX = B · b,

que equivale a

x1 − 2x2 =1

4b1

0 =3

4b1 + b2

La condicion de consitencia en este caso es: 0 =3

4b1 + b2.


Notese que no se puede despejar X en terminos de A y de b, auncuando la condicion de consistencia se satisfaciera. Y en un caso comoeste hay infinidad de soluciones.

Conjunto solucion del sistema homogeneo

Recordemos que en el capıtulo 4, al resolver un sistema homogeneo AX = 0el conjunto solucion satisface las propiedades establecidas en la seccion 4.6.1.Estas propiedades las podemos ver tambien en terminos de las operacionesde matrices.

Si X1 y X2 son dos soluciones y λ ∈ R, entonces X1 +X2 y λX1 tambienlo son:

A(X1 +X2) = AX1 +AX2 = 0 + 0 = 0.

A(λX1) = λ(AX1) = λ · 0 = 0.

Recuerde que 0 siempre es solucion del sistema AX = 0, es decir,A · 0 = 0.

Mas adelante llamaremos al conjunto solucion del sistema homogeneoEspacio Nulo de la matriz A.

Cuando una matriz columna es combinacion lineal de otras matri-ces columna

Veamos un ejemplo.

Para las siguientes matrices en Mm×1(R) siguientes:

b =

b1b2...bm

,a11a21...

am1

,a12a22...

am2

, . . . ,a1na2n

...amn

preguntemonos cuando la matriz b es combinacion de las n matrices dadas,es decir, cuando se cumple que

x1

a11a21...

am1

+ x2

a12a22...

am2

+ · · ·+ xn

a1na2n

...amn

=

b1b2...bm

(6.3)


utilizando las operaciones multiplicar una matriz por un escalar y la sumade matrices, obtenemos,

x1a11 + x2a12 + · · ·+ xna1nx1a21 + x2a22 + · · ·+ xna2n

...x1am1 + x2am2 + · · ·+ xnamn

=

b1b2...bm

.Si A es la matriz cuyas columnas son:

Col1(A) =

a11a21...

am1

, Col2(A) =

a12a22...

am2

, . . . , Coln(A) =

a1na2n

...amn

y si X =

x1x2...xn

la combinacion lineal 6.3 es el sistema de ecuaciones lineales AX = b expre-sado como

x1 · Col1(A) + x2 · Col2(A) + · · ·+ xnColn(A) = b.

Un sistema de m ecuaciones lineales con n incognitas escrito en laforma anterior, nos pregunta si el vector b se puede expresar comocombinacion lineal de los vectores columnas de la matriz A, donde Aes la matriz asociada al sistema.

Cuando el sistema es consistente, hay solucion.

Esto nos dice que b es combinacion lineal de las matrices columnade A.

Dada una matriz A ∈Mm×n(R), el conjunto

{b ∈Mm×1(R) | b = x1Col1(A) + · · ·+ xnColn(A);x1, . . . xn ∈ R},

recibe un nombre: se llama Rango de A o Imagen de A o EspacioColumna A y se denota R(A).


Los elementos de R(A) son las matrices columna para las cuales elsistema AX = b es consistente.

Si vemos a las matrices en R(A) como vectores en Rm, R(A) es el espaciogenerado por los vectores (matrices columna) de la matriz A.

En R(A) tenemos las mismas operaciones lineales que se tienen en Mm×1(R)y estas satisfacen las propiedades siguientes:

• Si b1 y b2 ∈ R(A), entonces b1 + b2 ∈ R(A).

En efecto, cuando b1 y b2 ∈ R(A), los sistemas AX = b1 y AX = b2 sonconsistentes y existen X1 y X2 ∈Mn×1(R) tales que AX1 = b1 y AX2 = b2,por lo que, A(X1 +X2) = AX1 + AX2 = b1 + b2. El sistema AX = b1 + b2es consistente.

• Si λ ∈ R y b1 ∈ R(A), entonces λb1 ∈ R(A).

El argumento es analogo al anterior, si b1 ∈ R(A), el sistema AX = b1 esconsistente, existe X1 ∈ Mn×1(R) tal que AX1 = b1, por lo que, A(λX1) =λ(AX1) = λb1. El sistema AX = λb1 es consistente.

• La matriz columna 0m×1 ∈ R(A).

El sistema AX = 0 siempre es consistente y 0n×1 es solucion del sistemapues A · 0n×1 = 0m×1.

Las propiedades que satisfacen las operaciones lineales que definimos en losesapcios Mm×n vimos que tambien se cumplen para el espacio nulo de unamatriz y su espacio columna. Recuerde que estas mismas propiedades sonsatisfechas para las operaciones de los vectores en el plano y en el espacio.

6.6.1 Ejercicios

1. Para el sistema siguiente

x1 − x3 = 02x2 − 2x3 − x4 = 0

4x1 −2x4 = 0

(a) Encuentre A, X y b, tal que este en la forma AX = b.

(b) Descrıbalo como combinacion lineal de las columnas de su matrizasociada.


2. Para la matriz

A =

2 0 4 2 20 −5 6 4 31 1 1 0 00 1 4 1 1

.Describa a la matriz columna 0 como una combinacion lineal de lascolumnas A.

3. Para la matriz A del ejercicio anterior, resuleva el sistema homogeneocuya matriz asociada es A. Compare el resultado con el obtenido enel ejercicio anterior.

4. Para el sistema de ecuaciones

3x1 + 5x2 + 2x3 = 14x1 + 7x2 + 5x3 = 1x1 + x2 − 4x3 = 12x1 + 9x2 + 6x3 = 1

Sea A la matriz del sistema.

(a) Encuentre los valores de x1, x2 y x3 que permiten escribir al vector[1, 1, 1, 1]t como combinacion lineal de las columnas de A.

(b) ¿Cual es el conjunto solucion del sistema AX = 0?

5. Resuelva la ecuacion vectorial

0 = x1[4,−5, 2, 6] + x2[2,−2, 1, 3] + x3[6,−3, 3, 9] + x4[4,−1, 5, 6].

Muestre que puede expresar el vector [6,−3, 3, 9] en terminos de losotros tres. ¿Es esta expresion unica?

6. Encuentre la solucion del sistema siguiente utilizando la inversa de lamatriz asociada al sistema.

x1 + 3x2 + 3x3 = 1x1 + 3x2 + 4x3 = 1x1 + 4x2 + 3x3 = 1


7. Halle la inversa de

A =

1 0 −1 10 1 0 −13 0 0 10 0 1 1

Muestre directamente que AA−1 = A−1A = I4. Use A−1 para resolverlos sistemas de ecuaciones

x1 − x3 + x4 = 1x2 − x4 = 0

3x1 + x4 = −1x3 + x4 = 1

yx1 − x3 + x4 = b1

x2 − x4 = b23x1 + x4 = b3

x3 + x4 = b4

6.7 Determinantes

Recordemos que en el capıtulo 2, vimos que dos vectores−−→OP = [p1, p2] y

−−→OQ = [q1, q2] son colineales si y solamente si

p1q2 − p2q1 = 0.

La expresion p1q2 − p2q1, que aparece en el calculo del seno del anguloformado por los dos vectores, la denotamos∣∣∣∣ p1 p2

p1 q2

∣∣∣∣De manera analoga en el capıtulo 3, definimos el triple producto escalar

de los vectores−−→OP = [p1, p2, p3],

−−→OQ = [q1, q2, q3] y

−−→OR = [r1, r2, r3], cuya

expresion es

−−→OR ·

(−−→OP ×

−−→OQ)

= r1

∣∣∣∣ p2 p3q2 q3

∣∣∣∣− r2 ∣∣∣∣ p1 p3q1 q3

∣∣∣∣+ r3

∣∣∣∣ p1 p2p1 q2

∣∣∣∣Cuando el triple producto escalar es nulo, sabemos que el vector

−−→OR esta

en el plano generado por los vectores−−→OP y

−−→OQ.

Las expresiones anteriores y sus generalizaciones son las que estudiaremosen esta seccion.

6.7. DETERMINANTES 79

6.7.1 Definicion de Determinante

El Determinante de una matriz cuadrada A ∈ Mn(R) es un nunero queva a determinar cuando A es invertible y, en consecuencia, determinacuando el sistema de ecuaciones lineales AX = b es consistente para todab ∈Mn×1(R) y su solucion es unica.

Definiremos en primera instancia el determinante de una matriz cuadradaA mediante sus propiedades. Se denota por det (A) al determinante de A.Las siguientes propiedades lo caracterizan.

PROPIEDADES DEL DETERMINANTE

1. Sea A ∈Mn(R). Si B es la matriz que se obtiene de A intercam-biando dos filas de sus filas, entonces

det(B) = −det(A);

2. Sea A ∈ Mn(R). Si B es la matriz que se obtiene de A multipli-cando una de sus filas por un numero c, entonces

det(B) = cdet(A);

3. Si R1, . . . , Ri, R′i . . . , Rn ∈M1×n(R), entonces

det

R1...

Ri +R′i...

Rn

= det

R1...

Ri...

Rn

+ det

R1...

R′i...

Rn

4. det(In) = 1.

Observacion 6.12.

Es importante hacer notar que en la propiedad 3 de ninguna manera


se esta diciendo que el determinante de una suma de matrices es lasuma de los determinantes.

Mas adelante mostraremos que estas propiedades dan una manera de cal-cular un determinante de una matriz. Por ahora, veamos algunas de lasconsecuencias de estas propiedades.

Proposicion 6.14.

• Si la matriz A tiene un renglon nulo, su determinante es nulo.

• Si la matriz A tiene dos renglones iguales, su determinate es nulo.

En efecto, si el i-esimo renglon de A es nulos, esdecir, Ri(A) = [0 0 . . . 0]entonces podemos escribir

Ri(A) = 0(Ri(A))

y por la propiedad (2) det(A) = 0 det(A) = 0.

Supongamos ahora que A tiene dos renglones iguales, Ri(A) = Rj(A), i 6= j.Intercambiar estos dos renglones no altera la matriz. Sin embargo, por lapropiedad (1), se tiene que

det(A) = −det(A),

y por lo tanto, det(A) = 0.

Las propiedades del determinante permiten calcular el determinante de unamatriz elemental de orden n. En efecto,

• Si E es una matriz elemental de tipo 1,

det(E) = −1

Como E se obtiene de In intercambiando dos renglones, por las propiedades(2) y (4) tenemos que

det(E) = −det(In) = −1;

• si E es una matriz elemental de tipo 2, es decir E se obtiene a partir deIn multiplicando uno de los renglones por un real c 6= 0, entonces por laspropiedades (2) y (4)

det(E) = cdet(In) = c;


• si E es una matriz elemental de tipo 3, entonces E tendra la forma (i 6= j)

E =

R1(In)

...

Ri(In) + λRj(In)...

Rn(In)

.

Por lo tanto, por la propiedad (3)

det(E) = det

R1(In)

...

Ri(In)...

Rn(In)

+det

R1(In)

...

λRj(In)...

Rn(In)

= det (In)+det

R1(In)

...

λRj(In)...

Rn(In)

.

donde λRj(In) es el i-esimo renglon de la matriz del segundo sumando. Porlo tanto

det(E) = 1 + λ det

R1(In)

...

Rj(In)...

Rn(A)

= 1 + (λ)0 = 1

ya que como la matriz R1(In)

...

Rj(In)...

Rn(A)

tiene dos renglones iguales, su determinante se anula, por la segunda partede la proposicion 6.7.1.

Notemos que hemos probado que si E es la matriz que se obtiene de Inal aplicarle una operacion elemental de tipo 3, entonces

det (E) = det (In).

Observe que el mismo argumento aplica cuando cambiamos In por A yB es la matriz que se obtiene al aplicarle a A una operacion del tipo 3.


Proposicion 6.15.

Si B es la matriz que se obtiene de A al aplicarle una operacion ele-mental de tipo 3, entonces

det (B) = det (A).

Ejemplo 6.47.

Calculemos, utilizando las propiedades del determinante, det (A) cuando

A =

[1 3−1 2

]

Solucion I El procediemiento consiste en llevar A a una matriz reducidadpor filas y aplicaremos en cada paso las propiedades enlistadas. Pasamos deA a B

A −−−−−−−−−→R2 → R2 +R1

B =

[1 30 5

]por la proposicion 6.7.1 tenemos

det(A) = det(B).

Ahora pasamos de B a C

B −−−−−−−−−→R2 → (1/5)R2

C =

[1 30 1

]

por la propiedad (2) tenemos

det(C) =1

5det(B), o, lo que es lo mismo, det(B) = 5det(C).

Finalmente pasamos de C a D

C −−−−−−−−−→R1 → R1 − 3R2

D =

[1 00 1

]


de nuevo, por la proposicion 6.7.1,

det(C) = det(D).

Notemos que D = I2 y por la propiedad (4) det(D) = 1. Obtenemos eldeterminante de A :

det(A) = det(B) = 5det(C) = 5det(D) = 5.

J

Ejemplo 6.48.

El determinante de una matriz diagonal de orden 3 Dg[λ1, λ2, λ3] es igualal producto de los elementos en la diagonal.

Solucion INotemos que

A = Dg[λ1, λ2, λ3] =

λ1 0 00 λ2 00 0 λ3

=

λ1R1(In)

λ2R2(In)

λ3R3(In)

.Por lo tanto, usando en tres ocasiones la propiedad (2),

det(A) = λ1 det

R1(In)

λ2R2(In)

λ3R3(In)

= λ1λ2 det

R1(In)

R2(In)

λ3R3(In)

= λ1λ2λ3 det

R1(In)

R2(In)

R3(In)

= λ1λ2λ3 det(In) = λ1λ2λ3.

J

Teniendo en cuenta el calculo del determinante de las matrices elementales yla manera como estas actuan sobre una matriz cuadrada A, podemos escribirde manera equivalente las propiedades del determinante: Si E es una matrizelemental de orden n y A ∈Mn(R) entonces


det(E ·A) = det(E) det(A) (6.4)

Consecuencia de esta formula es que, si E y E′ son matrices elementalesentonces

det(E · E′) = det(E′ · E) (6.5)

puesto que ambos miembros de la igualdad anterior son iguales a

det(E) det(E′).

Con estos resultados a mano podemos demostrar

Proposicion 6.16.

Sean A,B ∈Mn(R), A invertible. Entonces

det(A ·B) = det(B ·A).

En efecto, como A es invertible, A se puede expresar mediante un productode matrices elementales:

A = E1 · · · · Ek−1 · Ek

donde E1, E2, . . . Ek son matrices elementales. Por la proposicion 5.1, y porla asociatividad del producto de matrices, tenemos que

det(A ·B) = det((E1 · E2 · · · ·Ek−1 · Ek) ·B)= det((E1 · E2 · · ·Ek−1)(Ek ·B))= det(Ek ·B)det(E1 · E2 · · ·Ek−1)= det(Ek)det(B)det(E1 · E2 · · ·Ek−1)= det(B)det(Ek)det(E1)det(E2)det(Ek−1)= det(B)det(A).

A continuacion veremos que A es invertible si y solamente si det(A) 6= 0.

Teorema 6.2.

Sean A ∈Mn(R). Entonces A es invertible si y solamente si det(A) 6= 0.


Sabemos que A es invertible si y solamente si A es producto de matriceselementales. Por lo tanto, si A es invertible, det(A) 6= 0 por ser producto denumeros no nulos.

Supongamos ahora que det(A) 6= 0. Sabemos que existen matrices elemen-tales E1, E2, . . . Ek tales que

Ek · · · ·E2 · E1 ·A = A′

donde A′ es una matriz reducida por filas. Como det(A) 6= 0 entoncesdet(A′) 6= 0, lo que equivale al ser A′ una matriz reducida por filas, A′ = Iny, en consecuencia, A es invertible.

Proposicion 6.17.

Sean A,B ∈Mn(R) tales que det(B) = 0 entonces

det(A ·B) = det(B ·A) = 0.

Si A es invertible, sabemos que

det(A ·B) = det(A) det(B) = 0.

Si A tampoco fuese invertible, es decir si det(A) = 0, entonces, por el Teo-rema 6.1, las ecuaciones en Mn×1(R)

AX = 0n×1, y BX = 0n×1

tienen soluciones no triviales. Es decir, existen C1, C2 ∈ Mn×1(R) que noson iguales a 0n×1 tales que

AC1 = 0n×1, y BC2 = 0n×1.

Tenemos entonces que

(B ·A)C1 = B · (AC1) = B0n×1 = 0n×1(A ·B)C2 = A · (BC2) = A0n×1 = 0n×1.

por lo que los sistemas

(B ·A)X = 0n×1, y (A ·B)X = 0n×1

tienen soluciones no triviales y por lo tanto (B·A) y (A·B) no son invertibles.De lo que se deduce

det(A ·B) = 0 = det(B ·A).

Por lo tanto:


Proposicion 6.18.

Sean A,B ∈Mn(R). Entonces

det(A ·B) = det(B ·A).

Ejemplo 6.49.

Calcular el determinante de la matriz

A =

5 0 03 −1 64 2 −3

Solucion I

Por la propiedad (2), factorizamos 5 de la primera fila

detA = 5

1 0 03 −1 64 2 −3

Pasamos de A a B como venimos haciendo desde el capıtulo 4:

A−−−−−−−−−→R2 → R2 − 3R1

R3 → R3 − 4R1

B =

1 0 00 −1 60 2 −3

Denotemos por

C =

[−1 6

2 −3

].

Veamos que detB = detC. Pasemos de B a su forma reducida:

B =

1 0 00 −1 60 2 −3

−−−−−−−→R2 → −R2

B′ =

1 0 00 1 −60 2 −3

Tenemos que detB = −detB′. A continuacion :

B′ =

1 0 00 1 −60 2 −3

−−−−−−−→R3 → R3 − 2R2

B” =

1 0 00 1 −60 0 9


Esta operacion no cambia el determinante. Finalmente, la operacion parapasar de B” a una matriz diagonal es R2 → R2 + (2/3)R3 que no cambia eldeterminante. Por lo tanto

detA = detB = −detB′ = −9.

Notemos que para pasar de C a una matriz diagonal haremos las mismasoperaciones, pero esta vez tendremos dos filas y dos columnas:

R1 → −R1, R2 → R2 − 2R1 R1 → R1 + (2/3)R2.

Ası detC = −9, y

detA = 5 detC = −45

J

Lo que pasa en este ejemplo proviene de una situacion mas general:

det

a11 0 . . . 0a21 a22 . . . a2n...

......

...ai1 ai2 . . . ain...

......

...an1 an2 . . . ann

= a11 det

a22 . . . a2n...

......

ai2 . . . ain...

......

an2 . . . ann

Como consecuencia de esto tenemos la siguiente

Proposicion 6.19.

Si A ∈Mn(R) es una matriz triangular inferior,

detA = a11a22 · · · aii · · · ann. (6.6)

6.7.2 Determinante de una matriz y el de su transpuesta

En esta seccion daremos la relacion entre el determinante de A y el deAt. Comencemos por analizar que sucede para las matrices elementales. SiE se obtiene intercambiando dos filas a In, entonces E = Et de dondedetE = detEt. Lo mismo sucede si E se obtiene al multiplicar una fila porun escalar no nulo.


Veamos que sucede si E se obtiene de In al remplazar una fila por sumarleun multiplo escalar de otra fila. Sabemos que en este caso detE = 1. Ten-emos que detEt = 1 ya que se vio que aplicarle una operacion elemen-tal de este tipo no cambia el determinante. Si E se obtiene de In porRi → Ri + λRj , entonces Et se obtiene de In por Rj → Rj + λRi.

En cualquiera de los casos tenemos que si E es elemental

det(E) = det(Et).

Para abordar el caso general, supongamos primero que A es invertible.Cuando esto sucede, podemos afirmar que A es producto de matrices ele-mentales:

A = E1 · E2 · · ·Eky

det(A) = det(E1) det(E2) · · · det(Ek).

Por lo tanto,At = Etk · · ·Et2 · Et1

ydet(At) = det(Etk) · · · det(Et2) det(Et1)

= det(Ek) · · · det(E2) det(E1)= det(A).

Supongamos ahora que A no es invertible. En este caso At tampoco lo es ypor consiguiente

det(A) = 0 = det(At)

Proposicion 6.20.

Sean A ∈Mn(R). Entonces

det(A) = det(At).

Esta proposicion implica que el determinante satisface las propiedades defila expresadas anteriormente para las columnas. Precisamente,

Propiedades del determinante por columna

Sea A ∈Mn(R), entonces


1. si B se obtiene de A intercambiando dos columnas de A, entonces

det(B) = −det(A);

2. si B se obtiene de A multiplicando una de las columnas de A porun numero c, entonces

det(B) = cdet(A);

3. Si C1, . . . Ci, C′i, . . . , Cn ∈Mn×1(R), entonces

det[C1 · · · Ci + C ′i · · · Cn

]=

det[C1 · · · Ci · · · Cn

]+ det

[C1 · · · C ′i · · · Cn

].

6.7.3 Formula de Laplace para el calculo de determinates

Hasta este momento hemos calculado determinantes valiendonos de la propie-dades elementales de los determinates y de las operaciones y las matriceselementales. A continuacion daremos una manera de calcular determinantesde orden n cuando sabemos calcular determinantes de orden menor que n.

Observemos que una matriz cuadrada de orden 1 es un escalar y sudeterminante es el escalar, es decir, si A = [a], entonces detA = a.

Comencemos con determinates de orden 2 :

det

[a11 a12a21 a22

]= det

[a11 + 0 0 + a12a21 a22

]= det

[a11 0a21 a22

]+ det

[0 a12a21 a22

]= det

[a11 0a21 a22

]− det

[a12 0a22 a21

]En cada paso hemos usado las propiedades de los determinantes. Para laprimera igualdad, la propiedad (3) tomando [a11 a12] = [a11 0] + [0 a12]a continuacion intercambiamos columnas. Las dos matrices que aparecen enel segundo miembro de la igualdad son triangulares inferiores y, por lo tantosu determinate es el producto de las entradas en la diagonal. Entonces:

det

[a11 a12a21 a22

]= a11a22 − a12a22.


Hagamos lo mismo para matrices cuadradas de orden 3. Procedemos comoantes:

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Consideramos

[a11 a12 a13] = [a11 0 0] + [0 a12 0] + [0 0 a13]

y aplicamos la propiedad (3) dos veces:

det(A) =

det

a11 0 0a21 a22 a23a31 a32 a33

+ det

0 a12 0a21 a22 a23a31 a32 a33

+ det

0 0 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Ahora, para el segundo sumando intercambiamos las columnas primera ysegunda de la matriz, para el tercer sumando intercambiamos primero lasegunda con la tercer columna y despues la primara con la segunda, asıobtenemos

det(A) =

det

a11 0 0a21 a22 a23a31 a32 a33

− det

a12 0 0a22 a21 a23a32 a31 a33

+ det

a13 0 0a23 a21 a22a33 a31 a32

De nuevo haciendo uso del calculo del determinante cuando en la primerafila solo hay un elemento no nulo, obtenemos

det(A) = a11 det

[a22 a23a32 a33

]−a12 det

[a21 a23a31 a22

]+a13 det

[a21 a22a31 a32

]Esta expresion ya la habıamos encontrado en el capıtulo 3 cuando calcu-

lamos el volumen de un paralelepıpedo generado por 3 vectores en el espacio.En aquel momento, el hecho de que este determinante no es nulo garantizaque los tres vectores en cuestion no son coplanares.

Definimos las matrices A11 , A12, A13 como

A11 =

[a22 a23a32 a33

], A12 =

[a21 a23a31 a22

], A13 =

[a21 a22a31 a32

]


Aij es la matriz cuadrada de orden 2 que se obtiene de eliminar de A la filai y la columna j. Ya sabemos calcular el determinante de cada una de ellas:

det (A) = a11detA11 − a12detA12 + a13detA13.

Observemos que el signo que acompana al coeficiente a1j proviene de cuantoscambios hicimos para llevar la columna j a la posicion de primera columna,notemos que hicimos j − 1 intercambios.

Ejemplo 6.50.

Calcular usando la formula de Laplace el determinante de la matriz

A =

1 2 34 5 67 8 9

Solucion I Tenemos que

det (A) = (1)det

[5 68 9

]− (2)

[4 67 9

]+ (3)

[4 57 8

]= (1)((5)(9)− (8)(6))− (2)((4)(9)− (7)(6)) + (3)((4)(8)− (7)(5))= (45− 48)− 2(36− 42) + 3(32− 35)= 0

J

Ejemplo 6.51.

Calcular usando la formula de Laplace el determinante de la matriz

A =

1 a a2

1 b b2

1 c c2

Solucion I

det (A) = (1)det

[b b2

c c2

]− (a)

[1 b2

1 c2

]+ (a2)

[1 b1 c

]= (1)((b)(c2)− (c)(b2))− (a)((1)(c2)− (b2)(1)) + (a2)((1)(c)− (b)(1))

= bc2 − cb2 − ac2 + ab2 + a2c− a2b

= bc(c− b)− a(c− b)(c+ b) + a2(c− b) = (c− b)(bc− a(c+ b) + a2)= (c− b)(c− a)(b− a).


J

Este procedimiento podemos hacerlo para matrices cuadradas de orden n yse llama desarrollo del determinante por la primera fila. Usando laspropiedades del determinante este se puede calcular haciendo desarrollo porcualquier fila o por cualquier columna.

Ejemplo 6.52.

Calcular el determinante de la matriz usando desarrollo por la tercera fila

A =

2 −5 7−3 4 6

1 0 −1

Solucion I Llevamos la tercera fila a la posicion de primera fila mediante

dos intercambios de fila:

det (A) = (−)(−)det

1 0 −12 −5 7−3 4 6

= (1)det

[−5 7

4 6

]− (0)

[2 7−3 6

]+ (−1)

[2 −5−3 4

]= (−30− 28) + (−1)(8− 14)

= −52.

JLos ejemplos vistos se generalizan para matrices de orden n.

Proposicion 6.21 (Calculo del determinante por la formula de Laplace).

Si A ∈Mn(R), sean Aij ∈Mn−1(R) las matrices obtenidas a partir deA al eliminar la fila i y la columna j.

El determinante de A por la formula de Laplace utilizando el de-sarrollo por la primera fila es

detA = a11detA11 + · · ·+ (−1)1+ja1jdetA1j + · · ·+ (−1)1+na1ndetAin.

Si se desea calcular el determinante de A por fila i, realizamos los i− 1


intercambios de fila y obtenemos la formula de Laplace en general.

detA =n∑j=1

(−1)i+jaijdetAij .

Como sabemos que el determinante de la transpuesta de una matrizes igual al determinante de la matriz, el desarrollo del determinantepor la j-esima fila de At, es el desarrollo del determinante de A por laj-esima columna. En este caso la formula queda

detA =

n∑i=1

(−1)i+jaijdetAij .

6.7.4 Matriz inversa mediante la matriz adjunta

Sea A ∈M3(R) dada por

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

Ahora, sea

M =

a b ca21 a22 a23a31 a32 a33

Entonces det (M) :

det (M) = adetA11 − bdetA12 + cdetA13 =[a b c

]·

detA11

−detA12

detA13

.Calcularemos explıcitamente el det (M) expandiendolo por el primer renglonen los tres casos siguientes: cuando R1(M) = R1(A), R1(M) = R2(A) yR1(M) = R3(A).

Cuando R1(M) = R1(A), es decir, a = a11, b = a12 y c = a13 se tieneque

a11detA11 − a12detA12 + a13detA13 = det

a31 a32 a33a21 a22 a23a31 a32 a33

= detA.


Otra manera de escribir lo anterior es:

[a11 a12 a13

]·

detA11

−detA12

detA13

= detA.

Cuando R1(M) = R2(A), es decir, a = a21, b = a22 y c = a23 se tiene que


a21 a22 a23a21 a22 a23a31 a32 a33

= 0,

puesto que esta matriz tiene dos filas iguales. Otra manera de escribir laigualdad anterior:

[a21 a22 a23

]·

detA11

−detA12

detA13

= 0.

Lo mismo pasa cuando R1(M) = R3(A), es decir, a = a31, b = a32 y c = a33


a31 a32 a33a21 a22 a23a31 a32 a33

= 0.

Otra manera de escribir lo anterior es:

[a31 a32 a33

]·

detA11

−detA12

detA13

= 0.

Poniendo las tres igualdades juntas tenemos que a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

· detA11

−detA12

detA13

=

det (A)00

(6.7)

Desarrollemos ahora el determinante de A por la segunda fila. Para ellointercambiamos la primera y la segunda fila:

det (A) = −det

a21 a22 a23a11 a12 a13a31 a32 a33

= −

(a21 det

[a12 a13a32 a33

]− a22 det

[a11 a13a31 a33

]+ a23 det

[a11 a12a31 a32

])= −a21A21 + a22A22 − a23A23.


Sea ahora

M =

a11 a12 a13a b ca31 a32 a33

.Podemos calcular el determinante de M a partir del calculo para el deter-minante de A por la segunda fila que acabamos de hacer, si repetimos elargumento, tenemos que

−adetA21 + bdetA22 − cdetA23 = det

a11 a12 a13a b ca31 a32 a33

.Por lo tanto si tomamos R2(M) = R1(A), es decir, a = a11, b = a12 y c = a13

−a11 detA21 + a12 detA22 − a13 detA23 = det

a11 a12 a13a11 a12 a13a31 a32 a33

= 0.

Cuando R2(M) = R2(A), tenemos a = a21, b = a22 y c = a23

−a21 detA21 + a22 detA22 − a23 detA23 = det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= detA

Cuando R2(M) = R3(A), tenemos a = a31, b = a32, c = a33

−a31A21 + a32A22 − a33A23 = det

a11 a12 a13a31 a32 a33a31 a32 a33

= 0

En este caso, la ecuacion correspondiente a 6.7 queda a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

· −detA21

detA22

−detA23

=

0det (A)

0

(6.8)

Desarrollemos ahora el determinante de A por la tercera fila. Para ellointercambiamos primero la tercera y la segunda filas y, una vez hecho esto,intercambiamos la segunda y la primera. Entonces,

det (A) = det

a31 a32 a33a11 a12 a13a21 a22 a23

= a31 det

[a12 a13a22 a23

]− a32 det

[a11 a13a21 a23

]+ a33 det

[a11 a12a21 a22

]= a31 detA31 − a32 detA32 + a33 detA23.


Sea ahora

M =

a11 a12 a13a21 a22 a23a b c

tenemos que

adetA31 − bdetA32 + cdetA23 = det

a11 a12 a13a21 a22 a23a b c

.Consideramos los tres casos como antes, R3(M) = R1(A), R3(M) = [a11 a12 a13],R3(M) = [a21 a22 a23], y R3(M) = [a31 a32 a33]. Obtenemos a11 a12 a13

a21 a22 a23a31 a32 a33

· detA31

−detA32

detA33

=

00

det (A)

(6.9)

Ponemos juntas las formulas 6.7, 6.8 y 6.9 para obtener a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

· detA11 −detA21 detA31

−detA12 detA22 −detA32

detA13 −detA23 detA33

=

det (A) 0 00 det (A) 00 0 det (A)

.La matriz detA11 −detA21 detA31

−detA12 detA22 −detA32

detA13 −detA23 detA33

se llama la matriz adjunta de A y se denota por adjA. Tenemos que

A · adjA =

det (A) 0 00 det (A) 00 0 det (A)

= (detA)I3.

Cuando A es invertible, la expresion anterior nos da otra manera de calcularla matriz inversa de A. En efecto, cuando A es invertible, es decir det (A) 6=0, se tiene que

A−1 =1

detAadjA.

Ejemplo 6.53.


Construir la matriz adjunta de

A =

[a bc d

]

Solucion I En este caso tenemos una matriz cuadrada de orden 2. Lamatriz adjunta es

adjA =

[detA11 −detA21

−detA12 detA22

]donde Aij es la matriz que se obtiene al quitarle a A la fila i-esima y lacolumna j-esima.

Como A es de orden 2, Aij es de orden 1, es decir, un numero.

• Cuando quitamos la primera fila y la primera columna de A lo que nosqueda es detA11 = d,

• cuando quitamos la primera fila y la segunda columna columna de Alo que nos queda es detA12 = c,

• cuando quitamos la segunda fila y la primera columna de A lo que nosqueda es detA21 = b,

• cuando quitamos la segunda fila y la segunda columna de A lo que nosqueda es detA22 = a.

Por lo tanto

adjA =

[d −b−c a

]Hagamos el producto adjA ·A :[

d −b−c a

]·[a bc d

]=

[da− bc db− db−ca+ ac −cb+ ad

]=

[det (A) 0

0 det (A)

]= det (A)I2

J


Como det (A) = det (At) tambien podemos desarrollar el determinante porcolumnas. Veamos lo que pasa para matrices cuadradas de orden 3 :

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= det

a11 a21 a31a12 a22 a32a13 a23 a33

= a11

[a22 a23a32 a33

]− a21

[a12 a32a13 a33

]+ a31

[a12 a22a13 a23

]Observe que para definir adjA usamos el desarrollo por filas para obtener

A · adjA = detAI3. Para hacer el producto adjA ·A usamos el desarrollo deldeterminante por columnas.

Generalizamos lo anterior, para una matriz cuadrada A de orden n, lamatriz adjunta de A es la matriz

adjA = [Cij ]

donde

Cij = (−1)i+jdetAji.

6.7.5 Regla de Cramer.

Sabemos que si A es una matriz cuadrada de orden n invertible, entonces elsistema de ecuaciones lineales donde X, b ∈Mn×1(R),

AX = b, (6.10)

se resuelve utilizando la matriz inversa de A :

X = A−1b.

En la seccion anterior encontramos una manera de calcular la matriz inversamediante la matriz adjunta. Obtenemos que la solucion de la ecuacion 6.10es

X =1

det (A)adj(A)b.

Recordemos que sucede cuando n = 2. Sea A ∈ Mn(R) con determinanteno nulo. Entonces la solucion de[

a bc d

] [x1x2

]=

[b1b2

]


es [x1x2

]=

1

ad− bc

[d −b−c a

] [b1b2

]o bien

x1 =b1d− b2bad− bc

=

det

[b1 bb2 d

]det

[a bc d

]y

x2 =b2a− b1cad− bc

=

det

[a b1c b2

]det

[a bc d

] .Esta manera de expresar las soluciones del sistema se llama Regla deCramer

Veamos el caso general:Sea A ∈ Mn(R) una matriz invertible, X, b ∈ Mn×1(R). Veremos la

Regla de Cramer en esta situacion.Recordemos que

X = A−1 b.

Entoncesxi = Ri(A

−1) b.

Por consiguiente

xi =1

detARi(adjA) b

Como Cij = (−1)i+jdetAji, tenemos que

Ri(adjA) = [Ci1Ci2 . . . Cin] = [detA1i detA2i . . . detAni]

de donde

xi =1

detARi(A

−1) b =1

detA[detA1i detA2i . . . detAni]

b1b2...bn

,nos queda que

xi =1

detA

n∑j=1

(−1)i+jdetAji bj


Observamos que si Ci es la matriz obtenida de A remplazando la columnai-esima por b, es decir,

Ci =

a11 a12 . . . a1i−1 b1 a1i+1 . . . a1na21 a22 . . . a2i−1 b2 a2i+1 . . . a2n...

......

an1 an2 . . . ani−1 bn ani+1 . . . ann

y calculando el determinante de la matriz Ci por la i-esima columna, se tieneque

detCi =n∑j=1

(−1)i+jdetAji bj .

Por lo que

xi =detCidetA

.

Ejemplo 6.54.

Resuelva usando la regla de Cramer el sistema AX = b para

A =

1 0 10 2 01 0 3

, b =

−135

.Solucion I

Se tiene que detA = 4Tenemos que

x1 =

det

−1 0 13 2 05 0 3

det

1 0 10 2 01 0 3

=−16

4= −4.

x2 =

det

1 −1 10 3 01 5 3

det

1 0 10 2 01 0 3

=6

4=

3

2.


x3 =

det

1 0 −10 2 31 0 5

det

1 0 10 2 01 0 3

=12

4= 3.

Comprobamos

1 0 10 2 01 0 3

· −4

3

23

=

−4 + 33

−4 + 9

=

−135

.J

6.7.6 Ejercicios

1. Calcule el determinante de las siguientes matrices utilizando opera-ciones elementales y las propiedades del determinante.

(a) A =

[−5 8

1 2

]

(b) A =

1 1 13 2 01 4 3

(c) A =

1 2 34 5 67 8 9

(d) A =

5 2 3 23 3 4 26 3 2 31 2 8 4

2. Para cada una de las matrices del ejercicio anterior que resulten in-

vertibles, determine la matriz inversa utilizando la matriz adjunta.

3. Calcule el determinante de las matrices del inciso (b) y (c) del ejercicio1 por medio de la formula de Laplace expandiendolo por la segundafila.


4. Calcule el determinante de las matrices del inciso (a) y (d) del ejercicio1 por medio de la formula de Laplace expandiendolo por la ultimacolumna.

5. Calcule el determinante de las siguientes matrices utilizando la formulade Laplace expandiendolo por la fila o renglon de sus preferencia.

(a) A =

1 1 10 2 01 4 3

(b) A =

1 2 04 5 07 8 2

6. Encuentre para que valores de λ la matriz siguiente es invertible.

A =

λ 1 11 λ 11 1 λ

7. Encuentre para que valores de λ la matriz siguiente es invertible.

A =

5− 4λ 0 −3−9 32− 4λ −9−21 48 −13− 4λ

8. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones AX = b cuando:

(a) A =

1 2 04 5 07 8 2

, b =

111

(b) A =

5 2 3 23 3 4 26 3 2 31 2 8 4

, b =

12−2−1

6.8 Apendice al Capıtulo 5

6.8.1 Distributividad del producto de matrices con respectoa la suma

6.8. APENDICE AL CAPITULO 5 103

Sean A,B ∈Mm×n(R), X, Y ∈Mn×p(R) y α ∈ R. Entonces

• (A+B) ·X = A ·X +B ·X;

• A · (X + Y ) = A ·X +A · Y ;

Probamos en la seccion 5.3.1 la primera afirmacion cuando A,B ∈M1×nes decir son matrices renglon y C ∈Mn×1(R). Nos basaremos en este resul-tado para hacer la prueba en general. Para ello veremos que tienen renglonescorrespondientes iguales.

Veamos que entij((A+B) · C) = entij(A · C +B · C), es decir que

Ri(A+B) · Colj(C) = Ri(A · C) · Colj(C) +Ri(A · C) · Colj(C)

Por la manera como definimos la multiplicacion de matrices por unamatriz columna,

Ri((A+B) · C) = (Ri(A) +Ri(B)) · C.

Por lo que acabamos de ver

(Ri(A) +Ri(B)) · C = Ri(A) · C +Ri(B) · C = Ri(A · C +B · C).

6.8.2 Asociatividad del producto de matrices

Cuando esta definido, el producto de matrices es asociativo.Para A ∈Mm×n(R), B ∈Mn×p(R) y C ∈Mp×q(R), se cumple que:

A(BC) = (AB)C.

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

......

ai1 ai2 · · · ain...

......

am1 am2 · · · amn

; B =

b11 b12 · · · b1pb21 b22 · · · b2p...

......

bj1 bj2 · · · bjp...

......

bn1 bn2 · · · bmp

; C =

c11 c12 · · · c1qc21 c22 · · · c2q...

......

cl1 cl2 · · · clq...

......

cp1 cn2 · · · cpq

i = 1, . . . ,m; j = 1, . . . n, l = 1 . . . , p.

Veamos que tanto los productos A(BC) = (AB)C pueden llevarse a cabo yque su resultado son matrices que coindiden en tamano:


Como A ∈Mm×n(R), B ∈Mn×p(R) y C ∈Mp×q(R) :

(BC) ∈Mn×q(R), de esta forma, A(BC) ∈Mm×q(R), escribimosA(BC) = D.

AB ∈Mm×p(R), de esta forma, (AB)C ∈Mm×q(R), escribimos(AB)C = E.

Para verificar la propiedad asociativa del producto de matrices debemosver que cada una de las entradas correspondientes en las matrices D y Ecoinciden, es decir, para i = 1, . . .m y k = 1, . . . , q, se cumple que dik = eik.

Sabemos que cada una de estas entradas se componen de la siguientemanera

dik = RiA · Colk(BC), eik = Ri(AB) · ColkC

Calculemos dik

dik = RiA · Colk(BC) = RiA · (B · ColkC)

ya que sabemos que Colk(BC) = B · ColkC.

Si Ri(A) =[ai1 ai2 . . . ain

],

dik =[ai1 ai2 . . . ain

]·

b11 b12 · · · b1pb21 b22 · · · b2p...

......

bj1 bj2 · · · bjp...

......


c1kc2k...cpk

dik =[ai1 ai2 . . . ain

]·

b11c1k + b12c2k + · · ·+ b1pcpkb21c1k + b22c2k + · · ·+ b2pcpk

...bj1c1k + bj2c2k + · · ·+ bjpcpk

...bn1c1k + bn2c2k + · · ·+ bmpcpk

6.8. APENDICE AL CAPITULO 5 105

dik = ai1(b11c1k + b12c2k + · · ·+ b1pcpk)+ ai2(b21c1k + b22c2k + · · ·+ b2pcpk)

· · ·+ ain(bn1c1k + bn2c2k + · · ·+ bnncnk).

ydik = ai1b11c1k + ai1b12c2k + · · ·+ ai1b1pcpk

+ ai2b21c1k + ai2b22c2k + · · ·+ ai2b2pcpk· · ·

+ ainbn1c1k + ainbn2c2k + · · ·+ ainbnpcpk.

Calculemos ahora la entrada eik de la matriz (AB)C = E, tenemos que:eik = Ri(AB) · ColkC

Como Ri(AB) = RiA ·B, sustituyendo, eik = (RiA ·B) · ColkC

eik =

[ai1 ai2 . . . ain

]

b11 b12 · · · b1pb21 b22 · · · b2p...

......

bj1 bj2 · · · bjp...

......


·

c1kc2k...cpk

eik =[ai1b11 + ai2b21 + · · ·+ ainbn1 . . . ai1b1p + ai2b2p + + · · ·+ ainbnp

]·

c1kc2k. . .cpk

eik = (ai1b11 + ai2b21 + · · ·+ ainbn1)c1k

+(ai1b12 + ai2b22 + · · ·+ ainbn2)c2k· · ·

+(ai1b1p + ai2b2p + · · ·+ ainbnp)cpk.

Tenemos entonces que

eik = ai1b11c1k + ai2b21c1k + · · ·+ ainbn1c1k+ ai1b12c2k + ai2b22c2k + · · ·+ ainbn2c2k

· · ·+ ai1b1pcpk + ai2b2pcpk + · · ·+ ainbnpcpk.


Ahora comparemos las dos expresiones que hemos obtenido para cadauna de las entradas dik y eik y observamos que:

La entrada dik consta de p×n sumandos y la entrada eik consta de n×psumandos. En ambos, los sumandos aparecen en un arreglo rectangular.

Los p sumandos en el primer renglon del arreglo para dik coinciden conlos p sumandos que aparecen en la primera columna del arreglo para eik,los p sumandos en el segundo renglon del arreglo para dik coinciden con losp sumandos que aparecen en la primera columna del arreglo para eik y lomismo para cada uno de los renglones y columnas subsecuentes.

dik = ai1b11c1k + ai1b12c2k + · · ·+ ai1b1pcpk+ ai2b21c1k + ai2b22c2k + · · ·+ ai2b2pcpk

· · ·+ ainbn1c1k + ainbn2c2k + · · ·+ ainbnpcpk.

eik = ai1b11c1k + ai2b21c1k + · · ·+ ainbn1c1k+ ai1b12c2k + ai2b22c2k + · · ·+ ainbn2c2k

· · ·+ ai1b1pcpk + ai2b2pcpk + · · ·+ ainbnpcpk.

Podemos concluir que

dik = eik, i = 1, . . . ,m; k = 1, . . . , q.

Como cada una de sus entradas de las matrices (D) y E son iguales,tenemos que D = E, que es lo mismo que (AB)C = A(BC), lo que sedeseaba mostrar.

matrices y determinantessgpwe.izt.uam.mx/files/users/uami/mja/alai_rec/mja...6.1.2 igualdad de...

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