1

Matrices 1. Introdución

2. Matrices: definición

3. Tipos de Matrices

4. Operacións coas matrices

4.1 Suma de matrices

4.2 Diferenza de matrices

4.3 Produto dun número por unha matriz

4.4 Produto de matrices

5. Produto de matrices cadradas

6. Matriz inversa

6.1 Cálculo da matriz inversa

6.1.1 Aplicando a definición

6.1.2 Aplicando o método de Gauss

6.2 Aplicacións da matriz inversa: Ecuacións matriciais

7. As matrices na resolución de problemas

1. Introdución

Son moitas as actividade nas que é conveniente dispoñer das informacións numéricas ordenadas en táboas de dobre entrada. Estas disposicións rectangulares de datos numéricos facilitan a súa lectura, interpretación e análise e dan pé ao concepto matemático de matriz, a súa utilidade va moito más alá dunha mera disposición de números, como se verá o longo do trimestre.

2. Matrices: definición

Chámase matriz de orde m x n a unha disposición en táboa rectangular de m x n

números reais dispostos en m filas e n columnas.

A =

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

= (aij)

Aos números reais aij chámaselles elementos da matriz. O primeiro subíndice i indica

a fila e o segundo j a columna na que se atopa o elemento 𝑎𝑖𝑗. Por exemplo, o

elemento 𝑎32 atópase na terceira fila e segunda columna.

O número de filas e de columnas é a dimensión da matriz e desígnase así: m x n. Se

m = n, filas igual a columnas, trátase dunha matriz cadrada de orde n.

As matrices represéntanse así: A = (𝑎𝑖𝑗), B= (𝑏𝑖𝑗), etc.

2

Igualdade de matrices

Dúas matrices A e B son iguais se teñen a mesma dimensión (ou a mesma orde, se

son cadradas) e ademais son iguais todos os elementos que ocupan o mesmo lugar.

3. Tipos de Matrices

Matriz rectangular é aquela matriz na que o número de filas é distinto ao de columnas m ≠ n.

Matriz cadrada é aquela na que o número de filas é igual ao de columnas m = n.

Nunha matriz cadrada chámase diagonal principal ao conxunto dos elementos da

forma 𝑎𝑖𝑖. Na matriz B, do exemplo anterior, a diagonal principal fórmana os

elementos: –2, 3, –8.

Nunha matriz cadrada chámase diagonal secundaria ao conxunto dos elementos

𝑎 𝑖𝑗con i + j = n + 1. Na matriz B, do exemplo anterior, a diagonal secundaria fórmana

os elementos: 7, 3, 0; os seus subíndices suman 4.

Exemplo

Dada a matriz A = (aij) =

8024

6231

054

32

cal é a súa dimensión? E cales son

os valores de a13 e a23

É unha matriz de dimensión 3 x 4 (tres filas e catro columnas) e os valores son:

a13 = 5, a23 = 2

Exemplo

As matrices A =

ba 0

592 e B =

62

33

6

d

c serán iguais se a = 2, b = 6,

c = –5 e d = 0

Exemplos

Matriz rectangular: A =

954

130

Matriz cadrada: B =

857

634

012

3

Matriz fila é unha matriz que ten unha fila; polo tanto, de dimensión 1 x n.

Matriz columna é unha matriz que ten unha columna; polo tanto, de dimensión m x 1.

Matriz oposta dunha matriz A é aquela que ten por elementos os opostos de A. Represéntase por –A.

Matriz trasposta dunha matriz A é aquela que resulta ao escribir as filas de A como

columnas; e represéntase por 𝐴𝑡

Matriz simétrica é unha matriz cadrada que coincide coa súa trasposta, 𝐴 = 𝐴𝑡ou ben aij = aji.

Matriz antisimétrica é unha matriz cadrada onde a súa trasposta coincide coa súa

negativa,− 𝐴 = 𝐴𝑡 ou ben aij = –aji

.

Exemplos

A = (–1 4 5 0) é unha matriz fila de dimensión 1 x 4.

B =

7

2

5

é unha matriz columna de dimensión 3 x 1.

Exemplo

Dada a matriz A =

571

204 a súa oposta é a matriz –A =

571

204

Exemplo

As matrices A =

45

52 e B =

943

462

321

son matrices simétricas.

E as matrices A =

03

30 e B =

047

403

730

son matrices antisimétricas

Exemplo

Dada a matriz A

842

013 a súa trasposta é 𝐴𝑡=(

3 2−1 4 0 8

)

4

Os elementos da diagonal principal dunha matriz antisimétrica cumpren aii = –aii; é

dicir, son números que coinciden cos seus opostos, polo tanto nulos.

Matriz nula é a que ten todos os seus elementos nulos. Denotarase por O = (0)

Matriz diagonal é unha matriz cadrada que ten nulos todos os elementos que non pertencen á diagonal principal.

Matriz escalar é unha matriz diagonal na que todos os elementos da diagonal son iguais.

Matriz unidade ou identidade é unha matriz escalar na que os elementos da diagonal principal son uns.

Matriz triangular é unha matriz cadrada na que todos os elementos situados por debaixo (ou por encima) da diagonal principal son cero.

Exemplos

As seguintes matrices son nulas: O2 =

00

00 e O2x3 =

000

000

As seguintes matrices son diagonais: A =

30

06 e B =

500

040

003

As seguintes matrices son escalares: A =

60

06 e B =

400

040

004

Exemplos

As matrices I2 =

10

01 e I3 =

100

010

001

son matrices identidade de orde dúas e

tres respectivamente.

Exemplo

As matrices A =

100

730

432

e B =

861

025

003

son matrices triangulares.

5

4. Operacións coas matrices

Ao conxunto de todas as matrices de dimensión m x n desígnaselle por Mmxn. Nas

matrices deste conxunto definense as operacións de sumar e restar.

4.1 Suma de matrices

Dadas dúas matrices do conxunto Mmxn A= (aij) e B = (bij), chámase suma de ambas á

matriz C = (cij) da mesma dimensión cuxo termo xenérico é cij = aij + bij.

A suma de matrices desígnase 𝐴 + 𝐵 = (𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗)

A suma de matrices (aij + bij) obtense ao sumar os elementos que ocupan o mesmo

lugar nunha e noutra matriz.

Propiedades da suma

Asociativa. Calquera que sexan as matrices A, B e C de Mmxn cúmprese a igualdade (𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶)

Existencia da matriz nula en Mmxn. A matriz 𝑂 = (0) é tal que 𝐴 + 𝑂 = 𝐴

Existencia da matriz oposta. Dada a matriz A de Mmxn existe a matriz oposta − 𝐴 da

mesma orde, de modo que 𝐴 + (– 𝐴) = 𝑂

Conmutativa. Para todo par de matrices A e B de Mmxn cúmprese a igualdade

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

4.2 Diferenza de matrices

A diferenza de matrices A e B do conxunto Mmxn represéntase por A – B e obtense

sumando ao minuendo o oposto do subtraendo; é dicir, 𝐴 – 𝐵 = 𝐴 + (– 𝐵)

A diferenza de matrices (aij) – (bij) = (aij – bij) obtense ao restar elementos que ocupan

o mesmo lugar nunha e noutra matriz.

Exemplo

Dadas as matrices A =

745

213 e B =

053

102 de orde 2x3, calcular A + B

A + B =

745

213 +

053

102 =

075435

120123 =

718

315

Exemplo

Dadas as matrices A =

745

213 e B =

053

102 de orde 2x3, calcular A – B.

A – B =

745

213 –

053

102 =

075435

120123 =

792

111

6

4.3 Produto dun número por unha matriz

Calquera que sexan o número real k e a matriz A = (aij) do conxunto Mmxn, chámase produto de k por A, á matriz B = (bij) da mesma dimensión que A e cuxo termo xenérico é bij = k·aij.

O produto dun número por unha matriz k(aij) obtense ao multiplicar por k cada elemento de A= (aij).

Propiedades do produto dun número por unha matriz

Calquera que sexan as matrices A e B do conxunto Mmxn e os números reais λ e μ, verifícase:

Distributiva respecto da suma de matrices: λ(A + B) = λA + λB

Distributiva respecto da suma de escalares: (λ + μ)A = λA + μA

Asociativa respecto dos escalares: λ(μA) = (λμ)A

Elemento unidade: 1·A = A

4.4 Produto de matrices

Para multiplicar matrices, as matrices factores deben reunir algúns requisitos que se describirán neste apartado.

a) Produto dunha matriz fila por unha matriz columna

Sexan A unha matriz cunha fila e n columnas e B unha matriz con n filas e unha

columna: A = naaa ...21 e B =

nb

b

b

...

2

1

O produto da matriz fila A con n columnas pola matriz columna B con n filas é a matriz C = A·B cunha fila e unha columna; é dicir, un número c = a1·b1 + a2·b2 + ... +

an·bn. Polo tanto, A·B = C = (c) =

n

i

ii ba1

Hai que facer notar que, para poder multiplicar A e B, o número de columnas do primeiro factor A debe ser igual ao número de filas do segundo factor B.

Exemplo

Dada a matriz A =

534

102 de orde 2x3, calcular k·A

k·A = 5·

534

102 =

553545

150525 =

251520

5010

7

Regra: Obsérvase que para realizar o produto déixase caer a matriz fila A na matriz

columna B; multiplícanse os elementos enfrontados e súmanse os resultados.

b) Produto de dúas matrices calquera

Sexan A unha matriz do conxunto Mmxn, e B unha matriz do conxunto Mnxp; as

columnas de A coinciden coas filas de B (neste caso n).

O produto de matrices A do conxunto Mmxn e B do conxunto Mnxp é outra matriz C do

conxunto Mmxp con m filas (as do primeiro factor A) e p columnas (as do segundo

factor B), cuxos elementos se calculan así:

O elemento cij da matriz produto C é o resultado de multiplicar a fila i da matriz A pola

columna j da matriz B consideradas ambas como matrices fila e columna

respectivamente.

A expresión do elemento cij da matriz produto C será:

cij = inii aaa ...21 ·

nj

j

j

b

b

b

...

2

1

= (ai1b1j + ai2b2j + ... + ainbnj) =

nk

k

kjik ba1

Exemplo

Sexan A = 412 unha matriz cunha fila e 3 columnas e B =

1

2

4

unha matriz

con 3 filas e unha columna. Achar a matriz produto.

A·B = 412 ·

1

2

4

= (2·4 + 1·2 + 4·(–1)) = 6

O resultado é unha matriz de orde 1 x 1; polo tanto, un número.

Exemplo

Dadas as matrices A =

314

012 e B =

51

24

32

:

a) Indicar a dimensión da matriz produto.

b) Calcular A·B

8

Propiedades do produto de matrices

O produto de matrices non é en xeral conmutativo; é dicir, 𝐴 · 𝐵 ≠ 𝐵 · 𝐴

O produto de matrices ten as propiedades seguintes:

Asociativa. Calquera que sexan as matrices A, B, C nos casos que se poidan multiplicar as tres matrices verifica se que:

(𝐴 · 𝐵) · 𝐶 = 𝐴 · (𝐵 · 𝐶)

Distributiva respecto da suma: 𝐴 · (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 · 𝐵 + 𝐴 · 𝐶

Sexa A e B dúas matrices tales que existe o seu produto entón verifícase:

(𝐴𝐵)𝑡 = 𝐵𝑡𝐴𝑡

a) A dimensión de A é 2 x 3. A dimensión de B é 3 x 2. Como o número de columnas

de A, tres, coincide co de filas de B, as matrices pódense multiplicar e ademais a

dimensión da matriz produto é 2 x 2; isto é, número de filas do primeiro factor e

número de columnas do segundo factor.

b) As notacións que se empregaron no desenvolvemento do produto de matrices

pódense simplificar, mediante a seguinte regra.

Regra: Os elementos da matriz produto obtéñense ao deixar caer os elementos das

filas da matriz primeiro factor sobre as columnas da matriz segundo factor; multiplicar

os elementos que quedaron enfrontados e finalmente sumalos.

A·B =

314

012·

51

24

32

=

532134134124

502132104122 =

2515

48

Exemplos

Sexan as matrices A2x3 =

130

321 e B3x1 =

0

1

2

realiza A·B e B·A

A2x3·B3x1 =

130

321·

0

1

2

=

011320

031221 =

3

0

Pero neste caso non se pode facer B∙A

9

5. Produto de matrices cadradas

O produto de matrices cadradas merece atención especial posto que as matrices

cadradas do conxunto Mnxn, ou de orde n, multiplícanse entre si e o resultado é unha

matriz do conxunto Mnxn, ou de orde n.

En canto ás propiedades é evidente que seguen conservando as propiedades

asociativa do produto e distributiva do produto respecto da suma, pero débense

destacar outras propiedades.

En canto á propiedade conmutativa sempre é posible o dobre produto A·B e B·A, pero

en xeral o resultado será diferente, como se indica no seguinte exemplo.

Exemplo

Sexan as matrices A2x3 =

420

231 e B3x2 =

51

42

01

, realiza A·B e B·A

A2x3·B3x2 =

420

231·

51

42

01

=

544200142210

524301122311 =

=

280

225

B3x2·A2x3 =

51

42

01

·

420

231 =

452125310511

442224320412

402120310011

=

=

1871

20142

231

Exemplo

Sexan A =

20

04 e B =

31

21 calcula A·B e B·A. Comproba que o produto

danos unha matriz do mesmo orde que as iniciais.

A·B =

62

84 e B·A =

64

44; obsérvase que A·B ≠ B·A

A matriz produto ten orde dúas.

10

O produto de matrices cadradas posúe elemento unidade e é a matriz identidade In; se

A é unha matriz cadrada de orde n, tense:

𝐼𝑛 · 𝐴 = 𝐴 · 𝐼𝑛 = A

A matriz unidade de orde dúas será: I2 =

10

01

Potencias de matrices cadradas

Como se viu, o produto de dúas matrices cadradas é outra do mesma orde; isto fai

que unha matriz póidase repetir como factor cantas veces precísese, dando lugar ás

potencias de matrices, así:

𝐴 · 𝐴 = 𝐴2; 𝐴 · 𝐴 · 𝐴 = 𝐴3; . . . ; 𝐴 · 𝐴. . .𝑛−𝑣𝑒𝑐𝑒𝑠 . . .· 𝐴 = 𝐴𝑛

6. Matriz inversa

Dada unha matriz cadrada A de orde n, non sempre existe outra matriz B chamada

matriz inversa de A, tal que 𝐴 · 𝐵 = 𝐵 · 𝐴 = 𝐼𝑛

Cando existe a matriz B, dise que é a matriz inversa de A e represéntase A–1; é dicir,

A·A–1 = A–1·A = In

As matrices cadradas que teñen inversa chamáselles matrices regulares.

As matrices cadradas que non teñen inversa chámanse matrices singulares.

6.1 Cálculo da matriz inversa

6.1.1 Aplicando a definición

Para calcular a matriz inversa dunha matriz dada tendo en conta a definición teremos

que resolver unha igualdade entre matrices 𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐼 e obteremos un sistema que sa sabemos resolver de cursos anteriores.

𝐴2 = 𝐴 ∙ 𝐴 = (1 20 1

) (1 20 1

) = (1 40 1

)

𝐴3 = 𝐴 ∙ 𝐴 ∙ 𝐴 = (1 20 1

) (1 20 1

) (1 20 1

) = (1 60 1

)

Exemplo

Dada a matriz A = (1 20 1

) 𝐴2, 𝐴3 calcula e atopa unha expresión para 𝐴𝑛

Podemos comprobar que o temo 𝑎12 de cada potencia é o produto de dous pola

potencia que fagamos da matriz, isto é 𝑛 ∙ 2 .

Obtemos que a matriz n-sima 𝐴𝑛 = (1 2 ∙ 𝑛0 1

)

11

6.1.2 Aplicando o método de Gauss

No método de Gauss para o cálculo da matriz inversa de A, cando exista, pártese da

matriz (𝐴 𝐼𝑛) e mediante as transformacións que se indican a continuación chégase á

matriz( 𝐼𝑛 𝐵 ) ; entón a matriz B = A–1 é a inversa de A.

As transformacións que se poden aplicar son as seguintes:

Cambiar as filas de lugar.

Multiplicar unha fila por un número distinto de cero.

Sumar a unha fila outra multiplicada por un número.

Exemplo

Dada a matriz cadrada de orde dúas A =

21

74, calcular a súa inversa.

Temos que calcular unha matriz

uz

yx que cumpra:

21

74·

uz

yx =

10

01

Efectúase o produto:

uyzx

uyzx

22

7474 =

10

01

A igualdade dos dous termos dá lugar aos sistemas:

02

174

zx

zx e

12

074

uy

uy

As solucións dos sistemas son: 𝑥 = 2, 𝑧 = – 1, 𝑦 = – 7, 𝑢 = 4

A matriz inversa será A–1 =

41

72

Exemplo

Calcula a inversa da matriz M =

21

53 e comprobar o resultado.

Engádeselle á matriz M a matriz unidade, así:

(𝑀 𝐼) =

10

01

21

53 FF ª2ª1

01

10

53

21 FF ª13ª2

31

10

10

21

Fª21

31

10

10

21 FF ª22ª1

31

52

10

01

A matriz inversa é M–1 =

31

52

Comprobación:

21

53·

31

52 =

31

52·

21

53 =

10

01

12

6.2 Aplicacións da matriz inversa: Ecuacións matriciais

As operacións coas matrices e en particular o cálculo da matriz inversa permiten

resolver situacións problemáticas nas que aparecen matrices.

Estas situacións chámanse ecuacións matriciais; resólvense cos mesmos principios

que as ecuacións con coeficientes e variables de números reais, tendo en conta

algunhas das seguintes consideracións:

Algunhas matrices non teñen inversa.

O produto de matrices non é conmutativo; polo que á hora de multiplicar os dous membros dunha igualdade débese ter en conta que a multiplicación se fai ben pola esquerda ou ben pola dereita en ambos os membros da igualdade.

No caso de ecuacións matriciais que se reducen á forma 𝐴 · 𝑋 = 𝐵 𝑜𝑢 𝑋 · 𝐴 = 𝐵 e A

ten inversa; a incógnita X calcúlase respectivamente multiplicando pola esquerda ou

pola dereita por A–1 os dous membros da igualdade.

Na ecuación 𝐴 · 𝑋 = 𝐵, multiplícanse pola esquerda os dous membros por A–1:

𝐴−1 · (𝐴 · 𝑋) = 𝐴−1 · 𝐵 ⟹ (𝐴−1 · 𝐴) · 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵 ⟹ 𝐼 · 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵 ⟹

𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵

Na ecuación 𝑋 · 𝐴 = 𝐵, multiplícanse pola dereita os dous membros por A–1:

(𝑋 · 𝐴) · 𝐴−1 = 𝐵 · 𝐴−1 ⟹ 𝑋 · (𝐴 · 𝐴−1) = 𝐵 · 𝐴−1 ⟹ 𝑋 · 𝐼 = 𝐵 · 𝐴−1 ⟹

𝑋 = 𝐵 · 𝐴−1

Exemplo

Resolver a ecuación matricial A·X + B = C, A=

62

41, B=

13

20 e C=

52

64

Se despexamos a matriz X: A·X + B = C ⟹ A·X = C – B ⟹ A–1·(A·X) = A–1·(C – B) ⟹

X = A–1·(C – B)

Calcúlase a inversa de A polo método de Gauss:

10

01

62

41 FF ª12ª2

12

01

20

41 )2(:ª2 F

2

11

01

10

41 FF ª24ª1

2

11

23

10

01

Logo A–1 =

2

11

23 ou A–1 =

2

1

12

46

Substitúense as variables polos seus valores e opérase:

X =

2

11

23·

13

20

52

64 =

2

11

23·

45

44 =

62

132022

13

Ás veces o problema consiste en determinar algúns elementos dunha ou varias

matrices que figuran nunha ecuación matricial.

7. As matrices na resolución de problemas

As matrices aparecen con frecuencia nas ciencias que traballan con datos ordenados,

como é o caso das Ciencias Físicas, Económicas e Sociais. A continuación

preséntanse algunhas situacións nas que as matrices son de utilidade.

As matrices de información permiten resumir informacións diversas; entre outras

poden estar ligadas a grafos.

Os resultados dalgunhas operacións entre matrices asociadas a grafos transmiten

novas informacións, sobre as situacións que o grafo describe.

Exemplo

Dada a matriz A =

zy

x1, determinar os valores de x, y e z para que se verifique a

igualdade: At·A =

zx

y1·

zy

x1 =

100

010

Multiplícanse as matrices e iguálanse as matrices dos dous membros:

zx

y1·

zy

x1 =

22

21

zxyzx

yzxy =

100

010

10

0

0

101

22

2

zx

yzx

yzx

y

⟹

10

0

9

22

2

zx

yzx

y

⟹ Da primeira ecuación y = ±3.

Se y = 3 o sistema

10

03

22 zx

zx ten como solucións z = 1, x = –3 e z = –1, x = 3

Se y = –3 o sistema

10

03

22 zx

zx ten como solucións z = 1, x = 3 e z = –1, x = –3

As ternas (x, y, z) que verifican a ecuación matricial son:

(– 3, 3, 1), (3, 3, – 1), (3, – 3, 1) 𝑒 (– 3, – 3, – 1)

14

Exemplo

Ana, Xulio, Nereida e Ramón comunícanse a través de Internet como se indica no

seguinte grafo:

A matriz asociada ao grafo ao asignar o número 1 á frecha do que parte ao que chega

será a seguinte:

R

N

X

A

(

0 0 1 11 0 0 01 0 0 1

1 0 1 0

)

Desígnase por G a matriz do grafo.

Calcúlase G2 = G·G =

0101

1001

0001

1100

·

0101

1001

0001

1100

=

2101

1201

1100

1102

O elemento a11 = 2 da matriz G2 indica que se comunica con A de dúas formas diferentes

a través doutro; estas son A – N – A e A – R – A.

O elemento a32 = 0 significa que N non pode comunicarse con X a través doutro.

O elemento a23 = 1 significa que X pódese comunicar con N a través doutro: X – A – N.

A matriz G3 indica as formas de comunicarse cada persoa con outra a través doutras

dúas. G3 = G·G2 =

0101

1001

0001

1100

.

2101

1201

1100

1102

=

2303

3203

1102

3302

Por exemplo, o elemento a13 = 3 informa que Ana e Nereida pódense comunicar de tres

formas a través doutros dous internautas: A – R – A – N, A – N – R – N e A – N – A – N.

Traducir a información do grafo nunha matriz de

información G, calcular 𝐺2 e 𝐺3 en cada cálculo interpretar os resultados. No grafo A representa Ana, X Xulio, N Nereida e R Ramón.

RNXA